矩阵可交换的条件及其性质
矩阵可交换性的应用讲解
2015届学士学位毕业论文矩阵可交换性的应用学号：11404111姓名：郭冬冬班级：数学1101指导教师：闫慧凰专业：数学与应用数学系别：数学系完成时间：2014年4月学生诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的论文《矩阵可交换性的应用》是我个人在导师闫慧凰指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得长治学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。
所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。
签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解长治学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。
签名：日期：指导教师声明书本人声明：该学位论文是本人指导学生完成的研究成果，已经审阅过论文的全部内容，并能够保证题目、关键词、摘要部分中英文内容的一致性和准确性。
指导教师签名：时间摘要矩阵在高等数学中是一个极重要且应用广泛的概念，是线性代数的核心。
而且在一些重要领域也用到了矩阵的计算，像应用数学、计算数学、经济学、数学物理、卫星通信等等，许多工作人员在大量计算这些矩阵时发现了一些对于特殊矩阵成立的公式和规律，本文将用这些规律来叙述一些特殊矩阵（可交换矩阵）的应用。
关键词：矩阵；可交换目录1.绪论 (1)2.基础知识 (1)2.1 矩阵相关概念 (1)2.2 线性变换相关概念 (2)3.矩阵可交换的应用 (3)3.1线性变换与矩阵（可交换）之间的联系 (3)3.2上三角矩阵可交换的应用 (4)矩阵可交换性的应用11404111 郭冬冬 数学与应用数学指导教师 闫慧凰1.绪论随着社会经济的发展，数学显得格外重要，在生产、生活中都或多或少的涉及到了数学，所以数学是每个人必须学会的，而对于一些技术分子则不仅仅是掌握基本的数学知识，而且要对数学中的一些比较高深的内容进行进一步的了解，之后对其进行应用，像从事计算科学、无线电技术和卫星通信领域工作的人都涉及到了矩阵的可交换方面的知识。
矩阵交换性的应用（二）：同时对角化
矩阵交换性的应用（二）：同时对角化矩阵交换性的应用(二)1.设和都是维线性空间的线性变换，如果的个特征值互异，则的充要条件是的特征向量也是的特征向量.证明：充分性：若的特征向量也是的特征向量.那么取一组基使得：在这组基下的矩阵为对角阵，由于前提，所以在这组基下的矩阵也是对角阵，因此,所以可交换.必要性：由于的特征值互异，因此可对角化，设其在某一组基下的矩阵式是角阵,记在这组基下的矩阵为,因此有：但是由于的个特征值互异，我们将具体写出来和相乘，简单验证就会发现必须是对角阵，因此结论得证.2.设,且,且都可对角化，证明存在可逆矩阵使得同时为对角阵.证明：由于可对角化，因此存在可逆矩阵使得：而由于可对角化，因此它的所有初等因子都是一阶的，因此存在可逆阵使得,令为：所以：这时取：可逆，且：故可同时对角化！推论：设均为阶实对称阵. 证明:有阶正交阵 , 使与同时为对角矩阵的充分必要条件是 .练习1：设与是实正定矩阵,证明: 是正定矩阵的充要条件时.练习2：若都是复数域上的阶方阵，且(k为某个正整数)，则存在可逆矩阵使得,同时为对角阵.习题训练：目录●数分训练（一）解答及（二）预告●每日一题：数分训练（二）：上下极限●数分训练（三）：一道三角函数题目●数分训练（四）：数列与级数训练●数分训练（五）：定积分定义处理问题●数分训练（六）：一道中值定理的渐进形态●高代训练（一）：有限不覆盖定理●数分训练（八）：一道积分不等式●数分训练（九）：反正切函数的裂项●(十)：高代训练：迹的基本应用●（十一）：高代训练：正定矩阵习题●高代训练：矩阵交换性的应用（一）●Problem13：一道矩阵方程与特征多项式的关系。
可逆矩阵可交换的充要条件
可逆矩阵可交换的充要条件
1. 可逆矩阵可交换，嘿，这就好比两个好朋友，能随意交换位置还不影响关系，就像 A 矩阵和 B 矩阵，[具体例子]，这多有意思啊！
2. 你想想看，可逆矩阵可交换的充要条件，不就像是打开一个神奇宝盒的钥匙吗？比如 C 矩阵和 D 矩阵的例子，哇，真的很神奇呢！
3. 可逆矩阵可交换的这个条件啊，简直就是数学世界里的一个秘密通道，像 E 矩阵和 F 矩阵，[具体例子]，是不是很特别？
4. 哎呀呀，可逆矩阵可交换的充要条件，这可是个宝贝呢！就如同 G 矩阵和 H 矩阵的情况，多让人着迷呀！
5. 可逆矩阵可交换的充要条件，不正是那连接不同奇妙世界的桥梁吗？瞧瞧 I 矩阵和 J 矩阵的例子，多神奇呀！
6. 嘿，可逆矩阵可交换的充要条件啊，那可是数学领域的一颗璀璨明珠，就像 K 矩阵和 L 矩阵，[具体例子]，太牛了吧！
7. 可逆矩阵可交换，这就好像一场精彩的舞蹈，每个矩阵都能找到自己的完美搭档，比如 M 矩阵和 N 矩阵的例子，真绝了！
8. 哇塞，可逆矩阵可交换的充要条件，简直就是一个魔法，像 O 矩阵和 P 矩阵的组合，[具体例子]，太不可思议了！
9. 可逆矩阵可交换的这个事儿，就如同找到了一个隐藏的宝藏，比如 Q 矩阵和 R 矩阵，[具体例子]，是不是很惊喜？
10. 可逆矩阵可交换的充要条件，那可是解开数学谜题的关键呀！就像S 矩阵和 T 矩阵的例子，真的好厉害呢！
我的观点结论就是：可逆矩阵可交换的充要条件有着独特的魅力和重要性，在数学中有着不可或缺的地位。
论矩阵可交换的充要条件
论矩阵可交换的充要条件大学数学第23卷第五期钱微微，浙江中医大学 蔡耀志，浙江大学摘要：从分析二阶矩阵可交换的情况出发，推测出一般矩阵可交换的充要条件，通过矩阵A 化成约当标准型后的不同情形，可最后证明若A 矩阵中没有纯量阵的对角块，那么与它可交换的矩阵B 是A 的n-1次多项式，其中n 为A 矩阵的阶数。
一个A 矩阵可交换的B 矩阵所应满足的充要条件为：除A 很特殊的情形外（参看本文）B 与A 可交换的充要条件是B 是A 的n-1次多项式：21121()n nn p A p I p A p A P A --=++++引理1（i ）A=0时（即A 为零矩阵时），与A 可交换得矩阵B 可以是任意的与A 同价的B 矩阵。
（ii ）当A 是纯量矩阵时，即nA aI =，a 是实数，nI 是n 阶单位矩阵，则与A 可交换得矩阵也可以是任意与A 同价的矩阵;(iii)A 的幂矩阵总是与A 可交换。
定理1与A 可交换的多项式矩阵总可以转化为小于等于n-1次的多项式矩阵。
证:应用哈密顿-凯莱定理，即可将高于n-1次的A 的幂矩阵转化为小于等于n-1次的多项式矩阵。
本定理即为本文结论的充分性论述。
为证明必要性，不妨先分析一下一般二阶矩阵的情形设11122122aa A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,此时，与它可交换得矩阵B 不妨写成11122122x x x x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭。
由x A A=得()()()1111122111112112111212221211221221112221112121222112222212212222(1)234a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x +=+⎧⎪+=+⎪⎨+=+⎪⎪+=+⎩ 消去原方程组中左右相同的项后，（1）（4）二式相同1221a x =2112a x (5)由（2）得（设12a ≠0）()112212112212a a x x x a --= (6)由（3）得（设210a≠）()112221112221a a x xx a --= (7)从（5）（6）（7）中推得A 可交换得条件为1、 当122111220,a a a a ===，由引理1（ii ）可知x 可取任意二阶矩阵。
可交换矩阵的性质及应用
可交换矩阵的性质及应用
孟献青;张英;乔世东
【期刊名称】《山西大同大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2013(029)002
【摘要】如果矩阵的乘积满足交换律,则称矩阵是可交换的.文章研究了可交换矩阵的性质,并给出了可交换矩阵的一些应用.
【总页数】3页(P6-8)
【作者】孟献青;张英;乔世东
【作者单位】山西大同大学数学与计算机科学学院,山西大同 037009;山西大同大学数学与计算机科学学院,山西大同 037009;山西大同大学数学与计算机科学学院,山西大同 037009
【正文语种】中文
【中图分类】R742.1
【相关文献】
1.可交换矩阵空间上矩阵函数的一些性质 [J], 马翠云
2.线性变换及矩阵可交换的性质与应用 [J], 曾梅兰
3.矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质 [J], 戴立辉;颜七笙;刘龙章
4.与矩阵A可交换的全体矩阵的性质 [J], 丁晓业;李红菊;何健
5.可交换矩阵和反可交换矩阵的几个性质 [J], 贾经纬; 唐俊
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满足矩阵乘法交换律
矩阵乘法交换律是指两个矩阵相乘的顺序可以交换，得到的结果是相同的。
然而，需要注意的是，矩阵乘法交换律不是普遍成立的，只在特定条件下才满足。
具体而言，对于两个矩阵 A 和B，矩阵乘法满足交换律的条件是 A 和 B 都是可交换的，也就是说A 和B 是可交换的矩阵。
可交换的矩阵满足AB = BA。
然而，一般情况下，矩阵乘法并不满足交换律。
即使两个矩阵都是方阵，并且都是可逆矩阵，它们的乘积也不一定满足交换律。
举个简单的例子：
设矩阵A = [1 2]，B = [3 4]。
则AB = [13+24] = [11]，
而BA = [31+42] = [11]，
可以看出，这个例子中AB 和BA 的结果是相同的，满足交换律。
然而，如果我们取A = [1 2]，B = [3 4; 5 6]，则
AB = [13+25 14+26] = [13 16]，
BA = [31+42 32+44; 51+62 52+64] = [11 16; 17 28]，
可以看到，AB 和BA 的结果不相同，不满足交换律。
因此，一般情况下，矩阵乘法并不满足交换律，只有在特定条件下，如两个矩阵可交换，才能满足交换律。
对角矩阵的交换律条件
对角矩阵的交换律条件
对角矩阵的交换律条件是两个对角矩阵互相交换位置后仍然相等。
换句话说，如果有两个对角矩阵A和B，满足交换律条
件的条件是A与B互相交换位置后仍然相等。
具体来说，对角矩阵是指所有非对角线上的元素都为0的方阵。
一个对角矩阵可以用对角线上的元素表示，即矩阵中的第i行
第i列的元素表示对角线上的第i个元素。
要满足对角矩阵的交换律，需要满足以下条件：
1. 对角矩阵的大小相等：两个对角矩阵A和B的大小要相等，即它们都是n×n的矩阵。
2. 对角矩阵的对角线元素相同：两个对角矩阵A和B的对角
线元素要相同，即它们的第i个对角线元素相等，即A(i,i) =
B(i,i)，其中1≤i≤n。
只有满足以上两个条件，两个对角矩阵才能满足交换律，即A 与B互相交换位置后仍然相等。
与矩阵A可交换的全体矩阵的性质
（自 然 科 学 版 ）
Ｖｏｌ．３５ Ｎｏ．７
２０１９年７月 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｅｂｅｉＮｏｒｔｈＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ （ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ） Ｊｕｌ．２０１９
与矩阵犃 可交换的全体矩阵的性质
丁 晓 业１， 李 红 菊１， 何 健２
（１． 安徽新华学院通识教育部，安徽 合肥 ２３００８８；２． 吉首大学数学系，湖南 吉首 ４１６０００）
摘要：目的 针对一些满足特殊条件的可交换矩阵，研究与矩阵 犃 可交换的全体矩阵的性质。方法 从
可交换矩阵的概念出发，给出矩阵可交换的条件。再通过一些特殊的矩阵，利用可交换矩阵的定义和矩阵的乘
犫２１
犫２２
… 犫１狀燄
…
犫２狀
，则称矩阵 （犮犻犼）犿×狀
燀犪犿１ 犪犿２ … 犪犿狊燅
燀犫狊１ 犫狊２ … 犫狊狀燅
来稿日期：２０１８ ０７ １１ 基 金 项 目 ： 安 徽 新 华 学 院 校 级 重 点 教 研 项 目 （２０１６ｊｙ００８） 作 者 简 介 ： 丁 晓 业 （１９９０）， 男 ， 安 徽 省 合 肥 市 人 ， 硕 士 ， 助 教 ， 研 究 方 向 为 代 数 学 与 矩 阵 理 论 。
·１·
２０１９年７月 河北北方学院学报 （自然科学版） 第７期
为矩 阵 犃 与 矩 阵 犅 的 乘 积 矩 阵。记 作 犃犅，即 犃犅 ＝ （犮犻犼）犿×狀，其 中犮犻犼 ＝ 犪犻１犫１犼 ＋犪犻２犫２犼 ＋ … ＋犪犻狊犫狊犼 ＝
狊
∑犪犻犽犫犽犼（犻＝１，２，…，犿；犼＝１，２，…，狀）。乘积矩阵 犃犅 读作犃 左乘犅 或右乘犃。
般地，矩阵的乘法不满足交换律，即 犃犅 ≠ 犅犃 。但是在某些特殊情况下，矩阵的乘法也满足交换律，即
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中文摘要特殊矩阵在矩阵分析和矩阵计算中占有十分重要的地位，它们在计算数学、应用数学、经济学、物理学等方面都有着广泛的应用，对特殊矩阵的研究取得的实质性的进展，都将会对计算数学的发展起着重要的推动作用.随着矩阵应用程度的不断加深，矩阵的可交换性越来越被学者和技术人员所重视.矩阵的可交换性不仅在矩阵计算中起着重要作用，而且在卫星通讯等等许多领域也有着直接的应用.关键词：矩阵交换矩阵可交换特殊矩阵上三角矩阵数量矩阵ABSTRACTSpecial matrices play an important role in matrix analysis and matrix computation and have wide applications in computational mathematics, economics,physics,biology,applied mathematics and etc.Great progress obtained in the researchers on special matrices will give improvements in computational mathematics.With the applications of matrices are more and more abroad,the commutativity of matrix is more and more recognition by scholar and technology worker.The commutativity of matrix not only plays an important part in the matrix computation,but also in the secondary planet, communication and other fields.Keywords:the commutant of matrix,mathematics,exchangeable,special matrices,upper triangle matrices,scalar matrices矩阵的可交换性在各类矩阵的运算中应用十分重要，特别是在现在这种信息时代，在卫星通讯、网络安全方面、解码器以及电路系统镇定性问题、路由交换处理器等等都有着不可替代的作用.本文主要介绍了矩阵的可交换性质和可交换条件的研究以及矩阵交换的相关概念和基本定义.对矩阵可交换的基本定理和一些优美性质进行了叙述和总结，以及对一些特殊的矩阵例如数量矩阵、上三角矩阵等等，满足可交换条件的矩阵进行了探究.在高等代数及线性代数的教学中，矩阵是一个重要的教学内容。
由矩阵的理论可知，矩阵的乘法不同于数的乘法，矩阵的乘法不满足交换律，即当矩阵AB 有意义时，矩阵BA 未必有意义；即使矩阵AB 、BA 都有意义时它们也未必相等。
由于矩阵的乘法不满足满足交换律，所以对于研究AB 与BA 的关系有重要意义。
我们知道，若对n 阶实方阵A 、B ，如果满足BA AB =，则称A 、B 可交换。
可交换矩阵有许多良好的性质，研究矩阵可交换的条件及可交换矩阵的一些性质对矩阵理论的研究具有重要的意义（文中的矩阵均指n 阶实方阵）。
一． 基本定义和相关概念以下定义1.1.1到定义1.1.8均来自参考文献[6].定义1.1.1 若同阶矩阵A 、B 有BA AB =，则称A 与B 为可交换矩阵. 定义1.1.2 n 阶方阵()n n ij a A ⨯=中若元素n j i j i a ij ,...,2,1,,,0=≠=，称A 为n 阶对角矩阵，记⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn a a a A2211. 定义1.1.3 主对角线上的元素都是1，其余元素全是0的n n ⨯矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010001称为n 阶单位矩阵，记为n E ，或者在不致引起含混的时候简写为E .显然有 sn n sn A E A =，sn sn s A A E =.定义1.1.4 在n 阶对角阵A 中，若R a a a nn ∈====λλ,...2211，称此时的A 为数量阵.记,E A λ=其中E 为n 阶单位阵.定义1.1.5 若n 阶方阵A 满足,A A T =其中T A 为A 的转置阵，则称A 为对称阵.定义1.1.6 若n 阶方阵()n n ij a A ⨯=满足A A T =-，即()n j i a a ji ij ,...,2,1,=-=，其中T A 为A 的转置阵，则称A 为反对称阵.定义1.1.7 若同阶方阵B A ,满足E BA AB ==,其中E 为同阶单位阵，则称A 与B 互为逆方阵，记逆矩阵B A =-1或者A B =-1.定义1.1.8 若n 阶方阵A 满足E AA A A T T ==，其中E 为同阶单位阵，则称A 为正交矩阵.定义1.1.9 若n 阶方阵()n n ij C a A ⨯∈=，满足ij a ()n j i ,...,2,1,,0=>,则称A为正矩阵.定义1.1.10 若对于矩阵A 、矩阵B 存在可逆矩阵C ，使得,1B AC C =-则称矩阵A 和矩阵B 相似.这里对于置换矩阵C 有AC C B AC C T==-1.二．矩阵可交换的充分条件定理2.1.1 设A 、B 至少有一个为零矩阵，则A 、B 可交换； 定理2.1.2 设A 、B 至少有一个为单位矩阵，则A 、B 可交换； 定理2.1.3 设A 、B 至少有一个为数量矩阵，则A 、B 可交换； 定理2.1.4 设A 、B 均为对角矩阵，则A 、B 可交换； 定理2.1.5 设A 、B 均为准对角矩阵，则A 、B 可交换； 定理2.1.6 设*A 是A 的伴随矩阵，则A 与*A 可交换； 定理2.1.7 设A 是可逆矩阵，则A 与1-A 可交换; 推论2.1.8 设E AB =，则A 、B 可交换.证明： 2.1.1对任意矩阵A ，均有：A A 00=，0表示零矩阵；2.1.2对任意矩阵A ，均有：EA AE =，E 表示单位矩阵； 2.1.3对任意矩阵A ，均有：A kE kE A )()(=，k 为任意实数；2.1.4、2.1.5显然成立； 2.1.6E A A A AA ⋅==**； 2.1.7E A A AA ==--11；2.1.8当E AB =时，A 、B 均可逆，且为互逆矩阵.定理2.1.9 设A 是对角元为()n i a i ,...,2,1=的对角阵，()ij b B =为与A 同阶的方阵.如果()n j i a b b a j ij ij i ,...,2,1,,==，则A 与B 可交换.定理2.1.10设B A AB βα+=,其中βα,为非零实数，则A 、B 可交换.证明：由B A AB βα+=可得E E B E A αβαβ=--))((,即E E B E A =--))((1αβαβ，故依推论2.1.8 得E E A E B =--))((1βααβ, 于是 E E B A BA αβαββα=+--, 所以 AB B A BA =+=βα.定理2.1.11设E AB A m =+α，其中m 为正整数，α为非零实数，则A 、B 可交换；证明：由E AB A m =+α得E B A A m =+-)(1α,故依定理2.1.8得E A B A m =+-)(1α, 于是 E BA A m =+α， 所以可得BA AB =.定理2.1.12 设A 可逆，若0=AB 或AB A =或BA A =，则A 、B 可交换；证明：若0=AB ，由可逆得0)()(11===--AB A B A A B ,从而0=BA ，故BA AB =；若AB A =，同理可得E AB A B A A B ===--)()(11,故BA AB =; 若BA A =,则E A BA A A B B ===--11)()(,故BA AB =.定理2.1.13 设A 、B 均可逆，若对任意实数k ，均有B kE A A )(-=，则A 、B 可交换.证明：因A 、B 均可逆，故由B kE A A )(-=得kE A -可逆，且A kE AB 1)(--=,则''B A [][]'1')()(A kE A B kE A ---=[]1'''')()(---=kE A A kE A B1'''''))((---=kE A kA A A B 1''''))((---=kE A kE A A B ''A B = ')(AB =两边取转置可得BA AB =.或由[][]11111)()(-------=A kE A B kE A B A)()(111kE A A kE A B --=--- )()(121kE A kA A B --=-- [])()(11kE A A kE A B --=--11--=A B 两边取逆可得BA AB =.定理2.1.14 设n 阶方阵,00000000021⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=S A A A A其中i A 为i m 阶方阵()∑==si i m s i 1,,...,2,1，n 阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ss s s s s B B B B B B B B B 212222111211，是与A 分块方法相同是矩阵，若),,...,2,1,(,s j i A B B A j ij ij i ==则A 与B 可交换.三．矩阵可交换的充要条件定理2.2.1 下列均是A 、B 可交换的充要条件：（1）))(())((22B A B A B A B A B A +-=-+=-;（2）2222)(B AB A B A +±=±; （3）''')(B A AB =; （4）***)(B A AB =.证明：（1）由22))((B BA AB A B A B A -+-=-+及22))((B BA AB A B A B A --+=+-可证得；（2）由222)(B ba AB A B A +±±=±可证得；（3）分别由BA AB =，''')(B A AB =两边取转置可证得； （4）分别由BA AB =，***)(B A AB =两边取伴随可证得.定理 2.2.2设n 阶矩阵A 、B ，其中A 有n 个互不相同的特征根，则BA AB =的充分必要条件是A 、B 可同时对角化。