简单分式型三角函数最值(值域)问题的求解策略
三角函数的最值求解策略
三角函数的最值求解策略四川省武胜飞龙中学 梁洪斌(638402)求三角函数的最值(值域)是近几年高考的热点之一，解决这类问题不仅需要用到三角函数的定义域，值域、单调性，图象和三角函数的恒等变形，而且还常涉及到函数，不等式、方程、几何等众多知识，概念性强，具有一定的综合性和灵活性。
学生常难以掌握，现就其常见类型做一归类求解，以便于学生掌握。
一、对于)cos (sin b x a y b x a y +=+=或型直接利用三角函数的值域求解，须注意对字母进行讨论。
例1：求函数)31( 2sin )13(-≠-+=a x a y 的最值。
解：当时即则当时即)(221sin ,31013Z k k x x a a ∈++==->>+ππ)1(3 )(22 1sin 13min max +-=∈-=-=-=a y Z k k x x a y 时即当ππ);1(3 ,)(221sin 31 03max +-=∈-=-=-<<+a y Z k k x x a a 时即时，则当即当ππ13 )(22 1sin min -=∈+==a y Z k k x x 时，即当ππ二、对于)0(cos sin ≠++=ab c x b x a y 型，常引进辅助角))cos(()sin(2222ϑϑ-+=++=x b a y x b a y 或再利用正(余)弦函数的有界性求解。
例2、求函数1)cos 3(sin sin ++=x x x y 的最值。
12sin 2322cos 11cos sin 3sin 1cos sin 3sin 1)cos 3(sin sin 22++-=++=++=++=x x x x x x x x x x x y解：23)62sin(232cos 212sin 23+-=+-=πx x x21)(6)(2262 1)62sin( 25)(3)( 22621)62sin(min max =∈-=∴∈-=--=-=∈+=∴∈+=-=-∴y Z k k x Z k k x x y Z k k x Z k k x x 时，即当时，即当ππππππππππππ三、对于dx c b x a y ++=cos sin 型，可转化为x B x A y cos sin +='型求解或用数形结合法求解(常利用直线斜率的几何意义) 例3、求函数xxy sin 2cos 3+=的最大值。
求三角函数最值的四种方法
求三角函数最值的四种方法求解三角函数最值问题的基本途径与其他函数最值问题相同，一方面要利用三角函数的特殊性质，例如有界性，另一方面要将问题转化为我们熟悉的函数的最值问题。
以下介绍几种常见的求解三角函数最值的策略。
1.配方转化策略对于能够化为形如y = a sin x + b sin x + c或y = a cos x +b cos x + c的三角函数最值问题，可以将其看作是sin x或cosx的二次函数最值问题，常常利用配方转化策略来解决。
例如，对于函数y = 5 sin x + cos 2x的最值问题，可以将其转化为y = -2 sin x + 5 sin x + 1，然后利用sin x的范围[-1.1]求得最小值为-6，最大值为4.2.有界转化策略对于能够通过变形化为形如y = A sin(ωx + φ)等形式的三角函数，可以利用其有界性来求解最值。
这是常用的求解三角函数最值问题的策略之一。
3.单调性转化策略借助函数单调性是求解函数最值问题常用的一种转化策略。
对于三角函数来说，常常是先化为y = A sin(ωx + φ) + k的形式，然后利用三角函数的单调性求解。
4.导数法对于一些较为复杂的三角函数最值问题，可以利用导数法求解。
通过对函数求导，找到其临界点，然后比较临界点和函数在端点处的取值，即可求得函数的最值。
在求解三角函数最值问题时，需要注意将三角函数准确变形为sin x或cos x的二次函数的形式，正确配方，并把握sinx或cos x的范围，以防止出错。
1，即y=−x+2设点P的坐标为(x,y)，则y−0=y−yPx−2=x−xP解得xP=cosx，yP=sinx代入直线方程得y=−(cosx−2)+2=4−cosx所以y的最小值为3，当x=π/2时取到最小值。
答案]3。
求解三角函数最值问题五策略
三角函数最值问题历来是三角函数中的热点问题之一，其涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。
解答这类问题时要注意三角函数值正负号的选取、角的范围的确定、各种情况的分类讨论及各种隐含条件等。
求解这类问题有哪些基本策略呢？一、化“一”策略所谓化“一”，就是对于形如f （x ）=a sin 2x +b cos 2x +c sin x cos x +d 的三角函数，可运用倍角公式、三角恒等变换等将其化为形如y =A sin 2x +B cos 2x +C 的形式，进而利用辅助角公式A sin x +B cos x =A 2+B 2sin （x +φ）+C 化为只含有一个函数名的形式，最后利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值。
［例1］函数f （x ）=-2cos ()2x -π4+6sin x cos x -2cos 2x +1，x ∈R 。
（1）把f （x ）的解析式改写为f （x ）=A sin （ωx +φ）（A >0，ω>0）的形式；（2）求f （x）的最小正周期并求f （x ）在区间éëêêùûúú0，π2上的最大值和最小值。
分析：（1）由三角恒等变换公式，即可化简函数f （x ）的解析式为f （x ）=22sin ()2x -π4。
（2）由（1）知f （x ）=22sin ()2x -π4，求得f （x ）的最小正周期为T =2π2=π，结合三角函数的性质，即可求得函数的最大值和最小值。
解：（1）由题意，函数f （x ）=-2cos ()2x -π4+6sin x cos x -2cos 2x +1=-22x2x )+3sin 2x -（2cos 2x -1）=2sin 2x -2cos 2x =22sin (2x -π4)，即f （x ）的解析式为f （x ）=22sin ()2x -π4。
（2）由（1）知f （x ）=22sin ()2x -π4，所以函数f （x ）的最小正周期为T =2π2=π，因为x ∈éëêêùûúú0，π2，则2x -π4∈éëêêùûúú-π4，3π4，所以当2x -π4=-π4，即x =0时，函数取得最小值，最小值为f （x ）=22sin ()-π4=-2。
如何求两类分式三角函数的值域
分式三角函数值域问题的难度一般较大.解答此类问题，不仅要将函数式进行合理的变形，还需关注分母不为０的隐含条件，由此根据函数的定义域来求解.本文主要探讨两类分式三角函数值域问题及其解法，以期帮助同学们更加透彻地了解这两类问题的解法.类型一：y =a 1sin x +b 1a 2sin x +b 2或y =a 1sin x +b 1a 2cos x +b 2型分式三角函数形如y =a 1sin x +b 1a 2sin x +b 2或y =a 1sin x +b 1a 2cos x +b 2的分式三角函数值域问题比较常见，解答此类问题，通常有两种思路：（1）先根据函数式明确分母不为０时函数的定义域，然后将函数式变形为sin x =f ()y ,cos x =f ()y ,tan x =f ()y 的形式，再利用三角函数的有界性求得函数的值域；（2）将y 视为参数，把函数式变形为关于y 的方程，利用一次方程的性质或者二次方程的判别式来建立关于y 的不等式，解不等式即可求得值域.例1.求函数y =sin x +1sin x +2的值域.解：由y =sin x +1sin x +2可得sin x =2y -11-y ，因为||sin x ≤1，所以||||||2y -11-y ≤1，即()2y -12≤()1-y 2，解得0≤y ≤23，所以函数y =sin x +1sin x +2的值域为éëùû0，23.解答本题，要先通过恒等变换将函数式变形，再利用三角函数的有界性||sin x ≤1建立关于y 的不等式，解该不等式求就能求出函数的值域.例2.求函数f ()x =sin x +1cos x +2的值域.解：令t =tan x2，由万能公式可得sin x =2t 1+t 2，cos x =1-t 21+t 2，将其代入y =sin x +1cos x +2可得：y =t 2+2t +1t 2+3，整理得：()y -1t 2-2t +()3y -1=0，因为tan x2∈R ，所以t ∈R ，当y -1=0时，t =1；当y -1≠0时，根据∆≥0得0≤y ≤43，且y ≠1，因此函数f ()x 的值域为éëùû0，43.我们根据万能公式将tan x2用t 替换，通过换元将问题转化为关于t 的一元二次方程()y -1t 2-2t +()3y -1=0有解的问题，由一元二次方程的根的判别式建立不等式，进而求得函数的值域.类型二：y =a 1sin x cos x()sin x +a 2()cos x +a 3型分式三角函数解答形如y =a 1sin x cos x()sin x +a 2()cos x +a 3的分式三角函数值域问题，要先根据同角的三角函数关系式sin 2x +cos 2x =1以及完全平方公式，将sin x cos x 用sin x +cos x 表示出来，以便把函数式转化为只含有sin x +cos x 的式子，这样根据辅助角公式和正余弦函数的性质就能顺利求得函数的值域.例3.已知θ∈æèöø0，π2，则2sin θcos θ()sin θ+1()cos θ+1的值域为_____.解：令t =sin θ+cos θ，∴t =2sin æèöøθ+π4，∵θ∈æèöø0，π2，θ+π4∈æèöøπ4，3π4，∴t ∈(]1，2，∴t 2=1+2sin θcos θ，∴sin θcos θ=t 2-12，∴2sin θcos θ()sin θ+1()cos θ+1=2()t -1t +1=2-4t +1，而在(]1，2上g ()t =2-4t +1单调递增，∴0<2-4t +1≤6-42，∴函数2sin θcos θ()sin θ+1()cos θ+1的值域为(]0,6-42.本题较为复杂，解答时需先根据重要三角函数不等式将函数式进行变形，然后设t =sin θ+cos θ，通过换元将问题转化为求g ()t 在(]1，2上的最值，根据反比例函数的性质即可解出.在求值域的过程中，需注意自变量的取值范围，若自变量的取值范围错误，则所求的值域也必定是错误的.总的来说，求解分式三角函数值域问题的关键是要明确函数式的特征，据此将函数式进行适当的变形，如变形为sin x =f ()y 、cos x =f ()y 、tan x =f ()y 的形式、一元二次方程、反比例函数等，再根据三角函数的有界性和方程的性质就能求得最值.（作者单位：安徽省蚌埠市怀远县包集中学）方法集锦45。
三角函数的值域和最值问题求解策略
{
2sin x (sin x ≥ cos x),
2cos x (sin x < cos x),
结 合 三 角 函 数 图 像（如 图
1）所示，知这个函数的值域是
[-
]
2Hale Waihona Puke 2 .图1二、利用正余弦函数的有界性
正 余 弦 函 数 的 值 域 具 有 有 界 性 ，即 sinx,cosx ∈
2
cos x + 3
1ù
é
的值域为 ê-2, - ú .
2û
ë
（2）原 式 可 化 为 sin x - ycos x = 2y， 1+ y 2 sin ( x -
φ) = 2y，sin ( x - φ) =
得-
3
3
≤y≤
.
3
3
|
|
，∴ ||
|
1 + y2
|
|
||
|| ≤ 1，解
1 + y2 |
数学·解题研究
三角函数的值域和最值问题求解策略
江苏扬州市邗江区公道中学（225119） 王
雷
葛
艳
［摘 要］探讨三角函数的值域和最值问题的求解策略，以全面巩固学生的基础知识，提高学生的数学思维能力和数学运算的
核心素养 .
［关键词］三角函数；值域；最值
［中图分类号］ G633.6
［文献标识码］ A
［文章编号］ 1674-6058（2020）14-0018-02
② ，且 Δ 2 =
> 0，即
(3 + 4k2 )2
3 + 4k2 - m 2 > 0. 将方程①与方程②相加，得到以弦
高考数学：三角函数中的最值问题(4种方法)
三角函数中的最值问题（4种方法）基本方法1、直接法：形如f (x )＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b ),值域为[－|a |＋b ，|a |＋b ]，形如y＝asinx＋bcsinx＋c 的函数可反解出sinx，利用|sinx|≤1求解，或分离常数法.2、化一法：形如f (x )＝a sin x ＋b cos x ，f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＋c sin x cos x 的函数可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，利用正弦函数的有界性求解，给定x 范围时要注意讨论ωx ＋φ的范围，注意利用单位圆或函数图象．3、换元法：形如f (x )＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a cos 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a (sin x ±cos x )＋b sin x ·cos x 的函数可通过换元转化为二次函数在某区间上的值域求解．4、几何法（数形结合）：形如dx c bx a y ++=cos sin 转化为斜率问题，或用反解法.典型例题例1已知函数f (x )=(sin x+cos x )2+cos 2x ,求f (x )在区间.解：（化一法）因为f (x )=sin 2x+cos 2x+2sin x cos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=2sin 2 +1,当x ∈0,2 ∈由正弦函数y=sin x 当2x+π4π2,即x=π8时,f (x )取最大值2+1;当2x+π45π4,即x=π2时,f (x )取最小值0.综上,f (x )在0,上的最大值为2+1,最小值为0.例2求函数y ＝2＋sin x ＋cos x 的最大值.解：（化一法）y ＝2＋2sin(x ＋π4)，当x ＝π4＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝2＋2例3求函数f (x )＝cos2x ＋6cos(π2－x )的最大值.解：（换元法）f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2(sin x －32)2＋112.令sin x ＝t ，则t ∈[－1,1]，函数y ＝－2(t －32)2＋112在[－1,1]上递增，∴当t ＝1时，y 最大＝5，即f (x )max ＝5，例4已知x 是三角形的最小内角，求函数y ＝sin x ＋cos x －sin x cos x 的最小值.解：（换元法）由0≤x ≤π3，令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，又0<x ≤π3，∴π4<x ＋π4≤712π，得1<t ≤2；又t 2＝1＋2sin x cos x ，得sin x cos x ＝t 2－12，得y ＝t －t 2－12＝－12(t －1)2＋1，例5已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的取值范围.解：（换元法）令cos α＋cos β＝t ，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝t 2＋12，即2＋2cos(α－β)＝t 2＋12⇒2cos(α－β)＝t 2－32，∴－2≤t 2－32≤2⇒－12≤t 2≤72，∴－142≤t ≤142，即－142≤cos α＋cos β≤142.例6求函数y ＝1＋sin x3＋cos x的值域解法一：（几何法）1＋sin x3＋cos x可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x3＋cos x满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为[0，34]．解法二：（反解法）由y ＝1＋sin x3＋cos x 得sin x －y cos x ＝3y －1，∴sin(x ＋φ)＝3y －11＋y2其中sin φ＝－y 1＋y 2，cos φ＝11＋y 2.∴|3y －11＋y2|≤1，解得0≤y ≤34.例7求函数y ＝2sin x ＋1sin x －2的值域解法一：（分离常数法）y ＝2sin x ＋1sin x －2＝2＋5sin x －2，由于－1≤sin x ≤1，所以－5≤5sin x －2≤－53，∴函数的值域为[－3，13]．解法二：（反解法）由y ＝2sin x ＋1sin x －2，解得sin x ＝2y ＋1y －2，∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤2y ＋1y －2≤1，解得－3≤y ≤13，∴函数的值域为[－3，13]．针对训练1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为____.此时x ＝____.2.函数xxy cos -3sin -4的最大值为.3.函数f (x )=sin 2x+3cos ∈的最大值是.4.函数y ＝12＋sin x ＋cos x的最大值是【解析】1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．2.解析式表示过A (cos x ,sin x ),B (3,4)的直线的斜率,则过定点(3,4)与单位圆相切时的切线斜率为最值,所以设切线的斜率为k ,则直线方程为y-4=k (x-3),即kx-y-3k+4=+11,∴k max3.由题意可知f (x )=1-cos 2x+3cos x-34=-cos 2x+3cos x+14=-cos -+1.因为x ∈0,cos x ∈[0,1].所以当cos f (x )取得最大值1.4.∵y ＝12＋2sin (x ＋π4)，又2－2≤2＋2sin(x ＋π4)≤2＋2∴y ≤12－2＝1＋22，含参问题一、单选题1．已知函数()sin cos (0,0)62af x x x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭，对任意x ∈R ，都有()f x ≤，若()f x 在[0,]π上的值域为3[2，则ω的取值范围是（）A．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．12,33⎡⎤⎢⎣⎦C．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()sin cos 62af x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos 2a x x ωω++max ()f x =02a a >∴= ，())3f x x πω∴=+0,0x πω≤≤> ，333x πππωωπ∴≤+≤+，3()2f x ≤ 2233πππωπ∴≤+≤，1163ω∴≤≤.故选：A2．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，关于函数()g x ，下列说法正确的是（）A．在,42ππ⎡⎤⎢⎣⎦上是增函数B．其图像关于直线6x π=对称C．在区间,1224ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1--D．函数()g x 是奇函数【解析】因()()cos 2sin 06f x x x x πωωωω⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，则()f x 的最小正周期为22T ππω==，即4ω=，所以()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得()2sin 42sin 42cos 46662f x g x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，所以，()g x 为偶函数，故D 选项不正确；由4,k x k k Z πππ≤≤+∈，即,44k k x k Z πππ+≤≤∈，故()g x 在区间(),44k k k Z πππ+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故A选项不正确；由4,2x k k Z ππ=+∈，即,48k x k Z ππ=+∈，所以()g x 图像关于,48k x k Z ππ=+∈对称，故B选项不正确；当,1224x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，4,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，则()21g x -≤≤-，所以C 选项正确.故选：C.3．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（）A．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．73,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．57,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为0>ω，所以当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[,]4424x ππωππω-∈--因为函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以52244πωπππ≤-≤，解得332ω≤≤，故选：B．4．已知函数()(2)f x x ϕ=+22ππϕ-≤≤，若()0f x >在5(0,)12π上恒成立，则3(4f π的最大值为（）B．0C．D．2-【解析】因为5(0,)12x π∈,故52(,)6x πϕϕϕ+∈+；由()0f x >，即1sin(2)2x ϕ+>-，得722266k x k πππϕπ-+<+<+，k Z ∈，故57(,)(2,2)666k k πππϕϕππ+⊆-++，k Z ∈，故2657266k k πϕπππϕπ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得2263k k πππϕπ-+≤≤+，k Z ∈；又22ππϕ-≤≤，故63ππϕ-≤≤，5．已知曲线()sin cos f x x m x ωω=+，()m R ∈相邻对称轴之间的距离为2π，且函数()f x 在0x x =处取得最大值，则下列命题正确的个数为（）①当0,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，m的取值范围是⎣；②将()f x 的图象向左平移04x 个单位后所对应的函数为偶函数；③函数()()y f x f x =+的最小正周期为π；④函数()()y f x f x =+在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．故33()()42f ππϕϕ⎡⎤+++-⎢⎥⎣⎦，故3()4f π的最大值为0．故选：BA．1B．2C．3D．4【解析】函数()f x 的相邻对称轴之间的距离为2π，则周期为22T ππ=⨯=，∴22πωπ==，()sin 2cos 2f x x m x =+)x ϕ=+，其中cos ϕ=，sin ϕ=[0,2)ϕπ∈，()f x 在0x 处取最大值，则022,2x k k Z πϕπ+=+∈，0222k x πϕπ=+-，k Z ∈，①若0[,]126x ππ∈，则[2,2]63k k ππϕππ∈++，1sin 2ϕ≤≤，12解m ≤正确．②如()sin(28f x x π=+，0316x π=时函数取最大值，将()f x 的图象向左平移04x 个单位后得313()sin[2(4)sin(2)1688g x x x πππ=+⨯+=+，不是偶函数，错；③()()y f x f x =+中，()y f x =是最小正周期是π，()y f x =的最小正周期是2π，但()()y f x f x =+的最小正周期还是π，正确；④003[,44x x x ππ∈++时，()()0y f x f x =+=，因此在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有无数个零点，错；∴正确的命题有2个．故选：B．6．已知函数()cos 4cos 12=+-xf x x 在区间[0,]π的最小值是（）A．-2B．-4C．2D．4【解析】22()cos 4cos 12cos 14cos 12(cos 1)42222x x x x f x x =+-=-+-=+-，由[0,]x π∈知，[0,]22x π∈，cos [0,1]2x ∈，则当x π=时，函数()f x 有最小值min ()2f x =-.故选：A.7．已知()cos31cos xf x x=+,将()f x 的图象向左平移6π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12得到()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法中正确的个数为（）①函数()g x 的周期为2π;②函数()g x 的值域为[]22-,;③函数()g x 的图象关于12x π=-对称;④函数()g x 的图象关于,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】()()cos 2cos311cos cos x x xf x x x+=+=+cos 2cos sin 2sin 12cos 2cos x x x x x x -=+=.即：()2cos 2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈.()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈.①因为函数()g x 的周期为2π，因此①正确.②因为,62k x k Z ππ≠+∈，故() 2.g x ≠-因此②错误.③令4,3x k k Z ππ+=∈，得,124k x k Z ππ=-+∈.故③正确k ππ二、填空题8．函数()2sin()sin()2sin cos 66f x x x x x ππ=-++在区间[0,2π上的值域为__________．【解析】由11(x)sinx cosx)(sinx cosx)sin 2x2222f =-++22312(sin x cos x)sin 2x 44=-+2231sin cos sin 222x x x=-+11cos 2sin 22x x =--+1x )24π=-当[0,]2x π∈时，2[,]444x ππ3π-∈-，则sin(2)[42x π-∈-，所以11(x)[,22f ∈-.故答案为：11[,22-9．若函数()()2cos 2cos 202f x x x πθθ⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭的图象过点()0,1M ，则()f x 的值域为__________.【解析】由题意可得()02cos 2cos 02cos 211f θθ=+=+=，得cos 20θ=，02πθ<<，02θπ∴<<，22πθ∴=，则4πθ=，()22cos cos 2cos 22sin 2sin 2sin 12f x x x x x x x π⎛⎫∴=++=-=--+ ⎪⎝⎭2132sin 22x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，令[]sin 1,1t x =∈-，则213222y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.当12t =-时，该函数取最大值，即max 32y =，当1t =时，该函数取最小值，即min 3y =-.因此，函数()y f x =的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.10．函数32()sin 3cos ,32f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域为_________．【解析】由题意，可得()3232ππf x sin x 3cos x sin x 3sin x 3,x ,,32⎡⎤=+=-+∈-⎢⎥⎣⎦，令t sinx =，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()32g t t 3t 3=-+，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()2g't 3t 6t 3t t 2=-=-，当t 0<<时，()g't 0>，当0t 1<<时，()g't 0>，即()y g t =在⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，在[]0,1为减函数，又g ⎛=⎝⎭()g 03=，()g 11=，故函数的值域为：⎤⎥⎣⎦．11．（2019·广东高三月考（文））函数()cos 2|sin |f x x x =+的值域为______．【解析】2219()cos 2|sin |12|sin ||sin |2|sin |48f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭,所以当1sin 4x =时,()f x 取到最大值98,当sin 1x =时,()f x 取到最小值0,所以()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
求解三角函数最值问题的三种常用措施
备考指南蒋成备考指南与三角形有关的最值问题的常见命题形式，是根据已知三角形的边角及其关系式、角的三角函数值，求三角形的面积、周长、边长、角的最值.此类问题侧重于考查正余弦定理、勾股定理、三角函数的定义、性质以及三角恒等变换的技巧.下面结合一道例题，谈一谈与三角形有关的最值问题的解法.例题：已知ΔABC是锐角三角形，三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c，若B=π3，b=3，求ΔABC面积的最大值.题目中给出的条件较为简单，要求根据已知的一个角和一条边，求三角形面积的最值.解答本题，需灵活运用正余弦定理进行边角互化，最后结合三角形为锐角三角形这一特性来对角进行限定，以此作为约束条件，求得三角形面积的最值.解答本题主要有两种思路.方法一:利用三角函数的性质求解有关三角形的最值问题，经常要用到三角函数的有界性和单调性.首先需根据已知条件，利用正余弦定理进行边角互化，将三角形的面积用三角函数表示出来，再通过恒等变换，将面积的表达式转化为只含有一种函数名称的函数式，最后根据三角函数的有界性和单调性求得最值.解法一:由正弦定理可得asin A=b sin B=c sin C =π32，则a=2sin A,c=2sin C，所以SΔABC=12ac sinπ3=3sin A sin C刘健康函数式简化，把问题转化为关于新元的函数最值问题来求解.运用该措施来解题，关键在于选取合适的式子进行换元.一般地，可选取根号下的式子、绝对值内部的式子或频繁出现的式子.例3.若sin x+sin y=，求cos x+cos y的最值.解：令t=cos x+cos y，将sin x+sin y=，cos x+cos y=t分别平方可得sin2x+2sin x sin y+sin2y=12，①cos2x+2cos x cos y+cos2y=t2，②由①+②可得2+2cos()x-y=t2+12，即2cos()x-y=t2-32，∵-2≤2cos()x-y≤2，∴-2≤t2-32≤2，∴≤t，即≤cos x+cos y≤∴cos x+cos y的最小值为仔细观察已知关系式和所求目标式，可发现二者的结构一致，只是函数的名称不一样，于是引入参数t，将其替换目标式，然后将两式平方，根据同角的三角函数关系式sin2x+cos2x=1，得到关于t的二次函数式，再根据余弦函数的单调性和有界性，以及二次函数的单调性求得t的范围，即可求得目标式的最值.通过换元，可将陌生的、复杂的三角函数问题转化为熟悉的、简单的二次函数问题，利用二次函数的性质来求最值.在引入新变量后，要根据已知的定义域求出新变量的取值范围.相比较于而言，第一、二种措施较为常用，第三种措施较为灵活，同学们需根据已有的知识和解题经验合理换元，才能顺利解题.值的注意的是，函数的最值通常会受定义域的影响，因此，在求三角函数的最值问题时，一定要重视讨论函数的定义域，根据函数的定义域求最值.（作者单位：江苏省淮安市淮海中学）60。
求三角函数最值_值域_问题的十种策略
{x | x = k + 8, k # Z}
二、函数单调性
借助换元, 若能将所研究的对象转化为函
数问题, 则可运用函数的单调性质.
例 2∀
求函数 y =
2s
inx 1+ s
co inx
s2x
的最
大值.
解: y =
s in2x + 2sinx + 1 1 + sinx
=
(
sinx + 1+
1)2 s inx
s in2x
.
解: f (x )
=
1+
cos2x + 8sin2x s in 2x
=
2cos2x + 8sin2x 2s inx co sx
=
cosx s inx
+
4 s inx cosx
%
2
4 = 4.
当且仅当
cosx s inx
=
4 s inx即 cosx
x
=
arc
tan
1 2
时,
f ( x )m in = 4成立. 四、配方法
一、函数有界性 若能将所求 三角函数 式化为同 名同角函 数, 则可运用其有界性求解.
8
例 1∀ [ 2006年高考辽宁卷 (文 ) ] 已知函 数 f ( x ) = sin2x + 2sinx cosx + 3cos2x, x # R. 求
函数 f ( x ) 的最大值及取得最大值的自变量 x的
的面积是 .
4
点M
为椭圆
x2 4
+
y2 3
=
1上的动点, 两个
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π 因为 x (0 ， ) ，所以 cos x 0 ． 2 上式分子分母同时除以 cos 2 x ，
可得 y
2
3tan 2 x 1 3 tan x 1 2 tan x 2 2 tan x
3tan x 1 3， 2 2 tan x 3tan x 1 ， 当且仅当 2 2 tan x π 即 x 时等号成立． 6
1 ． 3
1 综上所述，原函数的值域为 ( ， ] [7 ， ) ． 3 点评 上述解法首先进行的是分离常数变形，所 以这种方法有的书上也叫做分离常数法． 策略 3 构造辅助角和函数有界性相结合 2sin 2 x 1 π 例 3 已知 x (0 ， ) ，求函数 y 的最 2 sin 2 x 小值． 2 cos 2 x 解 原函数可化为： y ， sin 2 x 去分母得 y sin 2 x cos 2 x 2 ．
38
福建中学数值（值域）问题的求解策略
肖笃光 江西省吉安市泰和中学（343700） 从而 2
5 2sin x 1 7 ，即 y 7 ．
三角函数的最值（值域）问题是每年高考重点 考查的知识点之一，它不仅与三角函数自身的常见 的基础知识密切相关，而且与代数及一些几何中的 有关知识有密切联系． 而分式型三角函数的最值 （值 域）问题却是这类问题的难点，这类考题综合性强， 解法灵活，对能力要求较高．本文结合全国各省市 历年高考试卷中涉及分式型三角函数最值（值域） 问题，归纳其解题策略，以提高同学们的思维能力 和解题能力． 策略 1 反求函数和函数有界性相结合 4 sin x 3 例 1 求函数 y 的值域． 2sin x 1 y3 解 原函数可变形为 sin x ， 2y 4 由 sin x 1 得到： y 3 2 y 4 ． 两边平方并整理，得 3 y 2 22 y 7 0 ， 解之得 y 7 ，或 y
1 16 所以 f ( x) [sin x (1 sin x)]( ) sin x 1 sin x
π ， 所以 0 sin x 1 且 0 1 sin x 1 ， 2 1 sin x 16sin x 因此 f ( x) 17 sin x 1 sin x 1 sin x 16sin x 17 2 25 ， sin x 1 sin x 1 sin x 16sin x 当且仅当 ， sin x 1 sin x 1 即 sin x 时等号成立． 5 1 所以当 sin x 时， f min ( x) 25 ． 5
其进行分类讨论．
y min 2 3(a 1) a 2 ； 7 时， 3
②若 3(a 1) 2 ，即 a 由于 g(x)=x
7 时， 3
3(a 1) 在 (0 ， 2] 上单调递减， x 3(a 1) 5 所以 y min 2 a 2 (a 1) ． 2 2 7 2 3(a 1) a 1 ， 1 a ， 3 综上所述 f ( ) min 5 7 (a 1) ， a . 2 2 点评 解含字母或参数的数学问题时，通常要对
因为 0 x
点评 若两个正数的和或积为 1 时，可把待求问 题中的 1 等价代换成两个正数的和或积的代数式， 从而达到运用基本不等式来求函数最值的目的． 策略 8 局部换元和分类讨论相结合 例 8 设 a 1 ， a ， 均为实数，试求当 变化 (a sin )(4 sin ) 时，函数 f ( ) 的最小值． 1 sin 解 令 x 1 sin ，则 x (0 ， 2] ， 从而原函数可变为： (x a 1)( x 3) 3(a 1) y x a2 ， x x 由 a 1 可知 3(a 1) 0 ， ①若 0 3(a 1) 2 ，即 1 a
3sin 2 x cos 2 x ， 2sin x cos x
1 所以原函数的值域为 ( ， ] [7 ， ) ． 3 点评 上述解法第一步进行的是用 y 来表示 x ，
这与求反函数的思路是一致的，进而利用正弦函数 的有界性求出 y 的范围，即为函数的值域． 策略 2 分离常量和部分分式分析相结合 例 2 同例 1． 5 解 原函数可化为： y 2 ， 2sin x 1 由 1 sin x 1 得到： 3 2sin x 1 1 且 2sin x 1 0 ． 1 1 当 3 2sin x 1 0 时， ， 2sin x 1 3 5 5 则 ， 2sin x 1 3 5 1 1 从而 2 ，即 y ； 3 2sin x 1 3 1 当 0 2sin x 1 1 时， 1， 2sin x 1 5 则 5， 2sin x 1
由 辅 助 角 公 式 可 得 y 2 1sin(2 x ) 2 （ 令 2 ， 即 sin(2 x ) ， 由正弦函数的有 cot y ） 2 y 1 界性 sin(2 x ) 1 可得到： 2 y 2 1 ． 两边平方得 y 2 3 ，解之得 y 3 或 y 3 ． 所以原函数的最小值为 y min 3 ． 点评 形如 y a sin b cos 的函数，在研究其 性质时，往往借助于三角恒等变形合成某个角的三 角函数，其方法是：提取 a 2 b 2 ，增设辅助角 ， 逆用和与差的正余弦公式． 策略 4 化归转化和基本不等式相结合 例 4 同例 3． 解 原函数可变为： y
2015 年第 2 期
福建中学数学
1 sin x sin x 16sin x ． 1 sin x
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π 时， y min 3 ． 6 点评 利用用基本不等式求函数的最值时，要注
所以当 x
17
意等号成立的条件． 策略 5 整体换元和函数单调性相结合 1 例 5 已知函数 y sin x cos x ， x (0 ， sin x cos x π ) ，求 y 的最小值． 2 1 解 令 u sin x cos x sin 2 x ， 2 π 1 由于 x (0 ， ) ，所以 2 x (0 ， π) ，则 u (0 ， ] ， 2 2 1 1 故 y u ， u (0 ， ] ． u 2 1 1 因为 y u 在上 u (0 ， ] 是减函数， u 2 1 1 5 所以当 u 时， ymin 2 ． 2 2 2 点评 解决某些三角函数问题时，引入换元思想 会起到一些意想不到的效果． 策略 6 分类讨论和 判别式相结合 2 例 6 求函数 y 的值域． tan 2 x 2 tan x 2 解 原函数可变为： 2 y tan x 2 y tan x 2 y 2 0 (tan x R ) ， 当 y 0 时， 2 0 显然不成立，所以 y 0 ； 从而由 0 可得到： 4 y 2 4 y (2 y 2) 0 ， 即 y 2 2 y 0 ，解得 0 y 2 ． 因为 y 0 ，所以 0 y 2 ， 从而得到原函数的值域为 y (0 ， 2] ． 点评 运用判别式法求分式型三角函数的值域 时，首先要保证自变量取自身的范围；其次去分母 变形后所得到二次方程，要讨论二次项系数为零与 不为零的情况． 策略 7 “1”的代换和基本不等式相结合 π 16 1 例 7 已知 0 x ， 求函数 f ( x) sin x 1 sin x 2 的最小值． 解 由于 sin x (1 sin x) 1 ，