人教版高中数学必修五《第一章 解三角形》单元测试
高中数学必修5第一章解三角形单元测试题有答案
高二周末测试（一）第Ⅰ卷（选择题共 60 分）一 选择题：（本大题共 12 小题，每题5 分，共 60 分。
在每题的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1. 已知△ ABC 中， A 30o ， C 105o ， b 8 ，则等于 （）A 4B4 2C4 3D4 52. △ ABC 中， B 45o， C 60o，c1，则最短边的边长等于（）6613A3B2C 2D23. 长为 5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和为( ) A 90 ° B 120 ° C 135° D 150°ab c4. △ABC 中， cos Acos BcosC ，则△ ABC 必定是（）A 直角三角形B钝角三角形 C等腰三角形D 等边三角形5. △ABC 中，B 60o ， b 2ac，则△ ABC 必定是（）A 锐角三角形B 钝角三角形 C等腰三角形D等边三角形6. △ ABC 中，∠ A=60°, a= 6 , b=4,那么知足条件的△ ABC ( )A 有 一个解B有两个解C无解D不可以确立7.△ABC 中， b8 ， c8 3 ，SV ABC16 3 ，则A 等于 （）A 30oB60oC30o 或 150oD60o 或 120oa b c8.△ ABC 中，若 A 60o， a 3 ，则 sin Asin B sin C 等于（）13A 2B 2C 3D 29. △ABC 中， A :B 1: 2，C 的均分线 CD 把三角形面积分红 3: 2 两部分，则 cosA （）A1B1 C3 D32410. 假如把直角三角形的三边都增添相同的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D由增添的长度决定11 在 200 米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（）A. 米B.米C. 200米D. 200米12海上有 A、B 两个小岛相距 10 海里，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°的视角，从 B 岛望 C岛和 A 岛成75°的视角，则 B、C 间的距离是 ()海里海里 C. 56海里3海里第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）二、填空题：（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）13.在△ABC中，假如 sin A :sin B :sin C 2:3: 4 ，那么 cosC 等于。
高中数学人教A版必修五 第一章解三角形 学业分层测评5 Word版含答案
高中数学必修五《解三角形》单元测试（含答案）一、选择题1．已知方程x2sin A＋2x sin B＋sin C＝0有重根，则△ABC的三边a，b，c的关系满足() A．b＝ac B．b2＝acC．a＝b＝c D．c＝ab【解析】由方程有重根，∴Δ＝4sin2B－4sin A sin C＝0，即sin2B＝sin A sin C，∴b2＝ac.【答案】 B2．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则角A的对边的长为()A.57B.37C.21 D．13【解析】∵S△ABC ＝12bc sin A＝12×1×c×sin 60°＝3，∴c＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos 60°＝1＋16－2×1×4×12＝13.∴a＝13.【答案】 D3．在△ABC中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则此三角形的外接圆的半径R＝()A.12B．1C．2 2 D．52 2【解析】S△ABC ＝12ac sin B＝24c＝2，∴c＝4 2.b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋32－82×22＝25，∴b＝5.∴R＝b2sin B＝52×22＝522.【答案】 D4．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.32 B.332C.3＋62D．3＋394【解析】在△ABC 中，由余弦定理可知：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，即7＝AB 2＋4－2×2×AB ×12.整理得AB 2－2AB －3＝0.解得AB ＝－1(舍去)或AB ＝3.故BC 边上的高AD ＝AB ·sin B ＝3×sin 60°＝332.【答案】 B5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4【解析】 由题意知：a ＝b ＋1，c ＝b －1，所以3b ＝20a cos A ＝20(b ＋1)·b 2＋c 2－a 22bc＝20(b ＋1)·b 2＋(b －1)2－(b ＋1)22b (b －1)， 整理得7b 2－27b －40＝0，解之得：b ＝5(负值舍去)，可知a ＝6，c ＝4.结合正弦定理可知sin A ∶sin B ∶sin C ＝6∶5∶4.【答案】 D二、填空题6．在△ABC 中，B ＝60°，AB ＝1，BC ＝4，则BC 边上的中线AD 的长为 ．【解析】 画出三角形知AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos 60°＝3，∴AD ＝ 3.【答案】 37．有一三角形的两边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角α的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是 cm 2.【解析】 解方程5x 2－7x －6＝0，得x ＝2或x ＝－35，∵|cos α|≤1，∴cos α＝－35，sin α＝45.故S △＝12×3×5×45＝6(cm 2)．【答案】 68．(2021·郑州模拟)在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为 ．【解析】 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即49＝a 2＋25－2×5×a cos 120°.整理得a 2＋5a －24＝0，解得a ＝3或a ＝－8(舍)．∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×5sin 120°＝1534.【答案】 1534三、解答题9．已知△ABC 的三内角满足cos(A ＋B )cos(A －B )＝1－5sin 2C ，求证：a 2＋b 2＝5c 2.【证明】 由已知得cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＝1－5sin 2C ，∴(1－sin 2A )(1－sin 2B )－sin 2A sin 2B ＝1－5sin 2C ，∴1－sin 2A －sin 2B ＝1－5sin 2C ，∴sin 2A ＋sin 2B ＝5sin 2C .由正弦定理得，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2R 2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2R 2， 即a 2＋b 2＝5c 2.10．(2014·全国卷Ⅱ)四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．解(1)由题设及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ． ②由①，②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7.(2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2＋12×3×2·sin 60°＝2 3. [能力提升]1．为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路C ，D 两点处进行测量．在C 点测得塔底B 在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿着南偏东40°方向前进10米到D 点，测得塔顶的仰角为30°，则塔的高度为( )A ．5米B ．10米C ．15米D ．20米【解析】 如图，由题意得，AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥BC ，AB ⊥BD .设塔高AB ＝x ，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°，所以BC ＝AB ＝x ，在Rt △ABD 中，∠ADB ＝30°，∴BD ＝AB tan 30°＝3x ，在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD ·cos 120°，∴(3x )2＝x 2＋100＋10x ，解得x ＝10或x ＝－5(舍去)，故选B.【答案】 B2．甲船在岛A 的正南B 处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB ＝10千米，同时乙船自岛A 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( ) A.1507分钟 B.157分钟 C ．21.5分钟 D ．2.15小时【解析】 如图，设t 小时后甲行驶到D 处，则AD ＝10－4t ，乙行驶到C 处，则AC ＝6t .∵∠BAC ＝120°，∴DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 120°＝(10－4t )2＋(6t )2－2×(10－4t )×6t ×cos 120°＝28t 2－20t ＋100＝28⎝ ⎛⎭⎪⎫t －5142＋6757.当t ＝514时，DC 2最小，即DC 最小，此时它们所航行的时间为514×60＝1507分钟．【答案】 A3．如图1-2-28所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ＝ .图1-2-28【解析】 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理知BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800⇒BC ＝207.由正弦定理AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC⇒ sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217，∠BAC ＝120°，则∠ACB 为锐角，cos ∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB＋30°，则cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB·cos 30°－sin∠ACB·sin 30°＝2114.【答案】21 144．如图1-2-29，某军舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以100海里/小时的速度从岛屿A出发沿东偏北60°方向逃窜，同时，该军舰艇从C处出发沿东偏北α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上．图1-2-29(1)求该军舰艇的速度；(2)求sin α的值．解(1)依题意知，∠CAB＝120°，AB＝100×2＝200，AC＝120，∠ACB＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝2002＋1202－2×200×120cos 120°＝78 400，解得BC＝280.所以该军舰艇的速度为BC2＝140海里/小时．(2)在△ABC中，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°，即sin α＝AB sin 120°BC＝200×32280＝5314.。
高中数学人教A版必修五 第一章解三角形 学业分层测评2 Word版含答案
高中数学必修五 解三角形 单元测试（内含答案）一、选择题1．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab >0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形【解析】 由题意知a 2＋b 2－c 22ab <0，即cos C <0，∴△ABC 为钝角三角形．【答案】 C2．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( )A ．19B ．14C ．－18D ．－19【解析】 由余弦定理的推论知cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝1935， ∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1935＝－19. 【答案】 D3．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D ． 3【解析】 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4.又b <c ，∴b ＝2.【答案】 C4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【解析】 ∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理，得c ＝23b ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，又A 为三角形的内角，∴A ＝30°.【答案】 A5．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π 【解析】 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a －c )2＋ac 2ac＝(a －c )22ac ＋12≥12，∵0<B <π，∴B ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3.故选A. 【答案】 A二、填空题6．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于 ．【解析】 ∵A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，设AB ＝x ，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ，化简得x 2－2x ＋1＝0，∴x ＝1，即AB ＝1.【答案】 17．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8，则B 的大小是 ．【解析】 由正弦定理知：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ．设sin A ＝5k ，sin B ＝7k ，sin C ＝8k ，∴a ＝10Rk ，b ＝14Rk ，c ＝16Rk ，∴a ∶b ∶c ＝5∶7∶8，∴cos B ＝25＋64－492×5×8＝12，∴B ＝π3. 【答案】 π38．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为 ．【解析】由2sin B＝3sin C及正弦定理得2b＝3c，即b＝32c.又b－c＝14a，∴12c＝14a，即a＝2c.由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝94c2＋c2－4c22×32c2＝－34c23c2＝－14.【答案】－1 4三、解答题9．A，B，C，D四个景点，如图1-2-14，∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，∠ADC＝15°.A，D 相距2 km，C，D相距(32－6)km，求A，B两景点的距离．图1-2-14【解】在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°，由正弦定理得BDsin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD，即BD＝CD·sin 75°sin 60°＝2.在△ABD中，∠ADB＝45°＋15°＝60°，BD＝AD，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝2.答：A，B两景点的距离为2 km.10．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，求两条船之间的距离．【解】如图所示，∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°.∵AB ＝30(m)，∴BC ＝30(m)，在Rt △ABD 中，BD ＝30tan 30°＝303(m)．在△BCD 中，CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos 30°＝900，∴CD ＝30(m)，即两船相距30 m.[能力提升]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【解析】 由2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab 得，a 2＋b 2－c 2＝－12ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12ab2ab ＝－14<0，所以90°<C <180°，即三角形为钝角三角形，故选A.【答案】 A2．已知锐角三角形边长分别为2,3，x ，则x 的取值范围是( )A ．(5，5)B ．(1, 5)C ．(5，13)D ．(13，5) 【解析】 三边需构成三角形，且保证3与x 所对的角都为锐角，由余弦定理得⎩⎨⎧22＋32－x 2>0，22＋x 2－32>0，解得5<x <13. 【答案】 C3．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A sin C ＝ .【解析】 由正弦定理得sin A sin C ＝a c ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∵a ＝4，b ＝5，c ＝6，∴sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2·sin A sin C ·cos A ＝2×46×52＋62－422×5×6＝1. 【答案】 14．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值；(2)求sin(A －B )的值．【解】 (1)由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429， 由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝223. 因为a ＝c ，所以A 为锐角，所以cos A ＝1－sin 2A ＝13.因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227.。
最新人教版高中数学必修5第一章《解三角形》单元测试
《解三角形》测评 JIESANJIAOXINGCEPING(时间：90分钟，满分：100分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，A ＝30°，则B 等于( ) A ．30° B ．30°或150° C ．60° D ．60°或120°2在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →的值为( ) A ．1 B.34C.32 D ．－323在△ABC 中，tan A ·sin 2B ＝tan B ·sin 2A ，那么△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形4如图，要测量河对岸A ，B 两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C ，D 两点，测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，∠ADC ＝30°，则AB 的距离是( )A ．202米B ．203米C ．206米D ．402米5在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则∠B 为( ) A.π3 B.π6C.π3或2π3D.π6或5π66在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则最小角为…( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π127△ABC 中，A ，B 的对边分别为a ，b ，且A ＝60°，a ＝6，b ＝4，那么满足条件的△ABC ( ) A ．有一个解 B ．有两个解 C ．无解 D ．不能确定8如果满足∠ABC ＝60°，AC ＝12，BC ＝k 的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是( ) A ．k ＝8 3 B ．0<k ≤12C ．k ≥12D ．0<k ≤12或k ＝8 39钝角△ABC 的三边长为连续自然数，则这三边长为( ) A ．1,2,3 B ．2,3,4 C ．3,4,5 D ．4,5,610在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上) 11在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝__________.12在△ABC 中，若a ＝5，b ＝3，∠C ＝120°，则sin A ＝___________.13三角形两条边长分别为3 cm 、5 cm ，其夹角的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是________．14△ABC 的三内角∠A ，∠B ，∠C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则∠C 的大小为________．15△ABC 的三内角∠A ，∠B ，∠C 的对边边长分别为a ，b ，c .若a ＝52b ，∠A ＝2∠B ，则cos B 的值为________．三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分9分)已知在△ABC 中，a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及面积S △ABC . 17(本小题满分10分)在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边长分别为a ，b ，c ，设a ，b ，c 满足条件b 2＋c 2－bc ＝a 2和c b ＝12＋3，求∠A 和tan B 的值．18(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan C ＝37. (1)求cos C ；(2)若CB →·CA →＝52，a ＋b ＝9，求c .19(本小题满分11分)(2009浙江省09届高三期末试题，文21)如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ的值．参考答案1解析：这是已知三角形的两边和一边的对角，求另一角的问题，可使用正弦定理，但注意解的情况．由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝43sin30°4＝32.又b >a ，∴B >A ，因此角B 有两解，即B ＝60°或120°.答案：D2解析：∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos 〈AB →，AC →〉，由向量模的定义和余弦定理可以得出|AB →|＝3，|AC →|＝2，cos 〈AB →，AC →〉＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝32＋22－(10)22×3×2＝14，∴AB →·AC →＝3×2×14＝32.答案：C3解析：判断三角形的形状，可从边考虑，也可从角思考．本题条件可化为sin B cos A ＝sin Acos B， 即sin2A ＝sin2B ，所以A ＝B 或A ＋B ＝90°.本题也可化为边，由sin B cos A ＝sin Acos B ，得sin A sin B ＝cos B cos A ＝ab ，即a ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b ·a 2＋c 2－b 22ac ， 所以(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，所以a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2. 答案：D4解析：先在△ADC 中，利用正弦定理，可求出AD ＝20(3＋1)， 又DB ＝DC ＝40，∠ADB ＝60°，在△ADB 中，由余弦定理，得AB ＝20 6. 答案：C5解析：由正弦定理，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，代入等式3a ＝2b sin A ，整理得sin B ＝32，∴∠B ＝π3或2π3. 答案：C6解析：由于c <b <a ，所以最小角为C ，根据余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝49＋48－132×7×43＝32.∴C ＝π6. 答案：B7解析：根据正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝4sin60°6＝2>1，所以无解．答案：C8解析：由正弦定理，得sin A ＝k ·sin60°12＝3k24.若△ABC 恰有一个，则BC ＝k <AC ＝12且sin A ＝3k 24<1，或sin A ＝3k24＝1. 解得0<k ≤12或k ＝8 3. 答案：D9解析：根据三角形任意两边和大于第三边，可排除答案A.又显然C 的结论构成的是直角三角形，所以C 不成立．因42>22＋32，而62<42＋52，故B 正确．答案：B10解析：把a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 代入已知条件，得sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C ，于是sin A cos B －cos A sin B ＝0，sin(A －B )＝0.∵0<A <π，0<B <π，∴－π<A －B <π.∴A －B ＝0，即A ＝B .同理可得B ＝C ，C ＝A . 答案：B11解析：在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，∴A 为锐角，sin A ＝110，BC ＝1，则根据正弦定理，得AB ＝BC ·sin C sin A ＝102.答案：10212解析：由余弦定理，得c 2＝52＋32－2×5×3cos120°＝49，∴c ＝7. 又由正弦定理a sin A ＝c sin C，得sin A ＝a ·sin C c ＝5·sin120°7＝57×32＝5314.答案：531413解析：由5x 2－7x －6＝0，得x 1＝－35，x 2＝2(舍去)．∴cos θ＝－35，sin θ＝45.∴S ＝12×3×5×45＝6(cm 2)．答案：6 cm 214解析：由p ∥q 得，(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0. 即c 2－a 2－b 2＋ab ＝0. ∴a 2＋b 2－c 22ab ＝12＝cos C .又∵0<∠C <π，∴∠C ＝π3.答案：π315解析：∵a ＝52b ，∠A ＝2∠B ，∴a sin A ＝b sin B ，52b sin2B ＝b sin B ，即52b 2sin B ·cos B ＝bsin B .∴cos B＝54. 答案：5416分析：本题已知三角形的两边和它们的夹角，所以可使用余弦定理，求出第三边b . 解：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(33)2＋22－2·33·2·(－32)＝49. ∴b ＝7，S △ABC ＝12ac sin B ＝12×33×2×12＝323.17分析：要求∠A 的大小，由条件b 2＋c 2－bc ＝a 2知，可用余弦定理，而要求tan B 的值，利用条件c b ＝12＋3用正弦定理求解．解：由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，因此∠A ＝60°，在△ABC 中，∠C ＝180°－(∠A ＋∠B )＝120°－∠B ，由正弦定理，得12＋3＝c b ＝sin Csin B ＝sin (120°－B )sin B ＝sin120°cos B －cos120°sin B sin B ＝32cot B ＋12，即32cot B ＝3，cot B ＝2，tan B＝12. 18分析：根据tan C ＝37，可以很容易求出cos C 的值，注意角范围的判断；根据CB →·CA →＝52及第(1)小题结论，可以利用向量的数量积，求出乘积ab 的值，再结合条件a ＋b ＝9，利用余弦定理，可以解得边c 的值．解：(1)∵tan C ＝37，∴sin Ccos C ＝37.又∵sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得cos C ＝±18.∵tan C >0，∴C 是锐角．∴cos C ＝18.(2)∵CB →·CA →＝52，∴ab cos C ＝52.∴ab ＝20.又∵a ＋b ＝9，∴a 2＋2ab ＋b 2＝81.∴a 2＋b 2＝41. ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝36. ∴c ＝6.19分析：结合图示，搞清已知量与所求量，利用正、余弦定理先在△ABC 中求出∠ACB ，而所求角θ＝∠ACB ＋30°，这一点一定要搞清楚．解：如图所示，在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos120°＝402＋202－2×40×20×(－12)＝2 800.∴BC ＝207.由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC ，∴sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝40×32207＝217.由∠BAC ＝120°，则∠ACB 为锐角，∴cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22·AC ·BC ＝202＋(207)2－4022×20×207＝277. 由θ＝∠ACB ＋30°，则cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB ·cos30°－sin ∠ACB ·sin30°＝277×32－217×12＝2114.。
完整新课标人教A版高中数学必修五第一章解三角形单元测试题
解三角形 60第Ⅰ卷（选择题共分） 5分，只有一个选项正确）：一、选择题（共12小题，每小题ACBCABABC32) ＝＝( ＝451.在△°，中，若∠＝60°，∠，则32233．．．C DA．4 B2ABCBCACABCAB)，( ＝8，则△2.在△中，的形状是＝5，＝6 ．非钝角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形A．锐角三角形 B AbABCa)，＝1303.在△°，则此三角形中，已知11＝，( ＝20．只有一解 BC．有两解 D．解的个数不确定A．无解?A岛望C岛和B岛成60的视角，从B两个小岛相距4. 海上有A、B10海里，从A岛望C岛和?）海里视角，则B、C两岛的距离是（岛成75365525 D.B.C.A.5 ) ( 7、8的三角形中，最大角与最小角之和为35.边长为、°D．150 C．135° 120A．90° B．°，测，两点在河的两岸，一测量者在的同侧，在所在的河岸边选定的一点如图，设6.AAB C m502两点的距离的距离为后，就可以计算出，，，出BA?105?ACB?45???ACCAB( )为m200100m m1002503m B. C. A. D.222ABCABBabCABCA)( ，且满足＝4，则△的面积为sin在△7.中，已知sin＋sin－sinsin＝3 ．1B2 C.2 D.．A1CDCABCDBABBC)8.如图，四边形2中，＝，则该四边形的面积等于＝120°，，＝4( ＝＝3 3 B．5A.3C．63D．7B sin BCABCAAB，则 ) 9.在△中，＝＝120°，5＝，7( 的值为C sin3558 C.A. B. D.5583A°方向航行，进处出发，沿北偏东60某海上缉私小分队驾驶缉私艇以10.40 km/h的速度由ACBC处北，若船位于行海面巡逻，当行驶半小时到达处时，发现北偏西45°方向有一艘船CB)°方向上，则缉私艇偏东30 与船的距离是(2) km 65(B＋2) km ．5(6－A．－6C．10(＋2) km 62) km．D10(2BCABCA3) 的长等于( ＝11.△60的周长为20，面积为°，则10 ，8D．A．5 B.6 C．7cb,a,）12.，则（在中，角所对的边分别为，若a2c?,?C?120?CA、、B△ABC b?baa? BA．．bba?与的大小关系不能确定DC．．a90分）第Ⅱ卷（非选择题共分）：二、填空题（共4小题，每小题52的根，则此三角形的，它们夹角的余弦值是方程13.三角形的两边分别是和0?7x?5x6?35。
新课标人教A版高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试题
解三角形一、选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确）： 1.在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝23AC ＝()A ．3B ．22C 3D 32.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形 3.在△ABC 中，已知a ＝11，b ＝20，A ＝130°，则此三角形( )A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定4. 海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60 的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75 视角，则B 、C 两岛的距离是（ ）海里 A. 65 B. 35 C. 25 D. 55.边长为3、7、8的三角形中，最大角与最小角之和为 ( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150°6.如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定的一点C ，测出AC 的距离为2m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A ，B 两点的距离为 ( )A. 100mB. 3mC. 1002mD. 200m7.在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．1B ．28.如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )B ．5 3C ．6 3D ．739.在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C的值为( )10.某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h 的速度由A 处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B 处时，发现北偏西45°方向有一艘船C ，若C 船位于A 处北偏东30°方向上，则缉私艇B 与船C 的距离是( )A ．5(6＋2) km B ．5(6－2) kmC ．10(6＋2) kmD ．10(6－2) km11.△ABC 的周长为20，面积为3，A ＝60°，则BC 的长等于()A ．5 C ．7 D ．812.在ABC △中，角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，若120,2C c a ∠=︒=，则（ ）A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的大小关系不能确定二、填空题（共4小题，每小题5分）：13.三角形的两边分别是5和3，它们夹角的余弦值是方程06752=--x x 的根，则此三角形的面积是 。
人教版高中数学必修5 第一章 解三角形 单元检测卷(含答案)
第一章解三角形单元检测卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a＝52b，A＝2B，则cos B等于( )A.53B.54C.55D.562.在△ABC中，AB=3，AC=2，BC= 10，则·AC→等于( )A．－32B．－23C.23D.323．在△ABC中，已知a＝5，b＝15，A＝30°，则c等于( ) A．2 5 B. 5C．25或 5 D．以上都不对4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( ) A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解5．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为( )A.922B.9246．在△ABC中，cos2A2＝b＋c2c(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为( )A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．等腰直角三角形D．正三角形7．已知△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c.若a＝c＝6＋2，且A ＝75°，则b等于( )A．2 B.6－ 2C．4－2 3 D．4＋2 38．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝6，cos A＝78，则△ABC的面积S为( )A.152B.15C.8155D．6 39．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于( ) A.21 B.106C.69D.15410．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是( ) A ．等边三角形B ．有一内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π312．△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的周长为( ) A ．43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＋3 B ．43sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋3 C ．6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＋3 D ．6sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋3 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．在△ABC 中，2a sin A －b sin B －c sin C＝________. 14．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B的值为________．15．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sinC ＝________.16．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共74分)17．(10分)如图所示，我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．18．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，且cos A ＝45. (1)求sin 2 B ＋C 2＋cos 2A 的值； (2)若b ＝2，△ABC 的面积S ＝3，求a .19．(12分)如图所示，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2.(1)求cos∠CBE的值；(2)求AE..20．(12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝3 5 .(1)若b＝4，求sin A的值；(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．21．(12分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A ＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．22．(14分)已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝π3，求△ABC的面积．参考答案1-5 BACDC6-10 AAABC11-12 DD13. 0 14. π6 15. 1 16. 32≤a <3a 17.解 设我艇追上走私船所需时间为t 小时，则BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中，由∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°， 根据余弦定理知：(14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°，∴t ＝2.答 我艇追上走私船所需的时间为2小时．18.解 (1)sin 2 B ＋C 2＋cos 2A ＝1－cos B ＋C 2＋cos 2A ＝1＋cos A 2＋2cos 2 A －1＝5950. (2)∵cos A ＝45，∴sin A ＝35. 由S △ABC ＝12bc sin A ，得3＝12×2c ×35，解得c ＝5. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a 2＝4＋25－2×2×5×45＝13，∴a ＝13. 19.解 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ，∴∠CBE ＝15°.∴cos ∠CBE ＝cos(45°－30°)＝6＋24. (2)在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理得AE sin ∠ABE ＝AB sin ∠AEB ， 即AEsin 45°－15°＝2sin 90°＋15°，故AE ＝2sin 30°cos 15°＝2×126＋24＝6－ 2 20.解 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B＝1－cos2B＝4 5 .由正弦定理得asin A＝bsin B，sin A＝a sin Bb＝2×454＝25.(2)∵S△ABC＝12ac sin B＝4，∴12×2×c×45＝4，∴c＝5.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b＝17.21.解(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，故cos A＝－12，A＝120°.(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin B sin C，又A＝120°，∴sin2B＋sin2C＋sin B sin C＝3 4，∵sin B＋sin C＝1，∴sin C＝1－sin B.∴sin2B＋(1－sin B)2＋sin B(1－sin B)＝3 4，即sin2B－sin B＋14＝0.解得sin B＝12.故sin C＝12.∴B＝C＝30°.所以，△ABC是等腰的钝角三角形．22.(1)证明∵m∥n，∴a sin A＝b sin B，即a·a2R＝b·b2R，其中R是△ABC外接圆半径，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)解由题意知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0.∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S△ABC＝12ab sin C＝12×4×sinπ3＝ 3.。
人教版高中数学必修 5《解三角形》单元测试(含参考答案和答题卡)
11 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
uuuuuuuuuuuuuuuuuuu
非选择题 （请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写）
填空题
（13） ___________________ （14） ___________________
15____________________
13． cos
cos
2
cos 3
cos
4
的值等于_______．
99
9
9
14.在△ABC 中，已知 AB=l，∠C=50°，当∠B=
时，BC 的长取得最大值.
15. ABC中，若 sin Asin B cos A cos B,则ABC 的形状为
.
16.在△ABC 中， b c : c a : a b 4 : 5 : 6 ，则△ABC 的最大内角的度数是
9
a
a2
4
解得 2 a 1 10 2
20.解：（1） cos C cos A B cosA B 1 C＝120°
2
1
（2）由题设：
ab2 3 ab 2
AB 2 AC 2 BC 2 2 AC BC cos C a 2 b2 2ab cos120
普通高等学校招生全国统一考试 数学（理科）答题卡 第 2 页（共 2 页）
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《解三角形》参考答案
选择题
题号
1
2
3
4
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6
7
8
9
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必修五第一章测试题
班级： 组名： 姓名： 设计人：连秀明 审核人：魏帅举 领导审批：
一 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知△ABC 中，30A =，105C =，8b =，则等于 （ ）
A 4
B
2. △ABC 中，45B =，60C =，1c =，则最短边的边长等于 （ ）
A 3
B 2
C 1
2
D 2
3.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )
A 90°
B 120°
C 135°
D 150°
4.△ABC 中，cos cos cos a b c A B C ==
，则△ABC 一定是 （ ） A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形
5.△ABC 中，60B =，2
b a
c =，则△ABC 一定是 （ ）
A 锐角三角形
B 钝角三角形
C 等腰三角形
D 等边三角形
6.△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )
A 有 一个解
B 有两个解
C 无解
D 不能确定 7. △ABC 中，8b =
，c =
，ABC S =A ∠等于 （ ）
A 30
B 60
C 30或150
D 60或
120
8.△ABC 中，若60A =
，a =sin sin sin a b c
A B C +-+-等于 （ ） A 2 B 1
2
9. △ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（ ） A 13 B 12 C 34
D 0 10.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ）
A 锐角三角形
B 直角三角形
C 钝角三角形
D 由增加的长度决定
11 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ）
A. 3400
米 B. 33
400米 C. 2003米 D. 200米
12 海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°视角，从B 岛望C 岛和A
岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是 ( )
A.10 海里
B.5海里
C. 56 海里
D.53 海里
第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于 。
14.在△ABC 中，已知503b =，150c =，30B =，则边长a = 。
15.在钝角△ABC 中，已知1a =，2b =，则最大边c 的取值范围是 。
16.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为 。
三、解答题：本大题共4小题，70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17（本题10分）在△ABC 中，已知边c=10, 又知cos 4
cos 3A
b B a ==，求边a 、b 的长。
18（本题12分）在△ABC 中，已知2a b c =+，2sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。
19（本题12分）在锐角三角形中，边a 、b 是方程x 2－2 3 x+2=0的两根，角A 、B 满足：2sin(A+B)－ 3 =0，求角C 的度数，边c 的长度及△ABC 的面积。
20（本题12分）在奥运会垒球比赛前，C 国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为
游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？（如图所示）。