矩阵论课程论文
矩阵论论文-旋转矩阵在机器人运动学中的应用
旋转矩阵在机器人运动学中的应用摘要：旋转矩阵是机器人学的重要的数学工具，在机器人运动学中应用甚广，非常适合机器人的机构描述与运动学分析。
在介绍有关性质的基础上，本文还给出了部分算例，可为机器人学科的教学与科研提供有一的支持。
关键词：旋转矩阵机器人运动学引言：机器人机构的运动学和动力学分析涉及到各个关节的空间位置和姿态以及关节之间的空间关系。
矩阵的旋转变换不仅仅应用到机器人上，还涉及到了很多领域，比如彩票，再次不对此进行深入分析。
正文：首先介绍下机器人坐标系统，刚体运动是指物体上任意亮点之间距离保持不变的运动，机器人运动学、动力学及其控制，实质上就是研究刚体运动的问题。
其次介绍下几个概念：位置和姿态：要全面的确定一个刚体在三位空间的状态就需要有三个位置的自由度和三个姿态自由度。
刚体姿态的描述可以是用：横滚、俯仰和侧摆来实现，我们将物体的六个自由度的状态成为物体的位姿。
刚体运动的坐标表示：早在19世纪初期，Chasles已经证明：刚体从一位置到另一位置的运动可通过绕某一直线的转动加上沿平行于该直线的移动得到。
在基坐标系B和手坐标系H的原点补充和，且姿态也不同的情况下r0,r,rp,R的含义如下图：：规定一个过度坐标系C，使C的坐标原点与H系重合，而C的姿态和B保持一致。
可得到rp=ro+rc=r0+Rr.齐次坐标变换：在此我们不再介绍齐次坐标的由来，由齐次坐标得到的上面r到rp的变换的表达式为：T矩阵为齐次变换矩阵，建成齐次矩阵。
齐次矩阵T是个4x4的矩阵，一般的能够用来表示平移、旋转、伸缩的变换。
可以把T的4部分表示为：其中R3x3是表示两坐标系间的旋转关系的旋转矩阵，f1x3矩阵表示沿3根坐标轴的透视变换，f3x1=[a b c]的转置，表示两坐标系间的平移，右下角的演艺元素矩阵k1x1为使物体产生总体变换的比例因子，在机器人运动学中，透视变换值总是取零，而比例因子则总是取1，征缴变换都是线性变换，故其次变换是用其次平移变换也可以解释为两个向量之和。
矩阵论课题论文
矩阵论课题论文论文题目：偏最小二乘法在光谱分析中的应用课题名称：腐植酸和木质磺酸盐的光谱分析方法研究导师姓名：焦明星课程名称：矩阵论任课教师：郭文艳专业：光学工程学号： 2150220092姓名：王敏成绩：偏最小二乘法（PLS）在光谱分析中的应用一、摘要磺酸木质素(ligninsulfonate)是水中的一种污染物，可用荧光分光光度法测定。
尽管此种方法具有高灵敏度和高选择性，但在磺酸木质素的测试中腐植酸和去污剂中的光白剂（optical whitener）对其严重干扰。
这三种化合物的发射光谱重叠非常严重，而且在溶液中相互间有影响。
但是借助于偏最小二乘法，可以进行单一成分的测试，所得结果尚较满意。
二、课题背景偏最小二乘方法(PLS-Partial Least Squares)是近年来发展起来的一种新的多元统计分析法，现已成功地应用于分析化学，如紫外光谱、气相色谱和电分析化学等等。
该种方法，在化合物结构-活性/性质相关性研究中是一种非常有用的手段。
如美国Tripos公司用于化合物三维构效关系研究CoMFA(ComparativeMolecular Field Analysis)方法。
其中，数据统计处理部分主要是PLS。
在PLS方法中用的是替潜变量，其数学基础是主成分分析。
替潜变量的个数一般少于原自变量的个数，所以PLS特别适用于自变量的个数多于试样个数的情况。
在此种情况下，亦可运用主成分回归方法，但不能够运用一般的多元回归分析，因为一般多元回归分析要求试样的个数必须多于自变量的个数。
三、偏最小二乘（PLS）3.1基本原理为了叙述上的方便，我们首先引进“因子”的概念。
一个因子为原来变量的线性组合，所以矩阵的某一主成分即为一因子，而某矩阵的诸主成分是彼此相互正交的，但因子不一定，因为一因子可由某一成分经坐标旋转而得。
在主成分回归中，第一步，在矩阵X的本征矢量或因子数测试中，所处理的仅为X矩阵，而对于矩阵Y 中信息并未考虑。
矩阵理论论文
矩阵分解在信号和图像处理方面的应用矩阵理论是一门发展完善、理论严谨、方法独特的理论基础课程，它对培养学生的逻辑能力、推理能力具有重要作用，但它又能广泛应用于各个领域。
矩阵理论主要内容包括线性空间、线性变换、范数理论；矩阵分析；矩阵分解；广义逆矩阵；特征值的估计以及广义特征值等。
用矩阵的理论和方法来处理现代工程技术中的各种问题已经越来越普遍。
下面简单介绍一下矩阵的奇异值分解在信号和图像处理方面的简单应用。
此方法近年来在数据降维和压缩,滤波器设网络节点估计、小波变换结果的后续处理等很多领域都获得了重要的应用。
在滤波器设计方面，VOZALIS等将SVD 用于协同滤波，他们的研究结果表明，SVD提高了协同滤波过程中预测的质量和精度。
而在消噪方面，LEHTOLA等利用SVD和数学形态学相结合，对心电信号(Electrocardiogram，ECG)进行处理，消除了噪声的影响，提高了心电图诊断的准确性。
同时奇异值分解已用于从孕妇皮肤测量信号中提取胎儿心电信号。
在另一些研究中SVD则被利用来实现特征提取和弱信号分离，如LIU等利用SVD从背景噪声强烈的振动信号中提取周期性冲击信息。
SVD在神经网络中也获得了应用，如TEOH等利用SVD实现了对隐层空间中模式的线性独立性分析，进而决定了隐层神经元节点的数目。
SVD的正交化特性在对小波和小波包变换结果的后续处理中也得到了有效的应用，如XIE等利用SVD对小波包分解后的肌电信号进行正交化处理，以获得代表肢体运动模式的最优特征，进而对肌电信号进行分类，用于对假肢的控制。
小波多分辨分析的本质就是把信号在一系列不同层次的空间上进行分解，获得相应的近似和细节信号，从而以不同的层次显示信号的各种概貌和细节特征[9]，这种多分辨思想使得小波分析在很多领域获得了极为广泛的应用。
基于这种多分辨分析思想的思考，赵学智在SVD中提出了一种矩阵二分递推构造方法，根据该方法得到的SVD分解结果将分属于不同层次的空间，而且下一层次空间的基矢量是利用上一层次的近似基矢量而获得的，实现了利用SVD以不同的层次来展现信号的概貌和细部特征。
矩阵论大论文(张晋红)
“矩阵论”课程研究报告科目：矩阵理论及应用教师：舒永录姓名：张晋红学号：20140702109 专业：机械工程类别：学术上课时间：2014 年09月至2014 年12月考生成绩：阅卷评语：阅卷教师(签名)航班问题摘要：针对城市路线选择中的航道数目统计问题，采用最小多项式的方法，得出了城市A 到B 的某个数目的相连的航班数目和不超过某个数目的相连的航班数目。
本文所提出的方法适用于多城市间航道统计问题。
正文一、问题描述一家航空公司经营A 、B 、C 、D 和H 五个城市的航线业务，其中H 为中心城市。
各个城市间的路线见图1。
图 1假设你想从A 城市飞往B 城市，因此要完成这次路线，至少需要两个相连的航班，即A →H 和H →B 。
如果没有中转站的话，就不得不要至少三个相连的航班。
那么问题如下：(1) 从A 到B ，有多少条路线刚好是三个相连的航班；(2) 从A 到B ，有多少条路线要求不多于四个相连的航班。
二、方法简述定义：设A 是n 阶方阵，若存在多项式)(λf ，使得()f 0A =，即()f A 是零矩阵，称)(λf 是矩阵A 的零化多项式。
下面指出两点：1）对任何n 阶方阵A ，都存在零化多项式。
因为线性空间n n K ⨯是2n 维的，故E , A ,……,2n A 必线性相关。
故存在不全为0的数0122,,......,n k k k k ，使220122......n n k k k k ++++=0E A A A即多项式220122().....n n f k k k k λλλλ=++++是A 的零化多项式。
2）任何矩阵的零化多项式不唯一。
因为若)(λf 是A 的零化多项式，则)()(λλg f 也是A 的零化多项式，这里的)(λg 可以是任意的非零多项式。
定理（Hamliton-Caley 定理）设111()||n n n n f a a a λλλλλ--=-=++++ E A则11()...n n n n f a a a -=+++=0A A A A E定义：在n 阶方阵A 的所有零化多项式中，次数最低的首一多项式，称为A 的最小多项式，记为)(λm 。
成都电子科技大学矩阵论课程结课论文
集成电路噪声模型的矩阵表示摘要：本文给出了集成电路的噪声模型及其矩阵表示，首先介绍了分立器件的噪声矩阵，根据叠加原理得出二端口网络及二端口互联网络的噪声模型。
运用矩阵理论分析集成电路噪声，直观，方便，主要运算过程都涉及矩阵的转置、矩阵的逆、矩阵的共轭以及矩阵的四则运算，便于进行计算机信息处理。
关键词：集成电路噪声二端口网络矩阵理论1引言噪声是影响现代电子系统性能的一个主要因素，随着集成电路工艺技术的发展，电源电压越来越低，噪声对电子系统的影响越来越大，已经成为大多数模拟电路设计中要考虑的最主要因素。
集成电路的低噪声化及其噪声特性分析是通信与信息系统领域中的重要研究课题，在近代信息技术各个应用领域中，低噪声集成电路的需求量越来越大，而且对噪声特性的要求越来越高，其原因是器件和电路的噪声水平及噪声特性直接关系到信号检测灵敏度和电路或系统的可靠性，关系到系统的整体性能,在电子系统设计阶段，不仅要选用低噪声集成电路器件，而且要对不同集成电路进行噪声分析，并优化各种参数及结构,显然，应用有效的噪声分析手段不仅可以大大缩短研制周期，节省研制费用，而且可保证研制开发的集成电路应用系统具有优良的性质。
集成电路应用系统通常是一个比较复杂的系统，然而，任何一个复杂的系统都可以分解成相对比较简单的单元，使大系统变成小系统，使复杂问题简单化，从而便于分析。
本文先讨论分立原件的噪声模型，进而分析互联电路网络的噪声。
2．MOSFET’s器件的噪声矩阵随着CMOS工艺技术的进步，CMOS 技术在无线通讯领域中的应用成为可能, 相应地MOSFET’s的噪声行为日益受到重视，近来有许多作者致力于MOSFET’s的噪声模型研究，一个精确的噪声模型可以使电路设计者更加充分利用现有技术。
图1是一个典型的MOSFET等效噪声电路模型，其中考虑了如下的噪声电流源：沟道噪声（i ds），栅极诱生噪声（i gs），栅极电阻热噪声（i g），源漏电阻热噪声（i s，i d）。
矩阵论论文
研究生课程论文/研究报告课程名称：矩阵论任课教师：论文/研究报告题目：矩阵论的应用—线性定常系统建模和线性定常系统状态方程求解完成日期：年月日学科：学号：姓名：成绩：矩阵论的应用—线性定常系统建模和线性定常系统状态方程求解摘要我们知道在进行系统的分析和设计时，首先要建立数学模型然后再进行求解分析。
根据系统分析、设计所用方法不同，或所要解决的问题不同，描述同一系统的数学模型亦有所不同。
本文先介绍描述系统内部特性和端部特性的状态空间表达式及其在s 域分析得到传递函数，然后再利用系统状态转移矩阵求线性定常系统状态方程的解。
关键词：数学模型、状态空间表达式、传递函数、线性定常系统状态方程的解一、线性定常系统的状态空间表达式及其传递函数如下图1所示电路图，电压u(t)为电路的输入量，电容上的电压uc(t)为电路的输出量。
R 、L 、C 分别为电路的电阻、电感、电容。
由电路知识可知，回路中的电流i(t)和电容上电压uc(t)的变化规律满足如下方程：()()()()di t L Ri t uc t u t dt ++= 1()()i t dt uc t C=⎰ 其中i(t)和uc(t)为该电路系统的状态变量（状态变量就是确定系统状态的最小一组变量）。
状态空间：以选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交空间，成为正交空间。
系统在任意时刻的状态可以用状态空间中的一个点来表示。
图1将上式方程组改写成状态空间表达式为：()11()()1()()00di t R i t dt L Lu t L duc t uc t Cdt --⎡⎤⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎡⎤⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎢⎥ ⎪⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦① 如将电容上的电压uc 作为电路的输出量，则[]()()01()i t uc t uc t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦②令x=()()i t uc t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,u=u(t),y=uc(t),A=110R L LC --⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,b=10L ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦,C=[]01,则上面方程改写成如下：x 、=Ax+bu ③ y=Cx ④其中x 为2维的状态变量；u 为标量输入；y 为标量输出；A 为2X2系数矩阵；b 为2X1输入矩阵；C 为1X2输出矩阵。
矩阵论论文
西安理工大学研究生课程论文课程名称：矩阵论任课教师：XXX论文/研究报告题目：线性变换在电路方程中的应用完成日期：2014年11月5日学科：Xxxx学号：XXXXXXX姓名：XXX成绩：线性变换在电路方程中的应用摘要：电路分析中的坐标变换和复杂绕组变压器分析中所用的变压器变换都是电路方程的线性变换。
根据矩阵理论，对坐标变换和变压器变换进行了统一阐释。
坐标变换本质是一个方阵和对角阵的相似变换，变压器变换的本质是新变量对旧变量的表示，当变换矩阵的逆阵等于它的转置（共轭转置）阵时，坐标变换和变压器变换数学表示是相同的。
通过对电路方程系数矩阵和三角阵的相似变换，同时得到了三相 abc 坐标系和任意速度旋转两相 dq0 坐标系、瞬时值复数分量 120 坐标系、前进 - 后退 FB0 坐标系之间的变换矩阵。
这有助于在更加基础的理论层面上揭示和理解电路方程线性变换的本质，也为提出电路方程线性变换的新类型提供了思路。
关键词：电路方程；线性变换；坐标变换；变压器变换引言在交流电机等电路分析中，常用的坐标变换是指三相静止 abc 坐标系任意速度旋转两相 dq坐标系、瞬时值复数分量 120 坐标系、前进 - 后退 FB坐标系，以及它们对应的特殊坐标系的变量之间的相互转换。
电路方程坐标变换的主要目的是使电压、电流、磁链方程系数矩阵对角化和非时变化，从而简化数学模型，使分析和控制变得简单、准确、易行。
还有一类电路方程变换，其目的是用旧变量表示出新变量，例如变压器中由原边变量利用变比变换而来的副边变量，把这类电路方程变换称为变压器变换。
坐标变换已有很多文献进行了阐述，但这些阐述大都是基于物理概念的。
变压器变换在复杂绕组变压器的分析中得到了应用，但只是针对具体问题对其方法的具体应用，没有明确提出变压器变换的概念。
这些文献对坐标变换和变压器变换都缺乏在数学层面上予以统一论述。
这种特殊和具体的阐述，不便于将之作普遍化和一般化的理解，也就妨碍了对它的推广和发展。
重庆大学矩阵理论及其应用论文
“矩阵理论及其应用”课程研究报告科目：矩阵理论及其应用教师：蒋卫生姓名：学号:专业：机械电子工程类别：学术上课时间：2013 年10 月至2013 年12 月考生成绩：阅卷评语：阅卷教师(签名)最小二乘法问题摘要：无论在哪个专业领域，都不可避免的要面对测量所得到的一批数据。
这些数据看似杂乱无章，但对于特定的时间却是符合特定的规律。
而要发现这些规律必须借助一定的手段。
矩阵理论作为一门具有强大功能的学科再此发挥了它重要的作用。
用矩阵论的理论来处理现代工程技术中的各种问题已经越来越普遍了。
在工程技术中引进矩阵理论不仅使理论的表达极为简捷，而且对理论的实质刻画也更为深刻，这一点是不容质疑的，更由于计算机和计算方法的普及发展，不仅为矩阵理论的应用开辟了崭新的研究途径。
矩阵理论与方法已成为研究现代工程技术的数学基础。
因此，对于数据的处理采用最小二乘法是最恰当不过的了。
关键词：数据处理，矩阵理论，最小二乘法正文一、引言最小二乘法已有近200年的发展历史，它首先由Gauss K F提出并被应用于天文计算中，现已被广泛地用来解决各种技术问题。
在过去的30多年里，它已被成功地应用到过程控制系统的参数估计领域，数字计算机技术又使最小二乘原理更有实践价值。
参数估计现在模型结构已知时，用实验法所取得的数据来确定表征系统动力学模型中的参数。
最小二乘法原理提供了一个数学程序，通过它可以获得一个在最小方差意义下与实践数据拟合最好的模型，它在稳态系统数学模型的回归分析方面应用已很成熟，在动态系统的参数辨识方面也取得了许多重要成果，其参数估计的收敛性质也得到了深入的研究，可以说在参数估计领域中最小二乘方法已达到了完善的程度。
本文讨论的问题如下：一颗导弹从敌国发射，通过雷达我们观测到了它的飞行轨迹，具体有如下数据：i0 1 2 3 4我国军情处分析得出该导弹沿抛物线轨道飞行。
问题：预测该导弹在什么水平距离着地。
二、预备知识基本术语解释从整体上考虑近似函数()p x 同所给数据点(),0,1,()i i i m x y = 误差()()0,1,i i i r p x y i m =-= 的大小，常用的方法有以下三种： ∞—范数：绝对值的最大值0max||i i m r ≤≤1—范数：误差绝对值的和m||i i r =∑2—范数(欧式范数)：误差平方和m20i i r =∑的算术平方根。
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西安理工大学研究生课程论文报告课程名称：矩阵论课程代号：任课教师：论文报告题目：矩阵函数在线性定常系统状态转移矩阵求解中的应用完成日期：2015 年10 月25 日学科：电力电子与电力传动学号：姓名：成绩：矩阵函数在线性定常系统状态转移矩阵求解中的应用摘 要控制系统的运动是系统性能定量分析的重要内容。
“运动”是物理学上的一个概念，它是通过求系统方程的解)(t x 、)(t y 来分析研究的。
由于状态方程是矩阵微分（差分）方程，输出方程式为矩阵代数方程，因此求系统方程的解主要是求状态方程的解。
而求状态方程的解的关键是求状态转移矩阵。
本文主要介绍了矩阵对角化标准型，约当标准型，凯莱-哈密顿定理及矩阵函数知识在线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵求解中的应用。
关键词：状态转移矩阵，约当标准型，凯莱-哈密顿定理，矩阵函数.1.问题提出线性系统有线性定常系统和线性时变系统，最为基本的是线性定常系统。
而线性定常系统根据有无初始输入，分为线性定常齐次方程，和线性定常非齐次方程。
本文只给出线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵的求解。
线性定常系统齐次方程的解亦即系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。
线性定常系统齐次状态方程为()()t Ax t x= ()1-1其中，x 是n 维状态向量；A 为n n ⨯系数矩阵。
设初始时刻00=t ，系统的初始状态()()00x t x =。
仿照标量微分方程求解的方法求方程()1-1的解。
设方程()1-1的解为t 的向量幂级数形式，即)(t x = ++++++k k t b t b t b t b b 332210 ()2-1式中，() ,2,1,0=i b i 为n 维向量。
式()2-1代入方程()1-1得()+++++=+++++-k k k k t b t b t b b b A t kb t b t b b 3322101232132 ()3-1既然式()2-1是方程()1-1的解，则式()3-1对任意的t 都成立。
因此，式()3-1的等式两边t 的同次幂项的系数应相等，有⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=======-0!11103!31231302!21121201b A Ab b b A Ab b b A Ab b Ab b k k k k k()4-1 Ⅰ.当0=t 时，由式()2-1可得到()00x b = ()5-1将式()4-1和式()5-1代入式()2-1，得到齐次状态方程的解()()()0!122!21x t A t A At I t x k k k +++++= ()6-1 上边右边括号内的级数是n n ⨯矩阵指数函数，记成At e ，即+++++=k k k At t A t A At I e !122!21 ()7-1 所以式()6-1可写成()()0x e t x At = ()8-1Ⅱ.如果初始时刻00≠t ，初始状态为()0t x ，则齐次状态方程的解为()()()00x e t x t t A -= ()9-1由上式可知，系统在状态空间的任一时刻t 的状态()t x ，可视为系统的初始状态()0t x 通过矩阵指数函数()0t t A e -的转移而得到的。
因此，矩阵指数函数()0t t A e -又称为状态转移矩阵。
从上面的分析看，求状态方程的解()t x ，关键是求矩阵指数At e 。
2.问题求解2.1 矩阵指数的基本性质在介绍求矩阵指数At e 的方法之前，先介绍At e 的一些主要性质和几个特殊的指数函数：（1）∑∞==0!k kk Atk t A e ，该无穷级数在有限时间时绝对收敛的（2）AtAt Ae e dtd =（3）()2121At At t t A e e e ⋅=+ （4）[]At Ate e --=1（5）若BA AB =，则()t B A Bt At e e e +=⋅； 若BA AB ≠，则()t B A Bt At e e e +≠⋅（6）若P 为非奇异矩阵，A 通过非奇异变换成对角阵，即AP P A 1-∧=,则有 11--=P Pe e AP p At (7) 若A 为对角阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n A λλλ0021，则⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=t tt At n e e e e λλλ00212.2状态转移矩阵()t φ的几种计算方法1.根据Ate 的定义直接计算() +++++==n n n At t A t A At I e t !122!21φ2.拉普拉斯变换法对于线性定常系统的齐次状态方程()()t Ax t x= 两边求拉普拉斯变换，得()()()s Ax x s sX =-0，即()()()0x s X A sI =-， 有()()()01x A sI s X --=因此，()()[]()011x A sI L e t x At ---==若初始时刻00=t ，初始状态为()0x ，则对上式进行拉普拉斯变换，得()()[]11---==A sI L e t At Lφ 3.非奇异线性变换（1）矩阵A 经线性变换化为对角线矩阵Λ求Ate当矩阵A 的n 个特征值互异或者虽有重根但是仍有n 个独立的特征向量时，经过线性变换，将A 化为对角形矩阵Λ，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Λ=-n PAP λλλ00 211 此时，系统的状态转移矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+Λ+Λ+=t t tn n n n At n e e e t t t t t t t t t t I e λλλλλλλλλλλλλλλ0000000002122!21222!212221!2112221!212122!21111111 由于P P A Λ=-1所以矩阵A 的状态转移矩阵()()()()[]Pe P P t t I P P t P Pt P P P t P P Pt P P P t P P Pt P I e e t t PtPAt Λ----------Λ=+Λ+Λ+=+Λ+Λ+=+Λ+Λ+=+Λ+Λ+===-122!21122!21111221!2111221!2111φ（2）矩阵A 经线性变换化为约当形矩阵J 求Ate当矩阵A 的n 个特征值均相同，且为1λ时，经过线性变换，可化为约当形矩阵J⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-1111111λλλ00J PAP 则()()tn n Jte t t n t t n te 11!211!11121λ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=--0所以，系统的状态转移矩阵为()P e P e t Jt At 1-==φ 4. 应用凯莱-哈密顿定理首先介绍一下凯莱-哈密顿定理：n n ⨯矩阵A 满足自身的特征方程，即矩阵A 的特征多项式是A 的零化多项式。
()[]0det 012211=+++++=-=∆----a a a a A I n n n n n λλλλλλ即012211-----a a a a n n n n n λλλλ ----= 根据凯莱-哈密顿定理，有()0012211=+++++=∆----I a A a A a A a A A n n n n n于是I a A a A a A a A n n n n n 012211----- ----=上式表明，n A 是1-n A ，2-n A ，…A ，I 的线性组合。
显然有A a A a A a A a A A A n n n n n n 0211211----- ---+=⋅=则I a a A a a a A a a a A a a A n n n n n n n n n n 010*******-2121)()(---------++-++-+=）（ 依次类推，可得2-1-,n n A A ，…均是1-n A ，2-n A ，…A ，I 的线性组合。
那么，Ate 就化成一个A 的最高幂次为1-n 的n 项幂级数的形式，即()()()1110!122!21--+++=+++++==n n n n n At At a A t a I t a t A t A At I e t）（φ(1)A 的特征值),,2,1(n i i =λ互异应用凯莱-哈密顿定理，i λ和A 均是特征多项式的零根。
因此，()()()n i t a t a t a e n in i t i ,,2,11110 =+++=--λλλ那么，()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----t a t a t a e e e n n n n nn n t t t n 11012122221121111121λλλλλλλλλλλλ于是，()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----t t t n n n n n n n n e e e t a t a t a λλλλλλλλλλλλ211-121222211211110111 (2)A 的特征值均相同设A 的特征值为1λ，待定系数()t a i 的计算公式如下()()()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----------t t t t n n t n n n n n n n n n e e t e t e t e tn n n n t a t a t a t a t a 111111!112!212!211!111-112131211212113111123101!113210!22131001110000λλλλλλλλλλλλλλλλ(3)A 的n 个特征值有重特征值和互异特征值当A 的n 个特征值有重特征值和互异特征值时，待定系数()t a i 可以根据()()21综合得出，然后求出状态转移矩阵()t φ。
3.举例计算已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3-2-10A ，分别用上述四种方法求解状态转移矩阵()t φ。
解：()1 定义法根据定义计算()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+-+-+-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+++++==--------t t tt t t t t k k k At e e ee e e e e t t t t t t t t t t t t t t A t A At I e t 22223252273372367223322!122!212222313213210!2132101001φ ()2 拉普拉斯变换法[]()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++-+++-+-++-+=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=---22112212211121122121332111s s s s s s s s s s s s s s A sI 那么，()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=-=----------t t t t t t t t At e e e e e e e e A sI Le 2222112222 ()3 化矩阵为对角线标准型由()()021-=++=λλλA I 得特征根2-1-21==λλ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-211-1-222-1-111111-21AP P P adjP P P λλ 所以，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==-----------⎥⎦⎤⎢⎣⎡--t t t t tt ttt t t Ate e ee ee e e e e P Pee 222221200122221112002111()4 应用凯莱-哈密顿定理已知特征根2-1-21==λλ，，两两相异，则有()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----------------------t t t t t t tt t t tt At t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e ee At a I t a e e e e e e e e e e e t a t a 22222210222211211022223210100122111221111121λλλλ可见，四种算法的计算结果是一样的。