专题九函数图象及其综合应用

专题九 函数图象及综合应用函数图象是研究函数性质、方程、不等式的重要工具，是数形结合的基础，是高考考查的热点，复习时，应重点掌握几种基本初等函数的图象，并在审题、识图上多下功夫，学会分析“数”与“形”的结合点，把几种常见题型的解法技巧理解透彻。

知识网络：一、新课引入 在初中我们是采用什么方法来画出函数的图象？描点法作图。

描点法作图的步骤有哪些？ 描点法作图的基本步骤是：列表、描点、连线。

基本函数的图象要熟记：一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、幂函数。

二、新课讲解1、函数图象的基本作法有两种:① 描点法②图象变换法2、画函数图象时有时也可利用函数的性质如单调性、奇偶性、对称性、周期性等，以及图象上的特殊点、线（如对称轴、渐近线等）。

3、图象的变换是指一个函数的图象经过适当的变换，得到另一个与之有关的函数图象。

.在高考中要求学生掌握的三种变换是：平移变换、对称变换、伸缩变换、翻折变换。

4、常用函数图象变换的规律。

(1)平移变换①水平平移：y ＝f(x±a)(a＞0)的图象，可由y ＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a 个单位而得到。

②竖直平移：y ＝f(x)±b(b＞0)的图象，可由y ＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b 个单位而得到。

(2)对称变换①y ＝f(－x)与y ＝f(x)的图象关于y 轴对称。

②y ＝－f(x)与y ＝f(x)的图象关于x 轴对称。

③y ＝－f(－x)与y ＝f(x)的图象关于原点对称。

(3)伸缩变换①y ＝af(x)(a ＞0)的图象，可将y ＝f(x)图象上每点的纵坐标伸(a ＞1时)或缩(a ＜1时)到原来的a 倍，横坐标不变。

②y ＝f(ax)(a ＞0)的图象，可将y ＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a ＜1时)或缩(a ＞1时)到原来的1a倍，纵坐标不变。

(4)翻折变换①作为y ＝f(x)的图象，将图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y ＝|f(x)|的图象。

②作为y ＝f(x)在y 轴上及y 轴右边的图象部分，并作y 轴右边的图象关于y 轴对称的图象，即得y ＝f(|x|)的图象。

2．等价变换例如：作出函数y ＝1－x2的图象，可对解析式等价变形y ＝1－x2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y≥01－x2≥0y2＝1－x2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y≥0y2＝1－x2⇔x2＋y2＝1(y≥0)，可看出函数的图象为半圆。

此过程可归纳为：(1)写出函数解析式的等价组；(2)化简等价组；(3)作图。

3．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象。

三、例题讲解例1：作出下列函数的大致图象：(1) y=|x-2|(x+1)；(2) y=2-xx+1；(3) y=|lg|x||。

解：(1)函数的定义域为实数集R,由二次函数的图象经过变换作出其图象,如图甲.（2）函数的定义域为{x|x ∈R,且x ≠-１}，如图乙.（3)函数的定义域是{x|x ≠0，x ∈R}，先作y=lgx 关于y 轴对称的图象，得到y=lg(-x)，共同组成y=lg|x|的图象，再将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，即得到y=|lg|x||的图象，如图丙.解析：“由式作图”这是高考中常见的一类的问题，解决这类问题主要是将解析式进行化简，然后与一些熟知的函数图象相联系，通过各种图象变换得到要求的函数图象.另外，还要善于借助解析式，发现函数的性质（如单调性、奇偶性、对称性、周期性等），以此帮助分析函数的图象特征.其基本步骤：①求出函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质；④利用基本函数的图象画出所给函数的图象.例2：解答下列问题。

(1)已知f(x)是定义域为(-∞，0)∪(0,+∞)的奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增,f(x)的图象如右图所示,若x。

[f(x)-f(-x)]<0, 则x的取值范围是_________。

（2）已知直线y=x+m与函数y= 的图象有两个不同的交点，则实数m的取值范围是_________。

解析：函数的图象的应用，主要体现在讨论方程的解的个数问题、求不等式的解集、不等式的恒成立等，注重数、形之间的转化。

四、方法提炼1、作函数图象的常用方法有描点法和变换法,对前者,要注意对函数性质的研究;对后者，要熟悉常见的函数图象及图象的变换法则。

2、“识图”问题,能根据给定的函数图象观察函数的有关性质,如奇偶性、单调性、周期性、最值或极值等。

3、五、课后总结1、一条主线：数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线，也是高考考查的热点．作函数图象首先要明确函数图象的形状和位置，而取值、列表、描点、连线只是作函数图象的辅助手段，不可本末倒置。

两个区别：(1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同，前者是自身对称，且为奇函数，后者是两个不同的函数对称。

(2)一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称也不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数的对称关系。

2、三种途径明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径：(1)图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换。

(2)函数解析式的等价变换。

(3)研究函数的性质。

课后巩固练习一、双基自测1、（1）画出函数)1(),1(),3(),3(||)(ffffxxf--=的图象，并求的值；（2）画出函数的图象1||)(-=xxf；（3）画出函数的图象2||32)(2--=xxxf．【小结】函数|)(|xfy=图象的画法：_____________________________________________。

2、画出下列函数的图象：|1|)(-=x x f （2)|21|)(-=x x f (3)|23|)(2+-=x x x f【小结】函数|)(|x f y =图象的画法：_____________________________________________。

3、试画出函数1)(2+=x x f 的图象，并根据图象回答下列问题： ①比较)3(),1(),2(f f f -的大小；②若的大小。

与试比较)()(,02121x f x f x x <<解：（1）(1)(2)(3)f f f <-<； （2）若120x x <<，则 12()()f x f x <．【变1】若的大小。

与试比较)()(,02121x f x f x x <<【变2】的大小。

与试比较若)()(|,|||2121x f x f x x <解：若120x x <<，则12()()f x f x >； 若12||||x x <，则12()()f x f x <． 【小结】开口向上的二次函数，自变量离对称轴越远其函数值越大。

4、画出下列函数的图象（1）⎩⎨⎧>-≤+=)0(,20(,1)(2x x x x x f ） （2）|3||1|)(-+-=x x x f （3）|3||1|)(---=x x x f ．O yx【小结】分段函数图象的画法_____________________________________________。

5、作函数y ＝x ＋ 1x 的图象。

拓展：作出y ＝ax ＋ b x（a ＞0，b ＞0）的示意图。

6、（1）将函数个单位的图象向左平移12)2(2+-=x y ，再向上平移1个单位，得到的函数解析式为_________________________。

（2）将函数)(x f y =的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数解析式为__________________________。

（3）已知函数)(x f y =的定义域为[a,b],值域为[m,n],则函数)(t x f y +=的定义域为：____________,值域为_______________；函数t x f y +=)(的定义域为____________，值域为_____________。

二、拓展应用1、如图为函数f(x)的图象，那么f(x)是下列函数中的_________。

（填序号）（1）f(x)＝x2－2|x|＋1 ；（2）f(x)＝x2－2|x|＋1；（3）f(x)＝|x2－1|；（4）f(x)＝ x2＋2x ＋1 。

2、若把函数f(x)的图象作平移变换，使图象上的点P(1，0)变换成点Q(2，－1)，则函数y ＝f(x)的图象经此变换后所得图象的函数解析式为_________。

3、若01a <<，则函数5y ax =+的图象不经过_________象限。

4、已知函数(),y f x x R =∈的图象,那么(1),y f x x R =-∈的图象是_________。

（1） （2） （3） （4）5、()f x表示6x-+和2246x x-++中的较小者，则函数()f x的最大值是_________。

6、把函数222y x x=-的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式是_________。

7、已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<+)1(,)1(-1,)1(322xxxxx，x。

(1)画出函数图象；(2)求f{f[f(－2)]}；(3)求当f(x)= －7时，x的值。

解：(1)图象略；(2)f(－2)=2x(－2)+3=－1，f(－1)=( －1)2=1，f(1)=1，所以f{f[f(－2)]}=1。

(3)因为f(x)= －7，所以2x+3=－7，所以x=－5。

8、求函数12y x x=++-的值域。

解：[) 3∞，+9、讨论关于x的方程243()x x a a R-+=∈的实数解的个数。

解：作出函数图像可知：2103,14,010,0a aaaa>=⎧⎪=⎨<<⎪<⎩，或注意结论形式。

10、21x x a+-->的解集为空集，求实数a的范围。

解：a3≥．三、函数图象的应用1、若关于xx m=+有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．提示：换元．解：1m1 2≤<．2、函数y＝1－1x－1的图象是( )．解：将y ＝－1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y ＝1－1x －1的图象． 3、函数y ＝x 13的图象是( )．解：由(－x)13＝－x 13知函数是奇函数．同时由当0＜x ＜1时，x 13＞x ，当x ＞1时，x 13＜x ，知只有B 选项符合．4、已知图①中的图象对应的函数为y ＝f(x)，则图②的图象对应的函数为( )．A ．y ＝f(|x|)B ．y ＝|f(x)|C ．y ＝f(－|x|)D ．y ＝－f(|x|) 解：y ＝f(－|x|)＝⎩⎪⎨⎪⎧ f －x ，x≥0，f x ，x ＜0.4、已知函数f(x)＝|x2－4x ＋3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m|使方程f(x)＝m 有四个不相等的实根}．解：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －22－1， x ∈－∞，1]∪[3，＋∞，－x －22＋1， x ∈1，3，作出图象如图所示．(1)递增区间为[1,2]和[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1]和[2,3]．(2)由图象可知，y ＝f(x)与y ＝m 图象，有四个不同的交点，则0＜m ＜1，∴集合M ＝{m|0＜m ＜1}．方法总结： (1)从图象的左右分布，分析函数的定义域；从图象的上下分布，分析函数的值域；从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．(2)利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，比如判断方程是否有解，有多少个解？数形结合是常用的思想方法．。