高中数学2-1、2-2综合测试 (50)
高中数学选修2-2综合测试试题及答案解析
高中数学选修2-2综合测试试题及答案解析时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处的切线方程是导学号 10510897( ) A ．y ＝7x ＋4 B ．y ＝x －4 C ．y ＝7x ＋2D ．y ＝x －22．设x ＝3＋4i ，则复数z ＝x －|x |－(1－i)在复平面上的对应点在导学号 10510898( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图象是导学号 10510899( )4．定义复数的一种运算z 1*z 2=|z 1|＋|z 2|2(等式右边为普通运算)，若复数z ＝a ＋b i ，z －为z 的共轭复数，且正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则z *z －的最小值为导学号 10510900( )A.92B.322C.32D ．945．(2016·宜春高二检测)已知函数f (x )＝sin x ＋e x ＋x 2015，令f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，则f 2016(x )＝导学号 10510901( )A ．sin x ＋e xB ．cos x ＋e xC ．－sin x ＋e xD ．－cos x ＋e x6．函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是导学号 10510902( ) A.12 B ．－1 C ．0D ．17．(2016·哈尔滨质检)在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数图象恰好经过k 个格点，则称函数为k 阶格点函数．已知函数：①y ＝sin x; ②y ＝cos(x ＋π6)；③y ＝e x －1;④y ＝x 2.其中为一阶格点函数的序号为导学号 10510903( ) A ．①② B ．②③ C ．①③D ．②④8．(2016·淄博高二检测)下列求导运算正确的是导学号 10510904( ) A ．(2x )′＝x ·2x －1 B ．(3e x )′＝3e xC ．(x 2－1x )′＝2x －1x2D ．(xcos x )′＝cos x －x sin x (cos x )29．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是导学号 10510905( )A ．289B ．1024C ．1225D ．137810．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a ＝导学号 10510906( )A ．64B ．32C ．16D ．811．(2016·全国卷Ⅲ理，12)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有导学号 10510907( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个12．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是导学号 10510908( )A ．[－5，－3]B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.导学号 1051090914．请阅读下列材料：若两个正实数a 1、a 2满足a 21＋a 22＝1，那么a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1.因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.类比上述结论，若n 个正实数满足a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，你能得到的结论为________.导学号 1051091015．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：导学号 10510911 22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7； 23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19.根据上述分解规律，若n 2＝1＋3＋5＋…＋19，m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是21，则m ＋n 的值为________．16．(2016·全国卷Ⅱ理，16)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.导学号 10510912三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(2016·大连高二期中)已知z 1、z 2为复数，i 为虚数单位，z 1·z －1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0，z 2＋3z 2－3为纯虚数，z 1、z 2在复平面内对应的点分别为P 、Q .导学号 10510913(1)求点P 的轨迹方程； (2)求点Q 的轨迹方程； (3)写出线段PQ 长的取值范围．18．(本题满分12分)设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，求函数f (x )的单调区间与极值.导学号 1051091419．(本题满分12分)已知A n (n ，a n )为函数y 1＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y 2＝x 的图象上的点，设c n ＝a n －b n ，其中n ∈N *.导学号 10510915(1)求证：数列{c n }既不是等差数列也不是等比数列； (2)试比较c n 与c n ＋1的大小．20．(本题满分12分)设函数f (x )＝x ln x .导学号 10510916 (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[18，12]上的最大值和最小值．21．(本题满分12分)(2016·贵州高二检测)已知点列A n (x n,0)，n ∈N *，其中x 1＝0，x 2＝a (a >0)，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n －1的中点，….导学号 10510917(1)写出x n 与x n －1、x n －2之间的关系式(n ≥3)；(2)设a n ＝x n ＋1－x n ，计算a 1、a 2、a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明．22．(本题满分12分)(2016·北京文，20)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c .导学号 10510918 (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围； (3)求证：a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件．高中数学选修2-2综合测试试题答案解析1．[答案] D[解析] y ′|x ＝－1＝(4－3x 2)|x ＝－1＝1， ∴切线方程为y ＋3＝x ＋1，即y ＝x －2.2． [答案] B[解析] ∵x ＝3＋4i ，∴|x |＝32＋42＝5， ∴z ＝3＋4i －5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i ＝－3＋5i. ∴复数z 在复平面上的对应点在第二象限，故应选B.3． [答案] A[解析] ∵f ′(x )＝2x ＋b 为增函数，∴排除B 、D ； 又f (x )的顶点在第四象限，∴－b2>0，∴b <0，排除C ，故选A.4．[答案] B[解析] 由题意可得z *z －＝|a ＋b i|＋|a －b i|2＝a 2＋b 2＋a 2＋(－b )22＝a 2＋b 2，∵正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，∴b ＝3－a ，∴a 2＋b 2＝a 2＋(3－a )2＝2a 2－6a ＋9，由二次函数可知当a ＝32时，上式取最小值322.故选B.5．[答案] A[解析] f 1(x )＝f ′(x )＝cos x ＋e x ＋2015x 2014，f 2(x )＝f 1′(x )＝－sin x ＋e x ＋2015× 2014x 2013， f 3(x )＝f 2′(x )＝－cos x ＋e x ＋2015×2014×2013x 2012，…，∴f 2016(x )＝sin x ＋e x .6．[答案] D[解析] 由f ′(x )＝3－12x 2＝0得，x ＝±12，∵x ∈[0,1]，∴x ＝12，∵当x∈[0，12]，f ′(x )>0，当x ∈[12，1]时，f ′(x )<0，∴f (x )在[0，12]上单调递增，在[12，1]上单调递减，故x ＝12时，f (x )取到极大值也是最大值，f (12)＝3×12－4×(12)3＝1，故选D.7． [答案] C[解析] 对于①，注意到y ＝sin x 的值域是[－1,1]；当sin x ＝0时，x ＝k π(k ∈Z )，此时相应的整数x ＝0；当sin x ＝±1时，x ＝k π＋π2(k ∈Z )，此时没有相应的整数x ，因此函数y ＝sin x 仅过唯一的整点(0,0)，该函数是一阶格点函数．同理可知，对于②，函数y ＝cos(x ＋π6)不是一阶格点函数．对于③，令y ＝e x －1＝k (k ∈Z )得e x ＝k ＋1>0，x ＝ln(k ＋1)，仅当k ＝0时，x ＝0∈Z ，因此函数y ＝e x －1是一阶格点函数．对于④，注意到函数y ＝x 2的图象经过多个整点，如点(0,0)，(1,1)，因此函数y ＝x 2不是一阶格点函数．综上所述知选C.8．[答案] B[解析] 对于A ，(2x )′＝2x ln2；对于B ，(3e x )′＝3e x ；对于C ，(x 2－1x)′＝2x ＋1x 2；对于D ，(xcos x )′＝cos x ＋x sin x (cos x )2；综上可知选B.9．[答案] C[解析] 图1中满足a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，以上累加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n ·(n ＋1)2，图2中满足b n ＝n 2，一个数若满足三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半； 一个数若满足正方形数，其必为某个自然数的平方． ∵1225＝352＝49×502，∴选C.10．[答案] A[解析] y ′＝－12x －32，∴k ＝－12a －32，切线方程是y －a －12＝－12a －32(x －a )，令x ＝0，y ＝32a －12，令y ＝0，x ＝3a ，∴三角形的面积是S ＝12·3a ·32a －12＝18，解得a ＝64.11． [答案] C[解析] 由题意可得a 1＝0，a 8＝1，a 2，a 3，…，a 7中有3个0、3个1，且满足对任意k ≤8，都有a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14个．12．[答案] C[解析] ax 3≥x 2－4x －3恒成立．当x ＝0时式子恒成立．∴a ∈R ， 当x >0时，a ≥1x －4x 2－3x 3恒成立．令1x ＝t ，x ∈(0,1]，∴t ≥1.∴a ≥t －4t 2－3t 3恒成立．令g (t )＝t －4t 2－3t 3，g ′(t )＝1－8t －9t 2＝(t ＋1)(－9t ＋1)， ∴函数g ′(t )在[1，＋∞)上为减函数 而且g ′(1)＝－16<0，∴g ′(t )<0在[1，＋∞)上恒成立． ∴g (t )在[1，＋∞)上是减函数， ∴g (t )max ＝g (1)＝－6，∴a ≥－6； 当x <0时，a ≤1x －4x 2－3x 3恒成立，∵x ∈[－2,0)，∴t ≤－12，令g ′(t )＝0得，t ＝－1，∴g (t )在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，－12]上为增函数，∴g (t )min ＝g (－1)＝－2，∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2. 13． [答案]22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2， ∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22.14．[答案] a 1＋a 2＋…＋a n ≤n (n ∈N *)[解析] 构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋1， ∵f (x )≥0对任意实数x 都成立，∴Δ＝4(a 1＋a 2＋…＋a n )2－4n ≤0， ∵a 1，a 2，…，a n 都是正数，∴a 1＋a 2＋…＋a n ≤n .15． [答案] 15[解析] 依题意得n 2＝10×(1＋19)2＝100，∴n ＝10.易知m 3＝21m ＋m (m －1)2×2，整理得(m －5)(m ＋4)＝0，又m ∈N *，所以m ＝5，即53＝21＋23＋25＋27＋29，所以m ＋n ＝15.16． [答案] 1－ln2[解析] 设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))．则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x ＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)，依题意，⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1ln x 1＋1＝－x 2x 2＋1＋ln (x 2＋1)，解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln2.17． [解析] (1)设z 1＝x ＋y i ，(x 、y ∈R )，由z 1·z －1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0得x 2＋y 2＋6x ＋5＝0，整理得(x ＋3)2＋y 2＝4，∴点P 的轨迹方程为(x ＋3)2＋y 2＝4. (2)设z 2＝x ＋y i ，(x 、y ∈R )， z 2＋3z 2－3＝x ＋3＋y i x －3＋y i ＝x 2＋y 2－9－6y i(x －3)2＋y 2， ∵z 2＋3z 2－3为纯虚数，∴x 2＋y 2＝9且y ≠0， ∴点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝9(y ≠0)． (3)PQ 长的取值范围是[0,8)． ∵两圆相交，∴PQ 长的最小值为0，又两圆圆心距为3，两圆半径分别为2和3，∴PQ 长的最大值为8，但点Q 的轨迹方程中y ≠0，∴|PQ |<8，∴线段PQ 长的取值范围是[0,8)．18． [解析] f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1＝2sin(x ＋π4)＋1 (0<x <2π)，令f ′(x )＝0，即sin(x ＋π4)＝－22，解之得x ＝π或x ＝3π2.x ，f ′(x )以及f (x )变化情况如下表：∴f (x )的单调增区间为(0，π)和(3π2，2π)，单调减区间为(π，3π2)．f 极大(x )＝f (π)＝π＋2，f 极小(x )＝f (3π2)＝3π2.19． [解析] (1)证明：依题意，a n ＝n 2＋1，b n ＝n ，c n ＝n 2＋1－n . 假设{c n }是等差数列，则2c 2＝c 1＋c 3，∴2(5－2)＝2－1＋10－3. ∴25＝2＋10，产生矛盾， ∴{c n }不是等差数列．假设{c n }是等比数列，则c 22＝c 1c 3，即(5－2)2＝(2－1)(10－3)．有6＝65－32－10，产生矛盾， ∴{c n }也不是等比数列．(2)解：∵c n ＋1＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)>0，c n ＝n 2＋1－n >0， ∴c n ＋1c n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n ＝n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)， 0<n 2＋1<(n ＋1)2＋1， 又0<n <n ＋1，∴n 2＋1＋n <(n ＋1)2＋1＋n ＋1， ∴0<n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)<1，∴c n ＋1c n<1，即c n ＋1<c n . 20． [解析] (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)． ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1e ，令f ′(x )>0，得x >1e ，令f ′(x )<0，得0<x <1e，∴f (x )的单调递增区间为(1e ，＋∞)，单调递减区间为(0，1e )．(2)∵f (18)＝18ln 18＝38ln 12，f (12)＝12ln 12，f (1e )＝1e ln 1e ＝－1e ， 又12ln 12<38ln 12， ∴求f (x )在区间[18，12]的最大值为38ln 12，最小值为－1e .21． [解析] (1)由题意，当n ≥3时，x n ＝12(x n －1＋x n －2)(2)x 1＝0，x 2＝a ，x 3＝12(x 2＋x 1)＝a 2，x 4＝12(x 3＋x 2)＝3a4，∴a 1＝x 2－x 1＝a ，a 2＝x 3－x 2＝－a 2，a 3＝x 4－x 3＝a4，推测a n ＝a(－2)n －1.方法一证明：对于任意n ∈N *，a n ＝x n ＋1－x n ，a n ＋1＝x n ＋2－x n ＋1＝12(x n ＋1＋x n )－x n ＋1＝－12(x n ＋1－x n )＝－12a n ，又∵a 1＝a >0，∴{a n }是以a 为首项，以－12为公比的等比数列．故a n ＝a ·(－12)n －1＝a(－2)n －1. 方法二下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝a ＝a ·(－12)1－1，结论a n ＝a (－2)n －1成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N )时，a n ＝a (－2)n －1成立，即a k＝a ·(－12)k －1， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝x k ＋2－x k ＋1＝x k ＋x k ＋12－x k ＋1＝x k －x k ＋12＝－12a k ＝(－12)·a ·(－12)k －1＝a ·(－12)(k ＋1)－1，所以n ＝k ＋1时，a n ＝a(－2)n －1成立． 由①②可知，数列{a n }的通项公式为a n ＝a ·(－12)n －1，n ∈N *.22． [解析] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 因为f (0)＝c ，f ′(0)＝b ，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝bx ＋c . (2)当a ＝b ＝4时，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ， 所以f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4.令f ′(x )＝0，得3x 2＋8x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－23.f (x )与f ′(x )在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：所以，当c >0且c －3227<0时，存在x 1∈(－4，－2)，x 2∈(－2，－23)，x 3∈(－23，0)，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈(0，3227)时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点．(3)当Δ＝4a 2－12b <0时，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b >0，x ∈(－∞，＋∞)，此时函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递增，所以f (x )不可能有三个不同零点． 当Δ＝4a 2－12b ＝0时， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 只有一个零点，记作x 0. 当x ∈(－∞，x 0)时， f ′(x )>0，f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递增；当x ∈(x 0，＋∞)时， f ′(x )>0，f (x )在区间(x 0，＋∞)上单调递增；所以f (x )不可能有三个不同零点．综上所述，若函数f (x )有三个不同零点，则必有Δ＝4a 2－12b >0. 故a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要条件．当a ＝b ＝4，c ＝0时，a 2－3b >0，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＝x (x ＋2)2只有两个不同零点，所以a 2－3b >0不是f (x )有三个不同零点的充分条件．因此a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件．。
高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)
高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)1.复数就像平面上的点，有实部和虚部。
2.复数就像向量，有大小和方向。
3.复数就像计算机中的复数类型，有实部和虚部。
4.复数就像两个数字的有序对，有序对的第一个数字是实部，第二个数字是虚部。
改写：关于复数的四种类比推理，可以用不同的比喻来描述复数的实部和虚部。
一种比喻是将复数看作平面上的点，实部和虚部分别对应点的横坐标和纵坐标；另一种比喻是将复数看作向量，实部和虚部分别对应向量的大小和方向；还可以将复数看作计算机中的复数类型，实部和虚部分别对应类型中的两个数；最后一种比喻是将复数看作有序对，实部和虚部分别对应有序对的第一个数字和第二个数字。
①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则。
②由向量a的性质|a|²＝a²，可以类比得到复数z的性质：|z|²＝z²。
③方程ax²＋bx＋c＝0 (a，b，c∈R，且a≠0)有两个不同的实数根的条件是b²－4ac>0，类比可得方程ax²＋bx＋c＝0 (a，b，c∈C且a≠0)有两个不同的复数根的条件是b²－4ac>0.④由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义。
其中类比得到的结论正确的是：A。
①③B。
②④C。
②③D。
①④2.删除明显有问题的段落。
3.填空题：11.若复数z满足z＋i＝0，则|z|＝1.12.直线y＝kx＋1与曲线y＝x³＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为4.13.第n个正方形数是n²。
14.＋＋＝AA′BB′CC′；＋＋＋＝AA′BB′CC′DD′。
4.解答题：15.1) F(x)的单调区间为(-∞。
0)和(2.+∞)。
2) F(x)在[1,5]上的最小值为-5，最大值为9.16.因为AD⊥BC，所以AB²=AD²+DB²。
又因为AB⊥AC，所以AC²=AD²+DC²。
(必考题)高中数学高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》测试题(有答案解析)
一、选择题1．已知a ，b 为实数，则“a 3＜b 3”是“2a ＜2b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．已知命题p 、q ，如果p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件，那么q 是p 的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要3．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”B ．命题“2000,10x x x ∃∈++<R ”的否定是“2,10x R x x ∀∈++<” C ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为假命题D ．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，则双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为12y x =±4．已知a ，b 是两条直线，则“a ，b 没有公共点”是“a ，b 是异面直线”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件5．下列命题中为真命题的是（ ）A ．若命题p ：“2,10x R x x ∃∈-->”，则命题p 的否定为：“2,10x R x x ∀∈--≤”B ．直线,a b 为异面直线的充要条件是直线,a b 不相交C ．“1a =”是“直线0x ay -=与直线0x ay +=互相垂直”的充要条件D ．0x ≠则12x x+≥ 6．在等比数列{}n a 中，“61a =±”是“2a ，10a 是方程2410x x ++=的两根”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知命题():0,p x ∀∈+∞，1102xm ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭；命题():0,q x ∃∈+∞，2410mx x +-=，则命题p 是命题q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．下列判断错误的是（ ）A ．()0f x '=是0x x =为可导函数()y f x =的极值点的必要不充分条件B ．命题“32,10x x x ∀∈--≤R ”的否定是32,10x x x ∃∈-->RC ．命题“若11x -<<，则21x <”的逆否命题是“若21x >，则1x >或1x <-”D ．若0m >，则方程20x x m +-=有实数根的逆命题是假命题9．命题:p “1a >”是命题:q “函数()cos f x ax x =+在R 上是单调递增”成立的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件10．命题“已知直线1l ：10ax y ++=和2l ：20x by ++=，若1ab =，则12l l //”，该命题的逆命题、否命题、逆否命题中正确的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．311．记不等式()()22124x y -+-≤表示的平面区域为D .命题p ：()x y D ∀∈,，28x y +≤；命题q ：(),x y D ∃∈，21x y +≤-.下面给出了四个命题：①p q ∨；②p q ⌝∨；③p q ∧⌝；④p q ⌝∧⌝.这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④12．已知x 、y R ∈，则“221x y +<”是“()()110x y -->”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件二、填空题13．有下列五个命题：①函数y =2020x在区间(,0)(0,)-∞+∞上是单调递减的；②“0k ≠”是“函数1y kx =+的图像表示一条直线”的充分不必要条件；③函数y =[)0,+∞上是单调递减的；④函数y x =--{|1}y y ≤；⑤22(2)5y x a x =+-+在（4，+∞）上是增函数，则实数a 的取值范围是2a >-；⑥已知函数()y f x =在R 上是单调递增的，若0a b +>，则()()()()f a f b f a f b +>-+-.其中所有正确命题的题号是__________.14．已知命题p ：任意[1,2]x ∈，20x a -≥，命题q ：存在x ∈R ，2220x ax ++=.若命题p 与q 都是真命题，求实数a 的取值范围________.15．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为__________.①函数3231y x x =-+的图象关于点()0,1成中心对称；②对,x y R ∀∈若0x y +≠，则1x ≠或1y ≠-；③若实数x ，y 满足221x y +=，则2yx +的最大值为3；④若ABC ∆为钝角三角形，则sin cos A B <.16．下列命题：①设A ，B 为两个集合，则“A B ⊆”是“A B A =”的充分不必要条件；②0x ∃>，10x x-<；③“|1|1x ->”是“22x x >”的充要条件；④n N ∀∈，代数式241n n ++的值都是质数.其中的真命题是________.（填写序号）17．有下列命题：①“若0x y +>，则00x y >>且”的否命题； ②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m 1≥，则22(1)30mx m x m -+++>的解集是R ”的逆命题； ④“若7a +是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确命题的序号是____________18．命题“0x R ∃∈，使()200110m x mx m +-+-≤”是假命题，则实数m 的取值范围为__________.19．“200,20o x R x x m ∃∈++≤”是假命题，则实数m 的取值范围是 ________.20．已知命题p ：不等式01xx <-的解集为{x |0<x <1}；命题q ：在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”成立的必要不充分条件．有下列四个结论: ①p 真q 假；②“p ∧q ”为真；③“p ∨q ”为真；④p 假q 真， 其中正确结论的序号是________三、解答题21．已知集合A ＝233|1,,224y y x x x ⎧⎫⎡⎤=-+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，B ＝{x|x ＋m 2≥1}．命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围. 22．已知命题p : 1x 和2x 是方程220x mx --=的两个实根，不等式22153a a x x --≥-对任意实数[1,1]m ∈-恒成立;命题q :不等式2210ax x +->有解.命题p 为真命题.（1）求实数a 的取值范围;（2）q ⌝是真命题，求实数a 的取值范围.23．定义：如果存在实数x ，y 使c xa yb =+，那么就说向量c 可由向量a b ，线性表出．给出命题：p ：空间三个非零向量a b c ，，中存在一个向量可由另两个向量线性表出．q ：空间三个非零向量a b c ，，共面．判断p 是q 的什么条件，并证明你的结论．24．已知集合{}228120A x x ax a =-+>，其中0a >；集合()(){}120B x x x =--≥.（1）若1a =，求A B ；（2）若:p x A ∈，:q x B ∈，且p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 25．设命题p ：实数x 满足()()20x a x a --<，其中0a >；命题q ：实数x 满足()()216220xx --≤.（1）若2a =，,p q 都是真命题，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.26．已知命题p ：任意2,230x R x mx m ∈-->成立；命题q ：存在2,410x R x mx ∈++<成立.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题,p q 中恰有一个为真命题，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用函数3y x =，2x y =的单调性，结合充分条件和必要条件的性质判断即可. 【详解】函数3y x =在R 上单调递增，则33b a a b <⇔< 函数2x y =在R 上单调递增，则22a b a b <⇔< 则“33a b <”是 “22a b <”的充要条件 故选：C 【点睛】本题主要考查了判断充要条件，涉及了利用函数的单调性比较大小，属于中档题.2．B解析：B【解析】p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，∴根据逆否命题与原命题的等价性可知，q 是p 的充分不必要条件，故选B.3．D解析：D 【分析】利用四种命题的逆否判断A 的正误，命题的否定判断B 的正误；根据充分条件与必要条件判断C 的正误；根据椭圆的离心率可得,a b 关系，进而求得双曲线的渐近线方程； 【详解】解：对于A ，命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x ≠，则1x ≠”，故A 错误； 对于B ，命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈ 均有210x x ++≥”，故B 错误；对于C ，因为原命题为真命题，故其逆否命题也为真命题，故C 错误；对D ，因为122c b a a a ==⇒=，所以双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为12y x =±，故 D 正确.故选：D. 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查四种命题的逆否关系，命题的否定以及充要条件的判断，是基本知识的综合应用．4．B解析：B 【分析】根据异面直线的定义及充分条件、必要条件的概念求解即可. 【详解】因为a ，b 没有公共点，a ，b 可能平行也可能异面， 所以“a ，b 没有公共点”成立推不出“a ，b 是异面直线”， 反之，“a ，b 是异面直线”可以推出“a ，b 没有公共点”成立， 所以“a ，b 没有公共点”是“a ，b 是异面直线”的必要不充分条件， 故选：B 【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，异面直线的概念，属于中档题.5．A解析：A 【分析】A ，根据一个是特称命题的否定，变为全称命题，即可判断；B ，根据空间中两条直线的位置关系得到结果；C ，根据两条直线垂直的条件得到a 的值；D 、根据基本不等式得到，这个不等式大于等于2或小于等于2-．【详解】解：对于A ，根据特称命题的否定形式知道：命题p ：“x R ∃∈，210x x -->”，则命题p 的否定为：“x R ∀∈，210x x --”，故A 是真命题；对于B ，直线a ，b ，为异面直线的充要条件是直线a ，b 不相交且不平行，故B 为假命题；对于C ，“直线0x ay -=与直线0x ay +=互相垂直” ⇔ “1a =±”，故“1a =”是“直线0x ay -=与直线0x ay +=互相垂直”的充分不必要条件，故C 为假命题；对于D ，若0x >，则12x x+，或若0x <，则12x x +-，故D 为假命题． 故选：A ． 【点睛】本题考查命题的否定，考查函数的值域，考查空间中两条直线的位置关系，考查特称命题和全称命题的否定，属于中档题．6．B解析：B 【分析】由韦达定理可得2101a a ⋅=，且a 2和a 10均为负值，由等比数列的性质可得61a =-，故必要性满足充分性不满足. 【详解】∵由2a ，10a 是方程2410x x ++=的两根， ∴2102104,1a a a a +=-⋅=， ∴a 2和a 10均为负值，由等比数列的性质可知a 6为负值,且622101a a a =⋅=， ∴61a =-，故“61a =±”是“2a ，10a 是方程2410x x ++=的两根”的必要不充分条件， 故选：B . 【点睛】本题考查充分条件、必要条件，根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质、二次方程根与系数关系等进行判断即可，属于基础题.7．A解析：A 【分析】分别计算得到m 1≥和4m ≥-，根据范围大小判断得到答案. 【详解】():0,p x ∀∈+∞，1102xm ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即112xm ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，易知函数()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，故m 1≥.命题():0,q x ∃∈+∞，2410mx x +-=， 2214124m x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，故4m ≥-. 故命题p 是命题q 的充分不必要条件. 故选：A . 【点睛】本题考查了根据命题求参数，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.8．C解析：C 【分析】根据必要不充分条件的判断方法，即可得出A 正确；写出原命题的否定命题，即可判断B ；写出原命题的逆否命题，即可判断C ；写出原命题的逆命题，即可判断D. 【详解】对于A ，()0f x '=是0x x =为可导函数()y f x =的极值点的必要不充分条件，故A 正确；对于B ，命题“32,10x x x ∀∈--≤R ”的否定是32,10x x x ∃∈-->R ，故B 正确； 对于C ，命题“若11x -<<，则21x <”的逆否命题是“若21x ≥，则1≥x 或1x ≤-”，故C 错误；对于D ，命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆命题是 “若方程20x x m +-=有实数根，则0m >”当方程20x x m +-=有实数根时，140m =+≥，即14m ≥-， 所以命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆命题为假命题，故D 正确. 故选：C. 【点睛】（1）从逻辑关系上看，若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件；若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件；若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 的充要条件；若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件. （2）含有一个量词的命题的否定：一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论；对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定.（3）由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论：将原命题的条件和结论交换，即得原命题的逆命题；将原命题的条件和结论进行否定，作为新命题的条件和结论，即得原命题的否命题．否定命题的条件或结论，关键是否定条件或结论的关键词；先写出原命题的逆命题，再写出逆命题的否命题，即得逆否命题，也可以先写出原命题的否命题，再写出否命题的逆命题，即得逆否命题.9．B解析：B 【分析】利用导数法求出()cos f x ax x =+为R 上的增函数等价命题，进而根据集合的包含关系即可判断. 【详解】()cos f x ax x =+，()sin f x a x '=-，若函数()y f x =在R 上单调递增，则()0f x '≥在R 上恒成立，即()max sin 1a x ≥=. 由于{}1a a > {}1a a ≥，故命题:p “1a >”是命题:q “函数()cos f x ax x =+在R 上是单调递增”成立的充分不必要条件， 故选：B. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用函数的单调性求参数，一般转化为导数不等式恒成立问题，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.10．C解析：C 【分析】判断原命题为假命题得到逆否命题为假，逆命题为真得到否命题为真，得到答案. 【详解】 取12a =，2b =，满足1ab =，两直线重合，故原命题为假，故逆否命题为假； 若12l l //，则1ab =，故逆命题为真，故否命题为真. 故选：C . 【点睛】本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力.11．B解析：B 【分析】画出平面区域D ，直线28x y +=和直线21x y +=-，根据图像判断出命题p 和命题q 的真假，从而得到答案. 【详解】平面区域为D 满足不等式()()22124x y -+-≤， 画出其图像如图所示，再画出直线28x y +=和直线21x y +=-，根据图像可得存在(),x y D ∈，在直线28x y +=的上方， 所以命题p ：()x y D ∀∈,，28x y +≤，是假命题， 不存在(),x y D ∈，在直线21x y +=-的下方 所以命题q ：(),x y D ∃∈，21x y +≤-，是假命题.所以①p q ∨为假命题；②p q ⌝∨为真命题；③p q ∧⌝为假命题；④p q ⌝∧⌝为真命题. 故选：B.【点睛】本题考查判断含有逻辑联结词命题的真假，根据不等式画可行域，判断点是否在可行域内，属于中档题.12．A解析：A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合不等式的性质判断即可. 【详解】由221x y +<，可得11x -<<，且11y -<<，则可得到()()110x y -->，故充分性成立；反之若()()110x y -->，可取2x y ==，显然得到不等式221x y +<不成立，故必要性不成立. 故选：A ． 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也涉及了不等式基本性质的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题13．②④⑥【分析】根据单调性的定义判断命题①③⑤⑥根据充分不必要条件的定义判断②结合二次函数性质求出函数值域判断④【详解】函数例如此时函数在不是减函数①错误；时函数的图象是一条直线充分的但时函数的图象也解析：②④⑥【分析】根据单调性的定义判断命题①③⑤⑥，根据充分不必要条件的定义判断②，结合二次函数性质求出函数值域判断④． 【详解】函数2020y x =，例如11x =-，21x =，此时122020202020202020x x =-<=，函数在(,0)(0,)-∞+∞不是减函数，①错误；0k ≠时，函数1y kx =+的图象是一条直线，充分的，但0k =时函数1y kx =+的图象也是一条直线，不必要．②正确；函数y =的定义域是[1,1]-，③错误；2(1)121)2y x x =--=-+-+=-+，0≥，所以21)1≥，21)21y =-+≤，值域为(,1]-∞，④正确；22(2)5y x a x =+-+22(2)5(2)x a a =+-+--在（4，+∞）上是增函数，则24a -+≤，2a ≥-，⑤错；0a b +>，则,a b b a >->-，又函数()y f x =在R 上是单调递增，则()(),()()f a f b f b f a >->-，所以()()()()f a f b f a f b +>-+-，⑥正确．故答案为：②④⑥． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的单调性，函数的值域与充分不必要条件．单调性中强调区间内自变量的任意性，即函数()f x 在(,)a b 和(,)m n 是都是增函数，不能直接说明()f x 在(,)(,)a b m n 上是增函数（减函数也是如此）．14．【分析】分别根据命题为真命题得到和或再计算得到答案【详解】即恒成立即；存在即解得或综上所述：故答案为：【点睛】本题考查了根据命题的真假确定参数范围意在考查学生的计算能力和转化能力属于常考题型解析：(,-∞【分析】分别根据命题为真命题得到1a ≤和a ≥a ≤.【详解】[1,2]x ∈，20x a -≥，即2a x ≤恒成立，即{}2min1a x≤=；存在x ∈R ，2220x ax ++=，即2480a ∆=-≥，解得a ≥a ≤综上所述：a ≤故答案为：(,-∞. 【点睛】本题考查了根据命题的真假确定参数范围，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于常考题型.15．①②③【分析】我们可以根据对称性等函数的性质对四个结论逐一进行判断可以得到正确的结论【详解】解：①函数可得所以函数关于点成中心对称成立故①正确；②对若且则即有若则或故②正确；③若实数满足可设则设为可解析：①②③ 【分析】我们可以根据对称性等函数的性质对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论． 【详解】解：①函数()3231y f x x x ==-+可得()()2f x f x +-=()()3323123112x x x x -++-++=.所以函数关于点()0,1成中心对称成立.，故①正确；②对x ∀，y R ∈．若1x =且1y =-，则0x y +=．即有若0x y +≠，则1x ≠或1y ≠-．故②正确；③若实数x ，y 满足221x y +=，可设cos x α=，sin (02)y ααπ=<， 则sin 22cos y x αα=++，设为t ，可得sin cos 2t t αα-=22||t ，解得33t ，则2yx +③正确； ④若ABC ∆为钝角三角形，若A 为锐角，B 为钝角，则sin cos A B >，故④错误． 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查的知识点是判断命题真假，比较综合的考查了函数的性质，属于中档题，16．②③【分析】①根据子集概念是的充分必要条件；②取特殊值使不等式成立判断命题为真；③根据不等式性质可知可判断命题正确；④由于n2+n+41=n （n+1）+41根据乘法分配律和质数的定义得到n=40或n解析：②③ 【分析】①根据子集概念，“A B ⊆”是“AB A =”的充分必要条件；②取特殊值12x =，使不等式成立，判断命题为真；③根据不等式性质可知2|1|1(1)1x x ->⇔->，可判断命题正确；④由于n2+n+41=n （n+1）+41，根据乘法分配律和质数的定义得到n=40或n=41时，n2+n+41不是质数，可判断命题错误. 【详解】对于①根据子集及交集的定义可知,A B AB A AB A A B ⊆⇒==⇒⊆，所以“A B ⊆”是“A B A =”的充分必要条件；②存在特殊值12x =，使不等式成立，判断命题为真；③根据不等式性质可知22|1|1(1)120x x x x ->⇔->⇔->，可判断“|1|1x ->”是“22x x >”的充要条件正确；④由于n 2+n+41=n （n+1）+41，根据乘法分配律和质数的定义得到n=40或n=41时，n 2+n+41分别能被40或41整除，所以不是质数，可判断命题错误.故答案为：②③ 【点睛】本题主要考查了命题，充分条件，必要条件，质数的概念，属于中档题.17．①③④【解析】对于①若则的逆命题为若则故逆命题为真命题则否命题也为真故①正确；对于②矩形的对角线相等的逆命题为对角线相等的四边形是矩形为假命题故其逆命题也为假故②错误；对于③其逆命题为：若的解集是则解析：①③④ 【解析】对于①“若0x y +>，则00x y >>且”的逆命题为“若00x y >>且，则0x y +>”故逆命题为真命题，则否命题也为真，故①正确；对于②“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”为假命题，故其逆命题也为假，故②错误；对于③其逆命题为：若()22130mx m x m -+++>的解集是R ，则1m ≥，当该不等式解集为R 时，1.0m =时，不合题意，2.()()241430m m m m >⎧⎪⎨=+-+<⎪⎩解得1m ，故逆命题为真，即③正确；对于④，原命题为真，故逆否命题也为真，故④正确，即正确的序号为①③④，故答案为①③④.18．【分析】使是假命题则使是真命题对是否等于进行讨论当时不符合题意当时由二次函数的图像与性质解答即可【详解】使是假命题则使是真命题当即转化为不是对任意的恒成立；当使即恒成立即第二个式子化简得解得或所以【解析：3m >【分析】0x R ∃∈，使()200110m x mx m +-+-≤是假命题，则x R ∀∈，使()2110m x mx m +-+->是真命题，对1m +是否等于0进行讨论，当10m +=时不符合题意，当10m +≠时，由二次函数的图像与性质解答即可． 【详解】0x R ∃∈，使()200110m x mx m +-+-≤是假命题，则x R ∀∈，使()2110m x mx m +-+->是真命题，当10m +=，即1m =-，()2110m x mx m +-+->转化为20x ->，不是对任意的x ∈R 恒成立；当10m +≠，x R ∀∈，使()2110m x mx m +-+->即恒成立，即()()()2104110m m m m +>⎧⎪⎨--+-<⎪⎩ ，第二个式子化简得234m >，解得m >或m <所以3m >【点睛】本题考查命题间的关系以及二次函数的图像与性质，解题的关键是得出x R ∀∈，使()2110m x mx m +-+->是真命题这一条件，属于一般题．19．【分析】考虑题中所给命题的否命题为真命题求解实数m 的取值范围即可【详解】由题意可知命题为真命题据此有：求解不等式可得实数的取值范围是【点睛】本题主要考查命题的否定等价转化的数学思想等知识意在考查学生 解析：1m【分析】考虑题中所给命题的否命题为真命题求解实数m 的取值范围即可. 【详解】由题意可知，命题“2,20x R x x m ∀∈++>”为真命题， 据此有：440m ∆=-<，求解不等式可得实数m 的取值范围是1m >. 【点睛】本题主要考查命题的否定，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．①③【分析】先判断命题的真假然后由复合命题的真值表判断复合命题的真假【详解】不等式等价于即命题为真在中命题为假因此②④为假①③为真【点睛】复合命题的真值表： 真 真 真 真 假 真 假解析：①③ 【分析】先判断命题,p q 的真假，然后由复合命题的真值表判断复合命题的真假． 【详解】 不等式01xx <-等价于()10x x -<，即01x <<，命题p 为真，在ABC ∆中，sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，命题q 为假，因此②④为假，①③为真．【点睛】复合命题的真值表：另外在ABC ∆中A B >与sin sin A B >是等价的，但在一般三角函数中此结论不成立．三、解答题21．34m ≥或34m ≤-.【分析】试题分析：首先将集合,A B 进行化简，再根据命题p 是命题q 的充分条件知道A B ⊆，利用集合之间的关系，就可以求出实数m 的取值范围. 【详解】化简集合A ，由2312y x x =-+，配方，得237416y x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭. 3,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，min 716y ∴=，max 2y =.7,216y ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，7|216A y y ⎧⎫∴=≤≤⎨⎬⎩⎭化简集合B ，由21x m +≥，21x m -≥，{}2|1B x m =≥-命题p 是命题q 的充分条件，A B ∴⊆.27116m ∴-≤， 解得34m ≥，或34m ≤-.∴实数m 的取值范围是33,,44⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 22．（1）a ≥6或a ≤-1.（2）{}1a a ≤-. 【分析】（1）根据题意得到1212,2,x x m x x +=⎧⎨=-⎩，计算12x x -=12max 3x x -=，代入解不等式得到答案.（2）讨论a >0，a =0，a <0三种情况，根据命题的真假得到1a ≤-，再计算交集得到答案. 【详解】（1）∴命题p 是真命题，∵x 1，x 2是方程x 2-mx-2=0的两个实根，∴1212,2,x x m x x +=⎧⎨=-⎩∴12x x -== ∴当[1,1]m ∈-时， 12max3x x -=，由不等式a 2-5a -3≥12x x -对任意实数m ∈[-1，1]恒成立，可得a 2-5a -3≥3， 解得a ≥6或a ≤-1， 则当命题p 为真命题时，a ≥6或a ≤-1.（2）∵命题p 是真命题，命题q 是假命题， 命题q ：不等式ax 2+2x -1>0有解. ①当a >0时，显然有解； ②当a =0时，2x -1>0有解；③当a <0时，∵ax 2+2x -1>0，∴Δ=4+4a >0，∴-1<a <0. 从而命题q :不等式ax 2+2x -1>0有解时，a >-1. ∵命题q 是假命题，∴a ≤-1 611a a a ≥≤-⎧∴⎨≤-⎩或，所以a 的取值范围为{}1a a ≤-.【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，意在考查学生的计算能力和推断能力. 23．充分不必要条件，证明见解析. 【分析】利用给出的定义、向量共面定理即可判断出关系． 【详解】p ：空间三个非零向量a ，b ，c 中存在一个向量可由另两个向量线性表出．q ：空间三个非零向量a ，b ，c 共面． p 是q 的充分不必要条件．证明如下：若空间三个非零向量a ，b ，c 中存在一个向量可由另两个向量线性表出， 不妨设c xa yb =+,则由向量共面定理知，a ，b ，c 共面， 即p q ⇒，反之不成立，例如，三个非零向量a ，b ，c 共面，且//a b ，而c 与a ，b 不共线，则c 无法用a ，b 线性表示． p ∴是q 的充分不必要条件．【点睛】本题考查了向量共线共面定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．24．（1）{}12x x ≤<；（2）106a <<或1a >. 【分析】（1）解一元二次不等式化简集合A ，B ，代入a 的值，求出A ，B 的交集即可； （2）问题转化为B 是A 的真子集，根据集合的包含关系列不等式求出a 的范围即可． 【详解】 由已知，0a >所以{}()(){}{2281202602A x x ax a x x a x a x x a =-+>=-->=<或}6x a >()(){}{}12012B x x x x x =--≥=≤≤（1）当1a =时{2A x x =<或}6x >{}12B x x =≤≤所以{}12A B x x ⋂=≤<. （2）{2A x x a =<或}6x a >{}12B x x =≤≤因为p 是q 的必要不充分条件，所以B 是A 的真子集， 所以22a <或16a > ，即16a <或1a > 又因为0a >，所以106a <<或1a >. 【点睛】关键点点睛：转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将必要不充分条件问题转化为集合之间的包含关系是解题的关键.25．（1）()2,4；（2）[]1,2. 【分析】（1）先分别求出命题p ，q 为真时对应的集合，取交集即可求出x 的范围；（2）根据集合间的基本关系与充分、必要条件的关系列出不等式即可求出a 的取值范围. 【详解】（1）当2a =时，由()()240x x --<， 得命题p ：{}24P x x =<<，由()()216220xx--≤，所以命题q ：{}14Q x x =≤≤，,p q 都是真命题，即()2,4PQ =，因此x 的取值范围是()2,4；（2）由题意可得{}2P x a x a =<<，{}14Q x x =≤≤，若p 是q 的充分不必要条件所以P Q . 当=P ∅即0a ≤时，因为0a >不成立； 当P ≠∅即0a >时，124a a ≥⎧⎨≤⎩[]11,22a a a ≥⎧⇒⇒∈⎨≤⎩， 故a 的取值范围是[]1,2.【点睛】结论点睛：本题主要考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 26．（1）(3,0)-；（2）(]11,3,0,22⎡⎫⎛⎫-∞--+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 【分析】（1）只需24120m m ∆=+<，然后求解m 的取值范围； （2）分p 真q 假、p 假q 真两种情况讨论求解. 【详解】解：（1）若命题p 为真命题，则24120m m ∆=+<，解得30m -<<， 故实数m 的取值范围(3,0)-（2）若命题q 为真命题，则21640m ∆=->，解得12m <-或12m > ∵命题,p q 中恰有一个为真命题， ∴命题,p q 一真一假①当p 真q 假时，301122m m -<<⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩，解得：102m -≤<②当p 假q 真时，301122m m m m ≤-≥⎧⎪⎨-⎪⎩或或，解得：3m ≤-或12m >.综上，实数m 的取值范围(]11,3,0,22⎡⎫⎛⎫-∞--+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查根据命题的真假求解参数的取值范围，考查二次不等式恒成立与有解问题，难度一般.。
高中数学排列与组合综合测试卷
高中数学排列与组合综合测试卷(含解析)选修2-3 1.2.2第三课时排列与组合习题课一、选择题1．(2021山东潍坊)6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为()A．40B．50C．60D．70[答案]B[解析]先分组再排列，一组2人一组4人有C26＝15种不同的分法；两组各3人共有C36A22＝10种不同的分法，因此乘车方法数为252＝50，故选B.2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A．36种B．48种C．72种D．96种[答案]C[解析]恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A33A24＝72种排法，故选C.3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻显现，如此的四位数有()A．6个B．9个C．18个D．36个[答案]C[解析]注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C13＝3(种)选法，即1231,1232,1233，而每种选择有A22C23＝6(种)排法，因此共有36＝18(种)情形，即如此的四位数有18个．4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有()A．2人或3人B．3人或4人C．3人D．4人[答案]A[解析]设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2nC18－n＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼能够一步上一级，也能够一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有() A．45种B．36种C．28种D．25种[答案]C[解析]因为108的余数为2，故能够确信一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C28＝28种走法．6．某公司聘请来8名职员，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有()A．24种B．36种C．38种D．108种[答案]B[解析]本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C13种分法，然后再分到两部门去共有C13A22种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由因此每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C13种方法，由分步乘法计数原理共有2C13A22C13＝36(种)．7．组合数Crn(n1，n，rZ)恒等于()A.r＋1n＋1Cr－1n－1 B．(n＋1)(r＋1)Cr－1n－1C．nrCr－1n－1 D.nrCr－1n－1[答案]D[解析]∵Crn＝n！r！(n－r)！＝n(n－1)！r(r－1)！[(n－1)－(r－1)]！＝nrCr－1n－1，故选D.8．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为() A．33 B．34C．35 D．36[答案]A[解析]①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12A33＝12个；②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12A33＋A33＝18个；③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13＝3个．故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A.9．(2021四川理，10)由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是()A．72 B．96C．108 D．144[答案]C[解析]分两类：若1与3相邻，有A22C13A22A23＝72(个)，若1与3不相邻有A33A33＝36(个)故共有72＋36＝108个．10．(2021北京模拟)假如在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有()A．50种B．60种C．120种D．210种[答案]C[解析]先安排甲学校的参观时刻，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A25种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16A25＝120种，故选C.二、填空题11．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有_____ ___种．(用数字作答)[答案]2400[解析]先安排甲、乙两人在后5天值班，有A25＝20(种)排法，其余5人再进行排列，有A55＝120(种)排法，因此共有20210＝2400(种)安排方法．12．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)[答案]1260[解析]由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C49C25C33＝1260(种)排法．13．(2021江西理，14)将6位理想者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有___ _____种(用数字作答)．[答案]1080[解析]先将6名理想者分为4组，共有C26C24A22种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共有A44种分法，故所有分配方案有：C26C 24A22A44＝1 080种．14．(2021山东济宁)要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．[答案]72[解析]5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，有432(12＋11)＝72种．三、解答题15．(1)运算C98100＋C199200；(2)求20C5n＋5＝4(n＋4)Cn－1n＋3＋15A2n＋3中n的值．[解析](1)C98100＋C199200＝C2100＋C1200＝100992＋200＝4950＋200＝5150.(2)20(n＋5)！5！n！＝4(n＋4)(n＋3)！(n－1)！4！＋15(n＋3)(n＋2)，即(n＋5)(n＋4)(n＋3)(n＋2)(n＋1)6＝(n＋4)(n＋3)(n＋2)(n＋1)n6＋15(n＋3) (n＋2)，因此(n＋5)(n＋4)(n＋1)－(n＋4)(n＋1)n＝90，即5(n＋4)(n＋1)＝90.因此n2＋5n－14＝0，即n＝2或n＝－7.注意到n1且nZ，因此n＝2.[点拨]在(1)中应用组合数性质使问题简化，若直截了当应用公式运算，容易发生运算错误，因此，当mn2时，专门是m接近于n时，利用组合数性质1能简化运算．16．(2021东北师大附中模拟)有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，依照这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？[解析]因为相邻的两个二极管不能同时点亮，因此需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上，共有C36种亮灯方法．然后分步确定每个二极管发光颜色有222＝8(种)方法，因此这排二极管能表示的信息种数共有C36222＝160(种)．17．按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？(1)各组人数分别为2,4,6个；(2)平均分成3个小组；(3)平均分成3个小组，进入3个不同车间．[解析](1)C212C410C66＝13 860(种)；(2)C412C48C44A33＝5 775(种)；(3)分两步：第一步平均分三组；第二步让三个小组分别进入三个不同车间，故有C412C48C44A33A33＝C412C48C44＝34 650(种)不同的分法．18．6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？(1)任何2名女生都不相邻有多少种排法？(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？(3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？[解析](1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，因此先排男生再让女生插到男生的空中，共有A66A47种不同排法．(2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A99种排法，若甲不在末位，则甲有A18种排法，乙有A18种排法，其余有A88种排法，综上共有(A99＋A18A18A88)种排法．方法二：无条件排列总数A1010－甲在首，乙在末A88甲在首，乙不在末A99－A88甲不在首，乙在末A99－A88甲不在首乙不在末，共有(A1010－2A99＋A88)种排法．(3)10人的所有排列方法有A1010种，其中甲、乙、丙的排序有A33种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，因此甲、乙、丙排序一定的排法有A 1010A33种．要练说，得练听。
高中数学2-1、2-2综合测试 (31)
数学选修2-1和2-2综合测试一、选择题（本大题共10小题，每小题5分）⒈有下面四个命题：⑪方程2x-5=0在自然数集N中无解⑫方程2x²+9x-5=0在整数集Z中有一解，在有理数集Q中有两解⑬x=i是方程x²+1=0在复数集C中的一个解⑭x的四次方=1在实数R上有两解，在复数集C中也有两解其中正确命题的个数为（）(复数的定义)A、1B、2C、3D、42、点P是椭圆x²/5+y²/4=1上的一点，F1和F2是焦点，且F1PF2=30°，求△F1PF2的面积（）（S△F1PF2=b²tanα/2）A、4/（2+√3）B、4/（2+√2）C、2D、3/23、a,b为非零向量，“a⊥b”是“函数f(x)=(xa+b)*（xb+a）为一次函数”的（）（常用逻辑用语的辨别）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件4、已知P是椭圆x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）上的一动点，且P椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为-1/2，则椭圆的离心率为（）（椭圆的离心率）A、√3/2B、√2/2C、1/2D、√3/35、在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=π/2，AB=AC=AA1=1，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)，若GD⊥EF，则线段DF的长度的最小值( )（建立空间直角坐标系）A．√5/5 B．1 C．2√5/5 D．3√5/56、设函数f(x)在实数集R上的导函数是f'(x),且2f(x)+xf'(x)>x^2 则下面不等式恒成立的是？（导数与函数结合）A.f(x)>0B.f(x)<0C.f'(x)>xD.f'(x)<x7、已知f(x)=x^3+x(x属于R),a,b,c也属于R，且a+b大于0,b+c 大于0,c+a大于0，则f(a)+f(b)+f(c)的符号为（推理与证明）A．正B．负C．等于0 D．无法确定8、7．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝x是指数函数(小前提)，所以y＝x是增函数(结论)”，上面推理的错误是( )(三段论的辨析)A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提错都导致结论错9、（微积分应用）10、某人为了观看2012年奥运会，从2005年起，每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2012年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为()（归纳推理应用）A．a(1＋p)7B．a(1＋p)8C.ap[(1＋p)7－(1＋p)]D.ap[(1＋p)8－(1＋p)]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）11、已知x是实数，y是纯虚数，且满足(2x-1)+(3-y)i=y-I,则x,y的值分别是（复数的计算）12、设A,B两点的坐标是（-a,0）（a,0），若动点M满足kMA*kMB=-1，则动点M的轨迹方程为(轨迹方程及x的取值范围)13、已知F是双曲线x²/4-y²/12=1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为（双曲线的性质）14、观察下列等式：C15＋C55＝23－2，C19＋C59＋C99＝27＋23，C113＋C513＋C913＋C1313＝211－25，C117＋C517＋C917＋C1317＋C1717＝215＋27，……由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，C14n＋1＋C54n＋1＋C94n＋1＋…＋C4n＋14n＋1＝__________________.（考查归纳推理的能力）三、解答题（共6小题，15~18题每题13分，19，20题每题14分）15、已知ab≠0求证：a+b=1的充要条件是a³-b³+ab-a²-b²=0(充要条件的证明)16、求证：ln(n+1)>1/3+1/5+1/7+...+1/(2n+1) (n∈R+)（数学归纳法和导数结合）17、（微积分与导数相结合）18、（空间直角坐标系解决几何问题）．19、已知点F（0,1），直线l：y=-1，P为平面上的动点，过点P 作直线l的垂线，垂足为Q，且向量QP*QF-FP*FQ=0(椭圆综合应用)，⑪求动点P的轨迹C的方程⑫已知圆M过定点D（0,2），圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于AB两点，设||DA|=L1，|DB|=L2，求L1/L2+L2/L1的最大值20、设函数f(x)=(a/3)x^3+bx^2+4cx+d的图象关于原点对称.y=f(x)的图象在点P(1,m)处的切线斜率为-6.且当x=2时函数f(x)有极值.（导数综合应用）1.求a.b.c.d的值2.若x1,x2属于[-1,1].求证|f(x1)-f(x2)|<=44/3答案解析1、选C.有三解1、-1、i²2、选A.S△F1PF2=b²tanα/2=4×[1/（2+√3）]= 4/（2+√3）3、选B. 函数f(x)=(xa+b)*（xb+a）为一次函数﹤＝﹥a⊥b且|a|≠|b|4、选B.设P（x0,y0）,则[y0/(x0-a) ] ×[y0/（x0-a]= ﹣1/2 化简得x0²/a²+2y0²/a²=1又P在椭圆上，所以x0²/a²+y0²/b²=1 所以a²=2b²,e=√2/25、选A.以A为原点，AB,AC,AA1为x,y,z轴j建立坐标系选A.D(0，y,0) F(x,0,0) ,G(1/2,0,1),E(0,1,1/2)向量GD=(-1/2,y,-1), 向量EF=（x,-1,-1/2)∵GD⊥EF ∴-x/2-y+1/2=0∴y=1/2-x/2 (0<x<1)|DF|²=x²+y²=x²+(1/2-x/2)²=5/4*x²-1/2x+1/4=5/4(x²-2/5x)+1/4=5/4(x-1/5)²+1/5≥1/5∴|DF|min=√5/56、选A.反正法：设f(x)=<0 则0<x^2<2f(x)+xf'(x)=<xf(x) 因为R上都成立如果x<0 f'(x)<0 x<0时减函数 x>0 f'(x)>0 x>0是为增所以f(x)>f(0) 令原式中x=0则f(x)>0 即f（x)>f(x)>0 矛盾则f（x）>0恒成立 f(x)>1/2*x(x-f'(x)) 因为f（x）>0恒成立则 1/2*x(x-f'(x))=<07、选A2[f(a)+f(b)+f(c)]=(a^3+b^3+a+b)+(b^3+c^3+b+c)+(c^3+a^3+c+a )=(a+b)(a^2-ab+b^2+1)+(b+c)(b^2-bc+c^2+1)+(c+a)(c^2-ca+a^ 2+1)因为(a+b)(a^2-ab+b^2+1)=(a+b)[(a-b/2)^2+3b^2/4+1]>0同理(b+c)(b^2-bc+c^2+1)＞0(c+a)(c^2-ca+a^2+1)＞0所以2[f(a)+f(b)+f(c)]＞08、选A 当a﹥0时y＝ax为增函数，当a﹤0时y＝ax为减函数9、选D.∫f(ax+b)dx=(1/a)∫f(ax+b)d(ax+b)令ax+b=t则，原式=(1/a)∫f(t)dt已知：∫f(x)dx=F(x)+C所以，原式=(1/a)F(t)+C将t=ax+b代入，就有：原式=(1/a)F(ax+b)+C10、选D.到2006年5月10日存款及利息为a(1＋p)．到2007年5月10日存款及利息为a(1＋p)(1＋p)＋a(1＋p)＝a[(1＋p)2＋(1＋p)]到2008年5月10日存款及利息为a[(1＋p)2＋(1＋p)](1＋p)＋a(1＋p)＝a[(1＋p)3＋(1＋p)2＋(1＋p)]……所以到2012年5月10日存款及利息为a[(1＋p)7＋(1＋p)6＋…＋(1＋p)]＝a(1＋p)[1－(1＋p)7]1－(1＋p)＝ap[(1＋p)8－(1＋p)]．11、-3/2和4i设y=bi(b∈R且b≠0)则（2x-1）+(3-bi)i=bi-i整理得(2x-1+b)+3i=(b-1)i∴2x-1+b=0且b-1=3解得x=-3/2 y=4i12、x²+y²=a²(x≠±a)设M为(x,y) x≠±a∵kMA*kMB=-1∴y/(x+a) ×y/(x-a)=-1∴x²+y²=a²(x≠±a)13、9已知F(-4,0)设F1为双曲线的右焦点，则F1（4,0），点A（1,4）在双曲线两支之间，由双曲线定义，|PF|-|PF1|=2a=4,而|PF|+|PA|=4+|PF1|+|PA|≥4+|AF1|=4+5=9当且仅当A,P,F1三点共线时，取等号14、24n－1＋(－1)n22n－1等式右端第一项指数3,7,11,15，…构成的数列通项公式为an＝4n－1，第二项指数1,3,5,7，…的通项公式bn＝2n－1，两项中间等号正、负相间出现，∴右端＝24n－1＋(－1)n22n－1.15、必要性：∵a+b=1a+b-1=0∴(a+b)（a²-ab+b²）-（a²-ab+b²）=（a²-ab+b²）(a+b-1)=0充分性:a³+b³+ab-a²-b²=0（a²-ab+b²）(a+b-1)=0∵ab≠0∴a≠0且b≠0∴a²-ab+b²=(a-b/2) ²+(3/4)b²﹥0∴a+b-1=0即a+b=1综上所述：当ab≠0时a+b=1的充要条件是a³-b³+ab-a²-b²=0 16、17、⑪设tx^2=uφ(x)=(1/x^2)∫(0,x^2sinx)f(u)du.φ'(x)=[xf(x^2sinx)(2xsinx+x^2cosx)-2∫(0,x^2sinx)f(u)du]/x^3 (x不等于0）⑫x=0时，φ(0)=0，limφ(x)/x=lim∫(0,x^2sinx)f(u)du/x^3=limf(x^2sinx)(2xsinx+x^2cosx)/3x^2=f(0)=2 x趋于0时，limφ'(x)=lim[xf(x^2sinx)(2xsinx+x^2cosx]/x^3-2lim∫(0,x^2sinx)f(u)du]/ x^3=f(0)-2limf(x^2sinx)(2xsinx+x^2cosx)/3x^2=-2在x=0处不连续18、19、⑪设P(x,y), Q(x,-1)∵QP*FQ-FP*FQ=0∴(0,y+1)●(-x,2)-(x,y-1)●(x,-2)=0∴2(y+1)-(x²-2y+2)=0∴轨迹为C：x²=4y㈡设M（t,t²/4),|MD|²=t²+(2-t²/4)²圆M:(x-t)²+(y+t²/4)²=t²+(2-t²/4)²令y=0，得（x-t)²=4，x=t±2∴A(t-2,0),B(t+2,0)l1=√(t²-4t+8),l2=√(t²+4t+8)∴l1/l2+l2/l1=(l1²+l2²)/(l1l2)=[(t²-4t+8)+ (t²+4t+8)]/ √[(t²+4t+8)(t²-4t+8)]=(2t²+16)/√[(t²+8)²-16t²]=(2t²+16)/√(t⁴+64 )=2√[(t²+8)²/(t⁴+64)]=2√[(t⁴+64+16t²)/(t⁴+64)]=2√[1+16t²/(t⁴+64)]=2√[1+16/(t²+64/t²)]∵t²+64/t²≥2√64=16∴∴1+16/(t²+64/t²)≤220、⑪函数f(x)=(a/3)x^3+bx^2+4cx+d的图象关于原点对称,则f(0)=0,所以d=0①f(x)=x[(a/3)x²+bx+4c]②,f´(x)=ax²+2bx+4c③,当x=2时函数f(x)有极值,根据对称性，当x=-2时函数f(x)也有极值,x=±2是函数的两个极值点,也是f´(x)=ax²+2bx+4c=0的两个根,代入得:4a±4b+4c=0,解得b=0④,c=-a⑤,代入②函数f(x)化为:f(x)=(a/3)x(x²-12)⑥,同时f´(x)=a(x²-4),又y=f(x)的图象在点P(1,m)处的切线斜率为-6, 所以f´(1)=a(1²-4)=-6,所a=2⑦,由⑤,c=-2⑧,于是f(x)=(2/3)x(x²-12)⑨,f´(x)=2(x²-4)⑩,a=2 b=0 c=-2 d=0⑫.当x∈[-1,1]时,由⑩f´(x)<0,f(x)单调递减，x1,x2属于[-1,1]，所以|f(x1)-f(x2)|≤f(-1)-f(1)由⑨,f(-1)=22/3，f(1)=-22/3所以|f(x1)-f(x2)|≤22/3-(-22/3)=44/3。
高中数学 全册综合检测试题课时作业(含解析)新人教A版必修第二册-新人教A版高一第二册数学试题
全册综合检测试题时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题每小题5分，共40分 1．下列命题为假命题的是( D ) A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|>|z 2|解析：A 中，任何复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立，所以A 正确；B 中，由复数为零的条件z ＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0⇔|z |＝0，故B 正确；C 中，若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R )，且z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，所以|z 1|＝|z 2|；反之，由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时，|z 1|＝|z 2|，故C 正确；D 中，若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z 1>z 2，则a 1>a 2，b 1＝b 2＝0，此时|z 1|>|z 2|；若|z 1|>|z 2|，z 1与z 2不一定能比较大小，所以D 错误．2．随机调查某校50个学生在学校的午餐费，结果如表：餐费/元 6 7 8 人数102020这50A ．7.2,0.56 B ．7.2，0.56 C ．7,0.6 D ．7，0.6解析：根据题意，计算这50个学生午餐费的平均值是x ＝150×(6×10＋7×20＋8×20)＝7.2，方差是s 2＝150[10×(6－7.2)2＋20×(7－7.2)2＋20×(8－7.2)2]＝150(14.4＋0.8＋12.8)＝0.56.3．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( B ) A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面解析：当α内有无数条直线与β平行，也可能两平面相交，故A 错．同样当α，β平行于同一条直线或α，β垂直于同一平面时，两平面也可能相交，故C ，D 错．由面面平行的判定定理可得B 正确．4．如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则CC 1与平面AB 1C 1所成的角为( A )A.π6B.π4 C.π3D.π2解析：如图，取B 1C 1中点为D ，连接AD ，A 1D ，因为侧棱垂直于底面，底边是边长为2的正三角形，所以三棱柱ABC A 1B 1C 1是正三棱柱，所以CC 1∥AA 1，所以AA 1与平面AB 1C 1所成的角即是CC 1与平面AB 1C 1所成的角，因为B 1C 1⊥A 1D ，B 1C 1⊥AA 1，所以B 1C 1⊥平面AA 1D ，所以平面AA 1D ⊥平面AB 1C 1，所以AA 1与平面AB 1C 1所成角为∠A 1AD ，因为AA 1＝3，A 1D ＝3，所以tan ∠A 1AD ＝A 1D AA 1＝33，所以∠A 1AD ＝π6，所以CC 1与平面AB 1C 1所成角为π6.5．正方形ABCD 的边长为2，点E 为BC 边的中点，F 为CD 边上一点，若AF →·AE →＝|AE →|2，则|AF →|＝( D )A ．3B ．5 C.32D.52解析：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立坐标系，如图所示，因为E 为BC 边的中点，所以E (2,1)，因为F 为CD 边上一点，所以可设F (t,2)(0≤t ≤2)，所以AF →＝(t,2)，AE →＝(2,1)，由AF →·AE →＝|AE →|2可得：2t ＋2＝22＋1＝5，所以t ＝32，所以AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2， 所以|AF →|＝322＋22＝52.6．已知点O 是△ABC 内部一点，并且满足OA →＋2OB →＋3OC →＝0，△BOC 的面积为S 1，△ABC 的面积为S 2，则S 1S 2＝( A )A.16B.13C.23D.34 解析：因为OA →＋2OB →＋3OC →＝0，所以OA →＋OC →＝－2(OB →＋OC →)，如图，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，则 OA →＋OC →＝2OD →，OB →＋OC →＝2OE →， 所以OD →＝－2OE →，即O ，D ，E 三点共线且|OD →|＝2|OE →|， 则S △OBC ＝13S △DBC ，由于D 为AC 中点，所以S △DBC ＝12S △ABC ，所以S △OBC ＝16S △ABC ，即S 1S 2＝16.7．为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程，20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是( D )A.12B.13C.14D.16解析：记第i 名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意，事件A i ，B i ，C i (i ＝1,2,3)相互独立，则P (A i )＝3060＝12，P (B i )＝2060＝13，P (C i )＝1060＝16，i ＝1,2,3，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P ＝6P (A i B i C i )＝6×12×13×16＝16.8．如图，△ABC 是边长为23的正三角形，P 是以C 为圆心，半径为1的圆上任意一点，则AP →·BP →的取值X 围是( A )A ．[1,13]B ．(1,13)C ．(4,10)D ．[4,10]解析：取AB 的中点D ，连接CD ，CP ，则CA →＋CB →＝2CD →，所以AP →·BP →＝(CP →－CA →)·(CP →－CB →)＝CA →·CB →－2CD →·CP →＋1＝(23)2cos π3－2×3×1×cos〈CD →，CP →〉＋1＝7－6cos 〈CD →，CP →〉，所以当cos 〈CD →，CP →〉＝1时，AB →·BP →取得最小值为1；当cos 〈CD →，CP →〉＝－1时，AP →·BP→取得最大值为13，因此AP →·BP →的取值X 围是[1,13]．二、多项选择题每小题5分，共20分9．为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份某某通过联合调查，制定了中国仓储指数．由2017年1月至2018年7月的调查数据得出的中国仓储指数，绘制出如下的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( ABC ) A ．2017年各月的仓储指数最大值是在3月份 B ．2018年1月至7月的仓储指数的中位数约为55 C ．2018年1月与4月的仓储指数的平均数约为52D ．2017年1月至4月的仓储指数相对于2018年1月至4月，波动性更大解析：2017年各月的仓储指数最大值是在11月份，所以A 错误；由题图知，2018年1月至7月的仓储指数的中位数约为52，所以B 错误；2018年1月与4月的仓储指数的平均数约为51＋552＝53，所以C 错误；由题图可知，2017年1月至4月的仓储指数比2018年1月至4月的仓储指数波动更大．所以D 正确．10．已知数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是A 市n (n ≥3，n ∈N *)个普通职工的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入x n ＋1，对于这(n ＋1)个数据，下列说法错误的是( ACD )A ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变解析：∵数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是A 市n (n ≥3，n ∈N *)个普通职工的年收入，而x n ＋1为世界首富的年收入，则x n ＋1会远大于x 1，x 2，x 3，…，x n ，∴对于这(n ＋1)个数据，年收入平均数大大增大，但中位数可能不变，也可能稍微变大，但由于数据的集中程度受到x n ＋1比较大的影响，数据更加离散，则方差变大．故A 、C 、D 说法错误，符合题意．11．已知向量a ，e 满足a ≠e ，|e |＝1，且对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |成立，则( BC )A ．a ⊥eB ．a·e ＝1C ．e ⊥(a －e )D ．(a ＋e )⊥(a －e )解析：由条件可知|a －t e |2≥|a －e |2对t ∈R 恒成立，又∵|e |＝1，∴t 2－2t a ·e ＋2a ·e －1≥0对t ∈R 恒成立，即Δ＝(－2a ·e )2－8a ·e ＋4≤0恒成立，∴(a ·e －1)2≤0恒成立，而(a ·e －1)2≥0，∴a ·e －1＝0，即a ·e ＝1＝e 2，∴e ·(a －e )＝0，即e ⊥(a －e )．12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，将△ADE 沿DE 翻折到△A 1DE 的位置，A 1∉平面ABCD ，M 为A 1C 的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是( ABC )A ．恒有BM ∥平面A 1DEB ．B 与M 两点间距离恒为定值C ．三棱锥A 1DEM 的体积的最大值为212D ．存在某个位置，使得平面A 1DE ⊥平面A 1CD解析：如图，取A 1D 的中点N ，连接MN ，EN ，可得四边形BMNE 是平行四边形，所以BM ∥EN ，所以BM ∥平面A 1DE ，故A 正确；(也可以延长DE ，CB 交于H ，可证明MB ∥A 1H ，从而证 BM ∥平面A 1DE ) 因为DN ＝12，DE ＝2，∠A 1DE ＝∠ADE ＝45°，根据余弦定理得EN 2＝14＋2－2×2×12×22，得EN ＝52， 因为EN ＝BM ，故BM ＝52，故B 正确； 因为M 为A 1C 的中点，所以三棱锥C A 1DE 的体积是三棱锥M A 1DE 的体积的两倍，故三棱锥C A 1DE 的体积VC A 1DE ＝VA 1DEC ＝13S △CDE ·h ，其中h 表示A 1到底面ABCD 的距离，当平面A 1DE ⊥平面ABCD 时，h 达到最大值，此时VA 1DEC 取到最大值26，所以三棱锥M A 1DE 体积的最大值为212，即三棱锥A 1DEM 体积的最大值为212，故C 正确； 考察D 选项，假设平面A 1DE ⊥平面A 1CD ，因为平面A 1DE ∩平面A 1CD ＝A 1D ，A 1E ⊥A 1D ， 故A 1E ⊥平面A 1CD ，所以A 1E ⊥A 1C ， 则在△A 1CE 中，∠EA 1C ＝90°，A 1E ＝1，EC ＝2，所以A 1C ＝1，又因为A 1D ＝1，CD ＝2，所以A 1D ＋A 1C ＝CD ， 故A 1，C ，D 三点共线．所以A 1∈CD ，得A 1∈平面ABCD ，与题干条件A 1∉平面ABCD 矛盾，故D 不正确．故选ABC.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题每小题5分，共20分13．随着社会的发展，食品安全问题渐渐成为社会关注的热点，为了提高学生的食品安全意识，某学校组织全校学生参加食品安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，若该校的学生总人数为 3 000，则成绩不超过60分的学生人数大约为900.解析：由题图知，成绩不超过60分的学生的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以成绩不超过60分的学生人数大约为0.3×3 000＝900.14．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是710. 解析：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，共有10种情况．若选出的2名学生恰有1名女生，有6种情况，若选出的2名学生都是女生，有1种情况，所以所求的概率为6＋110＝710.15．已知复数z 1＝2＋3i ，z 2＝a ＋b i ，z 3＝1－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝2OA →＋OB →，则a ＝－3，b ＝－10. 解析：因为OC →＝2OA →＋OB →， 所以1－4i ＝2(2＋3i)＋(a ＋b i)即⎩⎪⎨⎪⎧1＝4＋a ，－4＝6＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－10.16．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，除平面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M ，则四棱锥M EFGH 的体积为23.解析：因为底面EFGH 的对角线EG 与FH 互相垂直， 所以S EFGH ＝12×EG ×FH ＝12×2×2＝2，又M 到底面EFGH 的距离等于棱长的一半， 即h ＝12×2＝1，所以四棱锥M EFGH 的体积：V M EFGH ＝13×S EFGH ×h ＝13×2×1＝23.四、解答题写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分17．(10分)某市举办法律知识问答活动，随机从该市18～68岁的人群中抽取了一个容量为n 的样本，并将样本数据分成五组：[18,28)，[28,38)，[38,48)，[48,58)，[58,68]，并绘制如图所示的频率分布直方图，再将其分别编号为第1组，第2组，…，第5组．该部门对回答问题的情况进行统计后，绘制了下表．组号 分组 回答正确的人数回答正确的人数占本组的比例第1组 [18,28) 5 0.5第2组 [28,38) 18 a第3组 [38,48) 270.9 第4组 [48,58) x0.36 第5组[58,68]30.2(1)分别求出a，x的值；(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层随机抽样的方法抽取6人，则第2,3,4组每组各应抽取多少人？(3)在(2)的前提下，在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求第2组至少有1人获得幸运奖的概率．解：(1)第1组的人数为5÷0.5＝10，第1组的频率为0.010×10＝0.1，所以n＝10÷0.1＝100.第2组的频率为0.020×10＝0.2，人数为100×0.2＝20，所以a＝18÷20＝0.9.第4组的频率为0.025×10＝0.25，人数为100×0.25＝25，所以x＝25×0.36＝9.(2)第2,3,4组回答正确的人数的比为18279＝231，所以第2,3,4组每组各应抽取2人、3人、1人．(3)记“第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A，设抽取的6人中，第2组的2人为a1，a2，第3组的3人为b1，b2，b3，第4组的1人为c，则从6人中任意抽取2人所有可能的结果为(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，c)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，c)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，c)，(b2，b3)，(b2，c)，(b3，c)，共15种．其中第2组至少有1人获得幸运奖的结果为(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，c)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，c)，共9种．故P(A)＝915＝35.所以抽取的6人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为35.18．(12分)某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．(注：分组区间为[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100])(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层随机抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率．解：(1)由题可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45.(2)因为样本量与总体中的个体数的比是530＋45＝115，所以样本中包含的男生人数为30×115＝2，女生人数为45×115＝3.设抽取的5人分别为A ，B, C, D ，E ，其中A ，B 为男生，C, D ，E 为女生，从5人中任意选取2人，试验的样本空间Ω＝{(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E ) }，共10个样本点．事件“至少有一名男生”包含的样本点有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，共7个样本点，故至少有一名男生的概率为P ＝710，即选取的2人中至少有一名男生的概率为710.19．(12分)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－3sin A sin B .(1)求角C 大小；(2)若c ＝2，求3a ＋b 的取值X 围．解：(1)因为sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－3sin A sin B ， 所以由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝－3ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－3ab 2ab ＝－32，因为C ∈(0，π)，所以C ＝5π6. (2)由正弦定理得2R ＝csin C ＝4，所以3a ＋b ＝2R (3sin A ＋sin B ) ＝4[3sin A ＋sin(π6－A )]＝4(3sin A ＋12cos A －32sin A )＝4sin(A ＋π6)，因为A ∈(0，π6)，所以A ＋π6∈(π6，π3)，所以sin(A ＋π6)∈(12，32)，所以3a ＋b 的取值X 围是(2,23)．20．(12分)如图，A ，C 两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A 岛出发，以10海里/小时的速度，沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B 处．然后以同样的速度，沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C 岛．(1)求A ，C 两岛之间的直线距离； (2)求∠BAC 的正弦值．解：(1)在△ABC 中，由已知，AB ＝10×5＝50，BC ＝10×3＝30，∠ABC ＝180°－75°＋15°＝120°.根据余弦定理，得AC 2＝502＋302－2×50×30cos120°＝4 900，所以AC ＝70. 故A ，C 两岛之间的直线距离是70海里． (2)在△ABC 中，据正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC，所以sin ∠BAC ＝BC sin ∠ABC AC ＝30sin120°70＝3314， 故∠BAC 的正弦值是3314.21．(12分)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，△PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA ⊥CD ，CD ＝2，AD ＝3.(1)设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH ∥平面PAD ； (2)求证：PA ⊥平面PCD ；(3)求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值． 解：(1)证明：连接BD，如图，易知AC∩BD＝H，BH＝DH，又BG＝PG，故GH∥PD，又因为GH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以GH∥平面PAD.(2)证明：取棱PC的中点N，连接DN，如图，依题意，得DN⊥PC，又因为平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC，所以DN⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，故DN⊥PA，又因为PA⊥CD，CD∩DN＝D，所以PA⊥平面PCD.(3)连接AN，如图，由(2)中DN⊥平面PAC，可知∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角．因为△PCD为等边三角形，CD＝2且N为PC的中点，所以DN＝3，又DN⊥AN，在Rt△AND中，sin∠DAN＝DNAD ＝33，所以直线AD与平面PAC所成角的正弦值为33.22．(12分)如图，在四棱锥PABCD中，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AB ∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB＝2AD＝4.(1)求证：平面PCD⊥平面PAD；(2)求三棱锥PABC的体积；(3)在棱PC上是否存在点E，使得BE∥平面PAD？若存在，请确定点E的位置，并证明；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为AB∥CD，AB⊥AD，所以CD⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以CD⊥平面PAD.因为CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.(2)取AD的中点O，连接PO，如图．因为△PAD为正三角形，所以PO⊥AD.因为平面PAD ⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO为三棱锥PABC的高．因为△PAD为正三角形，CD＝2AB＝2AD＝4，所以PO＝3，所以V三棱锥PABC＝S△ABC·PO＝13×12×2×2×3＝233.(3)在棱PC上存在点E，当E为PC的中点时，BE∥平面PAD.证明：如图，分别取CP，CD的中点E，F，连接BE，BF，EF，所以EF∥PD.因为AB∥CD，CD＝2AB，所以AB∥FD，AB＝FD，所以四边形ABFD为平行四边形，所以BF∥AD. 因为BF∩EF＝F，AD∩PD＝D，所以平面BEF∥平面PAD.因为BE⊂平面BEF，所以BE∥平面PAD.。
高中数学选修2-1、2-2综合试题
④“ x > 2 ”是“ 1 4．由直线 x = 12 D ． 15B ． 2 ln 2高中数学选修2-1、2-2 综合试题班级-------------姓名-----------得分-----------一、 选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上)1．复数 z 的虚部记作 Im （z ），若 z= 5 1 + 2i，则 Im （ z ）=（ ）A ．2B ． 2iC ．－2D ．－2i2．考察以下列命题：①命题“ lg x = 0, 则x=1 ”的否命题为“若 lg x ≠ 0, 则x ≠ 1 ”②若“ p ∧ q ”为假命题，则 p 、q 均为假命题③命题 p ： ∃x ∈ R ，使得 s in x > 1 ；则 ⌝p ： ∀x ∈ R ，均有 sin x ≤ 11< ”的充分不必要条件x 2则真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．43.在平行六面体 ABCD - A B C D 中， M 为 A C 与 B D 的交点。
1 1 111 111若 AB = a ， AD = b ， AA = c 则与 BM 相等的向量是（）11 1 1 1A ． - a + b + cB ． a + b + c2 2 2 2A1DD1 C1 MB1 C1 1 1 1C ． - a - b + cD ． a - b + c2 2 2 2A B1 , x = 2, 曲线 y = - 及轴所围图形的面积为 （ ）2 xA ．- 2ln 2 C ． 1 ln 2 45．已知抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 上有一点 M （4，y ），它到焦点 F 的距离为 5，则 ∆OFM 的面积（O 为原点）为（）A ．1B ．2C ． 2D ． 2 26．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：…①②③7．在正三棱柱ABC-A B C中，若AB=2B B，则AB与C B所成角的大小为（）②实数a,b,有(a+b)2=a2+2ab+b2;类比向量a,b,有(a+b)2=a+2a⋅b+b按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A．6n+2B．6n-2C．8n+2D．8n-2111111A．60°B．75°C．105°D．90°8．给出下面四个类比结论（）①实数a,b,若ab=0则a=0或b=0；类比向量a,b,若a⋅b=0，则a=0或b=022③向量a，有a2=a2；类比复数z，有z2=z2④实数a,b有a2+b2=0，则a=b=0；类比复数z，z有z2+z2=0，则212z=z=012其中类比结论正确的命题个数为（）A．0B．1C．2D．39．已知抛物线＝2px（p>1）的焦点F恰为双曲线（a>0,b>0）的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则双曲线的离心率为()A．2B．2C．2+1D．2+210．设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径（）A．成正比，比例系数为C B．成正比，比例系数为2CC．成反比，比例系数为C D．成反比，比例系数为2C二、填空题（每小题5分，共20分。
高中数学人教A版选修2-2综合测试试卷
高中数学人教A 版选修2-2综合测试试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.1＋2i (1－i )2＝( ) A ．－1－12i B ．－1＋12i C ．1＋12i D ．1－12i 2．若f(x)＝e x，则lim Δx →0f (1－2Δx )－f (1)Δx＝( ) A ．e B ．－e C ．2e D ．－2e3．已知数列2,5,11,20，x,47，…合情推出x 的值为( ) A ．29 B ．31 C ．32 D ．334．函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的最大值是M ，最小值是m ，若m ＝M ，则f ′(x)( )A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．以上都有可能 5．已知函数f(x)＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－ 3 ]∪[3，＋∞)B ．[－3， 3 ]C ．(－∞，－ 3 )∪(3，＋∞)D ．(－3， 3 )6．用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<n(n ∈N *且n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2B ．1＋12＋13<2C ．1＋12＋13<3D ．1＋12＋13＋14<37．对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，有f ′(x )>0，g ′(x )＞0，则x <0时，有( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )<0，g ′(x )>0C ．f ′(x )<0，g ′(x )<0D ．f ′(x )>0，g ′(x )<08．若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1 9．曲线y ＝13x 3＋12x 2在点T(1，56)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A .4918B .4936C .4972D .4914410．在平面直角坐标系中，直线x －y ＝0与曲线y ＝x 2－2x 所围成的面积为( )A ．1B .52C .92 D ．911．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被5整除，则a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是( ) A ．a ，b 都能被5整除 B ．a ，b 都不能被5整除 C ．a ，b 有一个能被5整除 D ．a ，b 有一个不能被5整除12．桌上放着红桃、黑桃和梅花三种牌，共20张，下列判断正确的是( )①桌上至少有一种花色的牌少于6张；②桌上至少有一种花色的牌多于6张；③桌上任意两种牌的总数将不超过19张．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．关于x的不等式mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，则复数m＋p i所对应的点位于复平面内的第________象限．14．已知函数f(x)＝3x2＋2x，若⎠⎛1－1f(x)d x＝2f(a)成立，则a＝________.15．观察下列等式：(1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，…照此规律，第n个等式可为________________．16．若函数f(x)＝4xx2＋1在区间(m,2m＋1)上是单调递增函数，则实数m的取值范围是________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)用反证法证明：在△ABC中，若sin A>sin B，则∠B 必为锐角．19．(12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极小值－7，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(－1,0)，(2,0)，如图所示，试求x0，a，b，c的值．20．(12分)设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．21．(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，S n＝n2a n(n ∈N*)．(1)写出S1，S2，S3，S4，并猜想S n的表达式；(2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出a n的表达式．22．(12分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋k2x2(k≥0)．(1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.1＋2i (1－i )2＝( ) A ．－1－12i B ．－1＋12i C ．1＋12iD ．1－12i解析 1＋2i(1－i )2＝1＋2i －2i ＝(1＋2i )i －2i ·i ＝－1＋12i . 答案 B2．若f(x)＝e x，则lim Δx →0f (1－2Δx )－f (1)Δx＝( ) A ．e B ．－e C ．2eD ．－2e解析 ∵f(x)＝e x ，∴f ′(x)＝e x ，f ′(1)＝e .∴lim Δx →0f (1－2Δx )－f (1)Δx ＝－2lim Δx →0f (1－2Δx )－f (1)－2Δx＝－2f ′(1)＝－2e .答案 D3．已知数列2,5,11,20，x,47，…合情推出x 的值为( ) A ．29 B ．31 C ．32D ．33解析 观察前几项知，5＝2＋3，11＝5＋2×3,20＝11＋3×3， x ＝20＋4×3＝32,47＝32＋5×3. 答案 C4．函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的最大值是M ，最小值是m ，若m ＝M ，则f ′(x)( )A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．以上都有可能答案 A5．已知函数f(x)＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－ 3 ]∪[3，＋∞)B ．[－3， 3 ]C ．(－∞，－ 3 )∪(3，＋∞)D ．(－3， 3 )解析 f ′(x)＝－3x 2＋2ax －1，若f(x)在(－∞，＋∞)上为单调函数只有f ′(x)≤0， ∴Δ＝(2a)2－4(－3)(－1)≤0， 解得－3≤a ≤ 3. 答案 B6．用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<n(n ∈N *且n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2B ．1＋12＋13<2C ．1＋12＋13<3 D ．1＋12＋13＋14<3答案 B7．对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，有f ′(x )>0，g ′(x )＞0，则x <0时，有( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )<0，g ′(x )>0C ．f ′(x )<0，g ′(x )<0D ．f ′(x )>0，g ′(x )<0解析 由f (－x )＝－f (x )及g (－x )＝g (x )知，f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，由函数奇偶性的性质得f ′(x )>0，g ′(x )<0.答案 D 8．若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪⎪21＝13(23－13)＝73，S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln x ⎪⎪⎪⎪ 21＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x ⎪⎪⎪⎪21＝e 2－e .∵e 2－e >4，ln 2<lne ＝1,2<73<3，∴S 3>S 1>S 2. 答案 B9．曲线y ＝13x 3＋12x 2在点T(1，56)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A .4918B .4936C .4972D .49144解析 y ′＝x 2＋x ，y ′|x ＝1＝2，∴切线方程为y －56＝2(x －1)，与坐标轴的交点分别为(0，－76)，(712，0)，故切线与坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×76×712＝49144.答案 D10．在平面直角坐标系中，直线x －y ＝0与曲线y ＝x 2－2x 所围成的面积为( )A ．1B .52C .92D ．9解析 如图所示由⎩⎨⎧y ＝x 2－2x ，y ＝x ，得交点(0,0)，(3,3)．∴阴影部分的面积为 S ＝⎠⎛03(x －x 2＋2x)d x ＝⎠⎛3(－x 2＋3x)d x ＝(－13x 3＋32x 2)⎪⎪⎪⎪ 30＝－9＋272＝92.答案 C11．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被5整除，则a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a ，b 有一个能被5整除D ．a ，b 有一个不能被5整除 答案 B12．桌上放着红桃、黑桃和梅花三种牌，共20张，下列判断正确的是( )①桌上至少有一种花色的牌少于6张；②桌上至少有一种花色的牌多于6张；③桌上任意两种牌的总数将不超过19张．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．关于x 的不等式mx 2－nx ＋p >0(m ，n ，p ∈R )的解集为(－1,2)，则复数m ＋p i 所对应的点位于复平面内的第________象限．解析 因为mx 2－nx ＋p >0(m ，n ，p ∈R )的解集为(－1,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m <0，(－1)＋2＝n m，(－1)×2＝p m ，解得m <0，p >0.故复数m ＋p i 所对应的点位于复平面内的第二象限．答案 第二14．已知函数f (x )＝3x 2＋2x ，若⎠⎛1－1f(x)d x ＝2f(a)成立，则a ＝________.解析 ∵⎠⎛1－1(3x 2＋2x)d x ＝(x 3＋x 2)⎪⎪⎪⎪1－1＝2，∴2(3a 2＋2a)＝2.即3a 2＋2a －1＝0， 解得a ＝－1，或a ＝13. 答案 －1或13 15．观察下列等式： (1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， …照此规律，第n 个等式可为________________．解析 观察上列等式可得第4个等式为(4＋1)(4＋2)(4＋3)(4＋4)＝24×1×3×5×7，…，第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n)＝2n ×1×3×5×…×(2n －1)．答案 (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n)＝2n ×1×3×…×(2n －1)16．若函数f(x)＝4x x 2＋1在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是________．解析 f ′(x)＝4(x 2＋1)－4x·2x (x 2＋1)2＝4(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2，令f ′(x)>0，得(1＋x)(1－x)>0，解得－1<x<1.若在区间(m,2m ＋1)上是单调增函数，则有⎩⎨⎧ m>－1，2m ＋1<1，解得－1<m<0.但m ＝0时，也适合，故－1<m ≤0.答案 (－1,0]三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)用反证法证明：在△ABC 中，若sin A>sin B ，则∠B 必为锐角．证明 假设B 不是锐角，则0°<∠A<∠A ＋∠C ＝180°－∠B ≤90°，∴sin A<sin (180°－B)，即sin A<sin B ，这与已知sin A>sin B 矛盾，故∠B 必为锐角．18．(12分)已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f ′(0)＝0，∫10f(x)d x＝－2.(1)求f(x)的表达式；(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．解 (1)设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，则f ′(x)＝2ax ＋b.由f(－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝2，b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a ，b ＝0. ∴f(x)＝ax 2＋2－a.又∵⎠⎛01f(x)d x ＝⎠⎛01(ax 2＋2－a)d x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13ax 3＋(2－a )x ⎪⎪⎪10＝13a ＋2－a ＝－2，∴a ＝6.从而c ＝－4.故f(x)＝6x 2－4.(2)∵f(x)＝6x 2－4，x ∈[－1,1]，∴f(x)min ＝－4.f(x)max ＝f(－1)＝f(1)＝2.故f(x)在[－1,1]上的最大值为2，最小值为－4.19．(12分)已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx 在点x 0处取得极小值－7，其导函数y ＝f ′(x)的图象经过点(－1,0)，(2,0)，如图所示，试求x 0，a ，b ，c 的值．解 由y ＝f ′(x)的图象可知，在(－∞，－1)上f ′(x)<0，在(－1,2)上f ′(x)>0，在(2，＋∞)上f ′(x)<0，故f(x)在(－∞，－1)上递减，在(－1,2)上递增，在(2，＋∞)上递减．因此，f(x)在x ＝－1处取得极小值， 所以x 0＝－1.∵f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c.故由f ′(－1)＝0，f ′(2)＝0，f(－1)＝－7，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0，－a ＋b －c ＝－7，解得a ＝－2，b ＝3，c ＝12.20．(12分)设f(x)＝a(x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解 (1)∵f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ＝ax 2－10ax ＋25a ＋6ln x ，∴f ′(x )＝2ax －10a ＋6x ＝2a (x －5)＋6x .令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝－8a ＋6.故曲线在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)．又点(0,6)在切线上，得6－16a ＝8a －6，∴a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x ，(x >0)，f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x. 令f ′(x )＝0，得x 1＝2，x 2＝3.当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )的增区间为(0,2)，(3，＋∞)；当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )的减区间为(2,3)．由此可知，当x ＝2时，f (x )取得极大值f (2)＝92＋6ln2.当x ＝3时，f (x )取得极小值f (3)＝2＋6ln3.21．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n∈N *)．(1)写出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式；(2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出a n 的表达式．解 (1)易求得S 1＝1＝22，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2n n ＋1. (2)①当n ＝1时，S 1＝2×11＋1＝1，猜想成立． ②假设n ＝k (k ∈N *)时，S k ＝2k k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝(k ＋1)2a k ＋1＝(k ＋1)2(S k ＋1－S k )，∴S k ＋1＝(k ＋1)2k 2＋2k ·2k k ＋1＝2(k ＋1)(k ＋1)＋1， 这表明当n ＝k ＋1时，猜想也成立．根据①，②可知，对n ∈N *，S n ＝2n n ＋1，从而a n ＝S n n 2＝2n (n ＋1). 22．(12分)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋k 2x 2(k ≥0)．(1)当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求f (x )的单调区间．解 (1)当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2，f ′(x )＝11＋x－1＋2x . 由于f (1)＝ln2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln2－3＝0.(2)f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x，x ∈(－1，＋∞)， 当k ＝0时，f ′(x )＝－x 1＋x， 所以在区间(－1,0)上f ′(x )>0；在区间(0，＋∞)上f ′(x )<0， 故f (x )的单调增区间为(－1,0)，单调减区间为(0，＋∞)．当0<k <1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝0，x 2＝1－k k >0. 所以在区间(－1,0)和(1－k k ，＋∞)上f ′(x )>0；在(0，1－k k )上f ′(x )<0，故f (x )的单调增区间为(－1,0)和(1－k k ，＋∞)，单调减区间为(0，1－k k )．当k ＝1时，f ′(x )＝x 21＋x>0，故f (x )的单调增区间为(－1，＋∞)． 当k >1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x ＝0，得x 1＝0，x 2＝1－k k ∈(－1,0)，所以在区间(－1，1－k k )和(0，＋∞)上f ′(x )>0；在区间(1－k k ，0)上f ′(x )<0，故f (x )的单调增区间为(－1，1－k k )和(0，＋∞)，单调减区间为(1－k k ，0)．。
高中数学必修一必修二综合测试题(含答案)
Q PC'B'A'C BA高中数学必修一必修二综合测试题（时间90分钟，满分150分）姓名___________________ 总分：________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线是异面直线；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面； ③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行． 其中正确的命题是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③ 2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x 3．圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝33x 的距离是( )A ．12B ．32 C ．1 D ．34．设0<a <1，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x －2)，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，log a 3)D ．(log a 3，＋∞)5．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝(12)-1.5，则( )A ．y3>y1>y2B ．y2>y1>y3C ．y1>y2>y3D ．y1>y3>y26．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得的弦长为8，则c 的值是( ) A ．10 B ．10或－68 C ．5或－34 D ．－68 7．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限8．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点，则直线ED 与D 1F 所成角的大小是（ ）A ．15B ．13 C ．12D 39. 在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 ( )A ．30B ．45C ．60D ．9010．如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1 和 CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为( ) A ．2V B ．3V C ．4V D ．5V（10题） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥12x ，x <1的值域为________．12．两圆221x y +=和22(4)()25x y a ++-=相切， 则实数a 的值为13．已知集合U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，B ＝{2,6,8}，则(∁U A )∩B ＝________.14.过点A (4,0)的直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 斜率的取值范围为 三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．(本小题满分10分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 与△A 1B 1C 1都为正三角形且AA 1⊥面ABC ，F 、F 1分别是AC ，A 1C 1的中点．求证：(1)平面AB 1F 1∥平面C 1BF ； (2)平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.（17题）16．(本小题满分12分)(1)定义在(－1,1)上的奇函数f (x )为减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)>0，求实数a 的取值范围．(2)定义在[－2,2]上的偶函数g (x )，当x ≥0时，g (x )为减函数，若g (1－m )<g (m )成立，求m 的取值范围．17．(本小题满分12分)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．（1）证明：PQ∥平面ACD；（2）求AD与平面ABE所成角的正弦值（17题）18．(本小题满分15分)已知圆C1：x2+y2－2x－4y+m=0，（1）求实数m的取值范围；（2）若直线l：x+2y－4=0与圆C相交于M、N两点，且OM⊥ON，求m的值。
(完整版)高中数学选修2-2综合测试题(附答案)
高二数学选修2-2综合测试题一、选择题：1、i 是虚数单位。
已知复数413(1)3iZ i i+=++-，则复数Z 对应点落在（ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限2、在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形1 3 6 10 15 则第n 个三角形数为（ ） A ．n B ．2)1(+n n C ．12-n D ．2)1(-n n 3、求由曲线y x =2y x =-+及y 轴所围成的图形的面积错误．．的为（ ） A.4(2)x x dx -+⎰B.0xdx ⎰C.222(2)y y dy ---⎰ D.022(4)y dy --⎰4、设复数z 的共轭复数是z ,且1z =,又(1,0)A -与(0,1)B 为定点,则函数()f z =(1)z +()z i -︱取最大值时在复平面上以z ,A,B 三点为顶点的图形是A,等边三角形 B,直角三角形 C,等腰直角三角形 D,等腰三角形5、函数f(x)的定义域为R ，f(-1)=2,对任意x R ∈，'()2f x >,则()24f x x >+的解集为(A)(-1，1) (B)(-1，+∞) (c)(-∞，-l) (D)(-∞,+∞)6、用数学归纳法证明412135()n n n +++∈N 能被8整除时，当1n k =+时，对于4(1)12(1)135k k +++++可变形为Ａ．41412156325(35)k k k +++++·Ｂ．441223355k k ++··Ｃ．412135k k +++Ｄ．412125(35)k k +++7、设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且(3)0g -=，则不等式f (x )g (x )<0的解集是（ ） A. (－3，0)∪(3，+∞) B. (－3，0)∪(0，3)C.(－∞，－3)∪(3，+∞)D. (－∞，－3)∪(0，3) 8、已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f的前n 项和为n S ,则2011S 的值为（ ）20122011.20112010.20102009.20092008.D C B A9、设函数f(x)＝kx 3＋3(k －1)x 22k -＋1在区间（0，4）上是减函数，则k 的取值范围是 ( )A.13k <B.103k <≤C.103k ≤≤D.13k ≤10、函数()y f x =在定义域3(,3)2-内可导，其图象如图所示，记()y f x =的导函数为()y f x '=，则不等式()0f x '≤的解集为 （ ） A ．[)1,12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[]481,2,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]31,1,222⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．3148,1,,32233⎛⎤⎡⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎥⎢⎝⎦⎣⎦⎣⎭11、 已知函数)(131)(23R b a bx ax x x f ∈+-+=、在区间[-1,3]上是减函数，则b a +的最小值是A.32B.23C.2D. 312、函数32()393,f x x x x =--+若函数()()[2,5]g x f x m x =-∈-在上有3个零点，则m 的取值范围为（ ） A ．（-24,8） B ．（-24,1]C ．[1,8]D ．[1,8）高二数学选修2-2综合测试题（答题卡）一、选择题（60分）。
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高中数学人教A 版选修2-1，2-2综合测试题 出卷人：周世雄一、选择题 1．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －22．若抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝－28y B ．x 2＝28yC ．y 2＝－28xD ．y 2＝28x3．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )A ．2 B. 3 C. 2 D.324．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．55．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(－∞，－1]，(0,1) D ．[－1,0)，(0,1]6．在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，则b 4，b 5，b 7，b 8的一个不等关系是( ) A ．b 4＋b 8>b 5＋b 7 B ．b 5＋b 7>b 4＋b 8 C ．b 4＋b 7>b 5＋b 8 D ．b 4＋b 5>b 7＋b 87．已知椭圆x 2＋y 22＝a 2(a >0)与以A (2,1)，B (4,3)为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是( ) A ．0<a <322 B ．0<a <322或a >822C ．0<a <13 D.322<a <8228．P 是双曲线x 29－y 216＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．99．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)B ．[－3，3]C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3，3)10．函数f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5在[－4,1]上的最大值和最小值分别是( )A ．13，9527B ．4，－11C ．13，－11D ．13，最小值不确定11．类比下列平面内的结论，在空间中仍能成立的是( ) ①平行于同一直线的两条直线平行； ②垂直于同一直线的两条直线平行；③如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直； ④如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交． A ．①②④ B ．①③ C ．②④ D ．①③④ 12.三棱锥A —BCD 中，AB ＝AC ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC ＝60°，则AB →·CD →等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－2 3 D ．2 3二、填空题13．函数y ＝x e x ＋1的单调减区间为________．14．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝4x 上的点P 到该抛物线的焦点的距离为6，则点P 的横坐标x ＝________. 15.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为______． 16.定义一三、解答题17．已知x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y >2，求证：1＋y x 和1＋xy中至少有一个小于2.种运算如下：⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝ad －bc ，则复数⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1 2 3i 的共轭复数是__________ 18．如图，M 是抛物线y 2＝x 上的一个定点，动弦ME 、MF 分别与x 轴交于不同的点A 、B ，且|MA |＝|MB |.证明：直线EF 的斜率为定值．19.已知实数a ≠0，函数f (x )＝ax ·(x －2)2(x ∈R )有极大值32，求a 的值．20.如图所示，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA →＋OB →＝(－4，－12)． (1)求直线l 和抛物线C 的方程；(2)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值．21.命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0，对一切x ∈R 恒成立，命题q ：指数函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围． 22．如图，正方形ACDE 所在的平面与平面ABC 垂直，AD 与CE 的点为M ，AC ⊥BC ，且AC ＝BC .(1)求证：AM ⊥平面EBC ；(2)求二面角A —EB —C 的大小．高中数学人教A 版选修2-1，2-2综合测试题及答案1．A 2．D3．C [由已知，b 2a2＝1，∴a ＝b ，∴c 2＝2a 2，∴e ＝c a ＝2a a＝ 2.]4．D 5．A 6．B7．B [分两种情况：(1)A 点在椭圆外，4＋12>a 2，解得0<a <322；(2)B 点在椭圆内，16＋92<a 2，解得a >822.]8．D [设双曲线的两个焦点分别是F 1(－5,0)与F 2(5，0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与M 、F 1三点共线以及P 与N 、F 2三点共线时所求的值最大，此时|PM |－|PN |＝(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝6＋3＝9.] 9．B 10．C 11．B 12．A13．(－∞，－1) 14．5解析 抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到准线的距离也为6，所以点P 的横坐标x ＝5.15.1316．－1－3i 三、解答题17．证明 反证法．假设1＋y x ≥2，1＋x y≥2，即1＋y ≥2x,1＋x ≥2y .∴2＋x ＋y ≥2x ＋2y .即x ＋y ≤2. 这与x ＋y >2矛盾． ∴1＋y x 和1＋x y中至少有一个小于2.18．解 设M (y 20，y 0)，直线ME 的斜率为k (k >0)， 则直线MF 的斜率为－k ，直线ME 的方程为 y －y 0＝k (x －y 20)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k x －y 20y 2＝x得ky 2－y ＋y 0(1－ky 0)＝0.于是y 0·y E ＝y 01－ky 0k，所以y E ＝1－ky 0k .同理可得y F ＝1＋ky 0－k.∴k EF ＝y E －y F x E －x F ＝y E －y F y 2E －y 2F ＝1y E ＋y F ＝－12y 0， 即直线EF 的斜率为定值．19．解 f (x )＝ax (x －2)2＝a (x 3－4x 2＋4x )． ∴f ′(x )＝a (3x 2－8x ＋4)＝a (3x －2)(x －2)．由f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝2；当a >0时，f (x )在x ＝23处，取极大值；由f ⎝⎛⎭⎫23＝32，得a ＝27， 当a <0时，f (x )在x ＝2时，取极大值， 由f (2)＝32，得a 不存在，∴a ＝27.20．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.因为OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4)＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12. 解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2.所以l 的方程为y ＝2x －2，抛物线C 的方程为x 2＝－2y .(2)设P (x 0，y 0)，依题意，抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大，y ′＝－x ，所以－x 0＝2⇒x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，所以P (－2，－2)．此时点P 到直线l 的距离d ＝|2·－2－－2－2|22＋－12＝45＝455，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1·x 2 ＝1＋22·－42－4×－4＝410.∴△ABP 面积的最大值为410·4552＝8 2.21．解 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0， ∴－2<a <2.函数f (x )＝(3－2a )x是增函数，则有3－2a >1，即a <1. 又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假． (1)若p 真q假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥1，∴1≤a <2.(2)若p 假q真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a <1，∴a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围为{a |1≤a <2或a ≤－2}．22．(1)证明 ∵四边形ACDE 是正方形， ∴EA ⊥AC ，AM ⊥EC ，∵平面ACDE ⊥平面ABC ， ∴EA ⊥平面ABC ，∴可以以点A 为原点，以过A 点平行于BC 的直线为x 轴，分别以直线AC 和AE 为y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz . 设EA ＝AC ＝BC ＝2，则A (0,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，E (0,0,2)， 又M 是正方形ACDE 的对角线的交点，∴M (0,1,1)，AM →＝(0,1,1)， EC →＝(0,2,0)－(0,0,2)＝(0,2，－2)， CB →＝(2,2,0)－(0,2,0)＝(2,0,0)， ∴AM →·EC →＝0，AM →·CB →＝0，∴AM ⊥EC ，AM ⊥CB ，∴AM ⊥平面EBC .(2)解 设平面EAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥AE →且n ⊥AB →，∴n ·AE →＝0且n ·AB →＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0，0，2·x ，y ，z ＝0，2，2，0·x ，y ，z ＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，x ＋y ＝0. 取y ＝－1，则x ＝1，则n ＝(1，－1,0)．又∵AM →为平面EBC 的一个法向量，且AM →＝(0,1,1)，∴cos 〈n ，AM →〉＝＝－12， 设二面角A —EB —C 的平面角为θ，则cos θ＝|cos 〈n ，AM →〉|＝12，∴二面角A —EB —C 为60°.。