2015年高考数学专题讲座：数学压轴题
2015届山东省高考压轴卷数学(理)Word版含解析
2015山东省高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.复数,则对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，集合b={2，3}，则()U C A B =（ ）A ．φB ． {1，2，3，4}C ． {2，3，4}D ． {0，11，2，3，4}3.已知全集集合2{|log (1)A x x =-},{|2}xB y y ==,则()U C A B = ( )A ．0-∞（，）B ．0,1]（C ．(,1)-∞D ．(1,2) 4.指数函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能的是5.曲线（为自然对数的底数）在点处的切线与轴、轴所围成的三角形的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．6.设随机变量服从正态分布,若,则的值为( ) A ． B ．C ．D ．7.取值范围是（）8.A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.随x、m、n的值而定9.已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（）A． B． C． D．10.已知函数f（x）=，则下列关于函数y=f[f（kx）+1]+1（k≠0）的零点个数的判断正确的是（）A．当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有4个零点B．当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有3个零点C．无论k为何值，均有3个零点D．无论k为何值，均有4个零点二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11.正项等比数列中，，，则数列的前项和等于．12.如图，在中，是边上一点，，则的长为13.已知实数x，y满足x>y>0，且x+y2，则的最小值为▲．14.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为____________.15.设函数的定义域分别为，且，若对于任意，都有，则称函数为在上的一个延拓函数．设，为在R上的一个延拓函数，且g(x)是奇函数．给出以下命题：①当时，②函数g(x)有5个零点；③ 的解集为；④函数的极大值为1，极小值为-1;⑤ ，都有.其中正确的命题是________．（填上所有正确的命题序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16.（本小题满分12分）设是锐角三角形，三个内角，，所对的边分别记为，，，并且.（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，，求，（其中）．17.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥的底面为菱形，.（1）求证：;（II）求二面角的余弦值.18.(本题满分12分）甲、乙、丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是，甲、丙两人同时不能被聘用的概率是,乙、丙两人同时能被聘用的概率为,且三人各自能否被聘用相互独立.(1) 求乙、丙两人各自被聘用的概率;(2) 设ξ为甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值(数学期望)19.（本小题满分10分）已知是数列的前n项和，且（1）求数列的通项公式；（2）设，记是数列的前n项和，证明：。
2015广东省高考压轴卷 理科数学 Word版含解析
2015广东省高考压轴卷理科数学一、 选择题（每小题5分，共30分，把正确答案填写在答卷相应地方上）1、复数12i -+的虚部是（ ） A ．15- B ．15i - C ．15 D ．15i2、已知集合A ＝{x |x >1}，B ＝{x | | x | <2 }，则A ∩B 等于A ．{x |－1<x <2}B ．{x |x >－1}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |1<x <2}3、下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是（ ） A. 3y x = B. cos y x = C.x y tan = D . ln y x =4、在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cos2B =（ ） ABC ．31D ．13-5、一空间几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积为. （ ） A.2 B.32 C 4 D. 346、执行如图1所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围（ ） A.161587≤<P B. 1615>P C. 161587<≤P D. 8743≤<P 7、由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为（ ） A ．1B．CD ．38、称d （,→a )→b =→→-b a 为两个向量,→a →b 间距离，若,→a →b 满足①1b =→②≠→a →b ③ 对任意实数t ，恒有d （,→a t )→b ≥d （,→a )→b ,则（ ）A ．（+→a →b ）⊥（-→a →b ） B .→b ⊥（-→a →b ） C . →a ⊥→b D .→a ⊥（-→a →b ） 二、填空题：（每小题5分，共30分，把正确答案填写在答卷相应地方上） （一）必做题(9～13题)9、函数f(x)=12x -2++x 的定义域是图110、由三条直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为11、已知等比数列{}n a 的第5项是二项式613x ⎫⎪⎭展开式的常数项，则37a a = ．12、定义R 上的奇函数f （x ）满足f （x+3）=f （x ），当0＜x≤1时，f （x ）=2x，则f （2015）=13、若关于x ，y 的不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≥010x y kx x y 表示的平面区域是一个锐角三角形，则k 的取值范围是______(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)14、已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧+=-=121t y t x （t 为参数），曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ，设曲线C 1，C 2相交于A 、B 两点，则|AB|的值为15、如图所示，过⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于C ，D 两点，AB 切⊙O 于B ，弦MN 过CD 的中点P ．已知AC=4，AB=6，则MP ·NP= ．三、解答题16、（本小题满分12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边, 面积C S cos ab 23= (1) 求角C 的大小； (2)设函数2cos 2cos 2sin 3)(2xx x x f +=，求)(B f 的最大值,及取得最大值时角B 的值17、（本小题满分12分）某校高一年级60名学生参加数学竞赛，成绩全部在40分至100分之间，现将成绩分成以下6段：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，据此绘制了如图所示的频率分布直方图． （1）求成绩在区间[80，90）的频率；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生，其中成绩在[90，100]内的学生人数为ξ，求ξ的分布列与均值．B18、（本小题共14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD//BC ，∠ADC=90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA=PD=2，BC=12AD=1，（1）若点M 是棱PC 的中点，求证：PA // 平面BMQ ； （2）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（3）若二面角M-BQ-C 为30°，设PM=tMC ，试确定t 的值 19、（本小题满分14分）已知函数22()(0)2x a f x a x +=>,数列{n a }满足13a a =,1()n n a f a +=,设)(+∈+-=N n aa a ab n n n ,数列{n b }的前n 项和为n T . (1)求12,b b 的值;(2)求数列{n b }的通项公式; (3)求证:87<T n20、（本小题满分14分）已知焦点为F ,准线为l 的抛物线Γ：22(0)x py p =>经过点(-，其中,A B 是抛物线上两个动点，O 为坐标原点。
高考数学选择填空压轴题45道(附答案)
,
D．
1,
27 e4
21．已知方程
e x 1
x
e2 x1 x aex1
有三个不同的根，则实数
a
的
取值范围为（ ）
A． 1,e
B．
e,
1 2
C． 1,1
D．
1,
1 2
22．函数 f (x) ex1 ex1 a sin （x x R ，e 是自然对数的底数，
a 0 ）存在唯一的零点，则实数 a 的取值范围为( )
38．若不等式 x e2x a x ln x 1恒成立，则实数 a 的取值范
围是__________.
39．已知函数 f x ln x e a x b ，其中 e 为自然对数的底
数.若不等式
f
x
0
恒成立，则
b a
的最小值为_______.
40．已知函数
f
(x)
x
2 cos
x
，在区间上
0,
4
A．
0,
2
B．
0,
2
C． (0,2]
D． (0,2)
23．已知 a 0 ，b R ，且 ex a(x 1) b 对 x R 恒成立，则 a2b 的 最大值为（ ）
A． 1 e5
2
B． 1 e5
3
C． 1 e3
2
D． 1 e3
3
k
24．若关于
x
的不等式
1 x
x
1 27
有正整数解，则实数
16 12
7
4
x
x
3y 6 y
的最小值为________.
8
参考答案，仅供参考
高考数学压轴题解题技巧和方法
圆锥曲线解题技巧一、常规七大题型： 〔1〕中点弦问题具有斜率弦中点问题，常用设而不求法〔点差法〕：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式〔当然在这里也要注意斜率不存在请款讨论〕，消去四个参数。
如：〔1〕)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，那么有02020=+k by a x 。
〔2〕)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)那么有02020=-k by a x 〔3〕y 2=2px 〔p>0〕与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),那么有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A 〔2，1〕直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2中点P 轨迹方程。
〔2〕焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
〔1〕求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；〔2〕求|||PF PF 1323+最值。
〔3〕直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线位置关系根本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合思想，通过图形直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆焦点，结合三大曲线定义去解。
典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()()〔1〕求证：直线与抛物线总有两个不同交点〔2〕设直线与抛物线交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 函数f(t)表达式。
浙江省2015届高考压轴数学(理)试题word 版 含答案
2015浙江省高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．合集{0,1,2,3},{2}U U C M ==，则集合M=（ ）A ．{0，1，3}B ．{1，3}C ．{0，3}D ．{2}2．已知复数z 满足(2)(1)i i i z +-=⋅（i 为虚数单位），则z=（ ）A ．-1+3iB ．-1-3iC ．1+3iD ．1-3i3．已知向量=（3cos α，2）与向量=（3，4sin α）平行，则锐角α等于（ ） A ．B ．C ．D ．4．三条不重合的直线a ，b ，c 及三个不重合的平面α，β，γ，下列命题正确的是（ ）A ． 若a ∥α，a ∥β，则α∥βB ． 若α∩β=a ，α⊥γ，β⊥γ，则a ⊥γC ． 若a ⊂α，b ⊂α，c ⊂β，c ⊥α，c ⊥b ，则α⊥βD ． 若α∩β=a ，c ⊂γ，c ∥α，c ∥β，则a ∥γ5.执行如右图所示的程序框图，则输出S 的值是 （ ） A ．10 B ．17 C ．26 D ．286．已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32tan πx x f ,则下列说法错误的是 （ ）A ． 函数f(x)的周期为2πB ． 函数f(x)的值域为RC ． 点（6π，0）是函数f(x)的图象一个对称中心D ．23()()55f f ππ< 7.已知5250125(),a x a a x a x a x -=++++若2012580,a a a a a =++++则= （ ）A ．32B ．1C ．-243D ．1或-2438．已知a 、b 都是非零实数，则等式||||||a b a b +=+的成立的充要条件是 （ ）A ．a b ≥B ．a b ≤C ．1ab≥ D ．1a b≤ 开始 S =1，i =1结束i =i +2i >7输出S 是否S =S +i9．已知函数()log (1)a f x x a =>的图象经过区域6020360x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，则a 的取值范围是（ ）A ．(31,3⎤⎦B ．(33,2⎤⎦C ．)33,⎡+∞⎣D ．[)2,+∞10．作一个平面M ，使得四面体四个顶点到该平面的距离之比为1:1:1:2，则这样的平面M 共能作出（ ▲ ）个．A ．4 B. 8 C. 16 D.32二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11.已知双曲线：221916x y -=，则它的焦距为__ _；渐近线方程为__ _ 焦点到渐近线的距离为__ _．12.在ABC ∆中，若1,3,AB AC AB AC BC ==+=，则其形状为__ _，BA BC BC=__（①锐角三角形 ②钝角三角形 ③直角三角形，在横线上填上序号）； 13.已知,x y 满足方程210x y --=，当3x >时，则353712x y x y m x y +-+-=+--的最小值为 __ _．14. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为________.15．若,,A B C 都是正数，且3A B C ++=，则411A B C +++的最小值为 16．已知0a >且1a ≠，则使方程222log ()log ()a a x ak x a -=-有解时的k 的取值范围为 ．17．已知等差数列{}n a 首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 首项为b ，公比为a ，其中,a b 都是大于1的正整数，且1123,a b b a <<，对于任意的*n N ∈，总存在*m N ∈，使得3m n a b +=成立，则n a = ．.22221122 1221正视图侧视图俯视图二、填空题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 18．已知函数f （x ）=1﹣2sin （x+）[sin （x+）﹣cos （x+）]（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期； （Ⅱ）当x ∈[﹣，]，求函数f （x+）的值域．19．（本小题满分14分）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，{}n b 等比数列，满足222112233,,.b a b a b a ===（I ）求数列{}n b 公比q 的值；（II ）若2121a a a =-<且，求数列{}n a 公差的值；20.一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号。
高考数学压轴题的技巧
高考数学压轴题的技巧高考数学压轴题的技巧策略一、缺步解答——化繁为简，能做多少算多少如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。
特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每进行一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题巧拿分”。
策略二、跳步解答——左右逢源，会做哪问做哪问解题过程中卡在某一过渡环节上是常见的.这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论.若题目有两问，第(1)问想不出来，可把第(1)问当作“已知”，先做第(2)问，跳一步解答。
策略三、逆向解答——逆水行舟，往往也能解决问题对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展。
顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证。
策略四、退步解答——以退为进，列出相关内容也能得分“以退求进”是一个重要的解题策略。
对于一个较一般的问题，如果你一时不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从参变量退到常量，从较强的结论退到较弱的结论。
总之，退到一个你能够解决的问题，通过对“特殊”的思考与解决，启发思维，达到对“一般”的解决。
高三数学教师高考总结又是一年一度的高考总结会，去年的这个时候，在会场下面，何xx老师悄悄地对我说：“明年这个时候，希望在台上发言的人是你啊!”我很荣幸地说，我们没有辜负何总的期望，今年高考我们数学取得了很好的成绩，理科全市第二，文科全市第三!这对于我们数学组来说具有非同寻常的意义，因为我们被压抑得太久了，我们盼这个结果盼得太久了。
曾几何时我们的数学失去了往日的优势，在大大小小的统考中我们被比较着，来自于其他学校的压力让我们无所适从，数学常常处于被动状态。
2015年高考数学压轴题拔高精选
2015年高考数学压轴题拔高精选1、设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上x x f <')(，若m m f m f 48)()4(-≥--，则实数m 的取值范围为() A ．]2,2[-B ．),2[+∞C ．),0[+∞D ．(,2][2,)-∞-+∞【答案】B因为对任意()()2,x R f x f x x ∈-+=， =()()20f x f x x -+-= 所以，当时0x >，()()0g x f x x ''=-<为奇函数且在R 上存在导数，所以函数在R 上为减函数，()()()484f m f m m =----0≥所以，()()442g m g m m m m -≥⇒-≤⇒≥ 所以，实数m 的取值范围为),2[+∞ 故选B .2、设集合X 是实数集R 的子集，如果点0x R ∈满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00||x x a <-<，那么称0x 为集合X 的聚点，用Z 表示整数集，下列四个集合：①，④整数集Z ．其中以0为聚点的集合有()A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④【答案】B1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0的x ，∴0不是集合，对任意的a ，都存在实际上任意比a 小的数都可以)，使得0的数列，对于任意的0a >，存在0是集④对于某个1a <，比如0.5a =，此时对任意的x Z ∈，都有0不是整数集Z 的聚点． 综上可知B 正确.3、已知ABC ∆中，BC CA CA AB ∙=∙u u u r u u r u u r u u u r ，2BA BC +=uu r uu u r ，且2,33B ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则BC BA ∙u u u r u u r 的取值范围是 . 【答案】22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】因为BC CA CA AB ∙=∙u u u r u u r u u r u u u r，所以()()()..0CA BC AB BA BC BC BA -=-+=，即22BA BC =可得AB BC =，因为2BA BC +=uu r uu u r可得222.4BA BA BC BC ++=，设AB BC a ==，所以有222222cos 41cos a a B a B+=⇒=+，因为2,33B ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得11cos ,22B ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22cos 22.cos 22,1cos 1cos 3B BA BC a B B B ⎡⎤===-∈-⎢⎥++⎣⎦，故答案为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.4、已知定义在R 上的函数f (x )的图象连续不断，若存在常数()t t R ∈， 使得()()0f x t tf x ++=对任意的实数x 成立，则称f (x )是回旋函数． 给出下列四个命题：①若f (x )为非零的常值函数，则其为回旋函数的充要条件是t ＝－1； ②若(01)x y a a =<<为回旋函数，则t ＞l ； ③函数2()f x x =不是回旋函数；④若f (x )是t ＝1的回旋函数，则f (x )在[0，2015]上至少有2015个零点． 其中为真命题的是_________(写出所有真命题的序号)． 【答案】①③④【解析】①利用回旋函数的定义即可．②若指数函数xy a =为阶数为t 回旋函数，根据定义求解，得矛盾结论．③利用回旋函数的定义，令x ＝0，则必须有a ＝0；令x ＝1，则有2310a a ++=，故可判断；．④由定义得到f (x ＋1)＝－f (x )，由零点存在定理得，在区间(x ，x ＋1)上必有一个零点令01232015x =，，，，，，即可得到． 对于①函数f (x )＝2为回旋函数，则由f (x ＋t )＋tf (x )＝0，得2＋2t ＝0，∴t ＝－1，故结论正确；对于②，若指数函数xy a =为阶数为t 回旋函数，则000x t x t a ta a t t ++=+=∴，，＜，∴结论不成立；对于③若220x a ax ++=（）对任意实数都成立，令x ＝0，则必须有a ＝0，令x ＝1，则有2310a a ++=，显然a ＝0不是这个方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故结论正确，对于④：若若f (x )是t ＝1的回旋函数，则f (x ＋1)＋f (x )＝0对任意的实数x 都成立，即有f (x ＋1)＝－f (x )，则f (x ＋1)与f (x )异号，由零点存在定理得，在区间(x ，x ＋1)上必有一个零点，可令01232015x =，，，，，，则函数f (x )在[0，1]上至少存在2015个零点．故结论正确故答案为：①③④．5、以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[],M M -.例如，当()()()()31212,sin x x x x x A x B ϕϕϕϕ==∈∈时，，.现有如下命题：①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“(),,b R a D f a b ∀∈∃∈=”； ②函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()()()(),f x A g x B f x g x B ∈∈+∉，则 ④若函数()()()2ln 22,1xf x a x x a R x =++>-∈+有最大值，则()f x B ∈. 其中的真命题有_____________.(写出所有真命题的序号) 【答案】①③④【解析】(1)对于命题①“()f x A∈”即函数()f x 值域为R ，“b R ∀∈，a D ∃∈，()f a b =”表示的是函数可以在R 中任意取值，故有：设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A∈”的充要条件是“b R ∀∈，a D ∃∈，()f a b =”∴命题①是真命题；(2)对于命题②若函数()f x B ∈，即存在一个正数M ，使得函数()f x 的值域包含于区间[,]MM -．∴－M ≤()f x ≤M ．例如：函数()f x 满足－2＜()f x ＜5，则有－5≤()f x ≤5，此时，()f x 无最大值，无最小值．∴命题②“函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值．”是假命题；(3)对于命题③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x ∈A ，()g x ∈B ， 则()f x 值域为R ，()f x ∈(－∞，＋∞)，并且存在一个正数M ，使得－M ≤g (x )≤M ．∴()f x ＋()g x ∈R ．则()f x ＋()g x ∉B ．∴命题③是真命题．(4)对于命题④∵函数2()l n (2)1xf x a x x =+++(x ＞－2，a R ∈)有最大值，∴假设a ＞0，当x →+∞时，21xx +→0，ln(2)x +→+∞，∴ln(2)a x +→+∞，则()f x →+∞．与题意不符；假设a ＜0，当x →－2时，21x x +→25-，ln(2)x +→-∞，∴ln(2)a x +→+∞，则()f x →+∞．与题意不符．∴a ＝0．即函数()f x ＝21xx +(x ＞－2) 当x ＞0时，x ＋1x ≥2，∴101x x<+≤12，即0＜()f x ≤12；当x ＝0时，()f x ＝0； 当x ＜0时，x ＋1x ≤−2，∴−12≤11x x+＜0，即−12≤()f x ＜0． ∴−12≤()f x ≤12．即()f x B ∈．故命题④是真命题． 故答案为①③④．6、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2e =，其左右焦点分别为1F 、2F，12F F =设点11(,)M x y ，22(,)N x y 是椭圆上不同两点，且这两点与坐标原点的连线的斜率之积14-．(1)求椭圆C 的方程；(2)求证：2212x x +为定值，并求该定值． 【答案】(1)2214x y +=(2)略 【解析】(1)依题意，c =2e =2a =，2221b a c =-=， 则椭圆C 的方程为：2214x y +=； (2)由于121214y y x x ⨯=-，则12124x x y y =-，1222212216x x y y = 而221114x y +=，222214x y +=，则221114x y -=，222214x y -=， ∴22221212(1)(1)44x x y y --=，则22221212(4)(4)16x x y y --=，22221212(4)(4)x x x x --=，展开得22124x x +=为一定值.7、设F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左焦点，直线l 为其左准线，直线l 与 x 轴交于点P ，线段MN 为椭圆的长轴，已知.||2||,8||MF PM MN ==且 (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P 的直线与椭圆相交于不同两点A 、B 求证：AFM BFN ∠=∠； (3)求三角形ABF 面积的最大值.【答案】(1)2211612x y +=；(2)略；(3).33.【解析】(1)48||=∴=a MN122)(1210132)(2||2||22222=-==∴==⇒=+--=-=c a b c e c e e c a a c a MF PM 舍去或即得又 1121622=+∴y x 椭圆的标准方程为(2)当AB 的斜率为0时，显然.0=∠=∠BFN AFM 满足题意 当AB 的斜率不为0时，设),(),,(2211y x B y x A ，AB 方程为,8-=my x 代入椭圆方程整理得：014448)43(22=+-+my y m则431444348),43(1444)48(22122122+=⋅+=++⨯-=∆m y y m m y y m m 662222112211-+-=+++=+∴my y my y x y x y k k BF AF 0)6)(6()(62212121=--+-=my my y y y my.,0BFN AFM k k BF AF ∠=∠=+∴从而综上可知：恒有BFN AFM ∠=∠. (3)(理科)43472||||212212+-=-⋅=-=∆∆∆m m y y PF S S S PAFPBF ABF33163272416437216)4(34722222=⋅≤-+-=+--=m m m m当且仅当32841643222=-=-m m m 即(此时适合△＞0的条件)取得等号. ∴三角形ABF 面积的最大值是.338、已知函数()ln(1)m f x x x =+-(1)若函数()f x 为(0,)+∞上的单调函数，求实数m 的取值范围； (2)求证：2222111(1sin1)(1sin)(1sin )(1sin )23e n+++⋅⋅⋅+<． 【答案】 (1) m ≤1；(2)证明：见解析. 【解析】 (1)()ln(1),()11mf x m x x f x x'=+-∴=-+， ∵()f x 在()0,+∞上为单调函数，∴()0f x '≥恒成立，或()0f x '≤恒成立. 即11m x ≥+恒成立，或11mx≤+恒成立. ∵()0,,1x m x ∈+∞∴≥+不能恒成立. 而1＋x ＞1，∴m ≤1时f (x )为单调递减函数. 综上，m ≤1.(2)由(1)知，m ＝1时f (x )在()0,+∞上为减函数， ∴f (x )＜f (0)，即ln(1)x x +<，()0,x ∈+∞ ∵2211sin1,sin,sin02n>， ∴ln(1sin1)sin1+<，2211ln(1sin)sin 22+<2211ln(1sin)sin n n+<令()sin ,(0,)2g x x x x π=-∈，则()cos 10g x x '=-<，∴()g x 在(0,)2π为减函数，∴g (x )＜g (0)，.即sinx ＜x ，x ∈(0,)2π，∴22221111sin11,sin,,sin 22n n <<<. ∴2211ln(1sin1)ln(1sin)ln(1sin)2n++++++ 2211sin1sinsin2n <+++221112n <+++11111223(1)n n<++++⨯⨯-111111(1)()()2231n n =+-+-++--＝122n-< 即()2211ln 1sin11sin1sin 22n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ∴()222111sin11sin 1sin 2e n ⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.9、已知椭圆M 的两个焦点分别为在椭圆M 上．(Ⅰ)求椭圆M 的标准方程；(Ⅱ)在椭圆M 落在第一象限的图象上任取一点作M 的切线l ，求l 与坐标轴围成的三角形的面积的最小 值；(Ⅲ)设椭圆M 的左、右顶点分别为A ，B ，过椭圆M 上的一点D 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，若C 点满足C AB ⊥B ，D//C A O ，连结C A 交D E 于点P ，求证：D P =PE ．【答案】(Ⅰ(Ⅱ)2；(Ⅲ)见解析 【解析】(Ⅰ)解：由题意设椭圆M 的标准方程为(0a b >>)在椭圆M 上解得：2a = ∴椭圆M 的标准方程为(Ⅱ)解：∵在椭圆M 落在第一象限的图象上任取一点作M 的切线l ∴直线l 的斜率必存在且为负 设直线l 的方程为y kx m =+(0k <)，消去y ，整理得：根据题意可得方程③只有一实根 整理得：2241m k =+④∵直线l 与两坐标轴的交点分别为，()0,m且0k < ∴l 与坐标轴围成的三角形的面积) (Ⅲ)证明：由(Ⅰ)得：()2,0A -，()2,0B 设()00D ,x y ，则()0,0x E ∵C AB ⊥B∴可设()1C 2,y∴()00D 2,x y A =+，()1C 2,y O = 由D//C A O 得：()01022x y y += ∴直线C A 的方程为∵点P 在D E 上∴令0x x =代入直线C A 的方程得：即点P 的坐标为∴P 为D E 的中点 ∴D P =PE10、设函数()()21xf x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时，求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M . 【答案】 (Ⅰ) 函数()f x 的递减区间为()0,ln 2，递增区间为(),0-∞，()ln 2,+∞. (Ⅱ) 最大值()31kM k e k =--.【解析】(Ⅰ) 当1k =时，()()21x f x x e x =--，()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=，得10x =，2ln 2x = 当x 变化时，()(),f x f x '的变化如下表:右表可知，函数()f x 的递减区间为()0,ln 2，递增区间为(),0-∞，()ln 2,+∞.(Ⅱ) ()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-，令()0f x '=，得10x =，()2ln 2x k =，令()()ln 2g k k k =-，则()1110k g k k k -'=-=>，所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增， 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<，从而()ln 2k k <，所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时，()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时，()0f x '>；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==---令()()311k h k k e k =--+，则()()3k h k k e k '=-，令()3kk e k ϕ=-，则()330k k e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递减，而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭ 所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=，且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0k ϕ>，当()0,1k x ∈时，()0k ϕ<，所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()10h =，所以()0h k ≥在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立，当且仅当1k =时取得“=”.综上，函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31k M k e k =--.。
高考数学专题《抛物线过焦点的弦》填选压轴题及答案
专题47 抛物线过焦点的弦【方法点拨】设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，α为弦AB 的倾斜角，则：(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p1＋cos α (其中点A 在x 轴上侧，点B 在x 轴下侧) .(3)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α.(4)1|AF |＋1|BF |＝2p. (5)以弦AB 为直径的圆与准线相切．【典型题示例】例 1 已知抛物线()02:2>=p px y C 的焦点F 到其准线的距离为4，圆()12:22=+-y x M ，过F 的直线l 与抛物线C 和圆M 从上到下依次交于A ，P ，Q ，B四点，则BQ AP 4+的最小值为 . 【答案】13【分析】易知4p =，圆心(2,0)M 即为焦点F ，故445AP BQ AF BF +=+-，再利用抛物线的定义，进一步转化为445A B AP BQ x x +=++，利用4A B x x =、基本不等式即可. 【解析】易知4p =，圆心(2,0)M 即为焦点F所以()()414145AP BQ AF BF AF BF +=-+-=+- 根据抛物线的定义22A A p AF x x =+=+，22B B pBF x x =+=+ 所以()()4242545A B A B AP BQ x x x x +=+++-=++又244A B p x x ==所以445513A B AP BQ x x +=++≥=，当且仅当4A B x x =，即41A Bx x =⎧⎨=⎩时等号成立，此时直线l的方程是y =-所以BQ AP 4+的最小值为13.例2 已知斜率为k 的直线l 过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，且与抛物线C 交于A ，B 两点，抛物线C 的准线上一点M （－1，－1）满足MA ·MB ＝0，则｜AB ｜＝ （ ） A． B． C ．5 D ．6 【答案】C【分析】将MA ·MB ＝0直接代入坐标形式，列出关于A ，B 中点坐标的方程，再利用斜率布列一方程，得到关于A ，B 中点坐标的方程组即可.这里需要说明的是，MA ·MB ＝0转化的方法较多，如利用斜边中线等于斜边一半等，但均不如上法简单. 【解析】易知p =2设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1x 2=1，y 1y 2=－4，11(1,1)MA x y =++，22(1,1)MB x y =++ ∵MA ·MB ＝0∴1212(1)(1)(1)(1)0x x y y +++++=，化简得12121x x y y +++= 设A 、B 中点坐标为（x 0，y 0），则0012x y += ① 又由直线的斜率公式得121222*********44AB y y y y k k y y x x y y y --=====-+-，001y k x =- ∴00021y y x =-，即2002(1)y x =- ② 由①、②解得032x =∴12025AB x x p x p =++=+=，答案选C. 点评：本题的命题的原点是阿基米德三角形，即从圆锥曲线准线上一点向圆锥曲线引切线，则两个切点与该点所构成的三角形是以该点为直角顶点的直角三角形.以此为切入点解决此题，方法则更简洁.例3 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A.4 B.92C.5D.6【答案】B【解析】 由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ，则|AB |＝3m ， 由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ， 所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，∴sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝92. 例4 已知抛物线的焦点为F .过点的直线与抛物线分别交于两点，则的最小值为 . 【答案】13【解析】设由抛物线的定义，知，. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则. 当直线的斜率存在时，直线的方程可设为.联立得方程组，整理，得.由根与系数的关系可得.所以 (当且仅当时等号成立).所以的最小值为13.例5 阿基米德(公元前287年—公元前212年)是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家.他研究抛物线的求积法，得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号.抛物线的弦与过弦的端点的抛物线的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形.如图，为阿基米德三角形.抛物线上有两个不同的点，即，以点为切点的抛物线的切线相交于点.给出以下结论，其中正确的有__________(填序号).2:4C y x =()2,0l A B ,4AF BF +1122,,()()A x y B x y ，11AF x =+21BF x =+l l 2x =434315AF BF +=+⨯=l l ()2(0)y k x k =-≠()224y xy k x ⎧⎪⎨=+=-⎪⎩()22224440k x k k -+=+124x x =()124141AF BF x x +=+++1245x x =++513≥=1244x x ==4AF BF +PAB ()220x py p =>()()1122,, ,A x y B x y ,A B ,PA PB P①点的坐标是； ②的边所在的直线方程为； ③的面积为；④的边上的中线与轴平行(或重合). 【答案】①②④【解析】由题意，点处的切线方程为，点处的切线方程为.联立这两个方程并消去，得.将代入点处的切线方程，得，所以点的坐标为，故①④正确.设直线的斜率为，则，故直线的方程为.化简，得，故②正确.由①②可得点到直线的距离，，故，故③错误.因此正确的是①②④.例6 已知F 是抛物线24y x =的焦点，A ，B 在抛物线上，且ABF ∆的重心坐标为P 1212,22x x x x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭PAB AB ()121220x x x py x x +--=PAB ()2128PABx x Sp-=PAB AB y A ()21112x x y x x p p-=-B ()22222x x y x x p p -=-y 122x x x +=122x x x +=A 21112121222x x x x x xy x p p p +⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭P 1212,22x x x x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭AB AB k 222121122121222ABx x y y x x p p k x x x x p--+===--AB ()2112122x x x y x x p p+-=-()121220x x x py x x +--=P AB d =2x x -12AB x x -=12x x -121122PABS AB d x x ∆=⋅=-32128x x x x p--=11(,)23，则FA FB AB-=____．【解析】设点A (),A A x y ,B (),B B x y ,焦点F(1,0), 因为ABF ∆的重心坐标为11,23⎛⎫ ⎪⎝⎭, 由重心坐标公式可得1132A B x x ++=,0133A B y y ++=， 即1=2A B x x +，=1A B y y + ， 由抛物线的定义可得()22=114A BA B A B y y FA FB x x x x --+-+=-=, 由点在抛物线上可得22=4=4A A B By x y x ⎧⎨⎩，作差2244A B A B y y x x -=-，化简得4=4+A B AB A B A By y k x x y y -==-，代入弦长公式得--A B A B y y y y ，则FA FB AB-=【巩固训练】1.设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334B.938C.6332D.942.（多选题）已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是( ) A.抛物线C 的准线方程为y ＝－1 B.线段PQ 的长度最小为4 C.点M 的坐标可能为(3，2) D.OP →·OQ →＝－3恒成立3.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 交C 于A ，B 两点，分别过A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为P ，Q .若|AF |＝3|BF |，则|PQ |＝________.4.已知抛物线C 的焦点为F ，过F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若112AF BF+=，则符合条件的抛物线C 的一个方程为__________．5.过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，若25,,12AB AF BF =<则AF = .6.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，若||3AF =，则||BF =______.7．直线l 过抛物线C ：y 2＝12x 的焦点，且与抛物线C 交于A ，B 两点，若弦AB 的长为16，则直线l 的倾斜角等于________．8．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于________．【答案或提示】1.【答案】D【解析一】 由已知得焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，即4x －43y －3＝0.与抛物线方程联立，化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝（y A ＋y B ）2－4y A y B ＝6. 因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94.【解析二】 由2p ＝3，及|AB |＝2p sin 2α得|AB |＝2p sin 2α＝3sin 230°＝12. 原点到直线AB 的距离d ＝|OF |·sin 30°＝38，故S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×12×38＝94.2.【答案】 BCD【解析】因为焦点F 到准线的距离为2，所以抛物线C 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1，A 错误.当线段PQ 垂直于x 轴时长度最小，此时|PQ |＝4，B 正确.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x ＝my ＋1.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1.消去x 并整理，得y 2－4my －4＝0，Δ＝16m 2＋16>0，则y 1＋y 2＝4m ，所以x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝4m 2＋2，所以M (2m 2＋1，2m ).当m ＝1时，可得M (3，2)，C 正确.可得y 1y 2＝－4，x 1x 2＝(my 1＋1)(my 2＋1)＝m 2y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝1，所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3，D 正确.故选BCD.3.【答案】 833【解析】F (1，0)，不妨设A 在第一象限，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由|AF |＝3|BF |得y 1＝－3y 2①设l AB ：y ＝k (x －1)与抛物线方程联立得 ky 2－4y －4k ＝0，y 1＋y 2＝4k ，y 1·y 2＝－4，②结合①②解得y 2＝－233，|PQ |＝|y 1－y 2|＝|－3y 2－y 2|＝－4y 2＝833.4.【答案】满足焦准距为1即可，如22y x =. 【解析】由公式112AF BF p +=得22p=，解得1p =，满足焦准距为1即可，如22y x =等. 5.【答案】65【解析一】设AF =m ，BF =n ，则有25121121mnm n Pp ，解得65=m 或45m =(舍).【解析二】抛物线22y x =的焦点坐标为)0,21(，准线方程为21-=x 设A ，B 的坐标分别为),(),,(2211y x y x ，则414221==p x x 设n BF m AF ==,，则21,2121-=-=n x m x 所以有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=--122541)21)(21(n m n m ，解得65=m 或45=n ，所以65=AF . 6.【答案】32【解析】直接由112n m p+=立得（其中m ，n 是焦点弦被焦点所分得的两线段长，p 就是焦准距）. 7.【答案】π3或2π3【解析】因为p ＝6，则|AB |＝2p sin 2α＝12sin 2α＝16， ∴sin 2α＝34，则sin α＝32.∴α＝π3或2π3.8.【答案】92【解析】因为|AF |＝2|BF |，1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ＝1，解得|BF |＝32，|AF |＝3，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92.。
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专题讲座：数学压轴题中国正在解
郭本龙曾劲松黄文辉
模块一函数、数列、不等式
1.首先是翻译：读你的感觉像三月
2.“萌萌哒”邂逅新概念
3.再议审题：都云作者痴，谁解其中味？
4.像个难题：我很丑，可是我很温柔
5.讨论，还是不讨论？这是个问题
6.弱水三千，只取一瓢
7.著粉则太白，施朱则太赤
8.要有分寸，别乱了方寸
9.僧敲月下门，为寻突破口
10.与自然数有关，所以很自然
11.这一个条件貌似“鸡肋”
12.一山二虎，谁主沉浮？
13.学会整理：待从头，收拾旧山河
14.百思不得其解的零点
15.设而不求，兵不血刃
16.分离更兼构造，总把新桃换旧符
17.过犹不及与“过得刚好”
18.岁月静好，人类想入非非
19.不定方程：退一步海阔天空
20.春江水暖，收放自如
21.放缩法：让我一次爱个够
22.在庸常的日子里守住常规、悄然绽放
23.远上寒山石径斜
24.既要沉进去，还得跳出来
25.何去何从，让感觉与众不同
26.问自己十万个为什么
27.执果索因：为何会是这样？
28.函数赋值：赋到沧桑句便工
29.积与和，“告诉我我们都差不多”
30.从未知数的丛林中突围
31.说说心态：不畏难，不轻易
32.加一项减一项，天堑变通途
33.动作片：反证、迭代、搭配
34.我要“累加”，风吹雨打也不怕
35.至少还有你——数学归纳法
36.凑项，为了不在命运中交错
37.一段一段，“单调”的回忆
38.曾经沧海，余音绕梁
39.如层层剥笋，如潺潺流水
模块二三角函数、平面向量
40.熟记公式和结论，让自己满腹经纶
41.函数与方程的无缝对接
42.看方向、找关系、定顺序、顾大局
43.一个“三角题”的现场直播
44.山重水复，草根逆袭
45.基底：向量的根基和底牌
46.解析法一到，我们乐逍遥
47.两大法宝，居家必备
48.掀起向量的盖头来
49.那一回，她最后一个出场
模块三平面解析几何
50.回到方程——解几问题的基本归宿
51.汝果欲学诗，功夫在诗外
52.“求轨迹方程”那些事儿
53.由定义可定性，因定性而定型
54.奔波操劳只为了那一“点”
55.有点儿伟大的韦达定理
56.继续研究，往前一步是幸福
57.曲线有破洞，像很潮的牛仔裤
58.你是我的“眼”
59.朴素为文，一如朴实为人
60.消元如PK，我为什么选择离开？
61.字母“轮换”，风水轮流转
62.都是动点？我不变，我等你
63.对称弦：讲“理”与守“法”
64.定值：先算计，再计算
65.定点：先踩点，再打点
66.定曲线：先找到它，再说服你
67.为了三点共线，过着两点一线的生活
68.变形须彻底：如果爱，请深爱
69.关键词：直接、稳妥、简约
70.求助于双曲线的“闺蜜”
71.请这哥俩演一回二次曲线
72.这次第，怎一个“繁”字了得？模块四立体几何
73.工欲善其事，必先利其器
74.三视图：横看成岭侧成峰
75.推理如落霞，向量似孤鹜
76.面面相觑二面角
77.坐标系，治愈系
78.最值问题：“把水倒掉”
79.折折叠叠都是为了你
80.点在何处？吾将上下而求索
81.“四个平面”牵动四面八方
82.看它们欢聚一堂、勾心斗角模块五概率统计
83.庖丁之理解，郢人之鼻斵
84.我们所“期望”的出场顺序
85.谁说不胜枚举？只要不厌其烦
86.有了递推关系就没关系了
87.找一种模型自圆其说
88.“概率”是黑马，你以梦为马
牛师与后生的聊天记录
时间——下午课外活动
地点——某中学西校区
人物——牛师，数学老师。
姓牛，教学也牛，但服务态度超好，让人想到“孺子牛”。
后生，一学生，姓后。
前两年参加太多社团，数学不曾靠前。
高三以来，进步很快，同学惊呼“后生可畏”。
聊天实录（节选）——
后生：老师，听说您最近写了一本数学书，是真的么？
牛师：那还有假？
后生：现在的教辅书太多了，汗牛充栋！您怎么也来凑热闹了？
牛师：你其实是想说我怎么也来添堵了对吧？你错了。
后生：呵呵，那您……这是怎样的一本书呢？
牛师：你先告诉我，你不喜欢什么样的书？
后生：哦，首先是那种事无巨细、面面俱到的。
眼看着复习就要进入第二轮了，这种书，一是看不完，二是没重点，看了也白看。
而且，他们人云亦云，千人一面。
说句不好听的，我都怀疑他们是互相借鉴的。
牛师：别瞎说。
还有呢？
后生：还有那种习题集。
最搞笑了。
一上来先讲几句放之四海而皆准的大道理，然后撂下一大堆题目他就走了。
搞题海战术。
还夹了一本小册子解答，字比蚂蚁还小，不把我们眼睛弄坏不罢休似的。
牛师：还有呢？
后生：像砖头一样厚的。
一看到那样的书，我就眼前一阵发黑，就恨不得立即把它快递给秦始皇去修长城。
牛师：我跟你不同。
我每每想起了毛主席的词：“安得倚天抽宝剑，把汝裁为三截？一截遗欧，一截赠美，一截还东国。
太平世界，环球同此凉热”。
还有么？
后生：就先说三条吧。
您不觉得这已经够烦的了么？
牛师：哦。
我可以负责任地说，我的书不在此列。
也就是说，我的书不是你不喜欢的。
按照“否定之否定”、或者“若P为假，则非P为真”来推断，
这应该是一本你们喜闻乐见的书。
后生：愿闻其详。
牛师：书名叫数学压轴题中国正在解。
顾名思义，它是专门来剖析压轴题的。
它所选的题，都是近年来各地高考或模考中的最后两题。
后生：嗯，可以。
前面的题我们自己基本能搞掂。
牛师：每次考试，大家都觉得最后两题比较难对付……
后生：可不是！有的很难懂、佶屈聱牙；也有的看懂了没思路，束手无策；或者，倒是有想法，浮想联翩，可没有一条路能走得下去。
数字很怪，字母太多，式子又繁，荆棘丛生……一转眼，时间到，打铃交卷了。
蹉跎岁月啊，白了少年头空悲切啊。
牛师：这本书就是试图解决这些问题的。
它采用“现在进行时”的节奏、“师生互动”的写法，和读者一道解题，同甘共苦。
假定读者和你我一样都是常人，我们看到一个题目之后的种种反应都属于“人之常情”。
这就是我们的出发点。
那么，怎样由此及彼展开并调整思路，辨别方向，去伪存真、抽丝剥茧般地找到正确的方法？这就是本书下功夫的地方。
后生：看来这书很接地气。
那您对读者有怎样的建议呢？
牛师：它毕竟不是动漫书。
建议你“分步阅读”——看完一个题目，请将
后面的文字盖住，你先试着做一下。
你碰到困难了，就放开几行。
看它说些什么。
这时跳出一个对话框。
原来它说的正是你的困惑！借我的笔，浇你胸中块垒啊。
且看它如何分解……你再按它的建议接着做，必要时再放开几行……就这样，且行且珍惜，一步一步，直至问题的彻底解决。
按照这样的方法，以每天两个题的速度，一个半月你就能看完啦！相信此后你再碰到难题，一定轻松、开阔了许多。
你一定受益匪浅，心里荡漾着丰收的喜悦……你走神了，你在想什么？
后生：我……想起了诸葛亮的锦囊。
这是一本奇书啊！
牛师：奇书不敢说，与众不同、新意迭出是肯定的。
它不是锦囊，并非简单的“授人以鱼”。
它也不像导游那样将一切和盘托出。
无论是题意挖掘、结构分析，还是心态调整、思路形成，抑或是思想方法的提炼、总结，它的表达和揭示都是既设身处地又高瞻远瞩，既鞭辟入里又纵横捭阖。
很亲切，很实用。
后生：看来，不光是学生，老师也可以看。
牛师：它很好读，平易近人，言简意赅，引人入胜。
对数学有兴趣的都可以翻一翻。
高二同学也能看。
同行们手边留一本，备课时准能用得上。
后生：说来不好意思，我的错题本丢三落四的……
牛师：放心吧，这本书应该比绝大部分同学的笔记都完整。
后生：真的？百闻不如一见，我怎么有点迫切了呢？
牛师：我会在第一时间送给大家。
后生：好期待啊！我想，等到高考过后，我会怀着感激的心情想起这本书。
老师，谢谢您雪中送炭！
牛师：不客气。
能为你们备战高考助一臂之力，我很欣慰。
就像那首歌所唱的——“你是幸福的，我就是快乐的。
”
后生：老师，再见！
牛师：再见！
2014年10月
数学压轴题中国正在解介绍
本书精选了88道近年来各地高考和模考的压轴题，在题意挖掘、结构分析、背景揭示、心态调整、思路形成、方法提炼、思想总结诸方面都作
了深刻、精彩的探讨和点评。
三位作者均为深圳中学资深的高三重点班任课教师，熟稔高考，如数家珍，望闻问切，感同身受。
加之写法生动、形式新颖，实为广大考生复习数学的优秀读本、闯关夺隘的秘密武器。
想念不如相见，相见不如拥有——数学压轴题中国正在解，你值得拥有！。