分式函数的图像与性质

分式函数的图像与性质1、分式函数的概念形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。

如221x y x x +=+，212x y x +=-，413x y x +=+等。

2、分式复合函数形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。

如22112x xy +=-，sin 23sin 3x y x +=-，y =等。

※ 学习探究 探究任务一：函数(0)by ax ab x=+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像是怎样的？ 例1、画出函数211x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。

【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---，即函数211x y x -=-的图像可以经由函数1y x =的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。

如下表所示：12111211y y y x x x =−−→=−−→=+--右上 由此可以画出函数211x y x -=-的图像，如下：单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞；值域：(,2)(2,)-∞+∞； 对称中心：(1,2)。

【反思】(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？【小结】(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。

分式函数(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像与性质 （1）定义域：{|}dx x c ≠- ；（2）值域：{|}ay y c≠；（3）单调性：单调区间为(,),(,+)d dc c-∞--∞；（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d ac c-；（5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数；（6）图象：如图所示问题2：(0)by ax ab x=+≠的图像是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1y x x=+的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。

【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间，奇偶性，周期性，凸凹性（此点不作要求），关键点坐标（最值点、与坐标轴交点）、辅助线（对称轴、渐近线）。

绘图过程中需综合考虑以上要素，结合逼近与极限思想开展。

解：函数的定义域为：{|0}x x ≠； 根据单调性定义，可以求出1y x x=+的单调区间 增区间：(,1][1,)-∞-+∞ 减区间：[1,0),(0,1]-函数的值域为：(,2][2,)-∞-+∞ 函数的奇偶性：奇函数函数图像的渐近线为：,y x =0x =函数的图像如下：x OyxO y【反思】如何绘制陌生函数的图像？研究新函数性质应从哪些方面入手？ 【小结】分式函数(,0)by ax a b x=+>的图像与性质： （1）定义域：{|0}x x ≠；（2）值域：{|2,2}y y ab y ab ≥≤-或； （3）奇偶性：奇函数； （4）单调性：在区间(,[,+)b ba a-∞∞上是增函数， 在区间,0)b ba a上为减函数； （5）渐近线：以y 轴和直线y ax =为渐近线；（6例3、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1y x x=-的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。

【分析】结合刚才的绘图经验，不难绘制出1y x x=-的图像 解：函数的定义域为：{|0}x x ≠； 根据单调性定义，可以判断出1y x x=-的单调性，单调增区间为：(,0),(0,)-∞+∞xOyy x =xOyy x=1y x=y ax=b ab a-2ab2ab-xOy函数的值域为：R 函数的奇偶性：奇函数函数图像的渐近线为：,y x =0x = 函数的图像如下：【反思】结合刚才的两个例子， 1y x x =--与1y x x=-的图像又是怎样的呢？思考12+y x x =与23y x x =-的图像是怎样的呢？(,,0)by ax a b R ab x=+∈≠的图像呢？函数1y x =--的图像如下，绘制的过程可以根据刚才的绘图经验。

【注】()y x x x x =--=-+，由于()y f x =与()y f x =-的图像关于x 轴对称，所以还可以根据1y x x =+的图像，对称的画出1y x x =--的图像。

同样的道理1y x x =-的图像与1y x x=-的图像关于x 轴对称，所以图像如下：xO yxOyy x=1y x=xOyy x=-x Oyy x=-1y x=-【小结】(,,0)by ax a b R ab x=+∈≠的图像如下： （i ）(0,0)by axa b x=+>>(ii) (0,0)by ax a b x=+>< (iii) (0,0)by ax a b x=+<>(iv) (0,0)by ax a b x=+<<[来源:学+科+网Z+X+X+K] (,,0)by ax a b R ab x=+∈≠的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。

探究任务二：函数22(,,,,,)ax bx cy a b c d e f R dx ex f++=∈++的图像与性质 问题3：函数2211x x y x ++=+的图像是怎样的？单调区间如何？【分析】22212(1)3(1)222(1)3111x x x x y x x x x +++-++===++-+++ 22y x x =+122(1)1y x x −−→=+++左23211x x y x ++−−→=+下 所以2211x x y x ++=+的图像与22y x x=+的图像形状完全相同，只是位置不同。

图像的对称中心为：(1,3)--单调增区间为：(,2][0,)-∞-+∞ 单调减区间为：[2,1),(1,0]--- 值域：(,7][1,)-∞-+∞图像如下：y ax=xOy xOyy ax=【反思】函数2121x y x x +=++的性质如何呢？单调区间是怎样的呢？ 【小结】对于分式函数22(,,,,,)ax bx cy a b c d e f R dx ex f++=∈++而言，分子次数高于分母时，可以采用问题3中的方法，将函数表达式写成部分分式，在结合函数的图像的平移，由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。

对于分子的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为0），再着力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。

如：22111(1)221212(1)311x y x x x x x x x x +===≠-++++++-++二次分式函数具有形式22(,()0)Ax Bx Cy f x Dx A Ex B F++==++不同时为. 我们将要研究它的定义域,值域,单调性,极值.1. 定义域和有界性20Dx Ex F ++=当方程有解,设12122,0(=Dx Ex x x x x F ++≤)是两个根 .则函数定义域12{|}x x x x x ∈≠∧≠R .当122211220,lim 0,lim x x x x Ax Bx C Ax Bx C →→++≠=∞++≠=∞或.此时函数无界.当221122=0=0Ax Bx C Ax Bx C ++++且,函数有界且为常值函数(很少遇到的情况,比如2211x y x -=- ).所以通常当240E DF -≥ ,二次分式函数是无界的.12,x x x x == 是函数的渐近线.当240E DF -<,函数定义域为R .函数有界.2. 单调性,极值,值域当240E DF -<,20Dx Ex F ++≠,可以将函数化为()22=.y Dx Ex F Ax B x x C ++++的方程 .()()2B 0x Dy A x Ey Fy C -+-+-=即.对于值域中的每一个y,方程都有实数解,0,=00,,Dy A Dy A -≠-∆≥当验当证是否有解 .这样就可以求出值域.值域的两个端点(方程的两个解)为函数极大值和极小值.但为了计算在何处取得极值,需将极值代入()()2B 0xDy A x Ey Fy C -+-+-=函数解出x ,计算可能有点慢.下文会给出一个简便的计算方法.lim ()x A f x D →∞=,根据极值与AD的大小即可判断单调区间.240E DF -<这种情况最多有三个单调区间.当240E DF -≥,用判别式法可能会产生增根.此时通常会解出y ∈R .出现这种情况,求解20Dx Ex F ++=和20Ax Bx C ++= .分式可化为一次分式,根据定义去求出这个一次分式值域.比如()()()()2221121311221222x x x x y x x x x x x x x-+-+-+====-≠≠--++-++++且 {}1,0,0.|1x y y y y ==≠≠取所以函数值域且分离变量和换元再用基本不等式求解也是解决二次分式的常规方法,再.下面给出一个具体例子.223325x x x y x +--++=.首先定义域2{|50}x x x -++≠ 解得((111){|(1}22x x x ∧≠≠.分离分子中的二次项得261335x y x x +=-+-++ . 13613,6t t x x -=+=令 .代入得 ()()222135613131151313636136732361367836369y x x x t t tt t t t t =-+-+++=-++-+--+=-+-+-=--+-()013367836369671313,,363666013133678213636967,,3636t y t t t t t x t t y t t t t x t >=--≥--=+--====<+=-+≤-+=--++-===当当当当函数值域(-)∞∞Ç根据2233m2l 35i x x x x x →∞+-++=--, 3<-<1311316262+-<<<可判断出单调区间((((((((1111(-,13),(13,1),(1,+) 66221111(13,1),(1,13)6226∞∞--+++----增区间减区间 共有5个单调区间顺便再算一下函数零点((212113320=3,=366x x x x +---+解得= 有了这些信息,我们很容易画出函数大致图像。