交换矩阵
矩阵可交换的定义
矩阵可交换的定义嘿，朋友们！今天咱来唠唠矩阵可交换这个事儿。
咱先想想啊，矩阵就像是一群排好了队的数字小兵。
那可交换呢，就好比这些数字小兵可以互相换换位置，而且换了之后没啥大影响。
比如说，你有两个矩阵 A 和 B，它们要是可交换，那 A 乘以 B 就等于B 乘以 A 呀。
这就好像你有两堆玩具，你先从第一堆里拿一个，再从第二堆里拿一个，和你先从第二堆里拿一个，再从第一堆里拿一个，最后的结果差不多。
这有啥用呢？用处可大啦！就像你走路，有时候走这条路能到目的地，走另一条路也能到，这就让你有了更多的选择呀。
你想想，如果矩阵不可交换，那多麻烦呀！就跟你出门，规定了你只能先迈左脚，再迈右脚，不能反过来，那多别扭呀。
咱再打个比方，矩阵可交换就像是朋友之间相处很融洽，可以互相换位子也不影响感情。
要是不可交换，那不就跟两个合不来的人似的，非得按照特定的顺序来，不然就闹别扭。
在实际应用中，矩阵可交换也很重要呢。
比如在一些科学研究、工程计算里，要是能找到可交换的矩阵，那就能让计算变得简单很多，就像找到了一把钥匙，能轻松打开难题的大门。
而且哦，研究矩阵可交换还能让我们更深入地理解数学的奥秘呢。
就好像探索一个神秘的洞穴，每走一步都可能有新的发现，多刺激呀！咱平常生活中不也经常遇到类似的情况嘛。
比如你做事的顺序，有时候换一换也没啥，有时候就不行。
这和矩阵可交换是不是有点像呀？所以啊，矩阵可交换可不是什么遥不可及的高深概念，它就藏在我们生活的各个角落呢。
只要我们用心去感受，去发现，就能明白它的奇妙之处啦。
总之呢，矩阵可交换是数学里一个很有趣也很有用的概念，它就像一把神奇的钥匙，能打开很多知识的大门，让我们看到更广阔的世界。
我们可不能小瞧它呀，要好好去研究它，利用它，让它为我们的学习和生活带来更多的便利和惊喜！。
交换矩阵
A
=
1 2
2 3
的可交换矩阵。
解：设矩阵
B
a c
b d
为
A
的可交换矩阵。则有
AB
BA.
AB
=
1 2
2a
3
c
b d
a 2c 2a 3c
b 2d 2b 3d
C
a b 1 2 a 2b 2a 3b
BA
c
d
2
3
c
2d
2c
3d
D
a 2 a 2b
dn1
d1n
。
dnn
显然有 C D 。 （3） AB 与 BA 均有意义，且二者阶数也相同但是最后具体的乘积方阵还是 不一样。
比如说：矩阵
A
=
2 1
1 1
，
B
=
1 1
2 2
。
AB
=
2 1
1 1 1 1
2 3 2 2
6 4
=
C
；
但是
BA
=
1 1
2 2 2 1
1 1
4 4
3 3
=
D
。显然
C
定理 6： ( A B)2 A2 2AB B2 ； 证明：充分性 ( A B)2 ( A B)( A B) A2 AB BA B2
又 ( A B)2 A2 2AB B2 ， 从而 AB BA 2AB 即 AB BA； 必要性： 若 AB BA 则 ( A B)2 ( A B)( A B) A2 AB BA B2 A2 2AB B2 ， 必要性得证。 定理 7： (AB) AB ； 证明：充分性 由题知 (AB) AB ，又因为 (BA) AB ，
初等矩阵公式
初等矩阵公式初等矩阵公式是矩阵运算中的重要工具，可以用来进行矩阵的初等变换和求逆运算。
在线性代数中，我们经常会遇到需要对矩阵进行变换的情况，比如求解线性方程组、求矩阵的秩等。
初等矩阵公式提供了一种简便的方法来实现这些变换。
初等矩阵公式主要包括三种类型的变换：交换矩阵的两行或两列、将矩阵的某一行或某一列乘以一个非零常数、将矩阵的某一行或某一列加上另一行或另一列的若干倍。
这些变换可以通过乘以一个特殊的矩阵来实现，这个矩阵就是初等矩阵。
交换矩阵的两行或两列的初等矩阵公式为：将单位矩阵的第i行与第j行交换，得到的矩阵即为交换矩阵。
同理，交换矩阵的两列也可以通过类似的方法得到。
将矩阵的某一行或某一列乘以一个非零常数的初等矩阵公式为：将单位矩阵的第i行的元素都乘以一个非零常数k，得到的矩阵即为乘法矩阵。
同理，将矩阵的某一列乘以一个非零常数也可以通过类似的方法得到。
将矩阵的某一行或某一列加上另一行或另一列的若干倍的初等矩阵公式为：将单位矩阵的第i行的元素都加上第j行的元素的k倍，得到的矩阵即为加法矩阵。
同理，将矩阵的某一列加上另一列的若干倍也可以通过类似的方法得到。
利用初等矩阵公式，我们可以很方便地对矩阵进行初等变换。
比如，求解线性方程组时，我们可以通过对增广矩阵进行初等变换，将其化为行阶梯形矩阵或最简形矩阵，从而得到方程组的解。
又如，求矩阵的秩时，我们可以通过初等变换将矩阵化为行阶梯形矩阵，然后计算非零行的个数即可得到秩。
初等矩阵公式在矩阵求逆运算中也有重要应用。
矩阵的逆矩阵是指与其相乘得到单位矩阵的矩阵。
利用初等矩阵公式，我们可以通过一系列初等变换将矩阵化为单位矩阵，然后将相应的变换应用到单位矩阵上，得到矩阵的逆矩阵。
总结来说，初等矩阵公式是矩阵运算中的重要工具，可以用来进行矩阵的初等变换和求逆运算。
通过初等矩阵公式，我们可以很方便地对矩阵进行交换行列、乘以常数、加减行列的操作，从而实现对矩阵的变换。
初等矩阵公式的应用广泛，可以用于求解线性方程组、求矩阵的秩、求矩阵的逆等问题。
矩阵的交换律
矩阵的交换律矩阵的交换律在线性代数中是一个非常基本的性质，是指两个矩阵在相乘的时候可以交换位置而不影响乘积的结果。
具体来说，对于任意两个矩阵A和B，都有AB=BA。
为什么矩阵的交换律成立？要理解矩阵的交换律成立的原因，需要先了解矩阵乘法的本质。
矩阵乘法是一种定义在向量空间上的运算，它的本质是将一个向量通过一个线性变换映射到另一个向量空间中。
矩阵A与矩阵B相乘，实际上是将矩阵B作为变换矩阵，对矩阵A中的每一列向量进行变换，得到新的矩阵C。
由于矩阵乘法的本质是向量空间中的线性变换，而线性变换有一个非常显然的性质——线性性。
具体来说，一个线性变换在加法和数乘运算下满足：1.对于任意向量v，f(v+w)=f(v)+f(w)；2.对于任意向量v和标量k，f(kv)=kf(v)。
这个性质可以被等价地表述为：1.线性变换将向量的线性组合映射到其线性组合的和上；2.线性变换将标量倍数和向量的映射次序进行保持不变。
我们再来看矩阵的乘法。
对于两个矩阵A和B相乘的结果C，假设A有m行n列，B有n行p列，则有：Cij=ai1b1j+ai2b2j+...+ainbnj可以发现这个式子具有线性性质，即Cij的值是aikbkj的线性组合。
因此，矩阵乘法实际上是把B看成了一个线性变换，将A中的各列向量映射到新的向量C中。
既然矩阵乘法是一个线性变换，那么两个矩阵是否具有交换律就取决于它们对应的变换是否具有交换律了。
如果两个变换是可交换的，那么它们所对应的矩阵也具有交换律。
对于线性变换的交换律，我们可以通过证明它们对矩阵的乘法是否具有交换律来证明。
假设有两个线性变换f和g，分别对应两个矩阵A和B，那么它们的相乘结果可以表示为：fg(x)=f(g(x))，其中x是一个向量。
换句话说，先进行g变换再进行f变换，等价于先进行f变换再进行g变换。
这告诉我们，如果f和g是可交换的，它们对应的矩阵A 和B也是可交换的。
因此，我们可以得出结论：只要两个矩阵对应的线性变换是可交换的，这两个矩阵就满足乘法交换律。
矩阵初等变换规则
矩阵初等变换规则
矩阵的初等变换规则是矩阵理论中的基础知识，主要包括三种类型的变换：行变换、列变换和矩阵的乘法变换。
下面详细介绍这些规则：
一、行变换规则
行交换：可以交换矩阵中的任意两行。
行倍乘：可以将矩阵中的某一行的所有元素乘以一个非零常数。
行加减：可以将矩阵中的某一行的倍数加到另一行上。
二、列变换规则
列交换：可以交换矩阵中的任意两列。
列倍乘：可以将矩阵中的某一列的所有元素乘以一个非零常数。
列加减：可以将矩阵中的某一列的倍数加到另一列上。
三、矩阵的乘法变换规则
用一个非奇异（可逆）矩阵左乘或右乘一个矩阵，可以得到与原矩阵等价的矩阵。
这种变换通常称为相似变换。
通过一系列行变换和列变换，可以将一个矩阵化为阶梯形矩阵或最简形矩阵。
这种变换在求解线性方程组、计算矩阵的秩和逆等方面有重要应用。
总结：
矩阵的初等变换规则包括行变换、列变换和乘法变换，它们都是保持矩阵等价的基础操作。
初等变换可以用于化简矩阵、求解线性方程组、计算矩阵的秩和逆等。
在实际应用中，通常将矩阵化为阶梯形矩阵或最简形矩阵，以便于进行后续的计算和分析。
可交换矩阵成立的条件和性质
内蒙古财经大学本科学年论文可交换矩阵成立的条件与性质作者：系别：专业：年级：学号：指导教师：导师职称：指导教师评语：该学生在整个论文书写过程中态度端正，能配合指导教师，指导教师交给的任务基本能在规定时间内的完成。
在开题以后，对论文题目理解正确，在指导下能完成论文初稿的书写，书写基本符合规范。
但对参考书目及参考文献的依赖性太大，应在论文中添加自己独立的理解及总结。
成绩：中指导教师：内容提要矩阵是高等数学中一个重要的内容，在数学领域中以及其他科学领域中有着重大的理论意义.众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下，BAAB≠.但是，在某种特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律.可交换矩阵有着很多特殊的性质和重要的作用.本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵.关键字：矩阵可交换条件性质上三角矩阵AbstractMatrix is an important content in altitude-mathematics,it has a great theoretic significance in the aspect of both mathematics and other science fields. As far as we have concerned, the multiplication of matrix could not satisfy the exchange rule under the normal condition, that is to say, normally, AB≠. Whereas, in some certain conditions, the multiplication of matrix BAcould satisfy the exchange rule. The exchangeable matrix has many special properties and important effections. This paper discusses some conditions of the matrix exchange and parts of the property of the exchangeable matrix , and also introduces several kinds of specific exchangeable matrix. All of these are discussed from the concept of exchangeable matrix and relative information.Key Words：matrix interchangeable conditions propertyupper triangular matrix目录引言 (1)一可交换矩阵及相关定义 (1)(一)矩阵 (1)(二)可交换矩阵 (3)二可交换矩阵成立的条件与性质 (3)(一)可交换矩阵成立的条件 (3)(二)相关结论 (5)(三)可交换矩阵的性质 (7)三几类常用的可交换矩阵 (7)四可交换矩阵的应用 (8)五总结 (10)参考文献 (10)致谢 (10)可交换矩阵成立的条件与性质引 言随着科学技术的迅速发展和计算机技术的进步，科学与工程计算即科学计算的研究受到科学技术人员的极大重视，其应用范围已经渗透到各个学科领域.计算机的普及，使得矩阵理论越来越受到学者、工程技术人员和科技人员的关注.矩阵理论不仅仅是一门重要的数学理论，而且在数值分析、数学建模、最优化方法等数学分支上有极其重要的应用，还在计算机科学、无线电技术和卫星通信等尖端技术科学领域和社会学、经济数学等许多方面都有着重要的用途和具体应用背景.利用矩阵理论与方法来处理错综复杂的工程问题时，具有表达简洁、对工程问题的实质刻画深刻的优点，因此应用矩阵理论和方法来处理工程技术上的各种问题，越来越受到工程界人士的极大重视，逐渐成为数学建模中解决实际问题常用的一种方法，矩阵理论与应用已成为众多学科领域的教学工具.在科学技术人员和学者在解决这些矩阵的计算问题时，逐渐发现把数学的一些计算公式，如平方和、平方差等许多运算律运用到矩阵的计算中来，既利于计算速度的提高，也方便于通过计算机的编程来进行大型矩阵的迅速计算.一、可交换矩阵及相关定义㈠矩阵1、矩阵的定义由m n ⨯个数ij a ()n j m i ,,2,1,,,2,1 ==排成的m 行n 列的数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 ()1 称为m 行n 列矩阵，简称n m ⨯矩阵，为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，也可以记为()ij a A =或n m A ⨯．这里的ij a 表示位于A 的第i 行第j 列的元素.n m ⨯称为矩阵的阶数.矩阵可分为实矩阵与复矩阵.当行数与列数相等，矩阵称为方阵.只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.所有元素为0的矩阵称为零矩阵，记为O .两个矩阵如果行数与列数完全相同，则称为同型矩阵.2、矩阵的运算()1加减法设()()n m ij n m ij b B a A ⨯⨯==,为同型矩阵，则()n m ij ij b a B A ⨯+=+ ()2这里若设B -为B 的负矩阵，即()n m ij b B ⨯-=-，则可以定义减法运算()n m ij ij b a B A ⨯-=- ()3()2数与矩阵的乘积设()R k a A n m ij ∈=⨯,为实数，则kA 称为矩阵A 的数乘，且()n m ij ka kA ⨯= ()4即给A 的每个元素均乘以数k .()3矩阵的乘积设()()n ij m ij b B a A ⨯⨯==55,，则()n m ij c C AB ⨯== ()5称c 为矩阵A 与矩阵B 的乘积.其中()n j m i b a b a b a c j i j i j i ij ,,2,1;,,2,1552211 ==+++=即C 的第i 行第j 列元素为A 的第i 行各元素与B 的第j 列各元素对应相乘再相加.注意：只有当A 的行数与B 的列数相等时，A 与B 才能相乘．()4对称矩阵在一个n 阶方阵A 中，若元素满足如下性质：1,0,-<<=n j i A A ji ij ()6则称A 为对称矩阵.()5反对称矩阵设A 是一个n 阶方阵，如果A A T -= ()7则称A为反对称矩阵.㈡可交换矩阵一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律，其原因有以下几点：1.AB 有意义时，BA 不一定有意义.2.AB 与BA 均有意义时，可能它们的阶数不相等.3.AB 与BA 均有意义时，且它们的阶数相等时，仍可能出现BA AB ≠. 因此，把满足乘法交换律的矩阵称为可交换矩阵，即若矩阵B A ,满足：BA AB = ()8 则称矩阵A 和B 是可交换的.二、矩阵可交换成立的条件与性质若BA AB =成立，则称方阵A 与B 为可交换矩阵.设()01111a x a x a x a x f m m m m ++++=--()9 系数m a a a ,,,10 均为数域P 中的交换数，A 为P 上的一个n 阶方阵，记()E a A a A a A a a f m m m m 0111++++=--容易看出：任何方阵A 都与其伴随矩阵*A 是可交换的，且二者的乘积为n AI ;对于任何方阵A ，()I a A a A a x f p P P +++=- 110与()Ib A b A b A g q q q +++=- 110可交换.(一) 可交换矩阵成立的条件定理1[1] 设n 阶方阵B A ,满足条件AB B A =+.则B A ,可交换.证明 由条件AB B A =+,[]I e e diag n = ,1，变形可得)()(A I B I A AB B I A I -+-=-+-=-))((I B I A ---=即I I B I A =--))((，所以I A -为可逆矩阵，其逆矩阵为I B -，有I I A I B I B I A =--=--))(())((即I A B BA I B A AB +--=+--，从而可得BA AB =.定理2[3] 设B A ,均为对称矩阵，则B A ,可交换的充要条件是AB 为对称矩阵.证明 设B A ,均为对称矩阵，由于BA AB =，故()AB BA A B AB T T T ===所以AB 是对称的.反之，由于()AB AB T =，所以()BA A B AB AB T T T===，因此，B A ,可交换.推论 设A 为n 阶对称矩阵，则T A A ,都可交换.定理3[3] 设A 为对称矩阵，B 为反对称矩阵，则B A ,可交换的充要条件是AB 为反对称矩阵.证明 设A A T -=，B B T -=,由于BA AB =,所以()()AB BA A B AB T T T -=-== ()10 所以AB 为反对称矩阵.反之，若AB 为反对称矩阵,则()11 从而BA AB =.定理4[3] 设B A ,均为反对称矩阵，则B A ,可交换的充要条件是AB 为对称矩阵．证明 因B A ,均为反对称矩阵，故有A A T -=，B B T -=，又因为B A ,可交换，故有BA AB =成立.从而()()()BA AB A B A B AB T T T ==--== ()12 反之，若AB 为对称矩阵，则()()()AB BA A B A B AB AB T T T ==--=== ()13所以B A ,是可交换矩阵.定理５[3] 若B A ,为同阶可逆矩阵，则B A ,可交换的充要条件是11,--B A 可交换.证明 因BA AB =,故有()14 即1-A 与1-B 是可交换的.反之，因1-A ，1-B 可交换，故有()15两边求逆得到BA AB =.推论 可逆矩阵B A ,可交换的充要条件是()111---=A B AB .()()()BA A B AB AB T T T -===-()()111111------===B A BA AB A B ()()111111------===AB A B B A BA定理6[3] 若B A ,为n 阶方阵，则AB 可交换的条件是()T T TB A AB = 证明 如果BA AB =，那么()()T T TT B A BA AB ==反之，若()T T T A B AB =，则()()TT T T BA A B AB ==，即BA AB =. 定理7[5] 矩阵A 能与一切n 阶矩阵可交换的充分必要条件是A 为数量矩阵. 证明 若A 与一切n 阶矩阵可交换，自然与对角线上元素互不相同的对角矩阵可交换，由此可知A 必为一对角线矩阵.设⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n d d d A ..21 取矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0..00.....0....0..001..11B 代入条件BA AB =,得n d d d === 21，所以A 是一个数量矩阵. 反之，设aI A =,B 为任意n 阶矩阵，则()()()BA Ia B a BI Ba aB B aI AB ======()16引理1 (1)0=A 时（即A 为零矩阵时），与A 可交换得矩阵B 可以是任意的与A 同价的B 矩阵.(2)A 的幂矩阵总是与A 可交换.定理8[ 7 ] 与A 可交换的多项式矩阵总可以转化为小于等于1-n 次的多项式矩阵.定理9[ 7 ] 一个矩阵A 化为约当标准型后，若中没有纯量矩阵的约当块，那么与A 可交换的矩阵其充要条件为B 可化为A 的1-n 次多项式.定理10[7] 下列均是A ,B 可交换的充要条件:(1)()()()()B A B A B A B A B A +-=-+=-(2)()'''B A AB = 定理11[5] 可逆矩阵A , B 可交换的充要条件是：()B A AB ⨯=． 定理12[7] (1)设A ,B 均为(反) 对称矩阵, 则A ,B 可交换的充要条件是AB 为对称矩阵．(2)设A ,B 有一为对称矩阵,另一为反对称矩阵,则A ,B 可交换的充要条件是AB 为反对称矩阵.(二)相关结论定理13[7] 设A ,B 是可交换矩阵，则以下结论成立：(1)()()()()B A B A B A B A B A -+=+-=-22(2)()2222B AB A B A ++=+(3)()2222B AB A B A +-=- (4)()A B AB A B AB m m K K K==,，其中m k ,分别为正整数 ()()121---+++-=-m m m m m B B A A B A B A(5)()k k m m k k m mB AC B A -=∑=+0 证明 (1)因为()()22B BA AB A B A B A --+=-+()()22B BA AB A B A B A -+-=-+由已知BA AB =，可得()()()()B A B A B A B A B A -+=+-=-22(2)()()()222B BA AB A B A B A B A +++=++=+ 由已知BA AB =，可得()2222B AB A B A ++=+同理可得： ()2222B AB A B A +-=-(3)由已知BA AB =,可得 ()k k k B A B AB AA AB AABB AB ABAB AB ==== ,A B BA BB B BAB B ABB AB m m =====(4)运用数学归纳法①当2=m 时，由（1）等式成立，即()()B A B A B A +-=-22②假设1-=k m 时，等式成立，即有()()23211-----+++-=-k k k k k B B A A B A B A ③当k m =时，由已知BA AB =，有()()A B B A B A B A B A k k k k k k 1111----+-+-=-()()()A B B A B A B B A A B A k k k k k 12232-----+-++++-= A B B A B A B A B B A B A A k k k k k k k 1133322221------+-----+++= 由性质有11--=k k AB A B ，11--=k k BA B A因此，上式可转化为：A B B A B A B B A B A A B A k k k k k k k k k 1122221-----+----+++=- k k k k k k k k B A B A BA AB B A B A A ----++++=------ 332211221B - ()()121---+++-=k k k B B A A B A()()()B A B B A B A B A A k k k -++-+-=---121即证得()()121---+++-=-m m m m m B B A A B A B A 同理可证得()()B A B B A A B A m m m m m -+++=----121 (5)对m 用数学归纳法同（4）即可得证.(三) 可交换矩阵的性质高等代数中可交换矩阵具有一些特殊的性质.性质1[2] 设A ,B 可交换,则有:(1)BA AB =,AB BA =,其中m ,k 都是正整数(2)()()A B f B Af =,其中()B f 是B 的多项式,即A 与B 的多项式可交换(3)()()()()B A B AB A B AB A B A B A -++=++-=-?？(4)()k m mk k m mB AC B A 10-=∑=+ 性质2[4](矩阵二项式定理) 设B A ,可交换,则有：(1)若B A ,均为对合矩阵,则AB 也为对合矩阵(2)若B A ,均为幂等矩阵,则AB B A AB -+,也为幂等矩阵(3)若B A ,均为幂幺矩阵,则AB 也为幂幺矩阵(4)若B A ,均为幂零矩阵,则B A AB +,均为幂零矩阵.三、几类常用的可交换矩阵假设以下矩阵均为n 阶实方阵，定理14[7] （1）设B A ,至少有一个为零矩阵,则B A ,可交换(2)设B A ,至少有一个为单位矩阵, 则B A ,可交换(3)设B A ,至少有一个为数量矩阵,则B A ,可交换(4)设B A ,均为对角矩阵,则B A ,可交换(5)设B A ,均为准对角矩阵,则B A ,可交换(6)设*A 是A 的伴随矩阵,则*A 与A 可交换(7)设A 可逆,则A 与A 可交换(8)设E AB =,则B A ,可交换.定理15[7] (1)设B A AB βα+=,其中βα,为非零实数,则B A ,可交换(2)设E AB Am =+α ,其中m 为正整数,α为非零实数,则B A ,可交换. 定理16[7] (1)设A 可逆,若O AB =或AB A =或BA A =,则B A ,可交换(2)设B A ,均可逆,若对任意实数ｋ,均有()B kE A A -=,则B A ,可交换.四、可交换矩阵的应用例1 设A 与所有的n 阶矩阵均可交换，证明A 一定是数量矩阵. 证明 记()n n ij a ⨯，用ij E 将第i 行第j 列的元素表示为1，而其余元素为零的n n ⨯矩阵.因A 与任何矩阵均可交换，因此必与ij E 可交换.由A E AE ij ij =,得()n j i a a jj ii ,,2,1, ==及()n j i j i a ij ,,2,1,,0 =≠=.故A 是数量矩阵.例2 与任意一个n 阶方阵相乘都可交换的方阵必为数量矩阵？解 不妨设B 为可逆矩阵，由于BA AB =，所以对于任意可逆阵B 都有A AB B =-1即A 的任意线性变换仍是A 自己，这样的矩阵只能是KI ．例3 如果矩阵A 与所有的n 阶矩阵可交换，则A 一定是数量矩阵，即aE A =．证明 记ij A 用ij E 将第i 行第j 列的元素表示为1，而其余元素为零的矩阵.因A 与任何矩阵均可交换，所以必与E 可交换.由A E AE ij ij =得ij ji a a = （n j i ,3,2,1== 及0=ij a i 不等于j ）故A 是数量矩阵．例4 若矩阵21,A A 都与B 可交换，则2121,A A LA KA +也都与B 可交换. 解 由已知11BA B A =，22BA B A =，那么()()21212121LA KA B BLA BKA B LA B KA B LA KA +=+=+=+()()()()2121212121A A B A B A BA A B A A B A A ====．例5 A 与B 可交换（即BA AB =)的充分必要条件是AB 为对称矩阵（即()AB AB T =）．解 题目根本就是错的，A 取单位阵，B 取任意非对称阵，那么AB 非对称但BA AB =．一定要加一个条件A 和B 本身都是对称阵才有结论.若BA AB =，则()()AB B A BA AB T T TT ===.反之，若()AB AB T =，则 BA A B AB T T ==．例6 设A ,B 为乘积可交换的n 阶矩阵,且初等因子为一次的，则存在n 阶可逆矩阵P ,使得都为对角矩阵.证明 在V 中选取一组基,存在线性变换,它们在该基下的矩阵分别为B A ,,且A ,B 与对角形相似.例7 所有与A 可交换的矩阵对于矩阵的加法和乘法作成环.解 一般地,由于交换性问题,乘法公式对于n 阶矩阵的多项式不再成立,如果所出现的n 阶矩阵互相都是交换的,则乘法公式成立.例如()⇔+±=±2222B AB A B A A 和B 可交换.()()⇔-=-+22B A B A B A A 和B 可交换.A 和B 可交换⇒(不是⇔!)有二项公式.例8 (1)设矩阵()n a a a diag A ,,,21 =为对角矩阵，其中j i ≠时，()n j i a a j i ,,2,1, =≠,则B A ,可交换的充要条件是B 为对角矩阵.若B A ,均为对角矩阵则，B A ,可交换．若B 与()n a a a diag A ,,,21 =可交换，i 不等于j 时，j i a a ≠，（n j i ,2,1,=），证明 设()()()n n ij n n ij n n ij d BA C AB b B ⨯⨯⨯===,,，因为A 为对角矩阵，故()n j i b a d b a c ij j ij ij i ij ,,2,1,, ===由BA AB =,即()n j i d c ij ij ,,2,1, ==得()0=-ij j i b a a而j i ≠时，(),,,2,1,0n j i a a j i =≠⋅故 ()n j i j i b ij ,,2,1,,0 =≠=所以B 为对角矩阵．五、总结本文通过大量的例题对可交换矩阵在计算与证明以及应用三方面进行了总结分析，在证明方面，涉及了矩阵的条件与性质和矩阵列(行)向量线性相关性等问题，利用可交换矩阵可以很清晰地描述线性方程组的解与其相关内容，对一些具体的解与矩阵行（列）向量组线性相关性之间的关系给出了结论.通过本文的论述，充分体现了可交换矩阵在代数计算与证明方面所具有的一定的优越性，也给出了可交换矩阵和矩阵可交换在代数学中所具有的重要地位，当然在对可交换矩阵的应用的论述上本文并不是所有类型的证明与计算都进行了讨论，只是针对一些具有代表性的应用例子上进行证明，所以在应用的完整性上还有待改进，并可以继续进行研究探讨.于此同时，通过课题的详细研究，也让我进一步巩固和加深了对可交换矩阵的理解，在今后的探讨中相信也会有所进步．参考文献[1].北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数（第三版）[M].高等教育出版社.2007:181-186.[2].戴立辉，《矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质》，华东地质学院学报，2002(04)[3].阎家灏，赵锡英，《可交换矩阵》，兰州工业高等专科学校学报2002(03)[4].戴笠辉、颜七笙， 《矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质》，华东地质学院学报，2002,25(4)[5].李瑞娟、张厚超 ，《可交换矩阵浅析》，和田师范专科学校学报，2009(4)[6].呙林兵，《与方阵可交换的矩阵为矩阵多项式的探讨》，长沙大学学报，2010,24(5)[7].赵锡英、闫家瀛，《可交换矩阵》，兰州工业高等专科学校学报，2002,9(3)[8].龙兴华、马圣荣、颜世建，《矩阵方程AX+XB=C的显式解及其应用》， 2002致谢本文是在老师的细心指导下完成的，导师从我们每一个人的论题出发，给予我们详细的指导，并结合知识点进行讲解，这使我们从开始的茫然变的思路清晰，课题才得以顺利进行，导师在学习上的谆谆教诲和身体力行以及无私的帮助使我受益终身，在此谨向导师表示衷心的感谢！导师高度的敬业精神，为学生们树立了良好的风范，也是我今后所追求的目标.“登泰山始懂尊冠五岳，遇导师才知德高智睿”，师恩浩瀚，溢于言表! 课题的顺利进行，还得益于和我同行的两位同学和四年来各位同学的支持和帮助，在此特别感谢在论文的书写和编辑上帮助我的同组同学和在文献查阅与思路启发上给予的莫大帮助的同学们，为论文顺利的进行奠定了基础.感谢我的同学提供的友好合作和无私帮助，永远难忘在一起拼搏的日日夜夜.最后谨向所有帮助和支持过我的领导、老师、同学及亲友们表示最诚挚的谢意.友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。
线性代数课件-05矩阵的初等变换与初等矩阵
伴随矩阵法
利用伴随矩阵的定义和性质，通 过计算伴随矩阵的元素，得到逆 矩阵的元素。
行列式计算
行列式定义
对于一个n阶方阵A，其行列式记 为|A|，定义为所有取自不同行不 同列的元素乘积的代数和。
初等行变换法
通过初等行变换将矩阵A化为阶梯 形矩阵，同时记录下每一步的变 换，最后得到的行列式即为所求 。
消元法
利用初等行变换将增广矩阵化为阶梯 形矩阵的过程，实际上是消元的过程 ，通过消元可以逐步求解线性方程组 。
求逆矩阵
逆矩阵定义
对于一个非奇异矩阵A，其逆矩阵 A^(-1)满足AA^(-1)=E，其中E为 单位矩阵。
初等行变换法
通过初等行变换将矩阵A化为单位 矩阵，同时记录下每一步的变换 ，最后得到的逆矩阵即为所求。
代数余子式
行列式中的每一项可以表示为对 应元素的代数余子式的乘积，代 数余子式是去掉某一元素所在的 行和列后得到的行列式的值乘以(1)^(i+j)，其中i和j分别为该元素 所在的行号和列号。
04
矩阵的初等变换与初等矩阵 的性质
初等矩阵的逆矩阵
定义
如果存在一个矩阵A，使得$AB=BA=I$， 则称A是B的逆矩阵，记作$A=B^{-1}$。
性质
如果$A$是可逆矩阵，则$A^{-1}$也是可逆的，且 $(A^{-1})^{-1}=A$。
计算方法
通过高斯消元法或LU分解等方法计算逆矩阵 。
初等变换的性质
01
交换两行（列）
如果矩阵A经过交换两行（列） 后得到矩阵B，则$det(A)=det(B)$。
02
某行（列）乘以常 数k
如果矩阵A经过某行（列）乘以 常数k后得到矩阵B，则 $det(A)=k*det(B)$。
(整理)可交换矩阵成立的条件和性质.
内蒙古财经大学本科学年论文可交换矩阵成立的条件与性质作者：系别：专业：年级：学号：指导教师：导师职称:指导教师评语：该学生在整个论文书写过程中态度端正,能配合指导教师，指导教师交给的任务基本能在规定时间内的完成。
在开题以后，对论文题目理解正确，在指导下能完成论文初稿的书写，书写基本符合规范.但对参考书目及参考文献的依赖性太大,应在论文中添加自己独立的理解及总结。
成绩：中指导教师:内容提要矩阵是高等数学中一个重要的内容,在数学领域中以及其他科学领域中有着重大的理论意义。
众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的,即在通常情况下，BAAB≠。
但是，在某种特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律.可交换矩阵有着很多特殊的性质和重要的作用。
本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵.关键字：矩阵可交换条件性质上三角矩阵AbstractMatrix is an important content in altitude—mathematics，it has a great theoretic significance in the aspect of both mathematics and other science fields。
As far as we have concerned， the multiplication of matrix could not satisfy the exchange ruleAB≠. Whereas, in some certain under the normal condition, that is to say, normally，BAconditions, the multiplication of matrix could satisfy the exchange rule. The exchangeable matrix has many special properties and important effections。
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且 b11 b22 为任意数值，但 a11 b22 ，对 b12 不做要求。
例：
A
3 0
5 3
，则可与
A
交换的矩阵为
B
5 0
6 5
。
则
AB
BA
15
0
43
15
。
（3）对于三阶上三角矩阵，如果其主对角线的元素相同，则与之可交换的 矩阵同样为上三角矩阵，主对角线的值也一样。
a11 a12 a13
dn1
d1n
。
dnn
显然有 C D 。 （3） AB 与 BA 均有意义，且二者阶数也相同但是最后具体的乘积方阵还是 不一样。
比如说：矩阵
A
=
2 1
1 1
，
B
=
1 1
2 2
。
AB
=
2 1
1 1 1 1
2 3 2 2
6 4
=
C
；
但是
BA
=
1 1
2 2 2 1
1 1
4 4
3 3
=
D
。显然
C
○1
○ 再在 1 式两边同时右乘 A1 ， 则出现 BA1 A1BAA1 A1B
所以 A1与B 可交换。该性质得证。
四、可交换矩阵的性质
上面我们了解到了一些可交换矩阵的判定方法和一些性质。掌握了这些， 下面给出可交换矩阵的求法。 （1）先介绍最基础最简单的基础求法。根据可交换矩阵的定义求。
例
1：求矩阵
所以成立 ( AB)1 A1B1 。
定理 9： ( AB)* A*B* 证明：充分性 因为 ( AB)* B* A* ，又由题可知 ( AB)* A*B* ，
所以有 A*B* B*A*，所以有 ( AB)* (BA)* ，又 (BA)* A*B* ，
定理 6： ( A B)2 A2 2AB B2 ； 证明：充分性 ( A B)2 ( A B)( A B) A2 AB BA B2
又 ( A B)2 A2 2AB B2 ， 从而 AB BA 2AB 即 AB BA； 必要性： 若 AB BA 则 ( A B)2 ( A B)( A B) A2 AB BA B2 A2 2AB B2 ， 必要性得证。 定理 7： (AB) AB ； 证明：充分性 由题知 (AB) AB ，又因为 (BA) AB ，
我们都知道矩阵的乘法是不满足交换律的即一般情况下对于矩阵 A, B 是
AB BA 。 为什么会会出现这种情况呢，总的来说两个矩阵相乘可能出现以下情况： （1） AB 有意义时候， BA 不一定就有意义；
比如说：
a11
A
as1
a1n
b11
，
B
asn
bm1
b1n
。
bmn
s p，
bnn
b11a11
ann bn1a11
b12a22 bn2a22
所以它们中的对应项元素相同，即 aiibij ajjbij ，
b1nann
bnnann
又因为 aii ajj ，所以要满足上式只能是 bij ， 所以 B 为对角矩阵。 （3）： ABk Bk A
证明： ABk A B B =BAB B B B A Bk A 。
则 B 也为对角阵。
b11
证明：设
B
bn1
AB BA。
b1n
，
bnn
a11
AB
b11 ann bn1
b1n a11b11
bnn annbn1
a11b12 annbn 2
a11b1n
annbnn
b11
BA
bn1
因为 AB BA
b1n a11
又由 A ( A E)B 得 A1A A1( A E)B E 所以 B 可逆，
且 B1 A1( A E), B ( A E)1 A 则有
AB ( A E)B ( A E)1 A B(A E)A(A E ) 1
= B(A2 A)(A E ) 1 B(A E)A (A E ) 1 BA (AB)
○3 如果 A, B 至少有一个为数量矩阵，则 AB BA； ○4 如果有 AB E ，则 AB BA。
定理 2：若有方阵 A, B 如果满足有 AB aA bB 则 A, B 可交换（ a, b 为非零 实数）。
证明：若有 AB aA bB 则有 (A aE)(B bE) AB bA aB abE abE 所以有 1 (A aE)(B bE) E ，
所以
A
B
=C
c11
cs1
c1q
。但是
BA
却是无意义的。
csq
（2） AB 与 BA 均有意义时候两者阶数不一定相同，自然就不相等了；
a11
比如说有
A
am1
a1n
b11
，
B
amn
bn1
b1m
。
bnm
c11
依此有
AB
=
C
=
cm1
c1m
d11
，但是
BA
=
D
=
cmm
可交换矩阵的一些基础知识
来到大学进入数学系学习才第一次知道了矩阵,了解到其实它是数学中极其 重要的一个工具.如同我们最了解的数字符号一样,矩阵也有着自己的运算法则. 这整个的矩阵理论是建立在矩阵的运算上的.所以对于矩阵运算的研究在矩阵理 论中骑着至关重要的作用.这篇论文我着重讨论一下可交换矩阵.
一、可交换矩阵
a11
称
A
为
n
阶对角矩阵记为
A
=
ann
定义 2：在 n 阶对角阵 A 中，若 a11 a22 = =ann = ，称 A 为数量阵，记为 A = E ,其中 E 为 n 阶单位矩阵。
定义 3：若 n 阶方阵 A 满足 A A，则称 A 为对称阵。 定义 4：若 n 阶方阵 A = (aij )nn 满足 A= A 即 aij = aji （ i ， j =1，2，… n ）， A B 为 A 的转置，则 A 为反对称矩阵。 定义 5：若同阶方阵 A , B 满足 AB E , E 为同阶单位矩阵，则称 A, B 互为逆
所以有 (AB) (BA) ，
从而有 AB BA。 必要性： AB BA，则 (AB) (BA)
又有 (AB) BA ，
所以 (AB) AB 。
定理 8： ( AB)1 A1B1 。 证明：充分性 由题知有 ( AB)1 A1B1 ，又有 A1B1 (BA)1 ，
所以 ( AB)1 (BA)1 ， 从而 AB BA。 必要性： 已知两矩阵可交换即有 AB BA 从而 ( AB)1 (BA)1 又因为有 (BA)1 A1B1 ，
b11 b12 b13
证明：
A
0
a22
a23
，其中
a11
a22
a33
，
B
b21
b22
b23
，
0 0 a33
b31 b32 b33
矩阵。记为， A1 B, B1 A 。
定义 6：若 n 阶方阵 A 满足 AA AA E ，其中 E 为单位矩阵，则称 A 为 n 阶 正交阵。
二、可交换矩阵的判定
如何判断一个矩阵是否是可交换矩阵呢，在下面给出他的判定方法。 1 可交换矩阵的充分条件
定理 1：
○1 设 A, B 至少有一个为零矩阵，则 AB BA; ○2 如果 A, B 均为对角矩阵，则 AB BA；
k个
k个
（4）： f (B) 为矩阵 B 的多项式，则存在
Af (B) f (B)A 。即 A 与 B 的多项式可交换。
证明：设行列式 B 的多项式为 f (B) a aB aB2 aBn ， a 为常数
则 Af (B) Aa AaB AaB2 AaBn aA aAB aAB2 aABn
A
=
1 2
2 3
的可交换矩阵。
解：设矩阵
B
a c
b d
为
A
的可交换矩阵。则有
AB
BA.
AB
=
1 2
2a
3
c
b d
a 2c 2a 3c
b 2d 2b 3d
C
a b 1 2 a 2b 2a 3b
BA
c
d
2
3
c
2d
2c
3d
D
a 2 a 2b
A
aE
，
B
为
n
阶方阵，
B
bn1
b1n
。
bnn
AB
b11
aEB
aB
a
bn1
b1n ab11
bnn abn1
Ba BaE BA。所以两者可交换。
ab1n b11
abnn bn1
b1n
a
bnn
（2）：设矩阵 A (aij )nn ，若 i j 则 aij 0 且 aii a jj 。那么如果 AB BA，
列出四元一次方程组有
b 2d 2a 3b 2a 3c c 2d
，解得
a
b
c c
d
，则只要满足这两
2b 3d 2c 3d
个狮子的四个数字就可以是矩阵 A 的可交换矩阵。例如取 a 3， b 2 ，
c 2 d 5。
则
B
3 2
2 5
为
A
的可交换矩阵，
AB
BA
7 12
在同时对两边取转置得 AB BA。 2 可交换矩阵的充要条件
定理 5： A2 B2 ( A B)( A B)