有理分式函数值域1.0
必修1函数的定义域和值域
2．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，
那么其值域为
()
A．{－1,0,3}
B．{0,1,2,3}
C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}
答案： A
3．下列函数中，值域是(0，＋∞)的函数是 ( B )
A．y＝lgx
B．y＝(13)1－x
C．y＝|x－x 1|
D．y＝ 1－2x
函数值域或最值的常用求解方法 导数法
当一个函数在定义域上可导时，可根据其导 数求最值确定值域；
函数值域或最值的常用求解方法
判别式法
主要适用于可化为关于x的二次方程a(y)·x2＋ b(y)·x＋c(y)＝0的函数y＝f(x)．在由Δ≥0且a(y)≠0, 求出y的最值后，要检验这个最值在定义域内是 否有相应的x的值．
解析：∵ x有意义，∴x≥0. ∴y＝x2＋3x－5＝x＋322－94－5 ∴当 x＝0 时，ymin＝－5.
答案： [－5，＋∞)
函数值域或最值的常用求解方法
基本不等式法
具有可用基本不等式求解形状特征的函数，常利用基 本不等式 a＋b≥2 ab求函数值域，应用基本不等式求值域 时，要注意条件“一正、二定、三相等”．即：①a>0，b>0； ②a＋b(或 ab)为定值；③取等号条件 a＝b.
法二：(换元法)令 1－2x＝t，则 t≥0 且 x＝1－2 t2， 于是 y＝1－2 t2－t＝－12(t＋1)2＋1， 由于 t≥0，所以 y≤12，故函数的值域是(－∞，12]．
求函数的值域． y＝x＋ x＋1；
解：由于 x≥－1， 又函数 y＝x＋ x＋1在[－1，＋∞)单调递增， 故所求的值域为[－1，＋∞)．
【解析】y＝(13)1－x＝3x－1＝13·3x>0， 即 y＝(13)1－x 的值域为 R＋，其它都不符合．
求函数值域的几种方法
解：由于 x 2 - 2x = (x -1) 2 –1 -1 . 1 1 2 y 2 x 2 x , 1 1 . y y x 2x
y 1 1 1 0 , 即 0. y y
解得 y -1 或 y > 0 .
函数的值域为 { y | y -1 或 y > 0 } .
1 1 应有 y 1 . 2 2 1 y x 1 2x 的值域应为 ( , ] , 这 说 明 2 “ 方 法1” 中 所 说 的 “ ( x) 0有 实 根 ” 是 必 要 的 . 1 1 (t 1)2 , 2 2
• •
3. 利用 (x) 的值域求 f [ (x) ] 的值域 如果函数 y = f (x) 是关于 (x) 的复合函数, 而 (x) 的值域是易求的，则可由原函数中先解 出 (x) ，而后由 (x) 的值域确定 f (x) 的值域 .
2 x 4 例3 求 函 数 y 的值域 . x 3
解：由原函数， 得
x y 3y 2 x 4,
3y 4 解得 x . y2 3y 4 4 由于 x 0, 0. y 2 . y2 3
4 函数的值域为[ ， 2 ) . 3
1 例 4 求函数 y 2 的值域 . x 2x
又因 f (1) 2 , 函数定义域为 2 ， .
•
6. 利用一元二次方程的根的判别式求一类函数 的值域
例8
x2 2 求函数 y 的 值 域 . 2x2 2 3 x 1
解：去分母得2 y x 2 2 3 y x y x 2 2 ,
(2 y 1) x 2 2 3 y x ( y 2) 0
分式函数求值域问题
分式函数求值域问题的通用解法韩善豪我这里所讲的分式函数指的是一次除一次,二次除一次,一次除二次,二次除二次,具体来看是指一下四种形式： 一次除以一次dcx b ax y ++= 二次除以一次nmx c bx ax y +++=2 一次除以二次cbx ax n mx y +++=2 二次除以二次rnx mx c bx ax y ++++=22 下面我以一些具体的例子来说一说分式函数值域的具体求法;例1.求函数212-+=x x y 的值域; 解析：此题的标准解法叫分离常数 则该函数是由xy 5=向右平移两个单位,向上平移2个单位得到,显然值域为()()+∞⋃∞-,22, 说明：d cx b ax y ++=该函数可以称为是反比例型函数,其值域为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,,c a c a 即⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠c a y y ;另外此函数的对称性和单调性规律也很简单,大家可以试着总结一下; 再随便举一个例子：231-+=x x y 其值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠31y y 例2.求函数xx x y 422++=的值域; 解析：此例子比较简单,分母上的一次只是x ,显然我们可以化简得24++=xx y 则可以用对号函数的单调性解决值域为(][)+∞⋃-∞-,62, 例3.求函数1422+++=x x x y 的值域; 解析：此题和例2其实一样,只不过分母稍复杂一点;令1),0(1-=≠+=t x t x t 代入上式得 所以值域为(][)+∞⋃-∞-,3232,例4.求函数4212+++=x x x y 的值域;解析：此题为一次除以二次的形式,则根据例3当01≠+x 时,我们可以先求出y1的值域为(][)+∞⋃-∞-,3232,,则此时⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈63,00,63y ,当01=+x 时,0=y ,综上进得到该函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈63,63y 例5.求函数113222++++=x x x x y 的值域; 解析：此题可以转化成例4来求;121)1(2123222222+++=+++++=++++=x x x x x x x x x x x x y 仍然是一次除以二次的情况 当0=x 时2=y当0≠x 时[)⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃∈+++=37,22,11112xx y 综上⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈37,1y 说明：分式函数求值域的问题,除了一次除以一次可以口算之外,其余的几种情况基本上都可以转化成对号函数来求;以上几个题目都是我随手编的几个题,只是想给大家展示一下分式求值域通用的规律;后面我会再给大家补充几道涉及到分式求值域的高考题以及高考模拟题;。
关于函数值域的求法
关于函数值域的求法作者：戈秀英来源：《中学生数理化·教研版》2008年第05期函数的值域就是函数值的取值范围，求函数值域是重点，更是难点.学生对函数值域的问题常感到头疼.下面通过典型例题说明求函数值域的几种方法.一、常见函数的值域一次函数y=kx+b（k≠0）的值域为R.二次函数y=ax２+bx+c（a≠0），当a>0时，值域是[4ac-b２，+∞）；当a指数函数y=aｘ（a＞0且a≠1）的值域为R.对数函数y=ｌｏｇaｘ（a>0且a≠1）的值域为R.正余弦函数的值域为[-1，1]，余切函数的值域为R．二、求函数值域的方法1．逆求法．主要适用于形如y=（c不为０）的函数，通过求函数反函数的定义域来确定函数的值域.例1求y=的值域.解:由y=解出x，得x=. ∵ 2y+1≠0，故函数的值域为y≠且y∈R.2．分离常数法．主要适用于具有分式形式的函数解析式，通过变形将函数化成y=a+的形式.例2求函数y=的值域.解:由y=得y=1+. ∵ -1≤sinx≤1 ，∴ -≤y≤-，即函数的值域是[-，-].评注：此题也可把函数转化为sinx=f（y）的形式，则-1≤f（y）≤1确定值域.3．判别式法．能转化为ａ（y）ｘ２+ｂ（y）ｘ+ｃ（y）=0的函数常用判别式法.主要适用于形如y=（a，d不同为零）的函数.例3求函数y=的值域.解:由 y=去分母得（y-1）x２+（1-y）x+y=0. （＊）∵y=1时，方程（＊）无解，∴ y≠1.又∵ x∈R ∴方程（＊）的判别式?驻=（1-y）２-4y （y-1）≥0（y≠1），解得函数的值域是[-，1）.评注:在由?驻≥0且a（y）≠0求出y的最值后，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x 值.4．配方法．形如二次函数或 y=af２（x）+bf（x）+c （a≠0）的函数常用配方法.例4求函数y=sin２x+4cosx+1的值域.解: y=-cos２x+4cosx+2=-（cos２x- 4cosx+4）+6=-（cosx-2）２+6当cosx=-1时，ymin=-3; 当cosx=1时，ymax=5．所以函数的值域是[-3，5].评注:利用配方法时，注意f（x）的取值范围.5．均值不等式法．利用基本不等式求出函数的最值进而确定函数的值域，要注意满足“一正、二定、三等”.例5求函数y=x （-3＜x＜0）的值域.解: y=x=-≥-[]=-.当且仅当x２=9-x２，即x=-时取等号，所以函数的值域是[-，+∞）.评注:利用均值不等式求最值应验证等号成立的条件.6．换元法．通过整体换元法（形如y=ax+b+的函数）或三角换元法（形如y=ax+的函数）把无理函数、指数函数等超越函数转化为代数函数求函数值域的方法.例6求函数y=x-的值域．解：令t=（t≥0），则x=t２+1，y=t２-t+1=（t-）２+.当t=时，ymin=，y没有最大值，所以函数的值域是[，+∞）．评注:应用换元法时，须注意新元的范围.此外，还有数形结合法和导数法等．遇到求函数值域的问题，应首先考虑有哪几种基本方法，有的题目可用几种方法求解，在多种方法中选出最优方法.注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
2012届高考数学(文)一轮复习课件5函数的定义域与值域(人教A版)
答案:B
2019/4/12
5.函数y=f(x)的值域是[-2,2],定义域是R,则函数y=f(x-2)的值域是( )
A.[-2,2]
C.[0,4]
B.[-4,0]
D.[-1,1]
答案:A
2019/4/12
类型一
函数的定义域
解题准备:(1)已知解析式求定义域的问题,应根据解析式中各部分
的要求,首先列出自变量应满足的不等式或不等式组,然后解这
2019/4/12
③当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其
对应关系唯一确定; ④当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定.
2019/4/12
考点陪练
2019/4/12
2019/4/12
考点陪练
1.(2010 湖北)函数 3 A. ,1 4 C.(1, )
2019/4/12
⑨抽象函数f(2x+1)的定义域为(0,1),是指x∈(0,1)而非0<2x+1<1;已
知函数f(x)的定义域为(0,1),求f(2x+1)的定义域时,应由0<2x+1<1 得出x的范围即为所求.
2019/4/12
【典例 1】求函数f x
lg ( x 2 2 x) 9 x
∴要使f(x2)有意义,则必有0≤x2≤1,
解得-1≤x≤1.
∴f(x2)的定义域为[-1,1].
2019/4/12
②由0≤ x 1≤1得1≤ x≤2.1≤x≤4(x≥0时, x才有意义) 函数f ( x 1)的定义域为1, 4 2 f lg x 1 的定义域为 0,9 , 0≤x≤9,1≤x 1≤10, 0≤lg x 1 ≤1 f x 的定义域为 0,1.由0≤2 x ≤1, 解得x≤0. f 2 x 的定义域为 , 0 .
函数详解之分式函数
函数详解之分式函数30.函数xa x x f -=2)(的定义域为(0，1]（a 为实数）．⑴当1-=a 时，求函数)(x f y =的值域；⑵若函数)(x f y =在定义域上是减函数，求a 的取值范围；⑶求函数)(x f y =在x ∈(0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值．解：（1）显然函数)(x f y =的值域为),22[∞+；（2）若函数)(x f y =在定义域上是减函数，则任取∈21,x x ]1.0(且21x x <都有)()(21x f x f > 成立， 即0)2)((2121>+-xx ax x 只要212x x a -<即可，由∈21,x x ]1.0(，故)0,2(221-∈-x x ，所以2-≤a ， 故a 的取值范围是]2,(--∞； （3）当0≥a 时，函数)(x f y =在]1.0(上单调增，无最小值， 当1=x 时取得最大值a -2；由（2）得当2-≤a 时，函数)(x f y =在]1.0(上单调减，无最大值， 当x ＝1时取得最小值2－a ；当02<<-a 时，函数)(x f y =在].0(22a-上单调减，在]1,[22a -上单调增，无最大值，当22a x-=时取得最小值a22-．31.已知函数21()(0,0,)ax f x a b c R bx c+=>>∈+是奇函数，当0x >时，有()f x 最小值2，其中b N ∈，且5(1)2f =．(Ⅰ)试求函数()f x 的解析式；(Ⅱ)问函数()f x 的图像上是否存在关于点（1,0）对称的两点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 解 (Ⅰ)由2211()()ax ax f x f x bx cbx c++-=-⇒=--++，即bx c bx c -+=--，0c ∴= ……………………………………………2分0,0,0a b c >>= ，21()ax f x bx+∴=b a∴= ……………………4分又515(1)22a f b+<∴<，即221525202b b b b+<⇒-+<12()1,2b b N b⇒<<∈⇒=∴11abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩……………………………6分(Ⅱ)设00(,)M x y关于点(1,0)的对称点为N，则00(2,)N x y--，………………8分00020000121122y xxx xy xx⎧=+⎪⎪∴⇒--⎨⎪-=-+⎪-⎩⇒01222xy⎧=+⎪⎨=⎪⎩或01222xy⎧=-⎪⎨=-⎪⎩…………11分∴存在两点(12,22)M+与(12,22)N--关于点(1,0)对称.………12分32.已知函数2211()af xa a x+=-，常数0>a．（1）设0m n⋅>，证明：函数()f x在[]m n，上单调递增；（2）设0m n<<且()f x的定义域和值域都是[]m n，，求常数a的取值范围．解:（1）任取1x，],[2nmx∈，且12x x<，12122121()()x xf x f xa x x--=⋅，因为12x x<，1x，],[2nmx∈，所以12x x>，即12()()f x f x<，故)(xf在],[nm上单调递增．或求导方法．（2）因为)(xf在],[nm上单调递增，)(xf的定义域、值域都是⇔],[nm(),()f m m f n n==，即nm,是方程2211aa a xx+=-的两个不等的正根1)2(222=++-⇔xaaxa有两个不等的正根．所以04)2(222>-+=∆aaa，222a aa+>⇒12a>33.已知定义域为R的函数abxfxx++-=+122)(是奇函数.（1）求a,b的值；（2）若对任意的Rt∈，不等式0)2()2(22<-+-ktfttf恒成立，求k的取值范围.解（1）因为)(xf是R上的奇函数，所以1,021,0)0(==++-=babf解得即从而有.212)(1axfxx++-=+又由aaff++--=++---=1121412)1()1(知，解得2=a（2）解法一：由（1）知,121212212)(1++-=++-=+xx xx f由上式易知)(x f 在R 上为减函数，又因)(x f 是奇函数，从而不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 等价于).2()2()2(222k t f k t f t t f +-=--<-因)(x f 是R 上的减函数，由上式推得.2222k t t t +->- 即对一切,0232>--∈k t t R t 有从而31,0124-<<+=∆k k 解得解法二：由（1）知,2212)(1++-=+x xx f又由题设条件得0221222121221222222<++-+++-+--+--k t kt t t tt即0)12)(22()12)(22(2222212212<+-+++-+-+--+-kt t t tt k t整理得12232>--kt t，因底数2>1，故0232>--k t t上式对一切R t ∈均成立，从而判别式.31,0124-<<+=∆k k 解得34.已知函数()a f x x x =-.(1)若13log [8()]y f x =-在[1,)+∞上是单调减函数,求实数a 的取值范围;(2)设1,a x y k =+=,若不等式22()()()2k f x f y k≥-对一切,(0,)x y k ∈恒成立,求实数k的取值范围.解: (1)令8a t x x=-+,则要使13log [8()]y f x =-在[1,)+∞上是单调减函数,则/21080a t xa t x x ⎧=-≥⎪⎪⎨⎪=-+>⎪⎩在[1,)+∞上恒成立,则21180a x a ⎧≥-≥-⎨-+>⎩所以, 19a -≤< (7)分 (2) 2222111()()()()()x y x yf x f y x y x y xy-++=--=222221212(0)4k xy x yk kxy xy xyxy-++-==++<≤. (10)分 令u xy=,则221()()2,(0,]4k kf x f y u u u-=++∈当2214kk -≥即0252k <≤-时,21()()2k f x f y u u -=++在2(0,]4ku ∈上为减函数,所以 2222min22142[()()]22()4424kk kk f x f y kkk-=++=+-=-即当0252k <≤-时,22()()()2k f x f y k≥-……………………………12分 当2214kk -<,222min 242[()()]2122()42kk f x f y k kk=-+<+-=-与题意不合.所以,所求的k 的取值范围为 : 0252k <≤-. ………………………14分35.（本小题满分14分）设关于x 的方程2x 2－ax －2=0的两根为α、β（α＜β），函数14)(2+-=x a x x f ．（Ⅰ）求f (α)·f (β)的值；（Ⅱ）证明f (x )是[α，β]上的增函数；（Ⅲ）当a 为何值时，f (x )在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小？ 解：（Ⅰ）由题意知α＋β＝2a ，α·β＝－1，∴α2＋β2＝242+a，∴f (α)·f (β)＝1)(41614142222222+++++-=+-⋅+-ββαβααβββααa aa a a41241216222－=++++--=aa a ．……………………………………………………… 4分（Ⅱ）证明：当α≤x ≤β时，22\22\\)1()1)(4()1()4()(++--+-=xx a x xa x x f222222)1()22(2)1(2)4()1(4+---=+⋅--+=x ax x x xa x x ………… 6分∵α、β是方程2x 2－ax －2=0的两根， ∴当α≤x ≤β时，恒有2x 2－ax －2≤0， ∴)(\x f ≥0，又)(x f 不是常函数，∴)(x f 是[α，β]上的增函数．……………………………………………… 9分 （Ⅲ）f (x )在区间[α，β]上的最大值f (β)＞0，最小值f (α)＜0，又∵| f (α)·f (β) |＝4， ……………………………………………………… 10分 ∴f (β)－f (α)＝| f (β)|＋| f (α)|≥4)()(2=⋅βαf f当且仅当| f (β)|＝| f (α)|＝2时取“＝”号，此时f (β)＝2，f (α)＝－2 …… 11分∴⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-)2(022)1(21422 ββββa a……………………………………… 13分由（1）、（2）得0)16(2=+a a ，∴a ＝0为所求．…………………………………………………… 14分 36.已知函数)0()(>+=t xt x x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ．（Ⅰ）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式；（Ⅱ）是否存在t ，使得M 、N 与)1 , 0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64 , 2[nn +内总存在1+m 个实数m a a a ,,,21 ，1+m a ，使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求m 的最大值．解：（Ⅰ）设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，21)(xt x f -='， ∴切线PM 的方程为：))(1()(12111x x x t x t x y --=+-，又 切线PM 过点)0,1(P ， ∴有)1)(1()(012111x x t x t x --=+-，即02121=-+t tx x ， ………………………………………………（1） …… 2分同理，由切线PN 也过点)0,1(P ，得02222=-+t tx x ．…………（2） 由（1）、（2），可得21,x x 是方程022=-+t tx x 的两根，⎩⎨⎧-=⋅-=+∴. ,22121t x x t x x ………………（ * ） ……………………… 4分22211221)()(x t x x t x x x MN --++-=])1(1[)(221221x x t x x -+-=])1(1][4)[(22121221x x t x x x x -+-+=，把（ * ）式代入,得t t MN 20202+=,因此，函数)(t g 的表达式为)0( 2020)(2>+=t t t t g ． ……………………5分（Ⅱ）当点M 、N 与A 共线时，NA MA k k =，∴1111--+x x t x ＝1222--+x x t x ，即21121x x t x -+＝22222x x t x -+，化简，得0])()[(211212=-+-x x x x t x x ，21x x ≠ ，1212)(x x x x t =+∴． ………………（3） …………… 7分把（*）式代入（3），解得21=t ．∴存在t ，使得点M 、N 与A 三点共线，且 21=t ． ……………………9分（Ⅲ）解法1：易知)(t g 在区间]64,2[nn +上为增函数，∴)64()()2(nn g a g g i +≤≤)1,,2,1(+=m i ，则)64()()()()2(21n n g m a g a g a g g m m +⋅≤+++≤⋅ ．依题意，不等式)64()2(nn g g m +<⋅对一切的正整数n 恒成立， …………11分)64(20)n6420(n 22022022nn m +++<⋅+⋅，即)]64()n64[(n 612nn m +++<对一切的正整数n 恒成立，．1664≥+nn ， 3136]1616[61)]64()n64[(n 6122=+≥+++∴nn ，3136<∴m ．由于m 为正整数，6≤∴m ． ……………………………13分 又当6=m 时，存在221====m a a a ，161=+m a ，对所有的n 满足条件． 因此，m 的最大值为6． ……………………………14分 解法2：依题意，当区间]64,2[nn +的长度最小时，得到的m 最大值，即是所求值．1664≥+nn ，∴长度最小的区间为]16,2[， …………………11分当]16,2[∈i a )1,,2,1(+=m i 时，与解法1相同分析，得)16()2(g g m <⋅，解得3136<m ．37.已知函数xa x y +=有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．（1）如果函数y ＝x ＋x b2（x ＞0）的值域为[6，＋∞)，求b 的值； （2）研究函数y ＝2x ＋2xc（常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数y ＝x ＋xa 和y ＝2x ＋2xa （常数a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F ＝nx x )1(2+＋nx x)1(2+（n 是正整数）在区间[21，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．（理）解：（1）函数2(0)by x x x=+>的最小值是2b2，则226b=，∴2log 9b =（2）设120x x <<，222221212122222112()(1)c c c y y x x x x xxx x-=+--=--⋅.当412c x x <<时，21y y >，函数22c y x x=+在[4c ,+∞)上是增函数；当4120x x c <<<时，21y y <，函数22c y x x=+在(0,4c ]上是减函数.又22c y x x=+是偶函数，于是，该函数在(－∞,－4c ]上是减函数, 在[－4c ,0)上是增函数；（3）可以把函数推广为(0)n na y x a x=+>，其中n 是正整数.当n 是奇数时,函数n na y x x=+在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数,在(－∞,－na 2]上是增函数, 在[－n a 2,0)上是减函数；当n 是偶数时,函数n na y x x=+在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数, 在(－∞,－na 2]上是减函数, 在[－n a 2,0)上是增函数；21()()nF x x x=++nx x)1(2+=)1()1()1()1(323232321220nnn n rn rn r n n n n nnn xx C xx C xxC xxC ++++++++----因此()F x 在 [21,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数.所以，当12x =或2x =时，()F x 取得最大值9924nn⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当1x =时，()F x 取得最小值12n +.38已知函数()()2211xf x x R x x-=∈++.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值； （Ⅱ）若()2220t t t e x e x e +++-≥对满足1x ≤的任意实数x恒成立，求实数t 的取值范围（这里e 是自然对数的底数）；（Ⅲ）求证：对任意正数a 、b 、λ、μ，恒有2222a b a b a b f f λμλμλμλμλμλμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥22a b λμλμ+-+.【解】（Ⅰ）()()()()()()()()22222223232121111x x x x xx x f x x x x x ⎡⎤⎡⎤---+⋅----++-+-⎣⎦⎣⎦'==++++∴()f x 的增区间为()23,23---+，()f x 减区间为(),23-∞--和()23,-++∞.极大值为()23233f -+=，极小值为()23233f --=-.…………4′（Ⅱ）原不等式可化为()22211t x e x x-++≥由（Ⅰ）知，1x ≤时，)(x f 的最大值为332.∴()22211xx x-++的最大值为433，由恒成立的意义知道433t e ≥，从而433t ln≥…8′（Ⅲ）设()()()22101xg x f x x x x x x-=-=->++则()()()()()243222224124621111x x x x x x g x f x x x x x -++++++''=-=-=-++++.∴当0x >时，()0g x '<，故()g x 在()0,+∞上是减函数，又当a 、b 、λ、μ是正实数时，()()222220a b a b a bλμλμλμλμλμλμ-⎛⎫++-=- ⎪+++⎝⎭≤ ∴222a b a bλμλμλμλμ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭≤. 由()g x 的单调性有：222222a b a b a b a b f f λμλμλμλμλμλμλμλμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++--⎢⎥⎪ ⎪ ⎪++++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥， 即222222a b a b a b a bf f λμλμλμλμλμλμλμλμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪++++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥.…………12′ 39.(本题12分) 已知函数()1bx c f x x +=+的图象过原点，且关于点（-1,1）成中心对称．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若数列{}n a (*)n N ∈满足：()2110,1,()n n n a a a f a +>==，求数列{}n a 的通项n a ； （Ⅲ）若数列{}n a 的前n 项和为n S ,判断n S 与2的大小关系，并证明你的结论． 解 (Ⅰ) 因为函数()1bx c f x x +=+ 的图象过原点，所以c =0，即()1bx f x x =+.又函数()11bx bf x b x x ==-++的图象关于点（-1，1）成中心对称，所以1,()1xb f x x ==+。
分式函数的定义域,值域
分式函数的定义域,值域
分式函数：
一、定义域
1. 分式函数的定义域是指该函数在有效定义时它的变量可以取到哪些值，可以表示为x∈R（R表示实数集）。
2. 将分式表示为y=P(x)/Q(x)（P（x）为真分子，Q（x）为真分母），则如果当Q（x）的系数大于零，那么它的变量x的值必须是实数；如果Q（x）的系数等于零，那么它的变量x既可以取实数，也可以取其他特定值。
3. 当Q（x）的次幂大于等于一时，则一部分真分母可以去掉，而去掉后的定义域不变。
二、值域
1. 值域是指函数的输出，也就是y的值的范围。
当Q（x）的系数大于零时，值域为 x∈RE:(微函数为0)。
2. 当Q（x）的系数等于零时，值域为y=+∞或-∞（取决于微函数的符号）。
3. 当Q（x）的次幂大于等于一时，则可以去掉一部分真分母，而去掉后的值域不变。
函数专题：函数值域的6种常用求法-【题型分类归纳】
函数专题：函数值域的6种常用求法一、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作y max＝f(x0)．2、最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作y min＝f(x0)．3、几何意义：函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．二、求函数值域的6种常用求法1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．（1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则y max＝f(b)，y min＝f(a)．（2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则y max＝f(a)，y min＝f(b)．（3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．（2）()f x的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该()f x函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围． （2）换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理 5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如+=+ax b y cx d或2++=+ax bx e y cx d （a ，c 至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法以+=+ax by cx d为例，解题步骤如下： 第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成=++a ey c cx d的形式， 第二步，求出函数=+e y cx d 在定义域范围内的值域，进而求出+=+ax by cx d的值域。
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x x 1 ≤ = 当且仅当 1= x 2 ，即 x =1 时等号成立。所以当 x ≥ 0 时函数值域为 2 1+ x 2x 2 −1 1 , 。因此由奇函数性质可知，函数在 R 的值域为 。 2 2
[
]
解三、利用导数求解。
0.4 0.2 10 5 0.2 0.4 5 10
域或基本不等式有关。 练习：求下列函数的值域 (1)
f ( x )=2x +
8 x
4 x
f ( x )=sin x +
4 sin x
(2)
f ( x )=− x +
三、典型类型 第Ⅰ类型 形如
f ( x )=
ax 2 的函数，这里分母无零因子，即 a ' x +b ' x +c = 0 无解。 a ' x + b ' x +c
解：
f ( x )=
x+5 x 2+ x +1 ( x 2− 4 )+( x +5 ) x +5 = =1+ 2 。令 g ( x )= 2 ，则 f ( x )=1+ g ( x ) 。 2 2 x −4 x −4 x −4 x −4
把问题转化为第Ⅴ类型（过程省略...）
第 5 页 /共 5 页f ( x )= x源自+1 的图像与性质 x
（1）函数定义域为 x ≠ 0
5
（2）导数为
3 2 1 1 2 3
f ' ( x )=1−
1 x2
（3）计算驻点。令
f ' ( x )=0 解之可得 x =±1
5
（4）利用驻点分划定义域为 (−∞ , −1)(−1,0 )( 0,1 )( 1,+∞) （5）列表利用导数来判断函数的单调性与极值点
负 减
负 减
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由图像可知函数值域为 R 。 注：(1)这里的 x =±1 ，是函数的垂直渐近线(即分母没有意义的点)。 (2) y =0 仍是函数的水平渐近线。 第Ⅴ类型 形如
f ( x )=
a x +b 2 的函数，这里分母有零因子，即 a ' x +b ' x +c = 0 有解。 a ' x 2+ b ' x +c t −b ，把 f ( x ) 转化成 t 的函数。 a
第Ⅵ类型 形如 f ( x )=
a2 x+b x+ c 2 的函数，这里分母有零因子，即 a ' x +b ' x +c = 0 有解。 2 a ' x + b ' x +c
处理该类型的方法为：确保分子的次数比分母低，此时可把函数转化成第Ⅳ类型或第Ⅴ类型来求解。 例 6：求 f ( x )=
x 2+ x + 1 值域 x 2− 4
解一、
f ( x )=
2.2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 6 4 2 2 4 6
解二、利用导数计算（具体计算过程省略...）
以上三种类型的分母均没有零点，下面考虑分母可以取零点的情况。 第Ⅳ类型 形如
f ( x )=
ax 2 的函数，这里分母有零因子，即 a ' x +b ' x +c = 0 有解。 a ' x + b ' x +c
解一、（1）当 x ≠ 0 时，有
f ( x )=
(2)当 x = 0 时，有
f ( 0 )=0 。所以，综合（1）（2）可知函数值域为
[
−1 1 , 2 2
]
解二、利用基本不等式求解。该函数显然为奇函数，根据奇函数关于原点中心对称，所以只需要求其在 ( 0,+∞) 的值域即可。
f ( x )=
[ ]
（1）函数定义域为 R （2）导数为 f ' ( x )= （3）计算驻点。令
1− x 2 2 ( x +1 )
2
f ' ( x )=0 解之可得 x =±1
（4）利用驻点分划定义域为 (−∞ , −1)(−1,1 )( 1,+∞) （5）列表利用导数来判断函数的单调性与极值点
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(−∞ , −1) f ' ( x) f (x )
负 减
−1 0 −1 / 2
(−1,1)
正 增 。
1 0 1/ 2
( 1,+∞)
负 减
根据函数的单调性可知函数的值域为
[
−1 1 , 2 2
]
a x +b 2 的函数，这里分母无零因子，即 a ' x +b ' x +c = 0 无解。 2 a ' x + b ' x +c t −b 处理该类型的方法为：作变量替换令 a x +b =t 则 x = ，把 f ( x ) 转化成 t 的函数。 a x −1 例 2：求函数 f ( x )= 2 的值域。 x +1 t t = 2 解一：令 t = x −1 则 x = t +1, t ∈ R 。所以 f ( t )= 此时把函数转化为第Ⅰ 2 ( t +1) +1 t +2t +2 1 2 1 类型的函数，即 f ( t )= 。这里令 u ( t )= t + , f ( u )= .（具体求解过程省略...） t + 2 / t +2 t u+2
第Ⅱ类型 形如
f ( x )=
解二：利用导数求解。
0.2 5 5
（1）定义域为 R
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
− x 2+ 2 x + 1 （2）导数为 f ' ( x )= ( x 2+1 )2 （3）计算驻点。令 f ' ( x )=0 ，解之可得 x =1 ±√ 2 （4）利用驻点划分定义域 (−∞ , −√ 2 )(−√ 2 , √ 2 )( √ 2 ,+∞)
2
处理该类型的方法为：分子分母同时除以 x 。 例 1：求函数
f ( x )=
x 的值域。 x +1
2
x 1 1 = ，此时可令 u = x + （注意这里函数 2 x 1 + x x +1 / x 1 u ( x ) 的定义域为 x ≠ 0 ，而原函数的定义域则为一切实数）。则 f ( u )= ，由基本知识点中的 u 1 1 1 1 可知函数 u ( x ) 的值域为 ∣u∣≥ 2 ，所以 0 <∣ f ( u )∣≤ ，即 f ( x )∈[− , 0 )∪( 0, ] 。 2 2 2
f ( t )=
3 1 1 。令 u ( t )= t − , f ( t )= 这里根据基本知识点 2 中的 t u ( t )+2 t −3 / t + 2
结论可以计算其值域（省略...） (2)当 t =0 时，此时 x =1, f ( 1 )=0 注：像例 4 一样，这里可以使用导数来计算。
正 增
( 0,+∞)
正 增
此函数图像为图中红色曲线，该函数有两个零点，即 x =±1 ，值域为一切实数。 注：这两个函数有共同的渐进线方程即 x = 0, y = x ；这两个函数在高中数学中将频繁出现，大多与值
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（2）导数为 f ' ( x )= 个区间上是递减的 （4）利用驻点划分定义域 (−∞ , −1)(−1,1 )( 1,+∞) ；与定义 域一致。 （5）列表利用导数来判断函数的单调性与极值点。
(−∞ , −1) f ' ( x) f (x )
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(−1,1)
负 减
( 1,+∞)
处理该类型的方法为：确保分子的次数比分母低，此时可把函数转化成第Ⅰ类型或第Ⅱ类型来求解。 例 3：求函数
f ( x )=
x 2+ x + 2 的值域 x 2+1
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2 2 x +1 x + x +2 ( x +1 )+( x +1 ) x +1 = = 1+ 2 。令 g ( x )= 2 则 f ( x )=1+ g ( x ) 。 2 2 x +1 x +1 x +1 x +1 这里的 g ( x ) 是第Ⅱ类型的函数（计算过程省略...）。函数图像如下所示，这里 y =1 是其渐进线。
f ( x )= x −
1 的图像与性质 x
（1）函数定义域为 x ≠ 0 （2）导数为
f ' ( x )=1+
1 2 x
（3）计算驻点。令
f ' ( x )= 0 无解，此时函数无驻点，即函数在各个定义区间上是单调递增的。
（4）列表利用导数来判断函数的单调性与极值点
(−∞ , 0 ) f ' ( x) f (x )
（5）列表利用导数来判断函数的单调性与极值点(省略...)。
注：利用导数来计算其值域，可能会导致计算量增大，就如该题一样。这里计算出的极值点带有根号， 会增加计算的复杂程度。在具体的计算过程中，应尽可能避免出现根号运算。