二次函数图像性质及应用

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二次函数图象性质及应用
一选择题
1.已知抛物线y=﹣x2+2x﹣3，下列判断正确的是（）
A.开口方向向上，y 有最小值是﹣2
B.抛物线与x轴有两个交点
C.顶点坐标是（﹣1，﹣2）
D.当x＜1 时，y 随x增大而增大
2.若二次函数y=x2+bx+5 配方后为y=（x-2）2+k，则b、k 的值分别为（）
A.0、5
B.0、1
C.﹣4、5
D.﹣4、1
3.将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是
A. B. 3
y2-
-
)2
y2-
=x
+
(5
=x D.3
(52+
)2
(5
-
=x
)2
y C. 3
4.把抛物线y=﹣2x2+4x+1 图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位,所得的抛物线函数关系式是（）
A.y=﹣2(x-1)2+6
B.y=﹣2(x-1)2﹣6
C.y=﹣2(x+1)2+6
D.y=-2(x+1)2-6
5.函数y=ax+b 和y=ax2+bx+c 在同一直角坐标系内的图象大致是（）
A. B. C. D.
6.二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图,则a bc，b2﹣4ac，2a+b，a+b+c 这四个式子中，值为正数的有（）
A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个
第6题图第8题图
7.二次函数y=ax2+bx+c 对于x的任何值都恒为负值的条件是（）
A.a＞0，△＞0
B.a＞0，△＜0
C.a＜0，△＞0
D.a＜0，△＜0
8.抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（）
A.y=x2-x-2
B.y=﹣x2﹣x+2
C.y=﹣x2﹣x+1
D.y=﹣x2+x+2
..
1 2 1
2 2 9.已知 A (2,1)在二次函数
(m 为常数)的图像上,则点 A 关于图像对称轴对称点坐标是（
）
A.（4,1）
B.（5,1）
C.（6,1）
D.（7,1）
10.抛物线 y =﹣x 2
+x ﹣1 与坐标轴（含 x 轴、y 轴）的公共点的个数是（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
11.二次函数 y =ax 2+bx+c(a≠0)图象如图,下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③当 m ≠1 时，a+b>am 2
+bm;④a ﹣b+c ＞0;
2 2
⑤若 a x 1 +bx 1=ax 2 +bx 2，且 x 1≠x 2，x 1+x 2=2．其中正确的有（ ） A.①②③
B.②④
C.②⑤
D.②③⑤
第 11 题图
第 12 题图
12.如图所示：抛物线 y=ax 2
+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线 x=1，且经过点（﹣1，0），依据图象写出了四 个结论：
①如果点（﹣ ，y ）和（2，y ）都在抛物线上，那么 y 1＜y 2 ；
②b 2﹣4ac ＞0；
③m （am+b ）＜a+b （m ≠1 的实数）； ④ =﹣3所
写的四个结论中，正确的有（ ）
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
二 填空题:
13.在函数①y=ax 2+bx+c;②y=(x-1)2﹣x 2;③y=5x 2﹣ ;④y=﹣x 2+2 中，y 关于 x 的二次函数是 ．
14.当 m =
时，函数 y = (m - 4)x m -5m +6
+3x 是关于 x 的二次函数．
15.二次函数 y =x 2
﹣2x+6 的最小值是
16.已知抛物线 y =ax 2
+bx+c 的部分图象如图所示，若 y ＞0，则 x 的取值范围是
．
17.若函数 y =mx 2
﹣2x+1 的图象与 x 轴只有一个交点，则 m =
．
18.已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B 两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为
直线x=2，则线段A B 的长为
19.有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点．
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3；
请写出满足上述全部特点的二次函数解析式：．
20.如图,已知⊙P 的半径为2，圆心P在抛物线y=x2﹣1 上运动,当⊙P 与x轴相切时,圆心P坐标为．
第22 题图第23 题图
21.如图,以扇形O AB 的顶点O为原点,半径O B 所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,点B的坐标为(2,0).若
抛
物线y=x2＋k 与扇形O AB 的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是
三解答题:
22.如图，过点A（-1，0）、B（3，0）的抛物线y=-x2+bx+c 与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E.
（1）求抛物线解析式；
（2）求抛物线顶点D的坐标；
（3）若抛物线的对称轴上存在点P使，求此时D P 的长.
23.如图，已知□ABCD 的周长为8 cm，∠B=30°，若边长A B 为x cm.(1)写出□ABCD 的面
积y(cm2)与x(cm)的函数关系式，并求自变量x的取值范围.(2)当x取什么
值时，y 的值最大？并求出最大值.
24.如图，抛物线的顶点M在x轴上，抛物线与y轴交于点N，且O M=ON=4，矩形A BCD 的顶点A、B 在抛物线上，C、D 在x轴上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设点A的横坐标为t(t＞4)，矩形A BCD 的周长为L,求L与t之间函数关系式.
25.已知抛物线y=x2+bx+c 经过点（2，﹣3）和（4，5）．
（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；
（2）将抛物线沿x轴翻折，得到图象G，求图象G的表达式；
（3）在（2）的条件下，当﹣2＜x＜2 时，直线y=m 与该图象有一个公共点，求m的值或取值范围．
26．如图12所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水
位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．
（1）在如图12的坐标系中求抛物线所对应的函数关系式；
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续
多少小时就能到达拱桥顶？
27．南博汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x 万元，每辆汽车的销售利润为y万元．（销售利润＝销售价－进货价）
（1）求y与x的函数关系式；在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；
（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；
（3）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？
参考答案1、D 2、D ．3、A 4、C 5、C 6、B 7、D 8、D 9、C 10、B 11、D 12、D
13、④14、1 ．15、5．16、x ＜﹣1 或 x ＞5 ．17、0 或 1
18、8
．
19、
y=（x ﹣3）（x ﹣5）
．20、（ ，2）或（﹣ ，2）．21、－2＜k ＜
．
22、解：（1）y=-x 2+2x+3； （2）D （1，4）； （3）1 或 7.
23、1)过 A 作 A E ⊥B C 于 E ，∵∠B=30°，AB=x ，∴A E =
x ，又∵平行四边形 A BCD 的周长为 8 cm ，
∴BC =4-x ，∴y=AE · B C=x （4-x ）,即 y =-x 2+2x （0＜x ＜4）.
(2)y=-
x 2+2x=-
(x-2)2+2， ∴当 x =2 时，y 有最大值，其最大值为 2.
24、
25、【解答】解：（1）根据题意得
，解得 ，所以抛物线的解析式为 y =x 2﹣2x ﹣3．
∵抛物线的解析式为 y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）． （2）根据题意，﹣y=x 2﹣2x ﹣3，所以 y=﹣x 2+2x+3．
（3）∵抛物线 y =x 2﹣2x ﹣3 的顶点为（1，﹣4），当 x =﹣2 时，y=5，抛物线 y =﹣x 2+2x+3 的顶点（1，4），当 x=﹣2 时，y=﹣5．
∴当﹣2＜x ＜2 时，直线 y =m 与该图象有一个公共点，则m=3或﹣5＜m ＜3． 26．解：（1）设所求抛物线的函数关系式为：2
y ax =， 设(56)D ，，(103)B b -，，
把D B ，的坐标分别代入2
y ax =，得25100 3.
a b a b =⎧⎨
=-⎩，
解得1251.a b ⎧
=-⎪⎨⎪=-⎩
，
所以2125y x =-．
（2）因为1b =-，所以
1
50.2
=（小时）． 所以再持续5小时到达拱桥顶． 27．解：（1）因为2925y x =--， 所以4(04)y x x =-+≤≤．
（2）84(88)(4)0.5x z y x x ⎛⎫
=+
⨯=+-+ ⎪⎝⎭
282432x x =-++
2
38502x ⎛
⎫=--+ ⎪⎝
⎭．
（3）因为当3
2
x =时，50z =最大． 所以当定价为29 1.527.5-=万元时，有最大利润，最大利润为50万元．。