矩阵理论课程教学大纲-深圳大学研究生院
《矩阵分析》课程教学大纲
《矩阵分析》课程教学大纲课程编号：20821105总学时数：32(理论32）总学分数：2课程性质：专业选修课适用专业：信息与计算科学一、课程的任务和基本要求：本课程的任务是介绍六个内容，分别是线性空间与线性变换，λ---矩阵与Jordan标准形，矩阵函数及矩阵方法，矩阵微分方程，矩阵分解和广义逆矩阵。
要求学生系统掌握这六个内容所涉及的基本概念、基本理论和基本方法，并能熟练地运用这些方法和工具解决理论和实际中遇到的各种问题。
二、基本内容和要求：（一）线性空间与线性变换1、线性空间的定义、性质、基变换与坐标变换公式。
2、子空间的概念、运算及相关定理3、内积空间、正交化方法，空间的正交分解4、线性变换的概念、运算、矩阵表示、线性变换的值域与核的性质5、特征值与特征向量的概念、求法、矩阵的化简要求：理解线性空间、子空间、线性变换、特征值、特征向量的概念，掌握基变换公式，坐标变换公式，正交化方法，特征值和特征向量的求法，矩阵的化简的应用。
（二）λ---矩阵与Jordan标准形a)λ---矩阵的概念，λ---矩阵的标准形b)不变因子与初等因子的概念、求法、性质c)若当标准形理论推导，若当标准形的求法d)Cayley定理、最小多项式的性质及求法要求：理解λ---矩阵、不变因子、初等因子等相关概念，掌握不变因子、初等因子、标准形、Jordan标准形的求法，掌握Cayley定理，最小多项式的应用。
（三）矩阵分析和矩阵函数e)矩阵序列、矩阵函数收敛性f)函数矩阵的极限、连续性、微分与积分g)数量函数关于矩阵的微分及其性质h)向量的范数、范数的等价、按范数的收敛、矩阵的相容范数、算子范数的概念及其性质i)矩阵函数的定义、性质、计算方法要求：理解矩阵序列的极限，矩阵级数的收敛性，函数矩阵的极限，连续性概念，掌握与这些概念相关的命题和定理，会求函数矩阵的微分和积分，会求数量函数关于矩阵的微分，函数向量关于向量的微分，能正确计算矩阵函数（四）矩阵微分方程j)线性常系数齐次微分方程组的定解问题k)线性常系数非齐次微分方程组的定解问题l)n阶常系数微分方程的定解问题m)线性变系数微分方程组的定解问题，转移矩阵的概念、性质、求法。
矩阵讲义全
本课程的说明：矩阵分析理论是在线性代数的基础上推广的（数学是在已有的基础理论上模仿，推广而发展的。
要大胆猜想，小心证明！） 矩阵分析理论的组成：四部分：一、基础知识（包括书上的前三章内容）重点、难点：约当标准形与多项式矩阵，矩阵的分解等； 二、矩阵分析（第四章：矩阵函数及其应用）重点、难点：范数，矩阵幂级数，微分方程组； 三、矩阵特征值的估计（第五章）重点、难点：Gerschgorin 圆盘定理；广义逆矩阵； 四、非负矩阵（第六章）（注：不讲）重点、难点：基本不等式，素矩阵，随机矩阵等。
§1 线性空间与度量空间一、线性空间： 1．数域：Df 1：若复数的一个非空集合P 含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积、商（除数不为0）仍在这个集合中，则称数集P 为一个数域 eg 1：Q （有理数），R （实数），C （复数），Z （整数），N （自然数）中哪些是数域？哪些不是数域？ 2．线性空间— 设P 是一个数域，V 是一个非空集合，若满足：<1> 可加性—指在V 上定义了一个二元运算（加法）即：V ∈∀βα, 经过该运算总存在唯一的元素V ∈γ与之对应，称γ为α与β的和，记βαγ+= 并满足：① αββα+=+② )()(γβαγβα++=++ ③ 零元素—＝有θαθααθ+∈∀∈∃Vt s V .（线性空间必含θ）。
④ αβαβθβααβ-+∈∀∈∃＝记的负元素为＝有对V V<2> 数积：（数乘运算）—在P 与V 之间定义了另一种运算。
即V P k ∈∈∀α,经该运算后所得结果，仍为V 中一个唯一确定的元素（存在唯一确定的元素V ∈δ与之对应），称δ为k 与α的乘积。
记为αδk =并满足：① αα=⋅1② P l k ∈∀, αα)()(kl l k = ③ P l k ∈∀, αααl k l k +=+)( ④ γβα∈∀, βαβαk k k +=+)(则称V 为数域P 上的线性空间（向量空间）记为)...(∙+P V 习惯上V 中的元素—向量， θ—零向量， 负元素—负向量结论：可以证明，线性空间中的零向量是唯一的，负元素也是唯一的，且有：θα=⋅0 θθ=⋅k αα-=⋅-)1( )(βαβα-+=-eg2：}{阶矩阵是n m A A V ⨯= P —实数域R按照矩阵的加法和数与矩阵的乘法，就构成实数域R 上的线性空间，记为：n m R ⨯同样，若V 为n 维向量，则可构成R 上的n 维向量空间n R —线性空间。
教学大纲—矩阵理论及其应用(2016fall)
七、课程简介及主要内容 矩阵理论及其方法是解决现代工程技术中各种问题的一个重要工具.在工程
技术中引进矩阵理论不仅使问题的理论表达极为简捷,而且对其实质的刻画也 更为深刻,更由于计算机和计算方法的普及发展,使矩阵理论及方法之于工程技 术的研究应用更加前景广阔,特别是在系统工程的优化方法、稳定性理论等.作
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一、课程名称：矩阵理论及其应用 课程编码： G0601
二、学时学分：40学时，2.5学分.
三 课程安排： 任课教师：黄辉斥 上课时间：3-13周（第5周放假，第14周考试） 每周二，周四（教室：A区5教404）：第9，10节（19:30-21:10）
四、适用的学位类型：学术型博士/硕士
为一门实用性,应用性较强的工科研究生基础课,本课程的目的和任务是使得工 科研究生在经过高等数学,线性代数等课程的学习过后,进一步了解矩阵分析, 矩阵函数等更深层次的有关理论及方法,以提高理论分析能力和科学实践能力 以适应研究工作需要. 八、教学内容、教学方式及学时分配：
上课 次数 学时
教学内容
第1次 2学时 线性空间-线性空间的定义及其性质
第10 次
2学时 矩阵分析及其应用-向量和矩阵极限、微分和积分
第11次 2学时 矩阵分析及其应用-方阵级数理论
第12 次
2学时 方阵级数理论的应用
第13 次
2学时 矩阵分解-最大秩分解（I）
第14 次
2学时 矩阵分解-最大秩分解（II）
第15 次
2学时 广义逆矩阵及其应用-基本定义
第16 次
2学时 广义逆矩阵及其应用-广义逆矩阵A—
五、理论及其应用. 李新、何传江著. 重庆大学出版社. 2005. 8.
研究生《矩阵论》教学大纲
《矩阵论》教学大纲Matrix Theory第一部分大纲说明1. 课程代码：2. 课程性质：专业学位课3. 学时/学分：40/2.54. 课程目标：《矩阵论》课程旨在培养学生学习和掌握信息计算相关的矩阵基础理论及矩阵计算方法。
通过本课程的学习，使得学生在已掌握本科阶段线性代数知识的基础之上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识，为学习后续课程、开展工程与科学研究打下必要基础。
5. 教学方式：课堂讲授6. 考核方式：考试7. 先修课程：线性代数、高等数学9. 教材及教学参考资料：（一）教材：《矩阵论》科学出版社，主编戴华（二）教学参考资料：《矩阵论》华中科技大学出版社主编杨明，刘先忠第二部分教学内容和教学要求第1章线性空间与线性变换教学内容：1.1线性空间的基本概念及性质1.2线性变换及其矩阵表示教学要求：理解线性空间的定义，理解线性空间的基、维数与坐标变换等知识，了解线性空间的子空间。
第2章矩阵的对角化、Jordan标准形教学内容：2.1 矩阵的特征值与特征向量2.2矩阵相似与相似对角化2.3 Hermite矩阵与Hermite二次型2.4 矩阵2.5 矩阵相似的条件2.6 矩阵的Jordan标准形教学要求：掌握矩阵的相似对角化方法；了解Hermite矩阵的概念，掌握向量组正交标准化的方法；理解初等因子及相关理论，掌握矩阵Jordan标准形的求解方法。
第3章矩阵分解教学内容：3.1 Gauss消去法与矩阵的三角分解3.2 矩阵的QR分解3.3 矩阵的满秩分解3.4 矩阵的奇异值分解教学要求：掌握矩阵的三角分解方法，掌握矩阵的QR分解及满秩分解方法，了解矩阵的奇异值分解。
第4章欧式空间与酉空间教学内容：4.1 欧式空间与酉空间的定义4.2 Schmidt正交化方法4.3 酉变换与正交变换教学要求：理解欧式空间的概念，理解酉空间的概念，会判断一个空间是否为酉空间；了解酉变换与正交变换；掌握向量组正交标准化的方法。
工程矩阵理论教学大纲与授课计划
研究生《工程矩阵理论》课程教学大纲与授课计划一、基本信息1.课程名称：工程矩阵理论2.英文名称：Matrix Analysis3.课程类别：学位课程□公共学位课 专业基础学位课□专业必修学位课非学位课程□专业选修课□全校公共选修课4.课程编号：5.开课学院：自动化学院6.授课教师：周绍生、赖晓平7.授课教师职称：教授8.开课学期：第一学期9.学分： 310.总学时： 4811.适用专业：控制科学与工程、新能源电力及其控制、控制工程（专业硕士）12.预修课程：高等数学、线性代数二、教学目标矩阵理论是理工课学生从事理论研究和工程应用的基础，通过本课程的学习，使学生在大学线性代数的基础上，学习和掌握矩阵分析的理论知识，为进一步学习其它专业知识、开展学术研究和进行工程计算打下必备的专业基础。
三、教学方式课堂教学四、教学内容1. 课程简介矩阵是许多理工学科如数学物理、电子通信、系统控制、模式识别、土木建筑、航空航天、经济管理、计算机等学科最重要的数学工具之一。
矩阵理论和线性代数本身极富创造性，其创造性丰富了其它学科的内容，推动了其它学科的发展。
《工程矩阵理论》课程主要包括矩阵特征值、Jordan标准型、内积空间及标准正交基、矩阵分解、矩阵范数、矩阵函数、矩阵广义逆及矩阵张量积及矩阵导数等内容。
2. 学习重点与难点第一章线性空间与线性映射。
学习和掌握线性空间、线性子空间、线性映射以及线性变换的不变子空间等知识。
重点内容：基与坐标、坐标变换，线性映射及其值域与核，特征值和特征向量，矩阵的相似对角形。
难点内容：不变子空间。
第二章λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形。
学习和掌握λ-矩阵及Smith标准形，初等因子与相似条件，矩阵的Jordan标准形等内容。
重点内容：矩阵的Jordan标准形。
难点内容：矩阵的Jordan标准形。
第三章内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵。
学习和掌握内积空间及其标准正交基，酉变换、正交投影变换及其矩阵表示，正规变换与正规矩阵，Hermite 矩阵与Hermite二次齐式，Reyleigh商等相关内容。
(精品课件)研究生教材《矩阵理论》PPT演示文档
列和第
行， x ( x1 , x2 ,, xn ) ,则有
( 2) ( n)
Ax x1 A x2 A xn A
这就是说，矩阵乘一个列向量，其结果是将该矩 阵的列向量进行线性组合，组合系数即是该列向量 的对应系数。 若令 y ( y1 , y2 ,, ym ), 则有：
yA y1 A(1) x2 A( 2) xm A( m)
其余元素均为0的矩阵。借助这些矩阵，任意 矩阵 A aij , 均能唯一地表示成： A
m n
n ij ij
a E .
i 1 j 1
m
对矩阵乘法的表达，可以利用下述性质：
Eij Ekl jk Eil ,1 i, j, k , l n,
其中 jk 是Kronecker符号，即当
.函数与极限
5
【定义1.1.4 】 一个 一个
m p
pn
p
矩阵 B bij
m n
矩阵 C cij , 其中
矩阵 A aij
与
的乘积是一个
cij aik bkj ,1 i m,1 j n.
j 1
★矩阵的乘法有下述性质： （M1)结合律：( AB)C A( BC);
并将其分块成
P Q1P2 ,
P 11 P P 21
.函数与极限
P 12 P22
26
其中
P 11 , P 12 , P 21 , P 22
分别为
r1 r2 ,
r1 ( p r2 ), ( p r1 ) r2 , ( p r1 ) ( p r2 )
A( E pq Eqp ) (aii Eii E pq aii Eii Eqp ) a pp E pq aqq Eqp ;
矩阵论教学大纲
课程编号：课程中文名称：矩阵论B 32学时/ 2学分英文译名：Matrix Theory适用领域：工科各专业任课教师：林锰，王锋，李斌，张文颖，王淑娟，吴红梅教学目的：矩阵理论是高等学校理、工科研究生的一门重要的基础课程，作为一门基础工具，矩阵论在数学学科与其它科学技术领域都有广泛的应用。
矩阵理论是在线性代数的基础上，进一步介绍线性空间与线性变换、欧氏空间与酉空间以及在此空间上的线性变换，深刻地揭示有限维空间上的线性变换的本质与思想。
为了拓展高等数学的分析领域，通过引入向量范数和矩阵范数在有限维空间上构建了矩阵分析理论。
本课程要求学生掌握多项式矩阵的Smith标准型、一般方阵的Jordan标准型的化简；了解Eclide空间与Hermite二次型的有关理论与方法；理解向量与矩阵的范数概念，掌握矩阵的幂级数与方阵函数的概念与理论及其相关运算；掌握矩阵的分解等。
通过对本课程的学习，使学生进一步掌握数学的基本思想方法，从而提高分析问题与解决实际问题的能力。
从应用的角度，矩阵代数是数值分析的重要基础，矩阵分析是研究线性动力系统的重要工具。
为了矩阵理论的实用性，对于矩阵代数与分析的计算问题，利用Matlab计算软件实现快捷的计算分析。
矩阵论的教学方式由教师授课，教师授课学时为32学时。
教学主要内容及对学生的要求：一、线性空间与线性变换8学时理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式；掌握子空间与维数定理，了解线性空间同构的含义；理解线性变换的概念，掌握线性变换的矩阵表示。
二、内积空间 6学时理解内积空间的概念，掌握正交基及子空间的正交关系；了解内积空间的同构的含义，掌握判断正交变换的判定方法；理解酋空间的概念，会判定一个空间是否为酋空间的方法，掌握酋空间与实内积空间的异同；掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质，三、矩阵的对角化与若当标准形 6学时掌握矩阵相似对角化的判别方法；理解厄米特二次型的含义。
会求矩阵的约当标准形；会求史密斯准形；会求若当标准型四、矩阵分解 4学时会求矩阵的三角分解和UR分解；满秩分解和单纯矩阵的谱分解；了解矩阵的奇异值和极分解。
深圳大学 硕士研究生课程教学大纲
硕士研究生课程教学大纲
授课教师
张文俊性别Leabharlann 男职称教授
所在单位
师范学院数学系
授课对象
应用数学专业、应用复分析方向硕士研究生
授课名称
复解析动力系统
授课时数
40
课程类别
学位必修选修√
考试方式
考试√考查
课
程
目
标
介绍单复变解析函数迭代理论的基本概念、基本原理、基本方法、基本结论和最新前沿发展情况；介绍多复变全纯映射迭代理论的基本背景知识和方法。为学生从事复解析动力系统的研究奠定基础。
思
考
讨
论
题
1.从单位圆盘上解析自映射的动力学性质能否给出一般单连通区域上的动力学性质？
2.周期点在动力系统中扮演着什么角色？为什么周期点如此重要？
多复变全纯映射迭代理论的基本背景知识和方法。
教学方法
及形式
讲授、讨论
学时分配
进度安排
1.复解析动力系统的起源、基本问题、基本方法与分类，单位圆盘上解析自映射的动力学性质（8学时）；
2.有理函数的动力系统：周期点、临界点、Fatou集、Julia集的基本概念与基本性质（10学时）；
3.Fatou集的结构（12学时）；
4.多复变全纯映射迭代理论的基本背景知识和方法（10学时）。
教材
作者：Alan F. Beardon.
书名：Iteration of Rational Functions__Complex Analytic Dynamical Systems.
版权：Copy right 1991bySpringer-Verlag New York,Inc.
教
学
内
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3．A.Berman, R.Plemmons，Nonnegative Matrices in Mathematical Sciences,Academic Press, New York, 1979.
4．北京大学数学系，《高等代数》，人民教育出版设，1978。
矩阵分裂角度的Jacobi、Gauss－Seidel、SOR；迭代法收敛性原理；对特殊的系数矩阵的收敛性分析。
第9章矩阵的特征值与特征向量计算
求极端特征值问题的乘幂法与反乘幂法；求对称矩阵特征问题的Jacobi方法；求一般矩阵特征问题的QR方法。
学时分配进度安排
课程总教学时数为54学时，每周3学时，共18周。具体分配如下：
深圳大学研究生《数值分析》课程教学大纲
授课教师
李国
所在单位
数学与计算科学学院
授课名称
数值分析
课程类别
学位
学时
60
学分
3
授课对象
全校公共课
授课方式
讲课
考核方式
考试
适合专业
理工科各专业
教
学
目
的
数值分析是一门研究求解数值问题的方法与理论的学科。通过本课程的学习，使得所学者具备转化数学问题为数值问题的基本素质；具备对数值问题构造或者选择合适求解方法的基本素质；具备对数值方法进行理论分析的基本数值。为从事数值计算领域的工作打下坚实的基础。
第2章插值法
多项式插值的基本问题及其求解方法，包括Lagrange插值、Newton插值（前插、后插、一般插值公式），分段低次插值，Hermite插值，三样条插值，分析它们的截断误差。
第3章函数逼近与计算
最佳一致与最佳平方两种函数逼近的基本原理与方法；一些特殊情况下最佳一致逼近的求解方法，；Legender、Chebyshev两种正交多项式及其用于函数逼近的性质；最小二乘算法。
深圳大学研究生《矩阵理论》课程教学大纲
授课教师
刘则毅
所在单位
数学与计算科学学院
授课名称
数值分析
课程类别
学位
学时
60
学分
3
授课对象
全校公共课
授课方式
讲课
考核方式
考试
适合专业
理工科各专业
教学目的、教学要求
通过本课程的学习，使学生在已掌握本科阶段线性代数知识的基础上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识。并着重培养学生将所学的理论知识应用于本专业的实际问题和解决实际问题的能力。本课程要求学生从理论上掌握矩阵的相关理论，会证明简单的一些命题和结论，从而培养逻辑思维能力。要求掌握一些有关矩阵计算的方法，如各种标准型、矩阵函数等，为今后在相关专业中实际应用打好基础。
第一章绪论3学时
第二章插值法9学时
第三章函数逼近与计算6学时
第6章方程求根
迭代法及其收敛性、收敛速度；Newton法、弦截法，及其应用。
第7章解线性方法组的直接方法
Gauss消去法及其各种改进（列选主元的消去法，全选主元的消去法）；矩阵分解角度的Gauss消去法及其各种变形（平方根法，追赶法）；向量与矩阵范数的基本理论，并应用于线性方程组解的误差分析。
第8章解线性方法组的迭代方法
(5)矩阵函数及其应用6学时
理解向量范数、矩阵范数及向量和矩阵的极限的概念；
掌握矩阵幂级数收敛的判定方法，会求矩阵函数；
会求矩阵的微分与积分；
了解矩阵函数在线性系统理论中的应用。
(6)广义逆矩阵6学时
了解矩阵的Moore-Penrose广义逆及其性质
(7)复习2学时
教材（作者、出版社及出版时间）
1．罗家洪，《矩阵分析引论》，华南理工大学出版社，2002。
第4章数值积分与数值微分
机械求积以及插值型机械求积、代数精度等基本概念；等距节点下的Newton-Cotes公式以及Gauss公式；复化梯形公式、复化梯形递推法以及Romberg公式。
第5章常微分方程的数值解法
常微分方程初值问题的基本概念、基本方法；Euler类方法及其收敛性与稳定性的分析；Runge－Kutta方法及其局部截断误差。
[1]M.T.Heath.Scientific Computating: an Introductory Survey (Second Edition).清华大学出版社，2001.
[2]李庆阳，关治，白峰杉.《数值计算原理》.清华大学出版社，2000.
[3]易大义、沈云宝、李有法.《计算方法》.浙江大学出版社,1989.
理解酋空间的概念，会判定一个空间是否为酋空间的方法，掌握酋空间与实内积空间的异同；
掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质，理解厄米特二次型的含义。
(3)矩阵的相似标准形与若干分解形式18学时
掌握矩阵相似对角化的判别方法；会求矩阵的约当标准形；
掌握哈密顿—开莱定理，会求矩阵的最小多项式；
会求史密斯标准形；
教
学
要
求
掌握数值方法的基本思想、基本概念和基本方法；能够熟练地把一些基本的数学问题转化为数值问题；理解数值分析中一些基本数值方法的构成原理，并能够熟练应用之求解问题；能够对基本的数值方法进行合理的理论分析。
课
程
主
要
内
容பைடு நூலகம்
第1章绪论
数值分析的基本技巧；绝对误差、相对误差、有效数字等基本概念，以及误差传播的规律；数值运算中若干注意事项并运用之解决实际问题。
5．陈公宁，《矩阵理论与应用》，高等教育出版社，1990。
6．苏育才、姜翠波、张跃辉，《矩阵理论》(讲义)，2003。
7．《Matrix Analysis》, R.A. Horn and C.I. Johnson, Cambridge Press (中译本)，杨奇译，天津
大学出版社，1988。
主要参考书
课
程
主
要
内
容
(1)线性空间与线性变换10学时
理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式；
掌握子空间与维数定理，了解线性空间同构的含义；
理解线性变换的概念，掌握线性变换的矩阵表示。（不变子空间不作要求）
(2)内积空间8学时
理解内积空间的概念，掌握正交基及子空间的正交关系；
了解内积空间的同构的含义，掌握判断正交变换的判定方法；
掌握正规矩阵及其酉对角化。
掌握多项式矩阵的互质性与既约性的判别方法，会求有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解；
了解舒尔定理及矩阵的满秩分解、QR分解、奇异值分解及谱分解。
(4)赋范线性空间10学时
了解赋范线性空间的及范数导出的度量，了解Lebsaque积分与Lp空间；
掌握矩阵的各种范数定义、谱半径及其性质。，