专题---分式型函数
分式型函数的最值求法及简单应用
分式型函数的雏形是反 比例 函数 ） ， ＝ （ ｋ ≠
０ ） ， 通过对函数 图像 的平移 ， 可得到形式为“ Ｙ ＝ 口＋
时， － 等号成立． １
所 以函数的最小值为 ２ √ ＋ ３ ， 此时 ＝ √ ＋ ２ ．
由于函数形 式符合了基本 不等式的“ 一正数 ，
二定值 ， 三相等” 的要求 ， 于是顺理成章 的借助基本 不等式完成了本题 （ ２ ）仍然可整理 孥 化为（ １ ） 中的函数形式， 但由 于ｔ 的范围限制， 故基本不等式在本题中不能使用了， 并目 该 函 数不 是初等函数， 故必厮 Ｕ 用导数说明 单调性
处不 展开说 明．
（ ＞ ２ ） ； （ ３ ≤ ≤５ ） ．
６ Ｏ・
＜ 数学之友 ）
２ ０ １ ５年第 ２ Ｏ期
解 法二 ： ‘ ． ‘ ∈Ｒ， ． ‘ ． 分子 分 母 Ｉ
＝
时， 要 注恿
０的情 况分 开讨论 ：
② ｔ ∈ 【 一 丢 ， 。 ） ｕ （ 。 ， 】 时 ， ， ， ＋ ＿ ＝ ＝ ＿
．
．
． ＞ ０时， ＋ ≥２ （ 当且仅 当 ：１ 时， 等号
一
ｔ＝ 一
成立） ’ ． ． ． ＋ ． ＝ １ －
ｌ ≥１ ， ｙ Ｅ（ ０ ， １ ］ ．
．
‘
１
・
．
・ 菇＜ ０时 ， ＋ ≤一 ２ （ 当且仅 当 ＝一１ 时，
一
所以， 综上， 函数的最小值为 一１ ， 此时 ＝ ３；
这类函数与“ ” 型的处理方式有一定相 同之 处， 第一步也是“ 分 离常数” ， 然后转化 为 “ ” 型
＝ ， 一 耥 （ ２ 一 一 １ ） ２ ＝ 一 （ ２ 一 一 １＜ ） ２ 、 ｏ ｕ ’
一次分式型函数的对称中心
一次分式型函数的对称中心一次分式型函数，即函数的分子和分母都是一次函数的函数表达式。
其一般形式为f(x) = (ax + b)/(cx + d)，其中a、b、c、d为常数，且c和d不能同时为0。
在这篇文章中，我们将讨论一次分式型函数的对称中心及其性质。
我们来定义一次分式型函数的对称中心。
对于一次分式型函数f(x) = (ax + b)/(cx + d)，当满足f(-d/c)存在时，我们称点(-d/c, f(-d/c))为该函数的对称中心。
接下来，我们将讨论一次分式型函数对称中心的性质。
首先，我们可以证明一次分式型函数的对称中心一定在直线x = -d/c上。
这是因为在该直线上，分母为0，但分子不为0，从而可以得到一个有定义的函数值。
对于一次分式型函数f(x) = (ax + b)/(cx + d)，如果它的对称中心存在，那么它一定是该函数的一个不动点，即f(-d/c) = (-d/c, f(-d/c))。
这是因为对称中心的横坐标等于f(x)的自变量x，纵坐标等于f(x)的函数值。
进一步地，我们可以通过函数的图像来观察一次分式型函数的对称中心。
以f(x) = (2x + 1)/(3x + 2)为例，我们可以通过绘制函数的图像来找到其对称中心。
在图像上，我们可以看到一条直线x = -2/3，该直线与函数的图像有一个交点，即对称中心。
这个交点的坐标为(-2/3, -1/3)。
一次分式型函数的对称中心还具有以下性质：1. 对称性：对称中心将函数图像关于直线x = -d/c进行对称。
这意味着当点P(x, y)位于函数图像上时，对称中心A(-d/c, f(-d/c))关于直线x = -d/c的对称点P'也在函数图像上。
2. 不动点性质：对称中心满足f(-d/c) = (-d/c, f(-d/c))，即函数在对称中心处的函数值等于对称中心的坐标。
3. 发散性：对称中心是一次分式型函数的“奇点”，即在对称中心处，函数的值可能趋于无穷大或无穷小。
分式型函数求极限的方法总结
黑龙江科学HEILONGJIANG SCIENCE第12卷第7期2021年4月Vol. 12Apr. 2021分式型函数求极限的方法总结孔敏，王娟，梁登星(北京科技大学天津学院，天津301811)摘要：对分式型函数求极限的方法进行总结，以％T%和为例进行说明。
对分式型函数而言，要先判断分母的极限，再判断 分子的极限,要选择正确简单的做题方法，注意洛必达法则的使用条件。
关键词：分式型函数;极限；方法总结中图分类号：0171 -4 文献标志码：B 文章编号：1674-8646(2021 )07 -0128 -02Summary of Fraction Function Ultimate MethodKong Min , Wang Juan , Liang Dengxing(Tianjin College , University of Science and Technology Beijing, Tianjin 301811 , China)Abstract : The research summarizes the fraction function ultimate method , and explains through the example of x —%0 and . For fraction function , it is necessary to judge the extremity of the denominator first , and then judge theextremity of numerator. It is suggested to conectly select simple problem solving method , and pay attention to the service conditions of L' Hospital's rule.Key words : Fraction function ； Extremity ； Method summaiy0引言为0时,根据无穷大和无穷小的关系，取分式函数的倒 数求极限。
新教材高一数学典型问题解题策略专题10 分离变量与分式函数-(含答案)
新教材高一数学典型问题解题策略专题10 分离变量与分式函数【方法点拨】1. 部分分式-------将假分式化为一个整式与一个真分式的和称作部分分式，其实质就是通分的逆过程.部分分式的常用方法有凑配法、换元法、长除法等.2. 分离变量-------求参数的取值范围问题是高中数学常见的基本问题,一般来说遇含参问题应“能分则分”，目的是避免参数参与运算，从而避免分类讨论.而分离参数，又可以进行“全分”、“半分”，即将参数完全分离和不完全分离.3. 分离函数-------遇到函数的零点个数判断、零点所在区间等，常需要通过分离函数，如函数()()()F x f x g x =-的零点就是函数()y f x =与函数()y g x =交点的横坐标，通过分离函数的方法，转化为两函数图象交点的个数、交点横坐标所在区间问题.上述三种方法在解题中应用广泛，用法灵活多变，需在用中不断体会其“妙”、“神”，逐步提高自身的解题能力.【典型例题】例1 函数2710(1)1x x y x x ++=>-+的最小值是 . A.2； B. 7； C. 9； D. 10. 【答案】C【分析】直接部分分式，再使用基本不等式. 【解析一】（换元法）令1(0)x t t +=>，则1x t =-则()()22171105445t t t t y t t t t-+-+++===++由基本不等式得44t t +≥=，当且仅当4t t=，2t =，即1x =，等号成立 所以当1x =时，函数27101x x y x ++=+的最小值是9，选C.【解法二】（凑配法）()()22117111071011x x x x y x x +-++-+⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦==++()()()2151441511x x x x x ++++==+++++（下略）. 【解法三】（长除法）同数的长除法，如图226171010x x x x x xx x +++++++6 6 6 4则()27101(6)4x x x x ++=+++，即271044(6)(1)5111x x x x x x x ++=++=++++++（下略）. 例2 （多选题）（2020-2021·江苏徐州高一上学期期中名校联考）关于x 的一元二次方程21+(+1)0()2x m x m Z +=∈有两个根12x x 、，且满足12013x x <<<<，则实数m 的值是（ ）. A ．－2； B ．－3； C ．－4； D ．－5. 【答案】BC【分析】分离参数得1(+1)+2m x x -=，转化为1()+2f x x x=与()(+1)g x m =-有两个交点，其横坐标为【答案】【分析】题中已知为超越方程，解方程的根是不可能的，应分离函数，转化为两函数图象有两个不同交点问题.种情况讨论，结合图象找出关键点得出关于a 的不等式（组）求解，可得出实数a 的取值范围. 【解析】()()()()2222log 2log log 11log 11aa a a a f x x x x x a x x x x =-+=-+--=----， 则不等式()()2log 11a x x ->-对任意的31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立. 当1a >时，312x <<，则1012x <-<，此时()1log 1log log 102a a a x -<<=，则不等式()()2log 11a x x ->-对任意的31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭不成立；当01a <<时，如下图所示：由图象可知，若不等式()()2log 11a x x ->-对任意的31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则20113log 122a a <<⎧⎪⎨⎛⎫≥- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1116a ≤<. 因此，实数a 的取值范围是1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故答案为1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【巩固练习】1. 函数()2211x y x x +=>-的最小值是( )＋2－2D. 22. 若关于x 的方程220x mx -+=在区间()1,4内有两个解，则实数m 的取值范围是_________.3. 已知二次函数24y x x m =-+, m 为实数.（1）若此函数有两个不同的零点，一个在(,1)-∞内,另一个在(2,)+∞内，则m 的取值范围是_____________ (2)若此函数的两个不同零点都在区间()1,+∞内，则m 的取值范围是____________．4.已知关于x 的方程2x kx x =-有三个不同的实数解，则实数k 的取值范围是______5.若关于x 的不等式2log 0m x x -< 在区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，则实数m 的取值范围是______.A ．10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦； B ．1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭； C ．10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭； D ．1,116⎛⎫⎪⎝⎭.【答案与提示】1.【答案】A【分析】先将函数变形可得y=221xx+-=（x﹣1）+31x-+2，再利用基本不等式可得结论．【解析】y=221xx+-=（x﹣1）+31x-+2∵x＞1，∴x﹣1＞0∴（x﹣1）+31x-x+1时，取等号）∴y=221 xx+ -故选A．2.【答案】)⎡⎣3.【答案】(,3)-∞，(3,4)4.【答案】1 02k<<【提示】1,021,02,0xxk xxR x⎧>⎪-⎪⎪=-<⎨-⎪=⎪⎪⎩，画图得出k的取值范围．5.【答案】B．。
2022年中考数学二轮复习攻略专题04 分式、分式方程及一元二次方程
专题04分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01 分式相关概念1、分式的定义一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式。
【注意】A 、B 都是整式，B 中含有字母，且B ≠0。
2、分式的基本性质分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。
A A CB BC ⋅=⋅；A A CB B C÷=÷（C≠0）。
3、分式的约分和通分（1）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。
（2）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。
（3）最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
（4）最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。
【注意1】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式。
【注意2】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
4、分式的乘除①乘法法则：db ca d cb a ⋅⋅=⋅。
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
②除法法则：cb d acd b a d c b a ⋅⋅=⋅=÷。
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
③分式的乘方：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭。
分式乘方要把分子、分母分别乘方。
④整数负指数幂：1nn aa-=。
5、分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
①同分母分式的加减：a b a bc c c±±=；②异分母分式的加法：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=。
【注意】不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。
6、分式的混合运算（1）含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．（2）混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．【例1】若分式21xx-在实数范围内无意义，则x的取值范围是（）A．x≠1 B．x=1 C．x=0 D．x＞1【例2】若分式11x+的值不存在，则x=__________．【例3】分式52xx+-的值是零，则x的值为（）A．5B．2C．－2D．－5 【例4】下列变形正确的是（）A．ab=22ab++B．0.220.1a b a bb b++=C．ab–1=1ab-D．ab=22(1)(1)a mb m++考点02 分式方程相关概念1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母。
函数详解之分式函数
函数详解之分式函数30.函数xa x x f -=2)(的定义域为(0，1]（a 为实数）．⑴当1-=a 时，求函数)(x f y =的值域；⑵若函数)(x f y =在定义域上是减函数，求a 的取值范围；⑶求函数)(x f y =在x ∈(0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值．解：（1）显然函数)(x f y =的值域为),22[∞+；（2）若函数)(x f y =在定义域上是减函数，则任取∈21,x x ]1.0(且21x x <都有)()(21x f x f > 成立， 即0)2)((2121>+-xx ax x 只要212x x a -<即可，由∈21,x x ]1.0(，故)0,2(221-∈-x x ，所以2-≤a ， 故a 的取值范围是]2,(--∞； （3）当0≥a 时，函数)(x f y =在]1.0(上单调增，无最小值， 当1=x 时取得最大值a -2；由（2）得当2-≤a 时，函数)(x f y =在]1.0(上单调减，无最大值， 当x ＝1时取得最小值2－a ；当02<<-a 时，函数)(x f y =在].0(22a-上单调减，在]1,[22a -上单调增，无最大值，当22a x-=时取得最小值a22-．31.已知函数21()(0,0,)ax f x a b c R bx c+=>>∈+是奇函数，当0x >时，有()f x 最小值2，其中b N ∈，且5(1)2f =．(Ⅰ)试求函数()f x 的解析式；(Ⅱ)问函数()f x 的图像上是否存在关于点（1,0）对称的两点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 解 (Ⅰ)由2211()()ax ax f x f x bx cbx c++-=-⇒=--++，即bx c bx c -+=--，0c ∴= ……………………………………………2分0,0,0a b c >>= ，21()ax f x bx+∴=b a∴= ……………………4分又515(1)22a f b+<∴<，即221525202b b b b+<⇒-+<12()1,2b b N b⇒<<∈⇒=∴11abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩……………………………6分(Ⅱ)设00(,)M x y关于点(1,0)的对称点为N，则00(2,)N x y--，………………8分00020000121122y xxx xy xx⎧=+⎪⎪∴⇒--⎨⎪-=-+⎪-⎩⇒01222xy⎧=+⎪⎨=⎪⎩或01222xy⎧=-⎪⎨=-⎪⎩…………11分∴存在两点(12,22)M+与(12,22)N--关于点(1,0)对称.………12分32.已知函数2211()af xa a x+=-，常数0>a．（1）设0m n⋅>，证明：函数()f x在[]m n，上单调递增；（2）设0m n<<且()f x的定义域和值域都是[]m n，，求常数a的取值范围．解:（1）任取1x，],[2nmx∈，且12x x<，12122121()()x xf x f xa x x--=⋅，因为12x x<，1x，],[2nmx∈，所以12x x>，即12()()f x f x<，故)(xf在],[nm上单调递增．或求导方法．（2）因为)(xf在],[nm上单调递增，)(xf的定义域、值域都是⇔],[nm(),()f m m f n n==，即nm,是方程2211aa a xx+=-的两个不等的正根1)2(222=++-⇔xaaxa有两个不等的正根．所以04)2(222>-+=∆aaa，222a aa+>⇒12a>33.已知定义域为R的函数abxfxx++-=+122)(是奇函数.（1）求a,b的值；（2）若对任意的Rt∈，不等式0)2()2(22<-+-ktfttf恒成立，求k的取值范围.解（1）因为)(xf是R上的奇函数，所以1,021,0)0(==++-=babf解得即从而有.212)(1axfxx++-=+又由aaff++--=++---=1121412)1()1(知，解得2=a（2）解法一：由（1）知,121212212)(1++-=++-=+xx xx f由上式易知)(x f 在R 上为减函数，又因)(x f 是奇函数，从而不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 等价于).2()2()2(222k t f k t f t t f +-=--<-因)(x f 是R 上的减函数，由上式推得.2222k t t t +->- 即对一切,0232>--∈k t t R t 有从而31,0124-<<+=∆k k 解得解法二：由（1）知,2212)(1++-=+x xx f又由题设条件得0221222121221222222<++-+++-+--+--k t kt t t tt即0)12)(22()12)(22(2222212212<+-+++-+-+--+-kt t t tt k t整理得12232>--kt t，因底数2>1，故0232>--k t t上式对一切R t ∈均成立，从而判别式.31,0124-<<+=∆k k 解得34.已知函数()a f x x x =-.(1)若13log [8()]y f x =-在[1,)+∞上是单调减函数,求实数a 的取值范围;(2)设1,a x y k =+=,若不等式22()()()2k f x f y k≥-对一切,(0,)x y k ∈恒成立,求实数k的取值范围.解: (1)令8a t x x=-+,则要使13log [8()]y f x =-在[1,)+∞上是单调减函数,则/21080a t xa t x x ⎧=-≥⎪⎪⎨⎪=-+>⎪⎩在[1,)+∞上恒成立,则21180a x a ⎧≥-≥-⎨-+>⎩所以, 19a -≤< (7)分 (2) 2222111()()()()()x y x yf x f y x y x y xy-++=--=222221212(0)4k xy x yk kxy xy xyxy-++-==++<≤. (10)分 令u xy=,则221()()2,(0,]4k kf x f y u u u-=++∈当2214kk -≥即0252k <≤-时,21()()2k f x f y u u -=++在2(0,]4ku ∈上为减函数,所以 2222min22142[()()]22()4424kk kk f x f y kkk-=++=+-=-即当0252k <≤-时,22()()()2k f x f y k≥-……………………………12分 当2214kk -<,222min 242[()()]2122()42kk f x f y k kk=-+<+-=-与题意不合.所以,所求的k 的取值范围为 : 0252k <≤-. ………………………14分35.（本小题满分14分）设关于x 的方程2x 2－ax －2=0的两根为α、β（α＜β），函数14)(2+-=x a x x f ．（Ⅰ）求f (α)·f (β)的值；（Ⅱ）证明f (x )是[α，β]上的增函数；（Ⅲ）当a 为何值时，f (x )在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小？ 解：（Ⅰ）由题意知α＋β＝2a ，α·β＝－1，∴α2＋β2＝242+a，∴f (α)·f (β)＝1)(41614142222222+++++-=+-⋅+-ββαβααβββααa aa a a41241216222－=++++--=aa a ．……………………………………………………… 4分（Ⅱ）证明：当α≤x ≤β时，22\22\\)1()1)(4()1()4()(++--+-=xx a x xa x x f222222)1()22(2)1(2)4()1(4+---=+⋅--+=x ax x x xa x x ………… 6分∵α、β是方程2x 2－ax －2=0的两根， ∴当α≤x ≤β时，恒有2x 2－ax －2≤0， ∴)(\x f ≥0，又)(x f 不是常函数，∴)(x f 是[α，β]上的增函数．……………………………………………… 9分 （Ⅲ）f (x )在区间[α，β]上的最大值f (β)＞0，最小值f (α)＜0，又∵| f (α)·f (β) |＝4， ……………………………………………………… 10分 ∴f (β)－f (α)＝| f (β)|＋| f (α)|≥4)()(2=⋅βαf f当且仅当| f (β)|＝| f (α)|＝2时取“＝”号，此时f (β)＝2，f (α)＝－2 …… 11分∴⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-)2(022)1(21422 ββββa a……………………………………… 13分由（1）、（2）得0)16(2=+a a ，∴a ＝0为所求．…………………………………………………… 14分 36.已知函数)0()(>+=t xt x x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ．（Ⅰ）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式；（Ⅱ）是否存在t ，使得M 、N 与)1 , 0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64 , 2[nn +内总存在1+m 个实数m a a a ,,,21 ，1+m a ，使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求m 的最大值．解：（Ⅰ）设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，21)(xt x f -='， ∴切线PM 的方程为：))(1()(12111x x x t x t x y --=+-，又 切线PM 过点)0,1(P ， ∴有)1)(1()(012111x x t x t x --=+-，即02121=-+t tx x ， ………………………………………………（1） …… 2分同理，由切线PN 也过点)0,1(P ，得02222=-+t tx x ．…………（2） 由（1）、（2），可得21,x x 是方程022=-+t tx x 的两根，⎩⎨⎧-=⋅-=+∴. ,22121t x x t x x ………………（ * ） ……………………… 4分22211221)()(x t x x t x x x MN --++-=])1(1[)(221221x x t x x -+-=])1(1][4)[(22121221x x t x x x x -+-+=，把（ * ）式代入,得t t MN 20202+=,因此，函数)(t g 的表达式为)0( 2020)(2>+=t t t t g ． ……………………5分（Ⅱ）当点M 、N 与A 共线时，NA MA k k =，∴1111--+x x t x ＝1222--+x x t x ，即21121x x t x -+＝22222x x t x -+，化简，得0])()[(211212=-+-x x x x t x x ，21x x ≠ ，1212)(x x x x t =+∴． ………………（3） …………… 7分把（*）式代入（3），解得21=t ．∴存在t ，使得点M 、N 与A 三点共线，且 21=t ． ……………………9分（Ⅲ）解法1：易知)(t g 在区间]64,2[nn +上为增函数，∴)64()()2(nn g a g g i +≤≤)1,,2,1(+=m i ，则)64()()()()2(21n n g m a g a g a g g m m +⋅≤+++≤⋅ ．依题意，不等式)64()2(nn g g m +<⋅对一切的正整数n 恒成立， …………11分)64(20)n6420(n 22022022nn m +++<⋅+⋅，即)]64()n64[(n 612nn m +++<对一切的正整数n 恒成立，．1664≥+nn ， 3136]1616[61)]64()n64[(n 6122=+≥+++∴nn ，3136<∴m ．由于m 为正整数，6≤∴m ． ……………………………13分 又当6=m 时，存在221====m a a a ，161=+m a ，对所有的n 满足条件． 因此，m 的最大值为6． ……………………………14分 解法2：依题意，当区间]64,2[nn +的长度最小时，得到的m 最大值，即是所求值．1664≥+nn ，∴长度最小的区间为]16,2[， …………………11分当]16,2[∈i a )1,,2,1(+=m i 时，与解法1相同分析，得)16()2(g g m <⋅，解得3136<m ．37.已知函数xa x y +=有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．（1）如果函数y ＝x ＋x b2（x ＞0）的值域为[6，＋∞)，求b 的值； （2）研究函数y ＝2x ＋2xc（常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数y ＝x ＋xa 和y ＝2x ＋2xa （常数a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F ＝nx x )1(2+＋nx x)1(2+（n 是正整数）在区间[21，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．（理）解：（1）函数2(0)by x x x=+>的最小值是2b2，则226b=，∴2log 9b =（2）设120x x <<，222221212122222112()(1)c c c y y x x x x xxx x-=+--=--⋅.当412c x x <<时，21y y >，函数22c y x x=+在[4c ,+∞)上是增函数；当4120x x c <<<时，21y y <，函数22c y x x=+在(0,4c ]上是减函数.又22c y x x=+是偶函数，于是，该函数在(－∞,－4c ]上是减函数, 在[－4c ,0)上是增函数；（3）可以把函数推广为(0)n na y x a x=+>，其中n 是正整数.当n 是奇数时,函数n na y x x=+在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数,在(－∞,－na 2]上是增函数, 在[－n a 2,0)上是减函数；当n 是偶数时,函数n na y x x=+在(0,n a 2]上是减函数,在[n a 2,+∞) 上是增函数, 在(－∞,－na 2]上是减函数, 在[－n a 2,0)上是增函数；21()()nF x x x=++nx x)1(2+=)1()1()1()1(323232321220nnn n rn rn r n n n n nnn xx C xx C xxC xxC ++++++++----因此()F x 在 [21,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数.所以，当12x =或2x =时，()F x 取得最大值9924nn⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当1x =时，()F x 取得最小值12n +.38已知函数()()2211xf x x R x x-=∈++.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值； （Ⅱ）若()2220t t t e x e x e +++-≥对满足1x ≤的任意实数x恒成立，求实数t 的取值范围（这里e 是自然对数的底数）；（Ⅲ）求证：对任意正数a 、b 、λ、μ，恒有2222a b a b a b f f λμλμλμλμλμλμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥22a b λμλμ+-+.【解】（Ⅰ）()()()()()()()()22222223232121111x x x x xx x f x x x x x ⎡⎤⎡⎤---+⋅----++-+-⎣⎦⎣⎦'==++++∴()f x 的增区间为()23,23---+，()f x 减区间为(),23-∞--和()23,-++∞.极大值为()23233f -+=，极小值为()23233f --=-.…………4′（Ⅱ）原不等式可化为()22211t x e x x-++≥由（Ⅰ）知，1x ≤时，)(x f 的最大值为332.∴()22211xx x-++的最大值为433，由恒成立的意义知道433t e ≥，从而433t ln≥…8′（Ⅲ）设()()()22101xg x f x x x x x x-=-=->++则()()()()()243222224124621111x x x x x x g x f x x x x x -++++++''=-=-=-++++.∴当0x >时，()0g x '<，故()g x 在()0,+∞上是减函数，又当a 、b 、λ、μ是正实数时，()()222220a b a b a bλμλμλμλμλμλμ-⎛⎫++-=- ⎪+++⎝⎭≤ ∴222a b a bλμλμλμλμ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭≤. 由()g x 的单调性有：222222a b a b a b a b f f λμλμλμλμλμλμλμλμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++--⎢⎥⎪ ⎪ ⎪++++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥， 即222222a b a b a b a bf f λμλμλμλμλμλμλμλμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪++++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥.…………12′ 39.(本题12分) 已知函数()1bx c f x x +=+的图象过原点，且关于点（-1,1）成中心对称．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若数列{}n a (*)n N ∈满足：()2110,1,()n n n a a a f a +>==，求数列{}n a 的通项n a ； （Ⅲ）若数列{}n a 的前n 项和为n S ,判断n S 与2的大小关系，并证明你的结论． 解 (Ⅰ) 因为函数()1bx c f x x +=+ 的图象过原点，所以c =0，即()1bx f x x =+.又函数()11bx bf x b x x ==-++的图象关于点（-1，1）成中心对称，所以1,()1xb f x x ==+。
分式函数初步
分式函数初步分式函数是一个有理函数，指分子和分母都是多项式的函数。
在高中数学的学习中，分式函数是一个重要的内容，同时也是相对难度较大的一个知识点。
本文将介绍分式函数的基础知识和相关概念。
一、分式函数的定义分式函数是指具有形式为 $f(x) = \dfrac{a(x)}{b(x)}$ 的函数，其中 $a(x)$ 和 $b(x)$ 都是多项式函数，且 $b(x) \neq 0$。
分式函数的定义域是所有能够使得分母不为零的实数。
二、分式函数的性质1. 零点和极值分式函数的零点是指使分子等于零的 $x$ 值，也就是 $a(x) = 0$ 的解。
分式函数的极值是指存在的最大值或最小值，通常是$x$ 无限趋近于某个值时，函数趋近于的值。
2. 水平渐近线和垂直渐近线分式函数的水平渐近线可以通过分式函数的通分化得到，垂直渐近线是指分母为零的直线，即 $b(x) = 0$ 的解。
3. 奇偶性分式函数的奇偶性取决于分子的奇偶性。
如果分子是偶函数，那么分式函数就是偶函数；如果分子是奇函数，那么分式函数就是奇函数。
三、分式函数的简单操作1. 通分通分是将两个分式函数化成相同的分母，这样就可以进行加减运算。
例如，若要将 $\dfrac{1}{x+2}$ 和 $\dfrac{x-1}{x+2}$ 通分，可以将第一个分式函数乘以 $\dfrac{x-1}{x-1}$，从而得到$\dfrac{x-1}{(x+2)(x-1)}$，然后将第二个分式函数乘以$\dfrac{1}{1}$，从而得到 $\dfrac{x-1}{(x+2)(x-1)}$，最后将两个分式函数相加即可。
2. 分解因式分解因式就是将一个分式函数化为两个或多个分式函数之积的形式。
例如，要将 $\dfrac{x^2-1}{x+1}$ 分解因式，可以将分子分解为 $(x+1)(x-1)$，则 $\dfrac{x^2-1}{x+1} = \dfrac{(x+1)(x-1)}{x+1} = x-1$。
中考数学专题复习四--分式方程和不等式
中考数学专题复习四--分式方程和不等式(组)(总6页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除中考数学专题复习（四）分式方程和不等式（组）【知识梳理】1．分式方程:分母中含有的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：①设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；②解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④检验作答.4．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解是否是所列；（2）检验所求的解是否 . 5．易错知识辨析：（1）去分母时，不要漏乘没有分母的项.（2）解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根.（3）如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值.6．不等式的有关概念：用连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的的值叫做不等式的解；一个含有的不等式的解的叫做不等式的解集.求一个不等式的的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式.7．不等式的基本性质：（1）若a ＜b ，则a +c c b +； （2）若a ＞b ，c ＞0则ac bc （或ca cb ）； （3）若a ＞b ，c ＜0则ac bc （或c a cb ）. 8．一元一次不等式：只含有 未知数，且未知数的次数是 且系数 的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为 或ax b <；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、 、移项、 、系数化为1.9．一元一次不等式组：几个 合在一起就组成一个一元一次不等式组.一般地，几个不等式的解集的 ，叫做由它们组成的不等式组的解集.10．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知a b <）x a x b <⎧⎨<⎩的解集是x a <，即“小小取小”； x a x b >⎧⎨>⎩的解集是x b >，即“大大取大”；x a x b >⎧⎨<⎩的解集是a x b <<，即“大小小大中间找”； x a x b <⎧⎨>⎩的解集是空集，即“大大小小取不了”.11．易错知识辨析：（1）不等式的解集用数轴来表示时，注意“空心圆圈”和“实心点”的不同含义.（2）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况.如不等式ax b >（或ax b <）（0a ≠）的形式的解集： 当0a >时，b x a >（或b x a <）； 当0a <时，b x a <（或b x a>）； 当0a <时，b x a <（或b x a>）. 12．求不等式（组）的特殊解：不等式（组）的解往往有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案.13．列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x ）；③找：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；④列：根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）；⑤解：解所列出的不等式（组），写出未知数的值或范围；⑥验：检验所求解是否符合题意；⑦答：写出答案（包括单位）.14．易错知识辨析：判断不等式是否成立，关键是分析不等号的变化，其根据是不等式的性质.【真题回顾】一、选择题1．(2010年山东菏泽全真模拟1)下列运算中，错误．．的是（ ） A.(0)a ac c b bc =≠ B.1a b a b--=-+2(4)4-= D.x y y x x y y x --=++ 2．(2010年江西省统一考试样卷)若分式21x x +有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＞1B ．x ＞－1C ．x ≠0D ．x ≠－13.（2009年孝感）关于x 的方程211x a x +=- 的解是正数，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞－1 B ．a ＞－1且a≠0 C ．a ＜－1 D ．a ＜－1且a≠－24.（2011.鸡西）分式方程)2)(1(11+-=--x x m x x 产生增根，则m 的值是（ ） A. 0和3 B. 1 C. 1和-2 D. 35.（2009年安徽）甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（ ）A ．8 B.7 C ．6 D ．5二、填空题1.（2010年西湖区月考）若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于 2.(2010年江苏省泰州市中考模拟题)使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是 . 3．（2009年滨州）解方程2223321x x x x --=-时，若设21x y x =-，则方程可化为 ． 4．（2011襄阳）已知关于x 的分式方程1131=-+-xx m 的解是正数，则m 的取值范围为 5．（2010新疆乌鲁木齐）在数轴上，点A 、B 对应的数分别为2 ，15+-x x ，且A 、B 两点关于原点对称，则x 的值为 。