专项复习16三角函数的值域与最值
三角函数的值域与最值
三角函数的值域与最值一、主要方法及注意点：1．求值域或最值的常用方法有：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）将函数式化成一个角的同名三角函数的一元二次式，利用配方法或图象法求解；（3）借助直线斜率的关系用数形结合法求解；（4）换元法。
2．要注意的问题有：（1）注意题设给定的区间；（2）注意代数代换或三角变换的等价性；（3）含参数的三角函数式，要重视参数的作用，很可能要进行讨论。
二、基本练习：1．求下列函数的最大、最小值： （1）x x ycos sin 32⋅=（2）xysin 41-=解：1sin 23y x =∴y ∈[13-,13]解：50,4y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（3）1)21(sin 22++-=x y（4）1615)45(sin 2+-=x y解：7[,1]2y ∈-解：y ∈[1,6]2．若|x|≤4π，则f(x)=cos 2x+sinx 的最小值是（ D ）A ．212- B ．221+-C ．－1D ．221-3．求函数的值域：（1）y=3sin x －4cosx (2)f(x)=sinx+3cosx (2π-≤x ≤2π)解：y ∈[－5,5]解：()2sin()3f x x π=+又2π-≤x ≤2π∴y ∈[－1,2]4．（1）求函数xx y sin cos 2-=（0<x<π）最小值。
（2）求函数2sin 1sin 3)(+-=x x x f 的最大值和最小值。
解：（1）设点A （0，2），B （－sinx ，cosx ） 又0<x<π，则点B 的轨迹如图 而y 的值就是经过AB 两点的斜率，所以y （2）21sin 3y x y+=-，而sinx ∈[-1,1]于是－1≤213y y+-≤1 所以 －4≤y ≤23即y 的最大值为23，最小值为－4.三、典例精析：例1．求函数y=sin x ·c osx+sinx+cosx 的最大值。
三角函数的值域
通 过 变 形 可 得 ： f ( x) = 1 a2 + b2 sin (2x + j ) ， 所 以 最 大 值 为 1 a2 + b2 = 1 ， 即
2
2
2
a2
+ b2
= 1 ①，再利用
f
æp çè 3
ö ÷ø
=
3 可得： - 1 a -
4
4
3b= 4
3
②，通过①②可解得：
4
ìa íîb
= =
例
4：设函数
f
(x)
=
sin x
+
cos 2x
，若
x
Î
éêë-
p 6
,
p 2
ù úû
，则函数
f
( x) 的最小值是______
思路：同例 4 考虑将解析式中的项统一，cos 2x = 1 - 2sin2 x = 1 - 2 sin x 2 ，进而可将 sin x
作为一个整体，通过换元来求值域。
解： f ( x) = sin x + cos 2x = sin x + 1 - 2 sin x 2
三角函数。观察可得 cos x 次数较低，所以不利于转化，而 sin2 x,cos 2x 均可以用 cos x 进
( ) ( ) 行表示，确定核心项为 cos x ，解析式变形为 y = cos x -
1 - cos2 x
-
2cos2 x - 1
7 +，
4
化简后为
y
=
- cos2
x
+
cos x
+
7 4
=
cos
6.三角函数的定义域、值域(或最值)PPT课件
例1 : 求下列函数的定义域
1 f(x) 9 x2 lg 1 2 cos x ；
( 2 ) f ( x ) lg sin x 1 cos x . 2
练习:
1.求下列函数的定义域 : ( 1 ) y sin(cos x ) ； ( 2 ) y 1 2 cos x lg( 2 sin x 1 )；
设函数 f(x)=2 sin x cos2 cos x sin sin x (0 )
2
在 x 处取最小值.
(1) 求 的值;
结束语：
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三.由三角函数的值域或最值求参数的值
[例3]若函数f（x）
1 cos
2 sin（
2x x）
sin
x
a 2sin（x
）
4
2
的最大值为 2 3，试确定常数a的值.
[练习]
1.若函数f(x)=
4s1i+nc(o2s2xx)-asin
x 2
cos(-
x 2
)
的最大值为2，试确定常数a的值.
2.(09 山东)
3
3
3y cos x 2
cos x 2
分离常数或 反表示法
化为关于sinx(或 cosx)的二次函数 的形式
2022年新高考数学总复习：三角函数的值域与最值
2022年新高考数学总复习：三角函数的值域与最值例 (1)函数y ＝2sin x ＋1sin x －2的值域为__⎣⎡⎦⎤－3，13__. (2)(理)函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，函数f (x )的值域为__⎣⎢⎡0，2__. (文)函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )的值域为__[－2,2]__. (3)函数y ＝1＋sin x 3＋cos x的值域为__⎣⎡⎦⎤0，34__. (4)(理)若x 是三角形的最小内角，则函数y ＝sin x ＋cos x －sin x cos x 的最小值是( A ) A ．－12＋2B ．12＋2C ．1D ．2[解析] (1)解法一：y ＝2sin x ＋1sin x －2＝2＋5sin x －2，由于－1≤sin x ≤1，所以－5≤5sin x －2≤－53，∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－3，13. 解法二：由y ＝2sin x ＋1sin x －2，解得sin x ＝2y ＋1y －2，∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤2y ＋1y －2≤1，解得－3≤y ≤13，∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－3，13. (2)(理)f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝3sin 2x ＋sin x cos x ＝3(1－cos 2x )2＋sin 2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋32. (文)f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin (2x ＋π6)，值域为[－2,2]．(3)解法一：由y ＝1＋sin x3＋cos x得sin x －y cos x ＝3y －1，∴sin(x ＋φ)＝3y －11＋y 2其中sin φ＝－y1＋y 2，cos φ＝11＋y 2. ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪3y －11＋y 2≤1，解得0≤y ≤34. 解法二：1＋sin x 3＋cos x 可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x 3＋cos x 满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为⎣⎡⎦⎤0，34. (4)(理)由条件知0<x ≤π3，令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 又0<x ≤π3，∴π4<x ＋π4≤7π12，得1<t ≤2；又t 2＝1＋2sin x cos x ，得sin x cos x ＝t 2－12，得y ＝t －t 2－12＝－12(t －1)2＋1，则－12＋2≤y <1，所以函数的最小值为－12＋ 2.故选A ．名师点拨求三角函数值域或最值的方法(1)y ＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b )的值域为[－|a |＋b ，|a |＋b ]．(2)y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 可转化为关于cos x 的二次函数，求在给定区间上的值域(或最值)即可．(3)y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c ·cos 2x――→利用二倍角公式降幂整理y ＝A sin 2x ＋B cos 2x ――→辅助角公式y ＝A 2＋B 2sin(2x ＋φ)，再利用sin(2x ＋φ)的有界性求解，注意2x ＋φ的取值范围．(4)y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d ⎝ ⎛⎭⎪⎫或y ＝a cos x ＋b c cos x ＋d 可反解出sin x ＝f (y )(或cos x ＝f (y ))由正、余弦函数的有界性(|f (y )|≤1)求解；y ＝a sin x ＋bc cos x ＋d 可根据式子的几何意义用数形结合方法求解，或化为sin(x＋φ)＝yd －b a 2＋(yc )2利用三角函数的有界性求解．(5)y ＝f (sin x ±cos x ，sin x ·cos x )常用换元法，令t ＝sin x ±cos x ＝2sin(x ±π4)，则cos x sin x＝t 2－12⎝⎛⎭⎫或1－t 22，可化为关于t 的二次函数在某区间上的值域或最值． 〔变式训练3〕(1)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是__1__. (2)(理)(2021·黑龙江宜春二中月考)函数y ＝12＋sin x ＋cos x 的最大值是( D )A ．22－1 B ．－22－1 C ．1－22D ．1＋22(文)(2020·黑龙江宜春二中月考)函数y ＝2＋sin x ＋cos x 的最大值是( B ) A ．2－2 B ．2＋2 C ．2－2D ．－2－2(3)(2021·云南调研)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域是__2__. [解析] (1)依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]， 因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1. (2)(理)y ＝12＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，∵2－2≤2＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2＋2， ∴y ≤12－2＝1＋22，故选D ．(文)y ＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，当x ＝π4＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝2＋2，故选B ．(3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝1－2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤2，∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1，当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为⎣⎡⎦⎤－12－2，1.。
三角函数的值域与最值
（sinx≤cosx） （sinx>cosx）
2 2
高三数学（人教版）
高考调研 · 新课标高考总复习
第四章 · 专题研究
考 题 讲 解 考 题 训 练
探究3
借助一些代数式的几何意义或三角函数的图象可直观地求出函数
的值域，从而减少运算量．
高三数学（人教版）
→ → ∠BAC＝x，记 f(x)＝AB·BC. (1)求函数 f(x)的解析式及定义域； π (2)设 g(x)＝6m·f(x)＋1，x∈(0， )，是否存在正实 3 5 数 m，使函数 g(x)的值域为(1， ]？若存在，请求出 m 4 的值；若不存在，请说明理由．
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2 2
t －1 1 2 ∴y＝f(t)＝t＋ ＝ (t＋1) －1. 2 2 π 又 t＝sinx＋cosx＝ 2sin(x＋ )， 4 ∴－ 2≤t≤ 2.
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2
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第四章 · 专题研究
考 题 讲 解 考 题 训 练
1 2 故 y＝f(t)＝ (t＋1) －1(－ 2≤t≤ 2)， 2 从而知：f(－1)≤y≤f( 2)， 1 即－1≤y≤ 2＋ . 2 1 则函数的值域为[－1， 2＋ ]． 2 探究 2 可化为 y＝f(sinx)型三角函数的值域可通过换
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第四章 · 专题研究
考 题 讲 解 考 题 训 练
π π (2)g(x)＝6m· f(x)＋1＝2msin(2x＋ )－m＋1(0<x< )． 6 3 π 假设存在正实数 m 符合题意，∵x∈(0， )， 3 π π 5π π 1 ∴ <2x＋ < ，则 sin(2x＋ )∈( ，1]． 6 6 6 6 2 ∵m>0， π ∴函数 g(x)＝2msin(2x＋ )－m＋1 的值域为(1， m＋1]． 6 5 5 1 又函数 g(x)的值域为(1， ]，∴m＋1＝ ，解得 m＝ ， 4 4 4 ∴存在．
高考一轮数学复习理科课件人教版专题研究三角函数的值域与最值
CHAPTER
06
总结与展望
总结
三角函数值域与最值的定义和性 质
总结了三角函数值域与最值的定义，以及 相关的基本性质，如周期性、对称性等。
三角函数值域与最值的求法
归纳了几种常见的求三角函数值域与最值 的方法，如配方法、换元法、不等式法等 。
三角函数了三角函数值域与最值在解 决数学问题中的应用，如代数、几何等领 域。
解决实际问题
在实际问题中，如物理、工程等领域 ，常常需要求解三角函数的最值或值 域，以解决实际问题。
三角函数值域与最值的求解方法
代数法
通过代数运算，利用三角函数的 性质和公式，求出三角函数的最
值或值域。
几何法
将三角函数与几何图形相结合，利 用几何意义求出三角函数的最值或 值域。
导数法
利用导数求出函数的极值点，再结 合函数的单调性求出三角函数的最 值。
详细描述
反解法适用于一些难以直接观察的三角函数。通过反解，将 自变量表示为因变量的函数，然后利用函数的性质，如单调 性、奇偶性等，来求解函数的值域。反解法有时需要结合其 他方法一起使用，以简化求解过程。
CHAPTER
03
三角函数最值的求解方法
代数法
总结词
通过代数运算，将三角函数式转化为 更易于处理的形式，从而求得最值。
数形结合法
将三角函数与图像结合，利用 图像的直观性，得出函数的值
域或最值。
CHAPTER
05
三角函数值域与最值的应用实 例
在三角形中的应用
总结词
解决三角形问题
详细描述
三角函数在三角形问题中有着广泛的应用，尤其是在求解角度、边长等问题时。通过三角函数，我们可以利用已 知条件推导出未知量，从而解决三角形的问题。
三角函数专题：三角函数最值(值域)的5种常见考法(解析版)
三角函数专题：三角函数最值（值域）的5种常见考法1、形如sin y a x = (或cos y a x =)型可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论 2、形如sin()y a x b ωϕ=++ (或cos()y a x b ωϕ=++型 （1）先由定义域求得x ωϕ+的范围（2）求得sin()x ωϕ+ (或cos()x ωϕ+)的范围，最后求得最值 3、形如sin cos y a x b x =+型引入辅助角转化为22)y a b x ϕ=++，其中tan baϕ=，再利用三角函数的单调性求最值。
4、形如2sin sin (0)y a x b x c a =++≠或2cos cos (0)y a x b x c a =++≠型， 可利用换元思想，设sin y x =或cos y x =，转化为二次函数2y at bt c =++求最值，t 的范围需要根据定义域来确定． 5、形如sin cos (sin cos )y x x x x =⋅±±型利用sin cos x x ±和sin cos x x ⋅的关系，通过换元法转换成二次函数求值域 6、分式型三角函数值域（1）分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域； （2）判别式法题型一 借助辅助角公式求值域【例1】该函数sin 3y x x =的最大值是（ ） A ．1 B 6 C ．2 D ．2- 【答案】C【解析】因为πsin 32sin 3y x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，又[]πsin 1,13x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以函数sin 3y x x =的最大值是2.故选：C.【变式1-1】已知()()sin 3cos 0f x A x x A =->的最大值是2，则()3sin 3cos g x x A x +在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦中的最大值是（ ）A ．32B ．3C 326+ D ．23【答案】C【解析】根据辅助角公式可得：()2223sin 3=333f x A x x A x x A A ⎫=+⎪⎪++⎭()2=3A x ϕ+-，其中3tan ϕ=. 由()f x 的最大值为2()2320A A +>,解得1A =.∴()1333cos 23sin 2g x x x x x ⎫=+=⎪⎪⎭π233x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∵π3π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴π7π13π,31212x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦. ∴当π7π312x +=，即π4x =时，()g x 取得最大值. 故()max ππ343g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭231326232⎫+==⎪⎪⎝⎭故选:C.【变式1-2】已知函数()()3cos sin 3cos 0,2f x x x x x π⎫⎡⎤=∈⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则函数()f x 的值域为（ ） A ．33⎡⎢⎣⎦ B ．3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【解析】()23sin cos 3x x f x x =+)133sin 21cos 22x x =+sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以3sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的值域为3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B【变式1-3】函数2()sin 3cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．32D ．3 【答案】C【解析】因为2()sin 3cos f x x x x =，所以1cos 231()2sin(2)226x f x x x π-==+-，42ππx ≤≤，52366x πππ∴≤-≤，1sin 2126x π⎛⎫∴≤-≤ ⎪⎝⎭，∴13()122max f x =+=．故选：C ．【变式1-4】己知函数()3sin 4cos ,R f x x x x =+∈，则()()12f x f x -的最小值是_________. 【答案】10-【解析】由题意可得()()343sin 4cos 5sin cos 5sin 55f x x x x x x ϕ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=，且0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．因为12,R x x ∈,所以min max ()5,()5f x f x =-=.所以()()12f x f x -的最小值是min max ()()10f x f x -=-.题型二 借助二次函数求值域【例2】求函数22sin 2sin 1y x x =-++的值域.【答案】3[3,]2-【解析】y =−2sin 2x +2sinx +1=−2(sinx −12)2+32，−1≤sinx ≤1，根据二次函数性质知，当1sin 2x =时，max 32y =；当sin 1x =-时，min 3y =-， 故值域为3[3,]2-.【变式2-1】函数2cos sin 1y x x =+-的值域为（ ）A ．11[,]44-B ．1[0,]4C ．1[2,]4-D ．1[1,]4- 【答案】C【解析】函数222cos sin 11sin sin 1sin sin y x x x x x x =+-=-+-=-+，设sin t x =，11t -≤≤，则()2f t t t =-+， 由二次函数的图像及性质可知2124t t -≤-+≤，所以cos 2sin 1y x x =+-的值域为1[2,]4-，故选：C.【变式2-2】函数2tan 4tan 1y x x =+-的值域为____________【答案】[)5,-+∞【解析】因为2tan 4tan 1y x x =+-令tan t x =，则t R ∈所以()()224125f t t t t =+-=+-，所以()[)5,f t ∈-+∞，故函数的值域为[)5,-+∞【变式2-3】函数()193sin cos 2R 24y x x x =+-∈的最小值是（ ） A ．14B ．12 C ．234- D ．414-【答案】C【解析】22197313sin cos 2sin 3sin sin 24422y x x x x x ⎛⎫=+-=-+-=--+ ⎪⎝⎭，令sin x t =，则11t -≤≤．因为23122t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭在[]1,1-上单增，所以当1t =-时，2min31231224y ⎛⎫=---+=- ⎪⎝⎭．故选：C ．题型三 借助换元法求值域【例】已知函数()，则（）A ．()f x 的最大值为3，最小值为1 B ．()f x 的最大值为3，最小值为-1 C ．()f x 的最大值为32，最小值为34D ．()f x 的最大值为32，最小值为32 【答案】C【解析】因为函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++，设sin cos 24x x x t π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，2,2t ⎡∈-⎣， 则22sin cos 1x x t =-，所以2213124y t t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，2,2t ⎡∈-⎣，当12t =-时，()min 34f t =；当2t =时，()max 32f t =故选：C【变式3-1】函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________． 【答案】[－1,1]【解析】设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，即sin x cos x ＝1－t 22，且－1≤t ≤ 2. ∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1. 当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]．【变式3-2】函数()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为（ ） A ．1 B ．12 C ．12 D ．3 【答案】C【解析】()sin cos sin 2sin cos 2sin cos f x x x x x x x x =++=++，令sin cos 24t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以[2,2]t ∈-，则22(sin cos )12sin cos t x x x x =+=+， 所以22sin cos 1x x t =-，所以原函数可化为21y t t =+-，[2,2]t ∈，对称轴为12t =-，所以当2t 时，21y t t =+-取得最大值，所以函数的最大值为222121=，即()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为12C【变式3-3】函数f (x )=sinxcosx +√2sin (x −π4)的值域为________． 【答案】[−12−√2,1]【解析】由于f (x )=sinxcosx +√2sin (x −π4)=sinxcosx +sinx −cosx ，令sinx −cosx =t ，则sinxcosx =1−t 22，于是函数化为y =1−t 22+t =−12(t −1)2+1，而t =sinx −cosx =√2sin (x −π4)∈[−√2,√2] ， 所以当1t =时，函数取最大值1，当t =−√2时，函数取最小值−12−√2，故值域为[−12−√2,1].题型四 分式型三角函数的值域【例4】函数cos 12cos 1x y x +=-的值域是（ ）A ．][(),04,∞∞-⋃+B ．][(),02,∞∞-⋃+ C ．[]0,4 D ．[]0,2 【答案】B【解析】令11cos ,1,,122x t t ⎡⎫⎛⎤=∈-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，13(21)11322212122211t t y t t t -++===+⋅---，可得[)(]213,00,1t -∈-⋃，[)11,1,213t ⎛⎤∈-∞-⋃+∞ ⎥-⎝⎦，3113,,22122t ⎛⎤⎡⎫⋅∈-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢-⎝⎦⎣⎭，故(][),02,y ∈-∞⋃+∞.故选：B.【变式4-1】函数sin 3sin 2x y x +=+的值域为___________. 【答案】4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】解：sin 31sin 2sin 21x y x x +==+++， 因为1sin 1x -≤≤，所以1sin 23x ≤+≤，所以1113sin 2x ≤≤+，所以411+23sin 2x ≤≤+， 所以sin 3sin 2x y x +=+的值域是4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【变式4-2】函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x的值域为_____________．【答案】212111,2⎡⎫⎛-----⎪ ⎢⎪⎣⎭⎝⎦【解析】令sin cos 24t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，[2,1)(1,2]t ∈---，则212sin cos t x x =+，即21sin cos 2t x x -=，所以2112()12t t f t t --==+，又因为[2,1)(1,2]t ∈---，所以()212111,2f t ⎫⎛---∈--⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦， 即函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x 的值域为212111,2⎡⎫⎛-----⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦．【变式4-3】当04x π<<时，函数221sin ()cos sin sin xf x x x x-=⋅-的最小值是________.【答案】4【解析】22cos ()sin cos sin xf x x x x=-21tan tan x x =-， 当04x π<<时，tan (0,1)x ∈，所以21110tan tan 244<-≤-=x x ，()4f x ∴≥，即221sin ()cos sin sin xf x x x x-=⋅-的最小值为4.含绝对值的三角函数值域A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[－1,1] D ．[－2,0] 【答案】D【解析】当0sin 1x ≤≤ 时，sin sin 0y x x =-= ，所以，当1sin 0x -≤<，2sin y x =，又22sin 0x -≤< ，所以函数的值域为[]2,0-，故选：D.【变式5-1】函数()2sin 3cos f x x x =+的值域是（ ）A ．[]2,5B ．[]3,5C ．13⎡⎤⎣⎦D ．13⎡⎣【答案】C【解析】()sin()2cos()2sin 3cos 2sin 3cos f x x x x x x x +=+++=-+-=+πππ，∴()f x 为周期函数，其中一个周期为T π=，故只需考虑()f x 在[0,]π上的值域即可，当[0,]2x π∈时，()2sin 3cos 13)f x x x x =+=+α，其中cos 13α，sin 13α=, ∴max ()()132f x f =-παmin ()()22f x f ==π，当[,]2x ππ∈时，()2sin 3cos 13)f x x x x =-=+β，其中，cos 13β=sin 13=β， ∴max ()()132f x f =-πβmin ()()22f x f ==π，∴()f x 的值域为13].故选：C【变式5-2】设函数2()|sin |2cos 1f x x x =+-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最小值是______． 【答案】0【解析】∵2()|sin |2cos 1f x x x =+-|sin |cos 2x x =+为偶函数，∴只需求函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值，此时2()sin cos22sin sin 1f x x x x x =+=-++，令[]sin 0,1t x =∈，则221y t t =-++，函数的对称轴为[]10,14t =∈，∴当1t =时，min 2110y =-++=.【变式5-3】若不等式sin tan tan sin 0x x x x k -++-≤在3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则k 的取值范围是______. 【答案】[)2,∞+ 【解析】∵ ()sin 1cos sin tan sin sin cos cos x x xx x x x x++=+=，3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴ sin 0,1cos 0,cos 0x x x >+><，∴ tan sin 0x x +<，∴sin tan tan sin sin tan tan sin 2tan x x x x x x x x x -++=---=-， ∵ 不等式sin tan tan sin 0x x x x k -++-≤在3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立 ∴ 2tan k x ≥-，3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()max 2tan 2k x ≥-=. 故k 的取值范围是[)2,∞+.。
三角函数求值域专题
三角函数求值域专题求三角函数值域及最值的常用方法：(1)一次函数型：或利用为：y asinx bcosx a2b2sin(x ),利用函数的有界性或单调性求解；化为一个角的同名三角函数形式，(1)：y 2sin(3x —) 5，y sin xcosx12(2)y 4sin x 3cosx(3) _____________________________________ .函数在区间上的最小值为_1.(4 )函数且的值域是—(,1] [1,)(2)二次函数型：化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、换元及图像法求解;二倍角公式的应用：女口. ( 1) y sin x cos2x3(2)函数的最大值等于3.4(3) _____________________________ .当时，函数的最小值为_4 •(4).已知k v—4,则函数y = cos2x + k(cos x-1)的最小值是 1 •(5).若，则的最大值与最小值之和为2— _ •(3) 借助直线的斜率的关系用数形结合求解；a sin x b型如f(x) 型。
此类型最值问题可考虑如下几种解法：ccos x d①转化为asinx bcosx c再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法(转化为斜率问题)求最值。
例1 ：求函数y sinx的值域。
cosx 2结合图形可知，此函数的值域是［』3,』3］。
33例2.求函数的最小值.解法一：原式可化为，得，即， 故，解得或(舍)，所以的最小值为. 解法二：表示的是点与连线的斜率，其中点 B 在左半圆上，由图像知，当 AB 与半圆相切时，最小, 此时，所以的最小值为.(4) 换元法•识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为 解法2：将函数ycosx sinx_变形为 2y cosx sin x2y ，二 sin( x )2y 1 y 2|sin(x )| 理 1V 1 y2(2y)y2，解得：彳，故值域是3]解法 3:利用万能公式求解: 由万能公式sin x -1 2t cosx 口;，代入1 t 2sinx得到cosx 22t2厂沪则有3yt2t0知：当t0,则y满足条件；当0，由24 12y 0 ,乜，故所求函数的值域是3解法4：利用重要不等式求解：由万能公式sinx -12t T ， cosx.代入t 2sinx得到cosx 20,2t1 3t 20时，则y 0,满足条件；当t 0时,2 1" t 3t——,如果t >3t)2 ([)(3t)2 ~1 (：3t)2 2、于，此时即有如果t2、( ；)( 3t)彳，此时有0 y 于。
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高三数学理科复习十六——三角函数的值域与最值
一、【知识复习与自学质疑】
1.求下列函数的最大值、最小值
（1）2sin cos ;3
y x x = （2）y = （3）212sin 1;2y x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ （4）2515sin 416y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭ 2.（1）若4x π≤
，则()2cos sin f x x x =+的最小值是_________
（2）若 2x π
≤，则()sin f x x x =的值域是
3.（1）函数2cos sin x y x
-=
()0x π<<的最小值是 （2）函数2cos 12cos 1x y x +=-的值域是 二、【例题精讲】
例1、已知1sin sin 3x y +=
，求2sin cos y x -的最大值与最小值.
例2、求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值.
例3、已知函数()22cos sin sin cos 3f x x x x x x π⎛
⎫=+-+ ⎪⎝⎭
，求函数()f x 的最大值、最小值以及取得最值时的x 的值。
【矫正反馈】
1.(1)已知()0,θπ∈，函数23sin 13sin y θθ
=+的最大值是___________________________ (2)已知()0,x π∈，函数2sin sin y x x =+的最小值是_____________________ （3）函数()223sin ,sin y x x k k Z x π=
+≠∈的值域是____________________________ 2.设，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值为4，则a =_____________ 3.函数()2sin cos 36y x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=--+∈
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值等于____________________ 4.函数sin 2sin x y x =+的值域为 ；函数sin cos 2
x y x =+的值域为 5.函数sin 2sin y x x =-的值域是_________________
6.若()22cos 2cos 22sin 136f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+
-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的最大值为_________ 7.函数()()sin 2cos 2y x x =--的最大值、最小值分别是_____________________________
【迁移应用】
8.已知函数()22sin 23sin cos f x a x a x x a b =-++的定义域是,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，值域是[]2,5，求,a b 的值.
9．求函数()24sin cos2f x a x x =--的最大值和最小值.（a R ∈）。