stochastic processes-3

0 i
f (x | B), 则E( X | B) = ∫ xf (x | B)dx.
−∞
+∞
注: 若 与 独 ,即 X B 立 ∀x ∈R, P{X ≤ x, B} = P{X ≤ x}P(B), 则 ( X | B) = EX. E
例 . 设 为 .v., 对 定 常 t0 > 0, 记 件 1 X r 给 的 数 事 B = {X > t0},若 ~ ε (λ), 求 ( X | B). X E
σ1 a + r σ2 σ2 σ1
) (x − a),σ (1− r )).
2 1 2 2 2 2
( y −b),σ (1− r ) ,
例6. 某段时间到达商场客人数N ~ π (λ), 每位顾客 消费X ~ U(a, b).每位顾客之间的消费相互独 立 且与N独立求该段时间销售额的数学期望 , . .
k itxk
⋅ pk .
当 为 续 r.v., X的 .d. f .为 (x), 则 X 连 型 p f
ϕ(t) = ∫ e f (x)dx.
itx −∞
+∞
2. 性 质
1 ϕ(0) =1, ϕ(t) ≤ ϕ(0),ϕ(t) = ϕ(−t).
0
2 ϕ(t)在 −∞,+∞)上一致连续 ( .
0
定 ： ϕ(t)在 间 上 致 续 若 ε > 0, ∃δ > 0, 义 称 区 C 一 连 , ∀ 当h < δ时 对 t ∈C有ϕ(t + h) −ϕ(t) < ε成 . , ∀ 立
i
P( X = xi ,Y = y) . = ∑g(xi ) P(Y = y) i
若 X ,Y)为连续型r.v., 对∀y, s.t. fY ( y) > 0有 ( f (x, y) E[g( X ) | y] = ∫ g(x) f X|Y (x | y)dx = ∫ g(x) dx. −∞ −∞ fY ( y)
2.一些重要公式
10 全数学期望公式
设X为r.v.,{Bi }为一组事件 P(Bi ) > 0(i =1,2,L, n), ,
n
UB = Ω, B B
i i i=1
j
= Φ(i ≠ j), 则有EX = ∑P(Bi )E( X | Bi ).
i=1
n
2 条件全数学期望公式 设X为r.v.,{Bi }为一组事件 P( ABi ) > 0(i =1,2,L, n), ,
3 ϕ(t)是非负定的 .
0
定 ： ϕ(t)是 负 的 若 n∈Z 及 t1,Ltn ∈R, 义 称 非 定 , ∀ ∀
r X1 2 2 例 设X = ~ N(a1, a2 ,σ1 ,σ2 , r), 求 5. X2 2 E( X1 | X2 ), E( X2 | X1),E( X12 | X2 ), E( X2 | b + r
X |Y = y ~ N
0
= ∫ L∫ g(x1,L, xn ) f (x1,L, xn )dx1Ldxn.
−∞ −∞
+∞
+∞
二、数学期望的性质
1.若 ≥ 0,且 存 ,则 ≥ 0. X EX 在 EX
2. 若 存 ,则EX ≤ E X . EX 在
3. 若 ≤ X ≤ Y,且 存 ,则 ≤ EY. 0 EY 在 EX
4. 若 ( X )(k > 0)存 ,则 ( X )(0 ≤ r ≤ k)存 . E 在 E 在
2. 方 阵 差 r r r r rτ VarX = E( X − EX )( X − EX ) ˆ = (E( Xi − EXi )( X j − EX j ))n×n ˆ
= (Cov( Xi , X j ))n×n
r X1 r r 2 2 例 . 设 = ~ N(a1, a2 ,σ1 ,σ2 , r), 求 X,VarX. 1 X E X2
3 若X,Y独立 则E[g( X ) | Y] = E[g( X )]. ,
0
推 . E[C | Y] = EC = C (C为 数 论 常 ).
40 E[g( X )h(Y)| Y] = h(Y)E[g( X )| Y]. 5 E[h(Y)| Y] = h(Y).
0
6 E[E(g( X )| Y)] = E[g( X )].
§3 随机向量的数字特征
X1 Y r r 1 设X = M ,Y = M 分别为 概率空 (Ω, ℑ, P)上 n维 间 的 X Y n m 和m维随机向 量
1. 均 (阵 值 )
X1 EX1 r EX = E M = M ˆ X EX n n
0
UB = Ω, BB
i i i=1 n i=1
n
j
= Φ(i ≠ j), 则有
E( X | A) = ∑P(Bi | A)E( X | ABi ).
3 X为 .v., A, B为 r 事件 B , 的示 函数 性
0
1 ω ∈B IB (ω) = , 0 ω ∉B 则 E(IB ) = P(B), 1) 2)E(I A | B) = P( A| B), 3)E( XIB ) = P(B)E( X | B)
2 E[a1g1( X1) + a2 g2 ( X2 ) | Y]
0
= a1E[g1( X1) | Y] + a2E[g2 ( X2 ) | Y].
推论1. 若g1(•) ≤ g2 (•),则E[g1( X )| Y] ≤ E[g2 ( X )| Y].
推 2. E[g( X )| Y] ≤ E[ g( X ) | Y]. 论
∞ ∞
注:1 E[g( X ) | y]是y的一个函数 .
0
2 E[g( X )| Y] = E[g( X )| y]|y=Y 称 g( X )关 为 于
0
Y的 件 学 望 条 数 期 .
3 E[g( X )| Y]是Y的一个函数 .
0
2.条 期 的 质 件 望 性
10 若g(•) ≥ 0,则E[g( X ) | Y] ≥ 0.
−∞ −∞ +∞ +∞
X 注: 若 的p.d. f .为f X (x), 则 10 变 为 EY = Eg( X ) = ∫ g(x) f X (x)dx.
−∞ +∞
若 X1,L, Xn )的p.d. f .为 (x1,L, xn ), ( f 则 变为 2 EY = Eg( X1,L, Xn )
0
空间上比较具体 、易于研究的Stieltjes 积分 .
2 利 定 1, 令 (x) = x,当 x dFX (x) < +∞时 用 理 g , ∫
0 −∞ +∞
定 1 定 2是 致 . 义与 义 一 的
r.v. 定 2. 1 设 X的 . f .为 X (x), g(x)为 元 理 d F 一 Borel
k r
5.若 ( X ), E(Y )存 ,则 ( XY)存 ,且 在 E 在 E
2 2
[E(XY)]
2
≤ E( X )E(Y )
2 2
E( XY) ≤ E XY ≤ E( X 2 )E(Y 2 ) ——Cauchy - Schwarz不 式 等
§2 条件数学期望及其性质
一、关于事件的条件数学期望
1.定义: 若X是(Ω, ℑ, P)上的一个r.v., B为事件 且 , P(B) > 0, X关于事件B的条件分布函数为 F(x | B), 则定义X关于B的条件数学期望为 E( X | B) = ∫ xdF(x | B).
−∞ +∞
特例： 当X为离散型r.v., X关于B的条件分布列为 1
0
P{X = xi | B},则E( X | B) = ∑xi P{X = xi | B}. 2 当X为连续型r.v., X关于B的条件p.d. f .为
§1 关于数学期望的一些说明
一、概念
定义 : 设X的d. f .为FX (x), 且∫ x dFX (x) < +∞,则称 1
−∞
+∞
EX = ∫ xdFX (x)为X的数学期望 .
−∞
+∞
( 定义2 : 设X的 Ω, ℑ, P)上的一个r.v.,如果X在Ω上关 于概率测度P的积分存在 则称此积分为X , 的数学期望 记为EX = ∫ X (ω)dP. ,
Ω
定理 积分转化定理)设X为 Ω, ℑ, P)上的一个r.v., 1.( ( , X的d. f .为FX (x), g(x)为Borel函数 则
∫ g[X (ω)]dP = ∫
Ω
R
1
g(x)dFX (x).
上式两端一个存在 则另一个存在且二者相 , 等 .
注： 由定理 可以把概率空间上的积分转化为欧氏 1 1
0
注: (重 望 式)取 (x) = x, 有 [E( X | Y)] = E( X ). 期 公 g E
若 是 续 r.v., EX = E[E( X | Y)] Y 连 型 = ∫ E( X | y) fY ( y)dy.
−∞ +∞
若Y是离散型r.v., EX = E[E( X | Y)] = ∑E( X | Y = y j )P{Y = y j } .
0 itx itx −∞ +∞
函 ϕ(t)存 . 数 在
3 ϕ(t) = ∫ eitxdF(x)
0 −∞ +∞ +∞ +∞
= ∫ cos txdF(x) + i∫ sin txdF(x).
−∞ −∞
40 当X为离散型r.v., X的分布列为pk = P{X = xk }, k =1,2,L,则ϕ(t) = ∑e