勾股定理应用

一、勾股定理的逆定理：1. 逆定理：如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状。

在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角。

二. 实际应用定理中的注意问题：1、定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边2、勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形三、勾股定理逆定理的几种典型应用：例题1如图，△ABC 中，AB=15，AC=8，AD 是中线，且AD=8.5，则BC的长为（ ）A ．15 B ．16 C ．17 D ．18例题2 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=2，AC=3，则D ，E ，F ，G ，H ，I 都在长方形KLMJ 的边上，则长方形KLMJ 的面积为（ ）A ．50B ．52C ．54D ．56利用勾股定理计算角度实例：如图，点E 是正方形ABCD 内的一点，连接AE 、BE 、CE ，将△ABE 绕点B 顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．开放性试题发挥主观能动性，答案不唯一。

实例：如图，已知一个边长分别为6、8、10的直角三角形，请设计出一个有一条边长为8的直角三角形，使这两个直角三角形能够拼成一个等腰三角形．（1）画出4种不同拼法（周长不等）的等腰三角形；（2）求出4种不同拼法的图形的等腰三角形的周长．一、选择题1、有下面的判断：①△ABC 中，a 2+b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形．②△ABC 是直角三角形，∠C=90°，则a 2+b 2=c 2．③若△ABC 中，a 2-b 2=c 2，则△ABC 是直角三角形．④若△ABC 是直角三角形，则（a+b ）（a-b ）=c 2．以上判断正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2、若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c ，则此△为（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不能确定 *3、已知正实数a 、b 、c 满足bc a c b a a c b +=+=+=k ，以2k ，2k+1，2k-1为三边的三角形面积是（ ）A ．12 B ．6 C ．512D ．3 **4、如图，以△ABC 的每一条边为边作三个正三角形△ABD 、△BCE 和△ACF ．已知这三个正三角形构成的图形中，甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和，则∠FCE=（ ）A ．130°B ．140°C ．150°D ．160°**5、如图，已知正方形ABED 与正方形BCFE ，现从A ，B ，C ，D ，E ，F 六个点中任取三个点，使得这三个点能作为直角三角形的三个顶点，则这样的直角三角形共有（ ）A ．10个B ．12个C ．14个D ．16个二、填空题：*6、如图，Rt △ABC 中，∠C=90度．将△ABC 沿折痕BE 对折，C 点恰好与AB 的中点D 重合，若BE=4，则AC 的长为 ．*7、如图，在4×5的方格中，A 、B 为两个格点，再选一个格点C ，使∠ACB 为直角，则满足条件的点C 个数为**8如图：在△ABC 中，CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，且EF∥BC 交AC 于M ，若CM=5，则CE 2+CF 2= ．三、解答题：9、阅读以下解题过程：已知a，b ，c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4，试判断△ABC 的形状．错解：∵a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4…（1），∴c 2（a 2-b 2）=（a 2-b 2）（a 2+b 2）…（2），∴c 2=a 2+b 2 (3)问：（1）上述解题过程，从哪一步开始发现错误请写出该步的代号 ．（2）错误的原因是 ．（3）本题正确的结论是 ．：*10、、如图，点D 是△ABC 内一点，把△ABD 绕点B 顺时针方向旋转60°得到△CBE ，若AD=4，BD=3，CD=5．（1）判断△DEC 的形状，并说明理由；（2）求∠ADB 的度数．**11、如图：四边形ABCD 中，AD=DC ，∠ABC=30°，∠ADC=60°．试探索以AB 、BC 、BD 为边，能否组成直角三角形，并说明理由．**12、已知：△ABC 的周长是4+26，AB=4，AC=6+2．（1）判断△ABC 的形状；（2）若CD 是AB 上的中线，DE ⊥AB ，∠ACB 的平分线交DE 于E ，交AB 于F ，连接BE ．求证：DC=DE ，并求△DBE 的面积．一、勾股定理在解决几何问题中的应用技巧：1、构造直角三角形。

根据题意，合理构造直角三角形，比如等腰三角形中的求值或面积问题，经常作高构造直角三角形。

例如：ＡＢ=ＡＣ=１０,ＢＣ=６，求三角形ＡＢＣ面积 ２、利用勾股定理列方程：将三角形的边用同一未知数表示，列出方程，解出所求值。

（１）在翻折问题中，大多数求值都是这种应用。

如：如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（２）求折断物体长度时，使用方程：如：一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面高度是３、分类讨论思想已知一个直角三角形的两边长，并没有指明是直角边还是斜边，因此要分类讨论．已知一个直角三角形的两边长是3cm 和4cm ，求第三边的长．４、数形结合思想几何与代数问题的综合。

在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？二.特殊几何图形中的勾股定理计算规律：１、 含有30°的直角三角形。

（1）30°角所对的直角边是斜边的一半。

（2）60°角所对的直角边是30°角所对直角边的3倍。

２、等边三角形：（1）高等于任何一边的23倍。

（2）面积等于43（边长）2例题1在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用完全相同的四个直角三角形采用拼图的方式验证了勾股定理的正确性．问题1：以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形，探究S 1+S 2与S 3的关系（如图1）．问题2：以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形，探究S′+S″与S的关系（如图3 B A B C 30° D CBA图2）．问题3：以直角三角形的三边为直径向形外作半圆，探究S 1+S 2与S 3的关系（如图3）．例题2A 1A 2B 是直角三角形，且A 1A 2=A 2B=a ，A 2A 3⊥A 1B ，垂足为A 3，A 3A 4⊥A 2B ，垂足为A 4，A 4A 5⊥A 3B ，垂足为A 5，…，A n+1A n+2⊥A nB ，垂足为A n+2，则线段A n+1A n+2（n 为自然数）的长为（ ）A ．n a2 B ．1)2( n a C ．2a D ．n a 2分类讨论求值充分考虑不同情况下的求值。

实例：在△ABC 中，AB=15，AC=13，BC 边上的高AD=12，则边BC 的长是（ ）A ．14B ．4C ．14或4D ．56生活中的勾股定理方案设计在实际生活中应用勾股定理。

实例：某园艺公司对一块直角三角形的花园进行改造，测得两直角边长分别为a=6米，b=8米．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以b 为直角边的直角三角形，则扩建后的等腰三角形花圃的周长为（ ）米．A ．32或20+45 B ．32或36或380 C ．32或380或20+45 D ．32或36或380或20+45一、选择题1、观察以下几组勾股数，并寻找规律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；…，根据以上规律的第⑦组勾股数是（ ）A ．14、48、49B ．16、12、20C ．16、63、65D ．16、30、342 如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端的滑动距离（ ）A ．等于1米B ．大于1米C ．小于1米D ．不能确定*3已知△ABC 是斜边长为1cm 的等腰直角三角形，以Rt △ABC的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是（ ）A ．n 2cm B ．12-n cmC ．2n cmD ．12+n cm *4如图所示，一只小蚂蚁从棱长为1的正方体的顶点A 出发，经过每个面的中心点后，又回到A 点，蚂蚁爬行最短程S 满足（ ）A ．5＜S≤6B ．6＜S≤7C ．7＜S≤8D ．8＜S≤9**5、如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D 、E 在BC上，且∠DAE=45°，现将△ACE 绕点A 旋转至△ABE′处，连接DE′和EE′，则下列结论中 ①AB ⊥DE′②∠ADE=∠BAE ③△AEE′是等腰直角三角形 ④AD ⊥EE′⑤BD 2+CE 2=DE 2正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个． 二、填空题：*6 如图，一牧童在A 处放羊，牧童的家在B 处，A 、B 距河岸的距离AC 、BD 分别为500m和700m ，且C 、D 两地相距500m ，天黑前牧童要将羊赶往河边喝水再回家，那么牧童至少应该走 m ．*7如图，为安全起见，幼儿园打算加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°．已知滑梯AB 的长为3m ，点D ，B ，C 在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD 的长是 m ．**8 勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 分别在正方形ABCD 的边DA 、AB 、BC 、CD 上．若正方形ABCD 的面积=16，AE=1；则正方形EFGH 的面积= ．**9、图（1）是一个面积为1的正方形，经过第一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，如图（2）；经过第2次“生长”后变成图（3），经过第3次“生长”后变成图（4），如果继续“生长”下去，它将变得更加“枝繁叶茂”，这就是美丽的“勾股树”．已知“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和存在一定的变化规律，请你利用这一规律求：①经过第一次“生长”后的所有正方形的面积和为 ，②经过第10次“生长”后，图中所有正方形的面积和为：三、解答题：*10我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是**11已知：如图，点O是等腰直角△ABC斜边AB的中点，D为BC边上任意一点．操作：在图12中作OE⊥OD交AC于E，连接DE．探究OD、BD、CD三条线段之间有何等量关系？请探究说明．**12如图平面直角坐标系xoy中，A（1，0）、B（0，1），∠ABO的平分线交x轴于一点D．（1）求D点的坐标；（2）如图所示，A、B两点在x轴、y轴上的位置不变，在线段AB上有两动点M、N，满足∠MON=45°，下列结论（1）BM+AN=MN，（2）BM2+AN2=MN2，其中有且只有一个结论成立，请你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论．(1)(2)。