2015高考数学压轴题大全
2015湖北高考压轴卷数学(理)(Word版含详细答案)
2015湖北高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.集合1{|0}3x P x x -=>+，{|Q x y ==A ．B ．C ．D ．2.设复数z 的共轭复数为，若，则的值为A.1 B ．2 C ．D ．43.的展开式中，二项式系数的最大值为A ．5B ．10C ．15D ．204.已知是周期为2的奇函数，当时，设6()5a f =,35()22b fc f ==（），则( )A.B.C.D.5.已知是半径为5的圆的内接三角形，且若则的最大值为（ ）A ．B ．C ．1D ．6.若某个几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．cm 3B ．cm 3C ．cm 3D ．cm 37.A.-2B.32C.1D.328.如图，大正方形的面积是，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则 小花朵落在小正方形内的概率为. . . .9.（5分）已知双曲线方程为=1，过其右焦点F 的直线（斜率存在）交双曲线于P 、Q两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．10.已知函数的图象上关于y 轴对称的点至少有5对，则实数a 的取值范围是A. 05（，B. 5（）C. 7（）D.07（， 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．(一)必考题（11～14题）11.设数列{a n }是公差为d 的等差数列，a 1+a 3+a 5=105，a 2+a 4+a 6=99．则d= ；a n = ；数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值时，n= ．12.已知两个电流瞬时值的函数表达式唯爱，，，它们合成后的电流瞬时值的函数的部分图象如图所示，则，．13.执行如图所示的流程图，则输出的n 为 ．14.设函数的定义域为R ，若存在常数对一切实数均成立，则称为“条件约束函数”.现给出下列函数：①；②2+2f （x)=x ；③22()25xf x x x =-+；④是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切均有1212|)()4||f x f x x x -≤-（.其中是“条件约束函数”的序号是________（写出符合条件的全部序号）.（二）选考题（请考生在第15,16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分）15．如图，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点，若QC=1，CD=3，则PB= ．16.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为为参数和为参数.以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线与的交点的极坐标为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．17.（本小题满分10分）已知函数的图象与的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点之间的距离为（1）求的解析式；（2）在中，，且，求的周长的最大值。
2015高考数学压轴题
2015高考数学压轴题1、设等比数列{}n a 的首项为12a =，公比为(q q 为正整数），且满足33a 是18a 与5a 的等差中项；等差数列{}n b 满足2*32()0(,)2n n n t b n b t R n N -++=∈∈.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ) 若对任意*n N ∈，有111n n n n n n a b a a b a λ++++≥成立，求实数λ的取值范围; （Ⅲ）对每个正整数k ，在k a 和1k a +之间插入k b 个2，得到一个新数列{}n c .设n T 是数列{}n c 的前n 项和，试求满足12m m T c +=的所有正整数m .2、已知函数)(),1ln()(2R a x ax x f ∈++=．（Ⅰ）设函数)1(-=x f y 定义域为D①求定义域D ； ②若函数)0(")1)](1ln()([)(24f cx x x x x f x x h ++++-+=在D 上有零点，求22c a +的最小值；(Ⅱ) 当21=a 时，a x ab x bf x f x g 2)1()1()1(')(2+---+-=，若对任意的[]e x ,1∈，都有e x g e2)(2≤≤恒成立，求实数b 的取值范围；（注：e 为自然对数的底数） （Ⅲ）当[0,)x ∈+∞时，函数()y f x =图象上的点都在0,0x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围．3、设k 为正整数，若数列{a n }满足a 1＝1，且 (a n ＋1－a n )2＝(n ＋1)k （n ∈N*），称数列{a n }为“k 次方数列”.（1）设数列{a n }(n ∈N*)为“2次方数列”，且数列{a n n }为等差数列，求a 4的值；（2）设数列{a n }(n ∈N*)为“4次方数列”，且存在正整数m 满足a m ＝15，求m 的最小值；（3）对于任意正整数c ，是否存在“4次方数列”{a n }(n ∈N*)和正整数p ，满足a p ＝c .4、已知数列{}n a 满足*1()a a a =∈N ，*1210(01)n n a a a pa p p n ++++-=≠≠-∈N ，，．(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若对每一个正整数k ，若将123,,k k k a a a +++按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公差为k d .①求p 的值及对应的数列{}k d ．②记k S 为数列{}k d 的前k 项和，问是否存在a ,使得30k S <对任意正整数k 恒成立?若存在,求出a 的最大值；若不存在,请说明理由．5、已知函数x ae x f =)(,a x x g ln ln )(-=,其中a 为常数,且函数)(x f y =和)(x g y =的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行．(1)求此平行线间的距离；(2)若存在x 使不等式x x f m x >-)(成立，求实数m 的取值范围；(3)对于函数)(x f y =和)(x g y =公共定义域中的任意实数0x ，我们把)()(00x g x f -的值称为两函数在0x 处的偏差.求证:函数)(x f y =和)(x g y =在其公共定义域内的所有偏差都大于2．6、已知动点()y x P ,满足11=-+-a y x ，O 为坐标原点，若PO 的最大值的取值范围为,17,217⎥⎦⎤⎢⎣⎡则实数a 的取值范围是7、已知数列{}n a 中，,11=a 且点()()*+∈N n a a P n n 1,在直线01=+-y x 上.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若函数(),2,321)(321≥∈++++++++=n N n a n n a n a n a n n f n 且 求函数)(n f 的最小值；（3）设n nn S a b ,1=表示数列{}n b 的前项和。
2015届山东省高考压轴卷数学(理)Word版含解析
2015山东省高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.复数,则对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，集合b={2，3}，则()U C A B =（ ）A ．φB ． {1，2，3，4}C ． {2，3，4}D ． {0，11，2，3，4}3.已知全集集合2{|log (1)A x x =-},{|2}xB y y ==,则()U C A B = ( )A ．0-∞（，）B ．0,1]（C ．(,1)-∞D ．(1,2) 4.指数函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能的是5.曲线（为自然对数的底数）在点处的切线与轴、轴所围成的三角形的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．6.设随机变量服从正态分布,若,则的值为( ) A ． B ．C ．D ．7.取值范围是（）8.A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.随x、m、n的值而定9.已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（）A． B． C． D．10.已知函数f（x）=，则下列关于函数y=f[f（kx）+1]+1（k≠0）的零点个数的判断正确的是（）A．当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有4个零点B．当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有3个零点C．无论k为何值，均有3个零点D．无论k为何值，均有4个零点二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11.正项等比数列中，，，则数列的前项和等于．12.如图，在中，是边上一点，，则的长为13.已知实数x，y满足x>y>0，且x+y2，则的最小值为▲．14.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为____________.15.设函数的定义域分别为，且，若对于任意，都有，则称函数为在上的一个延拓函数．设，为在R上的一个延拓函数，且g(x)是奇函数．给出以下命题：①当时，②函数g(x)有5个零点；③ 的解集为；④函数的极大值为1，极小值为-1;⑤ ，都有.其中正确的命题是________．（填上所有正确的命题序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16.（本小题满分12分）设是锐角三角形，三个内角，，所对的边分别记为，，，并且.（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，，求，（其中）．17.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥的底面为菱形，.（1）求证：;（II）求二面角的余弦值.18.(本题满分12分）甲、乙、丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是，甲、丙两人同时不能被聘用的概率是,乙、丙两人同时能被聘用的概率为,且三人各自能否被聘用相互独立.(1) 求乙、丙两人各自被聘用的概率;(2) 设ξ为甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值(数学期望)19.（本小题满分10分）已知是数列的前n项和，且（1）求数列的通项公式；（2）设，记是数列的前n项和，证明：。
2015年高考冲刺压轴山东卷数学(理卷三)(附答案解析)
2015年高考冲刺压轴卷·山东数学（理卷三）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 共 4页．满分150分，考试时间120分钟． 考试结束，将试卷答题卡交上，试题不交回．第Ⅰ卷 选择题（共50分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．3．第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1． （2015·山东潍坊市二模·1)设全集R U =，集合}1|||{≤=x x A ，}1log |{2≤=x x B ，则B A U等于（ ）A ．]1,0(B ．]1,1[-C ．]2,1(D ．]2,1[)1,( --∞2．（2015·山东德州市二模·2)如图，复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 到原点的距离都相等，若复数z 所对应的点为1Z ，则复数z i ⋅（i 是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（ ）A ．1ZB ．2ZC ．3ZD ．4Z3．（2015·山东济宁市二模·3)4．（2015·山东聊城市二模·４)已知两条不同的直线,l m 和两个不同的平面,αβ，有如下命题：①若,,//,////l m l m ααββαβ⊂⊂，则； ②若,//,//l l m l m αβαβ⊂⋂=，则；③若,//l l αββα⊥⊥，则，其中正确命题的个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．05． （2015·山东临沂市二模·8)已知函数()()()()()()22,log ,ln =0，若xf x xg x x xh x x x f a g b h c =+=+=+==则（ ）A. c b a <<B. b c a <<C. a b c <<D. a c b <<6．（2015·山东淄博市二模·8)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（ ）A ．4B ．2C D ．3π7．（2015·山东菏泽市二模·4)已知数列{}111,n n n a a a a n +==+中,，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（ ）A ．8?n ≤B ．9?n ≤C ．10?n ≤D ．11?n ≤8．（2015·山东日照市高三校际联合检测·8)变量,x y 满足线性约束条件320,2,1,x y y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥--⎩目标函数z kx y =-仅在点()0,2取得最小值，则k 的取值范围是（ ）A ． 3k <-B ． 1k >C ． 31k -<<D ． 11k -<<9．（2015·山东潍坊市二模·9)某公司新招聘5名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一部门；另三名电脑编程人员不能都分给同一个部门， 则不同的分配方案种数是（ ）A ．6B ．12C ．24D ．3610. （2015·山东青岛市二模·10) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作斜率为1-的直线交双曲线的渐近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若OFP ∆的面积为228a b +，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．（2015·山东济宁市二模·13)12．（2015·山东潍坊市二模·11)某校对高三年级1600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知样本中女生比男生少10人，则该校高三年级的女生人数是 ；13．（2015·山东临沂市二模·11)已知向量a 与b 满足()2,a b a b b ==-⊥，则a与b 的夹角为_________.14．（2015·山东淄博市二模·12)二项式5的展开式中常数项为___________．15．（2015·山东菏泽市二模·12)在各项为正数的等比数列{}n a 中，若6542a a a =+，则公比q =三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．（2015·山东日照市高三校际联合检测·16)（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知()111sin ,cos 2142A B ππ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭．（I ）求sinA 与角B 的值；（II ）若角A,B,C 的对边分别为,,5,a b c a b c =，且，求的值．17．（2015·山东青岛市二模·17)（本小题满分12分）为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度.不超过22公里的地铁票价如下表：现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22公里.已知甲、乙乘车不超过6公里 的概率分别为14，13，甲、乙乘车超过6公里且不超过12公里的概率分别为12，13. （Ⅰ）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．18．（2015·山东潍坊市二模·17)（本小题满分12分）如图，边长为2的正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，其中AB ∥CD ，AB ⊥BC ，DC=BC=21AB=1，点M 在线段EC 上。
2015福建省高考理科数学压轴卷
第5题图2015福建省高考压轴卷理科数学一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．设全集R U =，集合{11}M x x x =><-或，{}|02N x x =<<，则()U NM =ð ( )A ．{}|21x x -≤<B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|01x x <≤D ．{}|1x x <2. 已知圆22:1O x y +=及以下３个函数：①3()f x x =；②()t a n f x x =；③()s in .f x x x =其中图像能等分圆C 面积的函数有（ ）A ．3个 B. 2个 C. 1 个 D. 0个3．已知直线,a b 和平面α，其中a α⊄，b α⊂，则“//a b ”是“//a α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线2y x =上，则sin 2θ 等于（ ） A ．45-B ．35-C ．35D ．455．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为（ ）A.1007B.1008C.2013D.20146．某教研机构随机抽取某校20个班级,调查各班关注汉字听写大赛的学生人数,根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成[)5,0,[)10,5,[)15,10,[)20,15,[)25,20,[)30,25,[)35,30,[]40,35时,所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（ ）7.已知曲线1C :1322=+y x 和2C :122=-y x ，且曲线1C 的焦点分别为1F 、2F ，点M 是1C 和2C 的一个交点，则△21F MF 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．都有可能8．在高校自主招生中，某校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，复旦大学1名，并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同推荐方法的种数是 ( )A ．20 B.22 C.24 D. 36 9．已知,,a b c 均为单位向量，且满足0a b =，则()()a b c a c +++的最大值为（ ） A ．123+ B. 322+ C. 25+ D. 222+ 10．设12,,,n A A A 为集合{}1,2,,S n =的n 个不同子集()4n ≥，为了表示这些子集，作n 行n 列的俯视图侧视图正视图2222数阵，规定第i 行与第j 列的数为0,,1,,j ij j i A a i A ∉⎧⎪=⎨∈⎪⎩ 则下列说法正确的个数是( )①数阵中第1列的数全是0当且仅当1A =∅;②数阵中第n 列的数全是1当且仅当n A S =; ③数阵中第j 行的数字和表明元素j 属于12,,,n A A A 中的几个子集;④数阵中所有的2n 个数字之和不小于n ; ⑤数阵中所有的2n 个数字之和不大于21n n -+.A ．5 B. 4 C ．3 D. 2二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在相应横线上.）11．已知4234012342421111(1)()()(),a a a a a a a xx x x x-=+++++=则___ ． 12. 利用计算机在区间（0，1）上产生两个随机数a,b ，则方程2ba x x=-有实数根的概率是___ ．13. 已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于_________.14．若x a x x a 21sin ≤≤对任意的]2,0[π∈x 都成立，则12a a -的最小值为 ．15．如图，A 是两条平行直线之间的一定点，且点A 到两条平行直线的距离分别为1,3AM AN ==。
2015江苏高考数学压轴卷范文
(图1)2015江苏高考数学压轴卷一、 填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1.已知复数z 的实部为2-，虚部为1，则z 的模等于 . 2.已知集合{}3,,0,1-=A ，集合{}2-==x y x B ，则=B A .图1是一个算法流程图，若输入x 的值为4-，则输出y 的值3.右为 .4.函数)1(log 21)(2---=x x f x的定义域为 .5.样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率如条形图2所示，则这组数据的方差等于 ．6.设,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若,||,,n n m αβαβ⊂=则||n m ；②若,m n αα⊂⊂，,m n ββ∥∥，则αβ∥； ③若,,,m n n m αβαβα⊥=⊂⊥，则n β⊥；④若,,m m n ααβ⊥⊥∥，则n β∥.其中正确的命题序号为7.若圆222)5()3(r y x =++-上有且只有两个点到直线234:=-y x l 的距离等于1，则半径r 的取值范围是 .8.已知命题()()2:,2,P b f x x bx c ∀∈-∞=++在(),1-∞-上为减函数；命题0:Q x Z ∃∈，使得021x <.则在命题P Q ⌝⌝∨，P Q ⌝⌝∧，图2P Q ⌝∨，P Q ⌝∧中任取一个命题，则取得真命题的概率是9.若函数2()(,,)1bx cf x a b c R x ax +=∈++),,,(R d c b a ∈，其图象如图3所示，则=++c b a .10.函数2322)(223+--=x a x a x x f 的图象经过四个象限，则a 的取值范围是 ．11.在ABC ∆中,已知角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且sin sin sin A C Bb c a c-=-+，则函数 22()cos ()sin ()22x x f x A A =+--在3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间是 .12. “已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)2,1(，解关于x 的不等式02>++a bx cx .”给出如下的一种解法：参考上述解法：若关于x 的不等式0<+++c x a x 的解集为)1,2()3,1( --，则关于x 的不等式0>----cx bx a x b 的解集为 . 13.2014年第二届夏季青年奥林匹克运动会将在中国南京举行，为了迎接这一盛会，某公司计划推出系列产品，其中一种是写有“青奥吉祥数”的卡片.若设正项数列{}n a 满足()2110n n n n a a +--=，定义使2log k a 为整数的实数k 为“青奥吉祥数”，则在区间[1，2014]内的所有“青奥吉祥数之和”为________ 14.已知()22,032,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，设集合(){},11A y y f x x ==-≤≤，{},11B y y ax x ==-≤≤，若对同一x 的值，总有12y y ≥，其中12,y A y B ∈∈，则实数a 的取值范围是二、 解答题（本大题共6小题，共90分）15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量()(1sin,1),1,sin cos 2Cm n C C =--=+，且.n m ⊥（1）求sin C 的值；（2）若()2248a b a b +=+-，求边c 的长度.16.如图4，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，PAD △ 是等边三角形，已知28BD AD ==，2AB DC ==（1）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （2）求四棱锥P ABCD -的体积．ABCMPD 图417.如图5，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设AB = y km ，并在公路同侧建造边长为x km 的正方形无顶中转站CDEF （其中边EF 在GH 上），现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知AB = AC + 1，且∠ABC = 60o ．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低？18. 如图6，椭圆22221x y a b+=(0)a b >>过点3(1,)2P ，其左、右焦点分别为12,F F ，离心率12e =，,M N 是椭圆右准线上的两个动点，且120F M F N ⋅=．（1）求椭圆的方程； （2）求MN 的最小值；（3）以MN 为直径的圆C 是否过定点？请证明你的结论．公 路HG F E DC B A图519.已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1）求曲线()y f x =在点))0(,0(f 处的切线方程； （2）求函数)(x f 的单调增区间；（3）若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数)，求实数a 的取值范围．20. 已知数列{a n }中，a 2=a(a 为非零常数)，其前n 项和S n 满足S n =n(a n －a 1)2(n ∈N*)． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a=2，且21114m n a S -=，求m 、n 的值；（3）是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{a n }中满足n a b p +≤的最大项恰为第23-p 项？若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ（附加题）21A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，从圆O 外一点P 引圆的切线PC 及割线PAB ，C求证：AP BC AC CP ⋅=⋅．21B ．已知矩阵213,125M β ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦，计算2M β．21C ．已知圆C 的极坐标方程是4sin ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(12x t y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩是参数）．若直线l与圆C 相切，求正数m 的值．21D ．（本小题满分10分，不等式选讲）已知不等式2|1|a b x +-≤对于满足条件1222=++c b a 的任意实数c b a ,,恒成立,求实数x 的取值范围．P（第21 - A 题）【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）22. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，PA =M 为PC 的中点．（1）求异面直线PB 与MD 所成的角的大小；（2）求平面PCD 与平面P AD 所成的二面角的正弦值．23．（本小题满分10分）袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为X n ． （1）求随机变量X 2的概率分布及数学期望E (X 2)；（2）求随机变量X n 的数学期望E (X n )关于n 的表达式．（第22题）。
2015年江苏省高考压轴卷数学试卷
(图1)2015年江苏省高考压轴卷数学试卷一、 填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1.已知复数z 的实部为2-，虚部为1，则z 的模等于 . 2.已知集合{}3,,0,1-=A ，集合{}2-==x y x B ，则=B A .图1是一个算法流程图，若输入x 的值为4-，则输出y 的值为 .3.右4.函数)1(log 21)(2---=x x f x的定义域为 .5.样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率如条形图2所示，则这组数据的方差等于 ．6.设,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若,||,,n n m αβαβ⊂=则||n m ；②若,m n αα⊂⊂，,m n ββ∥∥，则αβ∥；③若,,,m n n m αβαβα⊥=⊂⊥，则n β⊥；④若,,m m n ααβ⊥⊥∥，则n β∥.其中正确的命题序号为7.若圆222)5()3(r y x =++-上有且只有两个点到直线234:=-y x l 的距离等于1，则半径r 的取值范围是 .8.已知命题()()2:,2,P b f x x bx c ∀∈-∞=++在(),1-∞-上为减函数；命题0:Q x Z ∃∈，使得021x <.则在命题P Q ⌝⌝∨，P Q ⌝⌝∧，图2P Q ⌝∨，P Q ⌝∧中任取一个命题，则取得真命题的概率是9.若函数2()(,,)1bx cf x a b c R x ax +=∈++，其图象如图3所示，则=++c b a . 10.函数2322)(223+--=x a x a x x f 的图象经过四个象限，则a 的取值范围是 ．11.在ABC ∆中,已知角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且sin sin sin A C Bb c a c-=-+，则函数 22()cos ()sin ()22x x f x A A =+--在3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间是 .12. “已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)2,1(，解关于x 的不等式02>++a bx cx .”给出如下的一参考上述解法：若关于x 的不等式0<+++c x a x 的解集为)1,2()3,1( --，则关于x 的不等式0>----cx bx a x b 的解集为 . 13.2014年第二届夏季青年奥林匹克运动会将在中国南京举行，为了迎接这一盛会，某公司计划推出系列产品，其中一种是写有“青奥吉祥数”的卡片.若设正项数列{}n a 满足()2110n n n n a a +--=，定义使2log k a 为整数的实数k 为“青奥吉祥数”，则在区间[1，2014]内的所有“青奥吉祥数之和”为________14.已知()22,032,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，设集合(){},11A y y f x x ==-≤≤，{},11B y y ax x ==-≤≤，若对同一x 的值，总有12y y ≥，其中12,y A y B ∈∈，则实数a 的取值范围是 二、 解答题（本大题共6小题，共90分）15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量()(1sin,1),1,sin cos 2Cm n C C =--=+，且.⊥ （1）求sin C 的值；（2）若()2248a b a b +=+-，求边c 的长度.16.如图4，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，PAD △ 是等边三角形，已知28BD AD ==，2AB DC ==（1）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （2）求四棱锥P ABCD -的体积．17.如图5，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设AB = y km ，并在公路同侧建造边长为x km 的正方形无顶中转站CDEF （其中边EF 在GH 上），现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知AB = AC + 1，且∠ABC = 60o ． （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低？18. 如图6，椭圆22221x y a b+=(0)a b >>过点3(1,2P ，其左、右焦点分别为12,F F ，离心率12e =，,M N 是椭圆右准线上的两个动点，且120F M F N ⋅=． ABCMPD图4公 路H G F E D C B A 图519.已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x（1）求曲线()y f x =在点))0(,0(f 处的切线方程； （2）求函数)(x f 的单调增区间；（3）若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数)，求实数a 的取值范围．20. 已知数列{a n }中，a 2=a(a 为非零常数)，其前n 项和S n 满足S n =n(a n －a 1)2(n ∈N*)． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a=2，且21114m n a S -=，求m 、n 的值；（3）是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{a n }中满足n a b p +≤的最大项恰为第23-p 项？若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ（附加题）21A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，从圆O 外一点P 引圆的切线PC 及割线PAB ，C求证：AP BC AC CP ⋅=⋅．21B ．已知矩阵213,125M β ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦，计算2M β．21C ．已知圆C 的极坐标方程是4sin ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(12x t y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩是参数）．若直线l与圆C 相切，求正数m 的值．21D ．（本小题满分10分，不等式选讲）已知不等式2|1|a b x +-≤对于满足条件1222=++c b a 的任意实数c b a ,,恒成立,求实数x 的取值范围．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）P（第21 - A 题）22. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，PA M 为PC 的中点．（1）求异面直线PB 与MD 所成的角的大小；（2）求平面PCD 与平面P AD 所成的二面角的正弦值．23．（本小题满分10分）袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为X n ． （1）求随机变量X 2的概率分布及数学期望E (X 2)；（2）求随机变量X n 的数学期望E (X n )关于n 的表达式．2015江苏高考压轴卷数学答案一、填空题1.52..{}0,1-3.24.),2()2,1(+∞5.7.26. ①③7.8.149.4 10. ),1(4481,+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞- 11. []0,π 12.)1,31()21,1( -- 13.2047 14. []1,0- 提示：1.i z +-=2，则i z --=2，则5)1()2(22=-+-=z .2.{}{}{}2022≤=≥-=-==x x x x x y x B ，又{}3,,0,1-=A ，所以{}0,1-=B A.（第22题）3. 当4-=x 时，34>-，则7=x ；当7=x 时，37>，4=x ；当4=x 时，34>，1=x ；当1=x 时，31>不成立，则输出221==y .4.要使原式有意义，则⎩⎨⎧≠->-1101x x ，即1>x 且2≠x .5.2出现44.010=⨯次，5出现22.010=⨯次，8出现44.010=⨯次，所以[]2.7)55(4)55(2)52(41012222=-⨯+-⨯+-⨯=s . 6. 逐个判断。
2015年高考数学压轴题拔高精选
2015年高考数学压轴题拔高精选1、设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上x x f <')(，若m m f m f 48)()4(-≥--，则实数m 的取值范围为() A ．]2,2[-B ．),2[+∞C ．),0[+∞D ．(,2][2,)-∞-+∞【答案】B因为对任意()()2,x R f x f x x ∈-+=， =()()20f x f x x -+-= 所以，当时0x >，()()0g x f x x ''=-<为奇函数且在R 上存在导数，所以函数在R 上为减函数，()()()484f m f m m =----0≥所以，()()442g m g m m m m -≥⇒-≤⇒≥ 所以，实数m 的取值范围为),2[+∞ 故选B .2、设集合X 是实数集R 的子集，如果点0x R ∈满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00||x x a <-<，那么称0x 为集合X 的聚点，用Z 表示整数集，下列四个集合：①，④整数集Z ．其中以0为聚点的集合有()A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④【答案】B1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0的x ，∴0不是集合，对任意的a ，都存在实际上任意比a 小的数都可以)，使得0的数列，对于任意的0a >，存在0是集④对于某个1a <，比如0.5a =，此时对任意的x Z ∈，都有0不是整数集Z 的聚点． 综上可知B 正确.3、已知ABC ∆中，BC CA CA AB ∙=∙u u u r u u r u u r u u u r ，2BA BC +=uu r uu u r ，且2,33B ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则BC BA ∙u u u r u u r 的取值范围是 . 【答案】22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】因为BC CA CA AB ∙=∙u u u r u u r u u r u u u r，所以()()()..0CA BC AB BA BC BC BA -=-+=，即22BA BC =可得AB BC =，因为2BA BC +=uu r uu u r可得222.4BA BA BC BC ++=，设AB BC a ==，所以有222222cos 41cos a a B a B+=⇒=+，因为2,33B ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得11cos ,22B ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22cos 22.cos 22,1cos 1cos 3B BA BC a B B B ⎡⎤===-∈-⎢⎥++⎣⎦，故答案为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.4、已知定义在R 上的函数f (x )的图象连续不断，若存在常数()t t R ∈， 使得()()0f x t tf x ++=对任意的实数x 成立，则称f (x )是回旋函数． 给出下列四个命题：①若f (x )为非零的常值函数，则其为回旋函数的充要条件是t ＝－1； ②若(01)x y a a =<<为回旋函数，则t ＞l ； ③函数2()f x x =不是回旋函数；④若f (x )是t ＝1的回旋函数，则f (x )在[0，2015]上至少有2015个零点． 其中为真命题的是_________(写出所有真命题的序号)． 【答案】①③④【解析】①利用回旋函数的定义即可．②若指数函数xy a =为阶数为t 回旋函数，根据定义求解，得矛盾结论．③利用回旋函数的定义，令x ＝0，则必须有a ＝0；令x ＝1，则有2310a a ++=，故可判断；．④由定义得到f (x ＋1)＝－f (x )，由零点存在定理得，在区间(x ，x ＋1)上必有一个零点令01232015x =，，，，，，即可得到． 对于①函数f (x )＝2为回旋函数，则由f (x ＋t )＋tf (x )＝0，得2＋2t ＝0，∴t ＝－1，故结论正确；对于②，若指数函数xy a =为阶数为t 回旋函数，则000x t x t a ta a t t ++=+=∴，，＜，∴结论不成立；对于③若220x a ax ++=（）对任意实数都成立，令x ＝0，则必须有a ＝0，令x ＝1，则有2310a a ++=，显然a ＝0不是这个方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故结论正确，对于④：若若f (x )是t ＝1的回旋函数，则f (x ＋1)＋f (x )＝0对任意的实数x 都成立，即有f (x ＋1)＝－f (x )，则f (x ＋1)与f (x )异号，由零点存在定理得，在区间(x ，x ＋1)上必有一个零点，可令01232015x =，，，，，，则函数f (x )在[0，1]上至少存在2015个零点．故结论正确故答案为：①③④．5、以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[],M M -.例如，当()()()()31212,sin x x x x x A x B ϕϕϕϕ==∈∈时，，.现有如下命题：①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“(),,b R a D f a b ∀∈∃∈=”； ②函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()()()(),f x A g x B f x g x B ∈∈+∉，则 ④若函数()()()2ln 22,1xf x a x x a R x =++>-∈+有最大值，则()f x B ∈. 其中的真命题有_____________.(写出所有真命题的序号) 【答案】①③④【解析】(1)对于命题①“()f x A∈”即函数()f x 值域为R ，“b R ∀∈，a D ∃∈，()f a b =”表示的是函数可以在R 中任意取值，故有：设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A∈”的充要条件是“b R ∀∈，a D ∃∈，()f a b =”∴命题①是真命题；(2)对于命题②若函数()f x B ∈，即存在一个正数M ，使得函数()f x 的值域包含于区间[,]MM -．∴－M ≤()f x ≤M ．例如：函数()f x 满足－2＜()f x ＜5，则有－5≤()f x ≤5，此时，()f x 无最大值，无最小值．∴命题②“函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值．”是假命题；(3)对于命题③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x ∈A ，()g x ∈B ， 则()f x 值域为R ，()f x ∈(－∞，＋∞)，并且存在一个正数M ，使得－M ≤g (x )≤M ．∴()f x ＋()g x ∈R ．则()f x ＋()g x ∉B ．∴命题③是真命题．(4)对于命题④∵函数2()l n (2)1xf x a x x =+++(x ＞－2，a R ∈)有最大值，∴假设a ＞0，当x →+∞时，21xx +→0，ln(2)x +→+∞，∴ln(2)a x +→+∞，则()f x →+∞．与题意不符；假设a ＜0，当x →－2时，21x x +→25-，ln(2)x +→-∞，∴ln(2)a x +→+∞，则()f x →+∞．与题意不符．∴a ＝0．即函数()f x ＝21xx +(x ＞－2) 当x ＞0时，x ＋1x ≥2，∴101x x<+≤12，即0＜()f x ≤12；当x ＝0时，()f x ＝0； 当x ＜0时，x ＋1x ≤−2，∴−12≤11x x+＜0，即−12≤()f x ＜0． ∴−12≤()f x ≤12．即()f x B ∈．故命题④是真命题． 故答案为①③④．6、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2e =，其左右焦点分别为1F 、2F，12F F =设点11(,)M x y ，22(,)N x y 是椭圆上不同两点，且这两点与坐标原点的连线的斜率之积14-．(1)求椭圆C 的方程；(2)求证：2212x x +为定值，并求该定值． 【答案】(1)2214x y +=(2)略 【解析】(1)依题意，c =2e =2a =，2221b a c =-=， 则椭圆C 的方程为：2214x y +=； (2)由于121214y y x x ⨯=-，则12124x x y y =-，1222212216x x y y = 而221114x y +=，222214x y +=，则221114x y -=，222214x y -=， ∴22221212(1)(1)44x x y y --=，则22221212(4)(4)16x x y y --=，22221212(4)(4)x x x x --=，展开得22124x x +=为一定值.7、设F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左焦点，直线l 为其左准线，直线l 与 x 轴交于点P ，线段MN 为椭圆的长轴，已知.||2||,8||MF PM MN ==且 (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P 的直线与椭圆相交于不同两点A 、B 求证：AFM BFN ∠=∠； (3)求三角形ABF 面积的最大值.【答案】(1)2211612x y +=；(2)略；(3).33.【解析】(1)48||=∴=a MN122)(1210132)(2||2||22222=-==∴==⇒=+--=-=c a b c e c e e c a a c a MF PM 舍去或即得又 1121622=+∴y x 椭圆的标准方程为(2)当AB 的斜率为0时，显然.0=∠=∠BFN AFM 满足题意 当AB 的斜率不为0时，设),(),,(2211y x B y x A ，AB 方程为,8-=my x 代入椭圆方程整理得：014448)43(22=+-+my y m则431444348),43(1444)48(22122122+=⋅+=++⨯-=∆m y y m m y y m m 662222112211-+-=+++=+∴my y my y x y x y k k BF AF 0)6)(6()(62212121=--+-=my my y y y my.,0BFN AFM k k BF AF ∠=∠=+∴从而综上可知：恒有BFN AFM ∠=∠. (3)(理科)43472||||212212+-=-⋅=-=∆∆∆m m y y PF S S S PAFPBF ABF33163272416437216)4(34722222=⋅≤-+-=+--=m m m m当且仅当32841643222=-=-m m m 即(此时适合△＞0的条件)取得等号. ∴三角形ABF 面积的最大值是.338、已知函数()ln(1)m f x x x =+-(1)若函数()f x 为(0,)+∞上的单调函数，求实数m 的取值范围； (2)求证：2222111(1sin1)(1sin)(1sin )(1sin )23e n+++⋅⋅⋅+<． 【答案】 (1) m ≤1；(2)证明：见解析. 【解析】 (1)()ln(1),()11mf x m x x f x x'=+-∴=-+， ∵()f x 在()0,+∞上为单调函数，∴()0f x '≥恒成立，或()0f x '≤恒成立. 即11m x ≥+恒成立，或11mx≤+恒成立. ∵()0,,1x m x ∈+∞∴≥+不能恒成立. 而1＋x ＞1，∴m ≤1时f (x )为单调递减函数. 综上，m ≤1.(2)由(1)知，m ＝1时f (x )在()0,+∞上为减函数， ∴f (x )＜f (0)，即ln(1)x x +<，()0,x ∈+∞ ∵2211sin1,sin,sin02n>， ∴ln(1sin1)sin1+<，2211ln(1sin)sin 22+<2211ln(1sin)sin n n+<令()sin ,(0,)2g x x x x π=-∈，则()cos 10g x x '=-<，∴()g x 在(0,)2π为减函数，∴g (x )＜g (0)，.即sinx ＜x ，x ∈(0,)2π，∴22221111sin11,sin,,sin 22n n <<<. ∴2211ln(1sin1)ln(1sin)ln(1sin)2n++++++ 2211sin1sinsin2n <+++221112n <+++11111223(1)n n<++++⨯⨯-111111(1)()()2231n n =+-+-++--＝122n-< 即()2211ln 1sin11sin1sin 22n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ∴()222111sin11sin 1sin 2e n ⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.9、已知椭圆M 的两个焦点分别为在椭圆M 上．(Ⅰ)求椭圆M 的标准方程；(Ⅱ)在椭圆M 落在第一象限的图象上任取一点作M 的切线l ，求l 与坐标轴围成的三角形的面积的最小 值；(Ⅲ)设椭圆M 的左、右顶点分别为A ，B ，过椭圆M 上的一点D 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，若C 点满足C AB ⊥B ，D//C A O ，连结C A 交D E 于点P ，求证：D P =PE ．【答案】(Ⅰ(Ⅱ)2；(Ⅲ)见解析 【解析】(Ⅰ)解：由题意设椭圆M 的标准方程为(0a b >>)在椭圆M 上解得：2a = ∴椭圆M 的标准方程为(Ⅱ)解：∵在椭圆M 落在第一象限的图象上任取一点作M 的切线l ∴直线l 的斜率必存在且为负 设直线l 的方程为y kx m =+(0k <)，消去y ，整理得：根据题意可得方程③只有一实根 整理得：2241m k =+④∵直线l 与两坐标轴的交点分别为，()0,m且0k < ∴l 与坐标轴围成的三角形的面积) (Ⅲ)证明：由(Ⅰ)得：()2,0A -，()2,0B 设()00D ,x y ，则()0,0x E ∵C AB ⊥B∴可设()1C 2,y∴()00D 2,x y A =+，()1C 2,y O = 由D//C A O 得：()01022x y y += ∴直线C A 的方程为∵点P 在D E 上∴令0x x =代入直线C A 的方程得：即点P 的坐标为∴P 为D E 的中点 ∴D P =PE10、设函数()()21xf x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k =时，求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M . 【答案】 (Ⅰ) 函数()f x 的递减区间为()0,ln 2，递增区间为(),0-∞，()ln 2,+∞. (Ⅱ) 最大值()31kM k e k =--.【解析】(Ⅰ) 当1k =时，()()21x f x x e x =--，()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令()0f x '=，得10x =，2ln 2x = 当x 变化时，()(),f x f x '的变化如下表:右表可知，函数()f x 的递减区间为()0,ln 2，递增区间为(),0-∞，()ln 2,+∞.(Ⅱ) ()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-，令()0f x '=，得10x =，()2ln 2x k =，令()()ln 2g k k k =-，则()1110k g k k k -'=-=>，所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增， 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<，从而()ln 2k k <，所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时，()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时，()0f x '>；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==---令()()311k h k k e k =--+，则()()3k h k k e k '=-，令()3kk e k ϕ=-，则()330k k e e ϕ'=-<-<所以()k ϕ在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递减，而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭ 所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=，且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0k ϕ>，当()0,1k x ∈时，()0k ϕ<，所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()0,1x 上单调递减.因为17028h ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()10h =，所以()0h k ≥在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立，当且仅当1k =时取得“=”.综上，函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31k M k e k =--.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2015年高考数学压轴题大全高考数学压轴题大全1.(本小题满分14分)如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.(1)求△APB的重心G的轨迹方程.(2)证明PFA=PFB.解：(1)设切点A、B坐标分别为，切线AP的方程为：切线BP的方程为：解得P点的坐标为：所以△APB的重心G的坐标为，所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：(2)方法1：因为由于P点在抛物线外，则同理有AFP=PFB.方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：即所以P点到直线BF的距离为：所以d1=d2，即得AFP=PFB.②当时，直线AF的方程：直线BF的方程：所以P点到直线AF的距离为：，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到AFP=PFB.2.(本小题满分12分)设A、B是椭圆上的两点，点N(1，3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.(Ⅰ)确定的取值范围，并求直线AB的方程;(Ⅱ)试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由.(此题不要求在答题卡上画图)本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.(Ⅰ)解法1：依题意，可设直线AB的方程为，整理得①设是方程①的两个不同的根，②且由N(1，3)是线段AB的中点，得解得k=-1，代入②得，的取值范围是(12，+).于是，直线AB的方程为解法2：设则有依题意，∵N(1，3)是AB的中点，又由N(1，3)在椭圆内，的取值范围是(12，+).直线AB的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0.(Ⅱ)解法1：∵CD垂直平分AB，直线CD的方程为y-3=x-1，即x-y+2=0，代入椭圆方程，整理得又设CD的中点为是方程③的两根，于是由弦长公式可得④将直线AB的方程x+y-4=0，代入椭圆方程得⑤同理可得⑥∵当时，假设存在12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为⑦于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得故当12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心，为半径的圆上.(注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：)A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角|AN|2=|CN||DN|，即⑧由⑥式知，⑧式左边由④和⑦知，⑧式右边⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆.解法2：由(Ⅱ)解法1及12,∵CD垂直平分AB，直线CD方程为，代入椭圆方程，整理得③将直线AB的方程x+y-4=0，代入椭圆方程，整理得⑤解③和⑤式可得不妨设计算可得，A在以CD为直径的圆上.又B为A关于CD的对称点，A、B、C、D四点共圆.(注：也可用勾股定理证明ACAD)3.(本小题满分14分)已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数.设数列的各项为正，且满足(Ⅰ)证明(Ⅱ)猜测数列是否有极限?如果有，写出极限的值(不必证明);(Ⅲ)试确定一个正整数N，使得当时，对任意b0，都有本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想.(Ⅰ)证法1：∵当即于是有所有不等式两边相加可得由已知不等式知，当n3时有，∵证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式(i)当n=3时，由知不等式成立.(ii)假设当n=k(k3)时，不等式成立，即则即当n=k+1时，不等式也成立.由(i)、(ii)知，又由已知不等式得(Ⅱ)有极限，且(Ⅲ)∵则有故取N=1024，可使当nN时，都有4.如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|=2∶1.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若点P为l上的动点，求F1PF2最大值.本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分.解：(Ⅰ)设椭圆方程为，半焦距为，则(Ⅱ)5.已知函数和的图象关于原点对称，且.(Ⅰ)求函数的解析式;(Ⅱ)解不等式;(Ⅲ)若在上是增函数，求实数的取值范围.本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.满分14分.解：(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则∵点在函数的图象上(Ⅱ)由当时，，此时不等式无解.当时，，解得.因此，原不等式的解集为.(Ⅲ)①②ⅰ)ⅱ)6.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x)、y=g(x),f(x)g(x)当xDf且xDg规定:函数h(x)=f(x)当xDf且xDgg(x)当xDf且xDg若函数f(x)=,g(x)=x2,xR,写出函数h(x)的解析式;求问题(1)中函数h(x)的值域;(3)若g(x)=f(x+),其中是常数,且[0,],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.[解](1)h(x)=x(-,1)(1,+)1x=1(2)当x1时,h(x)==x-1++2,若x1时,则h(x)4,其中等号当x=2时成立若x1时,则h(x)0,其中等号当x=0时成立函数h(x)的值域是(-,0]{1}[4,+)(3)令f(x)=sin2x+cos2x,=则g(x)=f(x+)=sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x-sin2x,于是h(x)=f(x)f(x+)=(sin2x+co2sx)(cos2x-sin2x)=cos4x.另解令f(x)=1+sin2x,=,g(x)=f(x+)=1+sin2(x+)=1-sin2x,于是h(x)=f(x)f(x+)=(1+sin2x)(1-sin2x)=cos4x..(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题满分6分.在直角坐标平面中,已知点P1(1,2),P2(2,22),,Pn(n,2n),其中n是正整数.对平面上任一点A0,记A1为A0关于点P1的对称点,A2为A1关于点P2的对称点,,AN为AN-1关于点PN的对称点.(1)求向量的坐标;(2)当点A0在曲线C上移动时,点A2的轨迹是函数y=f(x)的图象,其中f(x)是以3为周期的周期函数,且当x(0,3]时,f(x)=lgx.求以曲线C为图象的函数在(1,4]上的解析式;(3)对任意偶数n,用n表示向量的坐标.[解](1)设点A0(x,y),A0为P1关于点的对称点A0的坐标为(2-x,4-y),A1为P2关于点的对称点A2的坐标为(2+x,4+y),={2,4}.(2)∵={2,4},f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.因此,曲线C是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x(-2,1]时,g(x)=lg(x+2)-4.于是,当x(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.另解设点A0(x,y),A2(x2,y2),于是x2-x=2,y2-y=4,若36,则0x2-33,于是f(x2)=f(x2-3)=lg(x2-3).当14时,则36,y+4=lg(x-1).当x(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.(3)=,由于,得13分)如图，已知双曲线C：的右准线与一条渐近线交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点.(I)求证：;(II)若且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程;(III)在(II)的条件下，直线过点A(0，1)与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足，试判断的范围，并用代数方法给出证明.解：(I)右准线，渐近线，3分(II)双曲线C的方程为：7分(III)由题意可得8分证明：设，点由得与双曲线C右支交于不同的两点P、Q11分，得的取值范围是(0，1)13分2.(本小题满分13分)已知函数，数列满足(I)求数列的通项公式;(II)设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求;(III)在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立?若存在，则这样的正整数N共有多少个?并求出满足条件的最小的正整数N;若不存在，请说明理由.(IV)请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值.解：(I)1分将这n个式子相加，得3分(II)为一直角梯形(时为直角三角形)的面积，该梯形的两底边的长分别为，高为16分(III)设满足条件的正整数N存在，则又均满足条件它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.设共有m个满足条件的正整数N，则，解得中满足条件的正整数N存在，共有495个，9分(IV)设，即则显然，其极限存在，并且10分注：(c为非零常数)，等都能使存在.19.(本小题满分14分)设双曲线的两个焦点分别为，离心率为2.(I)求此双曲线的渐近线的方程;(II)若A、B分别为上的点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线;(III)过点能否作出直线，使与双曲线交于P、Q两点，且.若存在，求出直线的方程;若不存在，说明理由.解：(I)，渐近线方程为4分(II)设，AB的中点则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆.(9分)(III)假设存在满足条件的直线设由(i)(ii)得k不存在，即不存在满足条件的直线.14分3.(本小题满分13分)已知数列的前n项和为，且对任意自然数都成立，其中m为常数，且.(I)求证数列是等比数列;(II)设数列的公比，数列满足：，试问当m为何值时，成立?解：(I)由已知(2)由得：，即对任意都成立(II)当时，高考数学压轴题大全(含答案、解析)精心整理，仅供学习参考。