宣中高2011级高三数学90分钟训练

宣中高2011级高三数学90分钟训练（二）一、选择题，本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

在每小题给出的四个选项中。

只2．函数2()log (1)f x x =+的值域为（ ）A ．RB ．(0,)+∞C ．(,0)(0,)-∞+∞D ． (,1)(0,)-∞+∞3．在锐角中ABC ∆,角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于( )A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 4．设)(x f 是定义在实数集R 上的函数,满足条件)1(+=x f y 是偶函数,且当1≥x 时,1)21()(-=x x f ,则)32(f ,)23(f ,)31(f 的大小关系是（ ）A ．)31()23()32(f f f >>B ．)23()31()32(f f f >>C ．)31()32()23(f f f >>D ．)32()23()31(f f >>5．函数f(x)=xx xx cos sin 1cos sin ++的值域是（ ）。

A ．[－2－1，1]∪[－1, 2－1]B ．[－212+,212-] C ．[－22－1, 22－1]D ．[－212+,－1)∪(－1,212-] 6．运行如下程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出s 属于（ ）A ．[3,4]-B ．[5,2]-C ．[4,3]-D ．[2,5]-7．若a b c <<,则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间( )A ．(),a b 和(),b c 内B ．(),a -∞和(),a b 内C ．(),b c 和(),c +∞内D ．(),a -∞和(),c +∞内8．已知函数2342013()12342013x x x x f x x =+-+-++ 则下列结论正确的（ ） A ．()f x 在(0,1)上恰有一个零点 B. ()f x 在(0,1)上恰有两个零点 C ．()f x 在(1,0)-上恰有一个零点 D ．()f x 在(1,0)-上恰有两个零点9．设集合{}2A=230x x x +->，集合{}2B=210,0x x ax a --≤>.若A B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．()1,+∞10.已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩,若|()f x |≥ax ,则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-二、填空题（本大题共5题，每小题5，共25分）11．若()f x 是R 上的奇函数，则函数2)1(-+=x f y 的图象必过定点 。

12．设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(π+a 的值为 ；13．若不等式4+-2+1x m x≥对一切非零实数x 均成立,记实数m 的取值范围为M . 已知集合{}=A x x M ∈,集合{}2=--6<0B x R x x ∈,则集合=A B ___________.14.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时,x x x f 4)(2-=,则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 . 15．已知2cos sin cos )(2ax x b x a x f --=的最大值是21，且43)3(f =π，则=π-)3(f ___________.三．解答题：本大题共5小题，共61分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．（12分）已知={()|1},B={()|3,0x 3}2A x,y y =-x +mx -x,y x+y =≤≤，若AB ⋂是单元素集，求实数m 的取值范围．17. （12分）已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.18．（12分）定义在R 上的单调函数()x f 满足()23log 3f =且对任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+．(1)求证()x f 为奇函数； (2)若()3(392)0x x xf k f ⋅+--<对任意x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围19．（12分）（Ⅰ）已知函数)(x f y =,若存在0x ，使得00)(x x f =,则称0x 是函数)(x f y =的一个不动点，设二次函数2()(1)2f x ax b x b =+++-.(Ⅰ) 当2,1a b ==时，求函数)(x f 的不动点；(Ⅱ) 若对于任意实数b ，函数)(x f 恒有两个不同的不动点，求实数a 的取值范围；20．（14分）设函数ax x x f -=ln )(,ax e x g x-=)(,其中a 为实数.(1)若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数,且)(x g 在),1(+∞上有最小值,求a 的取值范围; (2)若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数,试求)(x f 的零点个数,并证明你的结论.16．解：A B ⋂ 是单元素集，[]3,0,3y x x ∴=-∈与21y mx x=-+-有一个交点。

即方程2(1)40m x x-++=在[]0,3有一个根，0(1)1032m ∆=⎧⎪⎨+≤≤⎪⎩ ，解得3m =。

(2)(0)(3)0f f ⋅< 解得103m >(3)若0x =，方程不成立(4)若3x =，则103m = ，此时方程213403x x -+=根为3x =或43x = 在[]0,3上有两个根 ，不符合题意，综上103m >或3m =。

17．解:(Ⅰ) ()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x . 最小正周期ππ==22T . 所以),62sin()(π-=x x f 最小正周期为π.(Ⅱ) 上的图像知，在，由标准函数时，当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[ππππππx y x x =∈-∈. ]1,21[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f .所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为21,1-.18．解：(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y) (x ，y ∈R)， ①令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0． 令y=-x ，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0， 则有0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x ∈R 成立， 所以f(x)是奇函数．(2)解：()23log 3f =＞0，即f(3)＞f(0)，又()x f 在R 上是单调函数，所以()x f 在R 上是增函数又由(1)f(x)是奇函数．f(k ·3x )＜-f(3x -9x -2)=f(-3x +9x +2)， ∴ k ·3x ＜-3x +9x +2，32x -(1+k)·3x +2＞0对任意x ∈R 成立． 令t=3x ＞0，问题等价于t 2-(1+k)t+2＞0 对任意t ＞0恒成立．R 恒成立．19．(Ⅰ) 当2,1a b ==时，2()221f x x x =+-，解2221x x x +-=，得11,2x x =-=。

所以函数()f x 的不动点为11,2x x =-=。

（Ⅱ）因为 对于任意实数b ，函数)(x f 恒有两个不同的不动点，所以，对于任意实数b ，方程()f x x =恒有两个不相等的实数根，即方程2(1)2ax b x b x +++-=恒有两个不相等的实数根， 所以 24(2)0x b a b ∆=-->，即 对于任意实数b ，2480b ab a -+>，所以2(4)480b a a ∆=--⨯< ，解得 02a <<20．解：(1)由01)('≤-=a x x f 即a x ≤1对),1(+∞∈x 恒成立,∴max 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥x a 而由),1(+∞∈x 知x1<1 ∴1≥a由a e x g x -=)('令0)('=x g 则a x ln =当x <a ln 时)('x g <0,当x >a ln 时)('x g >0, ∵)(x g 在),1(+∞上有最小值∴a ln >1 ∴a >e综上所述:a 的取值范围为),(+∞e(2)证明:∵)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数∴0)('≥-=a e x g x即x e a ≤对),1(+∞-∈x 恒成立, ∴[]min xea ≤而当),1(+∞-∈x 时,x e >e 1 ∴ea 1≤ 分三种情况:(Ⅰ)当0=a 时, xx f 1)('=>0 ∴f(x)在),0(+∞∈x 上为单调增函数 ∵0)1(=f ∴f(x)存在唯一零点(Ⅱ)当a <0时,a xx f -=1)('>0 ∴f(x)在),0(+∞∈x 上为单调增函数 ∵)1()(aa a e a ae a e f -=-=<0且a f -=)1(>0∴f(x)存在唯一零点(Ⅲ)当0<e a 1≤时,a x x f -=1)(',令0)('=x f 得ax 1= ∵当0<x <a 1时,x a x a x f )1()('--=>0;x >a1时,x a x a x f )1()('--=<0 ∴a x 1=为最大值点,最大值为1ln 11ln )1(--=-=a aa a a f①当01ln =--a 时,01ln =--a ,e a 1=,)(x f 有唯一零点e ax ==1②当1ln --a >0时,0<ea 1≤,)(x f 有两个零点实际上,对于0<ea 1≤,由于e a e a e ef --=-=111ln )1(<0,1ln 11ln )1(--=-=a aa a a f >0 且函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛a e 1,1上的图像不间断 ∴函数)(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛a e 1,1上有存在零点另外,当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a x 1,0,a x x f -=1)('>0,故)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0上单调增,∴)(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛a 1,0只有一个零点 下面考虑)(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1a 的情况,先证)(ln ln )(1111121------=-=-=--a a a a a e a a ae e a ae e e f <0为此我们要证明:当x >e 时,x e >2x ,设2)(x e x h x -= ,则x e x h x2)('-=,再设x e x l x 2)(-= ∴2)('-=xe x l当x >1时,2)('-=x e x l >e -2>0,x e x l x2)(-=在()+∞,1上是单调增函数故当x >2时,x e x h x 2)('-=>4)2(2'-=e h >0从而2)(x e x h x -=在()+∞,2上是单调增函数,进而当x >e时,2)(x e x h x -=>2)(e e e h e -=>0 即当x >e 时,x e >2x ,当0<a <e 1时,即1-a >e 时,)(ln ln )(1111121------=-=-=--a a a a a e a a ae e a ae e e f <0又1ln 11ln )1(--=-=a aa a a f >0 且函数)(x f 在[]1,1--a e a 上的图像不间断,∴函数)(x f 在()1,1--a e a 上有存在零点,又当x >a1时,x a x a x f )1()('--=<0故)(x f 在()+∞-,1a 上是单调减函数∴函数)(x f 在()+∞-,1a 只有一个零点综合(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)知:当0≤a 时,)(x f 的零点个数为1;当0<a <e1时,)(x f 的零点个数为2.。