2015高考数学压轴题

2015高考数学压轴题
1、设等比数列{}n a 的首项为12a =，公比为(q q 为正整数），且满足33a 是18a 与5a 的等
差中项；等差数列{}n b 满足2*32()0(,)2n n n t b n b t R n N -++=∈∈.
（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（Ⅱ) 若对任意*n N ∈，有
111n n n n n n a b a a b a λ++++≥成立，求实数λ的取值范围; （Ⅲ）对每个正整数k ，在k a 和1k a +之间插入k b 个2，得到一个新数列{}n c .设n T 是数列{}n c 的前n 项和，试求满足12m m T c +=的所有正整数m .
2、已知函数)(),1ln()(2R a x ax x f ∈++=．
（Ⅰ）设函数)1(-=x f y 定义域为D
①求定义域D ； ②若函数)0(")1)](1ln()([)(24f cx x x x x f x x h +++
+-+=在D 上有零点，求22c a +的最小值；
(Ⅱ) 当21=
a 时，a x a
b x bf x f x g 2)1()1()1(')(2+---+-=，若对任意的[]e x ,1∈，都有e x g e
2)(2≤≤恒成立，求实数b 的取值范围；（注：e 为自然对数的底数） （Ⅲ）当[0,)x ∈+∞时，函数()y f x =图象上的点都在0,0x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，求实
数a 的取值范围．
3、设k 为正整数，若数列{a n }满足a 1＝1，且 (a n ＋1－a n )2＝(n ＋1)k （n ∈N*），称数列{a n }为“k 次方数列”.
（1）设数列{a n }(n ∈N*)为“2次方数列”，且数列{a n n }为等差数列，求a 4的值；
（2）设数列{a n }(n ∈N*)为“4次方数列”，且存在正整数m 满足a m ＝15，求m 的最小值；
（3）对于任意正整数c ，是否存在“4次方数列”{a n }(n ∈N*)和正整数p ，满足a p ＝c .
4、已知数列{}n a 满足*1()a a a =∈N ，*1210(01)n n a a a pa p p n ++++-=≠≠-∈N ，，．
(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；
(2)若对每一个正整数k ，若将
123,,k k k a a a +++按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公差为k d .
①求p 的值及对应的数列{}k d ．
②记k S 为数列{}k d 的前k 项和，问是否存在a ,使得30k S <对任意正整数k 恒成立?若存在,求出a 的最大值；若不存在,请说明理由．
5、已知函数x ae x f =)(,a x x g ln ln )(-=,其中a 为常数,且函数)(x f y =和)
(x g y =的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行．
(1)求此平行线间的距离；
(2)若存在x 使不等式x x f m x >-)(成立，求实数m 的取值范围；
(3)对于函数)(x f y =和)(x g y =公共定义域中的任意实数0x ，我们把)()(00x g x f -的
值称为两函数在
0x 处的偏差.求证:函数)(x f y =和)(x g y =在其公共定义域内的所有偏
差都大于2．
6、已知动点()y x P ,满足11=-+-a y x ，O 为坐标原点，若PO 的最大值的取值范围为,17,217⎥⎦
⎤⎢⎣⎡则实数a 的取值范围是
7、已知数列{}n a 中，,11=a 且点()()*+∈N n a a P n n 1,在直线01=+-y x 上.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若函数(),2,321)(321≥∈++++++++=
n N n a n n a n a n a n n f n 且 求函数)(n f 的最小值；
（3）设n n
n S a b ,1=表示数列{}n b 的前项和。

试问：是否存在关于n 的整式()n g ，使得 ()()n g S S S S S n n ⋅-=++++-11321 对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在，写出()n g 的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。

8、已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上的一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段
l 的距离，记为d (P ,l )．设A (-3,1)，B (0,1)，C (-3,-1)，D (2,-1)，AB l =1,CD l =2， 若),(y x P 满足),(),(21l P d l P d =，则y 关于x 的函数解析式为 ． 9、已知函数d cx bx x x f +++=233
1)(，设曲线)(x f y =在与x 轴交点处的切线为124-=x y ，)(x f y '=为)(x f 的导函数，满足)()2(x f x f '=-'．
（1）求)(x f ；
（2）设)()(x f x x g '=，m ＞0，求函数)(x g 在[0，m ]上的最大值；
（3）设)(ln )(x f x h '=，若对于一切]1,0[∈x ，不等式）22()1(+<-+x h t x h 恒成立，求实数t 的取值范围．
10、已知数列{}n a 具有性质：①1a 为整数；②对于任意的正整数n ，当n a 为偶数时， 12n n a a +=；当n a 为奇数时，112
n n a a +-=. （1）若1a 为偶数，且123,,a a a 成等差数列，求1a 的值；
（2）设123m a =+(3m >且m ∈N)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：123m n S +≤+；
（3）若1a 为正整数，求证：当211log n a >+(n ∈N)时，都有0n a =.。