一次分式函数最值问题
分式型函数的最值求法及简单应用
分式型函数的雏形是反 比例 函数 ） ， ＝ （ ｋ ≠
０ ） ， 通过对函数 图像 的平移 ， 可得到形式为“ Ｙ ＝ 口＋
时， － 等号成立． １
所 以函数的最小值为 ２ √ ＋ ３ ， 此时 ＝ √ ＋ ２ ．
由于函数形 式符合了基本 不等式的“ 一正数 ，
二定值 ， 三相等” 的要求 ， 于是顺理成章 的借助基本 不等式完成了本题 （ ２ ）仍然可整理 孥 化为（ １ ） 中的函数形式， 但由 于ｔ 的范围限制， 故基本不等式在本题中不能使用了， 并目 该 函 数不 是初等函数， 故必厮 Ｕ 用导数说明 单调性
处不 展开说 明．
（ ＞ ２ ） ； （ ３ ≤ ≤５ ） ．
６ Ｏ・
＜ 数学之友 ）
２ ０ １ ５年第 ２ Ｏ期
解 法二 ： ‘ ． ‘ ∈Ｒ， ． ‘ ． 分子 分 母 Ｉ
＝
时， 要 注恿
０的情 况分 开讨论 ：
② ｔ ∈ 【 一 丢 ， 。 ） ｕ （ 。 ， 】 时 ， ， ， ＋ ＿ ＝ ＝ ＿
．
．
． ＞ ０时， ＋ ≥２ （ 当且仅 当 ：１ 时， 等号
一
ｔ＝ 一
成立） ’ ． ． ． ＋ ． ＝ １ －
ｌ ≥１ ， ｙ Ｅ（ ０ ， １ ］ ．
．
‘
１
・
．
・ 菇＜ ０时 ， ＋ ≤一 ２ （ 当且仅 当 ＝一１ 时，
一
所以， 综上， 函数的最小值为 一１ ， 此时 ＝ ３；
这类函数与“ ” 型的处理方式有一定相 同之 处， 第一步也是“ 分 离常数” ， 然后转化 为 “ ” 型
＝ ， 一 耥 （ ２ 一 一 １ ） ２ ＝ 一 （ ２ 一 一 １＜ ） ２ 、 ｏ ｕ ’
有关函数最值问题的十二种解法
本稿件适合高三高考复习用有关函数最值问题 的十二种解题方法与策略贵州省龙里中学高级教师 洪其强（551200）一、消元法：在已知条件等式下，求某些二元函数(,)f x y 的最值时，可利用条件式消去一个参量，从而将二元函数(,)f x y 化为在给定区间上求一元函数的最值问题。
例1、已知x 、y R ∈且223260x y x +-=，求222x y +的值域。
解：由223260x y x +-=得222360y x x =-+≥，即02x ≤≤。
2222392262()22x y x x x +=-+=--+∴当32x =时，222xy +取得最大值92；当0x =时，222x y +取得最小值0。
即222x y +的值域为90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、判别式法：对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数()f x 出现在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件0∆≥来求出()f x 的最值。
例2、求函数22()1xf x x x =++的最值。
解：由22()1xf x x x =++得 []2()()2()0f x x f x x f x +-+=，因为x R ∈，所以0∆≥，即[]22()24()0f x f x --≥，解得22()3f x -≤≤。
因此()f x 的最大值是23，最小值是－2。
三、配方法：对于涉及到二次函数的最值问题，常用配方法求解。
例3、求2()234x x f x +=-在区间[]1,0-内的最值。
解：配方得 2224()2343(2)33x x x f x +=-=--+[]1,0x ∈- ，所以 1212x ≤≤，从而当223x =即22log 3x =时，()f x 取得最大值43；当21x =即0x =时()f x 取得最小值1。
四、辅助角公式：如果函数经过适当变形化为()sin cos f x a x b x =+(a、b均为常数），则可用辅助角公式sin cos arctan )ba xb x x a+=+来求函数()f x 的最值。
分式函数最值及函数值范围问题
分式函数最值及函数值范围问题
在数学中，分式函数是由分子和分母分别是多项式的函数。
分式函数的最值和函数值范围问题是研究该类型函数的关键内容。
本文将介绍分式函数的最值以及如何确定函数值的范围。
1. 分式函数的最值问题
1.1 分式函数的最大值
要确定分式函数的最大值，我们可以通过以下步骤进行分析：
1. 找出函数的定义域，即使得分母不等于零的变量取值范围。
2. 找出函数的极值点，即导数为零或不存在的点，这些点可能是函数的最大值点。
3. 将定义域中的边界点和极值点一起代入函数，比较函数值，找出最大值。
1.2 分式函数的最小值
要确定分式函数的最小值，我们可以通过以下步骤进行分析：
1. 找出函数的定义域，即使得分母不等于零的变量取值范围。
2. 找出函数的极值点，即导数为零或不存在的点，这些点可能是函数的最小值点。
3. 将定义域中的边界点和极值点一起代入函数，比较函数值，找出最小值。
2. 分式函数的函数值范围问题
要确定分式函数的函数值范围，我们可以通过以下步骤进行分析：
1. 找出函数的定义域，即使得分母不等于零的变量取值范围。
2. 分析分子和分母的符号和关系，找出函数的正负性。
3. 综合考虑定义域边界点、极值点以及正负性，确定函数值的范围。
总结
分式函数的最值和函数值范围问题是研究分式函数的关键内容。
通过分析函数的定义域、极值点、边界点以及分子分母的符号和关系，我们可以确定分式函数的最值和函数值范围。
这些分析步骤可
以帮助我们更好地理解和运用分式函数。
高一求求函数值域的7类题型和15种方法讲义
高一求求函数值域的7类题型和15种方法讲义题型一：一次函数()0y ax b a =+≠的值域（最值）1、一次函数：()0y ax b a =+≠当其定义域为R ，其值域为R ；2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值，只需分别求出()(),f m f n ，并比较它们的大小即可。
若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时，需结合函数图像来确定函数的值域。
题型二：二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域（最值）1))00>< 2（1（2 例1例21、反比例函数)0(≠=k x ky 的定义域为{}0x x ≠，值域为{}0y y ≠ 2、形如：cx dy ax b+=+的值域：（1）若定义域为b x R x a ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭时，其值域为c y R y a ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭（2）若[],x m n ∈时，我们把原函数变形为d byx ay c-=-，然后利用[],x m n ∈（即x 的有界性），便可求出函数的值域。
例3：函数23321x x y -=-的值域为[)1,3,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦；若[]1,2x ∈时，其值域为11,511⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。
例4：当(]3,1x ∈--时，函数1321x y x -=+的值域34,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭。
练习：已知()312x f x x -+=-，且[)3,2x ∈-，则()f x 的值域为6,5⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦。
题型四：二次分式函数22dx ex cy ax bx c++=++的值域一般情况下，都可以用判别式法求其值域。
但要注意以下三个问题：①检验二次项系数为零时，该值时的例6：y 例7：y 例8：y 例9： 当y =当y ≠时，上述方程要在区间(1,-+∞02112y y ≥⎧⎪-⎨->-⎪⎩解得：综合①②得：原函数的值域为：10,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦例10题型六：分段函数的值域：一般分别求出每一分段上函数的值域，然后将各个分段上的值域进行合并即可。
函数的实际运用——最值问题
测试时间：4月27日班级：姓名：函数的实际运用——最值问题一、分式方程+最值1.为提高学生的阅读量，某学校计划购进一批图书，已知A类图书的单价比B类图书的单价贵6元,用720元购买A类图书和用540元购买B类图书的数量相等.(1)A，B两类图书的单价分别为多少?(2)学校计划购买这两类图书共120本，其中购买A类图书不超过90本，且不少于B类图书数量的1.5倍，如何购买费用最低?最低费用是多少?2、端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售.经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同。
(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元?(2)该超市计划购进这两种粽子共200个(两种都有)，其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W 元.超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元?3、红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化.小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元.(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；(2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元.①求出y与x之间的函数解析式；②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大?最大利润是多少元?二、二元一次方程组+最值4.2023年中考越来越近，班主任李老师打算在中考结束当天送班上每个同学一束花，李老师打算去斗南购买向日葵和香槟玫瑰组合的鲜花.已知买2支向日葵和1支香槟玫瑰共需花费14元，3支香槟玫瑰的价格比2支向日葵的价格多2元.(1)求买一支向日葵和一支香槟玫瑰各需多少元?(2)李老师准备每束花需向日葵和香槟玫瑰共15支，且向日葵的数量不少于6支，班上总共40个学生，设购买所有的鲜花所需费用为w元，每束花有香槟玫瑰x支、求w与x之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，并写出最少费用.5.近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大.某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元.(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元?(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售.如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小最小费用是多少元?6.某商场计划购进A，B两种服装共100件，这两种服装的进价、售价如表所示：(1)若商场预计进货用3500元，则这两种服装各购进多少件?(2)若商场规定A种服装进货不少于50件，应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多?此时利润为多少元?价格类型进价(元/件)售价(元/件)A3045B50707.某运动类商店准备购进一批足球和篮球共100个，这两种球的进价和售价如下表所示：(1)若该商店计划销售完这批球后，可获利2600元，则足球和篮球分别需购进多少个?(2)根据市场调研，商店决定购进足球的数量不少于篮球的2倍，求该商店购进足球和篮球各多少个时，才能使这批球全部销售完所获利润最大，最大利润为多少元?8.近年来，云南乘着高质量共建"一带一路"的东风，加快建设中国面向南亚东南亚的辐射中心，与南亚各国交流合作不断拓展.某普洱茶厂将480吨茶叶原材料制作成A、B两款普洱茶共计200吨，计划通过铁路将200吨普洱茶出口到甲地和乙地，已知制作A、B两款普洱茶每吨所需茶叶原材料以及出口A、B两款普洱茶到甲地、乙地的运费如下表：现计划出口100吨普洱茶到甲地，其余出口到乙地，设该厂向甲地出口A款普洱茶x吨，出口A、B两款普洱茶到甲地和乙地的总运费为y千元.根据上述信息，解答下列问题：(1)该厂出口的A、B两款普洱茶分别是多少吨?(2)若向乙地出口的A款普洱茶的重量不超过B款普洱茶的重量，则怎样出口茶叶，才能使总运费y最小，最小值是多少?三、函数解析式+最值9.某农户准备种植甲、乙两种水果.经市场调查，甲种水果的种植费用y(元)与种植面积x(m²)有关，如果种植面积不超过300m²，种植费用为每平方米14元；种植面积超过300m²，超过的面积种植费用为每平方米10元；乙种水果的种植费用为每平方米12元.(1)当甲种水果种植面积超过300m²时,求y与x的函数关系式；(2)甲、乙两种水果种植面积共1200m²,种植总费用为ω元，其中甲种水果的种植面积超过.300m²，不超过乙种水果的种植面积的3倍.请问怎样分配甲、乙两种水果种植面积才能使种植总费用w最少?最少的种植费用是多少?10.某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元，市场调查发现，在一段时间内，销售量w(千克)随着销售单价x(元/千克)的变化而变化，具体关系式为：w=-2x+280，设这种绿茶在这段时间的销售利润为y(元).(1)求y和x的关系式;(2)当销售单价为多少元时，该公司获取的销售利润最大?最大利润是多少?11.某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半，电视机与洗衣机的进价和售价如下表：计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161800元.设计划购进电视机x台，销售完毕后的总利润为y元.(1)写出y与x的函数关系式；(2)求商店如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少。
基本不等式的几种应用技巧
即
一不正, a 0, b 0常用a b 2 ab
二不定, 需变形
三不等, 常用单调性
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基本不等式的几种应用技巧
练一练
4 1. 已知 x 2, 求函数 y x 的最大值 . x2
２ .若0 x 2, 则函数 y x 8 2 x 2 有最
x 1
x 1
5 5 x 1 5 2 x 1 ５ x 1 x 1
2 5 5
当且仅当x 1 5,即x 5 1时等号
2
成立，故原函数的值域 为２ ５５，
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基本不等式的几种应用技巧
题型四：“１”的整体代换
1 １ 例４.已知 x, y R , 若2 x y 1,求 的最小值 x y 解 x 0，y 0 错因：解答中两次 ： 1 2 x y 2 2 xy
1 xy 即 2 2 号过渡，而这两次取 xy 2 2
1 1 1 2 2 2 2 4 2 x y xy
1
运用基本不等式取“=” “=”号的条件是不同 的，故结果错.
1 1 即 的最小值为4 2. x y
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1 １ 例４. 已知 x, y R , 若2 x y 1,求 的最小值 x y
基本不等式
当且仅当 a b时等号成立
ab ab ( a 0, b 0) 2
ab a b 2 2
2 2
常用不等式串
2 ab ab
当且仅当
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ab
a b 时等号成立
基本不等式的几种应用技巧
一次函数的最值与极值
一次函数的最值与极值一次函数是数学中最简单的函数之一，也是初中数学必学的知识点之一。
研究一次函数的最值和极值有助于我们深入理解函数的变化规律，更好地解决数学问题。
本文将简要介绍一次函数最值和极值的概念，以及如何求解它们。
一、最值和极值的概念1. 最值最值是函数在定义域内的最大值和最小值。
例如设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上有定义，如果对于任何 x ∈ [a, b]，都有f(x) ≤ f(x0)（或f(x) ≥ f(x0)），则称 f(x0) 是 f(x) 在 [a, b] 上的最小值（或最大值），而 f(x) 在 [a, b] 上的最小值和最大值统称为 f(x) 在 [a, b] 上的最值。
2. 极值极值是函数在某个点处取得的最值。
设函数f(x) 的定义域为I，x0 ∈ I，如果存在ε > 0，对于任何 x ∈ I∩(x0 - ε, x0) 或 x ∈ I∩(x0, x0 + ε)，都有f(x) ≤ f(x0)，则称 f(x0) 是 f(x) 的一个极大值点；如果存在ε > 0，对于任何 x ∈ I∩(x0 - ε, x0) 或 x ∈ I∩(x0, x0 + ε)，都有f(x) ≥ f(x0)，则称 f(x0) 是 f(x) 的一个极小值点。
二、如何求解一次函数的最值和极值我们知道，一次函数是指形如 y = kx + b 的函数，其中 k 和 b是常数。
因此，一次函数最值和极值的求解相对较为简单。
我们可以根据以下步骤来求解。
1. 最值首先，我们需要分析一次函数的单调性，并确定函数的最小值和最大值。
根据定义可知，当 k > 0 时，函数单调增加，最小值在定义域最小处取得；当 k < 0 时，函数单调减少，最大值在定义域最小处取得。
2. 极值对于一次函数来说，由于其呈直线形状，每个点的斜率都是一致的，因此其不存在极值。
三、例题解析1. 求函数 y = 2x + 1 在区间 [-1, 2] 上的最大值和最小值。
求函数值域(最值)的方法
求函数值域（最值）方法汇总一．单调性法例1．求函数x 53x y ---=的值域 例2．求函数11--+=x x y 的值域例3．求函数x x y -+-=53的值域解一：例4．已知函数.2]2,0[34)(2的值，求实数上有最大值在区间a x ax x f -+= 解：（1）当0=a 时，max ()(2)4232,f x f ==⨯-≠舍去； （2）当↑⇒〈-=〉上在时，对称轴方程为]2,0[)(020x f ax a 舍去,043254)2(〈-=⇒=+=⇒a a f ；（3）当时，0〈a 02〉-=ax 对称轴方程为， ①]1,(]0,1[1]2,0[2--∞∈⇒-∈⇒∈-a a a 1542384)2(-〉-=⇒=--=-⇒a a a a f ，舍去②122-〉⇒〉-a a ↑⇒上在]2,0[)(x f 43-=⇒a纵上，43-=a例5.已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。
解：0)0()0()0()00(=⇒+=+f f f f为奇函数则令)()()()()()(,x f x f x f x f x f x x f x y ⇒-=-⇒-+=--= )()()()()(0)(0,121112121221x f x f x f x f x x f x x f x x x x 〉⇒〉+-⇒〉-⇒〉-〈则令422)1()1()11()2(-=--=-+-=--=-f f f f ,2)1()1(=--=f f()[-2,1][-4,2]f x ⇒在上的值域为：二．判别式（∆）法：用于自然定义域下的二次分式形式的函数，变形为关于x 的方程，讨论2x 的系数，当系数为0时，判断方程左边是否等于0；当系数不为0时，得0≥∆。
综上，求出y 的范围。
如：,,222211221121c x b x a b x a y b x a c x b x a y +++=+++=22221121c x b x a c x b x a y ++++=等。
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一次分式函数最值问题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
拆分函数解析式结构，巧解问题
--------------函数()ax b f x cx d
+=+值域（最值）问题的解法 在高中，初学函数之时，我们接触的具体函数并不多。
前面我们已经给出了一元二次函数值域（最值）的求法步骤。
除此，还有一类()(0)ax b f x c cx d
+=≠+函数也很常见，它也是今后解决其他复杂函数值域（最值）问题的基础。
此类函数看似生疏，而实际这类函数的图像，就是我们初中学过的反比例函数图像。
此类问题有三种类型，一种是函数式子决定定义域，不额外附加函数定义域；另一种是附加定义域。
还有一种是可转化为()(0)ax b f x c cx d +=
≠+型的函数，此类随着学习的深入，再行和大家见面。
下面我们以具体实例，说明如何依据函数解析式的结构特征，选择适当的方法步骤解决问题。
【例题1】：求函数21()3
x f x x +=-的值域； 【思路切入】：从函数结构可以得出，函数定义域由分式决定，为
{|3}x x R x ∈≠且，此时，将函数解析式的结构进行拆分变换，不难得出反比例函数结构，如此，得到解法程序：
1、将函数分解为反比例的结构；
2、根据反比例结构特性，或者利用图像，或者利用数式属性得到函数值域。
【解析】：原函数可化为212677()2333
x x f x x x x +-+===+---， 7303
x x ≠≠-且
，2y ∴≠，函数()f x 值域为{|2}y y R y ∈≠且； 【例题2】：求函数21(),(2,4]1x f x x x -=∈-的值域；
【思路切入】：由例1的结构拆分法，我们不难得到函数的反比例结构。
但由于函数有附加定义域(2,4]，所以在例1方法的基础上，结合一元二次函数值域的解法步骤，我们改进此类问题解法程序步骤为：
（一）数形结合法：
1、将函数分解为反比例的结构；
2、根据反比例结构特性，画出函数图像示意；
3、观察定义域内的曲线形状，找到最高点和最低点，得到函数值域。
（二）代数法：
1、利用变换，将x 用y 表示；
2、利用给定的函数定义域（x 的取值范围）建立关于y 的不等式；
3、解关于y 的不等式，得到函数值域。
【解析】：解法一：函数拆分变化为
212211()2,(2,4]111
x x f x x x x x --+===+∈---，画出函数示意图：
观察(2,4]内的曲线形状得
当2x =时，(2)3f =，当4x =时，
min 7()(4)3
f x f ==； 所以，函数()f x 的值域是7[,3)3。
解法二：函数21(),(2,4]1
x f x x x -=∈-变形为1,(2)2y x y y -=≠-， 由函数定义域(2,4]可得1242y y -<
≤-， 解之得733
y ≤<，
所以，函数()f x 的值域是7[,3)3。
进一步思考，通过解题归纳规律，我们不难得到，函数()(0)ax b f x c cx d +=
≠+类值域（最值）问题的变化在于：
1、给定函数定义域区间的开闭变化，有四种：双开、双闭、左开右闭、左闭右开；
2、给定定义域含不含函数图像对称中心的变化，有三种：在对称中心左侧、在对称中心右侧、含对称中心；
3、反比例函数结构的变化，有两种：,0a y a x
=>图像在一、三象限，,0a y a x
=<图像在二、四象限。
如此，此类函数的值域（最值）问题就全在你的掌控之中了。
任题目千变万化，但解题方法步骤不变，我们完全可以“以不变应万变”。
【文化提升】：某个事物所具备的结构特征，决定了这个事物的转变方向。
有时，我们可以把复杂事物，通过结构拆分，转化为我们所熟知的基本事物，然后，透过有条理的线索，逐步解决问题。
单就数学来说，解决任何数学问题，透过数学结构，其解决方法的适当选取是培养数学思维素质的好途径。
【落实提高】：
1、求函数21(),(0,4)1
x f x x x -=
∈-的值域； 答案：7(,1)(,)3
-∞+∞ 2、求函数21(),[4,2)1x f x x x -=∈--+的值域； 答案：[3,5)
3、求函数3(),(0)21
x f x x x -=≥+的值域； 答案：1(,3]2
-
4、函数21()(),(0,4)()11()
f x
g x x f x x f x -=∈=-+且，求函数()g x 的值域； 答案：7(,)8
-+∞。