附录2(分式函数求值域方法总结)
分式函数求值域问题
分式函数求值域问题的通用解法韩善豪我这里所讲的分式函数指的是一次除一次,二次除一次,一次除二次,二次除二次,具体来看是指一下四种形式： 一次除以一次dcx b ax y ++= 二次除以一次nmx c bx ax y +++=2 一次除以二次cbx ax n mx y +++=2 二次除以二次rnx mx c bx ax y ++++=22 下面我以一些具体的例子来说一说分式函数值域的具体求法;例1.求函数212-+=x x y 的值域; 解析：此题的标准解法叫分离常数 则该函数是由xy 5=向右平移两个单位,向上平移2个单位得到,显然值域为()()+∞⋃∞-,22, 说明：d cx b ax y ++=该函数可以称为是反比例型函数,其值域为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,,c a c a 即⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠c a y y ;另外此函数的对称性和单调性规律也很简单,大家可以试着总结一下; 再随便举一个例子：231-+=x x y 其值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠31y y 例2.求函数xx x y 422++=的值域; 解析：此例子比较简单,分母上的一次只是x ,显然我们可以化简得24++=xx y 则可以用对号函数的单调性解决值域为(][)+∞⋃-∞-,62, 例3.求函数1422+++=x x x y 的值域; 解析：此题和例2其实一样,只不过分母稍复杂一点;令1),0(1-=≠+=t x t x t 代入上式得 所以值域为(][)+∞⋃-∞-,3232,例4.求函数4212+++=x x x y 的值域;解析：此题为一次除以二次的形式,则根据例3当01≠+x 时,我们可以先求出y1的值域为(][)+∞⋃-∞-,3232,,则此时⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈63,00,63y ,当01=+x 时,0=y ,综上进得到该函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈63,63y 例5.求函数113222++++=x x x x y 的值域; 解析：此题可以转化成例4来求;121)1(2123222222+++=+++++=++++=x x x x x x x x x x x x y 仍然是一次除以二次的情况 当0=x 时2=y当0≠x 时[)⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃∈+++=37,22,11112xx y 综上⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈37,1y 说明：分式函数求值域的问题,除了一次除以一次可以口算之外,其余的几种情况基本上都可以转化成对号函数来求;以上几个题目都是我随手编的几个题,只是想给大家展示一下分式求值域通用的规律;后面我会再给大家补充几道涉及到分式求值域的高考题以及高考模拟题;。
分式型函数求值域的方法探讨
分式型函数求值域的方法探讨在教学中，笔者常常遇到一类函数求值域问题， 此类函数是以分式函数形式出现， 有次式比一次式，二次式比一次式，一次式比二次式，二次式比二次，现在对这类问题进行探讨。
ax b一、形如f(x)(a o,b 0)(一次式比一次式)在定义域内求值域。
cx d 2x 1 2例1 ：求f (x)( x )的值域。
3x 23其值域为 y/y —3ax bd一般性结论，f (x)( a o,b 0 )如果定义域为x/ x,则值域cx d c/ a y/yc2x 1例2 :求f(x)，x 1,2的值域。
3x 2分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值 域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。
X4 一33X1-3 X1一21-3 X12x 1 2 3解：f(x) 么」=二 3，是由y3x 2 3 3x 23 5像观察，其值域为 -，—5 813向左平移-，向上平移-得出，通过图x3 3/V f小结：函数关系式是一次式比一次式的时候，我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的，因此我们可以作出其图像，去求函数的值域。
a二、形如求f(X) x -( a 0)的值域。
x分析：此类函数中，当a 0，函数为单调函数，较简单，在此我们不做讨论，当 a 0时,对函数求导，f'(x) 1 弓，f'(x) 0时，x (，掐) 掐，)，f'(x) 0时，xx ( ..a,0) (0,a)，根据函数单调性，我们可以做出此类函数的大致图像，其我们常说的双勾函数，通过图像求出其值域。
当然在某些时候可以采用基本不等式来解决4 例3：求f(x) 2x , (x (1,4)上的值域。
x2 i~解：将函数整理成f(x) 2(x -)，根据双钩函数的性质，我们可以判断此函数在(0八2)x单调递减，在(、..2,)上递增，其在2处取最小值，比较1，4出的函数值，我们可以知道在1处取的最大值，所以其值域为4、2,6(m 0,a 0)在定义内求值域的问题。
分式函数三种值域求法
分式函数三种值域求法
在求解分式函数的值域时，通常可以使用以下三种方法：
1. 构造法：通过对分式函数进行构造，确定函数的值域范围。
具体步骤如下：
- 将分式函数表示为一个等式，将等式中的分母进行因式分解，找出分母的零点，得到不可取的值。
- 根据分式函数的定义域限制和函数的性质，确定分子函数和分母函数的值域范围。
- 根据值域范围的限制，求解分式函数的值域。
2. 导数法：对分式函数求导，利用导数的性质来确定值域范围。
具体步骤如下：
- 首先找到分式函数的定义域，并求出其导数。
- 根据导数的增减性分析函数的单调性，并确定函数的极值点。
- 根据函数的单调性和极值点，确定值域范围。
3. 图像法：通过绘制函数的图像，观察其图像特征来确定函数的值域范围。
具体步骤如下：
- 绘制分式函数的图像，可以使用计算机软件、图
形计算器等工具。
- 观察图像的函数曲线，确定函数的最大值、最小值和区间。
- 根据图像的特征，确定函数的值域范围。
这三种方法可以根据具体情况选择使用，有时也可以结合使用以求得更准确和全面的值域范围。
在实际应用中，可以根据具体的分式函数和问题的要求来选择适合的方法。
分式函数三种值域求法
分式函数三种值域求法（原创实用版）目录1.引言2.分式函数的定义和性质3.三种值域求法a) 直接法b) 反函数法c) 数形结合法4.实际应用举例5.总结正文一、引言分式函数是数学中一种重要的函数类型，它在各个领域中都有着广泛的应用。
在研究分式函数的过程中，值域问题是一个关键环节。
为了更好地理解和解决这个问题，本文将为大家介绍三种求分式函数值域的方法。
二、分式函数的定义和性质分式函数是指形如 f(x)=a(x)/b(x)（a(x)、b(x) 为多项式，且 b(x)≠0）的函数。
在研究分式函数时，我们需要关注它的定义域、值域、单调性等性质。
三、三种值域求法1.直接法直接法是最简单也最容易理解的方法。
它主要通过分析函数的性质和结构，直接求出函数的值域。
具体操作步骤如下：a) 确定函数的定义域；b) 分析函数的单调性；c) 求出函数的最大值和最小值；d) 得出函数的值域。
2.反函数法反函数法是通过求解原函数的反函数，从而得到原函数的值域。
具体操作步骤如下：a) 求出原函数的反函数；b) 求出反函数的定义域；c) 根据反函数的定义域得出原函数的值域。
3.数形结合法数形结合法是将函数的性质与图形结合起来求解值域的方法。
具体操作步骤如下：a) 画出函数的图形；b) 观察图形的特征，如渐近线、极值点等；c) 根据图形特征得出函数的值域。
四、实际应用举例假设有一个分式函数 f(x)=(x^2+1)/(x^2-1)，我们需要求出它的值域。
1.使用直接法：首先确定定义域为{x|x≠±1}，然后分析函数的单调性，得出函数的最大值为 2，最小值为 -2。
因此，函数的值域为 (-∞,-2]∪[2,+∞)。
2.使用反函数法：求出原函数的反函数为 f^-1(x)=±√(1+x^2)，然后求出反函数的定义域为 R，因此原函数的值域为 R。
3.使用数形结合法：画出函数的图形后，观察到函数的渐近线为 y=±1，因此函数的值域为 (-∞,-1]∪[1,+∞)。
求分式函数值域的几种方法
求分式函数值域的几种方法摘要：在高中数学教学、乃至高中毕业会考题和高考中，经常遇到求分式函数值域的问题.关于分式函数的值域的求法，是高中数学教学中的一个难点.通过对分式函数的研究总结了求其值域的常见几种方法：配方法，反函数法，判别式法，单调性法，换元法（根式代换、三角代换等），不等式法，方程法，斜率法等.关键词：分式函数 值域 方法.1 引言求分式函数值域是函数值域问题中的一个重要内容，它不仅是一个难点、重点，而且是解决函数最值问题的一个重要工具．关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，归纳起来，常用的方法有：配方法，反函数法，判别式法，单调性法，换元法（根式代换、三角代换等），不等式法，方程法，斜率法等.本文就中学阶段出现的各种类型的分式函数值域问题运用以上初等方法进行分析．2 求分式函数值域的常见方法 2.1 用配方法求分式函数的值域如果分式函数变形后可以转化为2122ay b a x b x c =+++的形式则我们可以将它的分母配方，用直接法求得函数的值域.例1 求21231y x x =-+的值域. 解：2131248y x =⎛⎫--⎪⎝⎭，因为231248x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≥18-，所以函数的值域为：(],8-∞-∪()0,+∞.例2 求函数221x xy x x -=-+的值域.解：2111y x x -=+-+， 因为22112x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭34+≥34，所以34-≤2101x x -<-+， 故函数的值域为1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.先配方后再用直接法求值域的时候，要注意自变量的取值范围.取“=”的条件.2.2 利用判别式法求分式函数的值域我们知道若()200,,ax bx c a a b R ++=≠∈有实根，则24b ac ∆=-≥0常常利用这一结论来求分式函数的值域.例1 求223434x x y x x -+=++的值域.解：将函数变形为()()()2133440y x y x y -+++-=①，当1y ≠时①式是一个关于x 的一元二次方程. 因为x 可以是任意实数， 所以∆≥0，即()()()334144y y y +---7507y y =-+-≥0， 解得，17≤y ≤1或1y <≤7，又当1y =时，0x =，故函数的值域为1,77⎡⎤⎢⎥⎣⎦.例2 函数2221x bx cy x ++=+的值域为[]1,3，求b ，c 的值.解：化为()20y x bx y c --+-=，⑴当2y ≠时()()42x R b y y c ∈⇒∆=---≥0，⇒()224428y c y c b -++-≥0，由已知()2244280y c y c b -++-=的两根为1，3， 由韦达定理得，2c =，2b =±. ⑵当2y =时20cx b-==有解 综上⑴和⑵，2b =±，2c =.由这两个例题我们知道在利用判别式法求分式函数的值域时要注意下列问题： 1、函数定义域为R （即分母恒不为0）时用判别式求出的值域是完备的.2、当x 不能取某些实数时（分母为零），若要用判别式法求它的值域则需要对使()22222111y a x b x c a x b x c ++=++的判别式0∆=的y 值进行检验.3、转换后的一元二次方程若二次项系数中含有字母则需要讨论其是否为0只有在其不为0的情况下才可以使用判别式法.2.3 利用函数单调性求分式函数的值对于求函数的值域问题，我们通常使用能够揭示此类函数本质特征的通性通法即利用函数的单调性来求其值域.例1求函数21(,1)1x y x R x x -=∈≠-+的值域. 解：211x y x -=+=2(1)31x x +-+321x =-+， 当1x >-时，31x +是x 减函数进而y 是x 的增函数，于是(),2y ∈-∞-； 当1x <-时，同样y 是x 的增函数，于是y ∈()2,+∞； 所以211x y x -=+(1)x ≠-的值域为(),2-∞-∪()2,+∞. 在求分式函数时我们常运用函数ay x x=+的单调性的结论： ⑴当0a >时在(-∞和)+∞上增函数，在)⎡⎣和(上是减函数.⑵当0a <时在(),0-∞和()0,+∞上是增函数.例2 求函数24xy x x =-+（1≤x ≤3）的值域. 解：0x ≠所以41xy x x=+-.令4t x x=+在[]1,2上是减函数，在[]2,3是上增函数，所以2x =时，min 4t =；1x =时，max 5t =； 所以[]4,5t ∈，[]13,t t -∈，故值域为11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦.2.4 利用反函数法求分式函数的值域设()y f x =有反函数，则函数()y f x =的定义域是它反函数的值域，函数()y f x =的值域是其反函数的定义域.那么如果一个分式函数的反函数存在，我们就可以通过求反函数的定义域来求其值域.例1求函数251xy x =+的值域. 解：由于函数251x y x =+1()5x ≠-的映射是一一映射因此反函数存在，其反函数为25x y x =- 明显知道该函数的定义域为2|5x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭， 故函数的值域为2,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭∪2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.说明：由于本方法中所具有的某些局限性，一般说来，用此方法求值域只用ax by cx d+=+(c≠0)的函数，并且用此方法求函数的值域，也不是比较理想的方法.我们用这种方法目的是找关于y 的不等式所以反函数求值域的实质是反函数的思想树立这种思想是我们的宗旨.下面这种方法就是利用了反函数的思想比较通用的方法.2.5 利用方程法求分式函数的值域在1999年第2期《数学教学》第38页给出了下面的结论和证明.对函数()y f x =()x D ∈将其视为方程若能通过同解变形得到单值函数()x g y =*()y A ∈即()y f x =()x D ∈⇔()x g y =*()y A ∈则*A 即为()y f x =的值域利用这一结论函数问题转化为方程问题.又在2006年第2期《数学教学》“用方程法求函数值域”一文中给出了这样的引理及其证明.引理：设函数()y f x =的定义域为A 值域为B ，又设关于x 的方程()y f x =在A 中有解的y 的取值集合为C ，则C B =.例1 （2005年全国高考理科卷Ⅲ第22题）已知函数247()2x f x x -=-[]0,1x ∈求函数()f x 的值域解：247()2x f x x-=-，[]0,1x ∈，所以2247y xy x -=-，[]0,1x ∈， 即24(72)0x yx y +-+=，[]0,1x ∈.这样函数的值域即为关于x 的方程24(72)0x yx y +-+=在[]0,1x ∈内有解的y 的取值集.令()g x =24(72)x yx y +-+，[]0,1x ∈，则关于x 的方程24(72)0x yx y +-+=在[]0,1x ∈内有解⇔(0)(1)g g ⋅≤0或(0)0(1)00122444(72)0g g b ya b ac y y >⎧⎪>⎪⎪⎨<-=-<⎪⨯⎪-==⨯--≥⎪⎩⇔72-≤y ≤3-或4-≤y ≤72-⇔4-≤y ≤3， 即所求函数的值域为[]4,3--.2.6 利用换元法求分式函数的值域当题目的条件与结论看不出直接的联系（甚至相去甚远）时，为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（或几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向.换元法是一种重要的数学解题方法，掌握它的关键在于通过观察、联想，发现与构造出变换式（或新元换旧式、或新式换旧元、或新式换旧式）.在中学数学问题中，常见的基本换元形式有式代换、三角代换、点代换、参数代换等.例1求函数]0,1[,5444)(22-∈++++=x x x x x x f 的值域． 解：令2+=x t ，则]1,21[1,1111222∈+=+=t t t t y ．因为]2,45[112∈+t ， 所以函数)x (f 的值域是]54,21[．例2 求函数423(1)x y x =+的值域．解：令tan x θ=，(,)22ππθ∈-， 则44233tan tan (1tan )sec y θθθθ==+=42sin cos θθ =2221sin sin 2cos 2θθθ≤32221sin sin 2cos 23θθθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭427=. 当且仅当2tan 2θ=时“=”成立.所以函数423(1)x y x =+的值域为40,27⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 在这道例题中不仅用了换元法还用了均值不等式.利用三角函数来代换是我们在用换元法解题最常用的在换元后根据三角函数的有界性求能求出函数的值域 .在用换元法的时候重要的就是要注意换元后的自变量发生了改变，那么它的定义域也就变了.注意到这点才能准确地求出值域.2.6 利用不等式法求分式函数的值域“不等式法”就是通过利用不等式的一些性质和均值不等式来求某些具有一定特性的分式函数的值域.若原函数通过变形后的分子分母符和下列条件①各变数为正；②各变数的和或积为常数.则可以考虑用均值不等式求它的值域.要注意在得到结论之后要说明其中等号能够取到.例1 求函数224(1)(3)x y x +=+(1)x >-的值域.解：224(1)(1)4(1)4x y x x +=++++244(1)41x x =++++. 因为10x +>，所以411x x +++≥4，则41481x x +++≥+，所以0y <≤2438=（当1x =时取等号），故函数的值域为(]0,3. 例2 设123n S n =++++，n N ∈求1()(32)nn S f n n S +=+的最大值.（2000年全国高中数学联赛）解：1()(32)n n S f n n S +=+(1)2(1)(2)(32)2n n n n n +=+++⋅2(32)(2)3464n n n n n n ==++++， 即化为了求分式函数最值的问题1()6434f n n n =++.又因为6434n n++≥34+50=， 当64n n =即8n =时“=”成立，所以对任何n N ∈有()f n ≤150， 故()f n 的最大值为150.例2表面上看是数列的问题而实际是我们可以将其转化为求函数值域的问题在这里我们利用均值不等式的性质来求其值域就使得整个解题过程利用数更简单.2.8 斜率法求分式函数的值域数形结合是中学数学中的一种重要的数学思想方法.数是形的抽象概括，形是数的直观表现.华罗庚先生指出：数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.这种方法不仅仅体现在数学的其它领域中，在求函数的值域与最值时也有良好的反映.联想到过11(,)A x y ，22(,)B x y 的直线AB L 的斜率为2121AB y y k x x -=-，我们可以考虑把分式函数化为斜率式并利用数形结合法来求函数的值域.例1 求函数232()()2(32)3t f t t t =>-的最小值. 解：函数()f t 可变形为()f t 23064t t -=-2()3t >，设2(6,3)A t t ，(4,0)B 则()f t 看作是直线AB 的斜率， 令6x t =，23y t =则212(4)x y x =>.在直角坐标系中A 点的轨迹为抛物线的一部分直线与抛物线相切是斜率最小. 过点(4,0)B 直线方程为：(4)y k x =-将它代入212x y =， 有212480x kx k -+=，则0∆=推算出43k =此时8x =， 即8t =时，min 4()3f t =. 例2 求211x x y x +-=+1(2-≤x ≤1)的值域.解：2()1(1)x x y x +-=--，令(1,1)A -，2(,)B x x x +，则AB y k =，点B 的轨迹方程为2y x x =+1(2-≤x ≤1)， 111(,)24B --，2(1,2)B ，152AB k =-，212AB k =，所以51,22AB y k ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，即函数的值域为51,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.斜率法同样可以运用在形如ax by cx d+=+的分式函数中，函数的值域就转化为求直线斜率的范围给出了这样的结论：对于函数ax by cx d+=+22(0,0,0)c a b bc ad ≠+≠-≠，x ∈[],m n ，若记{}1min (),()m f m f n =，{}2max (),()m f m f n =，则当dx c=-(),m n ∈时值域为(]1,m -∞∪[)2,m ∞.当dx c=-∉(),m n 时，值域为[]12,m m .3 结论整篇文章介绍了求分式函数八种比较常用的方法，可以根据题目不同的特点灵活选取不同的方法，而实际上在我们通常遇到的题目中并不是只用一种方法就能解决问题，而是要综合几种方法.当然有一些特殊的分式函数，在求值域的时就会用到特殊的方法.但是最重要的是每种方法都要注意其函数的定义域.参考文献：[1]贾士代.用方程法求函数值域[J] . 数学教学，2006（2）：21[2]王习建. 21112222a x b x c y a x b x c ++=++型函数值域的求法[J] .数理化解题研究 ，2003（6）：25[3]张莲生.sin sin a x by c x d+=+ 的值域的求法[J] .数理天地（高中版），2001（10）：19-20[4]王建海. 活用均值不等是巧解数学题[J] .数学教学通讯，2003（12）：17 [5]钟国雄 .一个函数最小值问题的多种解法[J] . 中学生数学，2002（5）：23 [6]江思容、望孝明 .求最值问题的若干途径[J] . 中学数学研究，2003（8）：35 [7]傅洪海、陈宏. 关于反函数求值域的思考[J] . 数学教学， 1999（2）：29-30 [8]陈士明.从求()bf x x x a=++的单调区间谈起[J] . 数学教学，1999（2）：27-28。
求分式函数值域的几种方法
求分式函数值域的几种方法分式函数值域的求解是函数理论中的一个重要问题。
以下列举了几种常用的方法：1.观察法通过观察函数的分子和分母，以及它们的增减性，来确定整个函数的增减性。
例如，如果一个分式函数可以化简为一个常数加上一个分子，而这个分子的根的判别式小于0，那么这个函数就是一个单调递减的分式函数。
2.极限法如果一个函数在某一点处的极限为无穷大，那么这个函数的值域就是无穷大。
因此，可以通过求解函数在某一点处的极限来确定函数的值域。
3.反解法如果一个分式函数可以表示为一个简单函数的倒数，那么可以通过反解这个简单函数来求得这个分式函数的值域。
例如，如果一个分式函数可以表示为y=1/x，那么可以通过反解x=1/y来求得这个分式函数的值域。
4.判别式法对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的函数，可以利用判别式法进行求解。
通过求解一元二次方程的判别式来确定函数的值域。
5.换元法有时候，我们可以通过引入一个新的变量来简化函数的求解过程。
例如，如果一个函数可以化简为一个常数加上一个二次函数，那么我们可以引入一个新的变量来求解这个二次函数的值域。
6.反函数法对于形如y=f(x)的函数，如果存在一个反函数x=g(y)，那么我们可以利用反函数法来求解函数的值域。
通过求解反函数的定义域来确定原函数的值域。
7.比例法对于形如y=kx/(b+kx)的函数，我们可以利用比例法进行求解。
通过将原函数转化为一个比例函数来进行求解。
8.对数法对于形如y=logax/(logbx)的函数，我们可以利用对数法进行求解。
通过将原函数转化为一个对数函数来进行求解。
9.均值不等式法对于形如y=a/(b+cx)的函数，我们可以利用均值不等式法进行求解。
通过求解均值不等式来确定函数的值域。
10.构造函数法有时候，我们可以通过构造函数来求解函数的值域。
例如，如果一个函数可以化简为一个常数加上一个二次函数与一个指数函数的乘积，那么我们可以构造一个新的函数来求解这个函数的值域。
求分式函数值域的几种方法
求分式函数值域的几种方法摘要：本文介绍了高中数学教学中求分式函数值域的常见方法，包括配方法、反函数法、判别式法、单调性法、换元法、不等式法、方程法和斜率法等。
这些方法在解决函数值域和最值问题中发挥了重要作用。
1 引言求分式函数值域是解决函数最值问题的一个重要工具，也是高中数学教学中的一个难点和重点。
本文总结了求分式函数值域的常见方法，包括配方法、反函数法、判别式法、单调性法、换元法、不等式法、方程法和斜率法等，以便更好地解决各种类型的分式函数值域问题。
2 求分式函数值域的常见方法2.1 配方法通过配方法，将分式函数变形为可以直接求值域的形式，例如y=a/(2a+x)+b，可以将其配方为y=b+(a/(2a+x))，然后利用直接法求得函数的值域。
在使用配方法时，需要注意自变量的取值范围。
2.2 判别式法利用二次函数的判别式，即Δ=b^2-4ac，来求分式函数的值域。
例如y=x^2-3x+4/(2x+3x+4)，可以将其变形为(y-1)x^2+(3y+3)x+(4y-4)=0，然后根据Δ的取值范围，求出y的取值范围。
2.3 反函数法通过求分式函数的反函数，可以得到其值域。
例如y=1/(x-1)，可以求出其反函数为x=1/y+1，然后确定x的取值范围，即可求出y的取值范围。
2.4 单调性法通过分析分式函数的单调性，可以确定其值域。
例如y=1/(x^2-x)，可以求出其导函数为y'=-1/(x-1)^2+x/(x^2-x)^2，然后分析其单调性，可以确定其值域。
2.5 换元法通过根式代换、三角代换等方法，将分式函数变形为可以直接求值域的形式。
例如y=1/(x^2-1)，可以将其根式代换为y=1/(u^2-1)，然后利用直接法求得函数的值域。
2.6 不等式法通过分析分式函数的不等式，可以确定其值域。
例如y=(2x-3)/(x^2+x-12)，可以将其变形为y=2/(x-4)-1/(x+3)，然后通过不等式求解，可以确定其值域。
分式函数值域的求法
分式函数22221121c x b x a c x b x a y ++++=的值域函数值域是函数三要素之一，求函数值域无定法，且方法灵活，是中学数学的一个难点。
今天我们主要讨论分式函数22221121c x b x a c x b x a y ++++=的值域求法。
一、若21a a ，同时为零，则函数22221121c x b x a c x b x a y ++++=就变为形如2211c x b c x b y ++=（22b b ，不同时为零）的函数，可以用分离常数法或求反函数法来求函数的值域。
例１ 求函数312+-=x x y 的值域 解法１：（分离常数法） 利用恒等变形可化为：37237)3(2+-=+-+=x x x y 所以，该函数的值域为)2()2(∞+-∞∈，， y ：解法２：（求反函数法）函数 312+-=x x y 的反函数为132x y x -=- 所以 原函数值域为{}2≠∈y y y （即反函数定义域为原函数值域）。
二、若21a a ，不同时为零，但分子与分母有公因式子，可先约分再求值域。
如果不约分，直接采用下面三的方法，将加大运算量（如例6）。
例２ 求函数2312+--=x x x y 的值域 解：可先将函数变为)2)(1(1)(---==x x x x f y 。
约分后函数变为21)(-=x x g 。
所以 0)(≠x g 约分后函数)(x g 的定义域扩大了（严格来说()g x 与原函数)(x f 不是同一个函数，但在不引起混淆的情况下也可直接约分），)(x g 在１处所对应的函数值1-，也是)(x f 不能取到的值，所以函数2312+--=x x x y 的值域是）（０，０）１（１），（∞+∞- ,--。
例３求函数2652-+-=x x x y 的值域解：函数可变形为32)3)(2(-=---=x x x x y ，所以该函数的值域是{}1-≠∈y y y 。
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分式型函数求值域的方法总结
一、形如()ax b f x cx d
+=
+ (,0a o b ≠≠)（一次式比一次式）在定义域内求值域。
例1：求21()32
x f x x +=+（2)3x ≠-的值域。
解：242()133()2323()3x f x x x +-=-++=123332
x -+∵1122330,323323x x -≠∴-≠++ ∴其值域为}2/3y y ⎧≠⎨⎩
一般性结论，()ax b f x cx d +=
+ (,0a o b ≠≠)如果定义域为{x /d x c ≠-},则值域}/a y y c ⎧≠⎨⎩
注：本题所用方法即为分离常数法，分离常数之后，分子便不含有x 项，使计算变得简便。
例2：求21()32x f x x +=
+，()1,2x ∈的值域。
分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。
解：21()32x f x x +=+=123332x -+，是由1
3y x
=-向左平移23，向上平移23得出，通过图像观察，其值域为35,58⎛⎫ ⎪⎝⎭
小结：函数关系式是一次式比一次式的时候，我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的，因此我们可以作出其图像，去求函数的值域。
x
分析：此类函数中，当0a <，函数为单调函数，较简单，在此我们不做讨论，当0a >时， 对函数求导，'2()1,a f x x =-'()0f x >
时，(x ∈-∞⋃
+∞），'()0f x <时，
(x ∈⋃，根据函数单调性，我们可以做出此类函数的大致图像，其我们常
其图像
例3：求4()2,((1,4)f x x x x
=+
∈上的值域。
解：将函数整理成2()2()f x x x =+，根据双钩函数的性质，我们可以判断此函数在单调递减，在)+∞处取最小值，比较1，4出的函数值，我们可以知道在1处取的最大值，所以其值域为)
⎡⎣ 三、用双钩函数解决形如2()mx n f x ax bx c
+=++（0,0m a ≠≠），2()ax bx c f x mx n ++=+（0,0m a ≠≠）在定义内求值域的问题。
例3：已知0t >，则则函数241t t y t
-+=的最小值为_______. 解：24114t t y t t t
-+==+-，t o >∴由基本不等式地2y ≥-
22
x x ++解：令1,1,x t x t -==+则则2()(1)(1)2t f x t t =
++++=214343t t t t t
=++++， 其中t 0.>则由基本不等式得1()7f x ≤ 例5:求24221()()212
x x f x x x ++=>-+的值域。
解：令21,t x =+则12t x -=，21142()222()t t f x t --⎛⎫++ ⎪⎝⎭==22t t t -+=21t t
+- ，其中0t >
，由基本式得()1f x ≥
小结：对于此类问题，我们一般换元整理后，将函数变成()(0)a f x x a x
=+>这类型的函数，解决此类函数注意应用基本不等式，当基本不等式不行的时候，注意应用双勾函数的思想去解决此类问题 三、形如22()(0,0)ax bx c f x a m mx bx c
++=≠≠++在定义域内求值域。
例5：求22211
x x y x x ++=++的值域。
分析：当定义域为R 时，我们采用判别式法求此类函数的值域。
当定义域不为R 时，不应采用此法，否则有可能出错。
此时，我们要根据函数关系的特征，采用其他方法。
解：2
10x x ++>恒恒成立，所以此函数的定义域为x R ∈，将函数整理成关于x 的方程， 2221yx yx y x x ++=++，2(2)(1)(1)0,y x y x y -+-+-=当20,y -≠关于x 的方程恒有解，则2(1)4(2)(1)y y y ∆=----0≥即713y ≤≤
，显然，2y =也成立，所以其值域为{}7
/13y y ≤≤
以上是求此类函数的常见方法，但同学们在解题过程中。
不要拘泥以上方法，我们要根据具体函数的特征采用相对应的方法，多思考，举一反三，那以后解决此类问题就很容易了。