2015高考数学(理)一轮题组训练：2-7函数的图象及其应用
2015高考数学一轮配套课件：专题讲练一 函数图象与性质的综合应用 课件(共31张PPT)
高考总复习 数学
针对训练
4．(2014·山西运城二模)设奇函数 f(x)在[－1,1]上是增函数，且 f(－
1)＝－1，若 f(x)≤t2－2at＋1 对所有的 x∈[－1,1]都成立，当 a
∈[－1,1]时，则 t 的取值范围是
()
A．－2≤t≤2
B．－12≤t≤12
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【解析】 因为 f(x)为奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)，不等式可化为 －fxx－fx≥0，即－fxx≥0. 当 x>0 时，则有 f(x)≤0＝f(2)，由 f(x)在(0，＋∞)上单调递增可得 x≤2；当 x＜0 时，则有 f(x)≥0＝－f(2)＝f(－2)，由函数 f(x)为奇 函数可得 f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以 x≥－2.所以不等式的 解集为[－2,0)∪(0,2]． 【答案】 D
针对训练
2．设函数 f(x)在(0,2)上是增函数，函数 f(x＋2)是偶函数，则 f(1)，
f 52，f 72的大小关系是________． 解析：因为函数 f(x＋2)是偶函数，
所以 f(x)的图象关于直线 x＝2 对称．
所以 f
52＝f
32，f
72＝f
1 2.
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高考总复习 数学
题型五 高考中的函数零点问题 已 知 函 数 f(x) ＝ logax ＋ x － b(a>0 ， 且 a≠1) ． 当
2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则 n＝________. 【解析】 ∵2<a<3，∴f(x)＝logax＋x－b为定义域上的单 调递增函数．f(2)＝loga3＋3－b. f(3)＝loga3＋3－b.
2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第2章 函数、导数及其应用 第3节
[课堂练通考点]1．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝( ) A ．－12B ．－14C.14D.12解析：选A ∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫－52＝－f ⎝⎛⎭⎫52＝－f ⎝⎛⎭⎫52－2 ＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－2×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝－12. 2．(2014·大连测试)下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1解析：选C 函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C 符合要求．3．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________.解析：观察可知，y ＝x 3cos x 为奇函数，且f (a )＝a 3cos a ＋1＝11，故a 3cos a ＝10.则f (－a )＝－a 3·cos a ＋1＝－10＋1＝－9.答案：－94．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.解析：法一：∵f (－x )＝f (x )对于x ∈R 恒成立，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |对于x ∈R 恒成立，两边平方整理得ax ＝0对于x ∈R 恒成立，故a ＝0.法二：由f (－1)＝f (1)，得|a －1|＝|a ＋1|得a ＝0. 答案：05．设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[－2,0]上单调递减，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．解：由偶函数性质知f (x )在[0,2]上单调递增，且f (1－m )＝f (|1－m |)，f (m )＝f (|m |)，因此f (1－m )<f (m )等价于⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，|1－m |<|m |.解得：12<m ≤2.因此实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤12，2.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R 上为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．增函数D ．周期函数解析：选D 如图，当x ∈[0,1)时，画出函数图像，再左右扩展知f (x )为周期函数．故选D.2．(2013·湖南高考)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选B 由已知可得，－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4，两式相加解得，g (1)＝3. 3．(2014·长春调研)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝( )A.23 B ．－23C.43D ．－43解析：选C 根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝xx 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43，故选C.4．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)解析：选C 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图像，如图，观察图像可知，函数f (x )的图像关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．5．(2013·淄博一模)设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )，满足对任意t ∈R ，都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32的值等于( ) A ．－12B ．－13C ．－14D ．－15解析：选C 由f (t )＝f (1－t )得f (1＋t )＝f (－t )＝－f (t )， 所以f (2＋t )＝－f (1＋t )＝f (t )，所以f (x )的周期为2. 又f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，所以f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝0－⎝⎛⎭⎫122＝－14. 6．若偶函数y ＝f (x )为R 上的周期为6的周期函数，且满足f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，则f (－6)等于________．解析：∵y ＝f (x )为偶函数，且f (x )＝(x ＋1)·(x －a )(－3≤x ≤3)， ∴f (x )＝x 2＋(1－a )x －a,1－a ＝0. ∴a ＝1.f (x )＝(x ＋1)(x －1)(－3≤x ≤3)． f (－6)＝f (－6＋6)＝f (0)＝－1. 答案：－17．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是______________．解析：在f (x )－g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x ，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此得－f (x )－g (x )＝2x.于是解得f (x )＝2－x －2x 2，g (x )＝－2－x ＋2x 2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)>g (0)>g (－1)．答案：f (1)>g (0)>g (－1)8．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．解析：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 答案：－109．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )， 当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (3)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图像与x 轴所围成图形的面积． 解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的周期函数， 所以f (3)＝f (3－4)＝－f (1)＝－1.(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．故知函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称．又0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图像关于原点成中心对称，则－1≤x ≤0时，f (x )＝x ，则f (x )的图像如图所示．当－4≤x ≤4时，设f (x )的图像与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图像知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]． 第Ⅱ组：重点选做题1．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选C f (x )的图像如图．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)； 当x ∈(0,1)时，由xf (x )<0得x ∈∅； 当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)． 故x ∈(－1,0)∪(1,3)．2．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫121－x，则：①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0； ④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －3.其中所有正确命题的序号是________． 解析：由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确； 当－1≤x ≤0时0≤－x ≤1， f (x )＝f (－x )＝⎝⎛⎭⎫121＋x ， 函数y ＝f (x )的图像如图所示：当3<x <4时，－1<x －4<0，f (x )＝f (x －4)＝⎝⎛⎭⎫12x －3，因此②④正确，③不正确． 答案：①②④。
2015届高考数学(理)一轮复习精选例题2函数的图象Word版含解析
一、选择题1．y ＝x ＋cos x 的大致图象是( )解析：当x ＝0时，y ＝1；当x ＝π2时，y ＝π2；当x ＝－π2时，y ＝－π2，观察各选项可知B 正确．答案：B2．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根解析：如图所示，由图象可得两函数图象有两个交点，故方程有且仅有两个根答案：C3．若对任意x ∈R ，不等式|x |≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <－1 B ．|a |≤1 C ．|a |<1D ．a ≥1解析：如图所示，由图可知，当－1≤a ≤1，即|a |≤1时不等式恒成立． 答案：B4．给出四个函数，分别满足①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， ②g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，③h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，④m (x ·y )＝m (x )·m (y )．又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是( )A ．①甲，②乙，③丙，④丁B ．①乙，②丙，③甲，④丁C ．①丙，②甲，③乙，④丁D ．①丁，②甲，③乙，④丙解析：图象甲是一个指数函数的图象，它应满足②；图象乙是一个对数函数的图象，它应满足③；图象丁是y ＝x 的图象，满足①.答案：D5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]x 2＋1，x ∈，1]，则如图中函数的图象错误的是( )解析：因f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈，1]，其图象如图，验证知f (x －1)，f (－x )，f (|x |)的图象均正确，只有|f (x )|的图象错误．答案：D6． f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－xf x －x，若方程f (x )＝x ＋a 有两不同实根，则a的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(0,1)D ．(－∞，＋∞)解析：x ≤0时，f (x )＝2－x－1,0＜x ≤1时，－1≤x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－ (x －1)－1，故x >0时，f (x )是周期函数．如图：欲使方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数解，即函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同的交点，故a <1.答案：A 二、填空题7．已知y ＝f (x )是R 上的增函数，A (0，－1)、B (3,1)是其图象上两个点，则不等式|f (x ＋1)|<1的解集是________．解析：|f (x ＋1)|<1⇔－1<f (x ＋1)<1⇔f (0)<f (x ＋1)<f (3)，又y ＝f (x )是R 上的增函数，∴0<x ＋1<3. ∴－1<x <2. 答案：{x |－1<x <2}8．已知a >0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取值范围是________．解析：由题知，当x ∈(－1,1)时，f (x )＝x 2－a x <12，即x 2－12<a x .在同一坐标系中分别作出二次函数y＝x 2－12，指数函数y ＝a x的图象，如图，当x ∈(－1,1)时，要使指数函数的图象均在二次函数图象的上方，需12≤a ≤2且a ≠1.故实数a 的取值范围是12≤a ＜1或1＜a ≤2. 答案：[12，1)∪(1,2]9．已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[－2,2]的图象如下图所示：则方程f [g (x )]＝0有且仅有________个根，方程f [f (x )]＝0有且仅有________个根． 解析：由图可知f (x )＝0有三个根，设为x 1，x 2，x 3，－ 2<x 1<－1，x 2＝0,1<x 3<2. 令g (x )＝x 1，由g (x )图象可知方程g (x )＝x 1有两个根，令g (x )＝0得两个根， 令g (x )＝x 3得两个根，∴f [g (x )]＝0有6个根，同理可看出f [f (x )]＝0有5个根． 答案：6 5 三、解答题10．若方程2a ＝|a x－1|(a >0，a ≠1)有两个实数解，求实数a 的取值范围．解：当a >1时，函数y ＝|a x－1|的图象如图①所示，显然直线y ＝2a 与该图象只有一个交点，故a >1不合适；当0<a <1时，函数y ＝|a x－1|的图象如图②所示， 要使直线y ＝2a 与该图象有两个交点，则0<2a <1， 即0<a <12.综上所述，实数a 的取值范围为(0，12)．11．(1)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且当x ∈R 时，f (m ＋x )＝f (m －x )恒成立，求证y ＝f (x )的图象关于直线x ＝m 对称；(2)若函数y ＝log 2|ax －1|的图象的对称轴是x ＝2，求非零实数a 的值． 解：(1)设P (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象上任意一点， 则y 0＝f (x 0)．又P 点关于x ＝m 的对称点为P ′， 则P ′的坐标为(2m －x 0，y 0)． 由已知f (x ＋m )＝f (m －x )， 得f (2m －x 0)＝f [m ＋(m －x 0)] ＝f [m －(m －x 0)]＝f (x 0)＝y 0.即P ′(2m －x 0，y 0)在y ＝f (x )的图象上． ∴y ＝f (x )的图象关于直线x ＝m 对称． (2)对定义域内的任意x ， 有f (2－x )＝f (2＋x )恒成立．∴|a (2－x )－1|＝|a (2＋x )－1|恒成立， 即|－ax ＋(2a －1)|＝|ax ＋(2a －1)|恒成立． 又∵a ≠0，∴2a －1＝0，得a ＝12.12．当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围． 解：设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式 (x －1)2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图象在f 2(x )＝log a x 的下方即可．当0<a <1时，综合函数图象知显然不成立．当a >1时，如图，要使在(1,2)上，f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的下方， 只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，log a 2≥1， ∴1＜a ≤2. ∴a 的取值范围是(1,2]。
2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第2章 函数、导数及其应用 第5节
[课堂练通考点]1．下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是( )A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 13，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1解析：选B 图像①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A ，D.图像②中幂函数是偶函数，幂指数必为正偶数，排除C.故选B.2．(2013·张家口模拟)已知函数h (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上是单调函数，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，40]B ．[160，＋∞)C ．(－∞，40]∪[160，＋∞)D ．∅解析：选C 函数h (x )的对称轴为x ＝k 8，要使h (x )在[5,20]上是单调函数，应有k 8≤5或k 8≥20，即k ≤40或k ≥160，故选C.3．二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为________． 解析：依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1， 又其图像过点(0,1)， ∴4a －1＝1，∴a ＝12.∴f (x )＝12(x －2)2－1.答案：f (x )＝12(x －2)2－14．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4ac －164a ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ac －4＝0.答案：a >0，ac ＝45．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f (x )是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？解：∵函数f (x )＝(m 2－m －1)x－5m －3是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x－13在(0，＋∞)上是减函数；当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数． ∴m ＝－1.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·济南模拟)函数y ＝x －x 13的图像大致为( )解析：选A 函数y ＝x －x 13为奇函数．当x >0时，由x －x 13>0，即x 3>x 可得x 2>1，即x >1，结合选项，选A.2．已知二次函数的图像如图所示，那么此函数的解析式可能是( )A ．y ＝－x 2＋2x ＋1B ．y ＝－x 2－2x －1C ．y ＝－x 2－2x ＋1D ．y ＝x 2＋2x ＋1解析：选C 设二次函数的解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题图像得：a <0，b <0，c >0.选C.3．已知函数f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( ) A ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )解析：选C 因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a ，故f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a .4．(2013·浙江高考)已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0解析：选A 由f (0)＝f (4)得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－b2a ＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，∴f (x )先减后增，于是a >0.5．关于x 的二次方程(m ＋3)x 2－4mx ＋2m －1＝0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m 的取值范围是( )A ．－3<m <0B ．0<m <3C ．m <－3或m >0D ．m <0或m >3解析：选A 由题意知⎩⎨⎧Δ＝16m 2－4(m ＋3)(2m －1)>0， ①x 1＋x 2＝4m m ＋3<0， ②x 1·x 2＝2m－1m ＋3<0， ③由①②③得－3<m <0，故选A.6．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的________条件． 解析：函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，则满足对称轴－－4a 2＝2a ≤2，即a ≤1，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．答案：充分不必要7．(2014·中山一模)若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于________．解析：函数f (x )＝x 2－ax －a 的图像为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得，∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a >4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.答案：18．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．解析：设x <0，则－x >0.∵当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )． ∵f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )＝x 2＋4x (x <0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x <0.由f (x )＝5得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＝5，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＝5，x <0，∴x ＝5或x ＝－5.观察图像可知由f (x )<5，得－5<x <5. ∴由f (x ＋2)<5，得－5<x ＋2<5，∴－7<x <3. ∴不等式f (x ＋2)<5的解集是{x |－7<x <3}． 答案：{x |－7<x <3} 9．已知幂函数f (x )＝x21()m m －＋(m ∈N *)，经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解：∵幂函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝221()m m －＋，即212＝221()m m －＋ .∴m 2＋m ＝2. 解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *， ∴m ＝1.∴f (x )＝x 12，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． 由f (2－a )>f (a －1) 得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1， 解得1≤a <32.∴a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫1，32. 10．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝5，f (2)＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. 当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧f (3)＝2，f (2)＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3. (2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2. g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2， ∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.∴m ≤2或m ≥6.故m 的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)． 第Ⅱ组：重点选做题1.(创新题)已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13 B.12 C.34D ．1解析：选D 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2，∵x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12， ∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1，∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1. ∴m －n 的最小值是1.2．(2013·青岛质检)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图像如图所示，结合图像可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图像有两个交点．答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2。
2015届高考数学(理)一轮配套课件2-7《函数的图象及其应用》(苏教版)
(3)y＝10|lg x|＝x1x，，x0≥＜1x，＜1， 如图(3)．
•规律方法 (1)熟知一次函数、二次函数、反比例 函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数 的图象，再掌握图象变换的规律作图．
•(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折 变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我 们简化作图过程．
实数a的取值范围． 解 由x2－loga x＜0， 得x2＜logax. 设f(x)＝x2，g(x)＝logax.
由题意知，当x∈ 0，12 时，函数f(x)的图象在函数g(x)的图象 的下方，
0＜a＜1， 如图，可知f12≤g12，
0＜a＜1， 即122≤loga 12， 解得116≤a＜1. ∴实数a的取值范围是11，得出交点个数．
• 解析 (1)画出两个函数图象可看出交点有10 个．
(2)y＝xx22－＋xx＋＋aa，，xx≥＜00，， 作出图象，如图所示．
此曲线与y轴交于(0，a)点，最小值为a－14，要使y＝1与其有 四个交点，只需a－14＜1＜a，∴1＜a＜54. 答案 (1)10 (2)1，54
图 象
周期性画出图象 函数图象的作法 图象变换法作图：一个函数的图象经过适当的变
换，得到另一个与之有关的函数图象，在高考中
要求学生掌握三种变换：平移变换、
翻折变换、对称变换
• 2．图象变换 • (1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)―关―于―x―轴―对―称→y＝ －f(x) ；
【训练1】 定义：若函数f(x)的图象经过变换T后所得的图象对 应的函数与f(x)的值域相同，则称变换T是f(x)的同值变换， 下面给出了四个函数与对应的变换： ①f(x)＝(x－1)2，T：将函数f(x)的图象关于y轴对称； ②f(x)＝2x－1－1，T：将函数f(x)的图象关于x轴对称； ③f(x)＝x＋x 1，T：将函数f(x)的图象关于点(－1,1)对称． 其中T是f(x)的同值变换的有___(写出所有符合题意的序号)．
【解密高考】2015高考数学(人教A版)一轮作业：2-7函数的图象-推荐下载
——函数的图像时间：45分钟 满分：100分 班级：________ 姓名：________ 座号：________ 一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·佛山模拟)函数y＝1－|x－x2|的图象大致是( )2．(2014·济南模拟)函数y＝log a(|x|＋1)(a>1)的大致图象是( )3．已知函数对任意的x∈R有f(x)＋f(－x)＝0，且当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的图象大致为( )4．(2014·安徽合肥模拟)已知f(x)＝Error!则下列函数的图象错误的是( )5．(2014·衡水调研)已知函数f (x )＝，则y ＝f (x )的图象大致为( )1ln (x ＋1)－x 6．(2014·西安五校联考)对于定义域为R 的函数f (x )，给出下列命题：①若函数f (x )满足条件f (x －1)＋f (1－x )＝2，则函数f (x )的图象关于点(0,1)对称；②若函数f (x )满足条件f (x －1)＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于y 轴对称；③在同一坐标系中，y ＝f (x )和y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称，则函数y ＝f (x －1)与y ＝f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称；④在同一坐标系中，y ＝f (x )和y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称，则函数y ＝f (1＋x )与y ＝f (1－x )的图象关于y 轴对称．其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7．(基础题)已知f (x )是偶函数，则f (x ＋2)的图象关于________对称；已知f (x ＋2)是偶函数，则函数f (x )的图象关于________对称．8．(2014·天津模拟)已知函数y ＝的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，|x 2－1|x －1则实数k 的取值范围是________．9．(2014·河南三市调研考试)关于x 的方程＝kx 2有四个不同的实根，则实数k 的取|x |x ＋2值范围为________．10．(提升题)设函数f (x )定义域为R ，则下列命题中①y ＝f (x )是偶函数，则y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称；②若y ＝f (x ＋2)是偶函数，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；③若f (x －2)＝f (2－x )，y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；④y ＝f (x －2)和y ＝f (2－x )的图象关于直线x ＝2对称．其中正确的命题序号是________(填上所有正确命题的序号)．三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．已知函数f (x )＝|x －3|＋|x ＋1|.(1)作出y ＝f (x )的图象；(2)解不等式f (x )≤6.12．已知函数f(x)定义在[－2,2]上的图象如图所示，请分别画出下列函数的图象；(1)y＝f(x＋1)；(2)y＝f(x)＋1；(3)y＝f(－x)；(4)y＝－f(x)；(5)y＝|f(x)|；(6)y＝f(|x|)；(7)y＝2f(x)；(8)y＝f(2x)．13．已知函数f(x)＝2x，x∈R.(1)当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？(2)若不等式f2(x)＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．函数的图像参考答案一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．解析：由y ＝1－|x －x 2|≤1结合图象可得C 正确．答案：C 2．解析：由y ＝log a x (a >1) 向左平移1个单位得到y ＝log a (x ＋1)的图象，再作y 轴对称得y ＝log a (|x |＋1)的图象．答案：B3．解析：∵对∀x ∈R 有f (x )＋f (－x )＝0，∴f (x )是奇函数，f (0)＝0，y ＝f (x )的图象关于原点对称，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－ln(－x ＋1)＝－ln(1－x )，所以符合上述条件的图象为D.答案：D4．解析：先在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象，再将函数y ＝f (x )的图象向右平移1个单位长度即可得到y ＝f (x －1)的图象，因此A 正确；作函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图形即可得到y ＝f (－x )的图象，因此B 正确；y ＝f (x )的值域是[0,2]，因此y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象重合，C 正确；y ＝f (|x |)的定义域是[－1,1]，且是一个偶函数，当0≤x ≤1时，y ＝f (|x |)＝，相应这部x 分图象不是一条线段，因此选项D 不正确．答案：D 5．解析：解法一：(函数性质法)函数f (x )满足x ＋1>0，ln(x ＋1)－x ≠0，即x >－1且ln(x ＋1)－x ≠0，设g (x )＝ln(x ＋1)－x ，则g ′(x )＝－1＝.由于x ＋1>0，显然当1x ＋1－x x ＋1－1<x <0时，g ′(x )>0，当x >0时，g ′(x )<0，故函数g (x )在x ＝0处取得极大值，也是最大值，故g (x )≤g (0)＝0，当且仅当x ＝0时，g (x )＝0，故函数f (x )的定义域是(－1,0)∪(0，＋∞)，且函数g (x )在(－1,0)∪(0，＋∞)上的值域为(－∞，0)，故函数f (x )的值域也是(－∞，0)，且在x ＝0附近函数值无限小，观察各个选项中的函数图象，只有选项B 中的图象符合要求．解法二：(特殊值检验法)当x ＝0时，函数无意义，排除选项D 中的图象，当x ＝－11e时，f (－1)＝＝－e<0，排除选项A 、C 中的图象，故只能是选项B 中的1e 1ln (1e －1＋1)－(1e －1)图象．(注：这里选取特殊值x ＝(－1)∈(－1,0)，这个值可以直接排除选项A 、C ，这种取特1e 值的技巧在解题中很有用处)答案：B 6．解析：f (x －1)＋f (1－x )＝2，用x ＋1代替上式中的x 得f (x )＋f (－x )＝2，设(x 0，y 0)在y ＝f (x )的图象上，则(x 0，y 0)关于点(0,1)的对称点(x 1，y 1)满足Error!所以Error!故f (－x 1)＋f (x 1)＝2，故①正确；f (x －1)＝f (1－x )，用x ＋1代替上式中的x 得f (x )＝f (－x )，故函数y ＝f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称，故②正确；y ＝f (x －1)的图象和y ＝f (1－x )的图象可看成分别由y ＝f (x )和y ＝f (－x )向右平移1个单位得到，而y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称，故y ＝f (x －1)与y ＝f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称，故③正确；函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称，把y ＝f (x )和y ＝f (－x )的图象分别向左、向右平移一个单位后得到y ＝f (x ＋1)和y ＝f (1－x )的图象，仍关于y 轴对称，故④正确．答案：D 二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7．解析：∵f (x ＋2)可由f (x )图象左移2个单位得到，故f (x ＋2)的图象关于x ＝－2对称；∵f (x ＋2)是偶函数，∴f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，即x ＝2是对称轴．答案：x ＝－2，x ＝28．解析：y ＝＝＝Error!函数y ＝kx －2过定点(0，－2)，由数形结合，得|x 2－1|x －1|x ＋1||x －1|x －1k AB <k <1或1<k <k AC ，∴0<k <1或1<k <4.答案：(0,1)∪(1,4)9．解析：x ＝0是方程＝kx 2的1个根．|x |x ＋2当x ≠0时，方程即为＝k |x |，令f (x )＝，g (x )＝k |x |，画出图象可知：1x ＋21x ＋2当k ＝1时，y ＝g (x )与y ＝f (x )有2个交点，∴k >1时，y ＝f (x )与y ＝g (x )有3个交点，此时原方程有四个不同的实根．综上所述k ＞1.答案：k ＞110．解析：对于①，y ＝f (x ＋2)关于x ＝－2对称；对于②， ；对于③，当f (2＋x )＝f (2－x )时，f (x )的图象关于x ＝2对称，而当f (2－x )＝f (x －2)时，则应关于x ＝0对称．对于④， .答案：②④三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．解：(1)f (x )＝|x －3|＋|x ＋1|＝Error!图象如图(1)所示．(2)由f (x )≤6，得当x ≤－1时，－2x ＋2≤6，x ≥－2，∴－2≤x ≤－1.当－1<x ≤3时，4≤6成立．当x >3时，2x －2≤6，x ≤4.∴3<x ≤4.∴不等式f (x )≤6的解集为[－2,4]．另解：(数形结合)由图(2)可知，不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤4}．12．解：利用图象变换技巧进行平移、伸缩、对称、翻折即可．(1)将函数y ＝f (x )，x ∈[－2,2]的图象向左平移1个单位得到y ＝f (x ＋1)，x ∈[－3,1]的图象，如图(1)．(2)将函数y ＝f (x )，x ∈[－2,2]的图象向上平移1个单位即得到y ＝f (x )＋1，x ∈[－2,2]的图象，如图(2)．(3)函数y ＝f (－x )与y ＝f (x )，x ∈[－2,2]的图象关于y 轴对称，如图(3)．(4)函数y ＝－f (x )与y ＝f (x )，x ∈[－2,2]的图象关于x 轴对称，如图(4)．(5)将函数y ＝f (x )，x ∈[－2,2]的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，x 轴上方的部分不变，得到y ＝|f (x )|的图象，如图(5)．(6)考虑到函数y ＝f (|x |)为[－2,2]上的偶函数，所以函数y ＝f (x )，x ∈[－2,2]在y 轴右侧的部分不变，左侧部分换为右侧关于y 轴对称的图象即可得到y ＝f (|x |)的图象，如图(6)．(7)将函数y ＝f (x )，x ∈[－2,2]的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝2f (x )的图象，如图(7)．(8)将函数y ＝f (x )，x ∈[－2,2]的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，得12到y ＝f (2x )的图象，如图(8)．13．解：(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示：由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解．(2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，∵H (t )＝(t ＋)2－在区间(0，＋∞)上是增函数，1214∴H (t )>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．。
【解密高考】2015届高考数学(人教)大一轮课件：2-7函数的图象
考点
考纲要求
会运用函数 函数的 的图象理解 图象 和研究函数 的性质
考查角度 利用函数图象的变换(平移、 对称、伸缩)作函数图象的草 图；根据函数的解析式辨别 函数图象；应用函数图象解 决方程、不等式等问题
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答案：D
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5．(2014· 苍南一模)函数 y＝log2(1－x)的图象是如图中的 ( )
解析：函数 y＝log2(1－x)为减函数，排除 A，D，函数的定 义域为(－∞，1)，排除 B.
点、最小值点、与坐标轴的交点)，最后：描点，连线．
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2．利用基本函数的图象作图 (1)平移变换 ①水平平移：y＝f(x± a)(a>0)的图象，可由 y＝f(x)的图象向
左 (＋)或向 右 (－)平移 a个 单位而得到．
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4x＋1 4．(2014· 重庆模拟)函数 f(x)＝ 2x 的图象( A．关于原点对称 C．关于 x 轴对称
)
B．关于直线 y＝x 对称 D．关于 y 轴对称
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2015高考数学一轮题组训练：2-7函数的图象及其应用
第7讲 函数的图象及其应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是________．解析 把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位长度，得y ＝[(x ＋1)－2]2＋2＝(x －1)2＋2，再向上平移1个单位长度，得y ＝(x －1)2＋2＋1＝(x －1)2＋3.答案 y ＝(x －1)2＋32．函数f (x )＝x ＋1x 的图象的对称中心为________．解析 f (x )＝x ＋1x ＝1＋1x ，故f (x )的对称中心为(0,1)．答案 (0,1)3．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．解析 在函数g (x )的图象上任取一点(x ，y )，这一点关于x ＝1的对称点为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝2－x ，y 0＝y . ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132－x ＝3x －2. 答案 g (x )＝3x －24．函数y ＝(x －1)3＋1的图象的对称中心是________．解析 y ＝x 3的图象的对称中心是(0,0)，将y ＝x 3的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，即得y ＝(x －1)3＋1的图象，所以对称中心为(1,1)． 答案 (1,1)5．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图，则不等式f (x )＜0的解集是________．解析 利用函数f (x )的图象关于原点对称．∴f (x )＜0的解集为(－2,0)∪(2,5)．答案 (－2,0)∪(2,5)6．若函数f (x )在区间[－2,3]上是增函数，则函数f (x ＋5)的单调递增区间是________．解析 ∵f (x ＋5)的图象是f (x )的图象向左平移5个单位得到的．∴f (x ＋5)的递增区间就是[－2,3]向左平移5个单位得到的区间[－7，－2] 答案 [－7，－2]7．若方程|ax |＝x ＋a (a >0)有两个解，则a 的取值范围是________．解析 画出y ＝|ax |与y ＝x ＋a 的图象，如图．只需a >1.答案 (1，＋∞)8．(2013·泰州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x (x ＞0)，2x (x ≤0)，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的范围是________．解析 当x ≤0时，0＜2x ≤1，所以由图象可知要使方程f (x )－a ＝0有两个实根，即f (x )＝a 有两个交点，所以由图象可知0＜a ≤1.答案 (0,1]二、解答题9．已知函数f (x )＝x 1＋x. (1)画出f (x )的草图；(2)指出f (x )的单调区间．解 (1)f (x )＝x 1＋x ＝1－1x ＋1，函数f (x )的图象是由反比例函数y ＝－1x 的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到，图象如图所示．(2)由图象可以看出，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)．10．设函数f (x )＝x ＋1x 的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标．解 (1)设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，则P (x ，y )关于点A (2,1)对称的点为P ′(4－x,2－y )，代入f (x )＝x ＋1x ，可得2－y ＝4－x ＋14－x ，即y ＝x －2＋1x －4， ∴g (x )＝x －2＋1x －4. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝m ，y ＝x －2＋1x －4，消去y 得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0，Δ＝(m ＋6)2－4(4m ＋9)， ∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点，∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，经检验合理，交点为(3,0)；当m ＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．使log2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是________．解析 作出函数y ＝log 2(－x )及y ＝x ＋1的图象．其中y ＝log 2(－x )与y ＝log 2x 的图象关于y 轴对称，观察图象知(如图所示)，－1＜x ＜0，即x ∈(－1,0)．答案 (－1,0)2．函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x <0的解集为________．解析 当x ∈(0,1)时，cos x >0，f (x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2时，cos x >0，f (x )<0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4时，cos x <0，f (x )<0， 当x ∈(－1,0)时，cos x ＞0，f (x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1时，cos x ＞0，f (x )＜0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－π2时，cos x ＜0，f (x )＜0. 故不等式f (x )cos x <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －π2<x <－1，或1<x <π2. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π2＜x ＜－1，或1＜x ＜π2 3．(2013·宿迁模拟)已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝k x ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)有四个根，则k 的取值范围是________．解析 由题意作出f (x )在[－1,3]上的示意图如图，记y ＝k (x ＋1)＋1，∴函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1)．记B (2,0)，由图象知，方程有四个根，即函数y ＝f (x )与y ＝k x ＋k ＋1的图象有四个交点，故k AB ＜k ＜0，k AB ＝0－12－(－1)＝－13，∴－13＜k ＜0. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 二、解答题4．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．解 f (x )＝⎩⎨⎧(x －2)2－1，x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)－(x －2)2＋1，x ∈(1，3) 作出图象如图所示．原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a .于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图象．如图．则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎨⎧y ＝x ＋a ，y ＝－x 2＋4x －3⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0. 由Δ＝9－4(3＋a )＝0，得a ＝－34.由图象知当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－34时方程至少有三个不等实根.。
2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第2章 函数、导数及其应用 第12节
[课堂练通考点]1．设f (x )是一条连续的曲线，且为偶函数，在对称区间[－a ，a ]上的定积分为a -a⎰f (x )d x ，由定积分的几何意义和性质，得a -a⎰f (x )d x 可表示为( )A ．－a -a⎰f (x )d xB ．20-a⎰f (x )d xC.12a ⎰f (x )d xD.0-a⎰f (x )d x解析：选B 偶函数的图像关于y 轴对称，故∫a －a f (x )d x 对应的几何区域关于y 轴对称，因而其可表示为2-a⎰f (x )d x ，应选B.2．(2014·唐山模拟)已知f (x )＝2－|x |，则2-1⎰f (x )d x 等于( )A ．3B ．4 C.72D.92解析：选C f (x )＝2－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x (x ≥0)，2＋x (x <0)，∴2-1⎰f (x )d x ＝0-1⎰(2＋x )d x ＋20⎰(2－x )d x＝⎝⎛⎭⎫2x ＋x 22|0－1＋⎝⎛⎭⎫2x －x 22|20＝32＋2＝72. 3．(2013·北京高考)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43B ．2 C.83D. 1623解析：选C 由题意知抛物线的焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1，该直线与抛物线在第一象限的交点坐标为(2,1)，根据对称性和定积分的几何意义可得所求的面积是2∫20⎝⎛⎫1－x 24d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －x 312|2＝83.4．(2013·安徽联考)设函数f (x )＝(x －1)x (x ＋1)，则满足∫a 0f ′(x )d x ＝0的实数a ＝________.解析：a ⎰f ′(x )d x ＝f (a )＝0，得a ＝0或1或－1，又由积分性质知a >0，故a ＝1.答案：15．已知函数y ＝f (x )的图像是折线段ABC ，其中A (0,0)、B ⎝⎛⎭⎫12，1、C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为________．解析：由题知y ＝f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0≤x <12，2－2x ，12≤x ≤1，则y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧2x 2，0≤x <12，2x －2x 2，12≤x ≤1，故函数y ＝xf (x )的图像与x 轴围成的图形的面积S＝120⎰2x 2d x ＋112⎰(2x －2x 2)d x ＝23x 3120＋⎝⎛⎭⎫x 2－23x 3112＝14. 答案：14[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题 1.10⎰(e x ＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1解析：选C10⎰(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)| 10＝(e 1＋1)－e 0＝e.2．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )A.12g B ．g C.32g D ．2g解析：选C 由题意知电视塔高为 ∫21gt d t ＝12gt 2| 21＝2g －12g ＝32g . 3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，cos x ，0≤x ≤π2的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积为( ) A.32B ．1C ．2D.12解析：选A S ＝∫0－1(x ＋1)d x ＋20π⎰cos x d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2＋x 0-1＋sin x |20π＝32. 4.(2014·郑州模拟)如图，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.23B.13C.12D.14解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14，y ＝x 2⇒x ＝12或x ＝－12(舍)，所以阴影部分面积S ＝120⎰⎝⎛⎭⎫14－x 2d x ＋112⎰⎝⎛⎭⎫x 2－14d x＝⎝⎛⎭⎫14x －13x 3120＋⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 112＝14.5．(2013·江西高考)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析：选B S 1＝13x 3⎪⎪⎪ 21＝83－13＝73，S 2＝ln x ⎪⎪⎪ 21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.6．(2014·吉林模拟)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若1⎰f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为______．解析：10⎰f (x )d x ＝10⎰(ax 2＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx |10＝13a ＋c ＝f (x 0)＝ax 20＋c ， ∴x 20＝13，x 0＝±33.又∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33.答案：337.(2014·济宁一模)如图，长方形的四个顶点为O (0,0)，A (2,0)，B (2,4)，C (0,4)，曲线y ＝ax 2经过点B ，现将一质点随机投入长方形OABC 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．解析：∵y ＝ax 2过点B (2,4)，∴a ＝1，∴所求概率为1－2⎰x 2d x 2×4＝23. 答案：238．(2014·珠海模拟)由三条曲线y ＝x 2，y ＝x 24，y ＝1所围成的封闭图形的面积为________．解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝1，和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 24，y ＝1，得交点坐标(－1,1)，(1,1)，(－2,1)，(2,1)．则S ＝2⎣⎡⎦⎤∫10⎝⎛⎭⎫x 2－x 24d x ＋∫21⎝⎛⎭⎫1－x 24d x ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x 3 |10＋x |21－⎝⎛⎭⎫112x 3 |21＝43. 答案：439．求下列定积分．(1)∫21⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ；(2)∫0－π(cos x ＋e x )d x . 解：(1)∫21⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝∫21x d x －21⎰x 2d x ＋21⎰1xd x ＝x 22 |21－x 33 |21＋ln x |21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)-π⎰(cos x ＋e x )d x ＝0-π⎰cos x d x ＋0-π⎰e x d x＝sin x |0－π＋e x |0－π＝1－1eπ. 10．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0， ∫10f (x )d x ＝－2， (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值． 解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝2，b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a ，b ＝0， ∴f (x )＝ax 2＋2－a . 又10⎰f (x )d x ＝10⎰(ax 2＋2－a )d x＝⎣⎡⎦⎤13ax 3＋(2－a )x |10＝2－23a ＝－2，∴a ＝6，从而f (x )＝6x 2－4. (2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]． ∴当x ＝0时，f (x )min ＝－4； 当x ＝±1时，f (x )max ＝2. 第Ⅱ组：重点选做题1.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R)的图像如图所示，它与x轴在原点处相切，且x 轴与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________． 解析：f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0， 得x ＝0或x ＝a (a <0)． S 阴影＝－0a⎰(－x 3＋ax 2)d x ＝112a 4＝112，∴a ＝－1.答案：－12．曲线y ＝1x ＋2x ＋2e 2x ，直线x ＝1，x ＝e 和x 轴所围成的区域的面积是________．解析：由题意得，所求面积为e 1⎰1x＋2x ＋2e 2x d x ＝e 1⎰1xd x ＋e 1⎰2x d x ＋e 1⎰2e 2x d x ＝ln x |e 1＋x 2|e 1＋e 2x |e 1＝(1－0)＋(e 2－1)＋(e 2e －e 2)＝e 2e .答案：e 2e。
2015届高考数学(理)一轮复习真题汇编模拟训练2-7《函数的图象》
1. [2014·佛山模拟]要得到函数y ＝8·2－x的图象，只需将函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象( )A. 向右平移3个单位B. 向左平移3个单位C. 向右平移8个单位D. 向左平移8个单位解析：y ＝8·2－x＝2－x ＋3＝2－(x －3)，y ＝(12)x ＝2－x ，把函数y ＝(12)x 的图象向右平移3个单位即得函数y ＝8·2－x的图象，故选A.答案：A2. [2014·河南三市调研]若实数x ，y 满足|x －1|－ln 1y＝0，则y 关于x 的函数图象的大致形状是( )解析：原式可化为y ＝e －|x －1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x －1|，它的图象是将y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x x ，e x x的图象向右平移一个单位得到的，故选B.答案：B3. [2013·四川高考]函数y ＝x 33x －1的图象大致是( )解析：由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A ；取x ＝－1，y ＝－113－1＝32>0，故再排除B ；当x →＋∞时，3x－1远远大于x 3的值且都为正，故x 33x －1→0且大于0，故排除D ，选C.答案：C4. [2014·黑龙江重点中学质检]用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．解析：画出y ＝2x，y ＝x ＋2，y ＝10－x 的图象，观察图象可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx ，x ＋x ，10－x x，∴f (x )的最大值在x ＝4时取得，为6. 答案：65. [2014·北京质检]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，x －3，x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．解析：在同一坐标系中作出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，x －3，x <2及y ＝k 的图象(如图)．可知，当0<k <1时，y ＝k 与y ＝f (x )的图象有两个交点， 即方程f (x )＝k 有两个不同的实根． 答案：(0,1)。
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第7讲 函数的图象及其应用
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、填空题
1．把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是________．
解析 把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位长度，得y ＝[(x ＋1)－2]2＋2＝(x －1)2＋2，再向上平移1个单位长度，得y ＝(x －1)2＋2＋1＝(x －1)2＋3.
答案 y ＝(x －1)2＋3
2．函数f (x )＝x ＋1
x 的图象的对称中心为________． 解析 f (x )＝x ＋1x ＝1＋1
x ，故f (x )的对称中心为(0,1)． 答案 (0,1)
3．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
13x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，
则g (x )的表达式为________．
解析 在函数g (x )的图象上任取一点(x ，y )，这一点关于x ＝1的对称点为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧
x 0＝2－x ，
y 0＝y .
∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
132－x ＝3x －2.
答案 g (x )＝3x －2
4．函数y ＝(x －1)3＋1的图象的对称中心是________．
解析 y ＝x 3的图象的对称中心是(0,0)，将y ＝x 3的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，即得y ＝(x －1)3＋1的图象，所以对称中心为(1,1)． 答案 (1,1)
5. 设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图，则不等式f (x )＜0的解集是________．
解析 利用函数f (x )的图象关于原点对称．∴f (x )＜0的解集为(－2,0)∪(2,5)． 答案 (－2,0)∪(2,5)
6．若函数f (x )在区间[－2,3]上是增函数，则函数f (x ＋5)的单调递增区间是________．
解析 ∵f (x ＋5)的图象是f (x )的图象向左平移5个单位得到的． ∴f (x ＋5)的递增区间就是[－2,3]向左平移5个单位得到的区间[－7，－2] 答案 [－7，－2]
7．若方程|ax |＝x ＋a (a >0)有两个解，则a 的取值范围是________． 解析 画出y ＝|ax |与y ＝x ＋a 的图象，如图．只需a >1.
答案 (1，＋∞)
8．(2013·泰州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
log 2x (x ＞0)，2x (x ≤0)，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有
两个实根，则实数a 的范围是________．
解析 当x ≤0时，0＜2x ≤1，所以由图象可知要使方程f (x )－a ＝0有两个实
根，即f (x )＝a 有两个交点，所以由图象可知0＜a ≤1. 答案 (0,1] 二、解答题 9．已知函数f (x )＝
x 1＋x
. (1)画出f (x )的草图；(2)指出f (x )的单调区间． 解 (1)f (x )＝
x 1＋x ＝1－1x ＋1
，函数f (x )的图象是由反比例函数y ＝－1x 的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到，图象如图所示．
(2)由图象可以看出，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)． 10．设函数f (x )＝x ＋1
x 的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )． (1)求g (x )的解析式；
(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标．
解 (1)设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，则P (x ，y )关于点A (2,1)对称的点为P ′(4－x,2－y )，代入f (x )＝x ＋1x ，可得2－y ＝4－x ＋14－x ，即y ＝x －2＋1
x －4，
∴g (x )＝x －2＋
1
x －4
. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝m ，y ＝x －2＋1
x －4，消去y 得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0，Δ＝(m ＋6)2－
4(4m ＋9)，
∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点， ∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.
当m ＝0时，经检验合理，交点为(3,0)；
当m ＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
一、填空题
1．使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是________．
解析 作出函数y ＝log 2(－x )及y ＝x ＋1的图象．其中y ＝log 2(－x )与y ＝log 2x 的图象关于y 轴对称，观察图象知(如图所示)，－1＜x ＜0，即x ∈(－1,0)． 答案 (－1,0)
2. 函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )
cos x <0的解集为________．
解析 当x ∈(0,1)时，cos x >0，f (x )>0； 当x ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，π2时，cos x >0，f (x )<0；
当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，4时，cos x <0，f (x )<0，
当x ∈(－1,0)时，cos x ＞0，f (x )＞0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，－1时，cos x ＞0，f (x )＜0；
当x ∈⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－4，－π2时，cos x ＜0，f (x )＜0.
故不等式f (x )
cos x <0的解集为
⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
－π2<x <－1，或1<x <
π2. 答案
⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
x |－π2＜x ＜－1，或1＜x ＜π2
3．(2013·宿迁模拟)已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)有四个根，则k 的取值范围是________．
解析 由题意作出f (x )在[－1,3]上的示意图如图， 记y ＝k (x ＋1)＋1，
∴函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1)． 记B (2,0)，由图象知，方程有四个根，
即函数y ＝f (x )与y ＝kx ＋k ＋1的图象有四个交点， 故k AB ＜k ＜0，k AB ＝0－12－(－1)
＝－13，∴－1
3＜k ＜0.
答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－13，0
二、解答题
4．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．
解 f (x )＝⎩
⎨⎧
(x －2)2
－1，x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)
－(x －2)2
＋1，x ∈(1，3) 作出图象如图所示．
原方程变形为 |x 2－4x ＋3|＝x ＋a .
于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图象．如图．则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，
由⎩⎨⎧
y ＝x ＋a ，y ＝－x 2
＋4x －3⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0. 由Δ＝9－4(3＋a )＝0，得a ＝－3
4.
由图象知当a ∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤－1，－34时方程至少有三个不等实根.。