一次分式函数
一次分式型函数(1课时)
一次分式型函数一、 初中相关知识整理1、 函数的概念：在某个变化的过程中，有两个变量y x ,，如果对于x 的每一个确定的值y 都有唯一确定的值，那么就说x y 是的函数，x 叫做自变量。
（)(x f y x y =的函数可以记作是）；2、 函数表示方法：解析法、列表法、图像法；3、 函数)0(≠+=k b kx y 叫作一次函数，图像是一条直线；当0=b 时，函数)0(≠=k kx y 叫作正比例函数，图像是过原点的直线；4、 函数()0≠=k xk y 叫作反比例函数，图像是由两支曲线组成，当0>k 时，图像分布在一、三象限；当0<k 时，图像分布在二、四象限。
二、 目标要求在高中阶段，我们将会进一步讨论反比例函数的性质，将会遇到“一次分式型函数”，我们通过回顾反比例函数，补充“一次分式”函数，利用平移的思想解决一次分式型函数的图像、性质等。
用例题和练习提高解决反比例函数问题的能力。
通过对问题的探究与解决，提高思维能力，培养勇于探索的科学精神。
三、必要补充 反比例函数()0≠=k xk y 的图像是双曲线，以坐标原点为中心（对称中心），坐标轴为渐近线（无限接近，但永不相交）我们可以称函数)0(≠++=a bax d cx y 为一次分式型函数 ()ab x a bc ad a c b ax a bc d b ax a c b ax d cx y +-+=+-++=++=2（分离常数法） ∴函数b ax d cx y ++=，一般可化为()0≠-=-k mx k n y 的形式，其中k n m ,,是常数，令n y y m x x -=-='',，则''xk y =，这是一个反比例函数。
因此，一次分式型函数)0(≠++=a b ax d cx y ，本质上是一个反比例函数，两者的图像，一般只相差一个平移。
四、例题讲解1基本函数作图例1、画出下列函数的图像：（1）xy 3=；（2）x y 4-=（图略） 2、图像平移例2、指出下列函数的平移变换：（1） 由()2122+-==x y x y 到 （2） 由211-==x y x y 到 （3） 由2121--=-=x y x y 到 解：⑴ 向右平移1个单位，向上平移2个单位;⑵ 向右平移2个单位；⑶ 向右平移2个单位，向上平移2个单位例3、请你说明函数232++=x x y 的图象与xy 1=的图象的关系。
一次分式型函数的对称中心
一次分式型函数的对称中心一次分式型函数，即函数的分子和分母都是一次函数的函数表达式。
其一般形式为f(x) = (ax + b)/(cx + d)，其中a、b、c、d为常数，且c和d不能同时为0。
在这篇文章中，我们将讨论一次分式型函数的对称中心及其性质。
我们来定义一次分式型函数的对称中心。
对于一次分式型函数f(x) = (ax + b)/(cx + d)，当满足f(-d/c)存在时，我们称点(-d/c, f(-d/c))为该函数的对称中心。
接下来，我们将讨论一次分式型函数对称中心的性质。
首先，我们可以证明一次分式型函数的对称中心一定在直线x = -d/c上。
这是因为在该直线上，分母为0，但分子不为0，从而可以得到一个有定义的函数值。
对于一次分式型函数f(x) = (ax + b)/(cx + d)，如果它的对称中心存在，那么它一定是该函数的一个不动点，即f(-d/c) = (-d/c, f(-d/c))。
这是因为对称中心的横坐标等于f(x)的自变量x，纵坐标等于f(x)的函数值。
进一步地，我们可以通过函数的图像来观察一次分式型函数的对称中心。
以f(x) = (2x + 1)/(3x + 2)为例，我们可以通过绘制函数的图像来找到其对称中心。
在图像上，我们可以看到一条直线x = -2/3，该直线与函数的图像有一个交点，即对称中心。
这个交点的坐标为(-2/3, -1/3)。
一次分式型函数的对称中心还具有以下性质：1. 对称性：对称中心将函数图像关于直线x = -d/c进行对称。
这意味着当点P(x, y)位于函数图像上时，对称中心A(-d/c, f(-d/c))关于直线x = -d/c的对称点P'也在函数图像上。
2. 不动点性质：对称中心满足f(-d/c) = (-d/c, f(-d/c))，即函数在对称中心处的函数值等于对称中心的坐标。
3. 发散性：对称中心是一次分式型函数的“奇点”，即在对称中心处，函数的值可能趋于无穷大或无穷小。
一次分式函数
归纳： 图象向右平移1个单位； 图象向下平移2个单位，等等．
联系和反比例函数的关系
提出问题2：作函数 的图象，并归纳一次型分式函数 图象与函数函数 的图象的关系是什么？
一次分式型函数 （ ），本质上是一个反比例函数．两者的图象，一般只相差一个平移．作函数 的图象可用“二线一点”法． 和 是双曲线的两条渐近线，点 是图象的中心对称点．
学生：反函数法、单调性法、分离系数法等求解，
一题多解
例4已知函数 ，其中 。
(1)当函数 的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a的值及不等式 的解集；
(2)若函数 在(－1,+ )上单调递减，求a的取值范围.
通过例题体会综合考查一次分式函数图象和性质的应用
7、教学评价设计：一次分式函数问题在高考试题中频繁出现，尤其是在近几年，各地实行自主命题后，高考试题更是百花齐放，一次分式函数试题的出现频率就更高。但不管怎样，只要我们抓住了其性质，一次分式函数问题就可迎刃而解。这样的补充课是及时有用的。
激发学习兴趣，形成积极主动的学习方式;突出数学的人文价值，提高数学文化品味;注重构建学生共同的知识基础；让学生成为课堂学习的主体，教师成为课堂上的主持人，把思考，讨论，研究的时间还给学生，让教师成为独具慧眼的发现者，善于发现学生的长处，成为学生的热情观众，精彩时报以掌声，给予充分的肯定，失误时，评论切磋，提出中肯的意见。
对于一次型分式函数 图像作法有几步？
（1）先确定x与y的取值范围： ， ，即找到双曲线的渐近线 ， ；
（2）再取与一个坐标轴的交点确定图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”；
（3）根据双曲线的大致形状画出函数的图象
归纳总结
例3.（考查一次分函数的定义域和值域）求函数y= 的值域.
分式函数的知识点总结
分式函数的知识点总结1. 分式函数的定义分式函数是由一个多项式除以另一个多项式得到的函数。
一般形式为$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$。
分式函数的定义域为使得分母不等于0的所有实数。
2. 分式函数的图像特点分式函数的图像通常表现为一个有限个数的部分，因为当$x$趋向于正无穷或负无穷时，分式函数的值趋向于一个有限值。
分式函数的图像通常表现为一个曲线，具有上下两个分支。
图像的特点主要有：- 在分式函数的图像中，通常会出现垂直渐近线。
- 当$c$的绝对值大于$a$的绝对值时，图像会有水平渐近线。
3. 分式函数的性质分式函数具有一些特殊的性质，包括：- 单调性：当分式函数中的常数$a$和$c$同号时，函数是单调的；当$a$和$c$异号时，函数是非单调的。
- 零点：分式函数的零点为使得分子为0的$x$的值。
- 渐近线：分式函数的图像通常会有水平、垂直渐近线。
4. 分式函数的化简分式函数的化简是将分式函数写成最简形式的过程。
化简分式函数主要有以下几种方法：- 因式分解法：将分子和分母进行因式分解，然后约去相同的因式。
- 通分法：将分子分母通分，然后化简。
- 乘除法：将分子分母乘除以某个数进行化简。
- 合并同类项：将分子分母中的同类项相加或相减。
5. 分式函数的应用分式函数在数学中有着广泛的应用，主要包括以下几个方面：- 实际问题中的建模：分式函数可以用来描述一些实际问题中的关系，如人口增长模型、投资回报模型等。
- 函数的性质分析：分式函数可以用来分析函数的单调性、零点等性质。
- 数据的处理和分析：分式函数可以用来对数据进行处理和分析，如拟合曲线、数据的归一化等。
6. 分式函数的解法分式函数的解法主要包括以下几种方法：- 化简分式函数：将分式函数进行化简，使得求解更加方便。
- 求解零点：求解分式函数的零点，即使得分式函数的值为0的$x$的值。
- 利用性质求解：利用分式函数的性质，如单调性、渐近线等，对分式函数进行求解。
5一次函数与一次分式型函数
5、一次函数与一次分式型函数一、知识巩固1、一次函数：y=kx+b 为一次函数，其图象是一条直线2、反比例函数xk y =（0≠k ）的图象是双曲线，以坐标原点为中心（对称中心），以坐标轴为渐近线（无限接近，但永不相交）． 我们可以称函数bax d cx y ++=（0≠a ）为一次分式型函数． ∵b ax d cx y ++=b ax a bc d b ax a c +-++=)(ab x a bc ad a c +-+=2， ∴函数b ax d cx y ++=，一般可以化为mx k n y -=-（0≠k ）的形式，其中k n m ,,是常数．令m x x -='，n y y -='，则''x k y =，这是一个反比例函数． 因此，一次分式型函数b ax d cx y ++=（0≠a ），本质上是一个反比例函数．两者的图象，一般只相差一个平移．二、典例分析例1、画出下列函数的图象：（1）12+-=x y ；（2）xy 3=． 例2、函数y=123++x x 的图象可由函数y=x 1的图象通过怎样的变换得到？例3、画出函数212--=x x y 的图象，并说明其定义域、值域单调性与零点。
例4、函数y=1---a x x a 的图象关于点（4，-1）成中心对称，求实数a 的值．三、高考赏析（2012年高考（天津文））已知函数211x y x -=-的图像与函数y kx =的图像恰有两个交点,则实数k 的取值范围是________四、练习提高1、若函数xk y =的图象经过点)5,2(-A ，则函数的图象分布在（ ） （A ）一、四象限 （B ）二、三象限 （C ）一、三象限 （D ）二、四象限 2、若函数22-=x y （A x ∈）的值域为}2|{-<y y ，则A 表示的区间是（ ） （A ）)2,1( （B ）)3,2( （C ）)2,(--∞ （D ）)1,(-∞3、函数y=11+x 图象的对称中心是（ ） （A ）（1，0） （B ）（1，0） （A ）（0，1） （A ）（0，1）4、函数y=1222++x x 中，函数值y 的取值范围是（ ） （A ）1＜y ≤2（B ）y ≤2 （C ）y ≤1 （D ）0＜y ≤2 5、函数212--=x x y 的图象的对称中心是 ． 6．若函数21++=x ax y 在),2(∞+-上是增函数，则实数a 的取值范围是 ． 7．函数y=33-x x 中，函数值y 的取值范围是 。
第九讲++一次分式函数
第九讲 一次分式函数【要点归纳】 形如)0,(不同时为c a dcx b ax y ++=的函数，叫做一次分式函数。
（1）特殊地，)0(≠=k xk y 叫做反比例函数； （2）一次分式函数)0,(不同时为c a d cx b ax y ++=的图象是双曲线，)0(,≠=-=c ca y c d x 是两条渐近线，对称中心为（c a c d ,-）（c ≠0）。
【典例分析】例1 说明函数13+=x x y 的图象可由函数x y 1=的图象经过怎样的平移变换而得到，并指出它的对称中心。
例2 求函数x x y +-=11在-3≤x ≤-2上的最大值与最小值。
例3 将函数xx f 1)(=的图象向右平移1个单位，向上平移3个单位得到函数)(x g 的图象 （1）求)(x g 的表达式；（2）求满足)(x g ≤2的x 的取值范围。
例4 求函数)0(123≥+-=x x x y 的值域。
例5 函数1)(-+=x a x x f ，当且仅当-1＜x ＜1时，0)(<x f （1）求常数a 的值；（2）若方程mx x f =)(有唯一的实数解，求实数m 的值。
例6 已知)0,0(>>=a x xa y 图象上的点到原点的最短距离为6 （1）求常数a 的值；（2）设)0,0(>>=a x xa y 图象上三点A 、B 、C 的横坐标分别是t ，t+2，t+4，试求出最大的正整数m ， 使得总存在正数t ，满足△ABC 的面积等于t m 。
【反馈练习】1、若函数y=2/(x-2)的值域为y≤1/3，则其定义域为_____________。
2、函数312+--=x x y 的图象关于点_____________对称。
3、若直线y=kx 与函数59++=x x y 的图象相切，求实数k 的值。
4、画出函数1||1--=x x y 的图象。
5、若函数21++=x ax y 在(-2，+∞)是增函数，求实数a 的取值范围。
一次分式型函数
一次分式型函数
一、课前准备：
1．一次分函数的定义
我们把形如 的函数称为一次分函数。
2．一次分函数的图象是双曲线
3.一次分函数 的性质
①．定义域： ；②．值域： ；
③．对称中心： ；④．渐近线方程： 和 ；
⑤．对称轴方程： 和
⑥单调性：当ad>bc时，函数在区间 和 分别单调递减；
当ad<bc时，函数在区间 和 分别单调递增；
7.函数 （ ），则 的值域是________．
8．函数y= 的值域．
9．函数y= （ ）的值域．
10．函数y= 的对称中心是．
11．函数y= 的单调增区间是．
12．若函数 在区间 上的值域为 ，则 __________．
13.若函数 的图象关于直线y＝x对称，则实数a＝.
2．．熟练掌握分离常数法，并会用图象的平移作一次分式型函数的图象
步骤：先用分离常数法将函数解析式化为 ，再由 图象平移得到．
例．作函数 的图象，
练习：作函数的图象： ． ．
1．函数 的图象是．
．函数 的单调增区间是．
5．函数 的对称中心是．
6.函数 （ ），则 的值域是________．
二、教学目标
1．会用“二线一点”法作一次分式型函数的图象
步骤：（1）先确定x与y的取值范围： ， ，即找到双曲线的渐近线 ， ；（2）再取与一个坐标轴的交点确定图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”；
或当ad>bc时，在“一、三象限”；当ad<bc时，在“二、四象限”。
（3）根据双曲线的大致形状画出函数的图象．
一次分式函数
是
．
6．设曲线 y x 1 在点（3，2）处的切线与直线 ax y 1 0 垂直，则 a=
．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 1
7．若函数 y x b 在区间 a,b 4 b 2 上的值域为 2,，则 ab _____________．
x2
8．若函数 f (x) x 1 ，则函数 gx f 4x x 的零点是______________．
x3
（ 3） 已 知 函 数 f x 2x 1 ， 若 x N ， f x f 5恒 成 立 ， 则 a 的 取 值 范 围
xa
是
．
（4）若函数
f
(x)
2x
1
的图象关于直线
y＝x
对称，则实数
a＝
.
x a
【例
2】设 函 数
f
(x)
x 1 x
(x R)
，区 间
M=[a，b](a<b)，集 合
N={
y
y
f (x), x M
}，
则使 M=N 成立的实数对(a，b)有几个？
【例 3】已知函数 f (x) ax 2 a ，其中 a R 。 x 1
(1)当函数 f (x) 的图象关于点 P(－1，3)成中心对称时，求 a 的值及不等式 f (x) x 1
的解集；
(2)若函数 f (x) 在(－1,+ )上单调递减，求 a 的取值范围.
a
( b , c ) aa
xb a
o y cx a
ad bc
2.2
定义域：
x
x
b a
；
2.3 值域： y
y
c ；
a
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苏州市学案
一、课前准备：
【自主梳理】
1．一次分函数的定义
我们把形如y cx d (a ax b 2．一次分函数的图象和性质y cx d ( a 0, ad bc ) ax b
2.1 图象：其图象如图所示
.
y
x
b
a
b c o x
(, )
a a
ax+b
一次分式型函数y = cx+d (x∈D) 0, ad bc) 的函数称为一次分函数。
y
o c x
y
a
y c b c
( , )
a
ad bc
a a
x b
ad
bc
a
2.2 定义域：2.3 值域：x x
b
；
a y y
c
；
a
2.4 对称中心：b ,
c；
a a
2.5 渐近线方程： x b和 y c ；
a a
2.6 单调性：当 ad>bc 时，函数在区间
( ,
b ) 和
(
b , ) 分别单调递减；
当
ad<bc 时，
函
b) 和 ( b
,
a a
数在区间
( ,
) 分别单调递
增；
a a
【自我检测】
1．函数 y 1
1
．的图象是
x 1
y y y y 1 1 1
1 O
1
x
O
1
-1
O x
-1 O x
x
(A) (B) (C) (D) 2．函数 f ( x)
3x 1
的定义域是 ．
1 x x x 1
3．
y
0 的值域是 ． x 4．函数 f
( x)
2x 1
的单调增区间是 ． x 3
5．函数 f
( x)
2x 1
的对称中心是 ． x 3
6．函数 f ( x) x 是
函数．（填 “奇 ”“偶 ”“非奇非
偶 ”）
x
二、课堂活动：
【例 1】填空题：
（ 1）函数 f
( x)
2x 1
（ x 2,5 ），则 f x 的值域是 ________． x 3
（ 2）函数 f
( x)
2x 1
（ x 5, 4 (2,5) ），则 f x 的值域是 ________． x 3
（ 3）已知函数 f
x
2x 1
，若 x N ， f x f 5 恒成立，则 a 的取值范围是 ． x a （ 4）若函数 f
(x) 2x 1
的图象关于直线 y ＝ x 对称，则实数 a ＝
.
x a
2 】（ 2004 年 江 苏 ） 设 函 数 f ( x) x
【
例
(x R) ， 区 间 M=[a ， b](a<b) ，
集 合
1 x
N={ y y f (x), x M } ，则使 M=N 成立的实数
对 (a ， b)有几个？
【例 3】已知函数 f
( x) ax 2 a，其中 a R 。
x 1
(1)当函数 f ( x) 的图象关于点P(－ 1，3)成中心对称时，求 a 的值及不等式
f ( x)
x 1的
解
集；
(2)若函数f ( x) 在 (－ 1,+ )上单调递减，求 a 的取值范围 .
课堂小结
高考试题对一次分式函数的考查，主要体现在对一次分式函数图象的识别和性质的应用上。
因此，抓住了以上七个方面的内容，也就抓住了解决一次分式函数试题的要害，也就能有效地解决一次分式函数问题。
三、课后作
业
1．函数 y= x 2
的值域 ．
3x 4
2．函数 y= x 2
（ x 1或 x
2 ）的值域
． 3x 4
3．函数 y= x
2
的对称中心是
． x 4
4．函数 y= x 2 的单调增区间是 ．
x 4 5．已知函数 f x = x 2
，若若 x N ， f x f 5 恒成立，则 a 的取值范围
是 ．
x 1 x a
6．设曲线 y 在点（ 3， 2）处的切线与直
线 ax y 1 0 垂直，则 a= ．
x 1 7．若函数
y
x b 在区间 a,b 4 b 2 上的值域为 2, ，则 a b
______________ ． x 2
x 1
4x x 的零点是 ______________ ．
8．若函数 f (x) ，则函数 g x f x 9．记函数 f (x) 的定义域为 D ，若存在 x 0 D ，使 f x 0 x 0 成立，则称以 x 0 , y 0 为坐标的 点是函数 f ( x) 的图象上的 “稳定点 ”。
若函数 f x 3x 1
的图象上有且只有两个相异的 “稳定 x a
点 ”，求实数 a 的取值范围。
10．已知函数 f x x 1 a (x a),
a x
（ 1）证明：对定义域内的所
有x，都有 f 2a x f x 2 0 。
（ 2）当 f
x 的定义域为 a 1 , a 1 时，求 f x 的值域。
2
四、纠错分析
题号错题原因分析
错
题
卡
答 案 ：【 自 我 检 测 】 1 ． B
2 ．
x x1
3 ． y y1 4．
, 3 , 3, 5． （ -3，
2）
例
1． （ 1）
5, 9 （ 2） 3
, 9
11,9
8 5 8
2 （ 3） 5 a 6（ 4） a ＝－
2.
y
x
0)
x 1 ( x
例 2． 分析：函数 f
（ x ） = - x
O x
1 x x
( x
0)
1 x
其图象如右图所示，由图象可
知，
y=f （ x ）在Ｒ上是连续单调递减函数。
而 N= ｛ y|y=f （ x ）， x ∈ M ｝表示函数定义域为Ｍ＝［ a ， b ］时其值域为Ｎ。
由Ｍ＝Ｎ得解得 a=b=0，这与 a<b 矛盾，
所以 0 个 .
点评：本题考查了一次分式函数、分段函数的解析式、单调性和函数的定义域、值
域与集合等知识。
解题过程是由定义域与值域相等的特性建立方程，考查方程的思想和创新能力。
其中，函数大致图象的作出起到了关键作用。
例 3 分析： (1)函数 f ( x) ax 2
a
的对称中心为 (－1， a)，与 P(－ 1， 3)比
较得 a
x 1
＝ 3。
此时 f ( x)
3x 1
，不等式 f ( x) x 1，即 3x
1 x 1
3x 1 ( x 1) 0 x(x 3) x 1 x
1
x 1
x(x 1)( x 30 0 ，由序轴标根法即得解集为 x x 1或 0 x 3 ；
x 0
1 (2)由 f ( x) ax
2 a
知 x ＝ -1 为 f ( x) 的一条渐近线， 又由一次分函数的性质 2.6 知，当
x 1
且仅当 1 (2 a) 1 a ，即 a<1 时， f ( x) 在 (－
1,+ )上单调递减，故 a 的范围是 a a 1 。
三、课后作业
1
1．
y y
3 2．3,1 1,2 3．（4， -1）4．,
4 , 4,
5． 5 a 6
6．-2
1
7．
16
1
8．
2
3x 1
9．解：由题意：方程
x a
2
x ，即 x 2 a 3 x 1 0有两个不等于 -a 的相异实根，
a 3 4 0
a 2 a 3 a 1 0 a 5或 a 1且
a
1
3
10．（1）略（ 2）
f x x 1 a 1 1， f x 在 a 1
,a 1 上单调递增，
所
a x x a 2
以 f x 的值域
为3, 1 。