三角函数的值域与最值-张素云
三角函数的值域与最值
三角函数的值域与最值一、主要方法及注意点：1．求值域或最值的常用方法有：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）将函数式化成一个角的同名三角函数的一元二次式，利用配方法或图象法求解；（3）借助直线斜率的关系用数形结合法求解；（4）换元法。
2．要注意的问题有：（1）注意题设给定的区间；（2）注意代数代换或三角变换的等价性；（3）含参数的三角函数式，要重视参数的作用，很可能要进行讨论。
二、基本练习：1．求下列函数的最大、最小值： （1）x x ycos sin 32⋅=（2）xysin 41-=解：1sin 23y x =∴y ∈[13-,13]解：50,4y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（3）1)21(sin 22++-=x y（4）1615)45(sin 2+-=x y解：7[,1]2y ∈-解：y ∈[1,6]2．若|x|≤4π，则f(x)=cos 2x+sinx 的最小值是（ D ）A ．212- B ．221+-C ．－1D ．221-3．求函数的值域：（1）y=3sin x －4cosx (2)f(x)=sinx+3cosx (2π-≤x ≤2π)解：y ∈[－5,5]解：()2sin()3f x x π=+又2π-≤x ≤2π∴y ∈[－1,2]4．（1）求函数xx y sin cos 2-=（0<x<π）最小值。
（2）求函数2sin 1sin 3)(+-=x x x f 的最大值和最小值。
解：（1）设点A （0，2），B （－sinx ，cosx ） 又0<x<π，则点B 的轨迹如图 而y 的值就是经过AB 两点的斜率，所以y （2）21sin 3y x y+=-，而sinx ∈[-1,1]于是－1≤213y y+-≤1 所以 －4≤y ≤23即y 的最大值为23，最小值为－4.三、典例精析：例1．求函数y=sin x ·c osx+sinx+cosx 的最大值。
三角函数的值域与解析式
三角函数的值域与解析式三角函数是高中数学中的重要概念，它们在几何学和物理学等领域有广泛的应用。
在学习三角函数时，我们需要了解它们的值域和解析式，以便能够正确地运用它们。
本文将重点探讨正弦函数和余弦函数的值域与解析式。
一、正弦函数的值域与解析式正弦函数的解析式为：y = sin(x)正弦函数的值域是[-1, 1]，即其取值范围在-1与1之间。
正弦函数的图像是一条连续的波浪线，它在x轴上是周期性的，在y轴上取值介于-1到1之间。
当x为0、π、2π及其整数倍时，正弦函数的值为0；当x为π/2、3π/2及其奇数倍时，正弦函数的值为1或-1；当x为π/4、3π/4及其奇数倍时，正弦函数的值介于0和1之间；当x为5π/4、7π/4及其奇数倍时，正弦函数的值介于-1和0之间。
根据这些特点，我们可以绘制出正弦函数的图像，并正确理解其值域。
二、余弦函数的值域与解析式余弦函数的解析式为：y = cos(x)余弦函数的值域也是[-1, 1]，与正弦函数相同。
余弦函数的图像也是一条连续波浪线，但与正弦函数的图像相位差π/2，即余弦函数的图像在x轴上是正弦函数图像向左平移π/2个单位。
余弦函数的值域与正弦函数相同，当x为0、2π、4π及其整数倍时，余弦函数的值为1；当x为π、3π、5π及其奇数倍时，余弦函数的值为-1；当x为π/2、5π/2及其奇数倍时，余弦函数的值介于0和-1之间；当x为3π/2、7π/2及其奇数倍时，余弦函数的值介于-1和0之间。
理解余弦函数的值域有助于正确应用该函数解决问题。
综上所述，正弦函数和余弦函数的值域都是[-1, 1]，但在特定的x取值时，它们的值会有所不同。
熟练掌握它们的值域和解析式是理解三角函数的重要一步，为应用三角函数解决实际问题打下基础。
我们可以通过反复练习和实际运用来加深对三角函数值域和解析式的理解，提高数学应用的能力。
3.6三角函数的图像与性质(二)-张素云
课后 反思
注：1、课题字体：黑体小二加粗 2、栏目字体：仿宋四号加粗 3、内容字体：宋体小四
第 4 页 共 4 页
T ．
点评：求三角函数的周期一般有两种： （1）化为 A sin( x ) 的形式特征，利用 公式求解； （2）利用函数图像特征求解．
1 π 例 4.已知函数 f ( x) cos 2 x ， g ( x) 1 sin 2 x ． 2 12
（I）设 x x0 是函数 y f ( x) 图象的一条对称轴，求 g ( x0 ) 的值． （II）求函数 h( x) f ( x) g ( x) 的单调递增区间．
f 2 2 3．函数 （x） sin （x ） sin （x ） 的最小正周期是_______． 4 4 （ ，0） 4. 函数 y=sin(2x+ )的图象关于点_______________对称． 3 3 1 0 5. 已知函数 y tan x 在（－ ， ）内是减函数，则 的取值范围是 2 2 ______________．
6
x 2k
7 且 x k , x k , k Z } 2 6
2 log 1 x 0, 0 x 4, 2 （2） 即 k x k 2 . tan x 0.
故函数的定义域为 (0, ) [ , 4] ． 2
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1 1 π 所以 g ( x0 ) 1 sin 2 x0 1 sin(kπ ) ． 2 2 6
1 π 1 3 当 k 为偶数时， g ( x0 ) 1 sin 1 ， 2 6 4 4
1 π 1 5 当 k 为奇数时， g ( x0 ) 1 sin 1 ． 2 6 4 4
三角函数最值或值域地求法
三角函数最值或值域的求法三角函数的最值问题是本章的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。
类型一：利用1cos 1sin ,xx这一有界性求最值。
例1：求函数xx ysin 21sin 的值域。
解：由xx ys in 21s in 变形为(1)si n 21y x y ，知1y ，则有21sin 1y xy，由21|sin |||11y x y22221||1(21)(1)1y yyy203y ，则此函数的值域是2[,0]3y类型二：x b x a y cos sin 型。
此类型通常可以可化为22sin cos ()y a x b x ab x求其最值（或值域）。
例2：求函数)3sin()6sin(xxy（R x）的最值。
解法1：)12sin(2]4)6sin[(2)6cos()6sin(xxxxy ，∴函数的最大值为2，最小值为2。
分析2：运用公式sin (α±β) = sin αcos β± cos αsin β解法2：xxycos 213sin 213∴函数的最大值为2，最小值为2。
分析3：观察发现角)3(x 与角)6(x的差恰好为2，故将)6(x看成基本量，将函数化归为同一角)6(x的函数式。
解法3：（运用和差化积公式）)4cos()12sin(2xy )12sin(2x∴函数的最大值为2，最小值为2。
类型三：)0(sin sin 2a c xb xa y型。
此类型可化为)0(2a c bt aty在区间]1,1[上的最值问题。
例3：求函数1sin 3cos 2x xy（R x）的最值分析：转化为一个角的同一种函数sinx ，将问题化归为“二次函数”的最值问题，用配方法。
解：49)23(sin 1sin 3sin 122x x xy∴函数的最大值为49，最小值为4325例4：求函数1sin 3cos 2x a xy （R a，R x）的最大值。
解：1sin 3cos 2x a xy转化为2sin 3sin 2y xa x配方得：243)23(sin 22aa x y①当123a ，即332a 时，在sinx=1，即)(22z kk x时，13maxa y ②当123a时，即332a 时，在sinx=－1，即)(22z k k x时，13maxa y ③当1231a，即332332a时，在a x23sin ，即a kx 23arcsin 2或)(23arcsin2z ka k x 时，2432maxay 综上：2max2331()3323232()4332331()3a ay a aa a类型四：)0(cos sin sin 2ac xx b xa y 型。
3.9解三角形的应用-张素云
120 A 2 105 A 1
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120 方向的 B2 处，此时两船相距 10 2 海里，问乙船每小时航行多少海里？
分析：读懂题意，正确构造三角形，结合正弦定理或余弦定理求解． 解法一：如图(2)，连结 A1B2 ，由已知 A2 B2 10 2 ，
2 中心位于城市 O（如图）的东偏南 （ cos ）方向 10
O 海 岸
北 东 O
O
300km 的海面 P 处，并以 20km/h 的速度向西偏北 45 线 方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60km， 并以 10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始 受到台风的侵袭？ 分析：解决本题的关键是读懂题目，弄清题目条件， 设出时间，找出三角形，恰当选取正弦定理或余弦定理求解． r(t) 解法一： 如图(1)，设经过 t 小时后台风中心为 Q，此时台风 侵袭的圆形区域半径为 10t 60 (km) ．若在 t 时刻城市 O 受到台风的侵袭，则 OQ 10t 60 ．
102 (1 3)2 (10 2)2 2 10(1 3) 10 2
2(1 3) 200 ． 4
B1B2 10 2 ，乙船的速度的大小为
答：乙船每小时航行 30 2 海里．
10 2 ． 60 30 2 （海里/小时） 20
点评： 解法二也是构造三角形的一种方法， 但计算量大， 通过比较二种方法， 学生要善于利用条件简化解题过程． 例 3.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风
5 2 3 a 3 5 2 3 a． 3
答：线段 AC 的长为 【范例解析】
高考一轮数学复习理科课件人教版专题研究三角函数的值域与最值
CHAPTER
06
总结与展望
总结
三角函数值域与最值的定义和性 质
总结了三角函数值域与最值的定义，以及 相关的基本性质，如周期性、对称性等。
三角函数值域与最值的求法
归纳了几种常见的求三角函数值域与最值 的方法，如配方法、换元法、不等式法等 。
三角函数了三角函数值域与最值在解 决数学问题中的应用，如代数、几何等领 域。
解决实际问题
在实际问题中，如物理、工程等领域 ，常常需要求解三角函数的最值或值 域，以解决实际问题。
三角函数值域与最值的求解方法
代数法
通过代数运算，利用三角函数的 性质和公式，求出三角函数的最
值或值域。
几何法
将三角函数与几何图形相结合，利 用几何意义求出三角函数的最值或 值域。
导数法
利用导数求出函数的极值点，再结 合函数的单调性求出三角函数的最 值。
详细描述
反解法适用于一些难以直接观察的三角函数。通过反解，将 自变量表示为因变量的函数，然后利用函数的性质，如单调 性、奇偶性等，来求解函数的值域。反解法有时需要结合其 他方法一起使用，以简化求解过程。
CHAPTER
03
三角函数最值的求解方法
代数法
总结词
通过代数运算，将三角函数式转化为 更易于处理的形式，从而求得最值。
数形结合法
将三角函数与图像结合，利用 图像的直观性，得出函数的值
域或最值。
CHAPTER
05
三角函数值域与最值的应用实 例
在三角形中的应用
总结词
解决三角形问题
详细描述
三角函数在三角形问题中有着广泛的应用，尤其是在求解角度、边长等问题时。通过三角函数，我们可以利用已 知条件推导出未知量，从而解决三角形的问题。
函数的单调性-张素云
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当 0 x1 x2 1 ，则 x1 x2 0 ， x1 x2 1 0 ， x1 x2 0 故 ( x1 x2 )
x1 x2 1 0 ，即 f ( x1 ) f ( x2 ) 0 ，即 f ( x1 ) f ( x2 ) ． x1 x2
R 上是增函数；
④定义在 R 上的函数 f ( x ) 在区间 (, 0] 上是增函数，在区间 (0, ) 上也是增函数，则函数 f ( x ) 在
R 上是增函数．
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【范例解析】
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其中正确命题的序号有_____②______．
3 4
分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定． 证明： （1）对于区间 (, ] 内的任意两个值 x1 ， x2 ，且 x1 x2 ， 因为 f ( x1 ) f ( x2 ) 2x12 3x1 1 (2x22 3x2 1) 2x22 2x12 3x1 3x2
点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤： （1）在给定区间内任意取两值 x1 ， x2 ； （2） 作差 f ( x1 ) f ( x2 ) ，化成因式的乘积并判断符号； （3）给出结论． 例 2.确定函数 f ( x)
1 的单调性． 1 2x
分析：作差后，符号的确定是关键． 解：由 1 2 x 0 ，得定义域为 (, ) ．对于区间 (, ) 内的任意两个值 x1 ， x2 ，且 x1 x2 ， 则
专题——三角函数值域与最值
三角函数的值域和最值1.正弦函数y=sinx 定义域是R ，值域是[-1,1]，在x=2k π-π/2(k ∈Z)时取最小值-1，在x=2k π+π/2(k ∈Z)时，取最大值1 .2.余弦函数y=cosx 定义域是R ，值域是[-1，1]，在x=2k π(k ∈Z)时，取最大值1，在x=2k π+π(k ∈Z)时，取最小值-13.正（余）切函数y=tanx 定义域是(k π-π/2，k π+π/2)(k ∈Z)，值域是R ，无最值.4. asinx+bcosx 型函数)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a其中 ab arctan =ϕ，φ角所在象限是由点P(a,b)所在象限确定) 练习题1．.若sin x ≥1/2，则x 的范围是____________________________；若√3+2cos x ＜0，则x 的范围是 ；若tanx ≤1,则x 的范围是________________________；若sin2x ＞cos2x ，则x 的范围是__________________________( 2k π+π/6≤x ≤2k π+5π/6，k ∈Z ；2k π+5π/6<x<2k π+7π/6，k ∈Z ；k π-π/2<x ≤k π+π/4，k ∈Z ；k π+π/4<x<k π+3π/4，k ∈Z )2．函数y=√3sin x+cos x,x ∈[-π/6，π/6]的值域是( ) D(A)[-√3，3] (B)[-2，2] (C)[0，2] (D)[0，√3]【x 有范围限制时，y 的范围要根据单调性得出】3．函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为( ) A(A)1+√2 (B)√2-1 (C)2 (D)24.设 0cos sin,cos sin 33<+=+ααααt ，则t 的取值范围是( ) B (A) ()()∞+-，，303 (B) [)02，-(C) ()()3101，， - (D) [)33，- 5．函数f(x)=Msin(ωx+φ)(ω＞0)在区间[a,b ]上是增函数，且f(a)=-M ，f(b)=M ，则函数g(x)=Mcos(ωx+φ)在[a,b ]上( ) B(A)是增函数 (B)可以取得最大值M(C)是减函数 (D)可以取得最小值-M6．已知△ABC 中， 324tan --=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA ，求使⎪⎭⎫ ⎝⎛++=62sin sin 2y 2πB B 取最大值时∠C 的大小.【形如y=acos2x+bcosxsinx+csin2x+d(a 、b 、c 、d 为常数)的式子，都能仿照上例变形为形如y=Acos(2x+φ)+B 的式子，从而有关问题可在变形式的基础上求解 另外，求最值时不能忽视对定义域的思考】7．试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值.又若x ∈[0，π/2]呢？【此为sinx+cosx 与sinx·cosx 型.(注意与上例形式的不一样)，一般地，含有sinx+cosx,sinx-cosx ，sinx·cosx 的三角函数都可以采用换元法转化为t 的二次函数去解.但必须注意换元的取值范围.】【换元后，要研究定义域的变化，脱离定义域研究函数没有意义】8．求函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域 【此为dx c b x a y ++=sin sin 型三角函数(分子、分母的三角函数同角同名)这类函数，一般用拆分法及三角函数的有界性去解.思考如何求1cos 21sin 2-+=x x y 的值域呢? 】 9．已知函数f(x)=-sin2x-asinx+b+1的最大值为0，最小值为-4，若实数a ＞0，求a,b 的值【上述两题为y=asin2x+bsinx+c 型的三角函数.此类函数求最值，可转化为二次函数y=at2+bt+c 在闭区间[-1，1]上的最值问题解决.】10．.在Rt △ABC 内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC 上．(1)设AB=a,∠ABC=θ，求△ABC 的面积P 与正方形面积Q(2)当θ变化时求P /Q 的最小值．【此题为 xa x sin sin +型三角函数．当sin x ＞0且a ＞1时，不能用均值不等式求最值，往往用函数单调性求解】。
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4) ∴ 1 m 4 ，即 m 的取值范围是 (1， ．
点评：第（Ⅱ）问属于恒成立问题，可以先去绝对值，利用参数分离转 化为求最值问题．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及 运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力． 例 4．扇形 AOB 的半径为 1，中心角为 60 ， P Q R S 是扇形的内接矩形， 问 P 在怎样的位置时，矩形 P Q R S 的面积最大，并求出最大值． 分析：引入变量 AOP x ，建立目标函数． 解：连接 OP ，设 AOP x ，则 PS sin x ， OS cos x ，
是
___________________． 4.当 0 x
2
时，函数 f ( x )
1 cos 2 x 8 sin sin 2 x
2
x
的Hale Waihona Puke 小值为 14 ．．
5.已知 k＜－4，则函数 y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是
6. 若 2 ， 则 y co s 6 sin 的 最 大 值 与 最 小 值 之 和 为 第 1 页 共 4 页
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____2____． 【范例解析】
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例 1.（1）已知 sin x sin y
1 3
，求 sin y cos 2 x 的最大值与最小值．
（2）求函数 y sin x cos x sin x cos x 的最大值． 分析：可化为二次函数求最值问题． 解： （1）由已知得： sin y
【基础练习】 1.函数 y sin x 3 cos x 在区间 [0, ] 上的最小值为
2 3
1 ．
．
2.函数 f ( x ) cos x 3. 函 数
y tan (
1 2
cos 2 x ( x R ) x) (
的最大值等于 4
4
2
4
x
且
( 的 值 ) x 0) , 1] [1, 域
π x 4 π π 3 co s 2 x ， x ， 4 2
．
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（I）求 f ( x ) 的最大值和最小值； （II）若不等式 f ( x ) m 2 在 x ， 上恒成立，求实数 m 的取值范 4 2 围． 分析：观察角，单角二次型，降次整理为 a sin x b cos x 形式． 解： （Ⅰ）∵ f ( x ) 1 cos
π 1 2 sin 2 x 3 π π π π
2 x 2 π
3 cos 2 x 1 sin 2 x
3 cos 2 x
．
π π 2π
π
又∵ x ， ，∴ ≤ 2 x ≤ ，即 2 ≤ 1 2 sin 2 x ≤ 3 ， 6 3 3 3 4 2
2 1 y
2
1 ，解得 y
2 co s x sin x
3
或 y 3 （舍） ，所以 y 的最小值为 3 ．
解法二：y
(0 x ) 表示的是点 A (0, 2 ) 与 B ( sin x , cos x ) 连线
的斜率，其中点 B 在左半圆 a 2 b 2 1( a 0) 上，由图像知，当 AB 与半 圆相切时， y 最小，此时 k AB 3 ，所以 y 的最小值为 3 ． 点评：解法一利用三角函数的有界性求解；解法二从结构出发利用斜率 公式，结合图像求解． 例 3.已知函数 f ( x ) 2 sin 2
2 co s x sin x (0 x ) 的最小值．
分析：利用函数的有界性求解． 解法一： 原式可化为 y sin x cos x 2(0 x ) ， 1 y 2 sin ( x ) 2 ， 得 即 sin( x )
2 1 y
2
，
故
1 1 sin x
， sin y [ 1,1] ，则 sin x [ ,1] ．
3
2
3 11 1 2 2 sin y cos x (sin x ) ，当 sin x 时， sin y cos 2 x 2 12 2 2 4 11 ；当 sin x 时， sin y cos 2 x 有最小值 ． 3 9 12
∴ f ( x ) m ax 3， f ( x ) m in 2 ．
（Ⅱ）∵ f ( x ) m 2 f ( x ) 2 m f ( x ) 2 ， x ， ， 4 2
∴ m f ( x ) m ax 2
π π
且 m f ( x ) m in 2 ，
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点评：合理引进参数，利用已知条件，结合图形建立面积与参数之间的 函数关系式，这是解题的关键．
布置
学案
作业 板书 设计 课后 反思
基础练习 3.7 例1 解析 反馈演练 1.利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题时要注意变量的取值范围。 2.恒成立问题，利用参数分离转化为求最值问题．本节课主要考查三角函数和 不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力． 三角函数的值域与最值 例2 解析 例 3. 解析
2
有最小值
（ 2 ） 设 sin x cos x t ( 2 t 2 ) ， 则 sin x cos x
y 1 2 t t
2
t 1 2
，则
1 2
，当 t 2 时， y 有最大值为 2 ．
2
1
点评：第（1）小题利用消元法，第（2）小题利用换元法最终都转化为 二次函数求最值问题；但要注意变量的取值范围． 例 2.求函数 y
R S cos x 3 3 3 3 3 3 sin x ．
B Q P
O
R
S 例4
A
S (cos x
sin x ) sin x
sin(2 x
6
)
3 6
，
0 x
3
，所以当 x
6
时， P 在圆弧中心位置， S m ax 第 3 页 共 4 页
3 6
．
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课题：3.7
教案编号
三角函数的值域与最值
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备课人
1.掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最 值解决实际问题； 三 2.求三角函数值域与最值的常用方法：（1）化为一个角的 维 同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解； 目 （2）化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用 标 配方法或图像法求解；（3）借助直线的斜率的关系用数形 结合求解；（4）换元法． 三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决 教学重点 实际问题 三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决 教学难点 实际问题 教学方法 讲练结合 教 学 过 程
注：1、课题字体：黑体小二加粗 2、栏目字体：仿宋四号加粗 3、内容字体：宋体小四
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