三角函数最值与值域专题
三角函数的值域
通 过 变 形 可 得 ： f ( x) = 1 a2 + b2 sin (2x + j ) ， 所 以 最 大 值 为 1 a2 + b2 = 1 ， 即
2
2
2
a2
+ b2
= 1 ①，再利用
f
æp çè 3
ö ÷ø
=
3 可得： - 1 a -
4
4
3b= 4
3
②，通过①②可解得：
4
ìa íîb
= =
例
4：设函数
f
(x)
=
sin x
+
cos 2x
，若
x
Î
éêë-
p 6
,
p 2
ù úû
，则函数
f
( x) 的最小值是______
思路：同例 4 考虑将解析式中的项统一，cos 2x = 1 - 2sin2 x = 1 - 2 sin x 2 ，进而可将 sin x
作为一个整体，通过换元来求值域。
解： f ( x) = sin x + cos 2x = sin x + 1 - 2 sin x 2
三角函数。观察可得 cos x 次数较低，所以不利于转化，而 sin2 x,cos 2x 均可以用 cos x 进
( ) ( ) 行表示，确定核心项为 cos x ，解析式变形为 y = cos x -
1 - cos2 x
-
2cos2 x - 1
7 +，
4
化简后为
y
=
- cos2
x
+
cos x
+
7 4
=
cos
新高考数学复习考点知识专题讲解与练习29---三角函数的值域和最值
新高考数学复习考点知识专题讲解与练习专题29 三角函数的值域和最值一、单项选择题1．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－122．如果|x|≤π4，那么函数f(x)＝cos 2x ＋sinx 的最小值是( ) A.2－12 B ．－2＋12 C ．－1 D.1－223．(2021·湖北武汉联考)已知函数f(x)＝sin(π2x ＋π6)－2cos 2π4x －1，则f(x)在[0，2]上的最大值与最小值之和为( ) A ．－72 B ．－52 C ．0 D.124．(2020·贵阳市高三摸底)将函数f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象先向右平移π6个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则g(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π3上的最小值为( )A ．0B ．－12C ．－32 D ．－ 35．已知y ＝sinx ＋1sinx ，x ∈(0，π)．下列结论正确的是( )A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值6．将函数f(x)＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后关于原点对称，则函数f(x)在[0，π2]上的最小值为( )A ．－32B ．－12C.12D.327．(2017·课标全国Ⅲ)函数f(x)＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( ) A.65 B ．1 C.35 D.158．当0＜x ＜π4时，函数f(x)＝cos2xcosxsinx －sin2x 的最小值是( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 二、多项选择题 9．(2021·山东青岛二模)声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数y ＝A sinωt (A>0，ω>0)，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)＝3|cosx|＋|sinx|，则下列结论正确的是( )A ．f(x)是偶函数B ．f(x)是周期函数C ．f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增D ．f(x)的最大值为210．设函数f(x)＝sinωx ＋3cosωx ，x ∈R ，其中ω>0，在曲线y ＝f(x)与直线y ＝3的所有交点中，相邻交点距离的最小值为π6，则( )A ．f(x)的最大值为1B ．ω＝2 C ．f(x)的图象的对称轴方程为x ＝kπ2＋π12，k ∈Z D ．f(x)的一个单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12三、填空题与解答题11．(2017·课标全国Ⅱ)函数f(x)＝sin 2x ＋3cosx －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．12．(2019·课标全国Ⅰ，理改编)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|的下述四个结论中正确的是________(填正确结论的序号)．①f(x)是偶函数； ②f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增；③f(x)在[－π，π]上有4个零点；④f(x)的最大值为2.13．(2020·广州市调研)已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，α.当α＝π3时，f(x)的值域是________；若f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则α的取值范围是________．14．(2020·湖北武汉调研)已知函数f(x)＝3sin2x ＋2cos 2x ＋m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为3，则(1)m ＝________．(2)对任意a ∈R ，f(x)在[a ，a ＋20π]上的零点个数为________． 15．已知函数f(x)＝sin3x ＋3cos3x ，x ∈R . (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π9，π3上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．16．函数y ＝1sin2x ＋2cos2x 的最小值是________．17．(2020·上海华师大二附中期中)已知函数y ＝sinθcosθ2＋sinθ＋cosθ. (1)设变量t ＝sinθ＋cosθ，试用t 表示y ＝f(t)，并写出t 的取值范围； (2)求函数y ＝f(t)的值域．参考答案1．答案 B解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32.2．答案 D解析 f(x)＝－sin 2x ＋sinx ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sinx －122＋54，当sinx ＝－22时，有最小值，f(x)min ＝24－22＝1－22. 3．答案 A解析 f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6－2cos 2π4x －1 ＝32sin π2x ＋12cos π2x －cos π2x －2＝32sin π2x －12cos π2x －2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π6－2.当x ∈[0，2]时，π2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，f(x)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－1.即f(x)在[0，2]上的最大值为－1，最小值为－52，二者之和为－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－72.4．答案 D解析 将函数f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象先向右平移π6个单位长度，得函数y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的12倍，纵坐标不变，得函数g(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π12的图象．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π3时，4x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π4，因此当4x －π12＝－π2，即x ＝－5π48时，g(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π3上取得最小值－ 3.5．答案 B解析 令t ＝sinx ，t ∈(0，1]，则y ＝1＋1t ，t ∈(0，1]是一个减函数，则y 只有最小值而无最大值．另外还可通过y ＝1＋1sinx ，得出sinx ＝1y －1，由sinx ∈(0，1]也可求出，故选B.6．答案 A解析 把函数f(x)＝sin(2x ＋φ)向左平移π6个单位长度得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ的图象，∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ是奇函数，∴π3＋φ＝k π.∵|φ|<π2，∴φ＝－π3.∴f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.∴x ＝0时，f(x)min ＝－32.7．答案 A解析 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π2＝sin(x ＋π3)，所以f(x)＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f(x)的最大值为65，故选A. 8．答案 D 解析 f(x)＝1－tan2x ＋tanx＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫tanx －122＋14， ∵0＜x ＜π4，∴0＜tanx ＜1.当tanx ＝12时，f(x)的最小值为4，故选D. 9．答案 ABD解析 本题考查三角函数的奇偶性、周期性、单调性的判断及最值的求法．函数f(x)的定义域为R ，因为f(－x)＝3|cos(－x)|＋|sin(－x)|＝3|cosx|＋|sinx|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故A 正确；因为f(x ＋π)＝3|cos(x ＋π)|＋|sin(x ＋π)|＝3|－cosx|＋|－sinx|＝3|cosx|＋|sinx|＝f(x)，所以π是f(x)的周期，故B 正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，函数f(x)可化为f(x)＝3cosx ＋sinx ＝2(32cosx ＋12sinx)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，此时f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上单调递减，故C 错误；由于π是函数f(x)的周期，故不妨取x ∈[0，π]研究其最值．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，函数f(x)可化为f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，所以当x ＋π3＝π2，即x ＝π6时，f(x)取得最大值2.当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π时，f(x)＝－3cosx ＋sinx ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sinx －32cosx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.由x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，得x －π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，2π3，所以当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f(x)取得最大值2，故当x ∈[0，π]时，f(x)取得最大值2，故D 正确．故选ABD. 10．答案 BCD解析 由题意可得f(x)＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2(12sin ωx ＋32cos ωx)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，易知f(x)的最大值为2，A 错误；由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＝3，可得sin (ωx ＋π3)＝32，得到ωx ＋π3＝2kπ＋π3或ωx ＋π3＝2k π＋2π3，k ∈Z ，令k ＝0，可得x 1＝0，x 2＝π3ω，由|x 1－x 2|＝π6可得π3ω＝π6，解得ω＝2，所以B 正确；f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝kπ2＋π12，k ∈Z ，C 正确；令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，令k ＝0，得到－5π12≤x ≤π12，D 正确．故选BCD. 11．答案 1解析 本题主要考查三角函数的最值．由题意可得f(x)＝－cos 2x ＋3cosx ＋14＝－(cosx －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cosx ∈[0，1]．∴当cosx ＝32时，f(x)max ＝1.12．答案 ①④解析 f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；当π2<x<π时，f(x)＝sinx ＋sinx ＝2sinx ，∴f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，故②不正确；f(x)在[－π，π]上的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]上只有3个零点，故③不正确；∵y ＝sin|x|与y ＝|sinx|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故④正确． 13．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2解析 若－π6≤x ≤π3，则－π3≤2x ≤2π3，－π6≤2x ＋π6≤5π6，此时－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，即f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.若－π6≤x ≤α，则－π3≤2x ≤2α，－π6≤2x ＋π6≤2α＋π6.∵当2x ＋π6＝－π6或2x ＋π6＝7π6时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12，∴要使f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则有π2≤2α＋π6≤7π6，即π3≤2α≤π，∴π6≤α≤π2，即α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2. 14．答案 (1)0 (2)40或41解析 (1)f(x)＝3sin2x ＋2cos 2x ＋m ＝3sin2x ＋1＋cos2x ＋m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋m ＋1， 因为0≤x ≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6.所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，f(x)max ＝2＋m ＋1＝3，所以m ＝0.(2)由(1)得f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，T ＝2π2＝π，在区间[a ，a ＋20π]上有20个周期，故零点个数为40或41.15．答案 (1)T ＝2π3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ3－5π18，2kπ3＋π18(k ∈Z )(2)f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π9，π3上取得最小值－3，此时，x ＝－2π9或π3 f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π9，π3上取得最大值2，此时x ＝π18解析 因为f(x)＝sin3x ＋3cos3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，所以函数f(x)的最小正周期为T ＝2π3.由2k π－π2≤3x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2kπ3－5π18≤x ≤2kπ3＋π18(k ∈Z )． 故函数f(x)的单调递增区间为[2kπ3－5π18，2kπ3＋π18](k ∈Z )． (2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π9，π3，得3x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，4π3，显然，当3x ＋π3＝－π3或3x ＋π3＝4π3，即x ＝－2π9或x ＝π3时，f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π9，π3上取得最小值－3；当3x ＋π3＝π2，即x ＝π18时，f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π9，π3上取得最大值2.16．答案 3＋2 2解析 y ＝1sin2x ＋2cos2x ＝sin2x ＋cos2x sin2x ＋2sin2x ＋2cos2x cos2x ＝3＋cos2x sin2x ＋2sin2xcos2x ≥3＋22， ∴y min ＝3＋2 2.17．答案 (1)y ＝t2－14＋2t [－2，2] (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，2＋24 解析 (1)∵t ＝sin θ＋cos θ，∴t ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，∴t ∈[－2，2]，t 2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θ＝1＋2sin θcos θ，∴sin θcos θ＝t2－12，∴y ＝f(t)＝sinθcosθ2＋sinθ＋cosθ＝t2－12（2＋t ）＝t2－14＋2t ，t ∈[－2，2]．(2)f(t)＝t2－14＋2t ＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤（t ＋2）2－4（t ＋2）＋3t ＋2 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（t ＋2）＋3t ＋2－4. ∵t ∈[－2，2]，∴t ＋2∈[2－2，2＋2]，则t ＋2＞0. ∵(t ＋2)＋3t ＋2≥2（t ＋2）·3t ＋2＝23，当且仅当t ＋2＝3t ＋2，即t ＋2＝3时取等号，∴函数f(t)的最小值为12×(23－4)＝3－2.当t ＝－2时，f(－2)＝2＋24，当t ＝2时，f(2)＝2－24，∴函数f(t)的最大值为2＋24.故函数y ＝f(t)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，2＋24.。
专题二 微重点6 三角函数中ω,φ的范围问题
P0，12，现将 y＝f(x)的图象向左平移π3个单位长度得到的函数图象也过
点 P，则
√A.ω 的最小值为 2
B.ω 的最小值为 6
C.ω 的最大值为 2
D.ω 的最大值为 6
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依题意 f(0)＝sin φ＝12，0<φ<π2，φ＝π6， f(x)＝sinωx＋π6的图象向左平移π3个单位长度得到 g(x)＝sinωx＋π3＋π6＝sinωx＋π3ω＋π6，g(0)＝sinπ3ω＋π6＝12， 所以π3ω＋π6＝2k1π＋π6或π3ω＋π6＝2k2π＋56π， 即ω＝6k1或ω＝6k2＋2，其中k1，k2∈Z， 由于ω>0，所以ω的最小值为2.
跟踪演练3 (2022·湛江模拟)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|≤π2，f π3＋x
＝f π3－x，f －π3＝0，且 f(x)在区间1π0，π2上有且只有一个极大值点，
33 则 ω 的最大值为__4___.
由题意知，－π3ω＋φ＝k1π， π3ω＋φ＝k2π＋π2，
k1，k2∈Z，
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若 x∈(0,2π)，则 ωx＋π6∈π6，2ωπ＋π6. 设 t＝ωx＋π6，则 t∈π6，2ωπ＋π6， 因为 2ωπ＋π6∈π6，176π， 所以函数 y＝sin t 在π6，2ωπ＋π6上的零点最多有 2 个. 所以f(x)在(0,2π)上的零点最多有2个.
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4.(2022·萍乡模拟)设函数 f(x)＝sin2x＋π4在区间a，a＋π3上的最大值为
M，最小值为 m，则 M－m 的最小值为
A.
2 2
√B.12
C.1－
2 2
2－1 D. 2
2022年新高考数学总复习：三角函数的值域与最值
2022年新高考数学总复习：三角函数的值域与最值例 (1)函数y ＝2sin x ＋1sin x －2的值域为__⎣⎡⎦⎤－3，13__. (2)(理)函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，函数f (x )的值域为__⎣⎢⎡0，2__. (文)函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )的值域为__[－2,2]__. (3)函数y ＝1＋sin x 3＋cos x的值域为__⎣⎡⎦⎤0，34__. (4)(理)若x 是三角形的最小内角，则函数y ＝sin x ＋cos x －sin x cos x 的最小值是( A ) A ．－12＋2B ．12＋2C ．1D ．2[解析] (1)解法一：y ＝2sin x ＋1sin x －2＝2＋5sin x －2，由于－1≤sin x ≤1，所以－5≤5sin x －2≤－53，∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－3，13. 解法二：由y ＝2sin x ＋1sin x －2，解得sin x ＝2y ＋1y －2，∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤2y ＋1y －2≤1，解得－3≤y ≤13，∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－3，13. (2)(理)f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝3sin 2x ＋sin x cos x ＝3(1－cos 2x )2＋sin 2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋32. (文)f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin (2x ＋π6)，值域为[－2,2]．(3)解法一：由y ＝1＋sin x3＋cos x得sin x －y cos x ＝3y －1，∴sin(x ＋φ)＝3y －11＋y 2其中sin φ＝－y1＋y 2，cos φ＝11＋y 2. ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪3y －11＋y 2≤1，解得0≤y ≤34. 解法二：1＋sin x 3＋cos x 可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x 3＋cos x 满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为⎣⎡⎦⎤0，34. (4)(理)由条件知0<x ≤π3，令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 又0<x ≤π3，∴π4<x ＋π4≤7π12，得1<t ≤2；又t 2＝1＋2sin x cos x ，得sin x cos x ＝t 2－12，得y ＝t －t 2－12＝－12(t －1)2＋1，则－12＋2≤y <1，所以函数的最小值为－12＋ 2.故选A ．名师点拨求三角函数值域或最值的方法(1)y ＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b )的值域为[－|a |＋b ，|a |＋b ]．(2)y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 可转化为关于cos x 的二次函数，求在给定区间上的值域(或最值)即可．(3)y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c ·cos 2x――→利用二倍角公式降幂整理y ＝A sin 2x ＋B cos 2x ――→辅助角公式y ＝A 2＋B 2sin(2x ＋φ)，再利用sin(2x ＋φ)的有界性求解，注意2x ＋φ的取值范围．(4)y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d ⎝ ⎛⎭⎪⎫或y ＝a cos x ＋b c cos x ＋d 可反解出sin x ＝f (y )(或cos x ＝f (y ))由正、余弦函数的有界性(|f (y )|≤1)求解；y ＝a sin x ＋bc cos x ＋d 可根据式子的几何意义用数形结合方法求解，或化为sin(x＋φ)＝yd －b a 2＋(yc )2利用三角函数的有界性求解．(5)y ＝f (sin x ±cos x ，sin x ·cos x )常用换元法，令t ＝sin x ±cos x ＝2sin(x ±π4)，则cos x sin x＝t 2－12⎝⎛⎭⎫或1－t 22，可化为关于t 的二次函数在某区间上的值域或最值． 〔变式训练3〕(1)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是__1__. (2)(理)(2021·黑龙江宜春二中月考)函数y ＝12＋sin x ＋cos x 的最大值是( D )A ．22－1 B ．－22－1 C ．1－22D ．1＋22(文)(2020·黑龙江宜春二中月考)函数y ＝2＋sin x ＋cos x 的最大值是( B ) A ．2－2 B ．2＋2 C ．2－2D ．－2－2(3)(2021·云南调研)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域是__2__. [解析] (1)依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]， 因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1. (2)(理)y ＝12＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，∵2－2≤2＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2＋2， ∴y ≤12－2＝1＋22，故选D ．(文)y ＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，当x ＝π4＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝2＋2，故选B ．(3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝1－2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤2，∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1，当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为⎣⎡⎦⎤－12－2，1.。
三角函数的值域和最值
能力·思维· 能力·思维·方法
π 4．已知△ABC中， tan A + = −2 − 3 ,求使 ．已知△ 中 求使 4 π 取最大值时∠C 的大小. 2 y = 2 sin B + sin 2 B + 取最大值时∠ 的大小 6
【解题回顾】形如y=acos2x+bcosxsinx+csin2x+d(a、b、c、 解题回顾】形如 d为常数)的式子，都能仿照上例变形为形如y=Asin(2x+φ) 为常数)的式子，都能仿照上例变形为形如 为常数 +B的式子，从而有关问题可在变形式的基础上求解另外， 的式子，从而有关问题可在变形式的基础上求解另外， 的式子 求最值时不能忽视对定义域的思考
π
能力·思维· 能力·思维·方法
π 4．已知△ABC中， tan A + = −2 − 3 ,求使 ．已知△ 中 求使 4 π 取最大值时∠C 的大小. 2 y = 2 sin B + sin 2 B + 取最大值时∠ 的大小 6 π
∴tan A = 3, A =
能力·思维· 能力·思维·方法
5.试求函数 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值 的最大值和最小值. 试求函数 的最大值和最小值 又若x∈ ， 又若 ∈[0，π/2]呢? 呢 解题分析:对于 解题分析 对于 “sinx+cosx+2sinxcosx”形式的式子已经不能 形式的式子已经不能 解 令 “asinx+bcosx=√a ∈[ 2sin(x+φ)”统一变量 ： t 统一变量, 简单地利用 = sin x + cos x, 则t2+b− 2, 2], 统一变量,而必 之间的关系, 须利用换元寻找 “sinx+cosx”与 “sinxcosx”之间的关系,进而 与 之间的关系 统一变量. 统一变量. cos x = (sin x + cos x)2 −1= t 2 −1 又2sin x
三角函数最大值最小值
三角函数最大值最小值引言三角函数是数学中常见的一类函数，包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)、正切函数(tan)等。
这些函数在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
其中一个重要的问题就是如何确定三角函数的最大值和最小值。
本文将详细介绍三角函数的最大最小值及其求解方法。
正弦函数(sin)的最大最小值正弦函数是一个周期函数，它表达了一个圆的边缘点在坐标系中的y坐标值。
正弦函数的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
可以通过以下推导来证明：首先，正弦函数在任意时刻的值都在-1和1之间，即 -1 ≤ sin(x) ≤ 1。
这是因为正弦函数是周期为2π的函数，而在一个周期内，它的值始终在-1和1之间。
其次，为了找到正弦函数的最大值和最小值，我们需要找到函数在一个周期内的关键点。
正弦函数的关键点就是最大值和最小值所对应的点。
在一个周期内，正弦函数的最大值出现在x = π/2 + 2πn 的点，最小值出现在x = -π/2 + 2πn 的点，其中n为整数。
综上所述，正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
余弦函数(cos)的最大最小值余弦函数是正弦函数的补函数，它也是一个周期函数，定义域是实数集，值域也是[-1, 1]。
余弦函数的最大值和最小值与正弦函数相同。
可以通过以下推导来证明：余弦函数在任意时刻的值也都在-1和1之间，即 -1 ≤ cos(x) ≤ 1。
这是因为余弦函数也是一个周期为2π的函数，在一个周期内，它的值始终在-1和1之间。
与正弦函数类似，余弦函数的最大值出现在x = 2πn 的点，最小值出现在x = π + 2πn 的点，其中n为整数。
综上所述，余弦函数的最大值为1，最小值为-1。
正切函数(tan)的最大最小值正切函数是一个非周期函数，定义域不包括π/2 + kπ (其中k为整数)，值域是全体实数。
正切函数并没有最大值和最小值。
可以通过以下推导来证明：首先，正切函数的定义域是除去一些特殊点的全体实数。
三角函数与解三角形中的最值(范围)问题
sin
2
2
（sin＋cos）
sin
＝
π
4
）
sin
2
1
（1＋
），
2
tan
π
π
因为 B ∈［ ， ），所以tan
6
4
因为函数 y ＝
sin（＋
B ∈［
3
，1），
3
2
1
3
（1＋ ）在［ ，1）上单调递减，
2
3
所以 的取值范围为（
2，
6＋ 2
］.
2
＝
高中总复习·数学
2. （2024·湖北三校联考）记△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为
π
≤ ）的图象离原点最近的对称轴为 x ＝ x 0，若满足｜ x 0｜≤
2
π
，则称 f （ x ）为“近轴函数”.若函数 y ＝2
6
“近轴函数”，则φ的取值范围是（
）
sin （2 x －φ）是
高中总复习·数学
解析： y ＝2 sin
π
（2 x －φ），令2 x －φ＝ ＋ k π， k ∈Z，∴图象
6
6
π
［0， ］上的值域为[－1，2].故选D.
2
高中总复习·数学
2.
4
3
sin+5
函数 y ＝
的最大值是
2−sin
6 ，最小值是
解析：法一
2−5
sin x ＝
，而－1≤
+1
原函数可化为
.
sin x ≤1，所以
2−5
4
－1≤
≤1，所以 ≤ y ≤6，因此原函数的最大值是6，最小值
三角函数专题：三角函数最值(值域)的5种常见考法(解析版)
三角函数专题：三角函数最值（值域）的5种常见考法1、形如sin y a x = (或cos y a x =)型可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论 2、形如sin()y a x b ωϕ=++ (或cos()y a x b ωϕ=++型 （1）先由定义域求得x ωϕ+的范围（2）求得sin()x ωϕ+ (或cos()x ωϕ+)的范围，最后求得最值 3、形如sin cos y a x b x =+型引入辅助角转化为22)y a b x ϕ=++，其中tan baϕ=，再利用三角函数的单调性求最值。
4、形如2sin sin (0)y a x b x c a =++≠或2cos cos (0)y a x b x c a =++≠型， 可利用换元思想，设sin y x =或cos y x =，转化为二次函数2y at bt c =++求最值，t 的范围需要根据定义域来确定． 5、形如sin cos (sin cos )y x x x x =⋅±±型利用sin cos x x ±和sin cos x x ⋅的关系，通过换元法转换成二次函数求值域 6、分式型三角函数值域（1）分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域； （2）判别式法题型一 借助辅助角公式求值域【例1】该函数sin 3y x x =的最大值是（ ） A ．1 B 6 C ．2 D ．2- 【答案】C【解析】因为πsin 32sin 3y x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，又[]πsin 1,13x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以函数sin 3y x x =的最大值是2.故选：C.【变式1-1】已知()()sin 3cos 0f x A x x A =->的最大值是2，则()3sin 3cos g x x A x +在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦中的最大值是（ ）A ．32B ．3C 326+ D ．23【答案】C【解析】根据辅助角公式可得：()2223sin 3=333f x A x x A x x A A ⎫=+⎪⎪++⎭()2=3A x ϕ+-，其中3tan ϕ=. 由()f x 的最大值为2()2320A A +>,解得1A =.∴()1333cos 23sin 2g x x x x x ⎫=+=⎪⎪⎭π233x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∵π3π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴π7π13π,31212x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦. ∴当π7π312x +=，即π4x =时，()g x 取得最大值. 故()max ππ343g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭231326232⎫+==⎪⎪⎝⎭故选:C.【变式1-2】已知函数()()3cos sin 3cos 0,2f x x x x x π⎫⎡⎤=∈⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则函数()f x 的值域为（ ） A ．33⎡⎢⎣⎦ B ．3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【解析】()23sin cos 3x x f x x =+)133sin 21cos 22x x =+sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以3sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的值域为3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B【变式1-3】函数2()sin 3cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．32D ．3 【答案】C【解析】因为2()sin 3cos f x x x x =，所以1cos 231()2sin(2)226x f x x x π-==+-，42ππx ≤≤，52366x πππ∴≤-≤，1sin 2126x π⎛⎫∴≤-≤ ⎪⎝⎭，∴13()122max f x =+=．故选：C ．【变式1-4】己知函数()3sin 4cos ,R f x x x x =+∈，则()()12f x f x -的最小值是_________. 【答案】10-【解析】由题意可得()()343sin 4cos 5sin cos 5sin 55f x x x x x x ϕ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=，且0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．因为12,R x x ∈,所以min max ()5,()5f x f x =-=.所以()()12f x f x -的最小值是min max ()()10f x f x -=-.题型二 借助二次函数求值域【例2】求函数22sin 2sin 1y x x =-++的值域.【答案】3[3,]2-【解析】y =−2sin 2x +2sinx +1=−2(sinx −12)2+32，−1≤sinx ≤1，根据二次函数性质知，当1sin 2x =时，max 32y =；当sin 1x =-时，min 3y =-， 故值域为3[3,]2-.【变式2-1】函数2cos sin 1y x x =+-的值域为（ ）A ．11[,]44-B ．1[0,]4C ．1[2,]4-D ．1[1,]4- 【答案】C【解析】函数222cos sin 11sin sin 1sin sin y x x x x x x =+-=-+-=-+，设sin t x =，11t -≤≤，则()2f t t t =-+， 由二次函数的图像及性质可知2124t t -≤-+≤，所以cos 2sin 1y x x =+-的值域为1[2,]4-，故选：C.【变式2-2】函数2tan 4tan 1y x x =+-的值域为____________【答案】[)5,-+∞【解析】因为2tan 4tan 1y x x =+-令tan t x =，则t R ∈所以()()224125f t t t t =+-=+-，所以()[)5,f t ∈-+∞，故函数的值域为[)5,-+∞【变式2-3】函数()193sin cos 2R 24y x x x =+-∈的最小值是（ ） A ．14B ．12 C ．234- D ．414-【答案】C【解析】22197313sin cos 2sin 3sin sin 24422y x x x x x ⎛⎫=+-=-+-=--+ ⎪⎝⎭，令sin x t =，则11t -≤≤．因为23122t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭在[]1,1-上单增，所以当1t =-时，2min31231224y ⎛⎫=---+=- ⎪⎝⎭．故选：C ．题型三 借助换元法求值域【例】已知函数()，则（）A ．()f x 的最大值为3，最小值为1 B ．()f x 的最大值为3，最小值为-1 C ．()f x 的最大值为32，最小值为34D ．()f x 的最大值为32，最小值为32 【答案】C【解析】因为函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++，设sin cos 24x x x t π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，2,2t ⎡∈-⎣， 则22sin cos 1x x t =-，所以2213124y t t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，2,2t ⎡∈-⎣，当12t =-时，()min 34f t =；当2t =时，()max 32f t =故选：C【变式3-1】函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________． 【答案】[－1,1]【解析】设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，即sin x cos x ＝1－t 22，且－1≤t ≤ 2. ∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1. 当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]．【变式3-2】函数()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为（ ） A ．1 B ．12 C ．12 D ．3 【答案】C【解析】()sin cos sin 2sin cos 2sin cos f x x x x x x x x =++=++，令sin cos 24t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以[2,2]t ∈-，则22(sin cos )12sin cos t x x x x =+=+， 所以22sin cos 1x x t =-，所以原函数可化为21y t t =+-，[2,2]t ∈，对称轴为12t =-，所以当2t 时，21y t t =+-取得最大值，所以函数的最大值为222121=，即()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为12C【变式3-3】函数f (x )=sinxcosx +√2sin (x −π4)的值域为________． 【答案】[−12−√2,1]【解析】由于f (x )=sinxcosx +√2sin (x −π4)=sinxcosx +sinx −cosx ，令sinx −cosx =t ，则sinxcosx =1−t 22，于是函数化为y =1−t 22+t =−12(t −1)2+1，而t =sinx −cosx =√2sin (x −π4)∈[−√2,√2] ， 所以当1t =时，函数取最大值1，当t =−√2时，函数取最小值−12−√2，故值域为[−12−√2,1].题型四 分式型三角函数的值域【例4】函数cos 12cos 1x y x +=-的值域是（ ）A ．][(),04,∞∞-⋃+B ．][(),02,∞∞-⋃+ C ．[]0,4 D ．[]0,2 【答案】B【解析】令11cos ,1,,122x t t ⎡⎫⎛⎤=∈-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，13(21)11322212122211t t y t t t -++===+⋅---，可得[)(]213,00,1t -∈-⋃，[)11,1,213t ⎛⎤∈-∞-⋃+∞ ⎥-⎝⎦，3113,,22122t ⎛⎤⎡⎫⋅∈-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢-⎝⎦⎣⎭，故(][),02,y ∈-∞⋃+∞.故选：B.【变式4-1】函数sin 3sin 2x y x +=+的值域为___________. 【答案】4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】解：sin 31sin 2sin 21x y x x +==+++， 因为1sin 1x -≤≤，所以1sin 23x ≤+≤，所以1113sin 2x ≤≤+，所以411+23sin 2x ≤≤+， 所以sin 3sin 2x y x +=+的值域是4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【变式4-2】函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x的值域为_____________．【答案】212111,2⎡⎫⎛-----⎪ ⎢⎪⎣⎭⎝⎦【解析】令sin cos 24t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，[2,1)(1,2]t ∈---，则212sin cos t x x =+，即21sin cos 2t x x -=，所以2112()12t t f t t --==+，又因为[2,1)(1,2]t ∈---，所以()212111,2f t ⎫⎛---∈--⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦， 即函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x 的值域为212111,2⎡⎫⎛-----⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦．【变式4-3】当04x π<<时，函数221sin ()cos sin sin xf x x x x-=⋅-的最小值是________.【答案】4【解析】22cos ()sin cos sin xf x x x x=-21tan tan x x =-， 当04x π<<时，tan (0,1)x ∈，所以21110tan tan 244<-≤-=x x ，()4f x ∴≥，即221sin ()cos sin sin xf x x x x-=⋅-的最小值为4.含绝对值的三角函数值域A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[－1,1] D ．[－2,0] 【答案】D【解析】当0sin 1x ≤≤ 时，sin sin 0y x x =-= ，所以，当1sin 0x -≤<，2sin y x =，又22sin 0x -≤< ，所以函数的值域为[]2,0-，故选：D.【变式5-1】函数()2sin 3cos f x x x =+的值域是（ ）A ．[]2,5B ．[]3,5C ．13⎡⎤⎣⎦D ．13⎡⎣【答案】C【解析】()sin()2cos()2sin 3cos 2sin 3cos f x x x x x x x +=+++=-+-=+πππ，∴()f x 为周期函数，其中一个周期为T π=，故只需考虑()f x 在[0,]π上的值域即可，当[0,]2x π∈时，()2sin 3cos 13)f x x x x =+=+α，其中cos 13α，sin 13α=, ∴max ()()132f x f =-παmin ()()22f x f ==π，当[,]2x ππ∈时，()2sin 3cos 13)f x x x x =-=+β，其中，cos 13β=sin 13=β， ∴max ()()132f x f =-πβmin ()()22f x f ==π，∴()f x 的值域为13].故选：C【变式5-2】设函数2()|sin |2cos 1f x x x =+-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最小值是______． 【答案】0【解析】∵2()|sin |2cos 1f x x x =+-|sin |cos 2x x =+为偶函数，∴只需求函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值，此时2()sin cos22sin sin 1f x x x x x =+=-++，令[]sin 0,1t x =∈，则221y t t =-++，函数的对称轴为[]10,14t =∈，∴当1t =时，min 2110y =-++=.【变式5-3】若不等式sin tan tan sin 0x x x x k -++-≤在3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则k 的取值范围是______. 【答案】[)2,∞+ 【解析】∵ ()sin 1cos sin tan sin sin cos cos x x xx x x x x++=+=，3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴ sin 0,1cos 0,cos 0x x x >+><，∴ tan sin 0x x +<，∴sin tan tan sin sin tan tan sin 2tan x x x x x x x x x -++=---=-， ∵ 不等式sin tan tan sin 0x x x x k -++-≤在3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立 ∴ 2tan k x ≥-，3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()max 2tan 2k x ≥-=. 故k 的取值范围是[)2,∞+.。
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三角函数最值与值域专题三角函数的最值问题是高考的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。
类型一：利用1cos 1sin ,≤≤x x 这一有界性求最值。
例1：求函数xx y sin 21sin --=的值域。
解：由xx y sin 21sin --=变形为(1)sin 21y x y +=+，知1y ≠-，则有21sin 1y x y +=+，21|sin |||11y x y +=≤+22221||1(21)(1)1y y y y +⇒≤⇒+≤++203y ⇒-≤≤，则此函数的值域是2[,0]3y ∈-例2,若函数cos y a x b =+的最大值是1，最小值是7-，求a,b练习：1，求函数1cos 3cos xy x-=+的值域 3][1-∞-∞（，，+）2,函数x y sin =的定义域为[a ，b]，值域为]21,1[-，则b-a 的最大值和最小值之和为bA ．34πB ．π2C ．38π D ．π4类型二：x b x a y cos sin +=型。
此类型通常可以可化为sin cos )y a x b x x ϕ=+=+求其最值（或值域）。
例1：求函数3sin 4cos ,(0,)2y x x x π=+∈的最值。
解：343sin 4cos 5sin(),cos ,sin 55(,),(3,5]2y x x x x y ϕϕϕπϕϕϕ=+=+==+∈+∈2,求函数)3sin()6sin(ππ++-=x x y （R x ∈）的最值。
解法:)12sin(2]4)6sin[(2)6cos()6sin(πππππ+=+-=-+-=x x x x y ，∴函数的最大值为2，最小值为2-。
练习：1,函数y=3sin(x+20°) +5sin(x+80°)的最大值是： （ c ） A 、215B 、216C 、7 D 、82,已知函数x x f 2sin )(=，)62cos()(π+=x x g ，直线x ＝t （t ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π）与函数f (x )、g (x )的图像分别交于M 、N 两点，则|MN |的最类型三：)0(sin sin 2≠++=a c x b x a y 型。
此类型可化为)0(2≠++=a c bt at y 在区间]1,1[-上的最值问题。
例1：求函数1sin 3cos 2++=x x y （R x ∈）的最值解：49)23(sin 1sin 3sin 122+--=++-=x x x y ∴函数的最大值为49，最小值为4325-例2：求函数1sin 3cos 2++=x a x y （R a ∈，R x ∈）的最大值。
解：1sin 3cos 2++=x a x y 转化为2sin sin 2y x x =-+配方得：①当123>a ，即332>a 时，在sinx=1，13max +=a y②当123-<a时，即332-<a时，在sinx=－1，13max+-=ay③当1231≤≤-a，即332332≤≤-a时，在ax23sin=时，2432max+=ay综上：2max1(332(41(ay a aa+>⎪⎪=+≤≤⎨⎪⎪+<⎪⎪⎩练习：函数θθπ则上的最大值为在区间,1],32[cos2sin)(2-+=xxxf的值是dA．0 B．3πC．2πD．—2π类型四：)0(cossinsin2≠+⋅+=acxxbxay型。
例：求函数)2474(cossin4sin3cos35)(22ππ≤<-+=xxxxxxf的最值，并求取得最值时x的值。
解：xxxxf2sin222cos1322cos135)(--++=∵2474ππ≤<x，∴436232πππ≤+<x，∴21)62cos(22-<+≤-πx∴()f x的最小值为2233-，此时247π=x，()f x无最大值。
练习：已知：212cos1siny x x x x R=⋅+∈，，求y的最大值及此时x的集合．解：∵212cos1siny x x x=⋅+1cos21521sin(2)4264xx xπ+=+=++，∴当sin(2)16xπ+=时，max157244y=+=．此时，2262x kπππ+=+，即6x kππ=+．所以y的最大值为74，此时x的集合为{|}6x x k k Zππ=+∈，．类型五：dxcbxaxf++=cossin)(型。
此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为cxbxa=+cossin再利用辅助角公式求其最值；②采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。
例：求函数sincos2xyx=-的值域。
解法1：将函数sincos2xyx=-变形为cos sin2y x x y-=，∴sin()xφ+=由|sin()|1xφ+=≤22(2)1y y⇒≤+，解得：y≤≤[解法2：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx, sinx)与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。
作出如图得图象，当过Q点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sincos2xyx=-得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为[。
练习：求函数3cos 2sin 2)(--=θθθf 的最值。
3cos 1sin 2--=θθy ∴y/2即为单位圆上的点(cos θ，sin θ)与定点(3，1)连线的斜率，由数形结合可知y/2∈[0，3/4], ∴ y ∈[0，3/2]类型六：含有x x x x cos sin cos sin ⋅±与的最值问题。
解此类型最值问题通常令x x t cos sin ±=，x x t cos sin 212⋅±=，22≤≤-t ，再进一步转化为二次函数在区间上的最值问题。
例：求函数sin cos sin cos y x x x x =⋅++的最大值并指出当x 为何值时，取得最大值。
解法1：设t=sinx +cosx ，则)4sin(2π+=x t ∴]2,2[-∈t ∴)1(21cos sin 2-=t x x∴1)1(21)1(2122-+=+-=t t t y 221max +=y 。
解法2：)4sin(22sin 21cos sin cos sin π++=++⋅=x x x x x x y ，44x x ππθθ+=⇒=-，2111sin(2)cos 2sin 2222y πθθθθθθ=-+=-+=+-max 12y =练习：1,求函数(sin 2)(cos 2)y x x =--的最大、最小值．解：原函数可化为：sin cos 2(sin cos )4y x x x x =-++，令sin cos (||x x t t +=≤，则21sin cos 2t x x -=，∴2211324(2)222t y t t -=-+=-+．∵2[t =∉，且函数在[上为减函数，∴当t =时，即2()4x k k Z ππ=+∈时，min 92y =-t =32()4x k k Z ππ=-∈时，max 92y =+． 2,函数xx x x x f cos sin 1cos sin )(++=的值域是dA ．[][]12,11,12---- B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-212,212C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡---122,122D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-+-212,11,212 类型七:sin (0)sin by a x x xπ=+<<型（转化为对号函数）函数最值问题。
例：求函数xx x y 2sin sin 22sin 1+--=的最大、最小值xx x x y sin 11sin 111)sin 1(sin 12-+-=+--=∵1－sinx ≥0∴ y ≥0,当sinx=1时Y min =0,当1－sinx>0时,1－sinx+xsin 11-≥2, y max =1/2已知34ππ≤≤x ，则函数xx y cos )6sin(2+=π的最大值与最小值的和为 5+当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x =-的最小值4练习：1,已知(0,)x π∈，求函数y =2,当20π<<x 时，函数21cos28cos ()sin 2x xf x x -+=的最小值为 4类型八：条件最值问题。
例1：已知αβαsin 2sin 2sin 322=+，求βα22sin sin +=y 的取值范围。
解：∵αβαsin 2sin 2sin 322=+，∴ααβsin sin 23sin22+-=∵1sin 02≤≤β∴32sin 01sin sin 230sin sin 2322≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≥+-ααααα解得∵21)1(sin 21sin sin 21sin sin 2222+--=+-=+=αααβαy \ ∵32sin 0≤≤α∴sin α=0时，0min =y ； 32sin =α时，94max =y∴94sin sin 022≤+≤βα。
2,2sin cos ,cos sin 3x y x y =则的取值练习：1,已知Sinx+Siny=31，求Siny —cos 2x 的最大值942,已知22sin sin =+y x ，因式cos x +cos y 的最大值为A ．2B ．0C ．1414D ．214D类型九：其他问题例1：函数cos sin y x x x =-在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为 2,求函数x x y -+=1的最大值和最小值，并指出当x 分别为何值时取到最大值和最小值。
解：∵定义域为0≤x ≤1，可设x x 2cos =且20πθ≤≤θθ22sin cos 11=-=-x ，20πθ≤≤∴)4sin(2cos sin sin cos 22πθθθθθ+=+=+=y∵20πθ≤≤，∴4344ππθπ≤+≤，∴1)4sin(22≤+≤πθ即21≤≤y ∴当44ππθ=+或434ππθ=+，即θ =0或2πθ=（此时x=1或x=0），y=1；当2πθ+，即4πθ=时，（此时21=x ），2=y ，当x=0或x=1时，y 有最小值1；当21=x 时，y 有最大值2。
练习：1,求sin cos 2y x x =，[0,]2x π∈的最大值。
2a ，x ∈(,22ππ-)的解集非空，则参数a 的取值范围为 ．令tan x = m，则m∈R，∴原不等式化为a即a1．∴。