常见的分式函数的图象及其应用
分式型函数的最值求法及简单应用
分式型函数的雏形是反 比例 函数 ） ， ＝ （ ｋ ≠
０ ） ， 通过对函数 图像 的平移 ， 可得到形式为“ Ｙ ＝ 口＋
时， － 等号成立． １
所 以函数的最小值为 ２ √ ＋ ３ ， 此时 ＝ √ ＋ ２ ．
由于函数形 式符合了基本 不等式的“ 一正数 ，
二定值 ， 三相等” 的要求 ， 于是顺理成章 的借助基本 不等式完成了本题 （ ２ ）仍然可整理 孥 化为（ １ ） 中的函数形式， 但由 于ｔ 的范围限制， 故基本不等式在本题中不能使用了， 并目 该 函 数不 是初等函数， 故必厮 Ｕ 用导数说明 单调性
处不 展开说 明．
（ ＞ ２ ） ； （ ３ ≤ ≤５ ） ．
６ Ｏ・
＜ 数学之友 ）
２ ０ １ ５年第 ２ Ｏ期
解 法二 ： ‘ ． ‘ ∈Ｒ， ． ‘ ． 分子 分 母 Ｉ
＝
时， 要 注恿
０的情 况分 开讨论 ：
② ｔ ∈ 【 一 丢 ， 。 ） ｕ （ 。 ， 】 时 ， ， ， ＋ ＿ ＝ ＝ ＿
．
．
． ＞ ０时， ＋ ≥２ （ 当且仅 当 ：１ 时， 等号
一
ｔ＝ 一
成立） ’ ． ． ． ＋ ． ＝ １ －
ｌ ≥１ ， ｙ Ｅ（ ０ ， １ ］ ．
．
‘
１
・
．
・ 菇＜ ０时 ， ＋ ≤一 ２ （ 当且仅 当 ＝一１ 时，
一
所以， 综上， 函数的最小值为 一１ ， 此时 ＝ ３；
这类函数与“ ” 型的处理方式有一定相 同之 处， 第一步也是“ 分 离常数” ， 然后转化 为 “ ” 型
＝ ， 一 耥 （ ２ 一 一 １ ） ２ ＝ 一 （ ２ 一 一 １＜ ） ２ 、 ｏ ｕ ’
常见分式函数的研究
03 分式函数的运算与变换
分式函数的加减法
分式函数的加减法可以通过通分实现，将分母统一后再进行加减运算。 在进行分式函数的加减法时，需要注意分母不能为零的情况，避免出现无意义的情况。 对于分式函数的加减法，需要注意运算的顺序，先进行乘除运算再进行加减运算。 在进行分式函数的加减法时，可以利用等价无穷小替换简化计算过程。
分式函数的极限与连续性
分式函数的极限：研究分式函数在某点的极限值，以及极限的运算法则
分式函数的连续性：探讨分式函数在某点的连续性，以及连续性的性质和判定方法
分式函数极限与连续性的关系：分析极限与连续性之间的联系，以及在数学分析中的应 用
分式函数极限与连续性的应用：举例说明分式函数极限与连续性在解决实际问题中的应 用
分式函数极值的几 何意义
分式函数极值在实 际问题中的应用
分式函数的凹凸性及拐点问题
分式函数的凹凸性 定义
拐点及其判定条件
分式函数凹凸性的 判别方法
分式函数拐点的求 法
06 分式函数的综合题解析
分式函数的解析几何问题
涉及直线与圆的位 置关系
涉及点到直线的距 离公式
涉及直线的斜率公 式
涉及圆的半径和弦 长公式
分式函数的优化问题
分式函数的极值条件 分式函数的单调性分析 分式函数的凹凸性判断 分式函数的最值求解方法
分式函数的极值问题
分式函数的极值条件 分式函数的极值计算方法 分式函数的极值应用场景 分式函数的极值与连续性的关系
分式函数的最大值与最小值问题
分式函数的极值条 件
分式函数的最大值 与最小值的求解方 法
04 分式函数的应用
分式函数在物理中的应用
力学中速度与时间的关系
电学中电流与电压的关系
有理分式函数的图象及性质
有理分式函数的图象及性质【知识要点】1．函数(0,)ax b y c ad bc cx d+=≠≠+（1）定义域：{|}d x x c ≠-（2）值域：{|y y ≠单调区间为(,),(,+)d d c c-∞--∞（4）直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d a c c- （5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数。
（62．函数(0,0)b yax a b x =+>>的图象和性质： （1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：{|y y y ≥或（3）奇偶性：奇函数（4）单调性：在区间+),(∞上是增函数；在区间上是减函数（5以y 轴和直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。
3．函数(0,0)b y ax a b=+><的图象和性质：【例题精讲】1．函数11+-=x y 的图象是 （ ）A B C D2．函数23(1)1x y x x +=<-的反函数是 （ ） 3333.(2) . (2) . (1) .(1)2222x x x x A y x B y x C y x D y x x x x x ++++=<=≠=<=≠---- 3．若函数2()x f x x a+=+的图象关于直线y x =对称，则a 的值是 （ ） . 1 . 1 . 2 .2A B C D --4．若函数21()x f x x a-=+存在反函数，则实数a 的取值范围为 （ ） 11. 1 . 1 . .22A aB aC aD a ≠-≠≠≠- 5．不等式14x x>的解集为 （ ） 1111111. (,0)(,) . (-,)(,) . (,0)(0,,+) .(,0)(0,)2222222A B C D -+∞∞-+∞-∞-6．已知函数2()ax b f x x c+=+的图象如图所示，则,,a b c 的大小关系为 （ ） . . . .A a b c B a c b C b a c Db c a >>>>>>>>7．若正数a 、b 满足,3++=b a ab 则ab 的取值范围是_____ 。
(完整版)高中各种函数图像及其性质(精编版)
高中各种函数图像及其性质一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
（二）一次函数1、一次函数的定义一般地，形如y kx b（k，b是常数，且k 0 ）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
当b 0时，一次函数y kx，又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是y kx b，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当 b 0，k 0时，y kx仍是一次函数．⑶当 b 0，k 0时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．2、正比例函数及性质一般地，形如y=kx（k 是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式y=kx （k 不为零）① k 不为零② x 指数为 1 ③ b 取零当k>0 时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0 时，?直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．（1）解析式：y=kx （k 是常数，k≠ 0）（2）必过点：（0，0）、（1，k）（3）走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，?图像经过二、四象限（4）增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小（5）倾斜度：|k| 越大，越接近y 轴；|k| 越小，越接近x 轴3、一次函数及性质一般地，形如y=kx ＋b（k,b 是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式 y=kx+b （k 不为零） ① k 不为零 ②x 指数为 1 ③ b 取任意实 数一次函数 y=kx+b 的图象是经过（ 0，b ）和（- b ， 0）两点的一条直线，我们称它为直k线 y=kx+b, 它可以看作由直线 y=kx 平移 |b| 个单位长度得到 . （当 b>0 时，向上平移； 当 b<0 时，向下平移）1）解析式： y=kx+b （k 、 b 是常数， k 0）2） 必过点：（0，b ）和（ - b ，0） k3） 走向： k>0 ，图象经过第一、三象限； k<0，图象经过第二、四象限b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限k 0 直线经过第一、二、三象限k 0 直线经过第一、三、四象限b 0b 0k 0 直线经过第一、二、四象限k 0 直线经过第二、三、四象限b 0b 04）增减性： k>0 ， y 随 x 的增大而增大； k<0，y 随 x 增大而减小 . 5）倾斜度： |k| 越大，图象越接近于 y 轴； |k| 越小，图象越接近于 x 轴 .6）图像的平移： 当 b>0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位； 当 b<0 时，将直线y=kx 的图象向下平移 b 个单位 .4、一次函数 y=kx ＋ b 的图象的画法根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可. 一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），或纵坐标为0 的点.. 即横坐标5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx ＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b| 个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0 时，向下平移）6、正比例函数和一次函数及性质正比例函数一次函数概念一般地，形如y=kx（k 是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数一般地，形如y=kx＋b（k,b 是常数，k≠0），那么y 叫做x 的一次函数. 当b=0 时，是y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函自变量范围X 为全体实数图象一条直线必过点（0，0）、（1，k）（0，b）和（- b，0）k走向k>0 时，直线经过一、三象限；k<0 时，直线经过二、四象限k>0，b>0, 直线经过第一、二、三象限k>0，b<0 直线经过第一、三、四象限k<0，b>0 直线经过第一、二、四象限k<0，b<0 直线经过第二、三、四象限增减性k>0 ，y 随x 的增大而增大；（从左向右上升）k<0 ，y 随x 的增大而减小。
函数图象的变换在分式函数中的应用
函数图象的变换在分式函数中的应用在函数的学习过程中，我们经常会遇到形如(00)cx dy a ad bc ax b+=≠-≠+，的函数，下面我们从函数图象变换的角度出发，研究这类函数的性质：对cx d y ax b +=+分离常数，可得2bc ad bcd cx d c c a a y b ax b a ax b a x a--+==+=++++，由于2ad bc a -是常数，所以我们可以把函数cx d y ax b +=+的图象看做由反比例函数2ad bca y x-=的图象经过横、纵坐标的平移变换得到。
由于图象的平移变换不改变图象的形状，所以函数cx dy ax b+=+的图象与反比例函数2ad bca y x-=的图象一样，也是双曲线，只不过双曲线的对称中心由原来反比例函数的坐标原点平移到了（b ca a-，），渐近线方程由原来的x 轴、y 轴变成了现在的b x a =-与cy a=。
我们知道，反比例函数的单调性由反比例系数的正负决定，由于图象的平移变换不改变函数的单调性，只改变函数的单调区间，又因为20a >，反比例系数2ad bca-的正负完全由ad bc -的正负决定，所以当（1）0ad bc ->时，函数cx d y ax b +=+在（,ba-∞-）上为减函数，（,b a -+∞）上为减函数；（2）0ad bc -<时，函数cx d y ax b +=+在（,ba -∞-）上为增函数，（,ba-+∞）上为增函数。
由图象我们还可以看出，函数cx d y ax b +=+的定义域为()()b ba a-∞--+∞，，，值域为()()c c a a-∞+∞，，。
综上我们可以得出，形如(0,0)cx dy a ad bc ax b+=≠-≠+的函数：1.图象为双曲线：（1）双曲线的对称中心为（,b c a a -）；（2）渐近线方程为b x ac y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2.定义域与值域：定义域为()()bb a a -∞--+∞，，，值域为()()c c a a-∞+∞，，。
分式函数图象(可编辑修改word版)
分式函数在我们的学习中常见到复杂的分式结构的函数式，通常采取“分离”的方法转化成两种主要类型：（1）一次分式型 f (x ) =ax + b cx + d (ad ≠ cb ) ；（2）倒数结构型 f (x ) = ax + b 。
x下面画出两种类型函数的示意图，以便从中看出函数的性质。
一、一次分式型 f (x ) = ax + b(ad ≠ cb )cx + d d a d a图象是以直线 x = - , y = c c （恰为系数之比）为渐近线的双曲线，对称中心(- 2x -1, ) ， 通c c常用代点法确定两支双曲线的位置。
例如： y = y3x + 5的图象如图所示：2 3O- 5 - 1 35y = 23x二、倒数结构型 f (x ) = ax + bx（1） a > 0 且b < 0 时，示意图如下：y- -b- b aaOx此时 f (x ) 为奇函数，分段递增， 当 x > 0(或x < 0) 时， y ∈ R（2） a > 0, b > 0 时，示意图如下：y2 aby = ax可看成以直线 y = ax 与 y 轴为渐近线的双曲线， 两个顶点 A 、B 可由不等式中的均值定理确定， 此时 f (x ) 的单调性、奇偶性、定义域与值域、 对称性可从图中看出结论。
Ob xaB注意：当 a < 0, b > 0 时或 a < 0, b < 0 时，可转化为上述两种。
(完整版)分式函数的图像与性质
分式函数的图像与性质1、分式函数的概念形如22(,,,,,)axbx c y a b c d e fR dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。
如221x y x x +=+，212x y x +=-，413x y x +=+等。
2、分式复合函数形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。
如22112x xy +=-，sin 23sin 3x y x +=-，23y x =+等。
※ 学习探究 探究任务一：函数(0)by ax ab x=+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像是怎样的？ 例1、画出函数211x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---，即函数211x y x -=-的图像可以经由函数1y x =的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。
如下表所示：12111211y y y x x x =−−→=−−→=+--右上 由此可以画出函数211x y x -=-的图像，如下： 单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞； 值域：(,2)(2,)-∞+∞U ； 对称中心：(1,2)。
【反思】(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？【小结】(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。
分式函数(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像与性质 （1）定义域：{|}dx x c ≠- ；（2）值域：{|}ay y c≠；（3）单调性：单调区间为(,),(,+)d dc c-∞--∞；（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线,d a x y c c=-=，对称中心为点(,)d ac c-；（5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数；（6）图象：如图所示问题2：(0)by ax ab x=+≠的图像是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1y x x=+的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。
多项式函数与分式函数的性质与应用
05
多项式函数与分式函数的求解方法
多项式函数的求解方法
代数法
通过因式分解、配方法、公式法等代数手段求解多项 式函数的根。
图形法
利用多项式函数的图像，通过观察图像与x轴的交点 来求解函数的根。
数值法
采用迭代法、牛顿法等数值计算方法逼近多项式函数 的根。
分式函数的求解方法
消元法
通过分子分母同乘以某个式子消去分母，将分 式函数转化为整式函数进行求解。
THANKS
感谢观看
多项式函数与分式函数的应用
在数学领域的应用
代数运算
多项式函数与分式函数在代数运 算中广泛应用，如因式分解、化 简求值等。
函数性质研究
通过研究多项式函数与分式函数 的单调性、奇偶性、周期性等性 质，可以深入了解函数的内在规 律。
方程与不等式的求解
多项式函数与分式函数经常出现 在方程与不等式中，掌握它们的 性质有助于求解相关问题。
多项式函数的图像可能具有拐点，即函数图像的 凹凸性发生变化的点。
多项式函数的根与零点
多项式函数的零点与根是等价的，都是指函数 值为零的点。
多项式函数的根的个数（包括重根）等于多项式的次 数。
多项式函数的根是指使得多项式函数值为零的 自变量 x 的值。
多项式函数的根可以通过代数方法（如因式分解 、求根公式等）或数值方法（如牛顿迭代法）来 求解。
一般形式为：f(x) = a_nx^n + a_{n1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0，其中 a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0 是常数，n 是非负整数。
多项式函数的图像与性质
多项式函数的图像是一条连续且光滑的曲线。
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形如b
ax d
cx x f ++=
)(的函数的图象及其应用 1. 画出下列函数的图象. （1）11
+-=x x y （2）1
1+-=x x y （3）11+-=x x y
（4）12
2-+=x x y （5）1
22-+=x x y （6）122-+=x x y
（7）123+-=x x
y （8）1
23+-=x x y （9）123+-=x x y
2. 求下列函数的值域.
（1）35
2+-=x x y （2）2211x x y +-= （3）12018322++=x x y
（4）3274222++-+=x x x x y （5）1
31
3+-=x x y
3. 函数34
2)(-+=
x x x f 的图象的对称中心是 . 4. 函数25
)(---=a x x x f 在),1(+∞-上是增函数，则a 的取值范围是 .
5. 函数1)(++=x a
x x f 在),0(+∞上是减函数，则a 的取值范围是 .
6. 函数3
1
)(+-=x ax x f 在),3(+∞-上是增函数，则a 的取值范围是 .
7. （2016全国卷2）已知函数))((R x x f ∈满足()2()f x f x -=-，若函数1
x y x
+=
与 ()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅ 则1
()m
i i i x y =+=∑ .
8. 已知函数))((R x x f ∈满足)4(8)(x f x f +-=-，函数2
3
4)(-+=x x x g ，若)(x f 与)(x g 的图象共有
168
个交点，记作)168,,3,2,1)(,( =i y x P i i i ，则
+++++ )()(2211y x y x )(168168y x += .
9. 已知函数))((R x x f ∈满足)(4)(x f x f -=-，若函数x
x y 1
2+=
与)(x f y =的图象交点为),(,),,(),,(10102211y x y x y x ，则
∑=-10
1
)(i i
i
y x = .
10. 已知函数)1(1
1
)(>+-=a a a x f x
x . （1）判断函数的奇偶性；
（2）证明)(x f 在R 上是单调增函数； （3）求)(x f 的值域.
2. （1）),2()2,(+∞-∞ （2）(]1,1- （3） (]2018,3 （4）⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡-2,29 （5） ()1,0 3. ()2,3 4. (]3,-∞- 5. ),1(+∞ 6. ⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞-,31 7. m 8. 1008 9. -20 10. （1）奇函数 （3） ()1,1-。