分式函数的图像及性质

高一数学选修课系列讲座（一）

-----------------分式函数的图像与性质

一、概念提出

1、分式函数的概念

形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。如221x y x x +=+，212x y x +=-，41

3

x y x +=+等。

2、分式复合函数

形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。如22112x x y +=-，sin 2

3sin 3x y x +=

-，12

3x y x -+=

+等。

二、学习探究 探究任务一：函数(0)b

y ax ab x

=+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax b

y a b c d R cx d

+=

∈+的图像是怎样的？ 例1画出函数21

1

x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。

小结：(,,,)ax b

y a b c d R cx d

+=

∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。 分式函数(,,,)ax b

y a b c d R cx d

+=

∈+的图像与性质： （1）定义域： ；（2）值域：；

（3）单调性：单调区间为；

（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线，对称中心为点；

（5）奇偶性：当时为奇函数； （6）图象：如图所示

问题2：(0)b

y ax ab x

=+≠的图像是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1

y x x

=+的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。

小结：分式函数(,0)b

y ax a b x

=+

>的图像与性质： （1）定义域：；（2）值域：；

（3）奇偶性：；

（4）单调性：在区间上是增函数，

在区间上为减函数；

（5）渐近线：以轴和直线为渐近线； （6）图象：如右图所示

例3、根据y x =与1y x =

的函数图像，绘制函数1

y x x

=-的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。

结合刚才的两个例子，思考1y x x =--

与1

y x x

=-的图像又是怎样的呢？ 思考12+y x x =与23y x x =-的图像是怎样的呢？(,,0)b

y ax a b R ab x =+∈≠的图像呢？

小结：(,,0)b

y ax a b R ab x

=+∈≠的图像如下：

（i ）(0,b y ax a b x =+>>

(0,0)b y ax a b =+><(iii) (0,0)b

y ax a b x

=+<>

(iv) (0,0)b

y ax a b x

=+

<<

(,,0)b

y ax a b R ab x

=+∈≠的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。

探究任务二：函数22

(,,,,,)ax bx c

y a b c d e f R dx ex f

++=∈++的图像与性质 问题3：例4 函数221

1

x x y x ++=+的图像是怎样的？单调区间如何？

思考：函数2

1

21

x y x x +=

++的性质如何呢？单调区间是怎样的呢？ 小结：对于分式函数22

(,,,,,)ax bx c

y a b c d e f R dx ex f

++=∈++而言，分子次数高于分母时，可以采用问题3中的方法，将函数表达式写成部分分式，再结合函数的图像的平移，由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。对于分子的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为0），再着力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。如：

22111

(1)221212(1)3

11

x y x x x x x x x x +=

==≠-++++++-++

巩固练习：

1、若,,3,x y R xy y +

∈+=则x y +

的最小值是；

2、函数234

x

y

x =

+的值域是；

3、已知[)221

(),1,ax x f x x x

--=

∈+∞单调递减，则实数a 的取值围是； 4、不等式2

0x a x

-->的在[]2,1有实数解，则实数a 的取值围是； 5、不等式2

0x a x

-

->的在[]2,1恒成立，则实数a 的取值围是； 6、已知()a

f x x x

=-+

在区间[2,3)单调递减，求a 的取值围是； 7、函数221

x x

y x x -=-+的值域是

8、定义在R 上函数()f x ，集合{A a a =为实数，且对于任意},()x R f x a ∈≥恒成立，且存在常数m A ∈，对于

任意n A ∈，均有m n ≥成立，则称m 为函数()f x 在R 上的“定下界”．若21

()12x x

f x -=+，则函数()f x 在R 上

的“定下界”m =__________．

9、设

(),[0,+)1

a

f x x x x =+

∈∞+． （1）当4a =时，求()f x 的最小值；

（2）当(0,1)a ∈时，判断()f x 的单调性，并写出()f x 的最小值。

10、已知函数()2a

f x x x

=+

的定义域为(]0,2（a 为常数）. （1）证明：当8a ≥时，函数()y f x =在定义域上是减函数；

（2）求函数()y f x =在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值。