高等数学中有理分式定积分解法汇总
有理函数的积分
sin( x
2
) d x,
dx 1 x4
换句话说, 这些不定积分的结果已不再是初等函数, 数学上讲， “初等函数集合对不定积分运算不封闭”.
二 、可化为有理函数的积分举例 1. 三角函数有理式的积分
设
表示三角函数有理式 , 则
R(sin x , cos x ) dx
万能代换
x 令 t tan 2 ,
例2. 求 解: 根据上题的结果
（课本P214 例4）
1 4 1 2x 原式 dx 2 2 5 1 2x 1 x 1 x 1 2 d(1 2 x ) 1 d(1 x 2 ) 1 dx 2 2 5 1 x 5 1 2x 5 1 x
k
Q( x ) b0 ( x a ) ...( x b) ( x 2 px q ) ...( x 2 rx s ) (其中p 2 4q 0,..., r 2 4 s 0).
Mx N ; ( 3) 二次单因式( x px q ), 对应一项 2 x px q
例6. 求
1 1 2 ln t C t 2t 2 2 1 x x 1 2 x tan tan ln tan C 4 2 2 2 2
2. 简单无理函数的积分
被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:
R( x , n ax b ) dx , 令 t n a x b R( x , n
1 sin x sin x(1 cos x ) dx . （课本P216 例5） 2 x 2t 1 t 解: 令 t tan , 则 sin x , 2 cos x 1 t 2 1 t2 2 dx dt 2 1 t 2t 1 1 t 2 1 1 2 原式 1 t 2 dt t 2 dt 2 2t 1 2 t (1 1 tt 2 ) 1 t 2
4(4)有理函数及三角函数有理式的积分(1)
原式=
5u + 2 (u2 + 1)2
du
5 2
d(u2 + 1)
(u2 + 1)2 + 2
du (u2 + 1)2
51
u
- 2 u2 + 1 + u2 + 1 + arctanu + C
递推公式
回代
2x -7 2( x2 - 2x + 2) + arctan( x - 1) + C
书上无
Q( x)
部分分式的和, 如果分母多项式Q( x)在实数域
上的质因式分解式为:
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
, 为正整数, 则 P( x) 可唯一的分解为:
Q( x)
4
有理函数的积分
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
+ arctan x + C
说明:当被积函数是假分式时,应把它分为 一个多项式和一个真分式,分别积分.
9
有理函数的积分
例2 求
x+3 x2 - 5x + 6 dx
解
x2
x+3 -5x + 6
(x
x+3 - 2)( x - 3)
A+ x-2
B x-3
因式分解 x + 3 A(x - 3) + B(x - 2)
Ap
At + (B - )
2
高等数学定积分及重积分的方法与技巧
高等数学定积分及重积分的方法与技巧第一部分 定积分的计算一、定积分的计算例1 用定积分定义求极限. )0(21lim 1>++++∞→a nn a a a a n . 解 原式=∫∑=⋅=∞→1011lim a ani n x n n i dx =aa x a +=++11111. 例2 求极限 ∫+∞→121lim xx n n dx .解法1 由10≤≤x ，知nn x x x ≤+≤210，于是∫+≤1210x x n ∫≤1n x dx dx .而∫10nx ()∞→→+=+=+n n n x dx n 0111101，由夹逼准则得∫+∞→1021lim xx n n dx =0. 解法2 利用广义积分中值定理()()x g x f ba ∫()()∫=b ax g f dx x dx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号）， ().1011112102≤≤+=+∫∫n n nn dx x dx xx x x由于11102≤+≤nx，即211nx+有界，()∞→→+=∫n n dx x n01110，故∫+∞→1021lim x x n n dx =0. 注 （1）当被积函数为()22,x a x R +或()22,a x x R −型可作相应变换.如对积分()∫++3122112xxdx，可设t x tan =；对积分()02202>−∫a dx x ax x a，由于()2222a x a x ax −−=−，可设t a a x sin =−.对积分dx e x ∫−−2ln 021，可设.sin t e x =−（2）()0,cos sin cos sin 2≠++=∫d c dt td t c tb t a I π的积分一般方法如下：将被积函数的分子拆项，[分子]=A[分母]+B[分母]′，可求出22dc bdac A ++=，22dc adbc B +−=. 则积分 ()220cos sin ln 2cos sin cos sin πππtd t c B A dt td t c t d t c B A I ++=+′++=∫.ln2dc B A +=π例3 求定积分()dx x x x ∫−1211arcsin分析 以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式. 解法1 ()dxx x x ∫−1211arcsin 2tx x t ==12121211212arcsin arcsin arcsin 21arcsin 2tt d t dt tt ==−∫∫.1632π=解法2 ()dx x x x∫−1211arcsin .163cos sin cos sin 2sin 2242242πππππ==⋅=∫u du u u uu u u x 小结 （定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元()t x ϕ=时还应注意：（1）()t x ϕ=应为区间[]βα,上的单值且有连续导数的函数； （2）换限要伴随换元同时进行；（3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.例4 计算下列定积分（1）∫+=2031cos sin sin πx x xdx I ， dx xx xI ∫+=2032cos sin cos π；（2）.1cos 226dx e xx ∫−−+ππ解 （1）∫+=2031cos sin sin πxx xdx I)(sin cos cos 2023du u u uu x −+−=∫ππ=.sin cos cos 223∫=+πI dx xx x故dx xx xx I I ∫++==203321cos sin cos sin 21π=()41cos cos sin sin 212022−=+−∫ππdx x x x x . （2）=I .1cos 226dx e x x ∫−−+ππ()dxe xdu e uu x x u ∫∫−−+=−+−=2262261cos 1cos ππππ+++=∫∫−−2222661cos 1cos 21ππππdx e x dx e x e I x x x.3252214365cos cos 21206226πππππ=×××===∫∫−xdxxdx这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式：dx xdx n n∫∫=2020cos sin ππ()()()()()()=⋅×−×−−=×−×−−=偶数奇数n n n n n n n n n n ,22421331,1322431π小结 （1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。
高数讲义第四节有理函数的积分全
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解 令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
1 2
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解
令 1 x t x
x
xt2211a12,dxdx
1
2a
ln
x2tdat tx2 a1
2
C,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12
dt
2
x
2)
1
A 2x
Bx 1
C x2
解：令：
x
1 (1
x)
2
A x
B 1 x
C (1 x)
2
1 A(1 x)2 B x(1 x) C x
取 x1, 得 C 1; 取 x0, 得 A1;
再取 x 2 , 得 1 (1 2)2 B2(1 2) 2 , B 1 ;
1 x (1 x) 2
t
3
1 t 1
1dt
6
(t
2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6 ln | t 1 | C
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6 ln(6 x 1 1) C.
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
例11 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
解 先对分母进行有理化
f (x) 为真分式 , 当 m n 时
f (x) 为假分式
第四节有理函数积分65002
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例9. 求
(a
sin
x
1 b
cos
x)
2
dx
(ab 0) .
解法 1
原式
dx (a tan x b)2 cos2 x
令 t tan x
dt (a t b)2
1 C a(a t b)
cos x
C
a(a sin x b cos x)
2
22
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思考与练习
如何求下列积分更简便 ?
解: 1. 原式 1 3
dx3 (a3)2 (x3)2
66a1a133llnnxxxx3333aaaa3333 CC
2. 原式
sin2 x sin3
x
cos2 cos x
x
dx
dx sin x cos x
第四节
第四章
有理函数的积分
• 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法
求导 • 初等函数
积分
初等函数
本节内容: 一、有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分举例
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一、 有理函数的积分
有理函数:
R(x) P(x) a0xn a1xn1 an Q(x)
cos sin 3
x x
dx
d tan x tan x
d sin sin 3
x x
ln tan x
1 2
1 sin 2
有理函数
（其中各系数待定）； 其中各系数待定）；
例1
x+3 x2 − 5x + 6
=
分母因式分解
=
x + 3 ( x − 2 )( x − 3 )
比（ 较 系 数 法 ）
部分分式之和
A B , + x−2 x−3
x + 3 = A( x − 3 ) + B ( x − 2 ),
通分后分子相等
⇒
∴ x + 3 = ( + B ) x − ( 3 A + 2 B ),
3、有理函数积分法
(1) 假分式
多项式除法
→
多项式 + 真分式;
x3 + x + 1 1 如 = x+ 2 2 x +1 x +1
(2) 真分式
待定系数法
→
： 部分分式之和
P( x ) 化为部分分式之和的步骤： 有理真分式 化为部分分式之和的步骤： Q( x ) 在实数系作标准分解： （1）对分母 Q ( x )在实数系作标准分解： b0 ( x − λ1 )α1 L( x − λk )α k ( x 2 + p1 x + q1 ) β1 L( x 2 + ph x + qh ) β h
（其中 x 2 + p i x + q i , i = 1, L , h 为 不可约因式 )
( x − a ) k ，对应的部分分式为 （2）分母中因式 ） A1 A2 Ak , + + L+ k k −1 ( x − a) ( x − a) x−a
都是待定 常数. 待定的 其中 A1 , A2 ,L , Ak 都是待定的常数
高等数学公式汇总(大全)
高等数学公式汇总(大全)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高等数学公式汇总(大全)一 导数公式：二 基本积分表：三 三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin ududx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-C ax a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ四 一些初等函数： 五 两个重要极限：六 三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos2sin 2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( x xarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xx x x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ七 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑八 中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
定积分的计算方法与技巧
定积分的计算方法与技巧定积分是高等数学中重要的一部分，它在数学、物理学、工程学等领域都有广泛应用。
本文将介绍定积分的基本概念和计算方法，以及一些常用的技巧。
一、定积分的基本概念定积分是对连续函数在一定区间上的面积进行求解的方法。
设f(x) 在区间 [a,b] 上连续，则它在该区间上的定积分为：∫(b,a) f(x) dx其中，∫是积分符号，f(x) 是被积函数，dx 表示积分变量。
二、定积分的计算方法1. 基本积分公式对于一些常见的函数，有一些基本积分公式可供使用。
比如：∫x^n dx = x^(n+1) / (n+1) + C (n≠-1)∫e^x dx = e^x + C∫sinx dx = -cosx + C∫cosx dx = sinx + C等等，使用这些基本积分公式可以简化复杂的计算过程。
2. 函数的分段积分对于一些在区间上不连续的函数，可以尝试将区间划分成几个子区间，然后在每个子区间上分别进行积分计算。
这个方法被称为分段积分。
3. 反常积分对于某些函数，其在一定区间上可能无法被积分，这时需要使用反常积分的方法进行计算。
反常积分分为两种情况：无穷积分和间断积分。
无穷积分是对于某些函数在无穷区间上的积分。
间断积分是对于某些函数在一定区间上存在间断点的积分。
三、定积分的技巧1. 积分中的代换对于一些复杂的积分式，可以使用代换的方法将其转化成一些已知的积分式，从而简化计算。
例如，对于∫cos(x^2)dx ，可以使用代换 y=x^2 ，将积分式转化成∫cos(y)dy 。
2. 微积分基本定理微积分基本定理指出，对于连续函数 f(x) ，其在区间 [a,b] 上的定积分可以表示成其原函数 F(x) 在区间 [a,b] 上的值之差，即：∫(b,a) f(x) dx = F(b) - F(a)这个定理可以用来简化一些定积分的计算。
3. 奇偶对称性对于一些奇偶对称的函数，其在区间 [a,b] 上的定积分可以简化为：∫(b,a) f(x) dx = 2∫(b,a/2) f(x) dx （偶函数）∫(b,a) f(x) dx = 0 （奇函数）例如，对于 f(x) = sin(x) ，其在区间 [0,π] 上的定积分可以简化为：∫(π,0) sin(x) dx = 2∫(π/2,0) sin(x) dx = 24. 积分中的分数分解对于一些积分式中含有分数的情况，可以使用分数分解的方法将其拆分成一些已知的积分式。
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高等数学中有理分式定积分解法汇总
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
由十个例题掌握有理分式定积解法
【摘要】 当被积函数为两多项式的商
()
()
P x Q x 的有理函数时，解法各种各样、不易掌握，在此由易到难将其解法进行整理、总结
【关键词】 有理分式 真分式 假分式 多项式除法 拆项法 凑微分法 定积分
两个多项式的商
()
()
P x Q x 称为有理函数，又称为有理分式，我们总假定分子多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间无公因式，当分子多项式()P x 的次数小与分母多项式()Q x ，称有理式为真分式，否则称为假分式.
1.对于假分式的积分：利用多项式除法，总可将其化为一个多项式与一个真分式之和的形式.
例1.2 422
23
1
x x dx x +++⎰ ()222
22131
x x x dx x ++-=+⎰
解 原式
2
2
2212311
x x dx dx dx x x =+-++⎰⎰⎰
3
24arctan 3
x x x C =
+-+ ()42
2222
2
22
222223321.11
311
31
13111
31
arctan x x dx
x x x x dx x x x dx dx
x x dx dx
x x dx dx dx
x x x x C +++-=+=-+⎛
⎫=-- ⎪+⎝⎭
=-++=--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例 解 原式
总结：解被积函数为假分式的有理函数时，用多项式出发将其化简为多项式和真分式之和的形式，然后进行积分.对于一些常见函数积分进行记忆，有助于提高解题速度，例如：
2221111x dx dx x x ⎛
⎫=-
⎪++⎝⎭
⎰⎰ 对于真分式
()
()
P x Q x ，若分母可分解为两个多项式乘积()Q x =()()12Q x Q x ，且()1Q x ，()2Q x 无公因式，则可拆分成两个真分式之和：
()()P x Q x ()()()()
1
212P x P x Q x Q x =+，上述过程称为
把真分式化为两个部分分式之和.若()1Q x 或()2Q x 再分解为两个没有公因式的多项式乘积，则最后有理函数分解式中出现多项式、()
()
1k
P x x a -、
()
()
22
l
P x x
px q ++等三类函数，则多项
式的积分容易求的
2.先举例，有类型一、类型二、类型三，以此为基础求解较复杂的真分式积分
2.1 类型一 ()m
k
ax b dx cx +⎰ 例2.1.1
()
3
2
1x dx x -⎰
322
331
=x x x dx x -+-⎰解 原式
211
=33xdx dx dx dx x x
-+-⎰⎰⎰⎰
211
=332x x In x C x
-+++
总结：当被积函数多项式与单项式相乘的形式，将其进行化简，使被积函数为简单幂函数，
然后利用常见积分公式进行运算
2.2 类型二 ()
k
m
cx dx ax b +⎰
例2.2.1
()2
3
2x dx x +⎰
解 令x+2=t ,则2x t =-，∴有dx dt =
()
()
2
3
23
2322
2=44
=1
11=44t
42
=Int+4
2n 222t dx
t
t t dt t
dt dt dt t t t t
x C x x --+-+++-+++⎰
⎰⎰⎰⎰ 原式 -+C
=I
总结：当被积函数形如时()
k
m
cx dx ax b +⎰，将其用换元法转换为()m
k
ax b dx cx
+⎰，再按照后者解法求解
2.3 类型三
()
()
2
x l
P dx ax
bx c ++⎰
()
()()
()3
2
2
3
2
2
23
22
322
312222x =dt
11x-1dt 1+tan =dt
set tan 3tan 3tan 1
=dt set =sin cos 3sin cos 3sin cos dt x dx
x
x x t t t t
t t t t
t t t t t t --+⎡⎤-+⎣⎦
++++++⎰⎰
⎰
⎰⎰ 例2.3.1 原式 设 =tant,x=tant+1,dx=set 上式 set ()()()()
()222
2
2223
=-1cos costd cos +
sin 2dt dt cos 2dt 41
cos 2
1
1
11
11
1122=222arctan 1224422
t t t t t x x x x In x x x C
x x x x -+-+∴-+-+-∴-+++-++-+-+⎰⎰
⎰⎰Q =-In +cos t+2t+2sintcost
tant=x-1,cost=,sint=
上式
()()()()()2222
222221
dx
23
1
2222 = dx 23111 = d 23-2d 2231211 = In 23-2arttan +C 22+bx+c +c +1l
x x x x x x x x x x x x x x x ax bx x -+++-+++++++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭
+⎰
⎰⎰⎰例2.3.2 总结：当被积函数分母含有ax 时，可以用凑微分法进行积分；对于形如时，
可将其变形为T 或者()()2222221-T x ,sin cos +tan set .
x 是然后利用三角函数恒等变形x+x=1和1x=x 将T 降次，便于计算
3. 以前面的几种简单类型为基础，现在来讨论较为复杂的有理真分式的积分
()()()()()()
2
22222
22+3
dx 3102+3
dx
310
1
=d 310310=In 3102+3
dx 3102+32+3=310+52525211
5252=x x x x x x x x x x x x x x x x x A B
x x x x x x A B x B A x x x x +-+-+-+-+-+-+--+-++-=++-+-∴⎰
⎰⎰⎰
例3.1 解法1 +C 解法2 =+
=
原式21
1dx
52310x x x x ⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭+-⎰ =In +C
总结：假分式分母可以因式分解，将被积函数化为部分分式之和的形式，然后用基本积分公
式进行运算.
例3.2 ()()2
2
dx 211x x x x ++++⎰
()()()()22
2
2
222=dx
2111121122=21211
1111121d 12121213
24111211223x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫
- ⎪+++⎝⎭
+-+++++-++++++⎛⎫++ ⎪⎝
⎭⎛
⎫++++ ⎪⎝
⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式 d -dx =d dx =In -In +arctan +C
总结：遇到被积函数是复杂的有理函数，用拆分法将其分解为自己熟悉的函数，灵活变换. 例3.3 ()()23
dx 11x x x ---⎰
()()
()()()
2
222223
=d 112
1d 21112211
2d d 2111111d 21d d 2211111
11
x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x In
C x x --+-⎛⎫=- ⎪-++⎝⎭⎛⎫
-- ⎪=- ⎪-++ ⎪
⎝⎭=-+---++--=+++-⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 总结：此题能够得出一个重要结论，分母因式分解要求为各个因式之间无公约数，以此为标准进行因式分解，拆项
除此之外，常见的还有，可化为有理函数的积分.例如利用三角函数的万能公式，将被积函数中含有三角函数的分式函数，例：
()1+sin sin 1cos x
dx x x +⎰.例如被积函数中含有
n
n
ax b ax b cx d +++或时用换元法将根号去掉，例：1d 1x
x x x
-+⎰，3
d 11x x ++⎰. 虽然形式
各种各样,但只要熟练掌握以上各种类型的积分，那么在被积函数为有理分式函数时应对起来应当是信手拈来，甚是轻松。