次分式函数值域的求法
常见函数解析式定义域值域的求法总结
常见函数解析式定义域值域的求法总结函数的定义域和值域是函数解析式中的两个重要概念。
定义域指的是函数的自变量可能取值的范围，值域则是函数的因变量可能取值的范围。
在解析式中，定义域和值域可以通过不同的方法进行求解。
下面是常见的函数解析式定义域和值域求解方法总结。
一、定义域的求法：1.开方函数的定义域：对于形如y = √(ax + b)的开方函数，考虑开方中的被除数，即ax + b的取值范围，对ax + b >= 0进行求解，得到定义域。
2.分式函数的定义域：对于形如y=f(x)/g(x)的分式函数，需要满足分母不等于0的条件，因此需要解g(x)≠0，将g(x)=0进行求解，得到定义域。
3.对数函数的定义域：对于形如y = logₐ(x)的对数函数，需要满足x > 0的条件，因此定义域为x > 0。
4.指数函数的定义域：对于形如y=aˣ的指数函数，没有特殊定义域的限制，因此定义域为全体实数。
5.三角函数的定义域：对于常见的正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数，它们的定义域为全体实数。
6.反三角函数的定义域：对于反正弦、反余弦、反正切等反三角函数，它们的定义域要满足对应的正弦、余弦、正切函数取值范围的要求。
7.复合函数的定义域：当函数为两个函数的复合函数时，需要满足两个函数的定义域的交集作为复合函数的定义域。
二、值域的求法：1.函数的图像法：通过绘制函数的图像，观察函数在定义域内的取值范围，得到值域的估计。
2.函数的导数法：对函数求导，并观察导数的符号及极限情况，来推断函数的值域。
例如，当导数恒大于0时，函数为增函数，值域为整个实数轴。
3.函数的区间法：对于已知闭区间上连续的函数，可以通过求出函数的最大值和最小值，及极限情况，来确定值域的范围。
4.反函数的值域：如果函数存在反函数，那么反函数的值域即为原函数的定义域。
5.一次函数的值域：对于一次函数y = kx + b，k为斜率，通过观察斜率的正负和直线与坐标轴的交点可以得到值域的范围。
分式函数求值域问题
分式函数求值域问题的通用解法韩善豪我这里所讲的分式函数指的是一次除一次,二次除一次,一次除二次,二次除二次,具体来看是指一下四种形式： 一次除以一次dcx b ax y ++= 二次除以一次nmx c bx ax y +++=2 一次除以二次cbx ax n mx y +++=2 二次除以二次rnx mx c bx ax y ++++=22 下面我以一些具体的例子来说一说分式函数值域的具体求法;例1.求函数212-+=x x y 的值域; 解析：此题的标准解法叫分离常数 则该函数是由xy 5=向右平移两个单位,向上平移2个单位得到,显然值域为()()+∞⋃∞-,22, 说明：d cx b ax y ++=该函数可以称为是反比例型函数,其值域为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,,c a c a 即⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠c a y y ;另外此函数的对称性和单调性规律也很简单,大家可以试着总结一下; 再随便举一个例子：231-+=x x y 其值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠31y y 例2.求函数xx x y 422++=的值域; 解析：此例子比较简单,分母上的一次只是x ,显然我们可以化简得24++=xx y 则可以用对号函数的单调性解决值域为(][)+∞⋃-∞-,62, 例3.求函数1422+++=x x x y 的值域; 解析：此题和例2其实一样,只不过分母稍复杂一点;令1),0(1-=≠+=t x t x t 代入上式得 所以值域为(][)+∞⋃-∞-,3232,例4.求函数4212+++=x x x y 的值域;解析：此题为一次除以二次的形式,则根据例3当01≠+x 时,我们可以先求出y1的值域为(][)+∞⋃-∞-,3232,,则此时⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈63,00,63y ,当01=+x 时,0=y ,综上进得到该函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈63,63y 例5.求函数113222++++=x x x x y 的值域; 解析：此题可以转化成例4来求;121)1(2123222222+++=+++++=++++=x x x x x x x x x x x x y 仍然是一次除以二次的情况 当0=x 时2=y当0≠x 时[)⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃∈+++=37,22,11112xx y 综上⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈37,1y 说明：分式函数求值域的问题,除了一次除以一次可以口算之外,其余的几种情况基本上都可以转化成对号函数来求;以上几个题目都是我随手编的几个题,只是想给大家展示一下分式求值域通用的规律;后面我会再给大家补充几道涉及到分式求值域的高考题以及高考模拟题;。
高考数学复习函数值域的13种求法
函数值域十三种求法1. 直接观察法利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域，对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。
例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域 解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =故函数的值域是：[4，8]评注：配方法往往需结合函数图象求值域．3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用) 对于形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a ，2a 不同时为0）的函数常采用此法，就是把函数转化成关于x 的一元二次方程（二次项系数不为0时），通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值域．对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如:.112..22222222b a y 型：直接用不等式性质k+xbx b. y 型,先化简，再用均值不等式x mx nx 1 例：y 1+x x+xx m x n c y 型 通常用判别式x mx nx mx n d. y 型 x n法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉x x 1（x+1）（x+1）+1 1 例：y （x+1）1211x 1x 1x 1==++==≤''++=++++=+++-===+-≥-=+++例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆ 解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
高中函数求值域的九种方法和例题讲解
之袁州冬雪创作高中函数值域和定义域的大小,是高中数学常考的一个知识点,本文先容了函数求值域最常常使用的九种方法和例题讲解.一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，连系函数的解析式，求得函数的值域. 例1求函数y=3+√(2－3x)的值域.点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域.解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3.∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性.本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷了然，不失为一种巧法.操练：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域.（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域.例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域.点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域.解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝.点评：操纵反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数.这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一.操练：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域.（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以操纵配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域.点拨：将被开方数配方成完全平方数，操纵二次函数的最值求.解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2].此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不单要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用.配方法是数学的一种重要的思想方法.操练：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四．辨别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用辨别式法求函数的值域.例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域.点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的辨别式，从而确定出原函数的值域.解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0（＊）当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3当y=2时,方程(＊)无解.∴函数的值域为2＜y≤10/3.点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其辨别式为非负数，可求得函数的值域.常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数.操练：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域.（答案：值域为y≤－8或y>0）.五．最值法对于闭区间[a,b]上的持续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与鸿沟值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域.例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且知足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域.点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将方针函数消元、配方，可求出函数的值域.解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x 代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上持续，故只需比较鸿沟的大小.当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4.∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝.点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值.对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域.操练：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为（）A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞]C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）（答案：D）.六．图象法通过观察函数的图象，运用数形连系的方法得到函数的值域.例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域.点拨：根据相对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象.解：原函数化为－2x+1(x≤1)y=3(-1<x≤2)2x-1(x>2)它的图象如图所示.显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞].点评：分段函数应注意函数的端点.操纵函数的图象求函数的值域，体现数形连系的思想.是处理问题的重要方法.求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域七．单调法操纵函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域.例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域.点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)=－√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域.解：设f(x)=4x,g(x)=－√1-3x,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x－√1-3x 在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝.点评：操纵单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，连系函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域.操练：求函数y=3+√4-x的值域.(答案：｛y|y≥3｝)八．换元法以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域.例2求函数y=x-3+√2x+1的值域.点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，操纵二次函数的最值，确定原函数的值域.解：设t=√2x+1（t≥0）,则x=1/2(t2-1).于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝.点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域.这种解题的方法体现换元、化归的思想方法.它的应用十分广泛.操练：求函数y=√x-1–x的值域.（答案：｛y|y≤－3/4｝九．构造法根据函数的布局特征，赋予几何图形，数形连系.例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域.点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域.解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形.设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22,KC=√(x+2)2+1.由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5.当A、K、C三点共线时取等号.∴原函数的知域为｛y|y≥5｝.点评：对于形如函数y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c 均为正数)，都可通过构造几何图形，由几何的性质，直观了然、方便简捷.这是数形连系思想的体现.操练：求函数y=√x2+9+√(5-x)2+4的值域.（答案：｛y|y≥5√2｝）以上九种是函数求值域最常常使用的方法,下面先容三种特殊情况下求值域的几种方法.十．比例法对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入方针函数，进而求出原函数的值域.例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域.点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数.解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)∴x=3+4k,y=1+3k,∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1.当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，zmin=1函数的值域为｛z|z≥1｝.点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识.操练：已知x,y∈R，且知足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域.（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）十一．操纵多项式的除法例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域.点拨：将原分式函数，操纵长除法转化为一个整式与一个分式之和.解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1).∵1/(x+1)≠0，故y≠3.∴函数y的值域为y≠3的一切实数.点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数都可操纵这种方法.操练：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域.（答案：y≠2）十二．不等式法例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域.点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式.解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],由对数函数的定义知x/(1-x)＞01-x≠0解得，0＜x<1.∴函数的值域（0，1）.点评：考察函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域.不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛.是数学解题的方法之一.。
分式函数三种值域求法
分式函数三种值域求法
在求解分式函数的值域时，通常可以使用以下三种方法：
1. 构造法：通过对分式函数进行构造，确定函数的值域范围。
具体步骤如下：
- 将分式函数表示为一个等式，将等式中的分母进行因式分解，找出分母的零点，得到不可取的值。
- 根据分式函数的定义域限制和函数的性质，确定分子函数和分母函数的值域范围。
- 根据值域范围的限制，求解分式函数的值域。
2. 导数法：对分式函数求导，利用导数的性质来确定值域范围。
具体步骤如下：
- 首先找到分式函数的定义域，并求出其导数。
- 根据导数的增减性分析函数的单调性，并确定函数的极值点。
- 根据函数的单调性和极值点，确定值域范围。
3. 图像法：通过绘制函数的图像，观察其图像特征来确定函数的值域范围。
具体步骤如下：
- 绘制分式函数的图像，可以使用计算机软件、图
形计算器等工具。
- 观察图像的函数曲线，确定函数的最大值、最小值和区间。
- 根据图像的特征，确定函数的值域范围。
这三种方法可以根据具体情况选择使用，有时也可以结合使用以求得更准确和全面的值域范围。
在实际应用中，可以根据具体的分式函数和问题的要求来选择适合的方法。
分式函数三种值域求法
分式函数三种值域求法【最新版】目录1.引言2.分式函数的定义和基本性质3.三种值域求法a.直接解法b.反函数法c.数形结合法4.结论5.示例正文一、引言分式函数是初等函数中的一种重要类型，它在实际问题中有广泛的应用。
求解分式函数的值域是研究分式函数特性的关键，本文将介绍三种求值域的方法。
二、分式函数的定义和基本性质分式函数是指形如 f(x)=a(x)/b(x)（a(x)、b(x) 为多项式，且 b(x)≠0）的函数。
分式函数的基本性质包括：定义域、值域、奇偶性、周期性等。
三、三种值域求法1.直接解法对于简单的分式函数，可以直接通过解方程或不等式求得函数的值域。
例如，对于函数 f(x)=(x+1)/(x-1)，我们可以通过解不等式|x+1|≠0 得到 x≠-1，从而得到函数的定义域，进而求得值域为 R-{1}。
2.反函数法对于复杂的分式函数，可以通过求反函数的方法求得值域。
首先求出原函数的反函数，然后根据反函数的定义域求得原函数的值域。
例如，对于函数 f(x)=(x^2+1)/(x^2-1)，我们可以求得它的反函数为f^-1(x)=sqrt(x^2+1)-1/x，然后根据反函数的定义域求得原函数的值域为 (-∞,-1]∪[1,+∞)。
3.数形结合法对于含有参数的分式函数，可以通过数形结合的方法求得值域。
例如，对于函数 f(x)=(x+a)/(x^2+a^2)，我们可以通过观察函数的图像，发现函数的值域为 (-∞,-|a|]∪[|a|，+∞)。
四、结论分式函数的值域求法是研究分式函数特性的重要手段，三种方法各有特点，需要根据具体问题灵活运用。
求函数值域(最值)的方法
求函数值域（最值）方法汇总一．单调性法例1．求函数x 53x y ---=的值域 例2．求函数11--+=x x y 的值域例3．求函数x x y -+-=53的值域解一：例4．已知函数.2]2,0[34)(2的值，求实数上有最大值在区间a x ax x f -+= 解：（1）当0=a 时，max ()(2)4232,f x f ==⨯-≠舍去； （2）当↑⇒〈-=〉上在时，对称轴方程为]2,0[)(020x f ax a 舍去,043254)2(〈-=⇒=+=⇒a a f ；（3）当时，0〈a 02〉-=ax 对称轴方程为， ①]1,(]0,1[1]2,0[2--∞∈⇒-∈⇒∈-a a a 1542384)2(-〉-=⇒=--=-⇒a a a a f ，舍去②122-〉⇒〉-a a ↑⇒上在]2,0[)(x f 43-=⇒a纵上，43-=a例5.已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。
解：0)0()0()0()00(=⇒+=+f f f f为奇函数则令)()()()()()(,x f x f x f x f x f x x f x y ⇒-=-⇒-+=--= )()()()()(0)(0,121112121221x f x f x f x f x x f x x f x x x x 〉⇒〉+-⇒〉-⇒〉-〈则令422)1()1()11()2(-=--=-+-=--=-f f f f ,2)1()1(=--=f f()[-2,1][-4,2]f x ⇒在上的值域为：二．判别式（∆）法：用于自然定义域下的二次分式形式的函数，变形为关于x 的方程，讨论2x 的系数，当系数为0时，判断方程左边是否等于0；当系数不为0时，得0≥∆。
综上，求出y 的范围。
如：,,222211221121c x b x a b x a y b x a c x b x a y +++=+++=22221121c x b x a c x b x a y ++++=等。
求函数的值域、最值的13种方法
⑦单调性法：先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种求解方
法在高考中是必考的，且多在解答题的某一问中出现．
⑧导数法：设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，则 f(x)在[a，b]上的最
大值和最小值应为 f(x)在(a，b)内的各极值与 f(a)，f(b)中的最大值和最小值．利用这种
方法二：（判别式法）由
1 y＝x＋ ＋1，得
x2＋(1－y)x＋1＝0.
x
∵方程有实根，∴Δ＝(1－y)2－4≥0.即(y－1)2≥4，∴y－1≤－2 或y－1≥2.得y≤－1 或y≥3.
1 （x＋1）（x－1）
方法三：（导数法）令 y′＝1－ ＝
<0，得－1<x<0 或 0<x<1.
x2
x2
∴函数在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y≥3；函数在(－1，0)上递减，在(－∞，－1)上递增，
此时 y≤－1.∴y≤－1 或 y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
(4)方法一：（单调性法）定义域为{x|x≥－1}，函数y＝2x，y＝ 1＋x均在[－1，＋∞)上递增，
故 y≥2×(－1)＋ 1＋（－1）＝－2.
方法二：（换元法）令 1＋x＝t，则 t≥0，且 x＝t2－1.
∴y＝2t2＋t－2＝2(t＋1)2－17≥－2(t≥0)．∴函数值域为[－2，＋∞)． 48
cx＋d
2x＋1 sinx＋2
③反解法：适用于分子、分母只含有一次项的函数（即有理分式一次型），也可用于易反解出
自变量的函数类型.
④配方法：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)及二次型函数 y＝a[f(x)]2＋b[f(x)]＋c(a≠0) ⑤换元法：换元法有两类，即代数换元和三角换元．如可用三角代换解决形如 a2＋b2＝1 及部
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二次分式函数值域的求法
甘肃 王新宏
一 定义域为R 的二次分式函数用“判别式”法
解题步骤：1 把函数转化为关于x 的二次方程
2 方程有实根，△≥0
3 求的函数值域
1：求y =2
2222+++-x x x x 的值域 解：∵x 2+x+2>0恒成立
由y =2
2222+++-x x x x 得， （y -2）x 2+(y+1)x+y-2=0
①当y-2=0时，即y=2时，方程为x=0∈R
②当y-2≠0时，即y ≠2时,
∵x ∈R
∴方程（y -2）x 2+(y+1)x+y-2=0有实根
∴△=(y+1)2
-(y-2) ×(y-2) ≥0
∴3y 2-18y+15≤0
∴1≤y ≤5
∴函数值域为[]5,1 练习1：求y =432+x x 的值域 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-43,43 二 分母最高次幂为一次的二次分式函数值域常转化为“√”函数或用“均值不等式”来做。
先来学习“√”函数。
形如y =x+
x k (x>0 ,k>0)的函数，叫“√”函数
图像
单调性：在x ∈[]
k ,0时，单调递减。
在x ∈[]
+∞,k 时，单调递减。
值域：[]+∞,2k 解题步骤：①令分母为t,求出t 的范围
②把原函数化为关于t 的函数
③利用“√”函数的单调性或均值不等式来求值域
例2 求y =12122-+-x x x （32
1≤<x ）的值域 解 令2x-1=t,得
0<t ,5≤x=
2
1+t ∴y=2112++t t 2
12+≥ 当且仅当t
t 12=时，即t=2时，取“=”。
∴y 212+≥ ∴值域为：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+∞+,212 练习2 求y=2cos 4cos 3)(sin 2--+x x x 的值域 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡37,1 三 分子为一次因式的二次分式函数，即形如：y=e
dx cx b ax +++2(ac 0≠) 解题步骤：①令分子为t,求出t 的范围，把原函数化为关于t 的函数
②分子分母同除以t ，把分母化为关于t 的“√”函数
③根据复和函数的单调性得出原函数值域
例3 y =3
312+++x x x x ()+∞-∈,1 解令x+1=t,得
t ∈()+∞,0且x=t-1
∴y=12++t t t =t
t 1
11++ ∵1+t+t
1
3≥ (t=1时取“=”) ∴y 3
1≤且y>0 ∴值域为⎥⎦
⎤ ⎝⎛
31,0 练习3:求y =12+x x 的值域 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡21,0 四 分子分母均为二 次的二 次分式函数可化为“三“求之。
例如： y=2216222++++x x x x =2212)22(222++-+++x x x x x =2+2
2122++-x x x 注：实际上所有的二次分式函数的值域都可以用求导的方法解决，但有些题目用求导的方法求值域时比较繁琐，配和以上方法，会得到事半功倍的效果。
张掖实验中学 734000 （0936）3333296。