一次分式函数
第3章第4节幂函数对勾函数及一次分式函数课件——2025届高考数学一轮总复习
则a的取值范围是( D )
A.(1,2)
B.(-1,2)
C.[1,2)
解析 由于y=
D.[-1,2)
4+
3
=1+ ,所以函数在区间(-∞,-1)上单调递减且y<1,在
+1
+1
(-1,+∞)上单调递减且y>1,又因为当y=2时x=2,因此要使函数在(a,b]上的最
小值为2,应有b=2且-1≤a<2,即a的取值范围是[-1,2),故选D.
R
R
{x|x≥0}
{y|y≥0}
奇函数
非奇非
偶函数
单调
性
在(-∞,0)上单调
在(-∞,0)和
在R上单
在R上单调 在[0,+∞)上
递减,在(0,+∞)
(0,+∞)上单
调递增
递增
单调递增
上单调递增
调递减Βιβλιοθήκη 偶函数y=y=x-1
{x|x≠0}
{y|y≠0}
奇函数
函数
y=x
图象
过定点
(1,1)
y=x2
y=x3
C )
D.4
1+x=t,因为 x∈[2,5],所以 t∈[3,6],
3,+∞)上单调递增,所以函数
区间[3,6]上单调递增,因此函数在 t=3 时取最小值
3
3+3-1=3,故选
3
y=t+ -1
C.
在
(2)(2024·山东潍坊模拟)函数
+
f(x)= 2+5 在[0,2 ]上的值域为
y=
1
2
一次分式型函数(1课时)
一次分式型函数一、 初中相关知识整理1、 函数的概念：在某个变化的过程中，有两个变量y x ,，如果对于x 的每一个确定的值y 都有唯一确定的值，那么就说x y 是的函数，x 叫做自变量。
（)(x f y x y =的函数可以记作是）；2、 函数表示方法：解析法、列表法、图像法；3、 函数)0(≠+=k b kx y 叫作一次函数，图像是一条直线；当0=b 时，函数)0(≠=k kx y 叫作正比例函数，图像是过原点的直线；4、 函数()0≠=k xk y 叫作反比例函数，图像是由两支曲线组成，当0>k 时，图像分布在一、三象限；当0<k 时，图像分布在二、四象限。
二、 目标要求在高中阶段，我们将会进一步讨论反比例函数的性质，将会遇到“一次分式型函数”，我们通过回顾反比例函数，补充“一次分式”函数，利用平移的思想解决一次分式型函数的图像、性质等。
用例题和练习提高解决反比例函数问题的能力。
通过对问题的探究与解决，提高思维能力，培养勇于探索的科学精神。
三、必要补充 反比例函数()0≠=k xk y 的图像是双曲线，以坐标原点为中心（对称中心），坐标轴为渐近线（无限接近，但永不相交）我们可以称函数)0(≠++=a bax d cx y 为一次分式型函数 ()ab x a bc ad a c b ax a bc d b ax a c b ax d cx y +-+=+-++=++=2（分离常数法） ∴函数b ax d cx y ++=，一般可化为()0≠-=-k mx k n y 的形式，其中k n m ,,是常数，令n y y m x x -=-='',，则''xk y =，这是一个反比例函数。
因此，一次分式型函数)0(≠++=a b ax d cx y ，本质上是一个反比例函数，两者的图像，一般只相差一个平移。
四、例题讲解1基本函数作图例1、画出下列函数的图像：（1）xy 3=；（2）x y 4-=（图略） 2、图像平移例2、指出下列函数的平移变换：（1） 由()2122+-==x y x y 到 （2） 由211-==x y x y 到 （3） 由2121--=-=x y x y 到 解：⑴ 向右平移1个单位，向上平移2个单位;⑵ 向右平移2个单位；⑶ 向右平移2个单位，向上平移2个单位例3、请你说明函数232++=x x y 的图象与xy 1=的图象的关系。
一次分式型函数的对称中心
一次分式型函数的对称中心一次分式型函数，即函数的分子和分母都是一次函数的函数表达式。
其一般形式为f(x) = (ax + b)/(cx + d)，其中a、b、c、d为常数，且c和d不能同时为0。
在这篇文章中，我们将讨论一次分式型函数的对称中心及其性质。
我们来定义一次分式型函数的对称中心。
对于一次分式型函数f(x) = (ax + b)/(cx + d)，当满足f(-d/c)存在时，我们称点(-d/c, f(-d/c))为该函数的对称中心。
接下来，我们将讨论一次分式型函数对称中心的性质。
首先，我们可以证明一次分式型函数的对称中心一定在直线x = -d/c上。
这是因为在该直线上，分母为0，但分子不为0，从而可以得到一个有定义的函数值。
对于一次分式型函数f(x) = (ax + b)/(cx + d)，如果它的对称中心存在，那么它一定是该函数的一个不动点，即f(-d/c) = (-d/c, f(-d/c))。
这是因为对称中心的横坐标等于f(x)的自变量x，纵坐标等于f(x)的函数值。
进一步地，我们可以通过函数的图像来观察一次分式型函数的对称中心。
以f(x) = (2x + 1)/(3x + 2)为例，我们可以通过绘制函数的图像来找到其对称中心。
在图像上，我们可以看到一条直线x = -2/3，该直线与函数的图像有一个交点，即对称中心。
这个交点的坐标为(-2/3, -1/3)。
一次分式型函数的对称中心还具有以下性质：1. 对称性：对称中心将函数图像关于直线x = -d/c进行对称。
这意味着当点P(x, y)位于函数图像上时，对称中心A(-d/c, f(-d/c))关于直线x = -d/c的对称点P'也在函数图像上。
2. 不动点性质：对称中心满足f(-d/c) = (-d/c, f(-d/c))，即函数在对称中心处的函数值等于对称中心的坐标。
3. 发散性：对称中心是一次分式型函数的“奇点”，即在对称中心处，函数的值可能趋于无穷大或无穷小。
专题11 一次分式函数
专题11 一次分式函数【方法点拨】1． 一次分函数的定义我们把形如(0,)cx dy a ad bc ax b +=≠≠+的函数称为一次分式函数. 2． 一次分式函数(0,)cx dy a ad bc ax b+=≠≠+的图象和性质（1）图象：.（2）性质：①定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x ；2.3 值域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠a c y y ； ②对称中心：⎪⎭⎫⎝⎛-a c ab ,； ③渐近线方程：b x a =-和cy a=； ④单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)ba-∞-和(,)ba-+∞分别单调递减；当ad<bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)ba-+∞分别单调递增. 【典型例题】例1 设函数)(1)(R x xxx f ∈+-=，区间M=[a ，b ](a <b )，集合N ={M x x f y y ∈=),(}，则使M =N 成立的实数对(a ，b )有几个？【解析】函数f （x ）= (0)11(0)1x x x x xx x x ⎧-≥⎪⎪+-=⎨+⎪-<⎪-⎩其图象如下图所示，由图象可知，y =f （x ）在Ｒ上是连续单调递减函数。
而N =｛y |y =f （x ），x ∈M ｝表示函数定义域为Ｍ＝［a ，b ］时其值域为Ｎ。
由Ｍ＝Ｎ得解得a =b =0，这与a <b 矛盾，所以0个.例2 已知函数2()1ax af x x +-=+，其中a R ∈.(1)当函数()f x 的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a 的值； (2)若函数()f x 在(－1,+∞)上单调递减，求a 的取值范围. 【答案】（1）a ＝3； （2）{}1a a <. 【分析】(1)部分分式2(1)2222()111ax a a x a af x a x x x +-++--===++++ 所以()f x 的对称中心为(－1，a )，与P(－1，3)比较得a ＝3. (2)由2()1ax af x x +-=+知x ＝－1为()f x 的一条渐近线，又由一次分函数的性质知，当且仅当1(2)1a a ⨯->⨯，即a <1时，()f x 在(－1,+∞)上单调递减，故a 的范围是{}1a a <. 点评：一次分式型函数的最常用变形手段“部分分式”（其核心就是分子‘凑’分母），其常用方法有凑配、换元、长除法等.例3 求函数2121x x y -=+的值域.【答案】（－1,1）【分析】令2(0)xt t =>，则2121x x y -=+为11t y t -=+与2(0)x t t =>复合而成而12111t y t t -==-++，故在0t >递增，所以1y >- 又当t →+∞时，1y →故2121x x y -=+的值域是（－1,1）.【巩固练习】1．函数y=432-+x x 的值域 ．2．函数y=432-+x x （21><x x 或）的值域 ．3．函数y=42-+-x x 的对称中心是 ．4．函数y=42-+-x x 的单调增区间是 ．5．已知函数()x f =ax x -+-2，若*∈∀N x ，()()5f x f ≤恒成立，则a 的取值范围是 ．5．若函数2+-=x b x y 在区间()4,+b a 上的值域为()+∞,2，则=ba ______________． 6．记函数)(x f 的定义域为D ，若存在D x ∈0，使()00x x f =成立，则称以()00,y x 为坐标的点是函数)(x f 的图象上的“稳定点”.若函数()ax x x f +-=13的图象上有且只有两个相异的“稳定点”，求实数a 的取值范围.()2-<b【答案与提示】1．【答案】 13y y ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭2．【答案】 ()()2,11,3⋃- 3．【答案】（4，-1）4．【答案】 ()()+∞∞-,4,4, 5．【答案】65<<a 5．【答案】1616．【答案】【解析】由题意：方程x ax x =+-13，即()0132=+-+x a x 有两个不等于-a 的相异实根， ()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≠+--+->--=∆∴01304322a a a a 3115-≠<>⇒a a a 且或.。
一次分式函数
一次分式函数
一次分式函数是一类非常重要的函数，在数学中扮演着非常重要的角色。
它是一个由有理分式组成的连续函数，可以表示为P(x)/Q(x)，其中P、Q是两个多项式。
一次分式函数拥有非常强大的表示能力，它既可以表示连续函数，也
可以表示离散函数。
它是一种图形化函数，因此可以很容易地通过绘
图来理解函数的性质。
它也可以用来分析函数的局部特点，比如极值、拐点和波动性等，从而了解函数的变化趋势。
一次分式函数也可以用来保存数据，它可以把数据表示为函数，从而
可以更精确地描述和分析数据的性质。
因此，一次分式函数也常常被
用来作为数据分析的工具。
一次分式函数也可以用来定义不同的运算操作，比如取余运算、乘方
运算、对数运算和乘法等。
它们对于实现复杂算法有着重要的意义。
总之，一次分式函数在数学中应用广泛，它可以把复杂的数据和运算
表示为一个简单的函数，从而使得精确分析更加容易。
因此，一次分
式函数在数学中扮演着非常重要的角色，不仅在数学学科中，而且在
各种科学和工程领域都有广泛的应用，对人类的发展和进步起着重要
的作用。
分式函数图象(可编辑修改word版)
分式函数在我们的学习中常见到复杂的分式结构的函数式，通常采取“分离”的方法转化成两种主要类型：（1）一次分式型 f (x ) =ax + b cx + d (ad ≠ cb ) ；（2）倒数结构型 f (x ) = ax + b 。
x下面画出两种类型函数的示意图，以便从中看出函数的性质。
一、一次分式型 f (x ) = ax + b(ad ≠ cb )cx + d d a d a图象是以直线 x = - , y = c c （恰为系数之比）为渐近线的双曲线，对称中心(- 2x -1, ) ， 通c c常用代点法确定两支双曲线的位置。
例如： y = y3x + 5的图象如图所示：2 3O- 5 - 1 35y = 23x二、倒数结构型 f (x ) = ax + bx（1） a > 0 且b < 0 时，示意图如下：y- -b- b aaOx此时 f (x ) 为奇函数，分段递增， 当 x > 0(或x < 0) 时， y ∈ R（2） a > 0, b > 0 时，示意图如下：y2 aby = ax可看成以直线 y = ax 与 y 轴为渐近线的双曲线， 两个顶点 A 、B 可由不等式中的均值定理确定， 此时 f (x ) 的单调性、奇偶性、定义域与值域、 对称性可从图中看出结论。
Ob xaB注意：当 a < 0, b > 0 时或 a < 0, b < 0 时，可转化为上述两种。
5一次函数与一次分式型函数
5、一次函数与一次分式型函数一、知识巩固1、一次函数：y=kx+b 为一次函数，其图象是一条直线2、反比例函数xk y =（0≠k ）的图象是双曲线，以坐标原点为中心（对称中心），以坐标轴为渐近线（无限接近，但永不相交）． 我们可以称函数bax d cx y ++=（0≠a ）为一次分式型函数． ∵b ax d cx y ++=b ax a bc d b ax a c +-++=)(ab x a bc ad a c +-+=2， ∴函数b ax d cx y ++=，一般可以化为mx k n y -=-（0≠k ）的形式，其中k n m ,,是常数．令m x x -='，n y y -='，则''x k y =，这是一个反比例函数． 因此，一次分式型函数b ax d cx y ++=（0≠a ），本质上是一个反比例函数．两者的图象，一般只相差一个平移．二、典例分析例1、画出下列函数的图象：（1）12+-=x y ；（2）xy 3=． 例2、函数y=123++x x 的图象可由函数y=x 1的图象通过怎样的变换得到？例3、画出函数212--=x x y 的图象，并说明其定义域、值域单调性与零点。
例4、函数y=1---a x x a 的图象关于点（4，-1）成中心对称，求实数a 的值．三、高考赏析（2012年高考（天津文））已知函数211x y x -=-的图像与函数y kx =的图像恰有两个交点,则实数k 的取值范围是________四、练习提高1、若函数xk y =的图象经过点)5,2(-A ，则函数的图象分布在（ ） （A ）一、四象限 （B ）二、三象限 （C ）一、三象限 （D ）二、四象限 2、若函数22-=x y （A x ∈）的值域为}2|{-<y y ，则A 表示的区间是（ ） （A ）)2,1( （B ）)3,2( （C ）)2,(--∞ （D ）)1,(-∞3、函数y=11+x 图象的对称中心是（ ） （A ）（1，0） （B ）（1，0） （A ）（0，1） （A ）（0，1）4、函数y=1222++x x 中，函数值y 的取值范围是（ ） （A ）1＜y ≤2（B ）y ≤2 （C ）y ≤1 （D ）0＜y ≤2 5、函数212--=x x y 的图象的对称中心是 ． 6．若函数21++=x ax y 在),2(∞+-上是增函数，则实数a 的取值范围是 ． 7．函数y=33-x x 中，函数值y 的取值范围是 。
第九讲++一次分式函数
第九讲 一次分式函数【要点归纳】 形如)0,(不同时为c a dcx b ax y ++=的函数，叫做一次分式函数。
（1）特殊地，)0(≠=k xk y 叫做反比例函数； （2）一次分式函数)0,(不同时为c a d cx b ax y ++=的图象是双曲线，)0(,≠=-=c ca y c d x 是两条渐近线，对称中心为（c a c d ,-）（c ≠0）。
【典例分析】例1 说明函数13+=x x y 的图象可由函数x y 1=的图象经过怎样的平移变换而得到，并指出它的对称中心。
例2 求函数x x y +-=11在-3≤x ≤-2上的最大值与最小值。
例3 将函数xx f 1)(=的图象向右平移1个单位，向上平移3个单位得到函数)(x g 的图象 （1）求)(x g 的表达式；（2）求满足)(x g ≤2的x 的取值范围。
例4 求函数)0(123≥+-=x x x y 的值域。
例5 函数1)(-+=x a x x f ，当且仅当-1＜x ＜1时，0)(<x f （1）求常数a 的值；（2）若方程mx x f =)(有唯一的实数解，求实数m 的值。
例6 已知)0,0(>>=a x xa y 图象上的点到原点的最短距离为6 （1）求常数a 的值；（2）设)0,0(>>=a x xa y 图象上三点A 、B 、C 的横坐标分别是t ，t+2，t+4，试求出最大的正整数m ， 使得总存在正数t ，满足△ABC 的面积等于t m 。
【反馈练习】1、若函数y=2/(x-2)的值域为y≤1/3，则其定义域为_____________。
2、函数312+--=x x y 的图象关于点_____________对称。
3、若直线y=kx 与函数59++=x x y 的图象相切，求实数k 的值。
4、画出函数1||1--=x x y 的图象。
5、若函数21++=x ax y 在(-2，+∞)是增函数，求实数a 的取值范围。
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归纳： 图象向右平移1个单位； 图象向下平移2个单位，等等．
联系和反比例函数的关系
提出问题2：作函数 的图象，并归纳一次型分式函数 图象与函数函数 的图象的关系是什么？
一次分式型函数 （ ），本质上是一个反比例函数．两者的图象，一般只相差一个平移．作函数 的图象可用“二线一点”法． 和 是双曲线的两条渐近线，点 是图象的中心对称点．
学生：反函数法、单调性法、分离系数法等求解，
一题多解
例4已知函数 ，其中 。
(1)当函数 的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a的值及不等式 的解集；
(2)若函数 在(－1,+ )上单调递减，求a的取值范围.
通过例题体会综合考查一次分式函数图象和性质的应用
7、教学评价设计：一次分式函数问题在高考试题中频繁出现，尤其是在近几年，各地实行自主命题后，高考试题更是百花齐放，一次分式函数试题的出现频率就更高。但不管怎样，只要我们抓住了其性质，一次分式函数问题就可迎刃而解。这样的补充课是及时有用的。
激发学习兴趣，形成积极主动的学习方式;突出数学的人文价值，提高数学文化品味;注重构建学生共同的知识基础；让学生成为课堂学习的主体，教师成为课堂上的主持人，把思考，讨论，研究的时间还给学生，让教师成为独具慧眼的发现者，善于发现学生的长处，成为学生的热情观众，精彩时报以掌声，给予充分的肯定，失误时，评论切磋，提出中肯的意见。
对于一次型分式函数 图像作法有几步？
（1）先确定x与y的取值范围： ， ，即找到双曲线的渐近线 ， ；
（2）再取与一个坐标轴的交点确定图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”；
（3）根据双曲线的大致形状画出函数的图象
归纳总结
例3.（考查一次分函数的定义域和值域）求函数y= 的值域.
提出问题5：本题还可用什么方法来求解呢？
课题：
一次分式函数 的性质和应用
科目
高中数学
教学对象
高一
课时
1
提供者
魏月淑
单位
长治学院附属太行中学
一、教学目标知识与技能：
1．通过对反比例函数图象的研究，理解图像平移；
2．掌握用“二线一点”法作一次分式型函数的图象；
3．掌握综合灵活运用一次分式函数的图像和性质解决问题。
过程与方法：
引入，剖析、定义一次分式函数的过程，启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索一次分式函数的性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣.
（2）当ad>bc时，图象的两个分支分别位于新坐标系的一、三象限；当ad<bc时，图象的两个分支分别位于新坐标系的二、四象限。
结论一般化
提出问题3：根据一次分函数的大致图象，归纳有哪些性质？（分组讨论）
自主合作学习
例1．（“二线一点”法作图探究）已知函数 ．
（1）作函数的图象；
例题讲解
提出问题4：对于一次型分式函数 图像作法有几步？
情感、态度与价值观：通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法，提高学生的学习能力养成积极主动，勇于探索，不断创新的学习习惯和品质，树立学科学，爱科学，用科学的精神.
2、教学内容及模块整体分析:函数图象问题是历年高考的必考内容,在近几年的高考试题中再现率很高。一次分函数的图像和性质在现行高中教材中未作专门介绍，而一次分式函数的图象综合了平移变换和伸缩变换,有时还涉及到对称变换,所以一直被高考命题者看好。本课时对一次分式函学生的学习和高中教师的教学有所帮助。
八、板书设计
一次分式函数 的性质和应用
一，定义四，例1作图的步骤“两线一点”
例2
二，与反比例函数的关系例3
三，性质
三、学情分析:在教师的组织,点拨,引导作用下,通过学生积极思考,大胆想象,总结规律,自己不能解决的问题通过小组讨论解决,充分发挥他们的主体作用,让学生置身于提出问题﹑思考问题﹑解决问题的动态过程中。
四、教学策略选择与设计:１、本节课采用的教学方法有：启发发现法、课堂讨论法
２、采用这些方法的理论根据：新课程标准要求我们在教学中应充分体现“教师为主导，学生为主体”这一教学原则。为了调动学生学习的积极性，使学生变被动学习为主动愉快的学习。利用几何画板让学生对一次分式函数的图象有直观认识。采用小组讨论法使学生概括出它的性质，采用点拨启发让学生解题会用图像和性质。
五、教学重点及难点【教学重点】
掌握用“二线一点”法作一次分式型函数的图象综合灵活运用其性质．
【教学难点】
理解反比例函数和一次分式型函数之间的图像平移。
六、教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
1．学生谈对反比例函数 的认识
复习回顾
引入课题
提出问题1：类比函数 的图象到函数 的图象的变换，
指出 由的图象怎样变换到 的图象，并作出