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第六章 实数全章归纳及练习答案

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中考数学第六章 实数知识点总结及答案

中考数学第六章 实数知识点总结及答案

中考数学第六章 实数知识点总结及答案一、选择题1．圆的面积增加为原来的m 倍，则它的半径是原来的（ ）A ．m 倍B ．2m 倍C ．m 倍D ．2m 倍 2．计算50﹣1的结果应该在下列哪两个自然数之间（ ）A ．3，4B ．4，5C ．5，6D ．6，7 3．如果一个自然数的算术平方根是n ，则下一个自然数的算术平方根是( ) A ．n +1 B ．21n + C ．1n + D ．21n4．下列数中，有理数是（ ） A ．﹣7B ．﹣0.6C ．2πD ．0．151151115… 5．定义a ＊b ＝3a －b ，2a b b a ⊕=-则下列结论正确的有（ ）个. ①3＊2=11.②()215⊕-=-.③（13＊25）712912425⎛⎫⊕⊕=- ⎪⎝⎭. ④若a ＊b=b ＊a ，则a=b. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6．下列各式正确的是( )A ．164=±B ．1116493=C ．164-=-D ．164=7．如图．已知//AB CD ．直线EF 分别交,AB CD 于点,,E F EG 平分BEF ∠．若1 50∠=︒．则2∠的度数为（ ）A ．50︒B ．65︒C ．60︒D ．70︒8．下列命题中，是真命题的有（ ）①两条直线被第三条直线所截，同位角的角平分线互相平行；②立方根等于它本身的数只有0；③两条边分别平行的两个角相等；④互为邻补角的两个角的平分线互相垂直A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．7+1的值在（ ）A ．2到3之间B ．3到4之间C ．4到5之间D ．5到6之间 10．估计20的算术平方根的大小在（ ）A ．2与3之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间二、填空题11．观察下列各式： (1)123415⨯⨯⨯+=； (2)2345111⨯⨯⨯+=；(3)3456119⨯⨯⨯+=；根据上述规律，若121314151a ⨯⨯⨯+=，则a =_____．12．按如图所示的程序计算：若开始输入的值为64，输出的值是_______．13．已知，x 、y 是有理数，且y 2x -2x -4，则2x +3y 的立方根为_____．14．规定：[x]表示不大于x 的最大整数，（x ）表示不小于x 的最小整数，[x ）表示最接近x 的整数（x≠n+0.5，n 为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．当﹣1＜x ＜1时，化简[x]+（x ）+[x ）的结果是_____．15．为了求2310012222+++++的值，令2310012222S =+++++，则234101222222S =+++++，因此101221S S -=-，所以10121S =-，即231001*********+++++=-，仿照以下推理计算23202013333+++++的值是____________．16．31.35 1.105≈3135 5.130≈30.000135-≈________．17．定义：对于任意数a ，符号[]a 表示不大于a 的最大整数．例如：[][][]3.93,55,4π==-=-，若[]6a =-，则[]2a 的值为______．18．已知2(21)10a b ++-=，则22004a b +=________．19．11133+=112344+=113455+=，……请你将发现的规律用含自然数n （n≥1）的等式表示出来__________________．20．如果36a =b 7的整数部分，那么ab =_______．三、解答题21．如图，长方形ABCD 的面积为300cm 2，长和宽的比为3：2．在此长方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为147cm 2的圆（π取3），请通过计算说明理由．22．阅读下列解题过程：（1）221(54)54545254(54)(54)(5)(4)⨯--===-=-++--； （2）1(65)6565(65)(65)⨯-==-++-； 请回答下列问题： （1）观察上面解题过程,请直接写出1n n +-的结果为__________________． （2）利用上面所提供的解法，请化简： ......122334989999100++++++++++23．对于有理数a ，b ，定义运算：a ⊕b ＝ab －2a －2b ＋1.(1)计算5⊕4的值；(2)计算[(－2)⊕6]⊕3的值；(3)定义的新运算“⊕”交换律是否还成立？请写出你的探究过程．24．观察下列等式：①111122=-⨯， ②1112323=-⨯， ③1113434=-⨯. 将以上三个等式两边分别相加，得 1111111113111223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯. （1）请写出第④个式子（2）猜想并写出：1n(n 1)+= ． （3）探究并计算：111244668+++⨯⨯⨯ (1100102)⨯. 25．我们在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为‘1’的线段作一个正方形，然后以原点O 为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”，请根据图形回答下列问题：(1)线段OA 的长度是多少?(要求写出求解过程)(2)这个图形的目的是为了说明什么?(3)这种研究和解决问题的方式体现了 的数学思想方法.(将下列符合的选项序号填在横线上)A ．数形结合B ．代入C ．换元D ．归纳26．给定一个十进制下的自然数x ，对于x 每个数位上的数，求出它除以2的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数x 的“模二数”，记为()2M x .如()()22735111, 561101M M ==.对于“模二数”的加法规定如下:将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位.上的数分别相加，规定: 0与 0相加得 0; 0与1相加得1;1与1相加得 0，并向左边一位进1.如735561、的“模二数”111101、相加的运算过程如下图所示.根据以上材料，解决下列问题:(1)()29653M 的值为______ ，()()22589653M M +的值为_(2)如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数“模二相加不变”.如()()22124100,630010M M ==，因为()()()222124630110,124630110M M M +=+=，所以()()()222124*********M M M +=+，即124与630满足“模二相加不变”.①判断126597，，这三个数中哪些与23“模二相加不变”，并说明理由；②与23“模二相加不变”的两位数有______个【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】设面积增加后的半径为R ，增加前的半径为r ，根据题意列出关系式计算即可．【详解】设面积增加后的半径为R ，增加前的半径为r ，根据题意得：πR 2=mπr 2，∴，故选：C．【点睛】此题主要考查了实数的运算，要注意，圆的面积和半径之间是平方关系而非正比例关系．2．D解析：D【分析】直接利用已知无理数得出最接近的整数，进而得出答案．【详解】解：∵72＝49，82＝64，<<，∴78<<，∴6171的结果应该在自然数6，7之间．故选：D．【点睛】本题考查了无理数的整数解问题，掌握求无理数的整数解的方法是解题的关键．3．D解析：D【分析】根据算术平方根的平方等于这个这个自然数，得出下一个自然数，可得答案．【详解】n+，解：这个自然数是2n，则和这个自然数相邻的下一个自然数是21．故选：D．【点睛】本题考查了算术平方根，掌握一个数算术平方根的平方等于这个数是解题关键．4．B解析：B【分析】根据有理数的定义选出即可．【详解】解：A是无理数，故选项错误；B、﹣0.6是有理数，故选项正确；C、2π是无理数，故选项错误；D、0．l51151115…是无理数，故选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了实数，注意有理数是指有限小数和无限循环小数，包括整数和分数．5．B解析：B【分析】根据新定义的运算把各式转化成混合运算进行计算，即可得出结果.【详解】解：∵a ＊b ＝3a －b ，2a b b a ⊕=-，∴①3＊2=3×3-2=7，故①错误；②()22112145,⊕-=--=--=-故②正确； ③（13＊25）7124⎛⎫⊕⊕ ⎪⎝⎭. 21217(3)()3542⎡⎤=⨯-⊕-⎢⎥⎣⎦ 3(12)5=⊕- 2312()5=-- 30925=- 故③错误；④若a ＊b=b ＊a ，则有3a －b=3b-a,化简得a=b,故④正确；正确的有②④，故选：B【点睛】本题考查了含有乘方的有理数的混合运算，熟练掌握计算法则是解题关键.6．D解析：D【分析】根据算术平方根的定义逐一判断即可得解.【详解】4=，故原选项错误；=，故原选项错误；D. 4，计算正确，故此选项正确.故选D.【点睛】此题主要考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义. 7．B解析：B【分析】根据平行线的性质和角平分线性质可求．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠1+∠BEF=180°，∠2=∠BEG，∴∠BEF=180°-50°=130°，又∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=12∠BEF=65°，∴∠2=65°．故选：B．【点睛】此题考查平行线的性质，角平分线的性质，解题关键在于掌握两直线平行，内错角相等和同旁内角互补这两个性质．8．D解析：D【分析】利用平行线的性质、立方根及互补的定义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①两条平行直线被第三条直线所截，同位角的角平分线互相平行，故错误，是假命题；②立方根等于它本身的数有0，±1，故错误，是假命题；③两条边分别平行的两个角相等或互补，故错误，是假命题；④互为邻补角的两个角的平分线互相垂直，正确，是真命题，真命题有1个，故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、立方根及互补的定义等知识，难度不大．9．B解析：B【分析】的范围，继而可求得答案.【详解】∵22=4，32=9，∴<3，∴+1<4，故选B.【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握是解题的关键.10．C解析：C【解析】试题分析：∵16＜20＜25，∴∴4＜5．故选C．考点：估算无理数的大小．二、填空题11．181【分析】观察各式得出其中的规律，再代入求解即可．【详解】由题意得将代入原式中故答案为：181．【点睛】本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．解析：181【分析】n=求解即可．观察各式得出其中的规律，再代入12【详解】由题意得()31=⨯++n nn=代入原式中将12a==⨯+=12151181故答案为：181．【点睛】本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．12．【分析】根据运算顺序，先求算术平方根，再求立方根，最后求算术平方根，可得答案．【详解】解：＝8，＝2，2的算术平方根是，故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握【分析】根据运算顺序，先求算术平方根，再求立方根，最后求算术平方根，可得答案．【详解】82，2，．【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握算术平方根和立方根的意义是解题关键．13．-2．【分析】根据二次根式有意义的条件可得x＝2，进而可得y的值，然后计算出2x+3y的值，进而可得立方根．【详解】解：由题意得：，解得：x＝2，则y＝﹣4，2x+3y＝2×2+3×（解析：-2．【分析】根据二次根式有意义的条件可得x＝2，进而可得y的值，然后计算出2x+3y的值，进而可得立方根．【详解】解：由题意得：2020x x -≥⎧⎨-≥⎩， 解得：x ＝2，则y ＝﹣4，2x+3y ＝2×2+3×（﹣4）＝4﹣12＝﹣8．2=-．故答案是：﹣2．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．14．﹣2或﹣1或0或1或2．【分析】有三种情况：①当时，[x]＝-1，（x ）＝0，[x ）=-1或0，∴[x]+（x ）+[x ）＝-2或-1；②当时，[x]＝0，（x ）＝0，[x ）=0，∴[x]解析：﹣2或﹣1或0或1或2．【分析】有三种情况：①当10x -<<时，[x ]＝-1，（x ）＝0，[x ）=-1或0，∴[x ]+（x ）+[x ）＝-2或-1；②当0x =时，[x ]＝0，（x ）＝0，[x ）=0，∴[x ]+（x ）+[x ）＝0；③当01x <<时，[x ]＝0，（x ）＝1，[x ）=0或1，∴[x ]+（x ）+[x ）＝1或2；综上所述，化简[x ]+（x ）+[x ）的结果是-2或﹣1或0或1或2.故答案为-2或﹣1或0或1或2.点睛：本题是一道阅读理解题.读懂题意并进行分类讨论是解题的关键.【详解】请在此输入详解！15．【分析】令，然后两边同时乘以3，接下来根据题目中的方法计算即可．【详解】令则∴∴故答案为：．【点睛】本题考查了有理数的混合运算问题，掌握题目中的运算技巧以及有理数混合运算法则是解 解析：2021312- 【分析】令23202013333S =+++++，然后两边同时乘以3，接下来根据题目中的方法计算即可．【详解】令23202013333S =+++++ 则23202133333S =++++∴2021331S S -=- ∴2021312S -= 故答案为：2021312-． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算问题，掌握题目中的运算技巧以及有理数混合运算法则是解题的关键．16．-0.0513【分析】根据立方根的意义，中，m 的小数点每移动3位，n 的小数点相应地移动1位．【详解】因为所以-0.0513故答案为：-0.0513【点睛】考核知识点：立方根．理解立方解析：-0.0513【分析】n =中，m 的小数点每移动3位，n 的小数点相应地移动1位．【详解】5.130≈≈-0.0513故答案为：-0.0513【点睛】考核知识点：立方根．理解立方根的定义是关键．17．-11或-12【分析】根据题意可知，，再根据新定义即可得出答案．【详解】解：由题意可得：∴∴的值为-11或-12．故答案为：-11或-12．【点睛】本题考查的知识点是有理数比较大小解析：-11或-12【分析】根据题意可知65a -≤<-，12210a -≤<-，再根据新定义即可得出答案．【详解】解：由题意可得：65a -≤<-∴12210a -≤<-∴[]2a 的值为-11或-12．故答案为：-11或-12．【点睛】本题考查的知识点是有理数比较大小，理解题目的新定义，根据新定义得出a 的取值范围是解此题的关键．18．【分析】根据非负数的性质列方程求出a 、b 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】解：∵，∴2a＋1＝0，b −1＝0，∴a＝，b ＝1，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了非负数 解析：54【分析】根据非负数的性质列方程求出a 、b 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】解：∵2(21)0a +=，∴2a ＋1＝0，b−1＝0，∴a ＝12-，b ＝1， ∴222004200411511244a b ⎛⎫+=-+=+= ⎪⎝⎭， 故答案为：54． 【点睛】 本题考查了非负数的性质，几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．19．【分析】观察分析可得，，，则将此规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是【详解】由分析可知，发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是故答案为：【点睛】本题主要考查二次根式，找(1)n n =+≥ 【分析】=(2=+(3=+n(n ≥1)的等式表示出来是(1)n n =+≥ 【详解】由分析可知，发现的规律用含自然数n(n ≥1)的等式表示出来是(1)n n =+≥(1)n n =+≥ 【点睛】 本题主要考查二次根式，找出题中的规律是解题的关键，观察各式，归纳总结得到一般性规律，写出用n表示的等式即可．20．12【分析】先根据算术平方根的定义求出a的值，再根据无理数的估算得出b的值，然后计算有理数的乘法即可．【详解】，即的整数部分是2，即则故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根的解析：12【分析】先根据算术平方根的定义求出a的值，再根据无理数的估算得出b的值，然后计算有理数的乘法即可．【详解】a==6<<479<<<<23∴的整数部分是2，即2b=ab=⨯=则6212故答案为：12．【点睛】本题考查了算术平方根的定义、无理数的估算，根据无理数的估算方法得出b的值是解题关键．三、解答题21．不能，说明见解析.【分析】根据长方形的长宽比设长方形的长DC为3xcm，宽AD为2xcm，结合长方形ABCD的面积为300cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x的值，从而得出AB的长，再根据圆的面积公式以及圆的面积147cm2，即可求出圆的半径，从而可得出两个圆的直径的长度，将其与AB的长进行比较即可得出结论．【详解】解：设长方形的长DC为3xcm，宽AD为2xcm．由题意，得3x•2x=300，∵x＞0，∴x=∴AB=，BC=cm．∵圆的面积为147cm2，设圆的半径为rcm，∴πr2=147，解得：r=7cm．∴两个圆的直径总长为28cm．<=⨯=<，∵382428∴不能并排裁出两个面积均为147cm2的圆．22．（1-2）9【分析】（1）利用已知数据变化规律直接得出答案；（2）利用分母有理化的规律将原式化简进而求出即可.【详解】==解：（1（2......==-1+10=9【点睛】此题主要考查了分母有理化，正确化简二次根式是解题关键.23．(1)3；(2)－24；(3)成立．【解析】【分析】（1）按照给定的运算程序，一步一步计算即可；（2）先按新定义运算，先计算（-2）⊕6、再将所得结果-19与3计算规定运算可得；（3）成立，按新定义分别运算即可说明理由．【详解】(1)5⊕4＝5×4－2×5－2×4＋1＝20－10－8＋1＝2＋1＝3.(2)原式＝[－2×6－2×(－2)－2×6＋1]⊕3＝(－12＋4－12＋1)⊕3＝－19⊕3＝－19×3－2×(－19)－2×3＋1＝－24.(3)成立．∵a ⊕b ＝ab －2a －2b ＋1，b ⊕a ＝ab －2b －2a ＋1，∴a ⊕b ＝b ⊕a ，∴定义的新运算“⊕”交换律还成立．【点睛】此题是定义新运算题型．直接把对应的数字代入所给的式子可求出所要的结果．24．（1）1114545=-⨯；（2）111(1)1n n n n =-++；（3）2551． 【解析】试题分析：（1）规律：相邻的两个数的积的倒数等于它们的倒数的差，故第四个式子为：1114545=-⨯； （2）根据以上规律直接写出即可；（3）各项提出12之后即可应用（1）中的方法进行计算． 解：（1）答案为：1114545=-⨯； （2）答案为：()11111n n n n =-++； （3）111244668+++⨯⨯⨯ (1100102)⨯ =12×（111122334++⨯⨯⨯+…+15051⨯） =12×5051 =2551. 点睛：本题是一道找规律问题.解题的重点要根据所给式子中的数字变化归纳出规律，而难点在于第（3）问中要灵活应用所总结出来的公式.25．；(2)数轴上的点和实数是一一对应关系；(3)A.【分析】（1）首先根据勾股定理求出线段OB 的长度，然后结合数轴的知识即可求解； （2）根据数轴上的点与实数的对应关系即可求解；（3）本题利用实数与数轴的对应关系即可解答．【详解】解：(1)OB 2＝12+12＝2，∴OB ，∴OA ＝(2)数轴上的点和实数是一一对应关系(3) 这种研究和解决问题的方式，体现的数学思想方法是数形结合．故选A.【点睛】本题主要考查了实数与数轴之间的关系，此题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉平方根的定义．也要求学生了解数形结合的数学思想．26．（1）1011，1101；（2）①12，65，97，见解析，②38【分析】(1) 根据“模二数”的定义计算即可；(2) ①根据“模二数”和模二相加不变”的定义，分别计算126597，，和12+23，65+23,97+23的值，即可得出答案②设两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，根据a 、b 的奇偶性和“模二数”和模二相加不变”的定义进行讨论，从而得出与23“模二相加不变”的两位数的个数【详解】解: (1) ()296531011M =，()()221010111108531596M M =+=+故答案为：1011,1101()2①()()222301,1210M M ==，()()()222122311,122311M M M +=+=()()()22212231223M M M ∴+=+，12∴与23满足“模二相加不变”.()()222301,6501M M ==，，()()()222652310,652300M M M +=+=()()()22265236523M M M +≠+，65∴与23不满足“模二相加不变”.()()222301,9711M M ==，()()()2229723100,9723100M M M +=+=，()()()22297239723M M M +=+，97∴与23满足“模二相加不变”②当此两位数小于77时，设两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，1a 70b 7≤≤<<，； 当a 为偶数，b 为偶数时()()2210002013,a b M M +==，∴()()()()22222301,102310(2)(3)1001M M M a b M a a b b +=++++++== ∴与23满足“模二相加不变”有12个（28、48、68不符合）当a 为偶数，b 为奇数时()()2210012013,a b M M +==，∴()()()()22222310,102310(2)(3)1000M M M a b M a a b b +=++++++== ∴与23不满足“模二相加不变”.但27、47、67、29、49、69符合共6个当a 为奇数，b 为奇数时()()2210112013,a b M M +==，∴()()()()222223100,102310(2)(3)1010M M M a b M a a b b +=++++++== ∴与23不满足“模二相加不变”.但17、37、57、19、39、59也不符合当a 为奇数，b 为偶数时()()2210102013,a b M M +==，∴()()()()22222311,102310(2)(3)1011M M M a b M a a b b +=++++++== ∴与23满足“模二相加不变”有16个，（18、38、58不符合）当此两位数大于等于77时，符合共有4个综上所述共有12+6+16+4=38故答案为：38【点睛】本题考查新定义，数字的变化类，认真观察、仔细思考，分类讨论的数学思想是解决这类问题的方法．能够理解定义是解题的关键．。

初中数学第六章 实数知识归纳总结含答案

初中数学第六章 实数知识归纳总结含答案

初中数学第六章 实数知识归纳总结含答案一、选择题1．下列说法错误的是（ ） A ．﹣4是16的平方根 B ．16的算术平方根是2 C ．116的平方根是14D ．25＝52．计算：122019(1)(1)(1)-+-++-的值是（ ）A ．1-B ．1C ．2019D ．2019- 3．如果一个自然数的算术平方根是n ，则下一个自然数的算术平方根是( )A ．n +1B ．21n +C ．1n +D ．21n 4．2-是（ ） A ．负有理数B ．正有理数C ．自然数D ．无理数5．如图，在数轴上表示实数15的点可能是（ ）A ．点PB ．点QC ．点MD ．点N6．有四个有理数1，2，3，﹣5，把它们平均分成两组，假设1，3分为一组，2，﹣5分为另一组，规定：A ＝|1+3|+|2﹣5|，已知，数轴上原点右侧从左到右有两个有理数m 、n ，再取这两个数的相反数，那么，所有A 的和为（ ） A ．4mB ．4m +4nC ．4nD ．4m ﹣4n7．25的算术平方根是（ ） A ．5±B ．5C ．52±D ．58．下列实数中的无理数是（ ） A ． 1.21B ．38-C ．33-D ．2279．如图，数轴上表示实数3的点可能是( )A ．点PB ．点QC ．点RD ．点S 10．已知（﹣25）2的平方根是a ，﹣125的立方根是b ，则a ﹣b 的值是（ ） A ．0或10B ．0或﹣10C ．±10D ．0二、填空题11．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆b=．例如：(-3)☆2=32322-++-- = 2．从﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，中任选两个有理数做a ，b(a≠b)的值，并计算a ☆b ，那么所有运算结果中的最大值是_____． 12．a 是不为2的有理数，我们把2称为a 的“文峰数”如：3的“文峰数”是2223=--，-2的“文峰数”是()21222=--，已知a 1=3，a 2是a 1的“文峰数”， a 3是a 2的“文峰数”， a 4是a 3的“文峰数”，……，以此类推，则a 2020=______ 13．估计512-与0.5的大小关系是：512-_____0.5．（填“＞”、“=”、“＜”） 14．规定：[x]表示不大于x 的最大整数，（x ）表示不小于x 的最小整数，[x ）表示最接近x 的整数（x≠n+0.5，n 为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．当﹣1＜x ＜1时，化简[x]+（x ）+[x ）的结果是_____．15．按一定规律排列的一列数依次为：2-，5，10-，17，26-，，按此规律排列下去，这列数中第9个数及第n 个数（n 为正整数）分别是__________．16．有若干个数，第1个数记作1a ，第2个数记为2a ，第3个数记为3a ,……，第n 个数记为n a ，若1a =13，从第2个数起，每个数都等于1与前面的那个数的差的倒数，则2019a =_____．17．规定用符号[]x 表示一个实数的整数部分，如[3.65]3,31⎡⎤==⎣⎦，按此规定113⎡⎤-=⎣⎦_____．18．对于实数a ，我们规定：用符号[]a 表示不大于[]a 的最大整数，称为a 的根整数，例如：，如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次： [10]3[3]1=→=这时候结果为1．则只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是__________．19．如图，直径为1个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O 到达点'O ，则点'O 对应的数是_______．20．11133+=112344+=113455+=，……请你将发现的规律用含自然数n （n≥1）的等式表示出来__________________．三、解答题21．（阅读材料）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：“39”．邻座的乘客十分惊奇，忙间其中计算的奥妙．你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试：10=100=，1000593191000000<<，∴10100<<．∴能确定59319的立方根是个两位数． 第二步：∵59319的个位数是9，39729= ∴能确定59319的立方根的个位数是9．第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，<<34<<，可得3040<<，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． （解答问题）根据上面材料，解答下面的问题 （1）求110592的立方根，写出步骤．（2=__________． 22．（1）观察下列式子： ①100222112-=-==； ②211224222-=-==； ③322228442-=-==； ……根据上述等式的规律，试写出第n 个等式，并说明第n 个等式成立；（2）求01220192222++++的个位数字. 23．观察下列等式：111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯ ， 将以上三个等式两边分别相加得：11111111112233422334++=-+-+-⨯⨯⨯=13144-= （1）猜想并写出：1n(n 1)+ = ．（2）直接写出下列各式的计算结果： ①1111 (12233420152016)++++⨯⨯⨯⨯= ； ②1111...122334(1)n n ++++⨯⨯⨯⨯+= ； （3）探究并计算：1111 (24466820142016)++++⨯⨯⨯⨯．24．（1的一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小的过程因为2211,24==，所以12,<<因为21.4 1.96=，21.5 2.25=，所以1.4 1.5,<<因为221.41 1.9881,1.422.0164==，所以1.41 1.42<<因为221.414 1.999396,1.415 2.002225==，所以1.414 1.415,<<1.41≈(精确到百分位)，(精确到百分位)．（2）我们规定用符号[]x 表示数x 的整数部分，例如[]0,2.42,34=⎤⎢⎥⎦=⎡⎣①按此规定2⎤⎦= ；a ,b 求a b -的值．25．z 是64的方根，求x y z -+的平方根 26．规律探究计算：123499100++++⋅⋅⋅++如果一个个顺次相加显然太繁杂，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的的运算律，可简化计算， 提高计算速度．()()()12349910011002995051101505050++++⋅⋅⋅++=++++⋅⋅⋅++=⨯=计算：（1）246898100++++⋅⋅⋅++（2）()()()()22334100101a m a m a m a m ++++++⋅⋅⋅++【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】分别根据平方根的定义，算术平方根的定义判断即可得出正确选项．A ．﹣4是16的平方根，说法正确；B .2，说法正确；C .116的平方根是±14，故原说法错误；D .，说法正确． 故选：C ． 【点睛】此题考查了平方根以及算术平方根的定义，熟记相关定义是解题的关键．2．A解析：A 【分析】根据题意，1-的奇数次幂等于1-，1-的偶数次幂等于1，然后两个加数作为一组和为0，即可得到答案. 【详解】解：∵1-的奇数次幂等于1-，1-的偶数次幂等于1， ∴122019(1)(1)(1)-+-++-=1234201720182019[(1)(1)][(1)(1)][(1)(1)](1)-+-+-+-++-+-+-=2019(1)- =1-； 故选：A. 【点睛】本题考查了数字规律性问题，有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握1-的奇数次幂等于1-，1-的偶数次幂等于1.3．D解析：D 【分析】根据算术平方根的平方等于这个这个自然数，得出下一个自然数，可得答案． 【详解】解：这个自然数是2n ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是21n +，． 故选：D ． 【点睛】本题考查了算术平方根，掌握一个数算术平方根的平方等于这个数是解题关键．4．A解析：A 【解析】由于开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，根据有理数和无理数的定义及分类作答．【详解】∵2-是整数，整数是有理数，∴D错误；∵2-小于0，正有理数大于0，自然数不小于0，∴B、C错误；∴2-是负有理数，A正确．故选：A．【点睛】本题考查了有理数和实数的定义及分类，其中开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．5．C解析：C【分析】.【详解】<<，∵91516<<<<，即：343与4之间，故数轴上的点为点M，故选：C.【点睛】本题主要考查了二次根式的估算，熟练掌握相关方法是解题关键.6．C解析：C【分析】根据题意得到m，n的相反数，分成三种情况⑴m，n；-m，-n ⑵m，-m；n，-n⑶m，-n；n，-m 分别计算，最后相加即可.【详解】解：依题意，m，n（m＜n）的相反数为﹣m，﹣n，则有如下情况：m，n为一组，﹣m，﹣n为一组，有A＝|m+n|+|（﹣m）+（﹣n）|＝2m+2nm，﹣m为一组，n，﹣n为一组，有A＝|m+（﹣m）|+|n+（﹣n）|＝0m，﹣n为一组，n，﹣m为一组，有A＝|m+（﹣n）|+|n+（﹣m）|＝2n﹣2m所以，所有A的和为2m+2n+0+2n﹣2m＝4n故选：C．本题主要考查了新定义的理解，注意分类讨论是解题的关键.7．B解析：B【分析】直接根据算术平方根的定义计算即可．【详解】，∴5故选B．【点睛】此题主要考查了算术平方根，关键是掌握算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．8．C解析：C【分析】无限不循环小数是无理数，根据定义解答.【详解】=1.1是有理数；，是有理数；是无理数；D. 227是分数，属于有理数，故选：C.【点睛】此题考查无理数的定义，熟记定义是解题的关键.9．A解析：A【分析】的点可能是哪个．【详解】∵12，的点可能是点P．故选A．此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．10．A解析：A 【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案． 【详解】2＝25， ∴25的平方根是±5， ﹣125的立方根是﹣5， ∴a ＝±5，b ＝﹣5， 当a ＝5时，原式＝5﹣（﹣5）＝10， 当a ＝﹣5时，原式＝﹣5﹣（﹣5）＝0， 故选：A ． 【点睛】本题考查平方根与立方根，解题的关键是熟练运用平方根与立方根的定义，本题属于基础题型．二、填空题 11．8 【解析】解：当a ＞b 时，a☆b= =a，a 最大为8；当a ＜b 时，a☆b==b，b 最大为8，故答案为：8．点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．解析：8 【解析】解：当a ＞b 时，a ☆b =2a b a b++- =a ，a 最大为8；当a ＜b 时，a ☆b =2a b a b++-=b ，b 最大为8，故答案为：8．点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．． 【分析】先根据题意求得、、、，发现规律即可求解．解：∵a1=3 ∴，，，，∴该数列为每4个数为一周期循环， ∵∴a2020=． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查规律的探索，解析：43． 【分析】先根据题意求得2a 、3a 、4a 、5a ，发现规律即可求解． 【详解】 解：∵a 1=3∴22223a ==--，()321222a ==--，4241322a ==-，523423a ==-， ∴该数列为每4个数为一周期循环， ∵20204505÷= ∴a 2020=443a =． 故答案为：43． 【点睛】此题主要考查规律的探索，解题的关键是根据题意发现规律．13．> 【解析】∵ . , ∴ , ∴ ,故答案为>.解析：> 【解析】∵10.52-=-=20-> ,∴0> ,∴0.5> ,故答案为>.14．﹣2或﹣1或0或1或2． 【分析】 有三种情况：①当时，[x]＝-1，（x ）＝0，[x ）=-1或0， ∴[x]+（x ）+[x ）＝-2或-1；②当时，[x]＝0，（x ）＝0，[x ）=0， ∴[x]解析：﹣2或﹣1或0或1或2． 【分析】 有三种情况：①当10x -<<时，[x ]＝-1，（x ）＝0，[x ）=-1或0， ∴[x ]+（x ）+[x ）＝-2或-1；②当0x =时，[x ]＝0，（x ）＝0，[x ）=0， ∴[x ]+（x ）+[x ）＝0；③当01x <<时，[x ]＝0，（x ）＝1，[x ）=0或1， ∴[x ]+（x ）+[x ）＝1或2；综上所述，化简[x ]+（x ）+[x ）的结果是-2或﹣1或0或1或2. 故答案为-2或﹣1或0或1或2.点睛：本题是一道阅读理解题.读懂题意并进行分类讨论是解题的关键. 【详解】 请在此输入详解！15．； 【解析】观察这一列数，各项的符号规律是奇数项为负，偶数项为正，故有， 又因为，，，，，所以第n 个数的绝对值是， 所以第个数是，第n 个数是，故答案为-82，. 点睛：本题主要考查了有理数的混合运解析：82-；2(1)(1)n n -⋅+ 【解析】观察这一列数，各项的符号规律是奇数项为负，偶数项为正，故有(1)n-，又因为2211=+，2521=+，21031=+，21741=+，，所以第n 个数的绝对值是21n +，所以第9个数是92(1)(91)82-⋅+=-，第n 个数是2(1)(1)nn -⋅+，故答案为-82，2(1)(1)n n -⋅+.点睛：本题主要考查了有理数的混合运算，规律探索问题通常是按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律，揭示的式子的变化规律，常常把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的规律．16．-2 【分析】根据1与它前面的那个数的差的倒数，即，即可求得、、……，然后根据得到结果出现的规律，即可确定．【详解】解：=……所以数列以，，三个数循环，所以==故答案为：．【解析：-2【分析】根据1与它前面的那个数的差的倒数，即111n n a a +=-，即可求得2a 、3a 、4a ……，然后根据得到结果出现的规律，即可确定2019a ．【详解】解：1a =13 2131213a ==-312312a ==--411123a ==+ …… 所以数列以13，32，2-三个数循环， 20193673÷=所以2019a =3a =2-故答案为：2-．【点睛】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．17．-3【分析】先确定的范围，再确定的范围，然后根据题意解答即可．【详解】解：∵3＜＜4∴-3＜＜-2∴-3故答案为-3．【点睛】本题考查了无理数整数部分的有关计算，确定的范围是解答本解析：-3【分析】1⎡⎣的范围，然后根据题意解答即可．【详解】解：∵34∴-3＜1--2∴1⎡=⎣-3故答案为-3．【点睛】18．255【分析】根据材料的操作过程，以及常见的平方数，可知分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．【详解】解：∴对255只需要进行3次操作后变成1，∴对256需要进行4次操作解析：255【分析】根据材料的操作过程，以及常见的平方数，可知分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．【详解】解：25515,3,1,⎡⎤===⎣⎦ ∴对255只需要进行3次操作后变成1，25616,4,2,1,⎡⎤====⎣⎦ ∴对256需要进行4次操作后变成1，∴只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255； 故答案为：255．【点睛】本题考查了估算无理数的大小应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也要考了一个数的平方数的计算能力．19．【分析】点对应的数为该半圆的周长．【详解】解：半圆周长为直径半圆弧周长即故答案为：．【点睛】本题考查数轴上的点与实数的关系．明确的长即为半圆周长是解答的关键． 解析：12π+【分析】点O '对应的数为该半圆的周长．【详解】解：半圆周长为直径+半圆弧周长即12π+故答案为：12π+．【点睛】 本题考查数轴上的点与实数的关系．明确OO '的长即为半圆周长是解答的关键．20．【分析】观察分析可得，，，则将此规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是【详解】由分析可知，发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是故答案为：【点睛】本题主要考查二次根式，找(1)n n =+≥ 【分析】=(2=+(3=+n(n ≥1)的等式表示出来是(1)n n =+≥ 【详解】由分析可知，发现的规律用含自然数n(n ≥1)的等式表示出来是(1)n n =+≥(1)n n =+≥ 【点睛】本题主要考查二次根式，找出题中的规律是解题的关键，观察各式，归纳总结得到一般性规律，写出用n 表示的等式即可．三、解答题21．（1）48；（2）28【分析】（1）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．（2）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．【详解】解：（1）第一步：10=100=，11059210100000000<<，10100∴<，∴能确定110592的立方根是个两位数．第二步：110592的个位数是2，38512=，∴能确定110592的立方根的个位数是8．第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110，，则45<<，可得4050<，由此能确定110592的立方根的十位数是4，因此110592的立方根是48；（2）第一步：10=100=，1000219521000000<<，10100∴<，∴能确定21952的立方根是个两位数．第二步：21952的个位数是2，38512=，∴能确定21952的立方根的个位数是8．第三步：如果划去21952后面的三位952得到数21，23<，可得2030，由此能确定21952的立方根的十位数是2，因此21952的立方根是28．28=，故答案为：28．【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度．22．（1）11222n n n ---=，理由见解析；（2）01220192222++++的个位数字为5.【分析】（1）找规律，发现等式满足11222n n n ---=，证明，即可．（2）利用公式11222n n n ---=，分别表示每个项，利用相消法，计算结果，即可.【详解】（1）11222n n n ---=理由是：122n n -- 11122n n +--=-11222n n --=⨯-()1212n -=-⨯12n -=（2）原式=()()()()1021322020201922222222-+-+-++-2020022=-()505421=-505161=-因为6的任何整数次幂的个位数字为6.所以505161-的个位数字为5，即01220192222++++的个位数字为5. 【点睛】本题考查了与数字运算有关的规律题，仔细观察发现规律是解题的关键.23．（1）111n n -+；（2）①20152016；②1n n +；（3）10074032. 【分析】（1）观察所给的算式可得：分子为1，分母为两个相邻整数的分数可化为这两个整数的倒数之差，由此即可解答；（2）根据所得的规律把各分数进行转化，再进行分数的加减运算即可解答；（3）先提取14，类比（2）的运算方法解答即可． 【详解】（1）()11n n + =111n n -+； （2）①1111...12233420152016++++⨯⨯⨯⨯=11111122334-+-+-+…+1120152016-=112016-=20152016； ②()1111...1223341n n ++++⨯⨯⨯⨯+=11111122334-+-+-+…+111n n -+=111n -+=1n n +； （3）1111 (24466820142016)++++⨯⨯⨯⨯ =14（1111 (12233410071008)++++⨯⨯⨯⨯）， =14（11111122334-+-+-+…+1110071008-）， =14（111008-）， =14×10071008 =10074032. 【点睛】本题考查了有理数的运算，根据题意找出规律是解决问题的关键.24．（1）2.24；（2）①5，②3-【分析】（1近似值的方法解答即可；（22的范围，再根据规定解答即可；的整数部分a b 的值，再代入所求式子化简计算即可．【详解】解：（1）因为2224,39==，所以23,<<因为222.2 4.84,2.3 5.29==，所以2.2 2.3<<，因为222.23 4.9729,2.24 5.0176==，所以2.23 2.24,<< 因为222.236 4.999696,2.237 5.004169==，所以2.236 2.237<<，2.24≈．（2）①因为3.12=9.61，3.22=10.24，所以3.1 3.2<<，所以5.12 5.2<<，所以2⎤⎦=5；故答案为：5；②因为12,23<<<，所以1,2a b ==，所以原式12=)12123=-== 【点睛】本题考查了利用夹逼法求算术平方根的近似值、对算术平方根的整数和小数部分的认识以及实数的简单计算，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握算术平方根的相关知识是解题关键．25．【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列方程求出x 、y 的值，然后求出z 的值，再根据平方根的定义解答．【详解】，∴x+1=0,2-y=0，解得x=-1，y=2，∵z 是64的方根，∴z=8所以，x y z -+=-1-2+8=5，所以，x y z -+的平方根是【点睛】此题考查非负数的性质，相反数，平方根的定义，解题关键在于掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．26．（1）2550；（2）50505150a m +【分析】（1）利用所给规律计算求解即可；（2）先去括号，再分组利用所给规律计算．【详解】解：（1）原式()()()21004985052=++++⋅⋅⋅++102252550=⨯=（2）原式()()23100234101a a a a m m m m =+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+50505150a m =+【点睛】本题考查的知识点是去括号与添括号、有理数的加法、合并同类项，灵活运用加法的运算律是解此题的关键．。

七年级初一数学第六章 实数知识归纳总结附解析

七年级初一数学第六章 实数知识归纳总结附解析

七年级初一数学第六章 实数知识归纳总结附解析一、选择题1．下列说法中正确的是（ ）A ．4的算术平方根是±2B ．平方根等于本身的数有0、1C ．﹣27的立方根是﹣3D ．﹣a 一定没有平方根2．圆的面积增加为原来的m 倍，则它的半径是原来的（ ）A ．m 倍B ．2m 倍C 倍D ．2m 倍3．下列命题中，真命题是（ ）A ．实数包括正有理数、0和无理数B ．有理数就是有限小数C ．无限小数就是无理数D ．无论是无理数还是有理数都是实数4．2-是（ ）A ．负有理数B ．正有理数C ．自然数D ．无理数 5．下列数中，有理数是（ ）A B ．﹣0.6 C ．2π D ．0．151151115… 6．若2a a a -=，则实数a 在数轴上的对应点一定在（ ）A ．原点左侧B ．原点或原点左侧C ．原点右侧D ．原点或原点右侧7．有四个有理数1，2，3，﹣5，把它们平均分成两组，假设1，3分为一组，2，﹣5分为另一组，规定：A ＝|1+3|+|2﹣5|，已知，数轴上原点右侧从左到右有两个有理数m 、n ，再取这两个数的相反数，那么，所有A 的和为（ ）A ．4mB ．4m +4nC ．4nD ．4m ﹣4n8．下列各数中，属于无理数的是（ ）A ．227B ．3.1415926C ．2.010010001D ．π3- 9．下列说法中不正确的是( )A ．是2的平方根B 2的平方根C ．2D ．2 10．估计20的算术平方根的大小在（ ）A ．2与3之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间 二、填空题11．定义一种对正整数n 的“F”运算：①当n 为奇数时，结果为3n+5；②当n 为偶数时，结果为2k n （其中k 是使2kn 为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取n=26，则：若449n =，则第201次“F”运算的结果是 ．12．观察下列各式： 123415⨯⨯⨯+=； 2345111⨯⨯⨯+=； 3456119⨯⨯⨯+=；121314151a ⨯⨯⨯+=，则a =_____．13．对于三个数a ，b ，c ，用M{a ，b ，c}表示这三个数的平均数，用min{a ，b ，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{－1，2，3}＝123433-++=，min{－1，2，3}＝－1，如果M{3，2x ＋1，4x －1}＝min{2，－x ＋3，5x}，那么x ＝_______.14．如果一个数的平方根和它的立方根相等，则这个数是______. 15．定义新运算a ☆b ＝3a ﹣2b ，则（﹣2）☆1＝_____．16．规定用符号[]x 表示一个实数的整数部分，如[3.65]3,31⎡==⎣，按此规定113⎡=⎣_____． 17．34330035.12=30.3512x =-，则x =_____________．18．下列说法： ()210-10-=；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，其中正确的个数有 ___________19．任何实数，可用[a]表示不超过a 的最大整数如[4]＝4，5＝2，现对72进行如下操作：72[72]8[8]2[2]1→=→=→=，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对正整数x 只进行3次操作后的结果是1，则x 在最大值是_____． 20．如果36a =b 7的整数部分，那么ab =_______．三、解答题21．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试： ①3310001000000100==，又1000593191000000<<，31059319100∴<<，∴能确定59319的立方根是个两位数．②∵59319的个位数是9，又39729=，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，<<34<<，可得3040<<，由此能确定59319的立方根的十位数是3因此59319的立方根是39．（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空．①它的立方根是_______位数．②它的立方根的个位数是_______．③它的立方根的十位数是__________．④195112的立方根是________．（2）请直接填写．．．．结果：=________．=________．22．定义：如果2b n =，那么称b 为n 的布谷数，记为()b g n =.例如：因为328=，所以()3(8)23g g ==， 因为1021024=，所以()10(1024)210g g ==. （1）根据布谷数的定义填空：g （2）=________________,g （32）=___________________. （2）布谷数有如下运算性质：若m ，n 为正整数，则()()()=+g mn g m g n ，()()m g g m g n n ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 根据运算性质解答下列各题：①已知(7) 2.807g =，求 (14)g 和74g ⎛⎫⎪⎝⎭的值； ②已知(3)g p =.求(18)g 和316g ⎛⎫⎪⎝⎭的值. 23．观察下列等式： ①111122=-⨯， ②1112323=-⨯， ③1113434=-⨯. 将以上三个等式两边分别相加，得1111111113111223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯. （1）请写出第④个式子 （2）猜想并写出：1n(n 1)+= ． （3）探究并计算：111244668+++⨯⨯⨯ (1100102)⨯. 24．我们规定：a p -＝1p a （a ≠0），即a 的负P 次幂等于a 的p 次幂的倒数．例：24-＝214 （1）计算：25-＝__；22-（﹣）＝__；（2）如果2p -＝18，那么p ＝__；如果2a -＝116，那么a ＝__； （3）如果a p -＝19，且a 、p 为整数，求满足条件的a 、p 的取值．25．z 是64的方根，求x y z -+的平方根26．对非负实数x “四舍五入”到各位的值记为x <>.即:当n 为非负整数时，如果12n x -≤<1n 2+，则x n <>=；反之，当n 为非负整数时，如果x n <>=，则1122n x n -<+≤． 例如： 00.480<>=<>=，0.64 1.491, 3.5 4.124<>=<>=<>=<>=．（1）计算： 1.87<>= ；= ；（2）①求满足12x <->=的实数x 的取值范围， ②求满足43x x <>=的所有非负实数x 的值； （3）若关于x 的方程21122a x x -<>+-=-有正整数解，求非负实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案.【详解】解：A 、4的算术平方根是2，故A 错误；B 、平方根等于本身的数是0，故B 错误；C 、(-3)3=-27，所以-27的立方根是-3，故C 正确；D 、﹣a 大于或等于0时，可以有平方根，故D 错误.故选：C.【点睛】本题考查了算术平方根、平方根、立方根的定义，熟记定义是解决此题的关键.注意平方根和算术平方根的异同.2．C解析：C【分析】设面积增加后的半径为R，增加前的半径为r，根据题意列出关系式计算即可．【详解】设面积增加后的半径为R，增加前的半径为r，根据题意得：πR2=mπr2，∴，故选：C．【点睛】此题主要考查了实数的运算，要注意，圆的面积和半径之间是平方关系而非正比例关系．3．D解析：D【分析】直接利用实数以及有理数、无理数的定义分析得出答案．【详解】A、实数包括有理数和无理数，故此命题是假命题；B、有理数就是有限小数或无限循环小数，故此命题是假命题；C、无限不循环小数就是无理数，故此命题是假命题；D、无论是无理数还是有理数都是实数，是真命题．故选：D．【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确掌握相关定义是解题关键．4．A解析：A【解析】【分析】由于开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，根据有理数和无理数的定义及分类作答．【详解】∵2-是整数，整数是有理数，∴D错误；∵2-小于0，正有理数大于0，自然数不小于0，∴B、C错误；∴2-是负有理数，A正确．故选：A．【点睛】本题考查了有理数和实数的定义及分类，其中开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．5．B解析：B【分析】根据有理数的定义选出即可．【详解】解：A是无理数，故选项错误；B、﹣0.6是有理数，故选项正确；C、2π是无理数，故选项错误；D、0．l51151115…是无理数，故选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了实数，注意有理数是指有限小数和无限循环小数，包括整数和分数．6．B解析：B【分析】根据非正数的绝对值是它的相反数，可得答案．【详解】解：由a-|a|=2a，得|a|=-a，故a是负数或0，∴实数a在数轴上的对应点在原点或原点左侧故选：B．【点睛】本题考查了实数与数轴，利用了非负数的绝对值，非正数与数轴的关系：非正数位于原点及原点的左边．7．C解析：C【分析】根据题意得到m，n的相反数，分成三种情况⑴m，n；-m，-n ⑵m，-m；n，-n ⑶m，-n；n，-m 分别计算，最后相加即可.【详解】解：依题意，m，n（m＜n）的相反数为﹣m，﹣n，则有如下情况：m，n为一组，﹣m，﹣n为一组，有A＝|m+n|+|（﹣m）+（﹣n）|＝2m+2nm，﹣m为一组，n，﹣n为一组，有A＝|m+（﹣m）|+|n+（﹣n）|＝0m，﹣n为一组，n，﹣m为一组，有A＝|m+（﹣n）|+|n+（﹣m）|＝2n﹣2m所以，所有A的和为2m+2n+0+2n﹣2m＝4n故选：C．【点睛】本题主要考查了新定义的理解，注意分类讨论是解题的关键.8．D解析：D【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：A、227是有理数，故选项A不符合题意；B、3.1415926是有理数，故选项B不符合题意；C、2.010010001是有理数，故选项C不符合题意；D、π3是无理数，故选项D题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．9．C解析：C【详解】解：A. 是2的平方根，正确；是2的平方根，正确；C. 2的平方根是±，故原选项不正确；D. 2，正确．故选C．10．C解析：C【解析】试题分析：∵16＜20＜25，∴∴4＜5．故选C．考点：估算无理数的大小．二、填空题11．．【详解】第一次：3×449+5=1352，第二次：，由题意k=3时结果为169；第三次：3×169+5=512，第四次：因为512是2的9次方，所以k=9，计算结果是1；第五次：1×3+5解析：8．【详解】第一次：3×449+5=1352，第二次：13522k，由题意k=3时结果为169；第三次：3×169+5=512，第四次：因为512是2的9次方，所以k=9，计算结果是1；第五次：1×3+5=8；第六次：82k，因为8是2的3次方，所以k=3，计算结果是1，此后计算结果8和1循环．因为201是奇数，所以第201次运算结果是8．故答案为8．12．181【分析】观察各式得出其中的规律，再代入求解即可．【详解】由题意得将代入原式中故答案为：181．【点睛】本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．解析：181【分析】观察各式得出其中的规律，再代入12n=求解即可．【详解】由题意得()31n n=⨯++将12n=代入原式中12151181a==⨯+=故答案为：181．【点睛】本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．13．或【解析】【分析】根据题中的运算规则得到M{3，2x＋1，4x－1}=1+2x，然后再根据min{2，－x＋3，5x}的规则分情况讨论即可得.【详解】M{3，2x＋1，4x－1}==2x+1解析：12或13【解析】【分析】根据题中的运算规则得到M{3，2x＋1，4x－1}=1+2x，然后再根据min{2，－x＋3，5x}的规则分情况讨论即可得.【详解】M{3，2x＋1，4x－1}=321413x x+++-=2x+1，∵M{3，2x＋1，4x－1}＝min{2，－x＋3，5x}，∴有如下三种情况：①2x+1=2，x=12，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，52，52}=2，成立；②2x+1=-x+3，x=23，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，73，103}=2，不成立；③2x+1=5x，x=13，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，83，53}=53，成立，∴x=12或13，故答案为12或13.【点睛】本题考查了阅读理解题，一元一次方程的应用，分类讨论思想的运用等，解决问题的关键是读懂题意，依题意分情况列出一元一次方程进行求解．14．0【解析】试题解析：平方根和它的立方根相等的数是0．解析：0【解析】试题解析：平方根和它的立方根相等的数是0．15．﹣8【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．【详解】解：根据题中的新定义得：（﹣2）☆1＝3×（−2）−2×1＝−6−2＝−8，故答案为−8.【点睛】此题考查了有理数的混合运算，解析：﹣8【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．【详解】解：根据题中的新定义得：（﹣2）☆1＝3×（−2）−2×1＝−6−2＝−8，故答案为−8.【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．16．-3【分析】先确定的范围，再确定的范围，然后根据题意解答即可．【详解】解：∵3＜＜4∴-3＜＜-2∴-3故答案为-3．【点睛】本题考查了无理数整数部分的有关计算，确定的范围是解答本解析：-3【分析】1⎡⎣的范围，然后根据题意解答即可．【详解】解：∵34∴-3＜1--2∴1⎡=⎣-3故答案为-3．【点睛】17．－0.0433【分析】三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小1000倍，则得到的结果扩大或缩小10倍，根据规律可得x的值．【详解】从35.12变为－0.3512，缩小了100倍，且添解析：－0.0433【分析】三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小1000倍，则得到的结果扩大或缩小10倍，根据规律可得x的值．【详解】从35.12变为－0.3512，缩小了100倍，且添加了“－”∴根据规律，三次根式内的式子应该缩小1000000倍，且添加“－”故答案为：－0.0433【点睛】本题考查三次根式的规律，二次根式规律类似：二次根号内的式子扩大或缩小100倍，则得到的结果扩大或缩小10倍．18．2个【分析】①根据算术平方根的性质即可判定；②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；③根据平行线的性质即可判断；根据平行公理的推论对④进行判断；⑤根据无理数的性质即可判定；⑥根据无理数的定义即解析：2个【分析】①根据算术平方根的性质即可判定；②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；③根据平行线的性质即可判断；根据平行公理的推论对④进行判断；⑤根据无理数的性质即可判定；⑥根据无理数的定义即可判断．【详解】=，故①错误；①10②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确；③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；故原说法错误；④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原说法错误；与的和是0，是有理数，故说法错误；⑥无理数都是无限小数，故说法正确．故正确的是②⑥共2个．故答案为：2个．此题主要考查了有理数、无理数、实数的定义及其关系．有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无π也是无理数． 19．255【分析】根据规律可知，最后的取整是1，则操作前的一个数字最大是3，再向前一步推，操作前的最大数为15，再向前一步推，操作前的最大数为255；据此得出答案即可．【详解】解：∵，，，∴只解析：255【分析】根据规律可知，最后的取整是1，则操作前的一个数字最大是3，再向前一步推，操作前的最大数为15，再向前一步推，操作前的最大数为255；据此得出答案即可．【详解】解：∵1=，3=，15=，∴只进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，故答案为：255．【点睛】本题考查了估算无理数大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力． 20．12【分析】先根据算术平方根的定义求出a 的值，再根据无理数的估算得出b 的值，然后计算有理数的乘法即可．【详解】，即的整数部分是2，即则故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根的解析：12先根据算术平方根的定义求出a 的值，再根据无理数的估算得出b 的值，然后计算有理数的乘法即可．【详解】6a ==479<<<<23<<∴的整数部分是2，即2b =则6212ab =⨯=故答案为：12．【点睛】本题考查了算术平方根的定义、无理数的估算，根据无理数的估算方法得出b 的值是解题关键．三、解答题21．（1）①两；②8；③5；④58；（2）①24；②56．【分析】（1）①根据例题进行推理得出答案；②根据例题进行推理得出答案；③根据例题进行推理得出答案；④根据②③得出答案；（2）①先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论； ②先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论.【详解】（1）①31000100==，10001951121000000<< ，∴10100<<，∴能确定195112的立方根是一个两位数，故答案为：两；②∵195112的个位数字是2，又∵38512=，∴能确定195112的个位数字是8，故答案为：8；③如果划去195112后面三位112得到数195，<<∴56<<，可得5060<<，由此能确定195112的立方根的十位数是5，故答案为：5；④根据②③可得：195112的立方根是58，故答案为：58；（2）①13824的立方根是两位数，立方根的个位数是4，十位数是2，∴13824的立方根是24，故答案为：24；②175616的立方根是两位数，立方根的个位数是6，十位数是5，∴175616的立方根是56，故答案为：56.【点睛】此题考查立方根的性质，一个数的立方数的特点，正确理解题意仿照例题解题的能力，掌握一个数的立方数的特点是解题的关键.22．（1）1；5；（2）①3.807，0.807；②12p +；4p -.【分析】（1）根据布谷数的定义把2和32化为底数为2的幂即可得出答案；（2）①根据布谷数的运算性质, g （14）=g （2×7）=g （2）+g （7），7(7)(4)4g g g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再代入数值可得解； ②根据布谷数的运算性质, 先将两式化为2(18)(2)(3)g g g =+，3()(3)(16)16g g g =-，再代入求解.【详解】解：（1）g （2）=g （21）=1，g （32）=g （25）=5；故答案为1，32；（2）①g （14）=g （2×7）=g （2）+g （7），∵g （7）=2.807，g （2）=1，∴g （14）=3.807；7(7)(4)4g g g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭g （4）=g （22）=2， ∴74g ⎛⎫ ⎪⎝⎭=g （7）-g （4）=2.807-2=0.807； 故答案为3.807，0.807；②∵()3g p =.∴22(18)(23)(2)(3)12g g g g p =⨯=+=+； 3()(3)(16)416g g g p =-=-. 【点睛】本题考查有理数的乘方运算，新定义；能够将新定义的运算转化为有理数的乘方运算是解题的关键．23．（1）1114545=-⨯；（2）111(1)1n n n n =-++；（3）2551． 【解析】试题分析：（1）规律：相邻的两个数的积的倒数等于它们的倒数的差，故第四个式子为：1114545=-⨯； （2）根据以上规律直接写出即可；（3）各项提出12之后即可应用（1）中的方法进行计算． 解：（1）答案为：1114545=-⨯； （2）答案为：()11111n n n n =-++； （3）111244668+++⨯⨯⨯ (1100102)⨯ =12×（111122334++⨯⨯⨯+…+15051⨯） =12×5051=2551. 点睛：本题是一道找规律问题.解题的重点要根据所给式子中的数字变化归纳出规律，而难点在于第（3）问中要灵活应用所总结出来的公式.24．（1）125；14；（2）3；±4．（3）当a ＝9时，p ＝1；当a ＝3时，p ＝2；当a ＝﹣3时，p ＝2.【分析】（1）根据题意规定直接计算.（2）将已知条件代入等式中，倒推未知数.（3）根据定义，分别讨论当a 为不同值时，p 的取值即可解答.【详解】解：（1）5﹣2＝125；（﹣2）﹣2＝14； （2）如果2﹣p ＝18，那么p ＝3；如果a ﹣2＝116，那么a ＝±4； （3）由于a 、p 为整数，所以当a ＝9时，p ＝1；当a ＝3时，p ＝2；当a ＝﹣3时，p ＝2．故答案为（1）125；14；（2）3；±4．（3）当a ＝9时，p ＝1；当a ＝3时，p ＝2；当a ＝﹣3时，p ＝2.【点睛】 本题考查新定义，能够理解a 的负P 次幂等于a 的p 次幂的倒数这个规定定义是解题关键.25．【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列方程求出x 、y 的值，然后求出z 的值，再根据平方根的定义解答．【详解】，∴x+1=0,2-y=0，解得x=-1，y=2，∵z 是64的方根，∴z=8所以，x y z -+=-1-2+8=5，所以，x y z -+的平方根是【点睛】此题考查非负数的性质，相反数，平方根的定义，解题关键在于掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．26．（1）2，3 （2）①5722x ≤<②330,,42（3）00.5a ≤< 【分析】（1）根据新定义的运算规则进行计算即可；（2）①根据新定义的运算规则即可求出实数x 的取值范围；②根据新定义的运算规则和43x 为整数，即可求出所有非负实数x 的值； （3）先解方程求得22x a =-<>，再根据方程的解是正整数解，即可求出非负实数a 的取值范围．【详解】（1） 1.87<>=2；=3；（2）①∵12x <->= ∴1121222x --<+≤解得5722x ≤<； ②∵43x x <>=∴41413232x x x -<+≤ 解得3322x -<≤ ∵43x 为整数 ∴333,0,,442x =- 故所有非负实数x 的值有330,,42； （3）21122a x x -<>+-=- 1241a x x -<>+-=-22x a =-<>∵方程的解为正整数∴21a -<>=或2①当21a -<>=时，2x =是方程的增根，舍去 ②当22a -<>=时，00.5a ≤<．【点睛】本题考查了新定义下的运算问题，掌握新定义下的运算规则是解题的关键．。

七年级数学下册第六章实数知识集锦(带答案)

七年级数学下册第六章实数知识集锦(带答案)

七年级数学下册第六章实数知识集锦单选题1、如图，若数轴上的点A，B，C，D表示数−1，1，2，3，则表示数4−√11的点应在（）A．A，O之间B．B，C之间C．C，D之间D．O，B之间答案：D分析：先估算出4−√11的值，再确定出其位置即可．解：∵9＜11＜16，∴3＜√11＜4，∴−4＜−√11＜−3，∴4−4＜4−√11＜4−3，即0＜4−√11＜1∴表示数4−√11的点应在O，B之间．故选：D．小提示：本题考查的是实数与数轴．熟知实数与数轴上各点是一一对应关系，能够正确估算出√11的值是解答此题的关键．2、若一个正方形的面积是12，则它的边长是（）A．2√3B．3C．3√2D．4答案：A分析：根据正方形的面积公式即可求解．解：由题意知：正方形的面积等于边长×边长，设边长为a，故a²=12，∴a=±2√3，又边长大于0∴边长a=2√3．故选：A．小提示：本题考查了正方形的面积公式，开平方运算等，属于基础题．3、对多项式x−y−z−m−n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：(x−y)−(z−m−n)=x−y−z+m+n，x−y−(z−m)−n=x−y−z+m−n，…，给出下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．以上说法中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3答案：D分析：给x−y添加括号，即可判断①说法是否正确；根据无论如何添加括号，无法使得x的符号为负号，即可判断②说法是否正确；列举出所有情况即可判断③说法是否正确．解：∵(x−y)−z−m−n=x−y−z−m−n∴①说法正确∵x−y−z−m−n−x+y+z+m+n=0又∵无论如何添加括号，无法使得x的符号为负号∴②说法正确③第1种：结果与原多项式相等；第2种：x-（y-z）-m-n=x-y+z-m-n；第3种：x-（y-z）-（m-n）=x-y+z-m+n；第4种：x-（y-z-m）-n=x-y+z+m-n；第5种：x-（y-z-m-n）=x-y+z+m+n；第6种：x-y-（z-m）-n=x-y-z+m-n；第7种：x-y-（z-m-n）=x-y-z+m+n；第8种：x-y-z-（m-n）=x-y-z-m+n；故③符合题意；∴共有8种情况∴③说法正确∴正确的个数为3故选D ．小提示：本题考查了新定义运算，认真阅读，理解题意是解答此题的关键．4、已知min {a,b,c }表示取三个数中最小的那个数，例加：min{−1,−2,−3}=−3，当min{√x,x 2,x}=181时，则x 的值为（ ）A ．181B ．127C ．13D ．19 答案：D分析：根据题意可知√x,x 2,x 都小于1且大于0，根据平方根求得x 的值即可求解．解：∵min{√x,x 2,x}=181∴√x,x 2,x 都小于1且大于0∴x 2<x <√x∴x 2=181∴x =19（负值舍去）故选D小提示：本题考查了求一个数的平方根，判断√x,x 2,x 的范围是解题的关键．5、定义：若10x =N ，则x =log 10N ，x 称为以10为底的N 的对数，简记为lgN ，其满足运算法则：lgM +lgN =lg(M ⋅N)(M >0,N >0)．例如：因为102=100，所以2=lg100，亦即lg100=2；lg4+lg3=lg12．根据上述定义和运算法则，计算(lg2)2+lg2⋅lg5+lg5的结果为（ ）A ．5B ．2C ．1D ．0答案：C分析：根据新运算的定义和法则进行计算即可得．解：原式=lg2⋅(lg2+lg5)+lg5，=lg2⋅lg10+lg5，=lg2+lg5，=1，故选：C．小提示：本题考查了新定义下的实数运算，掌握理解新运算的定义和法则是解题关键．6、在四个实数−2，0，−√3，−1中，最小的实数是（）A．−2B．0C．−√3D．−1答案：A分析：根据实数比较大小的方法直接求解即可．解：∵−2<−√3<−1<0，∴四个实数−2，0，−√3，−1中，最小的实数是−2，故选：A．小提示：本题考查了有理数大小比较：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．7、下列说法正确的是（）A．−81平方根是−9B．√81的平方根是±9C．平方根等于它本身的数是1和0D．√a2+1一定是正数答案：D分析：A、根据平方根的概念即可得到答案；B、√81的平方根其实是9的平方根；C、平方根等于它本身的数与算术平方根是它本身的数要分清楚；D、先判断出a2+1>0，再利用算术平方根的性质直接得到答案．A、−81是负数，负数没有平方根，不符合题意；B、√81=9，9的平方根是±3，不符合题意；C、平方根等于它本身的数是0，1的平方根是±1，不符合题意；D、a2+1>0，正数的算术平方根大于0，符合题意．小提示：此题考查了平方根及算术平方根的定义及性质，熟练掌握相关知识是解题关键．8、按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（）A．m=1，n=1B．m=1，n=0C．m=1，n=2D．m=2，n=1答案：D分析：逐项代入，寻找正确答案即可.解：A选项满足m≤n，则y=2m+1=3；B选项不满足m≤n，则y=2n-1=-1；C选项满足m≤n，则y=2m+1=3；D选项不满足m≤n，则y=2n-1=1；故答案为D；小提示：本题考查了根据条件代数式求值问题，解答的关键在于根据条件正确地代入代数式及代入的值.9、−√64的立方根等于（）A．−8B．−4C．−2D．±2答案：C分析：先求出−√64=−8，再求出-8的立方根即可得．3=−2，解：∵−√64=−8，√−8∴−√64的立方根等于-2，故选：C．小提示：本题考查了立方根的意义，解题的关键是掌握立方根．10、下列说法正确的是（）A．－4是（－4）2的算术平方根B．±4是（－4）2的算术平方根C．√16的平方根是－2D．－2是√16的一个平方根答案：D分析：根据算术平方根、平方根的定义逐项判断即可得．A、(−4)2=16，16的算术平方根是4，则此项错误，不符题意；B、(−4)2=16，16的算术平方根是4，则此项错误，不符题意；C、√16=4，4的平方根是±2，则此项错误，不符题意；D、√16=4，4的平方根是±2，则−2是√16的一个平方根，此项正确，符合题意；故选：D．小提示：本题考查了算术平方根、平方根，掌握理解定义是解题关键．填空题11、根据图中呈现的运算关系，可知a=______，b=______．答案：－2020 －2020分析：根据立方根和平方根的定义进行求解即可．解：∵2020的立方根是m，a的立方根是-m，∴m3=2020，∴(−m)3=−m3=−2020，∴a=−2020；∵n的两个平方根分别为2020、b，∴b =−2020，所以答案是：-2020，-2020．小提示：本题主要考查了平方根和立方根，熟知二者的定义是解题的关键．12、比较大小：√22______√33（填写“>”或“<”或“＝”）．答案：＞分析：比较两者平方后的值即可．解：∵(√22)2=12，(√33)2=13，∵12>13， ∴ √22>√33． 所以答案是：>．小提示：本题考查了实数的大小比较，解题的关键是灵活变通，比较两者平方后的结果．13、写出一个比√2大且比√15小的整数______．答案：2（或3）分析：先分别求出√2与√15在哪两个相邻的整数之间，依此即可得到答案．∵1＜√2＜2，3＜√15＜4，∴比√2大且比√15小的整数是2或3．所以答案是：2（或3）小提示：本题主要考查了实数的大小比较，也考查了无理数的估算的知识，分别求出√2与√15在哪两个相邻的整数之间是解答此题的关键．14、若√a +13与√a 2−53互为相反数，则a 3+5a 2﹣4的值为 _____．答案：12分析：先根据相反数的定义得√a +13+√a 2−53＝0，再利用立方根的意义进行整理，最后利用整体代入的方法即可求得答案 ．解：由题意得：√a +13+√a 2−53=03∴√a+13=−√a2−5∴a+1＝﹣（a2﹣5）．∴a2+a＝4．∴a3+a2＝4a．∴a3＝﹣a2+4a．∴a3+5a2﹣4＝﹣a2+4a+5a2﹣4＝4a2+4a﹣4＝4（a2+a）﹣4＝4×4﹣4＝12．所以答案是：12.小提示：本题考查的相反数的应用，立方根的应用，解题的关键是在于整理出所需形式，利用整体代入求解．15、若实数a的立方等于27，则a=________．答案：3分析：根据立方根的定义即可得．3=3，解：由题意得：a=√27所以答案是：3．小提示：本题考查了立方根，熟练掌握立方根的运算是解题关键．解答题16、据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题：(1)已知x3=10648，且x为整数．∵1000=103<10648<1003=1000000，∴x一定是一个两位数；∵10648的个位数字是8，∴x的个位数字一定是______；划去10648后面的三位648得10，∵8=23<10<33=27，∴x的十位数字一定是______；∴x=______．(2)y3=614125，且y为整数，按照以上思考方法，请你求出y的值．答案：(1)2#，2#，22#(2)y=85分析：（1）根据立方根的定义和题意即可得出答案；（2）根据（1）中的方法计算书写即可得出结果．（1）解：∵x3=10648，且x为整数．∵1000=103<10648<1003=1000000，∴x一定是一个两位数；∵10648的个位数字是8，∴x的个位数字一定是2；划去10648后面的三位648得10，∵8=23<10<33=27，∴x的十位数字一定是2；∴x=22．所以答案是：2，2，22．（2）∵1000=103<614125<1003=100000，∴y一定是两位数；∵614125的个位数字是5，∴y的个位数字一定是5；划去614125后面的三位125得614，∵512=83<614<93=729，∴y的十位数字一定是8；∴y=85．小提示：本题考查立方根，灵活运用立方根的计算是解题的关键．17、如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到如图（2）的大正方形．问题发现若大正方形的面积为32cm2，则小正方形的面积是__________cm2，边长为___________cm；知识迁移某兴趣小组想将图（1）中的一个小正方形纸片，沿与边平行的方向剪裁出面积为12cm2，且长宽之比为3∶2的长方形纸片．兴趣小组能否剪裁出符合要求的长方形纸片？请说明理由．拓展延伸如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由．答案：问题发现：小正方形的面积为16cm2，边长为4cm知识迁移：不能裁出符合要求的长方形纸片拓展延伸：能把它剪开并拼成一个大正方形，示意图见解析，大正方形边长为√5分析：问题发现：先求出小正方形的面积，再根据正方形的面积等于边长的平方求边长；知识迁移：设长和宽分别为3x、2x，利用面积列方程，最后检验即可；拓展延伸：新的大正方形面积为5，则边长为√5，可以把它剪开并拼成一个大正方形．问题发现：小正方形的面积为32÷2=16cm2，∴小正方形的边长为4cm．所以答案是：16；4．知识迁移：设长和宽分别为3x、2x，由题意得：3x⋅2x=12，整理得：x2=2，∵实际问题x为正数，∴x=√2，∴长方形的长为3x=3√2≈5.19>4，即裁剪后的长方形的长大于小正方形的边长，∴不能裁出符合要求的长方形纸片．拓展延伸：能把它剪开并拼成一个大正方形，裁剪示意图如图所示：∵原图形的面积是5，∴裁剪后的正方形面积也是5，∴大正方形边长为√5．小提示：本题考查了算术平方根的实际应用、正方形的面积和正方形的有关画图，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键．18、求下列式子中的x ：(1)25(x ﹣35)2＝49；(2)12(x +1)2＝32． 答案：(1)x 1＝2，x 2＝−45(2)x 1＝7，x 2＝﹣9分析：（1）两边同时除以25，再开平方解一元一次方程即可；（2）方程两边同时乘以2，再开平方解一元一次方程即可．（1）解： 25（x ﹣35）2＝49，（x ﹣35）2＝4925， x ﹣35＝±75，x ﹣35＝75或x ﹣35＝﹣75，解得：x 1＝2，x 2＝−45；（2）12（x +1）2＝32， （x +1）2＝32×2，（x +1）2＝64， x +1＝±8，x +1＝8或x +1＝﹣8，解得：x 1＝7，x 2＝﹣9．小提示：此题考查了利用平方根定义解方程，正确理解并掌握平方根的定义是解题的关键．。

中考数学第六章 实数知识点及练习题含答案

中考数学第六章 实数知识点及练习题含答案

中考数学第六章 实数知识点及练习题含答案一、选择题1．已知: 表示不超过的最大整数，例:，令关于的函数 (是正整数)，例：=1，则下列结论错误．．的是（ ） A ．B ．C ．D ．或1 2．我们规定一种运算“★”，其意义为a ★b ＝a 2﹣ab ，如2★3＝22﹣2×3＝﹣2．若实数x 满足（x +2）★（x ﹣3）＝5，则x 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．5D ．﹣53．有四个有理数1，2，3，﹣5，把它们平均分成两组，假设1，3分为一组，2，﹣5分为另一组，规定：A ＝|1+3|+|2﹣5|，已知，数轴上原点右侧从左到右有两个有理数m 、n ，再取这两个数的相反数，那么，所有A 的和为（ ）A ．4mB ．4m +4nC ．4nD ．4m ﹣4n4．已知无理数7－2，估计它的值( )A ．小于1B ．大于1C ．等于1D ．小于0 5．等边△ABC 在数轴上的位置如图所示，点A 、C 对应的数分别为0和－1，若△ABC 绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B 所对应的数为1，则连续翻转2019次后，则数2019对应的点为（ ）A ．点AB ．点BC ．点CD ．这题我真的不会6．下列说法正确的是（ ）A ．14是0.5的平方根 B ．正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0 C ．27的平方根是7D ．负数有一个平方根 7．下列命题是假命题的是（ ）A ．0的平方根是0B ．无限小数都是无理数C ．算术平方根最小的数是0D ．最大的负整数是﹣1 8．在实数227-911π38中，无理数的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9．下列运算正确的是（ ） A 42=± B 222()-=- C 382-=-D ．|2|2--= 10．7和6- ）A B C + D ．-二、填空题11．若()2320m n ++-=，则m n 的值为 ____.12．观察下列各式：5=；11=；19=；a =，则a =_____．13．一个正数的平方根是21x -和2x -，则x 的值为_______．14．观察下列算式：16＋4＝20；40＋4＝44；…__________15．现定义一种新运算：对任意有理数a 、b ，都有a ⊗b=a 2﹣b ，例如3⊗2=32﹣2=7，2⊗（﹣1）=_____．16．一个数的立方等于它本身，这个数是__．17．__________0.5．（填“>”“<”或“=”）18________．19．下列说法： -10=；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，其中正确的个数有 ___________20．如果a =b 的整数部分，那么ab =_______．三、解答题21．定义：对任意一个两位数a ，如果a 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“奇异数”．将一个“奇异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为()f a例如：19=a ，对调个位数字与十位数字后得到新两位数是91，新两位数与原两位数的和为9119110+=，和与11的商为1101110÷=，所以()1910f =根据以上定义，完成下列问题：（1）填空：①下列两位数：10，21，33中，“奇异数”有 .②计算：()15f = .()10f m n += .（2）如果一个“奇异数”b 的十位数字是k ，个位数字是21k -，且()8f b =请求出这个“奇异数”b（3）如果一个“奇异数”a 的十位数字是x ，个位数字是y ，且满足()510a f a -=，请直接写出满足条件的a 的值．22．对于实数a ，我们规定：用符号为a 的根整数，例如：3=，=3．(1)仿照以上方法计算：=______；=_____．(2)若1=，写出满足题意的x 的整数值______．如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次3=→=1，这时候结果为1． (3)对100连续求根整数，____次之后结果为1．(4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是____．23．对于有理数a ，b ，定义运算：a ⊕b ＝ab －2a －2b ＋1.(1)计算5⊕4的值；(2)计算[(－2)⊕6]⊕3的值；(3)定义的新运算“⊕”交换律是否还成立？请写出你的探究过程．24．定义☆运算：观察下列运算：两数进行☆运算时，同号 ，异号 ．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算, ．（2）计算：（﹣11）☆ [0☆（﹣12）]＝ ．（3）若2×（﹣2☆a ）﹣1＝8，求a 的值．25．已知32x y --的算术平方根是3，26x y +-的立方根是的整数部分是z ，求42x y z ++的平方根．26．是无理数，而无理数是无限不循环小数，﹣1的小数部的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分又例如：因为2＜3的整数部分为2﹣2） 请解答：（1）10的整数部分是，小数部分是；（2）如果5的小数部分为a，13的整数部分为b，求a+b﹣5的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】根据新定义的运算逐项进行计算即可做出判断.【详解】A. ==0-0=0，故A选项正确，不符合题意；B. ===，=，所以，故B选项正确，不符合题意；C. =，= ，当k=3时，==0，= =1，此时，故C选项错误，符合题意；D.设n为正整数，当k=4n时，==n-n=0，当k=4n+1时，==n-n=0，当k=4n+2时，==n-n=0，当k=4n+3时，==n+1-n=1，所以或1，故D选项正确，不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了新定义运算，明确运算的法则，运用分类讨论思想是解题的关键.2．B【分析】根据a ★b=a 2-ab 可得（x+2）★（x -3）=（x+2）2-（x+2）（x -3），进而可得方程：（x+2）2-（x+2）（x -3）=5，再解方程即可．【详解】解：由题意得：（x+2）2-（x+2）（x -3）=5，x 2+4x+4-（x 2-x -6）=5，x 2+4x+4-x 2+x+6=5，5x=-5，解得：x=-1，故选：B ．【点睛】此题主要考查了实数运算，以及解方程，关键是正确理解所给条件a ★b=a 2-ab 所表示的意义．3．C解析：C【分析】根据题意得到m ，n 的相反数，分成三种情况⑴m ，n ；-m ，-n ⑵m ，-m ；n ，-n ⑶m ，-n ；n ，-m 分别计算，最后相加即可.【详解】解：依题意，m ，n （m ＜n ）的相反数为﹣m ，﹣n ，则有如下情况：m ，n 为一组，﹣m ，﹣n 为一组，有A ＝|m +n |+|（﹣m ）+（﹣n ）|＝2m +2nm ，﹣m 为一组，n ，﹣n 为一组，有A ＝|m +（﹣m ）|+|n +（﹣n ）|＝0m ，﹣n 为一组，n ，﹣m 为一组，有A ＝|m +（﹣n ）|+|n +（﹣m ）|＝2n ﹣2m所以，所有A 的和为2m +2n +0+2n ﹣2m ＝4n故选：C ．【点睛】本题主要考查了新定义的理解，注意分类讨论是解题的关键.4．A解析：A【分析】首先根据479<<可以得出23<<2的范围即可. 【详解】∵23<<，∴22232-<<-，∴021<<，2-的值大于0，小于1.所以答案为A 选项.本题主要考查了无理数的估算，熟练找出无理数的整数范围是解题关键.5．A解析：A【分析】根据题意得出每3次翻转为一个循环，2019能被3整除说明跟翻转3次对应的点是一样的.【详解】翻转1次后，点B所对应的数为1，翻转2次后，点C所对应的数为2翻转3次后，点A所对应的数为3翻转4次后，点B所对应的数为4经过观察得出：每3次翻转为一个循环÷=∵20193673∴数2019对应的点跟3一样，为点A.故选：A.【点睛】本题是一道找规律的题目，关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题.6．B解析：B【分析】根据0.5是0.25的一个平方根可对A进行判断；根据一个正数的平方根互为相反数可对B 进行判断；根据平方根的定义对C、D进行判断．【详解】A、0.5是0.25的一个平方根，所以A选项错误；B、正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0，所以B选项正确；C、72的平方根为±7，所以C选项错误；D、负数没有平方根．故选B．【点睛】本题考查了平方根：若一个数的平方定义a，则这个数叫a的平方根，记作a≥0）；0的平方根为0．7．B解析：B【分析】分别根据平方根的定义、无理数的定义、算术平方根的定义、负整数逐一判断即可．【详解】解：A、0的平方根为0，所以A选项为真命题；B、无限不循环小数是无理数，所以B选项为假命题；C 、算术平方根最小的数是0，所以C 选项为真命题；D 、最大的负整数是﹣1，所以D 选项为真命题．故选：B ．【点睛】本题考查平方根的定义、无理数的定义、算术平方根和负整数，掌握无理数指的是无限不循环小数是解题的关键．8．B解析：B【解析】分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．详解：无理数有：11、π共2个． 故选B ．点睛：本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有特定规律的数． 9．C解析：C【分析】 分别计算四个选项，找到正确选项即可．【详解】A. 42=，故选项A 错误；B. 2(2)42-==，故选项B 错误；C. 3338(2)=2-=--，故选项C 正确；D. |2|2--=-，故选项D 错误；故选C ．【点睛】本题主要考查了开平方、开立方和绝对值的相关知识，熟练掌握各知识点是解题的关键．10．C解析：C【分析】在数轴上表示7和-6，7在右边，-6在左边，即可确定两个点之间的距离．【详解】如图，7和67在右边，6在左边，和-（）．故选：C．【点睛】本题考查了数轴，可以发现借助数轴有直观、简捷，举重若轻的优势．二、填空题11．【分析】根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】由题意得，m+3=0，n-2=0，解得m=-3，n=2，所以，mn=（-3）2=9．故答案为9．【解析：【分析】根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】由题意得，m+3=0，n-2=0，解得m=-3，n=2，所以，m n=（-3）2=9．故答案为9．【点睛】此题考查绝对值和算术平方根非负数的性质，解题关键在于掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．12．181【分析】观察各式得出其中的规律，再代入求解即可．【详解】由题意得将代入原式中故答案为：181．【点睛】本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．解析：181n=求解即可．观察各式得出其中的规律，再代入12【详解】由题意得()31=⨯++n nn=代入原式中将12a==⨯+=12151181故答案为：181．【点睛】本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．13．-1【分析】根据“一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数”列出方程求解即可．【详解】解：∵一个正数的平方根是2x-1和2-x，∴2x-1+2-x=0，解得：x=-1．故答案为：-解析：-1【分析】根据“一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数”列出方程求解即可．【详解】解：∵一个正数的平方根是2x-1和2-x，∴2x-1+2-x=0，解得：x=-1．故答案为：-1．【点睛】本题主要考查的是平方根的性质以及解一元一次方程，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．14．【分析】根据题目数据，计算结果等于首尾两个偶数的乘积的平方的算术平方根再加上16的算术平方根，依此进行计算即可．【详解】解：==1084．故答案为：1084．【点睛】解析：【分析】根据题目数据，计算结果等于首尾两个偶数的乘积的平方的算术平方根再加上16的算术平方根，依此进行计算即可．【详解】==1080+4=1084．故答案为：1084．【点睛】本题考查了算术平方根，读懂题目信息，观察出计算结果等于首尾两个偶数的乘积加上4是解题的关键．15．5【解析】利用题中的新定义可得：2⊗（﹣1）=4﹣（﹣1）=4+1=5.故答案为：5．点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．解析：5【解析】利用题中的新定义可得：2⊗（﹣1）=4﹣（﹣1）=4+1=5.故答案为：5．点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．0或±1．【分析】根据立方的定义计算即可．【详解】解：∵（﹣1）3＝﹣1，13＝1，03＝0，∴一个数的立方等于它本身，这个数是0或±1．故答案为：0或±1．【点睛】本题考查了乘方的解析：0或±1．【分析】根据立方的定义计算即可．解：∵（﹣1）3＝﹣1，13＝1，03＝0，∴一个数的立方等于它本身，这个数是0或±1．故答案为：0或±1．【点睛】本题考查了乘方的定义，熟练掌握立方的定义是解题关键，注意本题要分类讨论，不要漏数．17．＞【分析】首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小．【详解】∵，∵-2＞0，∴＞0．故＞0.5．故答案为：＞.【点睛】此题考查实数大小比较，解题关键在于解析：＞【分析】首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小．【详解】12＞0，＞0．＞0.5．故答案为：＞.【点睛】此题考查实数大小比较，解题关键在于掌握比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．18．6【分析】求出在哪两个整数之间，从而判断的整数部分．∵，，又∵36＜46＜49∴6＜＜7∴的整数部分为6故答案为：6【点睛】本题考查无理数的估算，正确掌握整数的平方数是解解析：6【分析】的整数部分．【详解】∵246=，2636=，2749=又∵36＜46＜49∴6＜76故答案为：6【点睛】本题考查无理数的估算，正确掌握整数的平方数是解题的关键．19．2个【分析】①根据算术平方根的性质即可判定；②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；③根据平行线的性质即可判断；根据平行公理的推论对④进行判断；⑤根据无理数的性质即可判定；⑥根据无理数的定义即解析：2个【分析】①根据算术平方根的性质即可判定；②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；③根据平行线的性质即可判断；根据平行公理的推论对④进行判断；⑤根据无理数的性质即可判定；⑥根据无理数的定义即可判断．【详解】①10=，故①错误； ②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确；③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；故原说法错误； ④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原说法错误；与的和是0，是有理数，故说法错误；⑥无理数都是无限小数，故说法正确．故正确的是②⑥共2个．故答案为：2个．【点睛】此题主要考查了有理数、无理数、实数的定义及其关系．有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无π也是无理数．20．12【分析】先根据算术平方根的定义求出a的值，再根据无理数的估算得出b的值，然后计算有理数的乘法即可．【详解】，即的整数部分是2，即则故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根的解析：12【分析】先根据算术平方根的定义求出a的值，再根据无理数的估算得出b的值，然后计算有理数的乘法即可．【详解】6a==<<479<<<<23∴b=的整数部分是2，即2ab=⨯=则6212故答案为：12．【点睛】本题考查了算术平方根的定义、无理数的估算，根据无理数的估算方法得出b的值是解题关键．三、解答题21．（1）①21，②6，m n +；（2）35b =；（3）65a =【分析】（1）①由“奇异数”的定义可得；②根据定义计算可得；（2）由f （10m+n ）=m+n ，可求k 的值，即可求b ；（3）根据题意可列出等式，可求出x 、y 的值，即可求a 的值.【详解】解：（1）①∵对任意一个两位数a ，如果a 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“奇异数”．∴“奇异数”为21；②f （15）=（15+51）÷11=6，f （10m+n ）=（10m+n+10n+m ）÷11=m+n ；（2）∵f （10m+n ）=m+n ，且f （b ）=8∴k+2k-1=8∴k=3∴b=10×3+2×3-1=35；（3）根据题意有()f a x y =+∵()510a f a -=∴()10510x y x y +-+=∴5410x y -=∵x 、y 为正数，且x≠y∴x=6，y=5∴a=6×10+5=65故答案为：（1）①21，②6，m n +；（2）35b =；（3）65a =【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，能理解“奇异数”定义是本题的关键．22．（1）2；5；（2）1，2，3；（3）3；（4）255【分析】（1（2）根据定义可知x ＜4，可得满足题意的x 的整数值；（3）根据定义对120进行连续求根整数，可得3次之后结果为1；（4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．【详解】解：（1）∵22=4， 62=36，52=25,∴5＜6，∴]=[2]=2，]=5，故答案为2，5；（2）∵12=1，22=4，且]＝1，∴x=1，2，3，故答案为1，2，3；（3）第一次：，第二次：，第三次：，故答案为3；（4）最大的正整数是255，理由是：∵，，]=1，∴对255只需进行3次操作后变为1，∵，，]=2，]=1，∴对256只需进行4次操作后变为1，∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，故答案为255．【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力．23．(1)3；(2)－24；(3)成立．【解析】【分析】（1）按照给定的运算程序，一步一步计算即可；（2）先按新定义运算，先计算（-2）⊕6、再将所得结果-19与3计算规定运算可得；（3）成立，按新定义分别运算即可说明理由．【详解】(1)5⊕4＝5×4－2×5－2×4＋1＝20－10－8＋1＝2＋1＝3.(2)原式＝[－2×6－2×(－2)－2×6＋1]⊕3＝(－12＋4－12＋1)⊕3＝－19⊕3＝－19×3－2×(－19)－2×3＋1＝－24.(3)成立．∵a⊕b＝ab－2a－2b＋1，b⊕a＝ab－2b－2a＋1，∴a⊕b＝b⊕a，∴定义的新运算“⊕”交换律还成立．【点睛】此题是定义新运算题型．直接把对应的数字代入所给的式子可求出所要的结果．24．（1）得正，再把绝对值相加；得负，再把绝对值相加；等于这个数的绝对值；（2）-23；（3）a=-52 【分析】（1）通过观察表中各算式，然后从两数的符号关系或是否有0出发归纳出☆运算的法则； （2）根据（1）归纳的☆运算的法则进行计算，注意先算括号内的，再与括号外的计算； （3）根据（1）归纳出的运算法则对a 的取值进行分类讨论即可得到答案．【详解】(1)由表中各算式，可以得到：同号得正，再把绝对值相加； 异号得负，再把绝对值相加；特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算,结果等于这个数的绝对值； （2）由（1）归纳的☆运算的法则可得：原式=（﹣11）☆|-12|=（﹣11）☆12= -（|（﹣11）|+|12|）= -23；（3）①当a=0时，左边=()22012213⨯--=⨯-=☆，右边=8，两边不相等，∴a≠0； ②当a>0时，2×（﹣2☆a）﹣1＝2×[-（2+a ）]﹣1＝8,可解得132a =-（舍去）， ③当a<0时，2×（﹣2☆a）﹣1＝2×（|﹣2|+|a|）﹣1＝8，可解得a=52-， 综上所述：a=-52． 【点睛】本题考查新定义的实数运算，通过观察实例归纳出运算规律是解题关键． 25．6±【分析】根据算术平方根、立方根的定义列出二元一次方程组，之后对方程组进行求解，得到x 和y 的值，再根据题意得到z 的值，即可求解本题．【详解】解：由题意可得3x 29268y x y --=⎧⎨+-=⎩， 解得54x y =⎧⎨=⎩，36<<67∴<<，6z ∴=，424542636∴++=⨯++⨯=x y z ，故42x y z ++的平方根是6±．【点睛】本题考查了平方根、立方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根、算术平方根的定义．26．（1）3，﹣3；（2）1．【分析】<解答即可；（1）根据34（2）根据23得出a，根据34得出b，再把a，b的值代入计算即可．【详解】<<，（1）∵343﹣3，故答案为：3﹣3；（2）∵23，a2，∵34，∴b＝3，a+b2+31．【点睛】此题考查无理数的估算，正确掌握数的平方是解题的关键.。

《第6章实数》知识清单含例题+期末专题复习试卷(含答案).doc

《第6章实数》知识清单含例题+期末专题复习试卷(含答案).doc

2018年七年级数学下册实数知识清单+经典例题+专题复习试卷1、 定义：如果一个正数X 的平方等于a,即工=。

那么，这正数x 叫做a 的算术平方根。

记作氐 读作“根号屮。

a 叫做被开 算术平方根*方数，规定0的算术平方根还是0o2、 性质:双重非员性(a h 0,需X 0 )。

负数没有算术平方根。

'3、J 产=\a\ (a是任意数力(7^)2 =a (B 是非员数)。

1、定义：如果一个数X 的平方等于4即乂2 =4。

那么，这个X叫做a 的平方根。

记作土需，读作“正、员根号屮。

a 叫做被幵 方数。

规定0的算术平方根还是0o2、 性质：(1)正数有两个平方根，它们互为相反数。

(2) 0的平方根是0。

员数没有平方根。

3、 未知数次数是两次的方程，结果一般都有两个值。

72^1.414, 73^1.732,少恐2.236, J7俎26461、走义：如果一个数x 的立方等于匕 即x 3 =a o 那么，这个x 叫做a 的立方根。

记作砺，读作“三次根号护。

a 叫做被开方数。

2、性质：(1)正数的立方根是正数，员数的立方根是员数，0的立方根是0。

(2)1卜a 取任意数(3) (佝=° J分数(有理数和分数是相同的概念)rI 无限循环小数'1、开方开不尽的方根无理数无限不循环小数彳2、圆周率兀以及含有兀、3、具有特定结构的数(0.010010001……)有理数』r 正整数员整数(可以看成分母是1的分数)正实数o员实数有限小数平方根立方根【经典例题1】1、下列说法错误的是（）4、若 a 2=4, b 2=9,且 ab<0,B. ±55、 设边长为3的正方形的对角线长为a.下列关于a 的四种说法： ®a 是无理数； ②a 可以用数轴上的一个点來表示；③3<a<4； ④a 是18的算术平方根.其中，所有正确说法的序号是 （ ）A.①④B.②③C.①②④D.①③④ 6、 已知实数x 、y 满足心- l+|y+3|=0,则x+y 的值为（ ） A. -2B. 2C.4D. -4【经典例题3】7、 一个自然数的算术平方根为a,则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ）A. a+1B. a 2+lC.寸/+1Va+1f x 二 2f inx+ny=88、 已知■是二元一次方程组｛、的解，则加・n 的算术平方根为（ ）\ y=l[nx - iny^lA. ±2B. V2C. 2D. 49、 有一个数值转换器，原理如下：A. 5是25的算术平方根 C. （-4）2的平方根是一4 2、下列各式中，正确的是（）B. 1是1的一个平方根 D. 0的平方根与算术平方根都是0B.-佇二 _ 3C.寸(±3严二 ±3D.佇二 ±33、716的平方根是（A. ±2【经典例题2】B. 2C. — 2D. 16C. 5A. 2B. 8当输入的x=64时，输出的y 等于（）【经典例题4】10、平方等于16的数是________ ;立方等于本身的数是_______________________ •11、一个数的立方根是4,这个数的平方根是______________ ,12、若一2x ra_n y2与3x7^是同类项，则m-3n的立方根是_____________ .【经典例题5】13、求x 的值：25(X+1)2=16；14、求y 的值：(2y-3) 2 - 64=0；15、计算:^4-23-|-2|X(-7+5) 16、计算：舗一血+ 乂-3)' -磁-2【经典例题6】17、已知实数a, b在数轴上的位置如图所示，化简：寸(fl) 4-1)并|a・b|. -------- ------- 1---------------- 1 ----- >・ 1^0 b 118、阅读理解7 >^<75 <79* 即2<V5<3» A1<V5-1<2-・••厉_1的整数部分为1,小数部分为厉_2・解决问题：己知a是JI7-3的整数部分，D是的小数部分，求(-a)"+(b + 4)2的平方根.参考答案1、c；2、B3、A4、B5、C6、A7、B8、C9、D10、±4, 0, ±111、&-812、213、x = -0. 2, x=-l. 8；14、y=5. 5 或y= - 2. 5；15、10 ；16、-2；17、解：由数轴上点的位置关系，得-l<a<0<b<l.原式二a+1+2 - 2b - b+a=2a - 3b+3.18、由题意，得幺=1，i = T17-4 所以（一幺尸 + 0+4）2 = （-1尸 + （何_4+4）2 = 16 即+ @ + 4）2的平方根为±牛2018年 七年级数学下册 实数 期末复习试卷一、选择题:1、下列语句中正确的是（C. 9的算术平方根是±3D. 9的算术平方根是3设边长为3的正方形的对角线长为a.下列关于a 的I 川种说法: ①a 是无理数; ②a 可以用数轴上的一个点來表示; @3<a<4；④a 是18的算术平方根.其中，所有正确说法的序号是（) A.①④B.②③C.①②④ D.①③④7、负的算术平方根是（ ）A. ±6B. 6C. ±A /6D. V68、下列各数中,3. 14159,-饭,0.3131131113- （2016春•潮州期末）下列各式表示正确的是9、己知实数x 、y 满足Jx=l+1 y+31二0,则x+y 的值为（）10、若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ）A.・9的平方根是・3B. 9的平方根是3 2、下列结论正确的是（A- -{(-6)2二-6 B.(~{5)2二9 C. 7(~16) 2=± 16 D.-(2,16 ^25A- 4、 下列关于祈的说法中，错误的是（ 灵是8的算术平方根 B. 2＜品＜3 下列各组数中互为相反数的一组是（)C. 78= ±2^2D.灵是无理数A. ■⑵与寻PB.・4与・{(-4)2C.D. P 与法5^如果际〒二2. 872, ^3700 =28.72,则勺0・023厂（A. 0. 2872B. 28. 72C. 2. 872D. 0.02872 6、 B. ±725=5A. - 2B. 2C. 4（ ）lk •估计— 1在（）A. 0〜1之间•B. 1〜2之间C. 2〜3之间D. 3〜4之间12、实数纸b在数轴上对应点的位置如图，则|a-b| -肯的结果是（）•••Aa b0A. 2a - bB. b - 2aC. bD. - b二、填空题：13、（-9）2的算术平方根是_.14、如图，在数轴上点A和点B之间的整数是_________ .15^ 己知（x - 1） 2二3,则x= _ .16、如杲丽二1.732, A/30 =5.477,那么0. 0003的平方根是________ .17、若3、b互为相反数，c、d互为负倒数，则石匸尹+畅= _______________ •18、已知a, b为两个连续的整数，且a<V8<b,则a+b二____________ .三、解答题：19、求x 的值：9（3x - 2尸二64. 20、求x 的值：（5- 3x?=—4921、计算：7132-12222、计算：（亦尸+旷爾一加2一炉.23、已知x・1的平方根为±2, 3x+y・1的平方根为±4,求3x+5y的算术平方根.24、已知2a-l的平方根是±3, 3a+b_9的立方根是2, c是妬的整数部分，求a + 2D+f的值•25、阅读下面的文字，解答问题：大家知道迈是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此迈的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用屁-1来表示典的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为近的整数部分是1,将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.又例如：・・・2'<7<3,即2<听<3,・••听的整数部分为2,小数部分为听・2.请解答：(1)Vio的整数部分是__________ ,小数部分是 _________ .(2)如果衍的小数部分为a, 荷的整数部分为b,求a+br/^的值；(3)己知：x是3+^5的整数部分，y是其小数部分，请直接写出X- y的值的相反数.26、若实数a, b, c 在数轴上所对应点分别为A, B, C, a 为2的算术平方根，b 二3, C 点是A 点关 于B点的对称点，（1） 求数轴上AB 两点之间的距离； （2） 求c 点对应的数；27、已知字母a 、b 满足亦二+的_21 1 1 1~ab @ + 1)@ + 1)@+2)@ + 2)… @ + 2011)@ + 2001)第X 页共1（）页（3） 3的整数部分为x, c 的小数部分为y,求2x^+2》的值（结果保留带根号的形式）的值.1、 D2、 A3、 C4、 C5、 A6、 C7、 D8、 C9、 A 10、 11、 12、 C 13、 9.14、 答案为：2. 15、 答案为：土近+1. 16、 ±0.01732. 17、 -118、 答案为：5.149 19、 开平方得：3 (3x-2)二±8 解得：Xi=—, x 2= - -T .9920、§或兰7 2116 T -10； 23、5 24、a=5, b 二2, c 二7, a + 2&+u 二 16・(2) V4<5<9,・・・2<任<3,即沪旋 ・2, V36<37<49, A6<V37<7,即 b 二6,贝lj a+b ・ 丽二4；(3) 根据题意得：x=5, y=3+{^ - 5二- 2,・；x - y=7 - 其相反数是A /5 - 7.26、(1) 3; (2) 6；72 ⑶尸2—屈.21、参考答案21、22、25、 解: (1) V10的整数部分是3,小数部分是V10- 3；故答案为：3； V10- 3；•解;、「7/o,丑-1~ o且-f 二o'弋鳥解得伫°b十@H"賊斗3化X昭十• • •十莎丽莎和 -丄丄亠」一-2 +A3十3*卩十・・・十二卜亍+土一土+》* +・・•十二 /_ Zo/27。

初中数学第六章 实数知识点及练习题含答案(1)

初中数学第六章实数知识点及练习题含答案(1)一、选择题1．已知: 表示不超过的最大整数，例: ，令关于的函数(是正整数)，例：=1，则下列结论错误．．的是（）A．B．C．D．或12．下列式子正确的是（）A．25＝±5 B．81＝9C．2(10)-＝﹣10 D．±9＝33．表面积为12dm2的正方体的棱长为（）A．2dm B．22dm C．1dm D．2dm4．下列说法错误的是（）A．a2与（﹣a）2相等B．3-与33a互为相反数3()aC．3a与3a-互为相反数D．|a|与|﹣a|互为相反数5．下列命题中，真命题是（）A．实数包括正有理数、0和无理数B．有理数就是有限小数C．无限小数就是无理数D．无论是无理数还是有理数都是实数6．在有理数中，一个数的立方等于这个数本身，这种数的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4-的值（）7．估算381A．在6和7之间B．在5和6之间C．在4和5之间D．在7和8之间8．如图，若实数m＝﹣7+1，则数轴上表示m的点应落在（）A．线段AB上B．线段BC上C．线段CD上D．线段DE上+的平方根是（）9．若m、n满足()21150-+-=，则m nm nA．4±B．2±C．4D．210．3的平方根是（）A．±3B．9 C．3D．±9二、填空题11．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b=．例如：(-3)☆2=32322-++-- = 2．从﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，中任选两个有理数做a ，b(a≠b)的值，并计算a ☆b ，那么所有运算结果中的最大值是_____． 12．实数,,a b c 在数轴上的点如图所示，化简()()222a a b c b c ++---=__________．13．a 是10的整数部分，b 的立方根为-2，则a+b 的值为________． 14．观察下列各式： (1)123415⨯⨯⨯+=； (2)2345111⨯⨯⨯+=； (3)3456119⨯⨯⨯+=；根据上述规律，若121314151a ⨯⨯⨯+=，则a =_____． 15．观察下列算式：①246816⨯⨯⨯+＝2(28)⨯＋16＝16＋4＝20； ②4681016⨯⨯⨯+＝2(410)⨯＋16＝40＋4＝44；… 根据以上规律计算：3032343616⨯⨯⨯+＝__________ 16．写出一个大于3且小于4的无理数：___________． 17．27的立方根为 ．18．如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达O '点，那么O '点对应的数是______．你的理由是______．19．202044.9444≈⋯20214.21267≈⋯20.2（精确到0．01）≈__________．20．任何实数，可用[a]表示不超过a 的最大整数如[4]＝4，5＝2，现对72进行如下操作：72[72]8[8]2[2]1→=→=→=，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对正整数x 只进行3次操作后的结果是1，则x 在最大值是_____．三、解答题21．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果a x =N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：x =log a N ，例如：32=9，则log 39=2，其中a =10的对数叫做常用对数，此时log 10N 可记为lgN ．当a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0时，log a (M •N )=log a M +log a N ． (I )解方程：log x 4=2； (Ⅱ)log 28=(Ⅲ)计算：(lg 2)2+lg 2•1g 5+1g 5﹣2018= (直接写答案)22．对于实数a,我们规定用{a }表示不小于a 的最小整数，称{a}为 a 的根整数.如{10}=4. (1)计算{9}=？(2)若{m}=2,写出满足题意的m 的整数值；(3)现对a 进行连续求根整数，直到结果为2为止．例如对12进行连续求根整数，第一次{12}=4,再进行第二次求根整数{4}=2,表示对12连续求根整数2次可得结果为2.对100进行连续求根整数， 次后结果为2.23．已知32x y --的算术平方根是3，26x y +-的立方根是2,37的整数部分是z ，求42x y z ++的平方根．24．（1）如图，分别把两个边长为1cm 的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成一个大正方形，则大正方形的边长为_______cm ；（2）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是22cm π，设圆的周长为C 圆，正方形的周长为C 正，则C 圆_____C 正（填“=”或“<”或“>”号）；（3）如图，若正方形的面积为2400cm ，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为2300cm 的长方形纸片，使它的长和宽之比为3:2，他能裁出吗？请说明理由？25．已知2a -的平方根是2±，33a b --的立方根是3，整数c 满足不等式81c c <+． （1）求,,a b c 的值．（2）求2232a b c ++的平方根．26．如果有一列数，从这列数的第2个数开始，每一个数与它的前一个数的比等于同一个非零的常数，这样的一列数就叫做等比数列（Geometric Sequences ）．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示（q ≠0）．（1）观察一个等比列数1，1111,,,24816，…，它的公比q＝；如果a n（n为正整数）表示这个等比数列的第n项，那么a18＝，a n＝；（2）如果欲求1+2+4+8+16+…+230的值，可以按照如下步骤进行：令S＝1+2+4+8+16+…+230…①等式两边同时乘以2，得2S＝2+4+8+16++32+…+231…②由② ﹣①式，得2S﹣S＝231﹣1即（2﹣1）S＝231﹣1所以3131212121S-==--请根据以上的解答过程，求3+32+33+…+323的值；（3）用由特殊到一般的方法探索：若数列a1，a2，a3，…，a n，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，请用含a1，q，n的代数式表示a n；如果这个常数q≠1，请用含a1，q，n的代数式表示a1+a2+a3+…+a n．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】根据新定义的运算逐项进行计算即可做出判断.【详解】A. ==0-0=0，故A选项正确，不符合题意；B. ===，=，所以，故B选项正确，不符合题意；C. =，= ，当k=3时，==0，= =1，此时，故C选项错误，符合题意；D.设n为正整数，当k=4n时，==n-n=0，当k=4n+1时，==n-n=0，当k=4n+2时，==n-n=0，当k=4n+3时，==n+1-n=1，所以或1，故D选项正确，不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了新定义运算，明确运算的法则，运用分类讨论思想是解题的关键.2．B解析：B【分析】根据平方根、算术平方根的定义求出每个式子的值，再进行判断即可．【详解】A255，故选项A错误；B819，故选项B正确；C2-100＝10，故选项C错误；(10)D、9＝±3，故选项D错误．故选：B．【点睛】本题主要考查平方根和算术平方根，解题的关键是掌握平方根和算术平方根的定义与性质．3．A解析：A【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，解答即可．【详解】解：根据正方体的表面积公式：S＝6a2，可得：6a2＝12，解得：a2．2dm．故选：A．【点睛】此题主要考查正方体的表面积公式的灵活运用，解题的关键是根据公式进行计算．4．D解析：D利用平方运算，立方根的化简和绝对值的意义，逐项判断得结论．【详解】∵（﹣a）2＝a2，∴选项A说法正确；a＝a，互为相反数，故选项B说法正确；互为相反数，故选项C说法正确；∵|a|＝|﹣a|，∴选项D说法错误．故选：D．【点睛】此题主要考查了绝对值的意义，平方运算及立方根的化简．掌握立方根的化简和绝对值的意义是解决本题的关键．5．D解析：D【分析】直接利用实数以及有理数、无理数的定义分析得出答案．【详解】A、实数包括有理数和无理数，故此命题是假命题；B、有理数就是有限小数或无限循环小数，故此命题是假命题；C、无限不循环小数就是无理数，故此命题是假命题；D、无论是无理数还是有理数都是实数，是真命题．故选：D．【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确掌握相关定义是解题关键．6．C解析：C【分析】设这个数为x, 根据题意列出关于x的方程,求出方程的解即可．【详解】=，解：设这个数为x，根据题意得：3x x解得：x=0或-1或1，共3个；故选：C．【点睛】此题考查了有理数的立方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．解析：B【分析】利用36＜38＜49得到671进行估算．【详解】解：∵36＜38＜49，∴67，∴51＜6．故选：B．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．B解析：B【分析】+1的取值范围进而得出答案．【详解】<<解：∵实数m，23∴﹣2＜m＜﹣1，∴在数轴上，表示m的点应落在线段BC上．故选：B．【点睛】9．B解析：B【分析】根据非负数的性质列式求出m、n，根据平方根的概念计算即可．【详解】由题意得，m-1=0，n-15=0，解得，m=1，n=15，=4,4的平方根的±2，故选B．【点睛】考查的是非负数的性质、平方根的概念，掌握非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．10．A解析：A直接根据平方根的概念即可求解． 【详解】解：∵（2＝3，∴3的平方根是为． 故选A ． 【点睛】本题主要考查了平方根的概念，比较简单．二、填空题 11．8 【解析】解：当a ＞b 时，a☆b= =a，a 最大为8；当a ＜b 时，a☆b==b，b 最大为8，故答案为：8．点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．解析：8 【解析】解：当a ＞b 时，a ☆b =2a b a b++- =a ，a 最大为8；当a ＜b 时，a ☆b =2a b a b++-=b ，b 最大为8，故答案为：8．点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．0 【分析】由数轴可知，，则，即可化简算术平方根求值. 【详解】解：由数轴可知，， 则， ，故答案为：0. 【点睛】此题考查数轴上数的大小关系，算术平方根的性质，整式的加减计算.解析：0 【分析】由数轴可知，0b c a <<<，则0,0a b b c +<-<，即可化简算术平方根求值. 【详解】解：由数轴可知，0b c a <<<， 则0,0a b b c +<-<，||()()0c a a b c b c a a b c b c =-+++-=--++-=，故答案为：0. 【点睛】此题考查数轴上数的大小关系，算术平方根的性质，整式的加减计算.13．-5 【解析】 ∵32<10<42, ∴的整数部分a=3, ∵b 的立方根为-2, ∴b=-8, ∴a+b=-8+3=-5. 故答案是：-5.解析：-5 【解析】 ∵32<10<42,a=3, ∵b 的立方根为-2, ∴b=-8, ∴a+b=-8+3=-5. 故答案是：-5.14．181 【分析】观察各式得出其中的规律，再代入求解即可． 【详解】 由题意得将代入原式中故答案为：181． 【点睛】本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．解析：181 【分析】观察各式得出其中的规律，再代入12n =求解即可．【详解】由题意得()31=⨯++n nn=代入原式中将12a==⨯+=12151181故答案为：181．【点睛】本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．15．【分析】根据题目数据，计算结果等于首尾两个偶数的乘积的平方的算术平方根再加上16的算术平方根，依此进行计算即可．【详解】解：==1080+4=1084．故答案为：1084．【点睛】解析：【分析】根据题目数据，计算结果等于首尾两个偶数的乘积的平方的算术平方根再加上16的算术平方根，依此进行计算即可．【详解】==1080+4=1084．故答案为：1084．【点睛】本题考查了算术平方根，读懂题目信息，观察出计算结果等于首尾两个偶数的乘积加上4是解题的关键．16．如等，答案不唯一．【详解】本题考查无理数的概念.无限不循环小数叫做无理数.介于和之间的无理数有无穷多个，因为，故而9和16都是完全平方数，都是无理数.解析：π等，答案不唯一．本题考查无理数的概念.无限不循环小数叫做无理数.介于3和4之间的无理数有无穷多个，因为2239,416==，故而9和16,15都是无理数. 17．3【解析】找到立方等于27的数即可．解：∵33=27，∴27的立方根是3，故答案为3．考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算 解析：3【解析】找到立方等于27的数即可．解：∵33=27，∴27的立方根是3，故答案为3．考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算18．π 圆的周长=π•d=1×π=π【分析】直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，说明OO′之间的距离为圆的周长=π，由此即可确定O′点对应的数．【详解】因为圆的周长为π解析：π 圆的周长=π•d=1×π=π【分析】直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，说明OO′之间的距离为圆的周长=π，由此即可确定O′点对应的数．【详解】因为圆的周长为π•d=1×π=π，所以圆从原点沿数轴向右滚动一周OO'=π．故答案为：π，圆的周长=π•d=1×π=π.【点睛】此题考查实数与数轴，解题关键在于注意：确定点O′的符号后，点O′所表示的数是距离原点的距离．19．50【分析】根据算术平方根小数点移动的规律解答.∵20.2是2020的小数点向左移动了两位，∴应是的小数点向左移动一位得到的，∴，故答案为：4.50.【点睛】此题考查算术平解析：50【分析】根据算术平方根小数点移动的规律解答.【详解】∵20.2是2020的小数点向左移动了两位，的小数点向左移动一位得到的，04.5≈，故答案为：4.50.【点睛】此题考查算术平方根小数点的移动规律，熟记规律是解题的关键.20．255【分析】根据规律可知，最后的取整是1，则操作前的一个数字最大是3，再向前一步推，操作前的最大数为15，再向前一步推，操作前的最大数为255；据此得出答案即可．【详解】解：∵，，，∴只解析：255【分析】根据规律可知，最后的取整是1，则操作前的一个数字最大是3，再向前一步推，操作前的最大数为15，再向前一步推，操作前的最大数为255；据此得出答案即可．【详解】解：∵1=，3=，15=，∴只进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，故答案为：255．【点睛】本题考查了估算无理数大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力．三、解答题21．(I) x=2；(Ⅱ) 3； (Ⅲ) -2017.【分析】(I)根据对数的定义，得出x2=4，求解即可；(Ⅱ)根据对数的定义求解即；；(Ⅲ)根据log a(M•N)=log a M+log a N求解即可．【详解】(I)解：∵log x4=2，∴x2=4,∴x=2或x=-2(舍去)(Ⅱ)解：∵8=23，∴log28=3,故答案为3；(Ⅲ)解：(lg2)2+lg2•1g5+1g5﹣2018= lg2•( lg2+1g5) +1g5﹣2018= lg2 +1g5﹣2018=1-2018=-2017故答案为-2017.【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，有理数的乘方，是一道关于新定义运算的题目，解答本题的关键是理解给出的对数的定义．22．(1)3；(2)2，3，4(3)3【分析】（1的大小，再根据新定义可得结果；（2）根据定义可知12，可得满足题意的m的整数值；（3）根据定义对100进行连续求根整数，可得3次之后结果为2.【详解】解：（1）根据新定义可得，，故答案为3；（2）∵{m}=2，根据新定义可得，1，可得m的整数值为2,3,4，故答案为2,3,4；（3）∵{100}=10，{10}=4，{4}=2，∴对100进行连续求根整数，3次后结果为2；故答案为3.【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查了对新定义的理解能力，准确理解新定义是解题的关键.23．6【分析】根据算术平方根、立方根的定义列出二元一次方程组，之后对方程组进行求解，得到x和y的值，再根据题意得到z的值，即可求解本题．【详解】解：由题意可得3x 29268y x y --=⎧⎨+-=⎩， 解得54x y =⎧⎨=⎩，36<<67∴<<， 6z ∴=，424542636∴++=⨯++⨯=x y z ，故42x y z ++的平方根是6±．【点睛】本题考查了平方根、立方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根、算术平方根的定义．24．（1；（2）<；（3）不能裁剪出，详见解析【分析】（1）根据所拼成的大正方形的面积为2即可求得大正方形的边长；（2）由圆和正方形的面积公式可分别求的圆的半径及正方形的边长，进而可求得圆和正方形的周长，利用作商法比较这两数大小即可；（3）利用方程思想求出长方形的长边，与正方形边长比较大小即可；【详解】解：（1）∵小正方形的边长为1cm ，∴小正方形的面积为1cm 2，∴两个小正方形的面积之和为2cm 2，即所拼成的大正方形的面积为2 cm 2，cm ，（2）∵22r ππ=，∴r =∴2=2C r π=圆，设正方形的边长为a∵22a π=，∴a∴=4C a =正∴1C C ===<圆正故答案为：＜；（3）解：不能裁剪出，理由如下：∵长方形纸片的长和宽之比为3:2，∴设长方形纸片的长为3x ，宽为2x ，则32300x x ⋅=，整理得：250x =，∴22(3)9950450x x ==⨯=，∵450＞400，∴22(3)20x >，∴320x >，∴长方形纸片的长大于正方形的边长，∴不能裁出这样的长方形纸片．【点睛】本题通过圆和正方形的面积考查了对算术平方根的应用，主要是对学生无理数运算及比较大小进行了考查．25．（1）6a =，8b =-，2c =；（2）12±【分析】(1)利用平方根，立方根定义以及估算方法确定出a ，b ，c 的值即可；(2)把a ，b ，c 的值代入计算即可求出所求．【详解】解：(1)根据题意得：a−2=4，a−3b−3=27，23<<，∴a=6，b=−8，c=2；(2)原式=2×62+(-8)2+23=72+64+8=144，144的平方根是±12．∴2232a b c ++的平方根是±12.【点睛】此题考查了估算无理数的大小，平方根以及立方根的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键. 26．（1）12 ，1712 ，n-112 ；（2）24332-；（3）()11111n a a a -- 【分析】（1）12÷1即可求出q ，根据已知数的特点求出a 18和a n 即可； （2）根据已知先求出3S ，再相减，即可得出答案；（3）根据（1）（2）的结果得出规律即可．【详解】 解：（1）12÷1＝12， a 18＝1×（12）17＝1712，a n ＝1×（12）n ﹣1＝112n -，故答案为：12，1712，112n-；（2）设S＝3+32+33+ (323)则3S＝32+33+…+323+324，∴2S＝324﹣3，∴S＝2433 2-（3）a n＝a1•q n﹣1，a1+a2+a3+…+a n＝() 11111na aa--．【点睛】本题考查了整式的混合运算的应用，主要考查学生的理解能力和阅读能力，题目是一道比较好的题目，有一定的难度．。

中考数学二轮复习第六章 实数知识归纳总结含答案

中考数学二轮复习第六章 实数知识归纳总结含答案一、选择题1．下列各数-(-3),0,221(-)--2--42π，，，中,负数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．在0, 3.14159, 3π, 2,227, 39, 0.7, 32中, 无理数有几个（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．下列各组数中，互为相反数的是（ ） A ．2-与2B ．2-与12-C ．()23-与23-D ．38-与38-4．如图．已知//AB CD ．直线EF 分别交,AB CD 于点,,E F EG 平分BEF ∠．若1 50∠=︒．则2∠的度数为（ ）A ．50︒B ．65︒C ．60︒D ．70︒5．设n 为正整数，且n ＜65＜n+1，则n 的值为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．86．如图，数轴上,A B 两点表示的数分别为1,2--，点B 关于点A 的对称点为点C ，则点C 所表示的数是（ ）A ．12B 21C ．22D 227．下列各数中，属于无理数的是（ ） A ．227B 2C 9D ．0.10100100018．2的平方根为（ ） A ．4B ．±4C 2D ．29．下列说法不正确的是（ ） A 813 B ．12-是14的平方根 C ．带根号的数不一定是无理数 D ．a 2的算术平方根是a 10．2243522443355+=22444333555+=，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想222020420203444333+个个等于（ ）A ．20174555个B ．20185555个C ．20195555个D ．20205555个二、填空题11．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆b=．例如：(-3)☆2=32322-++-- = 2．从﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，中任选两个有理数做a ，b(a≠b)的值，并计算a ☆b ，那么所有运算结果中的最大值是_____． 12．实数,,a b c 在数轴上的点如图所示，化简()()222a a b c b c ++---=__________．13．如果一个有理数a 的平方等于9，那么a 的立方等于_____． 14．观察下列算式：①246816⨯⨯⨯+＝2(28)⨯＋16＝16＋4＝20； ②4681016⨯⨯⨯+＝2(410)⨯＋16＝40＋4＝44；… 根据以上规律计算：3032343616⨯⨯⨯+＝__________ 15．一个数的立方等于它本身，这个数是__．16．已知31.35 1.105≈，3135 5.130≈，则30.000135-≈________．17．如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达O '点，那么O '点对应的数是______．你的理由是______．18．若x ＜0323x x ____________．19．34330035.12=30.3512x =-，则x =_____________．20．0.050.55507.071≈≈≈≈，按此规500_____________三、解答题21．先阅读下面的材料，再解答后面的各题：现代社会会保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分，有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中,,,,,Q W E N M 这26个字母依次对应1,2,3,,25,26这26个自然数（见下表）．给出一个变换公式：(126,3)3217(126,31)318(126,32)3J J J xx x x x x x x x x x x x x x ⎧=≤≤⎪⎪+⎪=+≤≤⎨⎪+⎪=+≤≤⎪⎩是自然数，被整除是自然数，被除余是自然数，被除余 将明文转成密文，如4+24+17=193⇒，即R 变为L ：11+111+8=123⇒，即A 变为S ．将密文转成成明文，如213(2117)210⇒⨯--=，即X 变为P ：133(138)114⇒⨯--=，即D 变为F ．（1）按上述方法将明文NET 译为密文．（2）若按上方法将明文译成的密文为DWN ，请找出它的明文． 22．（概念学习）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把n 个a （a ≠0）记作a ⓝ，读作“a 的圈n 次方”． （初步探究）（1）直接写出计算结果：2③＝ ，（﹣12）⑤＝ ； （深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式． （﹣3）④＝ ；5⑥＝ ；（﹣12）⑩＝ ． （2）想一想：将一个非零有理数a 的圈n 次方写成乘方的形式等于 ； 23．概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2， （﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把n aa a a a ÷÷÷÷个（a≠0）记作a ，读作“a 的圈n 次方”．初步探究（1）直接写出计算结果：2③=________，1)2-（⑤=________； （2）关于除方，下列说法错误的是________A ．任何非零数的圈2次方都等于1；B ．对于任何正整数n ，1=1；C ．3④=4③D ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④=________；5⑥=________；1)2-（⑩=________． （2）想一想：将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式等于________； （3）算一算：()3242162÷+-⨯④．24．阅读下列材料：()1121230123⨯=⨯⨯-⨯⨯ 123(234123)3⨯=⨯⨯-⨯⨯()1343452343⨯=⨯⨯-⨯⨯ 由以上三个等式相加，可得 读完以上材料，请你计算下列各题． （1）求1×2+2×3+3×4+…+10×11的值．（2）1×2+2×3+3×4+……+n×（n+1）=___________． 25．（1）计算：3231927|25(2)-++-；（2）若21x -的平方根为2±，21x y +-的立方根为2-，求2x y -的算术平方根． 26．在已有运算的基础上定义一种新运算⊗：x y x y y ⊗=-+，⊗的运算级别高于加减乘除运算，即⊗的运算顺序要优先于+-⨯÷、、、运算，试根据条件回答下列问题． （1）计算：()53⊗-= ； （2）若35x ⊗=，则x = ；（3）在数轴上，数x y 、的位置如下图所示，试化简：1x y x ⊗-⊗；（4）如图所示，在数轴上，点A B 、分别以1个单位每秒的速度从表示数-1和3的点开始运动，点A 向正方向运动，点B 向负方向运动，t 秒后点A B 、分别运动到表示数a 和b 的点所在的位置，当2a b ⊗=时，求t 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据相反数的定义，有理数的乘方，绝对值的性质分别化简，再根据正负数的定义进行判断即可得解 【详解】解：-(-3)=3；211()24-=；224-=-；44--=-； 所以2-2-4π--，，是负数，共3个。

中考数学一轮复习第六章 实数知识归纳总结及答案

中考数学一轮复习第六章 实数知识归纳总结及答案一、选择题1．对于实数a ，我们规定，用符号a ⎡⎤⎣⎦表示不大于a 的最大整数，称a ⎡⎤⎣⎦为a 的根整数，例如：93⎡⎤=⎣⎦，103⎡⎤=⎣⎦．我们可以对一个数连续求根整数，如对5连续两次求根整数：5221．若对x 连续求两次根整数后的结果为1，则满足条件的整数x 的最大值为( ) A ．5B ．10C ．15D ．162．下列结论正确的是（ ） A ．无限小数都是无理数 B ．无理数都是无限小数 C ．带根号的数都是无理数 D ．实数包括正实数、负实数 3．下列结论正确的是（ ） A ．64的立方根是±4 B ．﹣18没有立方根 C ．立方根等于本身的数是0 D ．327-＝﹣34．有四个有理数1，2，3，﹣5，把它们平均分成两组，假设1，3分为一组，2，﹣5分为另一组，规定：A ＝|1+3|+|2﹣5|，已知，数轴上原点右侧从左到右有两个有理数m 、n ，再取这两个数的相反数，那么，所有A 的和为（ ） A ．4mB ．4m +4nC ．4nD ．4m ﹣4n5．有理数a ，b 在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（ ）A ．a+b> 0B ．a －b> 0C ．ab>0D ．0ab> 6．下列各式的值一定为正数的是 （ ） A ．aB ．2aC ．2(100)a -D ．20.01a +7．下列各式正确的是( ) A 164=±B 1116493= C 164-=- D 164=8．下面说法错误的个数是（ ）①a -一定是负数；②若||||a b =，则a b =；③一个有理数不是整数就是分数；④一个有理数不是正数就是负数. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．在实数227，0，﹣4，2中，是无理数的是（ ） A ．227B ．0C ．﹣4D ．210．如图，数轴上的点E ，F ，M ，N 表示的实数分别为﹣2，2，x ，y ，下列四个式子中结果一定为负数是（ ）A ．x +yB ．2+yC ．x ﹣2D ．2+x二、填空题11．已知a n ＝()211n +(n ＝1，2，3，…)，记b 1＝2(1－a 1)，b 2＝2(1－a 1)(1－a 2)，…，b n ＝2(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，则通过计算推测出表达式b n ＝________ (用含n 的代数式表示)． 12．符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）f （1）＝0，f （2）＝1，f （3）＝2，f （4）＝3，…； （2）f （12）＝2，f （13）＝3，f （14）＝4，f （15）＝5，… 利用以上规律计算：1(2019)()2019f f ____． 13．如果一个有理数a 的平方等于9，那么a 的立方等于_____． 14．若实数a 、b 满足240a b +-=，则ab=_____． 15．对于这样的等式：若（x +1）5＝a 0x 5+a 1x 4+a 2x 3+a 3x 2+a 4x +a 5，则﹣32a 0+16a 1﹣8a 2+4a 3﹣2a 4+a 5的值为_____．16．对于有理数a ，b ，规定一种新运算：a ※b=ab +b ，如2※3=2×3+3=9．下列结论：①（﹣3）※4=﹣8；②若a ※b=b ※a ，则a=b ；③方程（x ﹣4）※3=6的解为x=5；④（a ※b ）※c=a ※（b ※c ）．其中正确的是_____（把所有正确的序号都填上）． 17．23(2)0y x --=，则y x -的平方根_________．18．3是______的立方根；81的平方根是________32=__________．19．设a ，b 都是有理数，规定 3*=a b a b ()()48964***-⎡⎤⎣⎦=__________．20．若一个正数的平方根是21a +和2a +，则这个正数是____________．三、解答题21．读一读，式子“1＋2＋3＋4＋5＋…＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“1＋2＋3＋4＋5＋…＋100”表示为1001n n =∑，这里“∑”是求和符号．例如：1＋3＋5＋7＋9＋…＋99，即从1开始的100以内的连续奇数的和，可表示为501(21)n n =-∑，又知13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＋93＋103可表示为1031n n=∑．通过对以上材料的阅读，请解答下列问题．（1）2＋4＋6＋8＋10＋…＋100(即从2开始的100以内的连续偶数的和)用求和符合可表示为_________． （2）1＋12＋13＋…＋110用求和符号可表示为_________． （3）计算6211n n =-∑()＝_________．(填写最后的计算结果)22．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果a x =N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：x =log a N ，例如：32=9，则log 39=2，其中a =10的对数叫做常用对数，此时log 10N 可记为lgN ．当a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0时，log a (M •N )=log a M +log a N ． (I )解方程：log x 4=2； (Ⅱ)log 28=(Ⅲ)计算：(lg 2)2+lg 2•1g 5+1g 5﹣2018= (直接写答案) 23．阅读理解： 计算1111234⎛⎫+++ ⎪⎝⎭×11112345⎛⎫+++ ⎪⎝⎭﹣111112345⎛⎫++++ ⎪⎝⎭×111234⎛⎫++ ⎪⎝⎭时，若把11112345⎛⎫+++ ⎪⎝⎭与111234⎛⎫++ ⎪⎝⎭分别各看着一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设111234⎛⎫++⎪⎝⎭为A ，11112345⎛⎫+++ ⎪⎝⎭为B ， 则原式=B （1+A ）﹣A （1+B ）=B+AB ﹣A ﹣AB=B ﹣A=15．请用上面方法计算： ①11111123456⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭×111111234567⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭-1111111234567⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭×1111123456⎛⎫++++ ⎪⎝⎭②111123n ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭111231n ⎛⎫+++⎪+⎝⎭-1111231n ⎛⎫++++⎪+⎝⎭11123n ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭． 24．概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2， （﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把n aa a a a ÷÷÷÷个（a≠0）记作a ，读作“a 的圈n 次方”．初步探究（1）直接写出计算结果：2③=________，1)2-（⑤=________； （2）关于除方，下列说法错误的是________A ．任何非零数的圈2次方都等于1；B ．对于任何正整数n ，1=1；C ．3④=4③D ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④=________；5⑥=________；1)2-（⑩=________． （2）想一想：将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式等于________； （3）算一算：()3242162÷+-⨯④．25．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一：（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与 表示的点重合； 操作二：（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题： 3表示的点与数 表示的点重合；②若数轴上A 、B 两点之间距离为8（A 在B 的左侧），且A 、B 两点经折叠后重合，则A 、B 两点表示的数分别是__________________； 操作三：（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）. 若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是_________________________.26．观察下列解题过程： 计算231001555...5+++++ 解：设231001555...5S =+++++① 则23410155555....5S =+++++② 由-②①得101451S =-101514S -∴= 即10123100511555 (5)4-+++++= 用学到的方法计算：2320191222...2+++++【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】对各选项中的数分别连续求根整数即可判断得出答案． 【详解】 解：当x=5时，5221，满足条件； 当x=10时，10331，满足条件； 当x=15时，15331，满足条件； 当x=16时，16442，不满足条件；∴满足条件的整数x 的最大值为15， 故答案为：C ． 【点睛】本题考查了无理数估算的应用，主要考查学生的阅读能力和理解能力，解题的关键是读懂题意．2．B解析：B利用无理数，实数的性质判断即可．【详解】A、无限小数不一定是无理数，错误；B、无理数都是无限小数，正确；C、带根号的数不一定是无理数，错误；D、实数包括正实数，0，负实数，错误，故选：B．【点睛】考核知识点：实数.理解实数的分类是关键.3．D解析：D【分析】利用立方根的定义及求法分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、64的立方根是4，原说法错误，故这个选项不符合题意；B、﹣18的立方根为﹣12，原说法错误，故这个选项不符合题意；C、立方根等于本身的数是0和±1，原说法错误，故这个选项不符合题意；D＝﹣3，原说法正确，故这个选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了立方根的应用，注意：一个正数有一个正的立方根、0的立方根是0，一个负数有一个负的立方根．4．C解析：C【分析】根据题意得到m，n的相反数，分成三种情况⑴m，n；-m，-n ⑵m，-m；n，-n⑶m，-n；n，-m 分别计算，最后相加即可.【详解】解：依题意，m，n（m＜n）的相反数为﹣m，﹣n，则有如下情况：m，n为一组，﹣m，﹣n为一组，有A＝|m+n|+|（﹣m）+（﹣n）|＝2m+2nm，﹣m为一组，n，﹣n为一组，有A＝|m+（﹣m）|+|n+（﹣n）|＝0m，﹣n为一组，n，﹣m为一组，有A＝|m+（﹣n）|+|n+（﹣m）|＝2n﹣2m所以，所有A的和为2m+2n+0+2n﹣2m＝4n故选：C．【点睛】本题主要考查了新定义的理解，注意分类讨论是解题的关键.5．B【解析】根据数轴的意义，由图示可知b＜0＜a，且|a|＜|b|，因此根据有理数的加减乘除的法则，可知a+b＜0，a-b＞0，ab＜0，ab＜0.故选B.6．D解析：D【分析】任何数的绝对值都是一个非负数.非负数(正数和0)的绝对值是它本身，非正数(负数和0)的绝对值是它的相反数.任何数的平方都是大于等于0的.【详解】选项A中，当a=0，则a=0；选项B中，当a=0，则a²=0；选项C中，当a=100，则(a-100)²=0；选项D中，无论a取何值，a²+0.01始终大于0.故选：D.【点睛】此题考查绝对值的非负性，算术平方根的非负性，解题关键在于掌握其性质.7．D解析：D【分析】根据算术平方根的定义逐一判断即可得解.【详解】4=，故原选项错误；=，故原选项错误；D. 4=，计算正确，故此选项正确.故选D.【点睛】此题主要考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义.8．C解析：C【分析】①举例说明命题错误；②举例说明命题错误；③根据有理数的概念判断即可；④根据有理数的概念判断即可.①当a≤0时，-a≥0，故-a 一定是负数错误；②当a=2，b=-2时， ||||a b = ,但是a≠b ，故②的说法错误； ③一个有理数不是整数就是分数，此选项正确；④一个有理数不是正数就是负数还有可能是0，故④的说法错误. 所以错误的个数是3个. 故答案为C 【点睛】本题考查了有理数的概念，熟练掌握概念是解题的关键.9．D解析：D 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】 解：227是分数，属于有理数，故选项A 不合题意； 0是整数，属于有理数，故选项B 不合题意；2=-，是整数，属于有理数，故选项C 不合题意；是无理数，故选项D 符合题意．故选：D ． 【点睛】本题考查了无理数的定义，掌握无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数是关键．10．C解析：C 【分析】根据点E ，F ，M ，N 表示的实数的位置，计算个代数式即可得到结论． 【详解】解：∵﹣2＜0＜x ＜2＜y ，∴x +y ＞0，2+y ＞0，x ﹣2＜0，2+x ＞0， 故选：C ． 【点睛】本题考查了实数，以及实数与数轴，弄清题意是解本题的关键．二、填空题 11．．【详解】根据题意按规律求解：b1=2(1-a1)=，b2=2(1-a1)(1-a2)=，…，所以可得：bn=．解：根据以上分析bn=2（1-a1）（1-a2）…（1-an ）=． “解析：12++n n ． 【解析】 【详解】根据题意按规律求解：b 1=2(1-a 1)=131221-4211+⎛⎫⨯== ⎪+⎝⎭，b 2=2(1-a 1)(1-a 2)=314221-29321+⎛⎫⨯== ⎪+⎝⎭，…，所以可得：b n =12++n n ． 解：根据以上分析b n =2（1-a 1）（1-a 2）…（1-a n ）=12++n n ． “点睛”本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题中表示b 值时要先算出a 的值，要注意a 中n 的取值．12．-1 【分析】根据新定义中的运算方法求解即可． 【详解】∵f(1)＝0，f(2)＝1，f(3)＝2，f(4)＝3，…， ∴f(2019)＝2018．∵f()＝2，f()＝3，f()＝4，f()解析：-1 【分析】根据新定义中的运算方法求解即可． 【详解】∵f(1)＝0，f(2)＝1，f(3)＝2，f(4)＝3，…， ∴f(2019)＝2018． ∵f(12)＝2，f(13)＝3，f(14)＝4，f(15)＝5，…， ∴1()2019f 2019，∴1(2019)()2019f f2018-2019=-1．故答案为：-1．【点睛】本题考查了新定义运算，明确新定义的运算方法是解答本题的关键．13．±27【分析】根据a的平方等于9，先求出a，再计算a3即可．【详解】∵（±3）2=9，∴平方等于9的数为±3，又∵33=27，（-3）3=-27．故答案为±27．【点睛】本题考查了解析：±27【分析】根据a的平方等于9，先求出a，再计算a3即可．【详解】∵（±3）2=9，∴平方等于9的数为±3，又∵33=27，（-3）3=-27．故答案为±27．【点睛】本题考查了平方根及有理数的乘方．解题的关键是掌握平方根的概念及有理数乘方的法则. 14．﹣【解析】根据题意得：a+2=0，b-4=0，解得：a=-2，b=4，则=﹣．故答案是﹣．解析：﹣12【解析】根据题意得：a+2=0，b-4=0，解得：a=-2，b=4，则ab=﹣12．故答案是﹣12．15．-1．【分析】根据多项式的乘法得出字母的值，进而代入解答即可．【详解】解：（x+1）5＝x5+5x4+10x3+10x2+5x+1，∵（x+1）5＝a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+解析：-1．【分析】根据多项式的乘法得出字母的值，进而代入解答即可．【详解】解：（x+1）5＝x5+5x4+10x3+10x2+5x+1，∵（x+1）5＝a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，∴a0＝1，a1＝5，a2＝10，a3＝10，a4＝5，a5＝1，把a0＝1，a1＝5，a2＝10，a3＝10，a4＝5，a5＝1代入﹣32a0+16a1﹣8a2+4a3﹣2a4+a5中，可得：﹣32a0+16a1﹣8a2+4a3﹣2a4+a5＝﹣32+80﹣80+40﹣10+1＝﹣1，故答案为：﹣1【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是根据题意求得a0，a1，a2，a3，a4，a5的值. 16．①③【解析】【分析】题目中各式利用已知的新定义公式计算得到结果，即可做出判断．【详解】(−3)※4=−3×4+4=−8，所以①正确；a※b=ab+b，b※a=ab+a，若a=b ，两式解析：①③【解析】【分析】题目中各式利用已知的新定义公式计算得到结果，即可做出判断．【详解】(−3)※4=−3×4+4=−8，所以①正确；a※b=ab+b，b※a=ab+a，若a=b，两式相等，若a≠b，则两式不相等，所以②错误；方程(x−4) )※3=6化为3(x−4)+3=6，解得x=5，所以③正确；左边=(a※b)※c=(a×b+b) )※c=(a×b+b)·c+c=abc+bc+c右边=a※（b※c）=a※(b×c+c)=a(b×c+c) +(b×c+c)=abc+ac+bc+c2两式不相等，所以④错误．综上所述，正确的说法有①③．故答案为①③.【点睛】有理数的混合运算, 解一元一次方程，属于定义新运算专题，解决本题的关键突破口是准确理解新定义．本题主要考查学生综合分析能力、运算能力．17．【分析】根据算术平方根的性质及乘方的性质解答，得到y=3，x=2，再进行计算即可.【详解】解：，且，∴y-3=0，x-2=0，．．的平方根是．故答案为：.【点睛】此题考查算术平解析：±1【分析】根据算术平方根的性质及乘方的性质解答，得到y=3，x=2，再进行计算即可.【详解】解：23(2)0y x -+-=20,(2)0x -≥，∴y-3=0，x-2=0，3,2y x ∴==．1y x ∴-=．y x ∴-的平方根是±1．故答案为：±1.【点睛】此题考查算术平方根的性质及乘方的性质，求一个数的平方根，根据算术平方根的性质及乘方的性质求出x 与y 的值是解题的关键.18．±9 2-【分析】根据立方根、平方根的定义以及去绝对值法则求解，即可得到答案；【详解】解：∵ ，∴3是27的立方根；∵ ，∴81的平方根是 ；∵ ， ∴；故答案为：2解析：【分析】根据立方根、平方根的定义以及去绝对值法则求解，即可得到答案；【详解】解：∵3327= ，∴3是27的立方根；∵2(9)81±= ，∴81的平方根是9± ；2< ，22=故答案为：27，9±，；【点睛】本题主要立方根、平方根的定义以及去绝对值法则，掌握一个数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键．19．1【分析】根据规定，利用算术平方根与立方根的定义计算即可得答案．【详解】∵，∴=（）（）=（2+2）（3-4）=4（-1）==2-1=1．故答案为：1【点睛】本题考查平方解析：1【分析】根据规定，利用算术平方根与立方根的定义计算即可得答案．【详解】∵*=a b∴()()48964***-⎡⎤⎣⎦=*）=（2+2）*（3-4）=4*（-1）==2-1=1．故答案为：1【点睛】本题考查平方根与立方根，正确理解规定，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键． 20．1【分析】一个正数有两个平方根，它们互为相反数，由此即可列式2a+1+a+2=0，求出a 再代回一个根再平方即可得到该正数.【详解】由题意得2a+1+a+2=0，解得a=-1,∴a+2=1解析：1【分析】一个正数有两个平方根，它们互为相反数，由此即可列式2a+1+a+2=0，求出a 再代回一个根再平方即可得到该正数.【详解】由题意得2a+1+a+2=0，解得a=-1,∴a+2=1,∴这个正数是22(2)11a +==，故答案为：1.【点睛】此题考查平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根. 三、解答题21．（1）5012n n =∑；（2）1011n n =∑；（3）50【分析】（1）根据题中的新定义得出结果即可；（2）根据题中的新定义得出结果即可；（3）利用题中的新定义将原式变形，计算即可得到结果．【详解】解：解：（1）根据题意得：2+4+6+8+10+ (100)5012nn =∑；（2）1＋12＋13＋…＋110=1011nn=∑；（3）原式=1-1+4-1+9-1+16-1+25-1+36-1=85．故答案为：（1）5012nn =∑；（2）1011nn =∑；（3）85．【点睛】此题考查了有理数的加法和减法运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．22．(I) x=2；(Ⅱ) 3； (Ⅲ) -2017.【分析】(I)根据对数的定义，得出x2=4，求解即可；(Ⅱ)根据对数的定义求解即；；(Ⅲ)根据log a(M•N)=log a M+log a N求解即可．【详解】(I)解：∵log x4=2，∴x2=4,∴x=2或x=-2(舍去)(Ⅱ)解：∵8=23，∴log28=3,故答案为3；(Ⅲ)解：(lg2)2+lg2•1g5+1g5﹣2018= lg2•( lg2+1g5) +1g5﹣2018= lg2 +1g5﹣2018=1-2018=-2017故答案为-2017.【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，有理数的乘方，是一道关于新定义运算的题目，解答本题的关键是理解给出的对数的定义．23．（1）17；（2）11n+.【解析】【分析】①根据发现的规律得出结果即可；②根据发现的规律将所求式子变形，约分即可得到结果．【详解】（1）设1111123456⎛⎫++++ ⎪⎝⎭为A ，111111234567⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭为B ， 原式=（1+A ）B ﹣（1+B ）A=B+AB ﹣A ﹣AB=B ﹣A=17； （2）设11123n ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭为A ，111231n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭为B ， 原式=（1+A ）B ﹣（1+B ）A=B+AB ﹣A ﹣AB=B ﹣A=11n +． 【点睛】 考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24．初步探究（1）12；—8；（2）C ；深入思考（1）213；415；28；（2）21n a-；（3）—1． 【解析】试题分析：理解除方运算，利用除方运算的法则和意义解决初步探究，通过除方的法则，把深入思考的除方写成幂的形式解决（1），总结（1）得到通项（2）．根据法则计算出（3）的结果．试题解析：概念学习（1）2③=2÷2÷2=，（﹣）⑤=（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）=1÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）=（﹣2）÷（﹣）÷（﹣）=﹣8故答案为，﹣8；（2）A 、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项A 正确； B 、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n ，1ⓝ都等于1； 所以选项B 正确；C 、3④=3÷3÷3÷3=，4③=4÷4÷4=，则 3④≠4③； 所以选项C 错误；D 、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D 正确；本题选择说法错误的，故选C ；深入思考：（1）（﹣3）④=（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）=1×（）2=；5⑥=5÷5÷5÷5÷5÷5=1×（）4=；（﹣）⑩=（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）=1×2×2×2×2×2×2×2×2=28； 故答案为，，28．（2）a ⓝ=a ÷a ÷a…÷a=1÷a n ﹣2=． （3）：24÷23+（﹣8）×2③=24÷8+（﹣8）×=3﹣4=﹣1．【点睛】本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．25．（1）2 (2)①23--5，3（3）71937,,288 【分析】（1）根据对称性找到折痕的点为原点O ，可以得出-2与2重合；（2）根据对称性找到折痕的点为-1， 3a 表示的点重合，根据对称性列式求出a 的值；②因为AB=8，所以A 到折痕的点距离为4，因为折痕对应的点为-1，由此得出A 、B 两点表示的数；（3）分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是x ，如图1，当AB ：BC ：CD=1：1：2时，所以设AB=a ，BC=a ，CD=2a ，得a+a+2a=9，a=94，得出AB 、BC 、CD 的值，计算也x 的值，同理可得出如图2、3对应的x 的值．【详解】操作一，（1）∵表示的点1与-1表示的点重合，∴折痕为原点O ，则-2表示的点与2表示的点重合，操作二：（2）∵折叠纸面，若使1表示的点与-3表示的点重合，则折痕表示的点为-1，3表示的点与数a 表示的点重合，则3-（-1）=-1-a，a=-2-3；②∵数轴上A、B两点之间距离为8，∴数轴上A、B两点到折痕-1的距离为4，∵A在B的左侧，则A、B两点表示的数分别是-5和3；操作三：（3）设折痕处对应的点所表示的数是x，如图1，当AB：BC：CD=1：1：2时，设AB=a，BC=a，CD=2a，a+a+2a=9，a=94，∴AB=94，BC=94，CD=92，x=-1+94+98=198，如图2，当AB：BC：CD=1：2：1时，设AB=a，BC=2a，CD=a，a+a+2a=9，a=94，∴AB=94，BC=92，CD=94，x=-1+94+94=72，如图3，当AB：BC：CD=2：1：1时，设AB=2a，BC=a，CD=a，a+a+2a=9，a=94， ∴AB=92，BC=CD=94， x=-1+92+98=378， 综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是198或72或378． 26．22020−1【分析】根据题目提供的求解方法进行计算即可得解．【详解】设S ＝2320191222...2+++++①则2S ＝2＋22＋23＋…＋22019＋22020，② ②−①得，S ＝（2＋22＋23＋…＋22019＋22020）-（2320191222...2+++++）=22020−1 即2320191222...2+++++=22020−1．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，读懂题目信息，理解并掌握求解方法是解题的关键．。

中考数学第六章 实数知识归纳总结及答案

中考数学第六章 实数知识归纳总结及答案一、选择题1．设记号*表示求a 、b 算术平均数的运算，即*2a b a b +=，则下列等式中对于任意实数a ，b ，c 都成立的是（ ）． ①(*)()*()a b c a b a c +=++；②*()()*a b c a b c +=+；③*()(*)(*)a b c a b a c +=+；④(*)(*2)a a b c b c c +=+． A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④D ．②④ 2．如图，在数轴上表示实数15的点可能是（ ）A ．点PB ．点QC ．点MD ．点N3．如图，数轴上的,,A B C 三点所表示的数分别为a b c 、、，其中AB BC =，如果||||||a c b >>那么该数轴的原点O 的位置应该在（ ）A ．点A 的左边B ．点A 与点B 之间C ．点B 与点C 之间D ．点C 的右边4．下列各式正确的是( )A ．164=±B ．1116493=C ．164-=-D ．164=5．估计27的值在（ ）A ．2和3之间B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间 6．在实数227，0，﹣4，2中，是无理数的是（ ） A ．227B ．0C ．﹣4D ．2 7．若a 是16的平方根，b 是64的立方根，则a+b 的值是（ ）A ．4B ．4或0C ．6或2D ．68．如图，数轴上的点A ，B ，O ，C ，D 分别表示数-2，-1，0，1，2，则表示数25-的点P 应落在( )A ．线段AB 上B ．线段BO 上C ．线段OC 上D ．线段CD 上 9．下列说法中不正确的是( )A ．2-是2的平方根B 22的平方根C ．22D ．22 1016 ）A ．4B ．4-C ．4±D ．2±二、填空题11．若已知x-1+（y+2）2=0，则(x+y)2019等于_____． 12．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①31；②3312+；③333123++；④33331234+++，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值333312326++++=__________．13．任何实数a ，可用[a]表示不大于a 的最大整数，如[4]=4，31⎡⎤=⎣⎦，现对72进行如下操作：72→72⎡⎤⎣⎦=8→82⎡⎤=⎣⎦→2⎡⎤⎣⎦=1，类似地：（1）对64只需进行________次操作后变为1；（2）只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________．14．写出一个大于3且小于4的无理数：___________．15．116的算术平方根为_______． 16．将2π，93，3-272这三个数按从小到大的顺序用“<”连接________． 17．若34330035.12=，30.3512x =-，则x =_____________．18．已知a 、b 为两个连续的整数，且a ＜19＜b ，则a +b ＝_____．19．如图，数轴上的点A 能与实数15,3,,22---对应的是_____________20．如果36a =b 7的整数部分，那么ab =_______．三、解答题21．先阅读第()1题的解法，再解答第()2题：()1已知a ，b 是有理数，并且满足等式253a 2b 3a 3=+，求a ，b 的值． 解：因为253a 2b 3a 3-=+ 所以()253a 2b a 33=-所以2b a 52a 3-=⎧⎪⎨-=⎪⎩解得2a 313b 6⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩()2已知x ，y是有理数，并且满足等式2x 2y 17--=-x y +的值．22．观察下列各式：(x －1)(x+1)=x 2－1(x －1)(x 2+x+1)=x 3－1(x －1)(x 3+x 2+x+1)=x 4－1…… （1）根据以上规律，则(x －1)(x 6+x 5+x 4+x 3+x 2+x+1)=__________________．（2）你能否由此归纳出一般性规律(x －1)(x n +x n －1+x n －2+…+x+1)=____________． （3）根据以上规律求1+3+32+…+349+350的结果．23．（1）观察下列式子：①100222112-=-==；②211224222-=-==；③322228442-=-==；……根据上述等式的规律，试写出第n 个等式，并说明第n 个等式成立；（2）求01220192222++++的个位数字.24．观察下列等式：111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯ ， 将以上三个等式两边分别相加得：11111111112233422334++=-+-+-⨯⨯⨯=13144-= （1）猜想并写出：1n(n 1)+ = ． （2）直接写出下列各式的计算结果： ①1111...12233420152016++++⨯⨯⨯⨯= ； ②1111...122334(1)n n ++++⨯⨯⨯⨯+= ； （3）探究并计算：1111...24466820142016++++⨯⨯⨯⨯． 25．对于结论：当a+b ＝0时，a 3+b 3＝0也成立．若将a 看成a 3的立方根，b 看成b 3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”（1）举一个具体的例子来判断上述结论是否成立；（2x+5的平方根是它本身，求x+y 的立方根．26．z 是64的方根，求x y z -+的平方根【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】 ①中(*)2b c a b c a ++=+，()*()22a b a c b c a b a c a ++++++==+，所以①成立； ②中*()2a b c a b c +++=，()*2a b c a b c +++=，所以②成立； ③中()()*(*)*222a b a c b c a b a c a a b c ++++=+=+=+，所以③不成立； ④中(*)2a b a b c c ++=+，22(*2)22222a abc a b c a b b c c +++++=+==+，所以④成立．故选B. 2．C解析：C【分析】.【详解】∵91516<<，<<即：34<<，3与4之间，故数轴上的点为点M ，故选：C.【点睛】本题主要考查了二次根式的估算，熟练掌握相关方法是解题关键.3．C解析：C【分析】根据绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离，分别判断出点A 、B 、C 到原点的距离的大小，从而得到原点的位置，即可得解．【详解】∵|a|＞|c|＞|b|，∴点A 到原点的距离最大，点C 其次，点B 最小，又∵AB=BC ，∴原点O 的位置是在点B 、C 之间且靠近点B 的地方．故选：C ．【点睛】此题考查了实数与数轴，理解绝对值的定义是解题的关键．4．D解析：D【分析】根据算术平方根的定义逐一判断即可得解.【详解】4=，故原选项错误；=，故原选项错误；D. 4=，计算正确，故此选项正确.故选D.【点睛】此题主要考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义.5．D解析：D【分析】用平方法进行比较，看27在哪两个整数平方之间即可.【详解】∵252527=＜，263627=＞∴5＜6故选：D【点睛】本题考查比较二次根式的大小，常见方法有2种：（1）将数字平方，转化为不含二次根号的数字比较；（2）将数字都转化到二次根式中，然后进行比较.6．D解析：D【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：227是分数，属于有理数，故选项A不合题意；0是整数，属于有理数，故选项B不合题意；2=-，是整数，属于有理数，故选项C不合题意；是无理数，故选项D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了无理数的定义，掌握无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数是关键．7．C解析：C【分析】由a a=±2，由b b=4，由此即可求得a+b的值．【详解】∵a∴a=±2，∵b∴b=4，∴a+b=2+4=6或a+b=-2+4=2．故选C．【点睛】本题考查了平方根及立方根的定义，根据平方根及立方根的定义求得a=±2、 b=4是解决问题的关键．8．B解析：B【分析】【详解】由被开方数越大算术平方根越大，得由不等式的性质得：故选B.【点睛】本题考查了实数与数轴，无理数大小的估算,解题的关键正确估算无理数的大小.9．C解析：C【详解】解：A. 是2的平方根，正确；是2的平方根，正确；C. 2的平方根是±，故原选项不正确；D. 2，正确．故选C．10．D解析：D【分析】，再求出4的算术平方根即可【详解】，4的平方根是±2，2故选D.【点睛】本题主要考查了算术平方根与平方根的求法，求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．二、填空题11．-1【分析】根据非负数的性质先求出x与y，然后代入求解即可.【详解】解：∵+（y+2）2=0∴∴(x+y)2019=-1故答案为：-1.【点睛】本题主要考查了非负数的性质，熟解析：-1【分析】根据非负数的性质先求出x与y，然后代入求解即可.【详解】（y+2）2=0∴1020 xy-=+=⎧⎨⎩12 xy=⎧∴⎨=-⎩∴(x+y)2019=-1故答案为：-1.【点睛】本题主要考查了非负数的性质，熟练掌握性质，并求出x与y是解题的关键.12．351【分析】先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的的值．【详解】=1=3=6=10发现规律：1+2+3+∴1+2+3=351故答案为：351【点解析：351【分析】先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的的值．【详解】=10=1+2+3+n+=1+2+326+=351故答案为：351【点睛】本题考查找规律，解题关键是先计算题干中的4个简单算式，得出规律后再进行复杂算式的求解．13．255【分析】（1）根据题意的操作过程可直接进行求解；（2）根据题意可得最后取整为1，得出前面的一个数最大是3，再向前推一步取整的最大整数为15，依此可得出答案．【详解】解：（1）解析：255【分析】（1）根据题意的操作过程可直接进行求解；（2）根据题意可得最后取整为1，得出前面的一个数最大是3，再向前推一步取整的最大整数为15，依此可得出答案．【详解】解：（1）由题意得：64→=8→2=→=1，∴对64只需进行3次操作后变为1，故答案为3；（2）与上面过程类似，有256→=16→4=→=2→1=，对256只需进行4次操作即变为1，类似的有255→=15→3=→=1，即只需进行3次操作即变为1，故最大的正整数为255；故答案为255．【点睛】本题主要考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根是解题的关键．14．如等，答案不唯一．【详解】本题考查无理数的概念.无限不循环小数叫做无理数.介于和之间的无理数有无穷多个，因为，故而9和16都是完全平方数，都是无理数.解析：π等，答案不唯一．【详解】本题考查无理数的概念.无限不循环小数叫做无理数.介于3和4之间的无理数有无穷多个，因为2239,416==，故而9和16,15都是无理数.15．【分析】利用算术平方根的定义计算得到的值，求出的算术平方根即可．．【详解】∵，，∴的算术平方根为；故答案为：.【点睛】此题考查了算术平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键． 解析：12【分析】14=的值，求出14的算术平方根即可．． 【详解】14=12=，的算术平方根为12； 故答案为：12. 【点睛】此题考查了算术平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．16．＜＜【分析】先根据数的开方法则计算出和的值，再比较各数大小即可．【详解】==，==，∵＞3＞2，∴＜＜，即＜＜，故答案为：＜＜【点睛】本题考查实数的大小比较，正确化简得出和的值是解＜2π 【分析】的值，再比较各数大小即可． 【详解】3=33=22=32-=32， ∵π＞3＞2，∴22＜32＜2π＜2π，故答案为：3＜2π 【点睛】的值是解题关键． 17．－0.0433【分析】 三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小1000倍，则得到的结果扩大或缩小10倍，根据规律可得x 的值．【详解】从35.12变为－0.3512，缩小了100倍，且添解析：－0.0433【分析】三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小1000倍，则得到的结果扩大或缩小10倍，根据规律可得x 的值．【详解】从35.12变为－0.3512，缩小了100倍，且添加了“－”∴根据规律，三次根式内的式子应该缩小1000000倍，且添加“－”故答案为：－0.0433【点睛】本题考查三次根式的规律，二次根式规律类似：二次根号内的式子扩大或缩小100倍，则得到的结果扩大或缩小10倍．18．9【分析】首先根据的值确定a 、b 的值，然后可得a+b 的值．【详解】∵＜，∴4＜＜5，∵a＜＜b ，∴a＝4，b ＝5，∴a+b＝9，故答案为：9．【点睛】本题主要考查了估算无理数的解析：9【分析】a、b的值，然后可得a+b的值．【详解】<∴45，∵a b，∴a＝4，b＝5，∴a+b＝9，故答案为：9．【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，关键是正确确定a、b的值．19．【分析】先把数轴的原点找出来，再找出数轴的正方向，分析A点位置附近的点和实数，即可得到答案.【详解】解：∵数轴的正方向向右，A点在原点的左边，∴A为负数，从数轴可以看出，A点在和之间，解析：【分析】先把数轴的原点找出来，再找出数轴的正方向，分析A点位置附近的点和实数1-.2【详解】解：∵数轴的正方向向右，A点在原点的左边，∴A为负数，-之间，从数轴可以看出，A点在2-和12<=-，故不是答案；刚好在2-和1-之间，故是答案；1->-，故不是答案；12是正数，故不是答案；故答案为.【点睛】本题主要考查了数轴的基本概念、实数的比较大小，要掌握能从数轴上已标出的点得到有用的信息，学会实数的比较大小是解题的关键.20．12【分析】先根据算术平方根的定义求出a 的值，再根据无理数的估算得出b 的值，然后计算有理数的乘法即可．【详解】，即的整数部分是2，即则故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根的解析：12【分析】先根据算术平方根的定义求出a 的值，再根据无理数的估算得出b 的值，然后计算有理数的乘法即可．【详解】6a ==479<<<<23<< ∴的整数部分是2，即2b =则6212ab =⨯=故答案为：12．【点睛】本题考查了算术平方根的定义、无理数的估算，根据无理数的估算方法得出b 的值是解题关键．三、解答题21．x y 9+=或x y 1+=-.【分析】利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程组，然后解方程即可．【详解】因为2x 2y 17--=-所以()2x 2y 17-=- 所以2x 2y 17y 4-=⎧=⎨⎩， 解得{x 5y 4==或{x 5y 4=-=，所以x y 9+=或x y 1+=-.【点睛】本题是一个阅读题目，主要考查了实数的运算，其中关键是理解解方程组的思路就是消元.对于阅读理解题要读懂阅读部分，然后依照同样的方法和思路解题． 22．（1）x 7－1；（2）x n+1－1；（3）51312-． 【分析】 （1）仿照已知等式写出答案即可；（2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可；（3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可．【详解】解：（1）根据题意得：(x －1)(x 6+x 5+x 4+x 3+x 2+x+1)=x 7-1；（2）根据题意得：（x-1）（x"+x"-1+.…+x+1）=x"+1-1；（3）原式=12×（3-1）(1+3+32+···+349+350)= 12×（x 50+1-1）=51312- 故答案为：（1）x 7－1；（2）x n+1－1；（3）51312-． 【点睛】 本题考查了平方差公式以及规律型问题，弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键．23．（1）11222n n n ---=，理由见解析；（2）01220192222++++的个位数字为5.【分析】（1）找规律，发现等式满足11222n n n ---=，证明，即可．（2）利用公式11222n n n ---=，分别表示每个项，利用相消法，计算结果，即可.【详解】（1）11222n n n ---=理由是：122n n -- 11122n n +--=-11222n n --=⨯-()1212n -=-⨯12n -=（2）原式=()()()()1021322020201922222222-+-+-++-2020022=-()505421=-505161=-因为6的任何整数次幂的个位数字为6.所以505161-的个位数字为5，即01220192222++++的个位数字为5. 【点睛】本题考查了与数字运算有关的规律题，仔细观察发现规律是解题的关键.24．（1）111n n -+；（2）①20152016；②1n n +；（3）10074032. 【分析】（1）观察所给的算式可得：分子为1，分母为两个相邻整数的分数可化为这两个整数的倒数之差，由此即可解答；（2）根据所得的规律把各分数进行转化，再进行分数的加减运算即可解答；（3）先提取14，类比（2）的运算方法解答即可． 【详解】（1）()11n n + =111n n -+； （2）①1111...12233420152016++++⨯⨯⨯⨯=11111122334-+-+-+…+1120152016-=112016-=20152016； ②()1111...1223341n n ++++⨯⨯⨯⨯+=11111122334-+-+-+…+111n n -+=111n -+=1n n +； （3）1111 (24466820142016)++++⨯⨯⨯⨯ =14（1111 (12233410071008)++++⨯⨯⨯⨯）， =14（11111122334-+-+-+…+1110071008-）， =14（111008-）， =14×10071008 =10074032.【点睛】本题考查了有理数的运算，根据题意找出规律是解决问题的关键.25．（1）成立，例子见解析；（2）﹣2【分析】（1（2）根据互为相反数的和为0，列等式可得y的值，根据平方根的定义得：x+5＝0，计算x+y并计算它的立方根即可．【详解】解：（10，则2+（﹣2）＝0，即2与﹣2互为相反数；所以“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”成立；（2＝0，∴8﹣y+2y﹣5＝0，解得：y＝﹣3，∵x+5的平方根是它本身，∵x+5＝0，∴x＝﹣5，∴x+y＝﹣3﹣5＝﹣8，∴x+y的立方根是﹣2．【点评】本题考查立方根和平方根的知识，难度一般，注意互为相反数的和为0，知道这一知识是本题的关键．26．【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列方程求出x、y的值，然后求出z的值，再根据平方根的定义解答．【详解】，∴x+1=0,2-y=0，解得x=-1，y=2，∵z是64的方根，∴z=8-+=-1-2+8=5，所以，x y z-+的平方根是所以，x y z【点睛】此题考查非负数的性质，相反数，平方根的定义，解题关键在于掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．。

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第六章实数知识网络：考点一、实数的概念及分类1、实数的分类2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o等（这类在初三会出现）判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如0π3、有理数与无理数的区别（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

考点二、平方根、算术平方根、立方根1、概念、定义（1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。

（2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。

如果，那么x叫做a的平方根。

（3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。

如果，那么x叫做a的立方根。

2、运算名称（1）求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。

平方与开平方互为逆运算。

（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

开立方和立方互为逆运算。

3、运算符号（1）正数a的算术平方根，记作“a”。

（2）a(a≥0)的平方根的符号表达为。

（3）一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。

4、运算公式4、开方规律小结（1）若a≥0，则a的平方根是a中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。

实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。

正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。

（2）若a<0，则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数，则a的立方根是。

（3）正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。

考点三、实数的性质有理数的一些概念，如倒数、相反数、绝对值等，在实数范围内仍然不变。

1、相反数（1）实数a的相反数是-a；实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零）（2）从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。

2、绝对值（1）要正确的理解绝对值的几何意义，它表示的是数轴上的点到数轴原点的距离，数轴分为正负两半，那么不管怎样总有两个数字相等的正负两个数到原点的距离相等。

|a|≥0。

（2）若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0，零的绝对值是它本身。

（3）⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a3、倒数（1）如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

实数a 的倒数是1/a （a ≠0） （2）倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

考点四、实数的三个非负性及性质1、在实数范围内，正数和零统称为非负数。

2、非负数有三种形式（1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a|≥0； （2）任何一个实数a 的平方是非负数，即≥0；（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即()。

3、非负数具有以下性质 （1）非负数有最小值零； （2）非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.考点五、实数大小的比较实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：（1）正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； （2）实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； （3）两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法。

（4）对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。

常用有理数来估计无理数的大致范围，要想正确估算需记熟0～20之间整数的平方和0～10之间整数的立方．考点六、实数的运算（1）在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算 （2）有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立（3）实数混合运算的运算顺序与有理数的运算顺序基本相同，先乘方、开方、再乘除，最后算加减。

同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里。

（4）在实数的运算中，当遇到无理数时，并且需要求结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算。

二、典例剖析，综合拓展 知识点1：算术平方根1.1691的算术平方根为（ ） （A ）131 （B ）－131 （C ）±131 （D ）（1691）2算术平方根的定义：2.1691的算术平方根可表示为 ，即 = 算术平方根的表示方法： （用含a 的式子表示） 3. －1691有算术平方根吗？8的算术平方根是－2吗？ 算术平方根具有 性，即⑴被开方数a 0，⑵a 本身 0，必须同时成立4、已知115+的小数部分为m ，115-的小数部分为n ，则=+n m跟踪练习： ① 式子3+x 有意义，x 的取值范围② 已知：y=5-x +x -5+3,求xy 的值③ 043=-+-b a ，求a+b 的值知识点2：平方根1. 49的平方根是 ，算术平方根是 ，它的平方根可表示为 ； 2、9的平方根是3、快速地表示并求出下列各式的平方根⑴1169⑵|－5| ⑶0.81 ⑷（－9）2平方根的定义： 平方根的表示方法 （用含a 的式子表示） 平方根的性质： 4、如果一个数的平方根是1+a 和72-a ，求这个数5.用平方根定义解方程⑴16（x+2）2=81 ⑵4x 2-225=06、下列说法正确的是( )A 、16的平方根是4±B 、6-表示6的算术平方根的相反数C 、 任何数都有平方根D 、2a -一定没有平方根 知识点3：立方根1. －8的立方根是 ，表示为 立方根的定义：立方根的表示方法： （用含a 的式子表示） 2.说出下列各式表示的意义并求值： ⑴3512.0-= ⑵－3729-= ⑶33)2(-= ⑷（38）3=3.如果32-x 有意义，x 的取值范围为立方根的性质： 4.用立方根的定义解方程⑴x 3-27 =0 ⑵2（x+3）3=512拓展提高： 1、已知732.13≈，477.530≈，（1）≈300 ；（2）≈3.0 ； （3）0.03的平方根约为 ；（4）若77.54≈x ，则=x2、已知442.133≈，107.3303≈，694.63003≈，求（1）≈33.0 ；（2）3000的立方根约为 ；（3）07.313≈x ，则=x知识点4：重要公式公式一: ∵22=23=24=2)2(-=2)3(-=2)4(-=∴2a =有关练习： 1.2)71(-= 21999=2.如果2)3(-a =a-3，则a 的取值范围是 ；如果2)3(-a =3-a,则a 的取值范围是3.数a,b 在数轴上的位置如图：化简：2)(b a -+|c+a|公式二：∵（4）2= （9）2= （25）2=∴2)(a = (a ≥0)综合公式一和二，可知，当满足a 条件时，2a =2)(a公式三： ∵332=333=334=33)2(-= 33)3(-= 33)4(-=∴33a = ；随堂练习：化简：当1＜a ＜3时，2)1(a - +33)3(-a公式四： ∵ （38）3= （327）3= （3125）3=∴33)(a =综合公式三和四，可知，当满足a 条件时，33a =33)(a公式五：3a -=知识点五：实数定义及分类无理数的定义： 实数的定义： 实数与 上的点是一一对应的1、判断下列说法是否正确：（1）实数不是有理数就是无理数。

（ ）（2）无限小数都是无理数。

（ ） （3）无理数都是无限小数。

（ ）（4）根号的数都是无理数。

（ ）一、选择题(每题3分,共36分) 1. 下列等式正确的是（ ）（A ）2)3(-＝－3 （B ）144＝±12 （C ）8-＝－2 （D ）－25＝－52. 算术平方根等于3的是（ ）（A ）3 （B ）3 （C ）9 （D ）93.下列说法：（1）任何数都有算术平方根；（2）一个数的算术平方根一定是正数；（3）a 2的算术平方根是a ；（4）（π－4）2的算术平方根是π－4；（5）算术平方根不可能是负数。

其中不正确的有（ ） （A ）5个 （B ）4个 （C ）3个 （D ）2个 4. 若一个数的平方根与它的立方根完全相同，则这个数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±1, 0 5.，则实数x 是（ ）(A)负实数 （B ） 所有正实数 （C ）0或1 （D ）不存在 6.，则实数a 在数轴上的对应点，一定在（ ）(A)原点左侧 （B ）原点右侧 （C ）原点或原点左侧 （D ）原点或原点右侧 6.在实数0．3，0 ，7，2π，0．123456…中，无理数的个数是（ ） (A)2（B ）3（C ）4（D ）57.下列各式中，无意义的是（ ） (A).23-（B ）.33)3(-（C ）.2)3(-（D ）.310-8.414、226、15三个数的大小关系是（ ） (A).414<15<226 （B ）226<15<414 （C ）414<226<15（D ）226<414<159. 化简4)2(-的结果是（ ） (A).－4 （B ）.4（C ）±4 （D ）无意义二、填空题(每题3分,共24分) 10. 如果3+x =2,那么(x +3)2=______11. 若22-a 与|b +2|是互为相反数，则(a －b )2=______.13.一个正方形的面积扩大为原来的100倍，则其边长扩大为原来的 倍。

16. 点A 在数轴上和原点相距5个单位，点B 在数轴上和原点相距3个单位，且点B 在点A 左边，则AB 之间的距离为________14. 一个三角形的三边分别是a ，b ，c．15.a 是一个两位数的十位数字，b 是它的个位数字，则这个数可表示为 . 16.()24±的算术平方根是______的平方根是______，—8的立方根是_______．17. 已知│a+2│0,=． 三、解答题（共60分） 18.计算：（共18分） （1）631226---+- （2）6(61－6) （3）38141308-+-+ （4）()064322=--y（5）0125643=-x（6）()6413=-x19.（8分）①已知322+-+-=x x y ，求x y 的平方根.②已知a, b,求2(a b 的值.20.（8分）已知a 、b 满足0382=-++b a ，解关于x 的方程()122-=++a b x a 。

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