第三节 分部积分法(精选、)
第3节 分部积分法
1 所以 sec xdx (sec xtanx ln sec x tanx ) C . 2
3
34
高等数学
●
戴本忠
17
1 例10 求 I n 2 2 n dx , 其中 n 为正整数 . (x a ) 解 当 n 1 时, 根据分部积分法 1 ( x 2 a 2 ) n 1 dx
高等数学
●
戴本忠
例9 解
求 sec 3 xdx .
3 sec xdx sec xdtan x
(tan x)sec2x (sec x)secxtanx
sec xtanx sec xtan 2 xdx sec xtanx sec x (sec 2 x 1)dx sec xtanx sec 3 xdx sec xdx sec xtanx ln sec x tanx sec 3 xdx .
●
戴本忠
10
例2
解
求 xe x dx .
令 u x, dv e dx,
x
那么 du dx, v e x .
x x x x x x x e d x x e e d x x e e C e ( x 1) C .
例3 解
求 x 2e x d x .
1 x 2 arctan x 1 x 2 d(arctan x )
1 x arctan x
2
34
1 1 x 2 dx 1 x
2
高等数学
●
戴本忠
21
1 x arctan x
2
1 dx 2 1 x 令 x tan t
高等数学第四章第三节分部积分法课件.ppt
原式 = tan x lncos x tan2 x dx tan x lncos x (sec2 x 1) dx
tan x lncos x tan x x C
例7. 求
解: 令 x t , 则 x t2 , dx 2t d t
原式 2 t e t d t 令 u t , v et 2(t et et ) C 2e x ( x 1) C
则 u 1 , v 1 x2
x
2
原式 = 1 x2 ln x 1 x dx
2
2
1 x2 ln x 1 x2 C
2
4
例3. 求 x arctan x dx.
解: 令 u arctan x, v x
则
u
1
1 x
2
,
v 1 x2 2
∴ 原式 1 x2 arctan x 1
2
2
cos sin
x x
dx
cos sin
x x
dx
cos sin
x x
dx
1,
1
cos sin
x x
dx
得0=1
ln sin x C
答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 .
再令 u cos x , v ex , 则 u sin x , v ex
ex sin x ex cos x ex sin x dx
故
原式 =
1 2
e
x
(sin
x
cos
x)
C
说明: 也可设
为三角函数 , 但两次所设类型
必须一致 .
解题技巧:
把被积函数视为两个函数之积 ,
高教社2024高等数学第五版教学课件-4.3 分部积分法
例1 求 න
解
) ( = ′ = − )(′
= − න
= + + .
注 例1如果采用下面的方法，即
2
2 ′
2
න = න ∙ ( ) = − න()′ ∙
1
1
2
1) ]+
2 1+(2+1)2
1
2
1) ]+ arctan
2
1
[ 1
4
2 +
+ (2 + 1)2 ] + .
解法二(先用换元法,再用分部积分法,最后再使用凑微分)
令 = 2 + 1， =
−1
，则
2
−1
න 2 + 1 = න (
∴
= 2
(
− 2 + 2) + .
例10 求 න(2 + 1)
解法一(先用分部积分法,再用第一类换元法——凑微分)
( 2 + 1) = (2 + 1)-( 2 + 1)
2
= 2 + 1 − න
解
2 = 2 ( )
= 2 − න ( 2 ) = 2 − 2 න
= 2 + 2 න ( ) = 2 + 2( − )
= − + .
例3 求
解 令 = , = =
2
,
2
高等数学课件 分部积分法
tan x ⋅ lncos x + ∫ tan2 xdx 原式 = = tan x ⋅ lncos x + ∫ (sec2 x −1) dx
= tan x ⋅ lncos x +tan x − x + C
高等数学（ 高等数学（上）
第四章 不定积分
第三节 分部积分法
例7 求 解 令 x= t , 则 x = t 2 , dx = 2t d t 原式 = 2∫ t e d t
− xsin x − cos x x2
说明: 说明 此题若先求出
− cos x + 2sin x + 2cos x d x ∫ x f ′(x) dx = ∫ 2 x x
高等数学（ 高等数学（上）
第四章 不定积分
第三节 分部积分法
例12 求 I = ∫
e
arctan x
2 32 (1+ x )
t
令 u = t , v′ = et
= 2( te − ∫ e dt )
t
t
= 2(t et − et ) + C
= 2e x ( x −1) + C
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第四章 不定积分
第三节 分部积分法
例8 求 解 令 u = x2 + a2 , v′ =1, 则 x u′ = 2 2 , v = x
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第三节 分部积分法
例3 求 ∫ x arctan x dx. 解 令 u = arctanx, v′ = x 1 1 2 ′= 则 u , v= x 2 2 1+ x 1 2 1 x2 ∴ 原式 = x arctan x − ∫ dx 2 2 2 1+ x 1 2 1 1 = x arctan x − ∫ (1− ) dx 2 2 2 1+ x 1 2 1 = x arctan x − (x − arctan x) + C 2 2
第三节 分部积分法
第三节分部积分法问题∫=?dx xex解决思路利用两个函数乘积的求导法则.设函数)(x u u =和)(x v v =具有连续导数,(),v u v u uv ′+′=′(),v u uv v u ′−′=′,dx v u uv dx v u ∫∫′−=′.du v uv udv ∫∫−=分部积分公式)()()((x dv x u dx x v u ⋅=′∫∫分部积分法主要过程如下：∫dxx f )(所求积分∫∫−=)()()()()()(x du x v x v x u x dv x u ∫∫′−=dxx v x u x v x u dx x f )()()()()((3)计算新积分(2)分部积分公式(1)拆分被积表达式中, 如果某部分求导后能得到简化，可考虑选为u ，剩下的部分就是dv 。
范围：一般处理含有多种类型的混合函数。
关键：对被积表达式的适当拆分。
（求导数或微分）∫′⋅dx x v x u )()(旧积分∫′⋅⇒dxx u x v )()(新积分,)()(dx x u x du u ′=⇒)()(x v dx x v dv ⇒′=（求积分或凑微分）u.cos ∫xdx x 求解（1）令,x u =x d xdx dv sin cos ==∫xdx x cos ∫=udv ∫−=vdu uv ∫−=xdx x x sin sin xv dx du sin ,:==则.cos sin C x x x ++=例1解（2）令,cos x u=∫xdx x cos ∫+=xdx x x x sin 2cos 222显然，u,dv 选择不当，积分更难进行.22,sin :xv xdx du =−=则∫xdx x cos ∫−=vdu uv总结若被积函数是幂函数与正(余)弦函数或指数函数的乘积, 可考虑设幂函数为u例2求积分.2∫dx e x x解,2x u =,xxde dx e dv ==∫dx e x x 2∫−=dx xe e x x x 22.)(22C e xe e x xxx+−−=再次使用分部积分法,x u =dxe dv x =),2(xe v xdx du ==),(xe v dx du ==例3求积分.arctan ∫xdx x ∫⋅=xdx x arctan 原式)(arctan 2arctan 222x d xx x ∫−=dx xx x x 222112arctan 2+⋅−=∫dx x x x )111(21arctan 222+−⋅−=∫.)arctan (21arctan 22C x x x x +−−=u dv 2v u ⋅du v ⋅v 熟练以后的写法例4求积分.ln 3∫xdx x 解,ln x u =,443dv xd dx x ==∫xdx x ln 3∫−=x d x x x ln 41ln 4144.161ln 4144C x x x +−=总结若被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为.u∫−=dx x x x 3441ln 41例6求积分.sin ∫xdx e x解∫xdx exsin ∫=xxdesin ∫−=)(sin sin x d e x e x x ∫−=xdx e x e xxcos sin ∫−=xxxdex e cos sin ∫−−=)cos cos (sin x d e x e x e xx x ∫−−=xdx e x x e xx sin )cos (sin ∫∴xdx e xsin .)cos (sin 2C x x ex+−=注意循环形式)0,(.)(122>∈+=∫a N n dx a x I nn 求解利用分部积分公式得：时当,1>n ∫−+dx a x n 122)(1例7∫+−++=−dxa x xn a x x n n )()1(2)(222122∫+−+−++=−−dx a x a a x n a x x n n n ])()(1[)1(2)(222122122))(1(2)(211221n n n n I a I n a x x I −−++=∴−−−∫+=dx ax I 2211Q C ax a +=arctan 1])32()([)1(2111222−−−++−=∴n n n I n a x xn a I 的递推公式。
分部积分法
x 2 5x 6 2 x 2 2 ( x 1)( x 2 x 3) x 1 x 2 x 3
2x 2 分解成部分分式. 例3. 将 2 2 ( x 1)( x 1)
2x 2 A Bx C Dx E 2 2 解: 设 2 2 x 1 x 1 ( x 1) 2 ( x 1)( x 1)
例4. 解:
求 x cos xdx.
x2 此处若取 u cos x, v' x, dv , 则有 2
x2 x cos xdx cos xd 2
x x cos x d(cosx ) 2 2
2 2
x2 x2 而事实上右端积分 d (cos x)比 cosxd 更难求 , 2 2 因此改取 u x, v sin x, 则由分部积分公式得
两端去分母得 x2 +5x +6 = A(x2 +2x+3)+(Bx+C)(x–1) (1)次幂的 系数相等.
作为一个恒等式, 对所有的x值均相等.
x = 1 代入, 得 12 = A 6 x = 0 代入, 得 6=6–C C=0 A=2
x = –1 代入, 得
x = 0 代入, 得
2 = 1– C x = – 1 代入, 得 0 = 4 + (–B + C)(–2) · + (–D + E)(–2) 2 C=–1
= 4 + 4B + 4 –4 B = – 1
故有
2x 2 1 x 1 2x 2 2 2 2 x 1 x 1 ( x 1) 2 ( x 1)( x 1)
第三节 分部积分
1 3 解: 原式 = ∫ arctan x d x 3 1 3 1 x3 = x arctan x −∫ ⋅ dx 2 3 3 1+ x
1 1 3 x2 1 2 = x arctan x − ∫ dx 2 3 1+ x 2 3 1 1 3 1 (1− ) dx2 = x arctan x − ∫ 2 1+ x 3 6
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例3. 求
∫ x ln xdx .
x2 x2 x2 1 dx = ln x−∫ 解: 原式 = ∫ ln x d 2 2 2 x
1 2 1 x2 x2 = ln x − ∫ x dx = ln x − x + C 4 2 2 2
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例4. 求
∫x
2
arctan x dx .
∫e
− x2
dx , dx, ∫ ln x
sin x ∫ cos x dx, ∫ x dx,
2
它们的积分可以借助无穷级数来计算,或运用数学软件 它们的积分可以借助无穷级数来计算 或运用数学软件 快速算出. 快速算出
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x cos x − sin x 例11. 求 ∫ d x. 2 x
x cos x − sin x cos x sin x 解: ∫ dx = ∫ d x −∫ 2 d x 2 x x x
1 sin x = ∫ dsinx −∫ 2 d x x x 1 sin x 1 = sinx −∫ sinx (− 2 )d x −∫ 2 d x x x x 1 = sinx +C. x
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本章主要内容
高等数学课件 4第三节 分部积分法ppt
令 x tan t ( t ), 则
I
et sec3
t
2 sec2 t d t
2
e t cos t d t
e t sin t e t sin t d t
e t sin t e t cos t e t cos t d t
故 I 1 (sin t cos t)e t C
1 x2
2
2.
原式
ex 1 cos
dx x
ex sin x dx
1 cos x
ex
tan
x 2
C.
(第一个积分分部积分)
3. 求 sin(ln x)dx.
解: sin(ln x)dx x sin(ln x) xd[sin(ln x)]
x
sin(ln
x)
x cos(ln
x)
1 x
dx
x2 a2
(x2 a2) a2 dx
x2 a2
x2 a2 dx x x2 a2 x2 a2 dx
a2
dx
x2 a2
x x2 a2 a2 ln | x x2 a2 | x2 a2 dx
∴ 原式 = 1 x x2 a2 a2 ln ( x x2 a2 ) C.
1
earctanx
1 x2
x dearctanx 1 x2
1 1
x2
earctanx (1
x)
I
I 1 x earctanx C . 2 1 x2
例16.
求
(1
xe x x)2
dx.
解:
(1
xe x x)2
dx
xe
xd
1
1
x
xex 1 d( xex ) 1 x 1 x
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第三节 分部积分法分布图示★ 分部积分公式★ 几点说明 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例16★ 例17★ 例18★ 分部积分的列表法★ 例19★ 例20 ★ 例21★ 例22★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题4-3内容要点分部积分公式： ⎰⎰-=vdu uv udv (3.1)⎰⎰'-='vdx u uv dx v u (3.2)分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m , n 都是正整数)..arctan arccos arcsin )(ln cos sin cos sin 等mx x mxx mxx x x ex mx e mx e mx x mx x n n n nmxn nx nx n n例题选讲例1 (E01) 求不定积分⎰xdx x cos .解一 令,2,cos 2dv x d xdx x u =⎪⎪⎭⎫⎝⎛== ⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,sin 2cos 22cos cos 222xdx x x x x xd xdx x 显然, ν',u 选择不当，积分更难进行.解二 令,sin cos ,dv x d xdx x u ===⎰⎰=x xd xdx x sin cos ⎰-=xdx x x sin sin .cos sin C x x x ++=例2 (E02) 求不定积分⎰dx e x x 2.解 dv de dx e x u x x ===,2xxdex dx e x ⎰⎰=22⎰-=dx xe e x x x 22⎰-=x x xde e x 22.)(22C e xe e x x x x +--=注：若被积函数是幂函数(指数为正整数)与指数函数或正(余)弦函数的乘积, 可设幂函数为u , 而将其余部分凑微分进入微分号, 使得应用分部积分公式后, 幂函数的幂次降低一次.例3 (E03) 求不定积分⎰xdx x arctan .解 令,2,arctan 2dv x d xdx x u =⎪⎪⎭⎫⎝⎛== ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2arctan arctan 2x xd xdx x ⎰-=)(arctan 2arctan 222x d x x x dx x x x x ⎰+⋅-=222112arctan 2 dx x x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅-=2211121arctan 2.)arctan (21arctan 22C x x x x +--=例4 (E04) 求不定积分⎰xdx xln 3.解 令,4,ln 43dv x d dx x x u =⎪⎪⎭⎫⎝⎛== ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰4ln ln 43x d x xdx x ⎰-=dx x x x 3441ln 41.161ln 4144C x x x +-=注：若被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积, 可设对数函数或反三角函数为u , 而将幂函数凑微分进入微分号, 使得应用分部积分公式后, 对数函数或反三角函数消失.例5 (E05) 求不定积分⎰xdx e x sin . 解⎰⎰=x xde dx esin sin )(sin sin x d e x e x x ⎰-=⎰-=xdx e x e x x cos sin⎰-=x x xde x e cos sin )cos cos (sin ⎰--=x d e x e x e x x x ⎰--=xdx e x x e x x sin )cos (sin.)cos (sin 2sin C x x e dx e xx+-=∴⎰注：若被积函数是指数函数与正(余)弦函数的乘积,u , dv 可随意选取, 但在两次分部积分中, 必须选用同类型的u , 以便经过两次分部积分后产生循环式, 从而解出所求积分.例6 (E06) 求不定积分⎰dx x )sin(ln . 解)][sin(ln )sin(ln )sin(ln x xd x x dx x ⎰⎰-=dx xx x x x 1)cos(ln )sin(ln ⋅-=⎰)][cos(ln )cos(ln )sin(ln x d x x x x x ⎰+-= dx x x x x ⎰--=)sin(ln )]cos(ln )[sin(ln.)]cos(ln )[sin(ln 2)sin(ln C x x xdx x +-=∴⎰灵活应用分部积分法,可以解决许多不定积分的计算问题. 下面再举一些例子,请读者悉心体会其解题方法.例7 (E07) 求不定积分 ⎰xdx 3sec .解⎰⎰=x xd xdx tan sec sec3⎰-=xdx x x x 2tan sec tan sec⎰--=dx x x x x )1(sec sec tan sec 2⎰⎰+-=xdx xdx x x sec sec tan sec 3 ⎰-++=xdx x x x x 3sec |tan sec |ln tan sec由于上式右端的第三项就是所求的积分⎰,sec 3xdx 把它移到等号左端去，再两端各除以2，便得.|)tan sec |ln tan (sec 21sec 3C x x x x xdx +++=⎰例8 求不定积分.1arcsin dx xx⎰- 解x d x dx xx --=-⎰⎰1arcsin 21arcsinx d x x x arcsin 12arcsin 12⎰-+--= dx xx x x x ⎰--+--=11arcsin 12.2arcsin 12C x x x ++--=例9 求不定积分.1arctan 2dx xx x ⎰+解221arctan 1arctan xxd dx xx x +=+⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+='⎪⎭⎫ ⎝⎛+2211x x x)(arctan 1arctan 122x d x x x ⎰+-+=⎰+⋅+-+=dx x x x x 222111arctan 1 x d xx x ⎰+-+=2211arctan 1⎰⎰⎰=+=+tdt tdt ttx x d x sec sec tan 11tan 11222.)1ln()tan ln(sec 2C x x C t t +++=++=∴ 原式.)1ln(arctan 122C x x x x +++-+=例10 (E08) 求不定积分dx ex⎰.解 令,x t =则,2,2tdt dx t x ==于是tdt e dx et x⎰⎰=2t de t ⎰=2dt e te t t ⎰-=22 C e te t t +-=22C t e t +-=)1(2.)1(2C x ex+-=例11 求不定积分⎰+dx x )1ln(. 解 令,x t =则,2t x =2)1ln()1ln(dt t dx x ⎰⎰+=+)1ln()1ln(22t d t t t +-+=⎰dt tt t t ⎰+-+=1)1ln(22⎰⎰+---+=tdt dt t t t 1)1()1ln(2.)1ln(2)1ln(22C t t t t t ++-+-+= .2)1ln()1(C xx x x +-++-=例12 求.33/1dx xe I x⎰=解法 1 先分部积分，后换元.设,1,33/1dx xdv e u x ==则,23,313/23/23/1x v dx e x du x =⋅=-于是 ⎰-⋅=dx e e x I x x 3/13/121233/2 再设,3t x =则,32dt t dx =于是dt te e t dt e t dx e t t t x ⎰⎰⎰-=⋅=633223/1().)22(36322C e t t dt e te e t t t t t ++-=--=⎰代入上式, 得C e x x e x I x x ++--⋅=3/13/1)22(23233233/2.)1(33/13C e x x +-= 解法 2 先换元, 后分部积分.设,3t x =,32dt t dx =则dt e t dt t te I t t ⎰⎰=⋅=332再设,,dt e dv t u t ==则c e te dt e te I t t t t +-=-=⎰3333.)1(33/13c e x x+-=例13 求不定积分.2)1arcsin()1(2⎰---dx xx x x解 令,1x t -=则,dt dx -=于是原式⎰⎰-+=--=)1(arcsin 1arcsin 22t td dt t t tdt t t t t 222111arcsin 1-⋅---=⎰12arcsin 1C t t t +--= .)1arcsin(22C x x x x ++--=其中.11-=C C例14 (E09) 求不定积分⎰+=nn a x dxI )(22, 其中n 为正整数.解 用分部积分法，当1>n 时有dx a x x n a x x a x dx nn n ⎰⎰+-++=+--)()1(2)()(222122122,)()(1)1(2)(222122122dx a x a a x n a x x n n n ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-++=-- 即 ),)(1(2)(211221n n n n I a I n a x xI --++=--- 于是 .)32()()1(2111222⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-=--n n n I n a x xn a I 以此作递推公式，并由,arctan 11C axa I +=即可得.n I例15 (E10) 已知)(x f 的一个原函数是2x e -, 求⎰'dx x f x )(.解⎰⎰=')()(x xdf dx x f x ⎰-=,)()(dx x f x xf根据题意,)(2C edx x f x +=-⎰再注意到()),()(x f dx x f ='⎰两边同时对x 求导，得,2)(2x xe x f --= ⎰⎰-='∴dx x f x xf dx x f x )()()(.2222C e e x x x +--=--例16 求不定积分.cos sin cos 23sin dx xxx x ex-⎰解 先折成两个不定积分，再利用分部积分法.原式dx x x e xdx x e x x ⎰⎰-⋅=2sin sin cos sin cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰x d e xde x x cos 1sin sin ⎰⎰+--=dx e x e dx exex x xxsin sin sin sin cos .cos 1sin sin C e xxe xx +-=例17 求不定积分⎰.)ln(tan sin dx x x 解⎰⎰-=x d x dx x x cos )ln(tan )ln(tan sin )ln(tan cos )ln(tan cos x xd x x ⎰+-=x d xx x ⎰+-=sin 1)ln(tan cos .|cot csc |ln )ln(tan cos C x x x x +-+-=例18 求不定积分⎰+dx x e x x22)2(. 解 选,2x e x u =于是⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+21)2(222x d e x dx x e x x x ⎰+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=)(212122x x e x d x x e x dx x e x xe x e x xx x ⎰++++-=22222 dx xe x e x x x ⎰++-=22x x de x x e x ⎰++-=22dx e xe x e x x x x ⎰-++-=22.22C e xe x e x x x x +-++-=注: 本题选xe x u 2=比选22)2(+=x x u 更能使解题方便.例19 计算不定积分⎰.ln xdx x解 x ln 不易求积分，只能放在左列，而x 放在右列,列表如下:x x →+ln )(2211)(x x →- ⎰⎰⋅-⋅=∴dx x x x x xdx x 2221121ln ln .41ln 2121ln 21222c x x x xdx x x +-=-=⎰例20 计算不定积分⎰.ln xdx解 x ln 可看作乘积形式,ln 1x ⋅将x ln 放在左列,1放在右列，列表如下:1ln )(→+xx x→-1)( ⎰⎰+-=⋅-=∴.ln 1ln ln c x x x xdx xx x xdx例21 计算不定积分⎰.sin xdx x解 函数x 和x sin 都是易求原函数的函数,都可放右列，但考虑到左列的函数应是求导后逐渐简单的，故x 放左列, x sin 放右列列表如下:x x sin )(→+1)(- x cos -x sin 0)(-→+⎰+-⋅--=∴c x x x xdx x )sin (1cos sin .sin cos c x x x ++-=例22 计算不定积分.cos xdx e x ⎰.解 函数x e x cos ,都是易求原函数的函数，且它们的导函数分别是稳定的x e 和x sin (或x cos )形式，故它们的左右位置可随意选取.例如选取x e 为左, x cos 为右, 可得x e x cos )(→+ x e )(- x x e x cos )(-→+⎰⎰-+--=∴dx x e x e x e xdx e x x x x )cos ()cos (sin cos ，移项得.)cos (sin 2cos c x x e xdx e xx++=⎰课堂练习1. 求不定积分;sin 2⎰xdx x 2. 求不定积分⎰-xdx e x 2sin .最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成word 文本 --------------------- 方便更改。