分式函数的图像与性质
常见分式函数的研究
03 分式函数的运算与变换
分式函数的加减法
分式函数的加减法可以通过通分实现，将分母统一后再进行加减运算。 在进行分式函数的加减法时，需要注意分母不能为零的情况，避免出现无意义的情况。 对于分式函数的加减法，需要注意运算的顺序，先进行乘除运算再进行加减运算。 在进行分式函数的加减法时，可以利用等价无穷小替换简化计算过程。
分式函数的极限与连续性
分式函数的极限：研究分式函数在某点的极限值，以及极限的运算法则
分式函数的连续性：探讨分式函数在某点的连续性，以及连续性的性质和判定方法
分式函数极限与连续性的关系：分析极限与连续性之间的联系，以及在数学分析中的应 用
分式函数极限与连续性的应用：举例说明分式函数极限与连续性在解决实际问题中的应 用
分式函数极值的几 何意义
分式函数极值在实 际问题中的应用
分式函数的凹凸性及拐点问题
分式函数的凹凸性 定义
拐点及其判定条件
分式函数凹凸性的 判别方法
分式函数拐点的求 法
06 分式函数的综合题解析
分式函数的解析几何问题
涉及直线与圆的位 置关系
涉及点到直线的距 离公式
涉及直线的斜率公 式
涉及圆的半径和弦 长公式
分式函数的优化问题
分式函数的极值条件 分式函数的单调性分析 分式函数的凹凸性判断 分式函数的最值求解方法
分式函数的极值问题
分式函数的极值条件 分式函数的极值计算方法 分式函数的极值应用场景 分式函数的极值与连续性的关系
分式函数的最大值与最小值问题
分式函数的极值条 件
分式函数的最大值 与最小值的求解方 法
04 分式函数的应用
分式函数在物理中的应用
力学中速度与时间的关系
电学中电流与电压的关系
《函数》数学PPT课件
经济领域中常见问题建模为函数关系
供需关系
在经济学中，供给和需求是两个重要的概念，它们之间的 关系可以用函数来表示。供给函数和需求函数的交点即为 市场均衡点。
生产成本与产量的关系
在制造业中，生产成本通常与产量有关。随着产量的增加 ，单位产品的成本可能会降低，这可以通过一个递减的函 数来表示。
投资回报与风险的关系
生活中常见问题建模为函数关系
路程、速度和时间的关系
s = vt，其中s是路程，v是速度，t是 时间。这是一个典型的线性函数关系 。
温度随时间的变化
在一天中，气温随时间变化而变化， 可以建立一个以时间为自变量、气温 为因变量的函数关系。
购物总价与数量的关系
总价 = 单价 × 数量。这也是一个线 性函数关系，可以通过函数图像来表 示。
三角函数定义
正弦、余弦、正切等函数 的定义域、值域及基本性 质。
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的 图像及其特点，如周期性 、振幅、相位等。
三角函数关系
同角三角函数关系式，如 平方关系、倒数关系、商 数关系等。
三角函数诱导公式和周期性质
诱导公式
通过角度的加减、倍角、半角等 变换，得到三角函数的诱导公式
当a>0时，二次函数有最小值，无最大值；当a<0时， 二次函数有最大值，无最小值
在实际问题中，可以通过二次函数的最值来解决最优化 问题
03
指数函数与对数函数
指数函数图像与性质
指数函数定义
形如y=a^x（a>0且a≠1）的函 数称为指数函数。
指数函数图像
当a>1时，图像在x轴上方，且随 着x的增大而增大；当0<a<1时， 图像在x轴上方，但随着x的增大而 减小。
第二节 分式线形函数及其映射性质
注：
(1)分式线性函数的定义域可以推广到扩充复平
面 C。 (2)当 0时，规定它把 z 映射成 w ；
(3)当 0 时，规定它把z , z 映射成
w , w
二、分式线性函数的拓广
由此，我们可以解出分式线性函数。显然 这样的分式线性函数也是唯一的。
注：
z z1 : z3 z1 和 w w1 : w3 w1 分别称为 z z2 z3 z2 w w2 w3 w2 及 z1, z2, z, z3 的交比。w1, w2, w, w3 分别记为 (z1, z2 , z, z3 ) ，(w1, w2 , w, w3 )
2
2i
则得圆的复数表示：
azz z z d 0,
其中a,b,c,d是实常数，
1 2
(b
ic)
是复常数。
函数 w 1 把圆映射成为 z
dww w w a 0,
即w平面的圆（如果d=0，它表示一条直线， 即扩充w平面上半径为无穷大的圆）。
注解：
(1)、设分式线性函数把扩充z平面上的圆C映射 成扩充w平面上的圆C‘。于是，C及C’把这两个 扩充复平面分别分成两个没有公共点的区域， D1, D2 及 D1', D2 '，其边界分别是C及C'。
（3）、w rz 确定一个以原点为相似中心的相 似映射；
（4）、w
1 z
是由 z1
1 z
映射及关于实轴的对称
映射 w z1 叠合而得。
四、映射的性质
1、保圆性
规定：在扩充复平面上，任一直线看成半径是无 穷大的圆。 定理6.6 在扩充复平面上，分式线性函数把圆映射 成圆。
有理分式函数的图象及性质
有理分式函数的图象及性质【知识要点】1．函数(0,)ax b y c ad bc cx d+=≠≠+（1）定义域：{|}d x x c ≠-（2）值域：{|y y ≠单调区间为(,),(,+)d d c c-∞--∞（4）直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d a c c- （5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数。
（62．函数(0,0)b yax a b x =+>>的图象和性质： （1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：{|y y y ≥或（3）奇偶性：奇函数（4）单调性：在区间+),(∞上是增函数；在区间上是减函数（5以y 轴和直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。
3．函数(0,0)b y ax a b=+><的图象和性质：【例题精讲】1．函数11+-=x y 的图象是 （ ）A B C D2．函数23(1)1x y x x +=<-的反函数是 （ ） 3333.(2) . (2) . (1) .(1)2222x x x x A y x B y x C y x D y x x x x x ++++=<=≠=<=≠---- 3．若函数2()x f x x a+=+的图象关于直线y x =对称，则a 的值是 （ ） . 1 . 1 . 2 .2A B C D --4．若函数21()x f x x a-=+存在反函数，则实数a 的取值范围为 （ ） 11. 1 . 1 . .22A aB aC aD a ≠-≠≠≠- 5．不等式14x x>的解集为 （ ） 1111111. (,0)(,) . (-,)(,) . (,0)(0,,+) .(,0)(0,)2222222A B C D -+∞∞-+∞-∞-6．已知函数2()ax b f x x c+=+的图象如图所示，则,,a b c 的大小关系为 （ ） . . . .A a b c B a c b C b a c Db c a >>>>>>>>7．若正数a 、b 满足,3++=b a ab 则ab 的取值范围是_____ 。
反比例、分式函数
反比例函数、一次分式函数班级__________姓名____________ ______年____月____日 1、 理解分式函数的概念2、 掌握一次分式函数的图像画法及性质3、 掌握反比例函数的性质 【教学过程】一、 知识梳理： 2、 一次分函数的定义我们把形如(0,)cx dy a ad bc ax b +=≠≠+的函数称为一次分函数。
4、 一次分函数(0,)cx dy a ad bc ax b+=≠≠+的图象和性质图象：其图象如图所示.第 2 页 共 4 页定义域：_________________；值域：____________________；对称中心：___________________；渐近线方程：______________________； 单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)ba-+∞分别单调递减；当ad<bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)ba-+∞分别单调递增；二、回归教材1．函数111--=x y 的图象是 ． 2．已知反比例函数x y 6-=的图象经过点),2(a P ，则a=__________.3．()10xy x x-=≠的值域是 ． 4．函数21()3x f x x +=+的单调增区间是 ．5．函数21()3x f x x -=+的对称中心是 ．6．函数()xf x x=是 函数．（填“奇”“偶”“非奇非偶”） 三、典型题型： 【例1】填空题：（1）函数21()3x f x x -=+（()5,2-∈x ），则()x f 的值域是________． （2）函数21()3x f x x -=+（())5,2(4,5⋃--∈x ），则()x f 的值域是________．（3）已知函数()ax x x f -+=12，若*∈∀N x ，()()5f x f ≥恒成立，则a 的取值范围是 ． （4）若函数21()x f x x a+=+的图象关于直线y ＝x 对称，则实数a ＝ .第 3 页 共 4 页【例2】（2004年江苏）设函数)(1)(R x xxx f ∈+-=，区间M=[a ，b](a<b)，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b)有几个？【例3】已知函数2()1ax af x x +-=+，其中a R ∈。
复变函数7.2第7.2节分式线性函数
注解：
注解1、设分式线性函数把扩充z平面上的圆C映 射成扩充w平面上的圆C‘。于是，C及C’把这两 个扩充复平面分别分成两个没有公共点的区域 ，D1, D2 及D1', D2'，其边界分别是C及C'。
注解2、此分式线性函数把 D1映射成之中 D1', D2' 的一个区域；
注解3、利用此定理也可以解释关于直线的对称点 。
y
w1
z x
w 1/ z
引理4.1:
引理4.1 不同两点 z1 及 z2 是关于圆C的对称点的 必要与充分条件是：通过 z1 及 z2 的任何圆与圆 C直交。
证明：如果C是直线（半径为无穷大的圆）；或 者C是半径为有限的圆， z1 及 z2 之中有一个是 无穷远点，则结论显然。
w az b , cz d
定理 4.2的证明：
那么，由
w1
az1 cz1
b d
,
w2
az2 cz2
b d
,
w2
az2 b cz2 d
得
w
w1
(az
b)(cz1 d ) (az1 b)(cz (cz d )(cz1 d )
d
)
(z z1)(ad bc)
分式线性函数的反函数为 z w , w
它也是分式线性函数，其中 ( )() 0
注解：
注解1、当 0 时，所定义的分式线性函数是 把z平面双射到w平面，即把C双射到C的单叶解 析函数；
(完整版)分式函数的图像与性质
分式函数的图像与性质1、分式函数的概念形如22(,,,,,)axbx c y a b c d e fR dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。
如221x y x x +=+，212x y x +=-，413x y x +=+等。
2、分式复合函数形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。
如22112x xy +=-，sin 23sin 3x y x +=-，23y x =+等。
※ 学习探究 探究任务一：函数(0)by ax ab x=+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像是怎样的？ 例1、画出函数211x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---，即函数211x y x -=-的图像可以经由函数1y x =的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。
如下表所示：12111211y y y x x x =−−→=−−→=+--右上 由此可以画出函数211x y x -=-的图像，如下： 单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞； 值域：(,2)(2,)-∞+∞U ； 对称中心：(1,2)。
【反思】(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？【小结】(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。
分式函数(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像与性质 （1）定义域：{|}dx x c ≠- ；（2）值域：{|}ay y c≠；（3）单调性：单调区间为(,),(,+)d dc c-∞--∞；（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线,d a x y c c=-=，对称中心为点(,)d ac c-；（5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数；（6）图象：如图所示问题2：(0)by ax ab x=+≠的图像是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1y x x=+的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。
函数详解之分式函数
函数详解之分式函数30.函数xa x x f -=2)(的定义域为(0，1]（a 为实数）．⑴当1-=a 时，求函数)(x f y =的值域；⑵若函数)(x f y =在定义域上是减函数，求a 的取值范围；⑶求函数)(x f y =在x ∈(0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值．解：（1）显然函数)(x f y =的值域为),22[∞+；（2）若函数)(x f y =在定义域上是减函数，则任取∈21,x x ]1.0(且21x x <都有)()(21x f x f > 成立， 即0)2)((2121>+-xx ax x 只要212x x a -<即可，由∈21,x x ]1.0(，故)0,2(221-∈-x x ，所以2-≤a ， 故a 的取值范围是]2,(--∞； （3）当0≥a 时，函数)(x f y =在]1.0(上单调增，无最小值， 当1=x 时取得最大值a -2；由（2）得当2-≤a 时，函数)(x f y =在]1.0(上单调减，无最大值， 当x ＝1时取得最小值2－a ；当02<<-a 时，函数)(x f y =在].0(22a-上单调减，在]1,[22a -上单调增，无最大值，当22a x-=时取得最小值a22-．31.已知函数21()(0,0,)ax f x a b c R bx c+=>>∈+是奇函数，当0x >时，有()f x 最小值2，其中b N ∈，且5(1)2f =．(Ⅰ)试求函数()f x 的解析式；(Ⅱ)问函数()f x 的图像上是否存在关于点（1,0）对称的两点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 解 (Ⅰ)由2211()()ax ax f x f x bx cbx c++-=-⇒=--++，即bx c bx c -+=--，0c ∴= ……………………………………………2分0,0,0a b c >>= ，21()ax f x bx+∴=b a∴= ……………………4分又515(1)22a f b+<∴<，即221525202b b b b+<⇒-+<12()1,2b b N b⇒<<∈⇒=∴11abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩……………………………6分(Ⅱ)设00(,)M x y关于点(1,0)的对称点为N，则00(2,)N x y--，………………8分00020000121122y xxx xy xx⎧=+⎪⎪∴⇒--⎨⎪-=-+⎪-⎩⇒01222xy⎧=+⎪⎨=⎪⎩或01222xy⎧=-⎪⎨=-⎪⎩…………11分∴存在两点(12,22)M+与(12,22)N--关于点(1,0)对称.………12分32.已知函数2211()af xa a x+=-，常数0>a．（1）设0m n⋅>，证明：函数()f x在[]m n，上单调递增；（2）设0m n<<且()f x的定义域和值域都是[]m n，，求常数a的取值范围．解:（1）任取1x，],[2nmx∈，且12x x<，12122121()()x xf x f xa x x--=⋅，因为12x x<，1x，],[2nmx∈，所以12x x>，即12()()f x f x<，故)(xf在],[nm上单调递增．或求导方法．（2）因为)(xf在],[nm上单调递增，)(xf的定义域、值域都是⇔],[nm(),()f m m f n n==，即nm,是方程2211aa a xx+=-的两个不等的正根1)2(222=++-⇔xaaxa有两个不等的正根．所以04)2(222>-+=∆aaa，222a aa+>⇒12a>33.已知定义域为R的函数abxfxx++-=+122)(是奇函数.（1）求a,b的值；（2）若对任意的Rt∈，不等式0)2()2(22<-+-ktfttf恒成立，求k的取值范围.解（1）因为)(xf是R上的奇函数，所以1,021,0)0(==++-=babf解得即从而有.212)(1axfxx++-=+又由aaff++--=++---=1121412)1()1(知，解得2=a（2）解法一：由（1）知,121212212)(1++-=++-=+xx xx f由上式易知)(x f 在R 上为减函数，又因)(x f 是奇函数，从而不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 等价于).2()2()2(222k t f k t f t t f +-=--<-因)(x f 是R 上的减函数，由上式推得.2222k t t t +->- 即对一切,0232>--∈k t t R t 有从而31,0124-<<+=∆k k 解得解法二：由（1）知,2212)(1++-=+x xx f又由题设条件得0221222121221222222<++-+++-+--+--k t kt t t tt即0)12)(22()12)(22(2222212212<+-+++-+-+--+-kt t t tt k t整理得12232>--kt t，因底数2>1，故0232>--k t t上式对一切R t ∈均成立，从而判别式.31,0124-<<+=∆k k 解得34.已知函数()a f x x x =-.(1)若13log [8()]y f x =-在[1,)+∞上是单调减函数,求实数a 的取值范围;(2)设1,a x y k =+=,若不等式22()()()2k f x f y k≥-对一切,(0,)x y k ∈恒成立,求实数k的取值范围.解: (1)令8a t x x=-+,则要使13log [8()]y f x =-在[1,)+∞上是单调减函数,则/21080a t xa t x x ⎧=-≥⎪⎪⎨⎪=-+>⎪⎩在[1,)+∞上恒成立,则21180a x a ⎧≥-≥-⎨-+>⎩所以, 19a -≤< (7)分 (2) 2222111()()()()()x y x yf x f y x y x y xy-++=--=222221212(0)4k xy x yk kxy xy xyxy-++-==++<≤. (10)分 令u xy=,则221()()2,(0,]4k kf x f y u u u-=++∈当2214kk -≥即0252k <≤-时,21()()2k f x f y u u -=++在2(0,]4ku ∈上为减函数,所以 2222min22142[()()]22()4424kk kk f x f y kkk-=++=+-=-即当0252k <≤-时,22()()()2k f x f y k≥-……………………………12分 当2214kk -<,222min 242[()()]2122()42kk f x f y k kk=-+<+-=-与题意不合.所以,所求的k 的取值范围为 : 0252k <≤-. ………………………14分35.（本小题满分14分）设关于x 的方程2x 2－ax －2=0的两根为α、β（α＜β），函数14)(2+-=x a x x f ．（Ⅰ）求f (α)·f (β)的值；（Ⅱ）证明f (x )是[α，β]上的增函数；（Ⅲ）当a 为何值时，f (x )在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小？ 解：（Ⅰ）由题意知α＋β＝2a ，α·β＝－1，∴α2＋β2＝242+a，∴f (α)·f (β)＝1)(41614142222222+++++-=+-⋅+-ββαβααβββααa aa a a41241216222－=++++--=aa a ．……………………………………………………… 4分（Ⅱ）证明：当α≤x ≤β时，22\22\\)1()1)(4()1()4()(++--+-=xx a x xa x x f222222)1()22(2)1(2)4()1(4+---=+⋅--+=x ax x x xa x x ………… 6分∵α、β是方程2x 2－ax －2=0的两根， ∴当α≤x ≤β时，恒有2x 2－ax －2≤0， ∴)(\x f ≥0，又)(x f 不是常函数，∴)(x f 是[α，β]上的增函数．……………………………………………… 9分 （Ⅲ）f (x )在区间[α，β]上的最大值f (β)＞0，最小值f (α)＜0，又∵| f (α)·f (β) |＝4， ……………………………………………………… 10分 ∴f (β)－f (α)＝| f (β)|＋| f (α)|≥4)()(2=⋅βαf f当且仅当| f (β)|＝| f (α)|＝2时取“＝”号，此时f (β)＝2，f (α)＝－2 …… 11分∴⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-)2(022)1(21422 ββββa a……………………………………… 13分由（1）、（2）得0)16(2=+a a ，∴a ＝0为所求．…………………………………………………… 14分 36.已知函数)0()(>+=t xt x x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ．（Ⅰ）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式；（Ⅱ）是否存在t ，使得M 、N 与)1 , 0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64 , 2[nn +内总存在1+m 个实数m a a a ,,,21 ，1+m a ，使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求m 的最大值．解：（Ⅰ）设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，21)(xt x f -='， ∴切线PM 的方程为：))(1()(12111x x x t x t x y --=+-，又 切线PM 过点)0,1(P ， ∴有)1)(1()(012111x x t x t x --=+-，即02121=-+t tx x ， ………………………………………………（1） …… 2分同理，由切线PN 也过点)0,1(P ，得02222=-+t tx x ．…………（2） 由（1）、（2），可得21,x x 是方程022=-+t tx x 的两根，⎩⎨⎧-=⋅-=+∴. ,22121t x x t x x ………………（ * ） ……………………… 4分22211221)()(x t x x t x x x MN --++-=])1(1[)(221221x x t x x -+-=])1(1][4)[(22121221x x t x x x x -+-+=，把（ * ）式代入,得t t MN 20202+=,因此，函数)(t g 的表达式为)0( 2020)(2>+=t t t t g ． ……………………5分（Ⅱ）当点M 、N 与A 共线时，NA MA k k =，∴1111--+x x t x ＝1222--+x x t x ，即21121x x t x -+＝22222x x t x -+，化简，得0])()[(211212=-+-x x x x t x x ，21x x ≠ ，1212)(x x x x t =+∴． ………………（3） …………… 7分把（*）式代入（3），解得21=t ．∴存在t ，使得点M 、N 与A 三点共线，且 21=t ． ……………………9分（Ⅲ）解法1：易知)(t g 在区间]64,2[nn +上为增函数，∴)64()()2(nn g a g g i +≤≤)1,,2,1(+=m i ，则)64()()()()2(21n n g m a g a g a g g m m +⋅≤+++≤⋅ ．依题意，不等式)64()2(nn g g m +<⋅对一切的正整数n 恒成立， …………11分)64(20)n6420(n 22022022nn m +++<⋅+⋅，即)]64()n64[(n 612nn m +++<对一切的正整数n 恒成立，．1664≥+nn ， 3136]1616[61)]64()n64[(n 6122=+≥+++∴nn ，3136<∴m ．由于m 为正整数，6≤∴m ． ……………………………13分 又当6=m 时，存在221====m a a a ，161=+m a ，对所有的n 满足条件． 因此，m 的最大值为6． ……………………………14分 解法2：依题意，当区间]64,2[nn +的长度最小时，得到的m 最大值，即是所求值．1664≥+nn ，∴长度最小的区间为]16,2[， …………………11分当]16,2[∈i a )1,,2,1(+=m i 时，与解法1相同分析，得)16()2(g g m <⋅，解得3136<m ．37.已知函数xa x y +=有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．（1）如果函数y ＝x ＋x b2（x ＞0）的值域为[6，＋∞)，求b 的值； （2）研究函数y ＝2x ＋2xc（常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数y ＝x ＋xa 和y ＝2x ＋2xa （常数a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F ＝nx x )1(2+＋nx x)1(2+（n 是正整数）在区间[21，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．（理）解：（1）函数2(0)by x x x=+>的最小值是2b2，则226b=，∴2log 9b =（2）设120x x <<，222221212122222112()(1)c c c y y x x x x xxx x-=+--=--⋅.当412c x x <<时，21y y >，函数22c y x x=+在[4c ,+∞)上是增函数；当4120x x c <<<时，21y y <，函数22c y x x=+在(0,4c ]上是减函数.又22c y x x=+是偶函数，于是，该函数在(－∞,－4c ]上是减函数, 在[－4c ,0)上是增函数；（3）可以把函数推广为(0)n na y x a x=+>，其中n 是正整数.当n 是奇数时,函数n na y x x=+在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数,在(－∞,－na 2]上是增函数, 在[－n a 2,0)上是减函数；当n 是偶数时,函数n na y x x=+在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数, 在(－∞,－na 2]上是减函数, 在[－n a 2,0)上是增函数；21()()nF x x x=++nx x)1(2+=)1()1()1()1(323232321220nnn n rn rn r n n n n nnn xx C xx C xxC xxC ++++++++----因此()F x 在 [21,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数.所以，当12x =或2x =时，()F x 取得最大值9924nn⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当1x =时，()F x 取得最小值12n +.38已知函数()()2211xf x x R x x-=∈++.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值； （Ⅱ）若()2220t t t e x e x e +++-≥对满足1x ≤的任意实数x恒成立，求实数t 的取值范围（这里e 是自然对数的底数）；（Ⅲ）求证：对任意正数a 、b 、λ、μ，恒有2222a b a b a b f f λμλμλμλμλμλμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥22a b λμλμ+-+.【解】（Ⅰ）()()()()()()()()22222223232121111x x x x xx x f x x x x x ⎡⎤⎡⎤---+⋅----++-+-⎣⎦⎣⎦'==++++∴()f x 的增区间为()23,23---+，()f x 减区间为(),23-∞--和()23,-++∞.极大值为()23233f -+=，极小值为()23233f --=-.…………4′（Ⅱ）原不等式可化为()22211t x e x x-++≥由（Ⅰ）知，1x ≤时，)(x f 的最大值为332.∴()22211xx x-++的最大值为433，由恒成立的意义知道433t e ≥，从而433t ln≥…8′（Ⅲ）设()()()22101xg x f x x x x x x-=-=->++则()()()()()243222224124621111x x x x x x g x f x x x x x -++++++''=-=-=-++++.∴当0x >时，()0g x '<，故()g x 在()0,+∞上是减函数，又当a 、b 、λ、μ是正实数时，()()222220a b a b a bλμλμλμλμλμλμ-⎛⎫++-=- ⎪+++⎝⎭≤ ∴222a b a bλμλμλμλμ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭≤. 由()g x 的单调性有：222222a b a b a b a b f f λμλμλμλμλμλμλμλμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++--⎢⎥⎪ ⎪ ⎪++++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥， 即222222a b a b a b a bf f λμλμλμλμλμλμλμλμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪++++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥.…………12′ 39.(本题12分) 已知函数()1bx c f x x +=+的图象过原点，且关于点（-1,1）成中心对称．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若数列{}n a (*)n N ∈满足：()2110,1,()n n n a a a f a +>==，求数列{}n a 的通项n a ； （Ⅲ）若数列{}n a 的前n 项和为n S ,判断n S 与2的大小关系，并证明你的结论． 解 (Ⅰ) 因为函数()1bx c f x x +=+ 的图象过原点，所以c =0，即()1bx f x x =+.又函数()11bx bf x b x x ==-++的图象关于点（-1，1）成中心对称，所以1,()1xb f x x ==+。
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分式函数的图像与性质1、分式函数的概念形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。
如221x y x x+=+，212x y x +=-，413x y x +=+等。
2、分式复合函数形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。
如22112x xy +=-，sin 23sin 3x y x +=-，y =等。
※ 学习探究探究任务一：函数(0)b y ax ab x=+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax b y a b c d R cx d +=∈+的图像是怎样的？ 例1、画出函数211x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---，即函数211x y x -=-的图像可以经由函数1y x =的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。
如下表所示：由此可以画出函数211x y x -=-的图像，如下： 单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞；值域：(,2)(2,)-∞+∞；对称中心：(1,2)。
【反思】(,,,)ax b y a b c d R cx d+=∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？ 【小结】(,,,)ax b y a b c d R cx d+=∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。
分式函数(,,,)ax b y a b c d R cx d +=∈+的图像与性质 （1）定义域：{|}d x x c≠- ； （2）值域：{|}a y y c≠； （3）单调性：单调区间为(,),(,+)d d c c-∞--∞； （4）渐近线及对称中心：渐近线为直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d a c c-； （5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数；（6）图象：如图所示问题2：(0)b y ax ab x=+≠的图像是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1y x x =+的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。
【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间，奇偶性，周期性，凸凹性（此点不作要求），关键点坐标（最值点、与坐标轴交点）、辅助线（对称轴、渐近线）。
绘图过程中需综合考虑以上要素，结合逼近与极限思想开展。
解：函数的定义域为：{|0}x x ≠；根据单调性定义，可以求出1y x x=+的单调区间 增区间：(,1][1,)-∞-+∞减区间：[1,0),(0,1]-函数的值域为：(,2][2,)-∞-+∞函数的奇偶性：奇函数函数图像的渐近线为：,y x =0x =函数的图像如下：【反思】如何绘制陌生函数的图像？研究新函数性质应从哪些方面入手？【小结】分式函数(,0)b y ax a b x=+>的图像与性质： （1）定义域：{|0}x x ≠；（2）值域：{|y y y ≥≤-或；（3）奇偶性：奇函数；（4）单调性：在区间(,[,+)b a-∞∞上是增函数，在区间上为减函数； （5）渐近线：以y 轴和直线y ax =为渐近线；（6）图象：如右图所示例3、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1y x x =-的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。
【分析】结合刚才的绘图经验，不难绘制出1y x x=-的图像 解：函数的定义域为：{|0}x x ≠；根据单调性定义，可以判断出1y x x=-的单调性，单调增区间为：(,0),(0,)-∞+∞函数的值域为：R函数的奇偶性：奇函数函数图像的渐近线为：,y x =0x =函数的图像如下：【反思】结合刚才的两个例子， 1y x x =--与1y x x=-的图像又是怎样的呢？思考12+y x x =与23y x x =-的图像是怎样的呢？(,,0)b y ax a b R ab x=+∈≠的图像呢？ 函数1y x x=--的图像如下，绘制的过程可以根据刚才的绘图经验。
【注】11()y x x x x=--=-+，由于()y f x =与()y f x =-的图像关于x 轴对称，所以还可以根据1y x x =+的图像，对称的画出1y x x =--的图像。
同样的道理1y x x =-的图像与1y x x=-的图像关于x 轴对称，所以图像如下：【小结】(,,0)b y ax a b R ab x=+∈≠的图像如下： （i ）(0,0)b y ax a b x=+>> (ii) (0,0)b y ax a b x=+>< (iii) (0,0)b y ax a b x=+<>(iv) (0,0)b y ax a b x=+<<[来源:学+科+网Z+X+X+K] (,,0)b y ax a b R ab x=+∈≠的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。
探究任务二：函数22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f++=∈++的图像与性质 问题3：函数2211x x y x ++=+的图像是怎样的？单调区间如何？ 【分析】22212(1)3(1)222(1)3111x x x x y x x x x +++-++===++-+++ 所以2211x x y x ++=+的图像与22y x x=+的图像形状完全相同，只是位置不同。
图像的对称中心为：(1,3)--单调增区间为：(,2][0,)-∞-+∞单调减区间为：[2,1),(1,0]---值域：(,7][1,)-∞-+∞图像如下：【反思】函数2121x y x x +=++的性质如何呢？单调区间是怎样的呢？ 【小结】对于分式函数22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f++=∈++而言，分子次数高于分母时，可以采用问题3中的方法，将函数表达式写成部分分式，在结合函数的图像的平移，由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。
对于分子的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为0），再着力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。
如： 二次分式函数具有形式22(,()0)Ax Bx C y f x Dx A Ex B F++==++不同时为. 我们将要研究它的定义域,值域,单调性,极值.1. 定义域和有界性20Dx Ex F ++=当方程有解,设12122,0(=Dx Ex x x x x F ++≤)是两个根 .则函数定义域12{|}x x x x x ∈≠∧≠R .当122211220,lim 0,lim x x x x Ax Bx C Ax Bx C →→++≠=∞++≠=∞或.此时函数无界.当221122=0=0Ax Bx C Ax Bx C ++++且,函数有界且为常值函数(很少遇到的情况,比如2211x y x -=- ).所以通常当240E DF -≥ ,二次分式函数是无界的.12,x x x x == 是函数的渐近线.当240E DF -<,函数定义域为R .函数有界.2. 单调性,极值,值域当240E DF -<,20Dx Ex F ++≠,可以将函数化为()22=.y Dx Ex F Ax B x x C ++++的方程 .()()2B 0x Dy A x Ey Fy C -+-+-=即.对于值域中的每一个y,方程都有实数解,0,=00,,Dy A Dy A -≠-∆≥当验当证是否有解 .这样就可以求出值域.值域的两个端点(方程的两个解)为函数极大值和极小值.但为了计算在何处取得极值,需将极值代入()()2B 0x Dy A x Ey Fy C -+-+-=函数解出x ,计算可能有点慢.下文会给出一个简便的计算方法.lim ()x A f x D →∞= ,根据极值与A D 的大小即可判断单调区间.240E DF -<这种情况最多有三个单调区间.当240E DF -≥,用判别式法可能会产生增根.此时通常会解出y ∈R .出现这种情况,求解20Dx Ex F ++=和20Ax Bx C ++= .分式可化为一次分式,根据定义去求出这个一次分式值域.比如()()()()2221121311221222x x x x y x x x x x x x x-+-+-+====-≠≠--++-++++且 分离变量和换元再用基本不等式求解也是解决二次分式的常规方法,再.下面给出一个具体例子.223325x x x y x +--++= .首先定义域2{|50}x x x -++≠ 解得((111){|(1}22x x x ∧≠≠ .分离分子中的二次项得261335x y x x +=-+-++ . 13613,6t t x x -=+=令 .代入得函数值域(-)∞∞Ç 根据2233m 2l 35i x x x x x →∞+-++=--,可判断出单调区间((((((((1111(-,13),(13,1),(1,+) 66221111(13,1),(1,13)6226∞∞--+---增区间减区间 共有5个单调区间顺便再算一下函数零点((212113320=3,=366x x x x +----解得= 有了这些信息,我们很容易画出函数大致图像。