分式函数地图像与性质

二、学习探究
探究任务一：函数 的图像与性质
问题1： 的图像是怎样的？
例1、画出函数 的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
【分析】 ，即函数 的图像可以经由函数 的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示：
由此可以画出函数 的图像，如下：
单调减区间： ；
值域： ；
【变式】求函数 的值域.
例3、已知 在区间 单调递增，求 的取值围.
【分析】先定性分析，再定量研究，借助分类讨论思想展开.
解：当 时， 在区间 显然单调递增；
当 时，结合 的图像与性质，可知函数在区间 单调递增
当 时 在区间 单调递增，所以 ，所以
综上所述，实数 的取值围为 .
【变式】已知 在区间 单调递减，求 的取值围.
1、若 则 的最小值是________．
2、函数 的值域是________．
3、已知 单调递减，数 的取值围。[来源:学|科|网]
4、（1）若函数 的定义域为 ，数 的取值围；
（2）若函数 的值域为 ，数 的取值围。
5、设 ．
（1）当 时，求 的最小值；
（2）当 时，判断 的单调性，并写出 的最小值。
思考 与 的图像是怎样的呢？ 的图像呢？
小结： 的图像如下：
（i） (ii) (iii)
(iv)
的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。
探究任务二：函数 的图像与性质
问题3：例4函数 的图像是怎样的？单调区间如何？
思考：函数 的性质如何呢？单调区间是怎样的呢？
小结：对于分式函数 而言，分子次数高于分母时，可以采用问题3中的方法，将函数表达式写成部分分式，再结合函数的图像的平移，由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。对于分子的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为0），再着力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。如：
例1、若 则 的最小值是__________．
解：由 ，得 [来源:学科网]
【注】此处可以 借助函数 的图像与性质
【变式】若 ，求 的取值围.
例2、求函数 的值域.
解： ，令 ，则
，结合 图像与性质，可知当 时函数单调递减，当 时函数单调递增，又 ，所以
【注】“换元”后必须注意新元的围。“换元法”是转化思想的一个非常重要的途径。
9、设 ．
（1）当 时，求 的最小值；（2）当 时，判断 的单调性，并写出 的最小值。
10、已知函数 的定义域为 （ 为常数）.
（1）证明：当 时，函数 在定义域上是减函数；
（2）求函数 在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时 的值。
11、（1）若函数 的定义域为 ，数 的取值围；
（2）若函数 的值域为 ，数 的取值围。
小结： 的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。
分式函数 的图像与性质：
（1）定义域：； （2）值域：；
（3）单调性： 单调区间为；
（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线，对称中心为点；
（5）奇偶性：当时为奇函数；
（6）图象：如图所示
问题2： 的图像是怎样的？
例2、根据 与 的函数图像，绘制函数 的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。
（2）设常数 ，求函数 的最大值和最小值；
（3）当 是正整数时, 研究函数 的单调性,并说明理由.
9、【08年】已知函数 。
（1）若 ，求 的值；
（2）若 对于 恒成立，数 的取值围。
10、【11年虹口】对于定义域为 的函数 ，如果存在区间 ，同时满足：
① 在 是单调函数；
②当定义域是 时， 的值域也是 ．则称 是该函数的“和谐区间”．
小结：分式函数 的图像与性质：
（1）定义域：；（2）值域：；
（3）奇偶性：；
（4）单调性：在区间上是增函数，
在区间上为减函数；
（5）渐近线：以轴和直线为渐近线；
（6）图象：如右图所示
例3、根据 与 的函数图像，绘制函数 的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。
结合刚才的两个例子，思考 与 的图像又是怎样的呢？
2、不等式 的在 有实数解，则实数 的取值围________．
3、不等式 的在 恒成立，则实数 的取值围________．
4、函数 的值域是______ __．
5、定义在 上函数 ，集合 为实数，且对于任意 ，且存在常数 ，对于任意 ，均有 成立，则称 为函数 在 上的“定下界”．
若 ，则函数 在 上的“定下界” __________．
（5）奇偶性：当 时为奇函数；
（6）图象：如图所示
问题2： 的图像是怎样的？
例2、根据 与 的函数图像，绘制函数 的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。
【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间，奇偶性，周期性，凸凹性（此点不作要求），关键点坐标（最值点、与坐标轴交点）、辅助线（对称轴、渐近线）。绘图过程中需综合考虑以上要素，结合逼近与极限思想开展。
巩固练习：
1、若 则 的最小值是；
2、函数 的值域是；
3、已知 单调递减，则实数 的取值围是；
4、不等式 的在 有实数解，则实数 的取值围是；
5、不等式 的在 恒成立，则实数 的取值围是；
6、已知 在区间 单调递减，求 的取值围是；
7、函数 的值域是
8、定义在 上函数 ，集合 为实数，且对于任意 ，且存在常数 ，对于任意 ，均有 成立，则称 为函数 在 上的“定下界”．若 ，则函数 在 上的“定下界” __________．
【小结】 的图像如下：
（i）
(ii)
(iii)
(iv) [来源:学+科+网Z+X+X+K]
的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。
探究任务二：函数 的图像与性质
问题3：函数 的图像是怎样的？单调区间如何？
【分析】
所以 的图像 与 的图像形状完全相同，只是位置不同。
图像的对称中心为：
单调增区间为：
（4）单调性：在区间 上是增函数，
在区间 上为减函数；
（5）渐近线：以 轴和直线 为渐近线；
（6）图象：如右图所示
例3、根据 与 的函数图像，绘制函数 的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。
【分析】结合刚才的绘图经验，不难绘制出 的图像
解：函数的定义域为： ；
根据单调性定义，可以判断出 的单调性，单调增区间为：
高一数学选修课系列讲座（一）
-----------------分式函数的图像与性质
一、概念提出
1、分式函数的概念
形如 的函数称为分式函数。如 ， ， 等。
2、分式复合函数
形如 的函数称为分式复合函数。如 ， ， 等。
二、学习探究
探究任务一：函数 的图像与性质
问题1： 的图像是怎样的？
例1画出函数 的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
7、已知函数 的定义域为 （ 为常数）.
（1）证明：当 时，函数 在定义域上是减函数；
（2）求函数 在定义域上的最大值及 最小值，并求出函数取最值时 的值．
8、【06年】已知函数 有如下性质：如果常数 ,那么该函数在 上是减函数, 在 上是增函数.
（1）如果函数 在 上是减函数, 在 上是增函数,常数 的值；
（1）求证：函数 不存在“ 和谐区间”．
（2）已知函数 （ ）有“和谐区间” ，当 变化时，求出 的最大值．
（3）易知，函数 是以任一区间 为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的 及形如 的函数为例）
12、已知函数 有如下性质：如果常数 ,那么该函数在 上是减函数，
在 上是增函数。
（1）如果函数 在 上是减函数, 在 上是增函数，常数 的值；
（2）设常数 ，求函数 的最大值和最小值。
分式函数的图像与性质
一、概念提出
1、分式函数的概念
形如 的函数称为分式函数。如 ， ， 等。
2、分式复合函数
形如 的函数称为分式复合函数。如 ， ， 等。
单调减区间为：
值域：
图像如下：
【反思】函数 的性质如何呢？单调区间是怎样的呢？
【小结】对于分式函数 而言，分子次数高于分母时，可以采用问题3中的方法，将函数表达式写成部分分式，在结合函数的图像的平移，由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。对于分子的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为0），再着力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。如：
对称中心： 。
【反思】 的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？
【小结】 的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。
分式函数 的图像与性质
（1）定义域： ；
（2）值域： ；
（3）单调性： 单调区间为 ；
（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线 ，对称中心为点 ；
解：函数的定义域为： ；
根据单调 性定义，可以求出 的单调区间
增区间：
减区间：
函数的值域为：
函数的奇偶性：奇函数
函数图像的渐近线为：
函数的图像如下：
【反思】如何绘制陌生函 数的图像？研究新函数性质应从哪些方面入手？
【小结】分式函数 的图像与性质：
（1）定义域：Βιβλιοθήκη ；（2）值域： ；（3）奇偶性：奇函数；
函数的值域为：
函数的奇偶性：奇函数
函数图像的渐近线为：