矩阵分析小论文-线性变换的可交换性

矩阵可交换性的应用讲解

2015届学士学位毕业论文矩阵可交换性的应用 学号：11404111 姓名：郭冬冬 班级：数学1101 指导教师：闫慧凰 专业：数学与应用数学 系别：数学系 完成时间：2014年4月

学生诚信承诺书 本人郑重声明：所呈交的论文《矩阵可交换性的应用》是我个人在导师闫慧凰指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得长治学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：日期： 论文使用授权说明 本人完全了解长治学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 签名：日期： 指导教师声明书 本人声明：该学位论文是本人指导学生完成的研究成果，已经审阅过论文的全部内容，并能够保证题目、关键词、摘要部分中英文内容的一致性和准确性。 指导教师签名：时间

摘要 矩阵在高等数学中是一个极重要且应用广泛的概念，是线性代数的核心。而且在一些重要领域也用到了矩阵的计算，像应用数学、计算数学、经济学、数学物理、卫星通信等等，许多工作人员在大量计算这些矩阵时发现了一些对于特殊矩阵成立的公式和规律，本文将用这些规律来叙述一些特殊矩阵（可交换矩阵）的应用。 关键词：矩阵；可交换

目录 1.绪论 (1) 2.基础知识 (1) 2.1 矩阵相关概念 (1) 2.2 线性变换相关概念 (2) 3.矩阵可交换的应用 (3) 3.1线性变换与矩阵（可交换）之间的联系 (3) 3.2上三角矩阵可交换的应用 (4)

线性代数结课论文

华北水利水电大学 线性代数发展简史 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成：姓名 学号 联系方式： 年月日

摘要：一次方程也叫线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就是线性代数，它是高等代数的一大分支，同时也是大学数学教育中一门主要基础课程。线性代数的主要内容有行列式、矩阵、向量、线性方程组、线性空间、线性变换、欧式空间和二次型等。 关键词：线性代数行列式矩阵向量线性方程组二次型群论 正文： 1.引言：线性代数是大学数学教育中一门主要基础课程，对于培养面向21世纪人才起着重要作用。通过了解线性代数的发展简史可以让我们更好地理解数学，从而更好地学习并应用它。 2.1 行列式 我们知道，在线性代数中最重要的内容之一就是行列式，它不仅是一种语言和速记，而且他的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙，同时人们已经证明了这个概念是数学、物理中非常有用的工具。 行列式出现于线性方程组的求解，它的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和在其著作《解伏题之法》中提出的。他于1683年写

了这本书，书里对行列式的概念和它的算法进行了清除的叙述。同时代的德国数学家莱布尼茨是欧洲提出行列式的第一人，也是微积分学的奠基人之一，他于1693年4月在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，而且给出方程组的系数行列式为零的条件。 1750年，瑞士数学家克莱姆在其著作《线性带分析导引》中，比较完整、明确地阐述了行列式的定义与展开法，并且发表了求解线性系统方程的重要公式，即我们现在所称的解线性方程组的克莱姆法则。 1764年，数学家贝祖将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式等于零这一条件判断对给定了含n个未知量的n 个齐次线性方程是否有非零解。 尽管上述几位数学家对行列式的提出与应用做出了很大的贡献，但仍在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究。 可喜的是，法国数学家范德蒙给出了一条法则，用二阶余子式和它们的余子式来展开行列式，从而把行列式理论与线性方程组求解相分离，他也因此成为了第一个对行列式理论做出连贯的系统的阐述的人。范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但他对数学却有浓厚的兴趣，后来终于成为了法兰西科学院院士，就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。 1772年，拉普拉斯在论文《对积分和世界体系的探讨》中证明了范德蒙的一些规则，并推广了他的展开行列式的方法。

§7.3线性变换和矩阵.

1．在向量空间 3 F 3中,设1, 1, 1, 1, 是F3的两个基, F 3), 1) 3到 基§7.3 线性变换和矩 阵 1, 0, 1, 1 , 1, 1, 1 2, 1, 1 3 的过渡矩阵； 1,2,3 2) 在基1, 2, 3下的矩阵； 3)求基1, 2, 3下的矩阵； 4)设 (2,1,3) ,分别求在基 1, 2, 3与1 设三维向量空间V 的线性变换在基1, 2 , 3 下的矩阵是 a11a12a13 A a21a22a23 a31a32a33 1)求在基3, 2, 1下的矩阵； 2)求在基1,k 2 , 3下的矩阵, 其中0k F；2 2． 12 12 3 下的坐标．3) 在基3下的矩阵． 3．在向量空间M 2 (F) 中,定义线性变换 (x)= a b a b (X)= a c b d X c a d b

在基E11, E12, E21, E22下的矩阵. 4.在F 2 2中，求在基E11, E12, E21, E22下的矩阵为 1020 0102 A 3040 0304 的线性变换 . 5. 在n维向量空间V中， L(V)，存在向量V ，使得 n1 0，但 n 0 .证 明：V中存在一个基，使得在这个基下的矩阵是 0E n1 00 6. 设A s B，C s D,证明 A0B0 s 0C0C 7. 设A可逆，证明：AB^BA. 8. 在向量空间F3 3中，设 ab c c a b b c a A b c a ， B a b c， C c a b ca b b c a a b c 证明：A，B， C 彼此此相似. 9.设V 是数域 F 上n 维向量空间，证明：V 的与全体线性变换可交换的线性变换是数乘变换. 10.设V是数域F上n维向量空间，问V中是否有线性变换，，使其中I 是恒等变换，为什么？对无限维空间结论又如何？ I.

可交换矩阵

可交换矩阵 目录 1矩阵可交换的几个充分条件和必要条件定理1 1定理2 1定理3 1定理4 1定理5 1定理6 1可交换矩阵的一些性质性质1 1性质2 展开 满足乘法交换律的方阵称为可交换矩阵,即矩阵A，B满足：A·B=B·A。高等代数中可交换矩阵具有一些特殊的性质。下面所说的的矩阵均指n 阶实方阵.。 编辑本段矩阵可交换的几个充分条件和必要条件 定理1 下面是可交换矩阵的充分条件：(1) 设A , B 至少有一个为零矩阵,则A , B 可交换; (2) 设A , B 至少有一个为单位矩阵, 则A , B可交换; (3) 设A , B 至少有一个为数量矩阵, 则A , B可交换; (4) 设A , B 均为对角矩阵,则A , B 可交换; (5) 设A , B 均为准对角矩阵,则A , B 可交换; (6) 设A*是A 的伴随矩阵,则A*与A可交换; (7) 设A可逆,则A 与A 可交换; (8) 设AB = E ,则A , B 可交换. 定理2 (1) 设AB =αA +βB ,其中α,β为非零实数,则A , B 可交换; (2) 设A m +αAB = E ,其中m 为正整数,α为非零实数,则A , B 可交换. 定理3 (1) 设A 可逆,若AB = O 或A = AB或A = BA ,则A , B 可交换; (2) 设A , B 均可逆, 若对任意实数k , 均有A = ( A - k·E) B ,则A , B 可交换. 矩阵可交换的几个充要条件 定理4 下列均是A , B 可交换的充要条件: (1) A - B = ( A + B) ( A - B) =( A - B) ( A

矩阵理论中的矩阵分析的实际应用论文

矩阵分析在同步捕获性能研究新应用 摘要：该文提出了一种利用概率转移矩阵计算捕获传输函数的方法，通过将以往分析方法中的流程图转换为概率转移矩阵，仅需知道一步转移概率矩阵，利用现代计算机编程语言(如MAPLE，MATLAB等)的符号运算功能，即可得到捕获系统的传输函数：通过对传输函数求导，可计算平均捕获时间。矩阵分析方法可完整地计算出捕获系统的传输函数，可弥补流程图方法在分析传统连续搜索捕获方案的传输函数时所忽略的项；可纠正流程图方法在分 析非连续搜索捕获方案的传输函数时所引起的误差。 关键词：CDMA；矩阵分析；传输函数；流程图；捕获 A Novel Acquisition Performance Evaluation Approach Based on Matrix Analysis Abstract：A novel acquisition performance analysis approach is proposed based on matrix analysis．Given the first step transition probability matrix，the transfer function of acquisition system can be obtained by utilizing the symbol operation function of computer programming such as MAPLE，MATLAB and so on，and the mean acquisition time can be computed by differentiating the transfer function．The transfer function of acquisition system can be computed perfectly by matrix analysis，it not only complements the items neglected in that of conventional serial acquisition scheme but also corrects the error items in that of nonconsecutive acquisition scheme．

交换矩阵

可交换矩阵的一些基础知识 来到大学进入数学系学习才第一次知道了矩阵,了解到其实它是数学中极其重要的一个工具.如同我们最了解的数字符号一样,矩阵也有着自己的运算法则.这整个的矩阵理论是建立在矩阵的运算上的.所以对于矩阵运算的研究在矩阵理论中骑着至关重要的作用.这篇论文我着重讨论一下可交换矩阵. 一、可交换矩阵 我们都知道矩阵的乘法是不满足交换律的即一般情况下对于矩阵,A B 是 AB BA ≠。 为什么会会出现这种情况呢，总的来说两个矩阵相乘可能出现以下情况： （1）AB 有意义时候，BA 不一定就有意义； 比如说：1111n s sn a a A a a ?? ?= ? ??? ，1111n m mn b b B b b ?? ? = ? ? ?? 。s p ≠， 所以A B =1111 q s sq c c C c c ?? ? = ? ? ?? 。但是BA 却是无意义的。 （2）AB 与BA 均有意义时候两者阶数不一定相同，自然就不相等了； 比如说有1111n m mn a a A a a ?? ?= ? ??? ， 1111 m n nm b b B b b ?? ? = ? ? ?? 。 依此有AB =C =1111m m mm c c c c ?? ? ? ??? ，但是BA =D =1111n n nn d d d d ?? ? ? ??? 。 显然有C D ≠。 （3）AB 与BA 均有意义，且二者阶数也相同但是最后具体的乘积方阵还是不一样。 比如说：矩阵A =2111??????，B =1212?? ?? ?? 。 AB =211236111224?????? =???????????? =C ；

矩阵论论文

西安理工大学 研究生课程论文 课程名称：矩阵论 任课教师：XXX 论文/研究报告题目：线性变换在 电路方程中的应用 完成日期：2014年11月5日学科：Xxxx 学号：XXXXXXX 姓名：XXX 成绩：

线性变换在电路方程中的应用 摘要：电路分析中的坐标变换和复杂绕组变压器分析中所用的变压器变换都是电路方程的线性变换。根据矩阵理论，对坐标变换和变压器变换进行了统一阐释。坐标变换本质是一个方阵和对角阵的相似变换，变压器变换的本质是新变量对旧变量的表示，当变换矩阵的逆阵等于它的转置（共轭转置）阵时，坐标变换和变压器变换数学表示是相同的。通过对电路方程系数矩阵和三角阵的相似变换，同时得到了三相 abc 坐标系和任意速度旋转两相 dq0 坐标系、瞬时值复数分量 120 坐标系、前进 - 后退 FB0 坐标系之间的变换矩阵。这有助于在更加基础的理论层面上揭示和理解电路方程线性变换的本质，也为提出电路方程线性变换的新类型提供了思路。 关键词：电路方程；线性变换；坐标变换；变压器变换 引言 在交流电机等电路分析中，常用的坐标变换是指三相静止 abc 坐标系任意速度旋转两相 d q坐标系、瞬时值复数分量 120 坐标系、 前进 - 后退 F B坐标系，以及它们对应的特殊坐标系的变量之间的 相互转换。电路方程坐标变换的主要目的是使电压、电流、磁链方程系数矩阵对角化和非时变化，从而简化数学模型，使分析和控制变得简单、准确、易行。还有一类电路方程变换，其目的是用旧变量表示出新变量，例如变压器中由原边变量利用变比变换而来的副边变量，把这类电路方程变换称为变压器变换。坐标变换已有很多文献进行了阐述，但这些阐述大都是基于物理概念的。变压器变换在复杂绕组变

线性变换与矩阵地关系

线性变换与矩阵的关系 学院：数学与计算机科学学院 班级：2011级数学与应用数学 ： 学号：

线性变换与矩阵的关系 （西北民族大学数学与应用数学专业， 730124） 指导教师 一、线性变换 定义1 设有两个非空集合V,U，若对于V中任一元素α，按照一定规则总有U中一个确定的元素β和它对应，则这个对应规则被称为从集合V到集合U的变换（或映射），记作β=T(α)或β=T α,( α∈V)。 设α∈V，T(α)= β,则说变换T把元素α变为β，β称为α在变换T下的象，α称为β在变换T下的源，V称为变换T的源集，象的全体所构成的集合称为象集，记作T(V)。即 T(V)={ β=T(α)|α∈V}, 显然T(V) ?U 注：变换的概念实际上是函数概念的推广。 定义2 设V n,U m分别是实数域R上的n维和m维线性空间，T是一个从V n到U m得变换，如果变换满足 （1）任给α1 ，α2∈V n，有T(α1+α2)=T(α1)+T(α2); （2）任给α∈V n，k∈R，都有 T(kα)=kT(α)。 那么，就称T为从V n到U m的线性变换。 说明：

○1线性变换就是保持线性组合的对应的变换。 ○2一般用黑体大写字母T,A,B,…代表现象变换，T(α)或Tα代表元 α在变换下的象。 ○3若U m=V n，则T是一个从线性空间V n到其自身的线性变换，称为线性空 V n中的线性变换。下面主要讨论线性空间V n中的线性变换。 二、线性变换的性质 设T是V n中的线性变换，则 (1)T(0)=0,T(-α)=-T(α); (2)若β=k1α1+k2α2+…+k mαm,则Tβ=k1Tα1+k2Tα2+…+k m Tα m; (3)若α1，…αm线性相关，则Tα1…Tαm亦线性相关； 注：讨论对线性无关的情形不一定成立。 (4)线性变换T的象集T(V n)是一个线性空间V n的子空间。 记S T={α|α∈V n,T α=0}称为线性变换T的核，S T是V n的子空间。 设V和W是数域F上的向量空间，而σ：V→W是一个线性映射。那么 (i)σ是满射Im(σ)=W; (ii)σ是单射Ker(σ)={0}

矩阵可交换性质

矩阵可交换的条件及其性质 摘要：矩阵在高等数学中是一个极重要且应用广泛的概念，是线性代数的核心。本文通过对可交换矩阵理论的深入研究，对矩阵的可交换做了深入的探讨，归纳总结了矩阵可交换的条件及性质，给出了与已知矩阵可交换的矩阵的求法. 关键词：矩阵；可交换；可交换矩阵 The Conditions For The Commutation Of Matrix and Some Properties Abstract: Matrix in higher mathematics is a very important and widely used concept, is the core of the linear algebra.This article through to exchange matrix theory research, the matrix interchange to do a further study and summarizes the matrix interchangeable condition and properties are given, and the known matrix can exchange the matrix is introduced. Key words:Matrix；Commutation；The Commutation Of Matrix

目录 1 引言........................................................................................................................................ - 1 - 2 可交换矩阵的基本定义........................................................................................................ - 1 - 3 矩阵可交换的条件................................................................................................................ - 1 - 3.2 矩阵可交换的几个充要条件............................................................................................... - 3 - 4 可交换矩阵的性质.................................................................................................................. - 5 - 5 与已知矩阵可交换的矩阵的求法........................................................................................ - 5 - 5.1 定义法.......................................................................................................................... - 5 - 6 结论（结束语）.................................................................................................................... - 9 - 7 致谢...................................................................................................................................... - 10 - 参考文献.................................................................................................................................... - 10 -

线性变换和矩阵.

§3 线性变换和矩阵 一、线性变换关于基的矩阵 设V 是数域P 上n 维线性空间.n εεε,,,21 V 的一组基，现在建立线性变换与 矩阵关系. 空间V 中任意一个向量ξ可以被基n εεε,,,21 线性表出，即有关系式 n n x x x εεεξ+++= 2211 (1) 其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…，A n ε之间也必然有相同的关系： A ξ=A （n n x x x εεε+++ 2211） =1x A (1ε)+2x A (2ε)+…+n x A (n ε) (2) 上式表明，如果知道了基n εεε,,,21 的像，那么线性空间中任意一个向量ξ 的像也就知道了，或者说 1. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，如果线性变换?与?在这组基上 的作用相同，即 A i ε= B i ε， ,,,2,1n i = 那么A = B . 结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是 2. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，对于任意一组向量n ααα,,,21 一定有一个线性变换?使 A i ε=i α .,,2,1n i = 定理1 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，n ααα,,,21 是V 中任意n 个 向量.存在唯一的线性变换?使

A i ε=i α .,,2,1n i = 定义2 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个 线性变换.基向量的像可以被基线性表出： ???????+++=+++=+++=. ,,22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεε 用矩阵表示就是 A （n εεε,,,21 ）=（A (1ε)，A ?(2ε)，…， A (n ε)） =A n ),,,(21εεε (5) 其中 ?????? ? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122221 11211 矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵. 例 1 设m εεε,,,21 是n )(m n >维线性空间V 的子空间W 的一组基，把它 扩充为V 的一组基n εεε,,,21 .指定线性变换A 如下 ???+====. ,,1,0,,,2,1,n m i A m i A i i i εεε 如此确定的线性变换A 称为子空间W 的一个投影.不难证明 A 2=A 投影A 在基n εεε,,,21 下的矩阵是

矩阵可交换成立的条件与性质

毕业设计（论文） 题目矩阵可交换成立的条件与性质 学院理学院专业数学与应用数学年级2008级班级0814 姓名吴锦娜学号2008530088 指导教师李伟职称副教授

矩阵可交换成立的条件与性质 [摘要] 矩阵是高等数学中一个重要内容，在数学领域以及其他科学领域有着重大的理论意义．众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下，AB ．但是，在某些特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律．可交换矩阵有着很BA 多特殊的性质和重要的作用．本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质及应用，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵． [关键词]矩阵可交换条件性质应用

The Conditions for The Commutation of Matrix and Its Some Properties [Abstract] Matrix, a important content in altitude－mathematics, has a great theoretic significance in the aspect of both mathematics and other science field. As far as we have concerned, the multiplication of matrix could not satisfy the exchange rule under the normal condition, that is to say, normally,AB≠BA. Whereas, in some certain conditions, the multiplication of matrix could satisfy the exchange rule. The exchangeable matrix has many special properties and important effection. This paper discusses some conditions of the matrix exchange and part of the property of the exchangeable matrix , and also introduces several kinds of specific exchangeable matrix. All of these are discussed from the concept of exchangeable matrix and relative information. [Keywords]Matrix Interchangeable Conditions Property Application

(整理)可交换矩阵成立的条件和性质.

内蒙古财经大学本科学年论文 可交换矩阵成立的条件与性质 作者： 系别： 专业： 年级： 学号： 指导教师： 导师职称：

指导教师评语： 该学生在整个论文书写过程中态度端正，能配合指导教师，指导教师交给的任务基本能在规定时间内的完 成。在开题以后，对论文题目理解正确，在指导下能完 成论文初稿的书写，书写基本符合规范。但对参考书目 及参考文献的依赖性太大，应在论文中添加自己独立的 理解及总结。 成绩：中 指导教师：

内容提要 矩阵是高等数学中一个重要的内容，在数学领域中以及其他科学领域中有着重大的 理论意义.众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下， AB BA.但是，在某种特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律.可交换矩阵有着很多 特殊的性质和重要的作用.本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交 换的一些条件和可交换矩阵的部分性质，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵. 关键字：矩阵可交换条件性质上三角矩阵 Abstract Matrix is an importantcontent inaltitude-mathematics,it has agreattheoretic significanceintheaspectofbothmathematicsandothersciencefields.Asfaraswe haveconcerned,themultiplicationofmatrixcouldnotsatisfytheexchangeruleunder thenormal condition,thatis tosay,normally, AB BA.Whereas, insomecertain conditions, the multiplicatio n of matrix couldsatisfy the exchange rule. The exchangeable matrixhasmanyspecial properties and important effections. This paperdiscussessomeconditionsofthematrixexchangeandpartsofthepropertyof theexchangeablematrix,andalsointroducesseveralkindsofspecificexchangeable matrix.All of thesearediscussed from the conceptof exchangeable matrix and relativeinformation. KeyWords：matrix interchangeable conditions property upper triangularmatrix

可交换矩阵成立的条件和性质.

财经大学本科学年论文 可交换矩阵成立的条件与性质 作者： 系别： 专业： 年级： 学号： 指导教师： 导师职称：

指导教师评语： 该学生在整个论文书写过程中态度端正，能配合指导教师，指导教师交给的任务基本能在规定时间的完成。在开题以后，对论文题目理解正确，在指导下能完成论文初稿的书写，书写基本符合规。但对参考书目及参考文献的依赖性太大，应在论文中添加自己独立的理解及总结。 成绩：中 指导教师：

容提要 矩阵是高等数学中一个重要的容，在数学领域中以及其他科学领域中有着重大的理 论意义.众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下，AB≠.但是，在某种特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律.可交换矩阵有着很多BA 特殊的性质和重要的作用.本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换 的一些条件和可交换矩阵的部分性质，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵. 关键字：矩阵可交换条件性质上三角矩阵 Abstract Matrix is an important content in altitude-mathematics,it has a great theoretic significance in the aspect of both mathematics and other science fields. As far as we have concerned, the multiplication of matrix could not satisfy the exchange rule under the normal condition, that is to say, normally, AB≠. Whereas, in some certain conditions, the multiplication of matrix BA could satisfy the exchange rule. The exchangeable matrix has many special properties and important effections. This paper discusses some conditions of the matrix exchange and parts of the property of the exchangeable matrix , and also introduces several kinds of specific exchangeable matrix. All of these are discussed from the concept of exchangeable matrix and relative information.

matlab结课论文

山西大同大学matlab课程结课作业MATLAB程序应用 姓名： 课程序号： 2 班级： 学号： 2013年12月

1.实验内容：已知!123n n =????? ，编写一个程序求满足100!10n ≤的 最大的n 值以及此时!n 的值。 function n n=2;m=1; while m<=10^100 m=m.*n;n=n+1; end m=m/(n-1)；n=n-2; m n m = 1.7112e+098 n =69 2.设)15113111191715131 1(22 +--++--+=π，试根据公式编出计算pi 的Mat lab 主程序文件，pi 的精度为0.00001。 程序： k=0;n=1;b=0;a=0; while abs((pi-a))>0.00001 a=2*sqrt(2)*k; k=( bcos( *pi/2)+sin(b*pi/2))/n+k; n=n+2; b=b+1; end a 输出a=3.141602572083633 ; a-pi= 9.918493839577991e-006 3.有两个矩阵A 和B 如下：????????????---=771175420132861-1A ，????????????------=0162310013125673B ， 将A 中所有等于-1的元素改为-2，将B 中所有小于0的元素改为1，然后将B 中等于0的元素的值改为A 的相应位置元素的值。请用Matlab 函数文件实现上述运算。

clear; clc; A=[1 -1 6 8;2 3 -1 0;-2 4 5 7;1 -1 7 7]; B=[-3 -7 6 -5;-2 1 3 -1;0 0 1 3;2 6 -1 0]; C=A;A(A==-1)=-2;U=A; D=B;B(B<0)=1;V=B; A=C;B=D;[i,j]=find(B==0);A(i,j)=0;W=A; A=C;B=D; A,B,W,U,V %用函数文件实现矩阵中元素的变换。 %A、B为输入变量。 %U、V、W分别存放A、B中间变换结果。 ; 4.用matlab主程序文件产生动画：呈现一小圆（半径为1）在一大圆（半径为3）的圆周外部滚动的动画，要求连续滚动20周。 clea close;clc;r; axis([-6 6 -6 6],'equal','manual');hold on; ezplot('x^2+y^2-9'); h=ezplot('x^2+y^2-1'); x=get(h,'xdata'); y=get(h,'ydata'); for t=1:7200 set(h,'xdata',x+4*cosd(t),'ydata',y+4*sind(t)); drawnow; end

矩阵论课程论文

西安理工大学 研究生课程论文报告 课程名称：矩阵论 课程代号： 任课教师： 论文报告题目：矩阵函数在线性定常系统 状态转移矩阵求解中的应用完成日期：2015 年10 月25 日学科：电力电子与电力传动 学号： 姓名： 成绩：

矩阵函数在线性定常系统状态转移矩阵 求解中的应用 摘 要 控制系统的运动是系统性能定量分析的重要内容。“运动”是物理学上的一个概念，它是通过求系统方程的解)(t x 、)(t y 来分析研究的。由于状态方程是矩阵微分（差分）方程，输出方程式为矩阵代数方程，因此求系统方程的解主要是求状态方程的解。而求状态方程的解的关键是求状态转移矩阵。本文主要介绍了矩阵对角化标准型，约当标准型，凯莱-哈密顿定理及矩阵函数知识在线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵求解中的应用。 关键词：状态转移矩阵，约当标准型，凯莱-哈密顿定理，矩阵函数. 1.问题提出 线性系统有线性定常系统和线性时变系统，最为基本的是线性定常系统。而线性定常系统根据有无初始输入，分为线性定常齐次方程，和线性定常非齐次方程。本文只给出线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵的求解。 线性定常系统齐次方程的解亦即系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。 线性定常系统齐次状态方程为 ()()t Ax t x = ()1-1 其中，x 是n 维状态向量；A 为n n ?系数矩阵。设初始时刻00=t ，系统的初始状态()()00x t x =。仿照标量微分方程求解的方法求方程()1-1的解。 设方程()1-1的解为t 的向量幂级数形式，即 )(t x = ++++++k k t b t b t b t b b 332210 ()2-1 式中，() ,2,1,0=i b i 为n 维向量。 式()2-1代入方程()1-1得 () +++++=+++++-k k k k t b t b t b b b A t kb t b t b b 3322101232132 ()3-1 既然式()2-1是方程()1-1的解，则式()3-1对任意的t 都成立。因此，式()3-1的等式两边t 的同次幂项的系数应相等，有

线性代数：可交换整理

下面是可交换矩阵的充分条件： (1) 设A , B 至少有一个为零矩阵,则A , B 可交换; (2) 设A , B 至少有一个为单位矩阵, 则A , B可交换; (3) 设A , B 至少有一个为数量矩阵, 则A , B可交换; (4) 设A , B 均为对角矩阵,则A , B 可交换; (5) 设A , B 均为准对角矩阵（准对角矩阵是分块矩阵概念下的一种矩阵。即除去主对角线上分块矩阵不为零矩阵外，其余分块矩阵均为零矩阵）,且对角线上的子块均可交换，则A , B 可交换; (6) 设A*是A 的伴随矩阵,则A*与A可交换; (7) 设A可逆,则A 与其逆矩阵可交换; 注：A的逆矩阵经过数乘变换所得到的矩阵也可以与A进行交换。 (8) （n=0,1..., ）可与(m=0,1..., )交换.这一点由矩阵乘法的结合律证明。 定理2 (1) 设AB =αA +βB ,其中α,β为非零实数,则A , B 可交换; (2) 设A m +αAB = E ,其中m 为正整数,α为非零实数,则A , B 可交换. 定理3 (1) 设A 可逆,若AB = O 或A = AB或A = BA ,则A , B 可交换; (2) 设A , B 均可逆, 若对任意实数k , 均有A = ( A - k·E) B ,则A , B 可交换. 定理4 下列均是A , B 可交换的充要条件: (1) A2 - B2 = ( A + B) ( A - B) =( A - B) ( A + B) (2) ( A ±B) 2 = A 2 ±2 AB + B2 ; (3) ( AB)T= ATBT; (4) ( AB)*= A*B* 定理5 可逆矩阵A , B 可交换的充要条件是： (AB) = A ·B . 定理6 (1) 设A , B 均为(反) 对称矩阵, 则A , B 可交换的充要条件是AB 为对称矩阵; (2) 设A , B 有一为对称矩阵,另一为反对称矩阵,则A , B 可交换的充要条件是AB 为反对称性质1 设A , B 可交换,则有: (1) A·B = B ·A , ( AB) = A B, 其中m , k 都是正整数; (2) A f ( B) = f ( B ) A ,其中f ( B ) 是B 的多项式,即A 与B 的多项式可交换; (3) A - B = ( A - B ) ( A + A B …+B ) = ( A + A B + …+ B) ( A - B) (4) ( A + B )^m = (矩阵二项式定理) 性质2 设A , B 可交换, (1) 若A , B 均为对合矩阵,则AB 也为对合矩阵; (2) 若A , B 均为幂等矩阵, 则AB , A + B -AB 也为幂等矩阵; (3) 若A , B 均为幂幺矩阵,则AB 也为幂幺矩阵; (4) 若A , B 均为幂零矩阵,则AB , A + B 均为幂零矩阵.

可交换矩阵的几个充要条件及其性质

可交换矩阵的几个充要条件及其性质 在高等代数中,矩阵是一个重要的内容.由矩阵的理论可知,矩阵的乘法不同于数的乘法,矩阵的乘法不满足交换律,即当矩AB 有意义时,矩阵BA 未必有意义,即使AB ,BA 都有意义时它们也不一定相等.但是当A ,B 满足一定条件是,就有BA AB =,此时也称A 与B 是可交换的,可交换矩阵有许多良好的性质,本文主要研究矩阵可交换的几个条件及其常见的性质.本文矩阵均指n 阶实方阵. §1 矩阵可交换成立的几个充分条件 定理1.1(1)设A ,B 至少有一个为零矩阵,则A ,B 可交换; (2)设A ,B 至少有一个为单位矩阵,则A ,B 可交换; (3)设A ,B 至少有一个为数量矩阵,则A ,B 可交换; (4)设A ,B 均为对角矩阵,则A ,B 可交换; (5)设A ,B 均为准对角矩阵,则A ,B 可交换; (6)设*A 是A 的伴随矩阵,则A 与*A 可交换; (7)设A 可逆,则A 与1-A 可交换; (8)设E AB =,则A ,B 可交换. 证 (1)对任意矩阵A ,均有OA AO =,O 表示零距阵,所以A ,B 至少有一个为零矩阵时,A ,B 可交换; (2)对任意矩阵A ,均有EA AE =,E 表示单位矩阵，所以A ,B 至少有一个为单位矩阵时,A ,B 可交换; (3)对任意矩阵A ,均有A kE kE A )()(=,k 为任意实数,则)(kE 为数量矩阵,所以A ,B 至少有一个为数量矩阵时,A ,B 可交换; (4),(5)显然成立; (6)A A E A AA **==,所以矩阵A 与其伴随矩阵可交换; (7)A A E AA 11--==,所以矩阵A 与其逆矩阵可交换; (8)当E AB =时,A ,B 均可逆,且互为逆矩阵,所以根据(7)可知A ,B 可交换. 定理1.2(1)设B A AB βα+=,其中α,β为非零实数, 则A ,B 可交换, (2)设E AB A m =+α,其中m 为正整数,α为非零实数,则A ,B 可交换.

#第七章 线性变换(小结)

第七章 线性变换(小结) 本章的重点: 线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法. 本章的难点: 不变子空间的概念和线性变换和矩阵的一一对应关系. 线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用.线性变换的概念是分析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是和之相适应的矩阵理论和方法)在分析几何、微分方程等许多其它使用学科,都有极为广泛的使用. 本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换和矩阵对应和相互转换. 一、线性变换及其运算 1. 基本概念: 线性变换,可逆线性变换和逆变换; 线性变换的值域和核，秩和零度; 线性变换的和和差, 乘积和数量乘法, 幂及多项式. 2. 基本结论 (1) 线性变换保持零向量、线性组合和线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组 (2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换. (3) 线性变换的基本运算规律(略). (4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法和数量乘法作成一个线性空间. (5) 线性空间V 的线性变换A 的象Im(A )= A V 和核ker A = A -1(0) (a) A 的象Im(A )= A V 和核ker A = A -1(0)是V 的(A -)子空间. (b)若dim(V )=n ,则Im(A )由V 的一组基的象生成: 即设V 的一组基 n ααα,...,,21, Im(A )= A V =L(A α1, A α2,… ,A αn )={ A α|α∈V }. ker A = A -1(0)= { α∈V | A α=0}. (c)A 的秩(dim Im(A ))+A 的零度(dim ker A )=n . (d)A 是双射?A 是单射? Ker(A )={0}?A 是满射.