勾股定理的运用
勾股定理的应用
勾股定理的应用勾股定理的应用1．长方体(或正方体)面上的两点间的最短距离长方体(或正方体)是立体图形，但它的每个面都是平面．若计算同一个面上的两点之间的距离比较容易，若计算不同面上的两点之间的距离，就必须把它们转化到同一个平面内，即把长方体(或正方体)设法展开成为一个平面，使计算距离的两个点处在同一个平面中，这样就可以利用勾股定理加以解决了．所以立体图形中求两点之间的最短距离，一定要审清题意，弄清楚到底是同一平面中两点间的距离问题还是异面上两点间的距离问题．谈重点长方体表面上两点间最短距离因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况——前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．【例1－1】如图①是一个棱长为3 cm的正方体，它的6个表面都分别被分成了3×3的小正方形，其边长为1 cm.现在有一只爬行速度为2 cm/s的蚂蚁，从下底面的A点沿着正方体的表面爬行到右侧表面上的B点，小明把蚂蚁爬行的时间记录了下来，是2.5 s．经过简短的思考，小明先是脸上露出了惊讶的表情，然后又露出了欣赏的目光．你知道小明为什么会佩服这只蚂蚁的举动吗？解：如图②，在Rt△ABD中，AD＝4 cm，BD＝由勾股定理，AB2＝BD2＋AD2＝32 ＋42＝25，AB＝5 cm，∴蚂蚁的爬行距离为又知道蚂蚁的爬行速度为2 cm/s，∴它从点A沿着正方体的表面爬行到点B处，需要时间为52＝2小明通过思考、判断，发现蚂蚁爬行的时间恰恰就是选择了这种最优的方式，所以他感到惊讶和佩服．【例1－2】如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长如图所示)，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？解：蚂蚁由A点沿长方体的表面爬行到C1点，有三种方式，分别展成平面图形如下：如图①，在Rt△ABC1中，AC21＝AB2＋BC21＝42＋32＝52＝25.故AC1＝5.如图②，在Rt△ACC1中，AC21＝AC2＋CC21＝62＋12＝如图③，在Rt△AB1C1中，AC21＝AB21＋B1C21 ＝52＋22＝29.∵2 5＜29＜37，∴沿图①的方式爬行路线最短，最短的路线是5.点技巧巧展长方体求解此类问题时只需对长方体进行部分展开，画出局部的展开图，若将长方体全部展开，不仅没有必要反而会扰乱视线．2．圆柱体(或圆锥体)面上的两点间的最短距离圆柱体(或圆锥体)是立体图形，从其表面看两点之间的连线绝大部分是曲线，那么怎样确定哪一条是最短的呢？解决问题的方法是将圆柱(或圆锥)的侧面展开，转化为平面图形，应用勾股定理解决，而不能盲目地凭感觉来确定．【例2】如图①所示，一只蚂蚁在底面半径为20 cm，高为30πcm的圆柱下底的点A处，发现自己正上方圆柱上边缘的B处有一只小昆虫，便决定捕捉这只小昆虫，为了不引起这只小昆虫的注意，它故意不走直线，而绕着圆柱，沿一条螺旋路线，从背后对小昆虫进行突然袭击，结果蚂蚁偷袭成功，得到了一顿美餐．根据上述信息，请问蚂蚁至少爬行多少路程才能捕捉到小昆虫？分析：解此题的关键是把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短和勾股定理作答．解：假设将圆柱体的侧面沿AB剪开铺平如图②，则对角线AB即为蚂蚁爬行的最短路线．在Rt△ACB中，AC＝40πcm，BC＝30π由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝(40π)2＋(30π)2＝(50π)2，∴AB＝50π∴蚂蚁至少爬行50πcm才能捕捉到小昆虫．谈重点圆柱体两点间的最短距离本题文字叙述较多，要求在阅读的基础上提炼有用的信息，具体解题时先将圆柱沿AB剪开，将侧面展开成一矩形，会发现对角线AB即为蚂蚁爬行的最短路线，再运用勾股定理即可求得．3．生活中两点间的最短距离用勾股定理解决实际问题的关键是从实际问题中构建数学模型——直角三角形，再正确利用两点之间线段最短解答．【例3】如图①是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm,3 dm和1 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？分析：由于蚂蚁是沿台阶的表面由A爬行到B，故需把三个台阶展开成平面图形(如图②)．解：将台阶展开成平面图形后，可知AC＝5 dm，BC＝3×(3＋1)＝12 dm，∠C＝90°.在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，∴AB2＝52＋122＝132，∴AB＝13 dm.故蚂蚁爬到B点的最短路程是13 dm.4．如何正确利用勾股定理及其逆定理解决生活中的问题利用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题，重要的是将实际问题转化成数学模型(直角三角形模型)，将实际问题中的“数”转化为定理中的“形”，再转化为“数”．解题的关键是深刻理解题意，并画出符合条件的图形．解决几何体表面上两点之间的最短距离问题的关键是要设法把立体图形转化为平面图形，具体步骤是：(1)把立体图形展成平面图形；(2)确定点的位置；(3)确定直角三角形；(4)分析直角三角形的边长，用勾股定理求解．【例4】如图①，圆柱形玻璃容器的高为18 cm，底面周长为60 cm，在外侧距下底1 cm的点S处有一只蜘蛛，在与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1 cm的点F处有一只苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛需要爬行的最短距离是__________cm.解析：将圆柱的侧面展开得到它的侧面展开图(如图②)，CD∥AB，且AD＝BC＝12底面周长，BS＝DF＝1 cm.则蜘蛛所走的最短路线的长度即为线段SF的长度．过S点作SM⊥CD，垂足为M，由条件知，SM＝AD＝12×60＝30 cm，MC＝SB＝DF＝1 cm，所以MF＝18－1－1＝16 cm，在Rt△MFS中，由勾股定理得SF2＝162＋302＝342，所以SF＝34 cm.故蜘蛛需要爬行的最短距离是答案：345．勾股定理与方程相结合的应用方程思想是一种重要的数学思想．所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程(组)使问题得到解决的思维方式．而勾股定理反映的直角三角形三边的关系正是构建方程的基础．故勾股定理的许多问题的解决都要跟方程相结合．方程思想是勾股定理中的重要思想．【例5】如图，有一张直角三角形状纸片ABC，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？解：设CD＝x cm，由题意知DE＝x cm，BD＝(8－x) cm，AE＝AC＝6 cm，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝AC2＋BC2＝10于是BE＝10－6＝在Rt△BDE中，由勾股定理得42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3.故CD的长为。
勾股定理的应用
勾股定理的应用勾股定理作为数学中著名的定理之一，广泛应用于各个领域。
它是数学中的基础定理之一，也是几何学中三角形研究的重要工具。
本文将从几个应用角度介绍勾股定理在实际生活中的运用。
一、建筑工程中的应用勾股定理在建筑工程中有着广泛的应用。
举个例子，我们在修建某一斜坡时，需要确定其坡度，勾股定理可以帮助我们准确计算出坡度。
此外，在设计斜面道路、楼梯等结构时，勾股定理也能帮助我们确保结构的稳定与安全。
二、航海导航中的应用在航海导航中，勾股定理被广泛用于测量船只的航向和航速。
通过测量船只相对于岸上两个点的距离，结合勾股定理可以计算出船只的位移和速度，为航海者提供准确的导航信息。
三、地理测量中的应用在地理测量中，勾股定理被用于测量两个相隔较远的地点之间的距离。
通过在地面上进行三角测量，即测量两个点与另一个点的夹角以及距离，再利用勾股定理求解，可以得到精确的距离数据，为地理测量和地图绘制提供重要支持。
四、天文学中的应用在天文学中，勾股定理被用于测量遥远星体之间的距离和角度。
天文学家通过观测星体的位置和角度，结合勾股定理的计算方法，可以确定天体的距离和大小，进而推断宇宙的形态和结构。
五、计算机图形学中的应用计算机图形学中，勾股定理被广泛应用于图形处理和渲染。
图形引擎通过勾股定理来计算线段的长度、图形的形状和倾斜度等信息，为计算机生成的图像提供基础数学支持。
综上所述，勾股定理作为数学中一项重要的基础定理，在实际生活中有着广泛的应用。
它在建筑工程、航海导航、地理测量、天文学和计算机图形学等领域中都起着重要的作用。
通过勾股定理的运用，我们可以提高工作效率，确保工程安全，促进科学发展。
因此，深入理解和应用勾股定理对我们的日常生活和社会发展都具有重要意义。
八年级数学下册《勾股定理的应用》教学设计一等奖3篇
1、八年级数学下册《勾股定理的应用》教学设计一等奖在教学工作者实际的教学活动中，时常需要准备好教学设计，教学设计是根据课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划。
那么优秀的教学设计是什么样的呢？以下是小编整理的八年级数学下册《勾股定理的应用》教学设计范文，仅供参考，希望能够帮助到大家。
一、教学任务分析勾股定理是平面几何有关度量的最基本定理，它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特点。
学习勾股定理极其逆定理是进一步认识和理解直角三角形的需要，也是后续有关几何度量运算和代数学习的必然基础。
《数学课程标准》对勾股定理教学内容的要求是：1、在研究图形性质和运动等过程中，进一步发展空间观念；2、在多种形式的数学活动中，发展合情推理能力；3、经历从不同角度分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性；4、探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。
本节《勾股定理的应用》是北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》第３节、具体内容是运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题、在这些具体问题的解决过程中，需要经历几何图形的抽象过程，需要借助观察、操作等实践活动，这些都有助于发展学生的分析问题、解决问题能力和应用意识；有些探究活动具有一定的难度，需要学生相互间的合作交流，有助于发展学生合作交流的能力、本节课的教学目标是：1、能正确运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题。
2、经历实际问题抽象成数学问题的过程，学会选择适当的数学模型解决实际问题，提高学生分析问题、解决问题的能力并体会数学建模的思想、教学重点和难点：应用勾股定理及其逆定理解决实际问题是重点。
把实际问题化归成数学模型是难点。
二、教学设想根据新课标提出的“要从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和运用的同时，在思维能力情感态度和价值观等方面得到进步和发展”的理念，我想尽量给学生创设丰富的实际问题情境，使教学活动充满趣味性和吸引力，让他们在自主探究，合作交流中分析问题，建立数学模型，利用勾股定理及其逆定理解决问题。
勾股定理的应用教学设计5篇
勾股定理的应用教学设计5篇第一篇：《勾股定理的应用》教学设计《勾股定理的应用》教学设计——解决立体图形外表上最短路线的问题__县第_中学李政法一、内容及内容解析1、内容勾股定理的应用——解决立体图形外表上最短路线的问题。
2、内容解析本节课是勾股定理在立体图形中的一个拓展，在初中阶段，勾股定理在求两点间的距离时，沟通了几何图形和数量关系，发挥了重要的作用，在中考中有席之地。
启发学生对空间的认知，为将来学习空间几何奠定根底。
二、教学目标1、能把立体图形依据需要局部展开成平面图形，再建立直角三角形，利用两点间线段最短勾股定理求最短路径径问题。
2、学会观看图形，勇于探究图形间的关系，培养学生的空间观念;在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。
3、通过有趣的问题提高学习数学的兴趣;在解决实际问题的过程中，培养学生的合作交流能力，体验数学学习的有用性，增强自信心，呈现成功感。
三、教学重难点【重点】：探究、发觉立体图形展开成平面图形，利用两点间线段最短勾股定理求最短路径径问题。
【难点】：查找长方体中最短路线。
四、教学方法本课采纳学生自主探究归纳教学法。
教学中，学生充分运用多媒体资源及大量的实物教具和学具，通过观看、思考、操作，归纳。
五、教学过程【复习回忆】右图是湿地公园长方形草坪一角，有人避开拐角在草坪内走出了一条小路，问这么走的理论依据是什么？若两步为1m，他们仅仅少走了几步？目的：1、复习两点之间线段最短及勾股定理，为新课做预备；2、激起学生爱护环境意识和对核心价值观“文明、友善”的践行。
思考：如图，立体图形中从点A到点B处，怎样找到最短路线呢？目的：引出课题。
【台阶中的最值问题】三级台阶示意图如图，每级台阶的长、宽、高分别为5dm、3dm和1dm，请你想一想，一只蚂蚁从点A动身，沿着台阶面爬行到点B，爬行的最短路线是多少？老师活动：假如A、B两点在同一个平面上，直接连接两点即可求出最短路。
勾股定理的应用-课件
在实际应用中，可以利用勾股定 理来检验一个三角形是否为直角 三角形，从而确定角度和边长之 间的关系。
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理是：如果一个三角 形的一组边长满足勾股定理，则这个 三角形一定是直角三角形。
通过勾股定理的逆定理，可以用来判 断一个三角形的角度和边长是否满足 直角三角形的条件，从而确定其是否 为直角三角形。
如何进一步推广和应用勾股定理
跨学科应用
01
鼓励将勾股定理应用于其他学科，以促进跨学科的学习和理解
。
创新教学方法
02
通过创新教学方法，例如使用数字化工具和互动游戏，提高学
生对勾股定理的兴趣和参与度。
实际应用
03
鼓励学生将勾股定理应用于实际问题解决中，例如在建筑、工
程和科学实验等领域。
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确定直角三角形
勾股定理可以用来确定一个三角形是 否为直角三角形，只需验证三边关系 是否满足勾股定理即可。
计算直角三角形边长
判断三角形的稳定性
勾股定理的应用可以帮助我们判断三 角形的稳定性，因为只有直角三角形 满足勾股定理，所以只有直角三角形 是稳定的。
已知直角三角形两条边的长度，可以 使用勾股定理计算第三边的长度。
。
在气象学中，勾股定理也被用于 计算气象气球上升的高度和速度 ，以了解大气层的结构和变化。
05
勾股定理的未来发展
勾股定理在现代数学中的应用
代数证明
勾股定理可以通过代数方法进行证明，这有助于学生更好地理解 代数和几何之间的联系。
三角函数
勾股定理与三角函数密切相关，通过应用勾股定理，可以解决一些 与三角函数相关的问题。
在海上导航中，勾股定理也用于确定船只的经度和纬度，以确保航行安全和准确 到达目的地。
勾股定理应用
一、勾股定理的逆定理：1. 逆定理：如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状。
在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角。
二. 实际应用定理中的注意问题：1、定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边2、勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形三、勾股定理逆定理的几种典型应用：例题1如图，△ABC 中，AB=15，AC=8，AD 是中线，且AD=8.5，则BC的长为（ ）A ．15 B ．16 C ．17 D ．18例题2 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=2，AC=3，则D ，E ，F ，G ，H ，I 都在长方形KLMJ 的边上，则长方形KLMJ 的面积为（ ）A ．50B ．52C ．54D ．56利用勾股定理计算角度实例：如图，点E 是正方形ABCD 内的一点，连接AE 、BE 、CE ，将△ABE 绕点B 顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．开放性试题发挥主观能动性，答案不唯一。
勾股定理的证明及应用
自由讨论：勾股定理的应用。
（1）在生活中许许多多的事物都是三 角形组成，而这些三角形的物体许多 都需要是直角三角形，而你手中只有 卷尺，那么此时勾股定理可以帮助你 证明他是不是三角形。 （2， ∠C＝ 90°， AC:BC:AB＝__________；
（2）如图 3－ 153 ∠ACB ＝90°， ∠A= 30°，则BC:AC:AB＝
___________；若AB＝8,则AC＝ _____________；又若CD⊥AB，
则CD=______________.
（3）等边出△ABC的边长为 a，则 高AD＝__________， S △ABC＝
______________
勾股定理
• 勾股定理又名华氏定理：在一个直角三角 形中，斜边边长的平方等于两条直角边边 长的平方之和。
• 据考证 ，人类对这条定理的认识，少说也 有4000年！又据记载 ，现世界上一共有超 过300个对这定理的证明！
古人的方法：
如图，将图中4个直角三角形涂上红色中间的 小正方形涂上白色，以弦为边的正方形成为弦 实，然后经过拼补搭配：令出入相补，各从其 类。他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定 理的。而赵爽对勾股定理的证明显示了我国数 学家高超的证题思想，较为简明，直观。
课后练习
（1）了解自己身边的直角三角形，并且可以 熟悉的应用好勾股定理。
（2）完成书后本课时练习以及练习册上的练 习。
随着下课铃声的响起，我们该下课了，请记 住我们这堂课的内容并可以运用自如。
再见！
勾股定理在实际问题中的应用举例
勾股定理在实际问题中的应用举例一、利用勾股定理解决立体图形问题勾股定理是揭示直角三角形的三条边之间的数量关系，可以解决许多与直角三角形有关的计算与证明问题，在现实生活中有着极其广泛的应用，下面就如何运用勾股定理解决立体图形问题举例说明，供参考。
一、长方体问题例1、如图1，图中有一长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、变形忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（ ）A 、41cmB 、34cmC 、50cmD 、75cm分析：图中BD 为长方体中能放入的最长的木条的长度，可先连接BC ，根据已知条件，可以判断BD 是Rt △BCD 的斜边，BD 是Rt △BCD 的斜边，根据已知条件可以求出BC 的长，从而可求出BD 的长。
解：在Rt △ABC 中，AB=5，AC=4，根据勾股定理，得BC=22AC AB +=41，在Rt △BCD 中，CD=3，BC=41，BD=22CD BC +=50。
所以选C 。
说明：本题的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题。
二、圆柱问题例2、如图2，是一个圆柱形容器，高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 出有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度是多少？分析：勾股定理是平面几何中的一个重要定理，在遇到立体图形时，需根据具体情况，把立体图形转化为平面图形，从而使空间问题转化为平面问题。
由题意可知，S 、F 两点是曲面上的两点，表示两点间的距离显然不能直接画出，但我们知道圆柱体的侧面展开图是一个长方形，，于是我们就可以画出如图3的图，这样就转化为平面中的两点间的距离问题，从而使问题得解。
解：画出圆柱体的侧面展开图，如图3，由题意，得SB=60÷2=30（cm ），FB=18―1―1=16（cm ），在Rt △SBF 中，∠SBF=90°，由勾股定理得，SF=22FB SB +=221630+=34（cm ），所以蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm 。
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勾股定理的运用
勾股定理是数学中的重要定理之一，被广泛运用于各个领域。
本文将从几个方面介绍勾股定理的运用。
一、勾股定理的基本概念
勾股定理是指直角三角形中，直角边平方的和等于斜边平方。
即a+b=c，其中a、b为直角边，c为斜边。
勾股定理是数学中的基础定理之一，它不仅是数学学科中的重要内容，还广泛地应用于各个领域，如物理、化学、工程、金融等。
二、勾股定理在物理中的应用
勾股定理在物理学中应用广泛，特别是在力学、电学和光学等领域。
在力学中，勾股定理可用于计算物体的速度、加速度、力等。
例如，当一个物体沿着斜面下滑时，可以使用勾股定理计算物体的速度和加速度。
在电学中，勾股定理可用于计算电路中的电阻、电容和电感等。
例如，当电路中有一个直角三角形的电容器时，可以使用勾股定理计算电容器的电容量。
在光学中，勾股定理可用于计算镜头的焦距。
例如，当一个光线通过一个凸透镜时，可以使用勾股定理计算镜头的焦距。
三、勾股定理在工程中的应用
勾股定理在工程中也有广泛的应用。
特别是在建筑、航空航天、机械等领域。
在建筑中，勾股定理可用于计算建筑物的高度和长度。
例如，当建筑物的墙角为直角时，可以使用勾股定理计算建筑物的高度和长度。
在航空航天中，勾股定理可用于计算飞机的速度和高度。
例如，当飞机以一定的速度和高度飞行时，可以使用勾股定理计算飞机的速度和高度。
在机械中，勾股定理可用于计算机械的力和速度。
例如，当机械设备中有一个直角三角形的零件时，可以使用勾股定理计算零件的力和速度。
四、勾股定理在金融中的应用
勾股定理在金融中的应用也很广泛。
特别是在投资、财务和保险等领域。
在投资中，勾股定理可用于计算投资的回报率和风险。
例如，当投资的回报率和风险呈直角三角形时，可以使用勾股定理计算投资的回报率和风险。
在财务中，勾股定理可用于计算财务报表的比率和比重。
例如，当财务报表中的比率和比重呈直角三角形时，可以使用勾股定理计算财务报表的比率和比重。
在保险中，勾股定理可用于计算保险的赔偿和风险。
例如，当保险赔偿和风险呈直角三角形时，可以使用勾股定理计算保险的赔偿和风险。
五、结语
勾股定理是数学中的基础定理之一，它不仅是数学学科中的重要
内容，还广泛地应用于各个领域。
本文从物理、工程、金融等几个方面介绍了勾股定理的运用，希望能够对读者有所帮助。