2004年考研数学一真题

c1 c2 . x x2
t 【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令 x e ，则欧拉方程
ax 2
d2y dLeabharlann bx cy f ( x) ， 2 dx dx
可化为
a[
d 2 y dy dy ] b cy f (e t ). 2 dt dt dt
完全类似的例题见《数学复习指南》P171 例 6.19, 《数学题型集粹与练习题集》P342 第六题.， 《考研数 学大串讲》P75 例 12.
2004 年数学一试题 详解和评注
一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1）曲线 y=lnx 上与直线 x y 1 垂直的切线方程为
y x 1.
【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为 1，由曲线 y=lnx 的导数为 1 可确定切点的坐标。 【详解】 由 y (ln x)
1 1 ，得 x=1, 可见切点为 (1,0) ，于是所求的切线方程为 x
y 0 1 ( x 1) ， 即 y x 1 .
【评注】 本题也可先设切点为 ( x0 , ln x0 ) ，曲线 y=lnx 过此切点的导数为 y 由此可知所求切线方程为 y 0 1 ( x 1) ， 即 y x 1 . 本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到. （2）已知 f (e x ) xe x ，且 f(1)=0, 则 f(x)=

（9）设
a
n 1
n
为正项级数，下列结论中正确的是

(A) 若 lim nan =0，则级数
n
a
n 1
n
收敛.

（B） 若存在非零常数 ，使得 lim nan ，则级数
n

a
n 1
n
发散.
(C) 若级数
a
n 1 n 1
n
收敛，则 lim n an 0 .
2 1 0 * * * （5）设矩阵 A 1 2 0 ，矩阵 B 满足 ABA 2BA E ，其中 A 为 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵， 0 0 1
则B
1 9
.
*
【分析】 可先用公式 A A A E 进行化简 【详解】 已知等式两边同时右乘 A，得
sin x lim
x 0
3 2
1
0
tan t dt
2 x 2 x tan x
1 x lim 2 ，可见 是比 低阶的无穷小量，故应选(B). 4 x 0 x
n
【评注】 本题是无穷小量的比较问题，也可先将 , , 分别与 x 进行比较，再确定相互的高低次序. 完全类似例题见《数学一临考演习》P28 第 9 题. （8）设函数 f(x)连续，且 f (0) 0, 则存在 0 ，使得 (A) f(x)在（0， ) 内单调增加. (C) （B）f(x)在 ( ,0) 内单调减少. (D) 对 任 意 的 x ( ,0) 有 f(x)>f(0) .
2
A* A AA* A E 进行化简。
完全类似例题见《数学最后冲刺》P107 例 2，P118 例 9 （6）设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则 P{ X
DX } =
1 . e
【分析】 已知连续型随机变量 X 的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可。 【详解】 由题设，知 DX
完全类似的例题见《数学复习指南》P213 例 8.13. （10）设 f(x)为连续函数， F (t ) (A) 2f(2). (B) f(2).

t
1
dy f ( x)dx ，则 F ( 2) 等于
y
t
(C) –f(2).
(D) 0.
[ B ]
【分析】 先求导，再代入 t=2 求 F ( 2) 即可。关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变 量 t.
根据保号性，知存在 0 ，当 x ( ,0) (0, ) 时，有
f ( x) f (0) 0 x
即当 x ( ,0) 时，f(x)<f(0); 而当 x (0, ) 时，有 f(x)>f(0). 故应选(C). 【评注】 题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论。 完全类似例题见《数学一临考演习》P28 第 10 题.
1
2
，于是
1 P{ X DX } = P{ X } 1 e x dx


=e
x
1

1 . e
【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算。 完全类似例题见《数学一临考演习》P35 第 5 题. 二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把 所选项前的字母填在题后的括号内） （7）把 x 0 时的无穷小量
x 2 cos , y 2 sin ,
于是
:0 .
2
x d y 2 y d x
L

2 0
[ 2c o s 2c o s 2 2s in 2s in ]d
=


2 0
2 sin 2 d
3 . 2
【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法 化为定积分计算即可. 完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P143 例 10.11， 《考研数学大串讲》P122 例 5、例 7 .
于是，
0 1 0 1 0 0 A 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1
0 1 1 A 1 0 0 C. 0 0 1
可见，应选(D). 【评注】 涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系。 完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P196 例 2.2 （12）设 A,B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有 (A) A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. (B) A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. (C) A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. (D) A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. [ A ] 【分析】A,B 的行列向量组是否线性相关，可从 A,B 是否行（或列）满秩或 Ax=0（Bx=0）是否有非零解 进行分析讨论. 【详解 1】 设 A 为 m n 矩阵，B 为 n s 矩阵，则由 AB=O 知，


x
0
cost 2 dt, tan t dt, sin t 3 dt ，使排在后面的是前一个
0 0
x2
x
的高阶无穷小，则正确的排列次序是 (A)
, , .
(B)
, , . (C) , , .
(D)
, , .
[ B ]
【分析】 先两两进行比较，再排出次序即可.
【详解】
x 0
lim
t a n t dt l i mt a nx 2x 0 ，可排除(C),(D)选项， lim 0x x0 x2 cot s2 dt x0 c o s

x2



0
又
x 0
lim
lim x0
=

x
0 x2
sin t 3 dt
d2y 1 dy 1 d 2 y dt 1 d 2 y dy 2 [ ]， dx 2 x dt x dt 2 dx x 2 dt 2 dt
代入原方程，整理得
d2y dy 3 2y 0 ， 2 dt dt
解此方程，得通解为
y c1e t c2 e 2t
【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分。 完全类似的例题见《数学复习指南》P89 第 8 题, P90 第 11 题.
（3）设 L 为正向圆周 x 2 y 2 2 在第一象限中的部分，则曲线积分
xdy 2 ydx 的值为
L
3 . 2
【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。 【详解】 正向圆周 x 2 y 2 2 在第一象限中的部分，可表示为
[
b( x )
a( x)
f (t )dt] f [b( x)]b( x) f [a( x)]a( x)
否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量 x 换到积分号外或积分线上。 完全类似例题见《数学最后冲刺》P184 例 12，先交换积分次序再求导. （11）设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B,再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C, 则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为
ABA* A 2BA* A A ， 而 A 3 ，于是有
3 AB 6B A ， 即
再两边取行列式，有
(3 A 6 E ) B A ，
3 A 6E B A 3 ，
1 . 9
*
而 3 A 6E 27 ，故所求行列式为 B
【评 注 】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵 A ，一般均应先利用公式
对 任 意 的 x (0, ) 有 f(x)>f(0) .
[ C ] 【分析】 函数 f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用导
3
数的定义及极限的保号性进行分析即可。 【详解】 由导数的定义，知
f (0) l i m