一次分式型函数学案

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分式方程应用学案

§11.5.2可化为一元一次方程的分式方程的应用（一）一、学习目标：使学生掌握合理设置未知数，确立等量关系，列出方程的一般步骤；培养学生应用多种方法分析数量关系，从多种角度思考问题的意识.二、自主学习1、解应用题的一般步骤：_________________________________________________________________________________2、设甲车的速度为每小时x km(1) 乙车比甲车每小时少行驶10 km，则行驶100 km的路程甲车用____h乙车用_____h甲车比乙车少用_____h.（2）若甲车的速度是乙车的速度1.2倍。

则行驶s km乙车比甲车少用_____h.(3) 若甲车2h行驶的路程乙车需要行驶3h则乙车的速度是__________km／h3 一项工作由甲、乙合作需t小时完成,若甲单独做需s小时完成,则乙单独完成这项工作所需时间是三例题与练习1、远大中学组织学生到离学校15千米的郊区进行社会调查，一部分同学骑自行车前往，另一部分同学在骑自行车的同学出发40分钟后，乘汽车沿相同路线行进，结果骑自行车的与乘汽车的同学同时到达目的地。

已知汽车速度是自行车速度的3倍，求自行车和汽车的速度.2、为了缓解交通拥挤现象，某市决定修一条轻轨铁路，为使工程提前2个月完成，在保证质量的前提下，必须把工程效率提高10%，问原计划完成这项工程用多少个月？四、练习与检测3、远大中学组织学生到离学校15千米的郊区进行社会调查，一部分同学骑自行车前往，另一部分同学在骑自行车的同学出发25分钟后乘汽车沿相同路线行进，结果乘汽车的同学反而先到15分钟”4、小明家要装修一套房子，若由甲、乙两个装修公司合作需6周完成；若由甲公司做6周后剩下的工程由乙公司来做，则还需9周才能完成。

小明家向选一家公司来做，请你帮小明家分析一下，，若两家的工程质量一样，从装修的时间比较少来考虑，选择哪家公司更合适。

一次分式型函数(1课时)

一次分式型函数一、初中相关知识整理1、函数的概念：在某个变化的过程中，有两个变量y x ,，如果对于x 的每一个确定的值y 都有唯一确定的值，那么就说x y 是的函数，x 叫做自变量。

（)(x f y x y =的函数可以记作是）；2、函数表示方法：解析法、列表法、图像法；3、函数)0(≠+=k b kx y 叫作一次函数，图像是一条直线；当0=b 时，函数)0(≠=k kx y 叫作正比例函数，图像是过原点的直线；4、函数()0≠=k xk y 叫作反比例函数，图像是由两支曲线组成，当0>k 时，图像分布在一、三象限；当0<k 时，图像分布在二、四象限。

二、目标要求在高中阶段，我们将会进一步讨论反比例函数的性质，将会遇到“一次分式型函数”，我们通过回顾反比例函数，补充“一次分式”函数，利用平移的思想解决一次分式型函数的图像、性质等。

用例题和练习提高解决反比例函数问题的能力。

通过对问题的探究与解决，提高思维能力，培养勇于探索的科学精神。

三、必要补充反比例函数()0≠=k xk y 的图像是双曲线，以坐标原点为中心（对称中心），坐标轴为渐近线（无限接近，但永不相交）我们可以称函数)0(≠++=a bax d cx y 为一次分式型函数 ()ab x a bc ad a c b ax a bc d b ax a c b ax d cx y +-+=+-++=++=2（分离常数法） ∴函数b ax d cx y ++=，一般可化为()0≠-=-k mx k n y 的形式，其中k n m ,,是常数，令n y y m x x -=-='',，则''xk y =，这是一个反比例函数。

因此，一次分式型函数)0(≠++=a b ax d cx y ，本质上是一个反比例函数，两者的图像，一般只相差一个平移。

四、例题讲解1基本函数作图例1、画出下列函数的图像：（1）xy 3=；（2）x y 4-=（图略） 2、图像平移例2、指出下列函数的平移变换：（1）由()2122+-==x y x y 到（2）由211-==x y x y 到（3）由2121--=-=x y x y 到解：⑴ 向右平移1个单位，向上平移2个单位;⑵ 向右平移2个单位；⑶ 向右平移2个单位，向上平移2个单位例3、请你说明函数232++=x x y 的图象与xy 1=的图象的关系。

一次分式函数

函数的图象？
归纳：图象向右平移1个单位；图象向下平移2个单位，等等．
联系和反比例函数的关系
提出问题2：作函数的图象，并归纳一次型分式函数图象与函数函数的图象的关系是什么？
一次分式型函数（），本质上是一个反比例函数．两者的图象，一般只相差一个平移．作函数的图象可用“二线一点”法．和是双曲线的两条渐近线，点是图象的中心对称点．
学生：反函数法、单调性法、分离系数法等求解，
一题多解
例4已知函数，其中。
(1)当函数的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a的值及不等式的解集；
(2)若函数在(－1,+ )上单调递减，求a的取值范围.
通过例题体会综合考查一次分式函数图象和性质的应用
7、教学评价设计：一次分式函数问题在高考试题中频繁出现，尤其是在近几年，各地实行自主命题后，高考试题更是百花齐放，一次分式函数试题的出现频率就更高。但不管怎样，只要我们抓住了其性质，一次分式函数问题就可迎刃而解。这样的补充课是及时有用的。
激发学习兴趣，形成积极主动的学习方式;突出数学的人文价值，提高数学文化品味;注重构建学生共同的知识基础；让学生成为课堂学习的主体，教师成为课堂上的主持人，把思考，讨论，研究的时间还给学生，让教师成为独具慧眼的发现者，善于发现学生的长处，成为学生的热情观众，精彩时报以掌声，给予充分的肯定，失误时，评论切磋，提出中肯的意见。
对于一次型分式函数图像作法有几步？
（1）先确定x与y的取值范围：，，即找到双曲线的渐近线，；
（2）再取与一个坐标轴的交点确定图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”；
（3）根据双曲线的大致形状画出函数的图象
归纳总结
例3.（考查一次分函数的定义域和值域）求函数y= 的值域.

分式的学案5

【学习课题】第8课时解分式方程（二）——可化为一元一次方程的分式方程解法【学习目标】1.掌握解分式方程的一般步骤；2.了解分式方程验根的必要性；3.进一步强化数学的“转化”思想。

【学习重点】掌握解分式方程的一般步骤，明确解分式方程验根的必要性。

【学习难点】明确解分式方程验根的必要性。

一、学习准备1.当x= 时，分式2+x x 无意义。

2.当x= 时分式392+-x x 的值为。

3.2x 1+x x 与的公分母；4x 222-+与x x 的公分母。

二、教材解读与挖掘 1.例一：回忆一元一次方程的解法，解方程6242325213--=++-x x x 解：6242325213--=++-x x x 第一步，去分母：方程两边同时乘以分母的最小倍数6得：第二步，去括号得：第三步，移项，合并得：第四步，化x 的系数为1得：【解后反思】本题的易错点：例二：模仿例一的解法及步骤，解方程xx 321=- 第一步，去分母：第二步，去括号：第三步，移项，合并：第四步，化x 的系数为1：【解后反思】这样解出的x 是方程x x 321=-的解吗？你怎样检验？【试一试】解分式方程452600x 480=-x例三：解分式方程23132--=--xx x 第一步：第二步：第三步：第四步：第五步，检验：【解后反思】解出来的x 是方程23132--=--xx x 的解吗，为什么？一、方程x +=35x 7的解是x= 二、若关于x 的分式方程313292-=++-x x x m 有增根，则增根可能是三、解方程：①：x x 413=- ②：22151x 210=-+-x ③ x+1-413x 2=-+-x x四、【巩固提高】1、解方程x x +--=-1513x 112 1251x 2=--+-x x x x2、若关于x 的方程9331-=--x m x x 有增根，求m 的值。

【学习课题】第9课时解分式方程（二）第二课时【学习目标】1.掌握解分式方程的一般步骤；2.掌握解分式方程中的一些常见技巧。

一次函数教案【优秀10篇】

一次函数教案【优秀10篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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江苏高二文科复习学案+练习15_一次分式函数

一次分式型函数y = ax+b cx+d(x ∈D) 1．函数y=432-+x x 的值域． 2．函数y=432-+x x （21><x x 或）的值域． 3．函数y=42-+-x x 的对称中心是． 4．函数y=42-+-x x 的单调增区间是． 5．已知函数()x f =ax x -+-2，若若*∈∀N x ，()()5f x f ≤恒成立，则a 的取值范围是． 6．设曲线11-+=x x y 在点（3，2）处的切线与直线01=++y ax 垂直，则a= ． 7．若函数2+-=x b x y 在区间()4,+b a ()2-<b 上的值域为()+∞,2，则=b a ______________． 8．若函数x x x f 1)(-=，则函数()()x x f x g -=4的零点是______________． 9．记函数)(x f 的定义域为D ，若存在D x ∈0，使()00x x f =成立，则称以()00,y x 为坐标的点是函数)(x f 的图象上的“稳定点”。

若函数()a x x x f +-=13的图象上有且只有两个相异的“稳定点”，求实数a 的取值范围。

10．已知函数()),(1a x xa a x x f ≠--+= （1）证明：对定义域内的所有x ，都有()()022=++-x f x a f 。

（2）当()x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1,21a a 时，求()x f 的值域。

1． 13y y ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭2． ()()2,11,3⋃-3．（4，-1）4． ()()+∞∞-,4,4,5． 65<<a6． -27．161 8． 21 9．解：由题意：方程x ax x =+-13，即()0132=+-+x a x 有两个不等于-a 的相异实根， ()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≠+--+->--=∆∴01304322a a a a 3115-≠<>⇒a a a 且或 10．（1）略（2）()a x x a a x x f --+-=--+=111，()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1,21a a 上单调递增，所以()x f 的值域为[]1,3--。

有关八年级数学一次函数的应用教案4篇

有关八年级数学一次函数的应用教案4篇【学情分析】本节课主要是复习巩固一次函数的图象与性质，是在学完一次函数之后，并初步了解了如何研究一个具体函数的图象与性质的基础上进行的。

原有知识与经验对本节课的学习有着积极的促进作用，在复习巩固的过程中，学生进一步理解知识，促进认知结构的完善，进一步体验研究函数的基本思路，而这些目标的达成要求教学必须发挥学生的主体作用，给予学生足够的活动、探究、交流、反思的时间与空间，不以老师的讲演代替学生的探索。

【教学目标】知识技能：1、进一步理解一次函数和正比例函数的意义；2、会画一次函数的图象，并能结合图象进一步研究相关的性质；3、巩固一次函数的性质，并会应用。

过程与方法：1、通过先基础在提升的过程，使学生巩固一次函数图象和性质，并能进一步提升自己应用的能力；2、通过习题，使学生进一步体会“数形结合”、“方城思想”、“分类思想”以及“待定系数法”。

情感态度：1、通过画函数图象并借助图象研究函数的性质，体验数与形的内在联系，感受函数图象的简洁美；2、在探究一次函数的图象和性质的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神。

教学重点难点教学重点：复习巩固一次函数的图象和性质，并能简单应用。

教学难点：在理解的基础上结合数学思想分析、解决问题。

【教法学法】1、教学方法依据当前素质教育的要求：以人为本，以学生为主体，让教最大限度的服务与学。

因此我选用了以下教学方法：1、自学体验法——让学生通过作图经历体验并发现问题，分析问题，进一步解决问题。

目的：通过这种教学方式来激发学生学习的积极主动性，培养学生独立思考能力和创新意识。

2、直观教学法——利用多媒体现代教学手段。

目的：通过几何画板动画演示来激发学生学习兴趣，把抽象的知识直观的展现在学生面前，逐步将他们的感性认识引领到理性的思考。

2、学法指导做为一名合格的老师，不止局限于知识的传授，更重要的是使学生学会如何去学。

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一次型分式函数图象的研究
教学目标
1．通过对反比例函数图象的研究，重新认识反比例函数图象．
2．会用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象．教学重点
用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象．
教学难点
用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象．
教学过程
一、复习
1．复习已学过的函数的解析式与图象：一次函数（正比例函数）；二次函数；反比例函数．
2．学生谈对反比例函数)0(≠=k x
k y 的认识．二、基本函数作图
例1．作下列函数图象
（1）x
y 3=；（2）x
y 2-=．
归纳1：反比例函数是以坐标轴为渐近线（无限接近）的双曲线，原点是图象的中心对称
点；对于（1），点)3,3(是该双曲线的一个顶点．
归纳2：一般地，函数)0(≠=k x
k y 的图象是双曲线，以坐标轴为渐近线，原点是图象的中心对称点．当0>k 时图象分布在一、三象限，图象与直线x y =的交点是双曲线的顶点；当0<k 时图象分布在二、四象限，图象与直线x y -=的交点是双曲线的顶点．
三、利用平移作图
例2．类比函数2x y =的图象到函数2)1(2++=x y 的图象的变换，指出x
y 1=由的图象到211--=x y 的图象的变换，并作出函数21
1--=x y 的图象．
归纳：1-→x x 图象向右平移1个单位；2)()(-=→=x f y x f y 图象向下平移2个单位，
等等．练习：指出函数3
21--=x y 的图象由那个函数经过怎样的平移得到，并作出函数3
21--=x y 的图象．例3．作函数123--=x x y 的图象，并归纳一次型分式函数)(d
b c a d cx b ax y ≠++=图象与函数函数)0(≠=k x
k y 的图象的关系．归纳：一次型分式函数)(d
b c a d cx b ax y ≠++=本质上是一个反比例函数，两者的图象一般只相差一个平移．练习：作函数21++=x x y 的图象．四．“二线一点”法作图探究例4．已知函数4
23-+=x x y ．（1）作函数的图象；
（2）并指出函数自变量x 的取值范围（即函数的定义域）；因变量y 的取值范围（即
函数的值域）．
（3）x 的取值范围2≠x ，y 的取值范围2
1≠y 反映在图象上的特点是什么？（函数图象与直线2=x , 21=y 没有交点，即2=x , 2
1=y 是对应双曲线的渐近线）（4）找到了双曲线的渐近线，根据双曲线图象的大致形状，只要知道图象在“一、
三象限”还是在“二、四象限”就可以画出其大致图象．如何根据函数4
23-+=x x y 的解析式直接来确定“象限”？（一般找与坐标轴的交点来确定）
（5）对于一般的一次型分式函数)(d
b c a d cx b ax y ≠++=如何来确定渐近线，即确定x 与y 的取值范围？
（6）观察例4、例3，发现与系数d c b a ,,,关系．
例5．作函数1
23--=x x y 的图象．归纳：对于一次型分式函数)(d
b c a d cx b ax y ≠++=的作法：（1）先确定x 与y 的取值范围：c d x -≠，c a y ≠，即找到双曲线的渐近线c d x -=，c
a y =；（2）再取与一个坐标轴的交点确定图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”；
（3）根据双曲线的大致形状画出函数的图象．
练习：用平移法与“二线一点”法分别作函数1
32+-=x x y 的图象．
五．小结
1．一次型分式函数)(d
b c a d cx b ax y ≠++=
本质上是一个反比例函数，两者的图象一般只相差一个平移．其图象是双曲线，其中c d x -=，c
a y = 是双曲线的两条渐近线（曲线与直线无限接近），点),(c
a c d -是图象的中心对称点． 2．平移法作函数)(d
b
c a
d cx b ax y ≠++=的图象时，先将函数解析式化为)0(≠+=k b x
k y ，再由)0(≠=k x
k y 图象平移得到． 3． “二线一点”法作函数)(d
b c a d cx b ax y ≠++=的图象时，（1）先确定x 与y 的取值范围：c d x -≠，c a y ≠，即找到双曲线的渐近线c d x -=，c
a y =；（2）再取与一个坐标轴的交点确定图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”；（3）根据双曲线的大致形状画出函数的图象．
六．课后作业
1．若函数x
k y =的图象过点)3,2(-，则函数图象分布在（）（A ）一、四象限（B ）二、三象限（C ）一、三象限（D ）二、四象限
2．函数
1=y 图象大致形状是
（）
3．函数1
24-=x x y 的图象可由下列那个函数图象平移得到（）（A ）x y 1= （B ）x y 21= （C ）x y 4= （D ）x
y 2= 4．观察函数1
1+-=x x y 的图象可得，当0<x 时，y 的取值范围为（）（A ）1≠y （B ）1-<y （C ）1>y （D ）1>y 或1-<y
5．直线x y =与函数x
k y =图象一个交点的横坐标为3-，则k=__________． 6．函数12++=x a x y 在()+∞-∈,1x 内随着x 增大而减小，则a 的取值范围．
7．已知函数1
234+-=
x x y ，则y 的取值范围为_______________． 8．函数211--=x y 的图象可由函数x
y 1=向_______（左、右）平移________个单位；再向_________（上、下）平移________个单位得到．
9．函数a
x c bx y ++=的图象关于点(1, 2)对称，则a =__________；b =___________． 10．已知一次函数y 1=x +1，P 点是反比例函数x
k y =2（k >0）的图象上的任一点，P A ⊥x 轴，垂足为A ，PB ⊥y 轴，垂足为B ，且四边形AOBP （O 为坐标原点）的面积为2．
（1）求k 的值；
（2）求所有满足y 1=y 2的x 的值；
（3）试根据这两个函数的图象，写出所有满足y 1>y 2的x 的取值范围．（只需直接写出
结论）
11．已知函数1
12--=x x y ．（1）写出函数图象由那个反比例函数图象通过怎样的平移得到；
（2）写出函数图象的渐近线、中心对称点坐标；
（3）用“二线一点”法作出函数图象的大致形状．
12．作出函数x
x y -+=21图像，并完成下列各题：（1）当0=y 时，求x 的值；
（2）当0>y 时，求x 取值范围；（3）当[]1,2-∈x 时，求y 取值范围；。