矩阵论论文

西安理工大学研究生课程论文课程名称：矩阵论任课教师：XXX论文/研究报告题目：线性变换在电路方程中的应用完成日期：2014年11月5日学科：Xxxx学号：XXXXXXX姓名：XXX成绩：线性变换在电路方程中的应用摘要：电路分析中的坐标变换和复杂绕组变压器分析中所用的变压器变换都是电路方程的线性变换。

根据矩阵理论，对坐标变换和变压器变换进行了统一阐释。

坐标变换本质是一个方阵和对角阵的相似变换，变压器变换的本质是新变量对旧变量的表示，当变换矩阵的逆阵等于它的转置（共轭转置）阵时，坐标变换和变压器变换数学表示是相同的。

通过对电路方程系数矩阵和三角阵的相似变换，同时得到了三相 abc 坐标系和任意速度旋转两相 dq0 坐标系、瞬时值复数分量 120 坐标系、前进 - 后退 FB0 坐标系之间的变换矩阵。

这有助于在更加基础的理论层面上揭示和理解电路方程线性变换的本质，也为提出电路方程线性变换的新类型提供了思路。

关键词：电路方程；线性变换；坐标变换；变压器变换引言在交流电机等电路分析中，常用的坐标变换是指三相静止 abc 坐标系任意速度旋转两相 dq坐标系、瞬时值复数分量 120 坐标系、前进 - 后退 FB坐标系，以及它们对应的特殊坐标系的变量之间的相互转换。

电路方程坐标变换的主要目的是使电压、电流、磁链方程系数矩阵对角化和非时变化，从而简化数学模型，使分析和控制变得简单、准确、易行。

还有一类电路方程变换，其目的是用旧变量表示出新变量，例如变压器中由原边变量利用变比变换而来的副边变量，把这类电路方程变换称为变压器变换。

坐标变换已有很多文献进行了阐述，但这些阐述大都是基于物理概念的。

变压器变换在复杂绕组变压器的分析中得到了应用，但只是针对具体问题对其方法的具体应用，没有明确提出变压器变换的概念。

这些文献对坐标变换和变压器变换都缺乏在数学层面上予以统一论述。

这种特殊和具体的阐述，不便于将之作普遍化和一般化的理解，也就妨碍了对它的推广和发展。

不论是坐标变换，还是变压器变换，都可看作是电路方程矩阵系数的线性变换。

既然是矩阵线性变换，就必然能够根据矩阵理论对其进行阐释，并找到它们的共同点和不同点，从而在更加基础的理论层面上揭示和理解电路方程线性变换的本质，为提出电路方程线性变换的新类型提供思路。

本文的工作就在于此。

1．线性变换基础知识概念：线性空间V到自身的一种映射就是V的一个变换。

定义 1.11如果线性空间V上的一个变换T具有性质TxklyT++=kx(Ty()l)()其中 x,y∈V, k,l∈K ，则称T为V上的一个线性变换或线性算子. 上式所表示的性质实为变换T对向量的线性运算是封闭的。

因为只要在式1.11中分别取k=L=1和L=0，便得到T（x+y）=Tx+Ty和T（kx）=k（Tx）。

因此，有的作者将此二式作为线性变换的定义。

定义1.12 设T是线性空间V的线性变换，V中所有向量的象形成的集合，称为T的值域，用R（T）表示，即R（T）={Tx/x V∈}V中所有被T变为零向量的原象构成的集合，称为T的核，用N（T）表示，即N （T ）={x/Tx=0，x V ∈}定理1.8 线性空间V 的线性变换T 的值域和核都是V 的线性子空间。

定义1.13 象子空间的维数dimR （T ）称为T 的秩，核子空间的维数称为T 的亏（或零度）。

2. 电路方程线性变换的基本理论对于线性电路，其电路方程一般可表示为y = Ax （1）其中，向量y ∈1n F ⨯， 向量 x ∈1n F ⨯，x 、y 表示电压、电流或磁链等电量；矩阵A ∈n n F ⨯， F 为实数或复数域 。

因为电路为线性，所以矩阵A 中各元素与 x 、y 无关，它们可以是常数、时间函数和微分算子。

设电路方程式（1）的线性变换关系为y′=y P y （2）x = x P x′（3）其中 ，y′∈1m F ⨯，x′∈1m F ⨯，y P ∈n m F ⨯，X P ∈m n F ⨯。

由 式（ 1 ）~（ 3） 可得：x′=A ′y ′(4)A ′=y P A X P (5)其中，A ′m m F ⨯∈。

式（ 4）就是用新变量 y′和 x′表示的电路方程。

关于 Px 和Py 的关系有下面 2 种情形 。

情形 1 ： 如 果-1y P 存在，且满足式（ 6），则 式（ 7）（ 8）（ 9）成立 。

P=-1y P（6）XHx'（-1y P）H y （7）x y=Hy′= Py yx′= Py x （8）P y′y =-1yP x′（9）x = -1y情形 2：如果满足式（ 10），则式（ 11 ）成立。

P=H y P（10）XHx'y′（11）x y=H如果-1y P存在，则y′= Py yx′= ()-1H y P x （12）y=-1P y′yP x′（13）x=Hy由式（7）~（9）可以看出，如果 Px=-1P，变换前后功率未必守恒，y但新、旧变量的变换矩阵相同；由式（11 ~（13）可以看出，如果Px =-1P（不论-1y P是否存在），变换前后功率守恒，但新、旧变量的y变换矩阵未必相同（甚至可能因为-1P不存在而写不出表达式）。

y显然，如果-1P =H y P，则上述2种情况的数学表示是相同的，即y变换前后功率守恒新、旧变量的变换矩阵相同。

在实数域，这种变换就是正交变换；在复数域，这种变换就是酉变换。

正交变换或酉变换意味着新旧变量之间的变换是可逆的。

在坐标变换中，Py和Px的关系取上述情形1，即式（6）；在变压器变换中，Py和Px的关系取上述情形2，即式（10）。

同时需要注意的是，对于实际问题，一般A是可逆的，但A′ 可能不可逆。

3. 坐标变换举例进行坐标变换的目的就是简化计算和分析过程，具体体现在对式（1 ）求解的简化。

即通过坐标变换，使得矩阵A的阶数减小、解耦（对角化）以及各元素与时间无关。

一般而言，使矩阵 A对角化是对式（1）最主要的简化。

要对矩阵 A对角化，就是求矩阵A和一个对角阵的相似变换，即-1P AP= Λ (19)其中，相似变换矩阵 P n n F⨯∈；Λ 为对角阵。

如果Λ=diag（λ1，λ2，…，λn），λ1、λ2、…、λn 是A的n个特征值，则P的第i个列向量是 A的属λi的特征向量，P的i个列向量是线性无关的，且P不唯一。

在三相异步电机中，定子三相电流在定子绕组中形成磁链时的电感矩阵为对 Lss 对角化的本质是对下式矩阵对角化：容易知道，A 的3个特征值为λ1 =λ2 =3／2，λ3 =0。

对应这3个特征值的3组特征向量的相似变换矩阵可以分别如式（21 ）（22）（23）所示： P1 =⨯32)()()(()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++--21120sin -120cos 21120-sin -120cos 21sin cosθθθθθθ （21） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1111131P 222αααα （22） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1e e 1e e 1e e 31P j 2j -j j -2j -j 3γγγγγγαααα （23）容易验证：H 3-13H 2-12T 1-11P P P P P P ===、、。

把式（20）（21 ）（22）分别代入式（19）都可得：Λ =diag （λ1，λ2，λ3）=diag （3／2，3／2，0） （24）式（21 ）的正交变换矩阵P1是电机学中有关任意速度旋转坐标系dq0 到三相坐标系abc 的变换矩阵，P1- 1则是三相坐标系 abc 到任意速度旋转坐标系dq0的变换矩阵。

式（21 ）中，θ为d 轴超前a 轴的角度。

式（22）的酉变换矩阵 2P 是瞬时值复数分量 120坐标系到三相坐标系 abc 的变换矩阵，-12P 是三相坐标系 abc 到瞬时值复数分量 120坐标系的变换矩阵。

式（22）中，α=j120e 。

式 （ 23）的酉变换矩阵 3P 是前进 - 后 退坐 标系FB0 到三相坐标系abc的变换矩阵，-1P是三相坐标系abc到前进-后退坐标系FB0 的3变换矩阵。

式（23）中，α=j120e，γ 为 F 轴超前a轴的角度。

从上面的例子可以看出，在交流电机等电路分析中，常用的三相静止abc 坐标系、任意速度旋转两相dq0坐标系、瞬时值复数分量120 坐标系、前进 -后退 FB0坐标系之间的变换本质上都是求取式（1 ）矩阵Λ的对角相似矩阵，即得到式（19），从而式（4）变为x′=Λy′（25）这样，变换后的新变量x′和y′实现了解耦，从而简化了方程及其分析过程。

这就是电路分析中坐标变换的根本目的。

对于相数大于3的多相电路系统，也可以用上述矩阵相似变换的方法求出其多相坐标变换矩阵。

从上面的分析可以看出，矩阵A可对角化是使式（4）简化的重要原因，但并不是所有的 A 都可对角化。

例如，只有A完全对称或循环对称时，才可使用式（22）的变换矩阵P使A对角化。

当 x、y 为时间相量时，式（22）变换矩阵就是对称分量法的变换矩阵，即对称分量法的有效是有条件的。

当 A不是完全对称或循环对称时，并不能用对称分量法使分析问题简化（即变换后各序间存在耦合，各序分量不是相互独立的）。

由此可以得出一个重要结论：被广泛使用的坐标变换并不能使所有情形下的式（1）变得简单（解耦）。

此时，要么通过寻求新的变换简化式（1），要么不加变换地直接求解式（1 ）。

值得特别指出的是，由于P不唯一，所以可根据特定要求选取 P，这样做就有可能发现用于实际问题求解的新的变换。

4.变压器变换举例在电路分析中，特别是在含有复杂绕组变压器的电路分析中，某些电压和电流变量之间的关系式（式 （1 ））容易列写，而同时这些电压和电流变量却不是问题所关心的 。

这个时候就需要用变压器变换把所关心的电压、电流变量用这些变量表示出来，从而得到所关心的电压、电流变量之间的关系式。

下面举例说明 。

图 1 为 Scott 变压器的接线原理图。

由图容易写出绕组电流和电压之间的关系式为（26）其中A 为绕组耦合导纳矩阵。

但在对 Scott 变压器及其电路的分析中，关心的是节点电压和节点电流，即[]T D C B A U U U U U U βα='x ,[]T D C B A I I I I I I y βα=',所以需要找出'x 和'y 之间的关系式。

由图 1 可得：由式（26）~（29）可得：式（30）就是 x′和y′之间的关系式。

当给定有关约束条件时，就可用式（30）对 Scott 变压器及其电路进行分析计算。

特别地，对于实际的 Scott 变压器，其实没有外接端子D，即可认为I=0。

D 需要注意的是，式（28）的P不可逆。

由于原变量y不是问题所关心的，因此没必要通过新变量y′的逆变换求出原变量y，所以P 是否可逆在这里没有要求。