九年级下二次函数图像与性质教案
第1课时 26.1 二次函数
一、阅读教科书 二、学习目标:
1.知道二次函数的一般表达式; 2.会利用二次函数的概念分析解题; 3.列二次函数表达式解实际问题. 三、知识点:
一般地,形如____________________________的函数,叫做二次函数。其中x 是________,a 是__________,b 是___________,c 是_____________. 四、基本知识练习
1.观察:①y =6x 2;②y =-3
2x 2+30x ;③y =200x 2+400x +200.这三个式子中,虽
然函数有一项的,两项的或三项的,但自变量的最高次项的次数都是______次.一般地,如果y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 是常数,a ≠0),那么y 叫做x 的_____________. 2.函数y =(m -2)x 2+mx -3(m 为常数). (1)当m__________时,该函数为二次函数; (2)当m__________时,该函数为一次函数.
3.下列函数表达式中,哪些是二次函数?哪些不是?若是二次函数,请指出各项对应项的系数. (1)y =1-3x 2 (2)y =3x 2+2x (3)y =x (x -5)+2
(4)y =3x 3+2x 2 (5)y =x +1
x
五、课堂训练 1.y =(m +1)x
m
m 2-3x +1是二次函数,则m 的值为_________________.
2.下列函数中是二次函数的是() A .y =x +1
2
B . y =3 (x -1)2
C .y =(x +1)2-x 2
D .y =1
x
2-x
3.在一定条件下,若物体运动的路段s (米)与时间t (秒)之间的关系为 s =5t 2+2t ,则当t =4秒时,该物体所经过的路程为() A .28米 B .48米 C .68米 D .88米
4.n 支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________.
5.已知y 与x 2成正比例,并且当x =-1时,y =-3. 求:(1)函数y 与x 的函数关系式;
(2)当x =4时,y 的值;
(3)当y =-1
3时,x 的值.
6.为了改善小区环境,某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD,绿化带一边靠墙,另三边用总长为40m的栅栏围住(如图).若设绿化带的BC边长为x m,绿化带的面积为y m2.求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
六、目标检测
1.若函数y=(a-1)x2+2x+a2-1是二次函数,则()
A.a=1 B.a=±1 C.a≠1 D.a≠-1 2.下列函数中,是二次函数的是()
A.y=x2-1 B.y=x-1 C.y=8
x D.y=
8
x2
3.一个长方形的长是宽的2倍,写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式.
4.已知二次函数y=-x2+bx+3.当x=2时,y=3,求这个二次函数解析式.
第2课时二次函数y=ax2的图象与性质
一、阅读课本
二、学习目标:
1.知道二次函数的图象是一条抛物线;
2.会画二次函数y=ax2的图象;
3.掌握二次函数y=ax2的性质,并会灵活应用.
三、探索新知:
画二次函数y=x2的图象.
【提示:画图象的一般步骤:①列表(取几组x、y的对应值;②描点(表中x、y的数值在坐标平面中描点(x,y);③连线(用平滑曲线).】
列表:
x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2……
描点,并连线
由图象可得二次函数y=x2的性质:
1.二次函数y=x2是一条曲线,把这条曲线叫做______________.
2.二次函数y=x2中,二次函数a=_______,抛物线y=x2的图象开口__________.3.自变量x的取值范围是____________.
4.观察图象,当两点的横坐标互为相反数时,函数y值相等,所描出的各对应点关于________对称,从而图象关于___________对称.
5.抛物线y=x2与它的对称轴的交点(,)叫做抛物线y=x2的_________.
因此,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________.
6.抛物线y=x2有____________点(填“最高”或“最低”).
四、例题分析
例1 在同一直角坐标系中,画出函数y=1
2x
2,y=x2,y=2x2的图象.
x …-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y=1
2x
2……
y=x2的图象刚画过,再把它画出来.
x …-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …y=2x2……
归纳:抛物线y=1
2x
2,y=x2,y=2x2的二次项系数a_______0;顶点都是__________;
对称轴是_________;顶点是抛物线的最_________点(填“高”或“低”).
例2 请在例1的直角坐标系中画出函数y=-x2,y=-1
2x
2,y=-2x2的图象.
列表:
归纳:抛物线y=-x2,y=-1
2x
2,y=-2x2的二次项系数a______0,顶点都是________,
对称轴是___________,顶点是抛物线的最________点(填“高”或“低”).
五、理一理
1
2
2.抛物线y=x2与y=-x2关于________对称,因此,抛物线y=ax2与y=-ax2关于_______
对称,开口大小_______________.
3.当a>0时,a越大,抛物线的开口越___________;
当a<0时,|a|越大,抛物线的开口越_________;
因此,|a|越大,抛物线的开口越________,反之,|a|越小,抛物线的开口越________.
六、课堂训练
1
开口方向顶点对称轴有最高或
最低点
最值
y=2
3x
2
当x=____时,y有最
_______值,是______.
y=-8x2
2.若二次函数y=ax2的图象过点(1,-2),则a的值是___________.3.二次函数y=(m-1)x2的图象开口向下,则m____________.
4.如图,①y=ax2
②y=bx2
③y=cx2
④y=dx2
比较a、b、c、d的大小,用“>”连接.
___________________________________ 七、目标检测
1.函数y=3
7x
2的图象开口向_______,顶点是__________,对称轴是________,
当x=___________时,有最_________值是_________.
2.二次函数y=mx22
m有最低点,则m=___________.
3.二次函数y=(k+1)x2的图象如图所示,则k的取值
范围为___________.
4.写出一个过点(1,2)的函数表达式_________________.
第3课时二次函数y=ax2+k的图象与性质
一、阅读课本
二、学习目标:
1.会画二次函数y=ax2+k的图象;
2.掌握二次函数y=ax2+k的性质,并会应用;
3.知道二次函数y=ax2与y=的ax2+k的联系.
三、探索新知:
在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1,y=x2-1的图象.
解:先列表
x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2+1 ……
y=x2-1 ……
观察图象得:
开口方向顶点对称轴有最高(低)点最值y=x2
y=x2-1
y=x2+1
2.可以发现,把抛物线y=x2向______平移______个单位,就得到抛物线y=x2+1;
把抛物线y=x2向_______平移______个单位,就得到抛物线y=x2-1.3.抛物线y=x2,y=x2-1与y=x2+1的形状_____________.
四、理一理知识点
1.
y=ax2y=ax2+k
开口方向
顶点
2.抛物线y=2x2向上平移3个单位,就得到抛物线__________________;
抛物线y=2x2向下平移4个单位,就得到抛物线__________________.
因此,把抛物线y=ax2向上平移k(k>0)个单位,就得到抛物线_______________;
把抛物线y=ax2向下平移m(m>0)个单位,就得到抛物线_______________.
3.抛物线y=-3x2与y=-3x2+1是通过平移得到的,从而它们的形状__________,由此可得二次函数y=ax2与y=ax2+k的形状__________________.
五、课堂巩固训练
2.将二次函数y=5x2-3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________.
3.写出一个顶点坐标为(0,-3),开口方向与抛物线y=-x2的方向相反,形状相同的抛
物线解析式____________________________.
4.抛物线y =4x 2+1关于x 轴对称的抛物线解析式为______________________.
六、目标检测
2.抛物线y =-13x 2-2可由抛物线y =-1
3x 2+3向___________平移_________个单位
得到的.
3.抛物线y =-x 2+h 的顶点坐标为(0,2),则h =_______________.
4.抛物线y =4x 2-1与y 轴的交点坐标为_____________,与x 轴的交点坐标为_________.
第4课时 二次函数y =a(x-h)2的图象与性质
一、阅读课本: 二、学习目标:
1.会画二次函数y =a (x -h )2的图象;
2.掌握二次函数y =a (x -h )2的性质,并要会灵活应用; 三、探索新知:
画出二次函数y =-12(x +1)2,y -1
2(x -1)2的图象,并考虑它们的开口方向、对称轴、
顶点以及最值、增减性.
描点并画图.
1
2.请在图上把抛物线y =-1
2
x 2也画上去(草图).
①抛物线y =-12(x +1)2,y =-12x 2,y =-1
2(x -1)2的形状大小____________.
②把抛物线y =-12x 2向左平移_______个单位,就得到抛物线y =-1
2(x +1)2;
把抛物线y =-12x 2向右平移_______个单位,就得到抛物线y =-
1
2(x +1)2.
四、整理知识点
2.对于二次函数的图象,只要|a|相等,则它们的形状_________,只是_________不同.
五、课堂训练
2.抛物线y=4 (x-2)2与y轴的交点坐标是___________,与x轴的交点坐标为________.3.把抛物线y=3x2向右平移4个单位后,得到的抛物线的表达式为____________________.
把抛物线y=3x2向左平移6个单位后,得到的抛物线的表达式为____________________.
4.将抛物线y=-1
3(x-1)x
2向右平移2个单位后,得到的抛物线解析式为____________.
5.写出一个顶点是(5,0),形状、开口方向与抛物线y =-2x 2都相同的二次函数解析式
___________________________. 六、目标检测
1.抛物线y =2 (x +3)2的开口______________;顶点坐标为__________________;对称轴是_________;当x >-3时,y______________;当x =-3时,y 有_______值是_________.
2.抛物线y =m (x +n)2向左平移2个单位后,得到的函数关系式是y =-4 (x -4)2,则 m =__________,n =___________.
3.若将抛物线y =2x 2+1向下平移2个单位后,得到的抛物线解析式为_______________. 4.若抛物线y =m (x +1)2过点(1,-4),则m =_______________.
第5课时 二次函数y =a(x -h)2+k 的图象与性质
一、阅读课本: 二、学习目标:
1.会画二次函数的顶点式y =a (x -h)2+k 的图象; 2.掌握二次函数y =a (x -h)2+k 的性质;
3.会应用二次函数y =a (x -h)2+k 的性质解题. 三、探索新知:
画出函数y =-1
2(x +1)2-1的图象,指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性.
由图象归纳:
2.把抛物线y =-1
2x 2向_______平移______个单位,再向_______平移_______个单位,
就得到抛物线y =-1
2(x +1)2-1.
四、理一理知识点
2.抛物线y=a (x-h)2+k与y=ax2形状___________,位置________________.五、课堂练习
2.y=6x2+3与y=6 (x-1)2+10_____________相同,而____________不同.
3.顶点坐标为(-2,3),开口方向和大小与抛物线y=1
2x
2相同的解析式为()
A.y=1
2(x-2)
2+3 B.y=
1
2(x+2)
2-3
C.y=1
2(x+2)
2+3 D.y=-
1
2(x+2)
2+3
4.二次函数y=(x-1)2+2的最小值为__________________.
5.将抛物线y=5(x-1)2+3先向左平移2个单位,再向下平移4个单位后,得到抛物线的解析式为_______________________.
6.若抛物线y=ax2+k的顶点在直线y=-2上,且x=1时,y=-3,求a、k的值.7.若抛物线y=a (x-1)2+k上有一点A(3,5),则点A关于对称轴对称点A’的坐标为
__________________.
六、目标检测
2.抛物线y=-3 (x+4)2+1中,当x=_______时,y有最________值是________.3.足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化,这一过程可近似地用下列哪幅图表示()
A B C D
4.将抛物线y=2 (x+1)2-3向右平移1个单位,再向上平移3个单位,则所得抛物线的表达式为________________________.
5.一条抛物线的对称轴是x=1,且与x轴有唯一的公共点,并且开口方向向下,则这条抛物线的解析式为____________________________.(任写一个)
第6课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
一、阅读课本:
二、学习目标:
1.配方法求二次函数一般式y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴;
2.熟记二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标公式;
3.会画二次函数一般式y=ax2+bx+c的图象.
三、探索新知:
1.求二次函数y=1
2x
2-6x+21的顶点坐标与对称轴.
解:将函数等号右边配方:y =1
2x 2-6x +21
2.画二次函数y =1
2
x 2-6x +21的图象.
解:y =1
2x 2-6x +21配成顶点式为_______________________.
x
… 3 4 5 6 7 8 9 … y =1
2
x 2-6x +21
…
…
3.用配方法求抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的顶点与对称轴.
y =ax 2
y =ax 2+k
y =a(x -h)2
y =a(x -h)2+k
y =ax 2+bx +c
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性 (对称轴左侧)
五、课堂练习
1.用配方法求二次函数y=-2x2-4x+1的顶点坐标.
2.用两种方法求二次函数y=3x2+2x的顶点坐标.
3.二次函数y=2x2+bx+c的顶点坐标是(1,-2),则b=________,c=_________.
4.已知二次函数y=-2x2-8x-6,当___________时,y随x的增大而增大;当x=________时,y有_________值是___________.
六、目标检测
1.用顶点坐标公式和配方法求二次函数y=1
2x
2-2-1的顶点坐标.
2.二次函数y=-x2+mx中,当x=3时,函数值最大,求其最大值.
第7课时二次函数y=ax2+bx+c的性质
一、复习知识点:
二、学习目标:
1.懂得求二次函数y=ax2+bx+c与x轴、y轴的交点的方法;
2.知道二次函数中a,b,c以及△=b2-4ac对图象的影响.
三、基本知识练习
1.求二次函数y=x2+3x-4与y轴的交点坐标为_______________,与x轴的交点坐标____________.
2.二次函数y=x2+3x-4的顶点坐标为______________,对称轴为______________.3.一元二次方程x2+3x-4=0的根的判别式△=______________.
4.二次函数y=x2+bx过点(1,4),则b=________________.
5.一元二次方程y=ax2+bx+c(a≠0),△>0时,一元二次方程有_______________,△=0时,一元二次方程有___________,△<0时,一元二次方程_______________.四、知识点应用
1.求二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点(含y=0时,则在函数值y=0时,x的值是抛物
线与x轴交点的横坐标).
例1 求y=x2-2x-3与x轴交点坐标.
2.求二次函数y=ax2+bx+c与y轴交点(含x=0时,则y的值是抛物线与y轴交点的纵
坐标).
例2 求抛物线y=x2-2x-3与y轴交点坐标.
3.a、b、c以及△=b2-4ac对图象的影响.
(1)a决定:开口方向、形状
(2)c决定与y轴的交点为(0,c)
(3)b与-b
2a共同决定b的正负性
(4)△=b 2-4ac ??
?
??<=>轴没有交点与轴有一个交点与轴有两个交点与x x x 000
例3 如图, 由图可得: a_______0 b_______0 c_______0 △______0
例4 已知二次函数y =x 2+kx +9. ①当k 为何值时,对称轴为y 轴;
②当k 为何值时,抛物线与x 轴有两个交点; ③当k 为何值时,抛物线与x 轴只有一个交点. 五、课后练习
1.求抛物线y =2x 2-7x -15与x 轴交点坐标__________,与y 轴的交点坐标为_______.
2.抛物线y =4x 2-2x +m 的顶点在x 轴上,则m =__________. 3.如图: 由图可得: a_______0 b_______0 c_______0 △=b 2-4ac______0
六、目标检测
1.求抛物线y =x 2-2x +1与y 轴的交点坐标为_______________.
2.若抛物线y =mx 2-x +1与x 轴有两个交点,求m 的范围.
3.如图:
由图可得:a _________0 b_________0 c_________0
△=b 2-4ac_________0
初中数学二次函数的图像与性质教案
第13课时二次函数的图像与性质(二) 【复习目标】 1.能根据图象确定a、b、c的符号. 2.会用待定系数法求二次函数的解析式. 3.理解二次函数与一元二次方程的关系.并能用二次函数图象解一元二次方程的根及确定当函数值大于或小于0时自变量的取值范围. 【知识梳理】 1.二次函数解析式的求法: (1)若给出抛物线上三点,通常可设一般式:________(a≠0). (2)若给宝抛物线的顶点坐标或对称轴与最值,通常可设顶点式:________(a≠0),其中点(h,k)为顶点,对称轴为直线x=h. (3)若给出抛物线与x轴的两个交点(x1,0)、(x2,0)及其他一个条件,通常可设交点式:_______(a≠0).其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标. 2.对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当给定y的值时,二次函数可转化为一元二次方程,所以我们可ax2+bx+c=_______. 3.当b2-4ac>0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有_______交点. 4.当b2-4ac=0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根,则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有_______交点. 5.当b2-4ac-<0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x轴_______交点. 【考点例析】 考点一二次函数的各项系数与图象之间的关系 例1已知二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)的图象如图所示,现有下列结论:①abc>0;②b2-4ac<0;③4a-2+c<0;④b=-2a,其中结论正确的是( ) A.①③B.③④C.②③D.①④
22.1.4二次函数的图像和性质 教案
22.1 二次函数(6) 教学目标: 1.使学生掌握用描点法画出函数y =ax 2+bx +c 的图象。 2.使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 3.让学生经历探索二次函数y =ax 2+bx +c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程,理解二次函数y =ax 2+bx +c 的性质。 重点难点: 重点:用描点法画出二次函数y =ax 2+bx +c 的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。 难点:理解二次函数y =ax 2+b x +c(a ≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x =-b 2a 、(-b 2a ,4ac -b24a )是教学的难点。 教学过程: 一、提出问题 1.你能说出函数y =-4(x -2)2+1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? 2.函数y =-4(x -2)2+1图象与函数y =-4x 2的图象有什么关系? (函数y =-4(x -2)2+1的图象可以看成是将函数y =-4x 2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的) 3.函数y =-4(x -2)2+1具有哪些性质? (当x <2时,函数值y 随x 的增大而增大,当x >2时,函数值y 随x 的增大而减小;当x =2时,函数取得最大值,最大值y =1) 4.不画出图象,你能直接说出函数y =-12x 2+x -5 2的图象的开口方向、对称轴和顶点 坐标吗? 5.你能画出函数y =-12x 2+x -5 2的图象,并说明这个函数具有哪些性质吗? 二、解决问题 由以上第4个问题的解决,我们已经知道函数y =-12x 2+x -5 2的图象的开口方向、对称 轴和顶点坐标。根据这些特点,可以采用描点法作图的方法作出函数y =-12x 2+x -5 2的图 象,进而观察得到这个函数的性质。 解:(1)列表:在x 的取值范围内列出函数对应值表; x … -2 -1 0 1 2 3 4 … y … -612 -4 -212 -2 - 212 -4 - 612 … (2)描点:用表格里各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点。
二次函数的图像与性质的教案
二次函数的图像与性质的教案(3) 【目标】 1. 经历探索二次函数y =ax 2(a ≠0)及y =a(x-h)2 (a ≠0)的图象作法和性质 的过程; 2. 能够理解函数y =a(x-h)2 (a ≠0)与y =ax 2的图象的关系,了解a,h,k 对 二次函数图象的影响。 3.能正确说出函数 y =a(x-h)2的图象的开口方向,顶点坐标和对称轴。 【重点】 理解函数y =a(x-h)2 (a ≠0)与y =ax 2的图象的关系及性质; 【难点】 理解函数y =a(x-h)2 (a ≠0)与y =a x 2的图象的关系及性质; 同学们还记得一次函数y=2x 与y=2(x-1)的图象的关系吗? 你能由此推测二次函数2 x y =与y =(x-1)2的图象之间的关系吗?那么 2x y =与y=(x-1)2的图象之间又有何关系? 动手操作、探究: 在同一平面内画出函数2 x y =与y=(x-1)2的图象。比较它们的性质,你可以 得到什么结论? 【探究问题1】 形如 的二次函数的开口方向,对称轴,顶点坐标各是什么? 我们已经了解到,函数k ax y +=2的图象,可以由函数2ax y =的图象上下 平移所得,那么函数2)2(2 1-=x y 的图象,是否也可以由函数221x y =平移 而得呢?画图试一试,你能从中发现什么规律吗? 1、在平面直角坐标系中,并画出函数2)1(+=x y 的图象。 2、比较它与函数2 x y =的图象之间的关系。 结论: (1)抛物线y=a(x-h)2(a ≠0)与抛物线y =ax 2(a ≠0)的形状一样,只是位置不 同,因此抛物线y=a(x-h)2可通过平移抛物线y =ax 2(a ≠0)得到。当h >0时, 把抛物线y =ax 2(a ≠0)向左平移|h|个单位得到抛物线y=a(x-h)2,当h<0时, 把抛物线y =ax 2(a ≠0)向右平移|h|个单位得到抛物线y=a(x-h)2
二次函数的图像及性质
《二次函数的图像及性质》教学案例及反思 教师:同学们,我们上一节课一起研究了二次函数的表达式,那么我们一起来回忆一下表达式是什么? 学生齐答:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a不为0) 教师:好,那么请同学们在黑板上写出一些常数较简单的二次函数表达式. (学生表现很踊跃,一下写出了十多个) 教师:黑板上这些二次函数大致有几个类型? 学生:(讨论了3分钟)四大类!有y=ax2+bx+c;y=ax2+bx;y=ax2+c;y=ax2! 教师:太棒了!同学们归纳的很好,今天我们就一起来研究比较简单的一种y=ax2的图像及性质! 教师在学生板书的函数中选了四个,并把复杂的系数换成简单的常数,找到如下函数:y=x2;y=-x2;y=2x2;y=-2x2.(教师在这里让学生自己准备素材!) 教师启发学生利用函数中的“列表,描点,连线”的方法,把画上述四个函数的任务分配给A,B,C,D小组,一组一个在已画好的坐标系的小黑板上动手操作.生在自己提供的素材上进行再“加工”,兴趣很大,合作交流充分,课堂气氛活跃.教师到每组巡视、指导,在确认画图全部正确的情况下,提出了要求,开始了探究之旅. 教师:请同学们小组之间比较一下,你们画的图象位置一样吗? 学生;不一样. 教师:有什么不一样?(开始聚焦矛盾) 学生:开口不一样. 学生A:走向不一样. 学生B:经过的象限不一样. 学生C:我们的图象在原点的上方,他们的图象在原点的下方. 教师:看来是有些不一样,那么它们位置的不一样是由什么要素决定的?(教师指明了探究方向,但未指明具体的探究之路,这是明智的) 学生:是由二次项系数的取值确定的. 教师:好了,根据同学们的回答,能得到图象或函数的那些结论?(顺水推舟,放手让学生一搏) 热烈讨论后,学生D回答并板书,当a>0时,图象在原点的上方,当a<0时,图象在原点的下方。 学生E:当a>0时,图象开口向上;当a<0时,图象开口向下. 学生A站起来补充:还有顶点,顶点坐标(0,0),对称轴为y轴! (这个过程约用了十多分时间,学生体会非常充分,从学生的神情看,绝大多数学生已接受了这几个学生的板书,但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出二次函数的性质呢?短暂停顿后,教师确定了思路) 教师:刚才你们是研究图象的性质,你们能否由图象性质得出相应的函数的性质? 看着学生茫然的目光,我在思考是不是我的问题---- 教师:请看同学们的板书,能揣摩图象“走向”的意思吗? 学生:(七嘴八舌)当a>0时,图象从左上向下走到原点后在向右上爬;当a<0时,图象从左下向上爬到原点后在向右下走(未出现教师所预期的结论) 教师:好,你们从图象的直观形象来理解的图象性质,很贴切,你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗?
二次函数的图像与性质教案
二次函数y= ax 2+bx+c 的图象与性质 年级:九年级 执教老师:田老师 【教学目标】 1. 知识与技能 会用配方法确定二次函数y= ax 2+bx+c 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。理解二次函数y= ax 2+bx+c 的性质。 2. 过程与方法 让学生经历配方的过程,掌握抛物线的对称轴和顶点坐标。 3. 情感态度与价值观 培养学生积极探索、合作交流的意识。 【教学重点】 理解、掌握对称轴a b x 2-= , 顶点坐标(a b 2- ,a b ac 442-) 【教学难点】 用配方法确定对称轴、顶点坐标。 【教学过程】 一、温故知新 1. 耐心填一填
2. 抛物线y =-2(x +3)2-6的开口 ,对称轴是 , 顶点坐标为 。 当x 时,y 随x 的增大而减小;当x 时,y 随x 的增大而增大; 当x 时,函数y 有最 值 。 3. 你能说出y =-2x 2+6x -1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? 二、探索新知 1.你能将二次函数 y =-2(x +3)2-6化成一般形式吗? 2. 怎样将二次函数一般式y =-2x 2+6x -1化成顶点式y=a(x -h)2+k ? y =-2x 2+6x -1 =-2(x 2-3x +21 ) 提:提取二次项系数 =-2[x 2-3x +223)(-223)(+21 ] 配:括号内配成完全平方 =-2[(x -23)2-47 ] (加上再减去一次项系数一半的平方) =-2(x -23)2+2 7 化:化成顶点式 3. 提问: ⑴ 对称轴是 , 顶点坐标是( ) ⑵ 当x 等于多少时,函数的值最大?最大值是多少? 4. 求函数122 12-+-=x x y 的最大值。
二次函数图像与性质总结
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式:2 =的性质: y ax 2.2 =+的性质: y ax c 上加下减。 =-的性质: y a x h 左加右减。
4.()2 y a x h k =-+的性质: 1.平移步骤: 方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标 ()h k ,; ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者 通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我 们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对 称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有最小值244ac b a -. 2.当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,.当2b x a <- 时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时,y 有最大值2 44ac b a -. 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠); 2.顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);
九年级下二次函数图像与性质教案
第1课时 26.1 二次函数 一、阅读教科书 二、学习目标: 1.知道二次函数的一般表达式; 2.会利用二次函数的概念分析解题; 3.列二次函数表达式解实际问题. 三、知识点: 一般地,形如____________________________的函数,叫做二次函数。其中x 是________,a 是__________,b 是___________,c 是_____________. 四、基本知识练习 1.观察:①y =6x 2;②y =-3 2x 2+30x ;③y =200x 2+400x +200.这三个式子中,虽 然函数有一项的,两项的或三项的,但自变量的最高次项的次数都是______次.一般地,如果y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 是常数,a ≠0),那么y 叫做x 的_____________. 2.函数y =(m -2)x 2+mx -3(m 为常数). (1)当m__________时,该函数为二次函数; (2)当m__________时,该函数为一次函数. 3.下列函数表达式中,哪些是二次函数?哪些不是?若是二次函数,请指出各项对应项的系数. (1)y =1-3x 2 (2)y =3x 2+2x (3)y =x (x -5)+2 (4)y =3x 3+2x 2 (5)y =x +1 x 五、课堂训练 1.y =(m +1)x m m 2-3x +1是二次函数,则m 的值为_________________. 2.下列函数中是二次函数的是() A .y =x +1 2 B . y =3 (x -1)2 C .y =(x +1)2-x 2 D .y =1 x 2-x 3.在一定条件下,若物体运动的路段s (米)与时间t (秒)之间的关系为 s =5t 2+2t ,则当t =4秒时,该物体所经过的路程为() A .28米 B .48米 C .68米 D .88米 4.n 支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________. 5.已知y 与x 2成正比例,并且当x =-1时,y =-3. 求:(1)函数y 与x 的函数关系式; (2)当x =4时,y 的值; (3)当y =-1 3时,x 的值.
二次函数的图像和性质总结
二次函数的图像和性质 1.二次函数的图像与性质: 解析式 a 的取值 开口方向 函数值的增减 顶点坐标 对称轴 图像与y 轴的交点 时当0>a ;开口向上;在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小,在对称轴的 右侧y 随x 的增大而增大。 时当0k 时向上平移;当0>k 时向下平移。 (2)抛物线2 )(h x a y +=的图像是由抛物线2 y ax =的图像平移h 个单位而得到 的。当0>h 时向左平移;当0