矩阵论论文
矩阵分析方法及应用论文
矩阵分析方法及应用论文矩阵分析方法是一种应用矩阵论和线性代数的数学工具，用于研究和解决与矩阵相关的问题。
矩阵可以用于描述线性变换、矢量空间和方程组等数学对象。
矩阵分析方法可以应用于多个领域，包括数学、物理、工程、计算机科学等。
在以下回答中，我将简要介绍矩阵分析方法的基本原理和一些应用，并提供一些相关论文的例子。
首先，让我们来了解一下矩阵分析的基本原理。
矩阵是一个由数值排列成的矩形数组，可以表示为一个m×n的矩阵，其中m表示行数，n表示列数。
矩阵的元素可以是实数或复数。
通过矩阵分析，我们可以研究矩阵的性质、运算规则和应用。
矩阵乘法是矩阵分析中最基本的操作之一。
当两个矩阵相乘时，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
矩阵乘法的结果是一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
矩阵乘法可以表示线性变换和矢量的线性组合等概念。
另一个重要的矩阵分析方法是特征值和特征向量的计算。
矩阵的特征值是矩阵与一个非零向量之间的一个简单乘法关系。
特征向量是与特征值对应的非零向量。
特征值和特征向量在物理、工程和计算机科学等领域中有广泛的应用，例如图像处理、机器学习和数据压缩等。
矩阵分析方法在多个领域有着广泛的应用。
下面是一些矩阵分析方法的应用领域及相应的论文例子：1. 图像处理：矩阵分析方法在图像处理中被广泛应用，例如图像压缩和恢复。
论文例子：《基于矩阵分解的图像压缩算法研究》、《基于矩阵分析方法的图像恢复技术研究》。
2. 数据处理：矩阵分析方法在数据挖掘和机器学习中起着重要作用，例如矩阵分解和矩阵推荐系统。
论文例子：《基于矩阵分解的矩阵推荐系统研究》、《基于矩阵分析的数据挖掘技术研究》。
3. 信号处理：矩阵分析方法在信号处理中具有广泛的应用，例如语音信号处理和音频编码。
论文例子：《基于矩阵分析方法的语音信号处理技术研究》、《基于矩阵分解的音频编码算法研究》。
4. 控制系统：矩阵分析方法在控制系统设计和分析中具有重要作用，例如状态空间表示和线性二次型控制器设计。
矩阵论课题论文
矩阵论课题论文论文题目：偏最小二乘法在光谱分析中的应用课题名称：腐植酸和木质磺酸盐的光谱分析方法研究导师姓名：焦明星课程名称：矩阵论任课教师：郭文艳专业：光学工程学号： 2150220092姓名：王敏成绩：偏最小二乘法（PLS）在光谱分析中的应用一、摘要磺酸木质素(ligninsulfonate)是水中的一种污染物，可用荧光分光光度法测定。
尽管此种方法具有高灵敏度和高选择性，但在磺酸木质素的测试中腐植酸和去污剂中的光白剂（optical whitener）对其严重干扰。
这三种化合物的发射光谱重叠非常严重，而且在溶液中相互间有影响。
但是借助于偏最小二乘法，可以进行单一成分的测试，所得结果尚较满意。
二、课题背景偏最小二乘方法(PLS-Partial Least Squares)是近年来发展起来的一种新的多元统计分析法，现已成功地应用于分析化学，如紫外光谱、气相色谱和电分析化学等等。
该种方法，在化合物结构-活性/性质相关性研究中是一种非常有用的手段。
如美国Tripos公司用于化合物三维构效关系研究CoMFA(ComparativeMolecular Field Analysis)方法。
其中，数据统计处理部分主要是PLS。
在PLS方法中用的是替潜变量，其数学基础是主成分分析。
替潜变量的个数一般少于原自变量的个数，所以PLS特别适用于自变量的个数多于试样个数的情况。
在此种情况下，亦可运用主成分回归方法，但不能够运用一般的多元回归分析，因为一般多元回归分析要求试样的个数必须多于自变量的个数。
三、偏最小二乘（PLS）3.1基本原理为了叙述上的方便，我们首先引进“因子”的概念。
一个因子为原来变量的线性组合，所以矩阵的某一主成分即为一因子，而某矩阵的诸主成分是彼此相互正交的，但因子不一定，因为一因子可由某一成分经坐标旋转而得。
在主成分回归中，第一步，在矩阵X的本征矢量或因子数测试中，所处理的仅为X矩阵，而对于矩阵Y 中信息并未考虑。
矩阵数学论文3000字_矩阵数学毕业论文范文模板
矩阵数学论文3000字_矩阵数学毕业论文范文模板矩阵数学论文3000字(一)：Pre5G获GSMA双料大奖揭秘：竟是多维矩阵的数学创新论文最受评委认可的是Pre5G的高技术含量，它是通过高超、复杂的数学方法实现的，绝非技术的简单包装。
如果每一年巴塞罗那MWC展会都会树立几个风向标的话，那么“创新加速5G”无疑是本届MWC大会当仁不让的主题。
本届展会的第二天，中国的5G创新再次掀起了MWC的高潮，中兴通讯凭借Pre5GMassiveMIMO荣获全球移动大奖“最佳移动技术突破”（BestMobileTechnologyBreakthrough）以及CTO选择奖（OutstandingoverallMobileTechnology-TheCTO’sChoice2016），一时间被全球广泛关注。
由GSM协会主办的MWC是全球最具影响力的移动通信领域的盛会，全球移动大奖则是目前被业界认可的最高荣誉，被誉为“通信业的奥斯卡奖”。
而CTO选择奖的重量级在于，获奖技术是从6个移动专项获奖中再次选出最佳的一个“奖中奖”，该奖项的评委是由来自全球16家运营商的首席技术官组成的，他们非常看重入选内容的独到创新点，以及是否可以真正改善客户体验、降低成本，真正通过创新提升运营商商业价值。
而且，中兴通讯今年作为惟一的中国企业获此殊荣。
事实上，这也是5G领域第一次获得行业最高奖项并获得CTO的一致认可，两大奖项不仅奠定了中兴通讯在无线宽带领域的领军者形象，更意味着从3G的试探、4G的积极，到5G的超前，中国技术的不断创新已经获得全球认可。
颠覆式创新的核心GSMA大奖评委会给出的获奖点评是“Pre5GMassiveMIMO技术是移动宽带演进上的颠覆性创新”。
从技术上看，Pre5G最主要的技术MassiveMIMO通过128天线阵元，支持多达12到16流的动态beamforming，在不改变空口、不增加频点、不改变终端的前提下，快速实现了频谱效率倍增，三维立体覆盖能力超强，且Pre5G兼容4G终端，使得现网引入Pre5G更加从容。
矩阵理论应用论文
高维随机矩阵理论在数组信号检测与估计中的应用摘要本文中，我们展示了高维随机矩阵理论在频谱中的要素、相关源的检测并解决了在大数组中的估计问题。
这些结果适用于样本空间的协方差矩阵R̂中所感测的数据。
可以看出，可以实现的检测样品尺寸大小小于传统方法所要求的。
如果确定了预定的方向，可以通过给R̂设置限制条件，包括从高维随机矩阵理论中提出的，可以得到更加准确的估计。
一组理论用来解决可行性问题。
讨论 了一些没有解决的问题。
问题声明我们认为，当p 很大时，检测映射在数列p （q<p ）的传感器上的q 的数量以及他们的到达方向是个问题。
该模型的成像机制如下。
在每个时间t 的第j 个信号出现在场景中时，第i 个传感器的加性噪声和在第i 个传感器接收到的数据可以分别用平方可积的复数值随机变量序列S j (t)、N i (t)和X i (t)表示。
随机向量（S(t)=[S 1(t )……S q ]）T，t ∈[0，+∞]，ES (0)=0和奇异空间的协方差矩阵R S =ES(0)S(0)∗。
此外，假设随机变量序列(N i (t )｜1≤i ≤p ，t ∈[0，+∞])，EN 1(0)=0和E ｜N 1(0)｜2=σ2，σ2未知，与随机变量序列(S j (t )｜1≤j ≤p ，t ∈[0，+∞])独立。
让N (t )=σW (t )=σ[W 1(t )……W p (t)]T （W i (t )被标准化）和X (t )=[X 1(t )……X p (t)]T 。
这些由阵列传感器收集的数据被建模成为随机向量的观测值X (t )=AS (t )+N(t)t ∈[0，+∞]，A 是根据阵列的几何尺寸和信号参数的p*q 的矩阵，假设秩为q 。
在数据处理中的检测问题是从观测到的n 个快照(X (t i ))1≤i≤n 中估计q 。
根据上述假设，随机向量(X (t ))t∈[0，+∞]由空间的协方差R =EX (0)X (0)∗=AR S A ∗+σ2I p 决定，I p 表示p*p 的单位矩阵。
矩阵理论论文
矩阵分解在信号和图像处理方面的应用矩阵理论是一门发展完善、理论严谨、方法独特的理论基础课程，它对培养学生的逻辑能力、推理能力具有重要作用，但它又能广泛应用于各个领域。
矩阵理论主要内容包括线性空间、线性变换、范数理论；矩阵分析；矩阵分解；广义逆矩阵；特征值的估计以及广义特征值等。
用矩阵的理论和方法来处理现代工程技术中的各种问题已经越来越普遍。
下面简单介绍一下矩阵的奇异值分解在信号和图像处理方面的简单应用。
此方法近年来在数据降维和压缩,滤波器设网络节点估计、小波变换结果的后续处理等很多领域都获得了重要的应用。
在滤波器设计方面，VOZALIS等将SVD 用于协同滤波，他们的研究结果表明，SVD提高了协同滤波过程中预测的质量和精度。
而在消噪方面，LEHTOLA等利用SVD和数学形态学相结合，对心电信号(Electrocardiogram，ECG)进行处理，消除了噪声的影响，提高了心电图诊断的准确性。
同时奇异值分解已用于从孕妇皮肤测量信号中提取胎儿心电信号。
在另一些研究中SVD则被利用来实现特征提取和弱信号分离，如LIU等利用SVD从背景噪声强烈的振动信号中提取周期性冲击信息。
SVD在神经网络中也获得了应用，如TEOH等利用SVD实现了对隐层空间中模式的线性独立性分析，进而决定了隐层神经元节点的数目。
SVD的正交化特性在对小波和小波包变换结果的后续处理中也得到了有效的应用，如XIE等利用SVD对小波包分解后的肌电信号进行正交化处理，以获得代表肢体运动模式的最优特征，进而对肌电信号进行分类，用于对假肢的控制。
小波多分辨分析的本质就是把信号在一系列不同层次的空间上进行分解，获得相应的近似和细节信号，从而以不同的层次显示信号的各种概貌和细节特征[9]，这种多分辨思想使得小波分析在很多领域获得了极为广泛的应用。
基于这种多分辨分析思想的思考，赵学智在SVD中提出了一种矩阵二分递推构造方法，根据该方法得到的SVD分解结果将分属于不同层次的空间，而且下一层次空间的基矢量是利用上一层次的近似基矢量而获得的，实现了利用SVD以不同的层次来展现信号的概貌和细部特征。
成都电子科技大学矩阵论课程结课论文
集成电路噪声模型的矩阵表示摘要：本文给出了集成电路的噪声模型及其矩阵表示，首先介绍了分立器件的噪声矩阵，根据叠加原理得出二端口网络及二端口互联网络的噪声模型。
运用矩阵理论分析集成电路噪声，直观，方便，主要运算过程都涉及矩阵的转置、矩阵的逆、矩阵的共轭以及矩阵的四则运算，便于进行计算机信息处理。
关键词：集成电路噪声二端口网络矩阵理论1引言噪声是影响现代电子系统性能的一个主要因素，随着集成电路工艺技术的发展，电源电压越来越低，噪声对电子系统的影响越来越大，已经成为大多数模拟电路设计中要考虑的最主要因素。
集成电路的低噪声化及其噪声特性分析是通信与信息系统领域中的重要研究课题，在近代信息技术各个应用领域中，低噪声集成电路的需求量越来越大，而且对噪声特性的要求越来越高，其原因是器件和电路的噪声水平及噪声特性直接关系到信号检测灵敏度和电路或系统的可靠性，关系到系统的整体性能,在电子系统设计阶段，不仅要选用低噪声集成电路器件，而且要对不同集成电路进行噪声分析，并优化各种参数及结构,显然，应用有效的噪声分析手段不仅可以大大缩短研制周期，节省研制费用，而且可保证研制开发的集成电路应用系统具有优良的性质。
集成电路应用系统通常是一个比较复杂的系统，然而，任何一个复杂的系统都可以分解成相对比较简单的单元，使大系统变成小系统，使复杂问题简单化，从而便于分析。
本文先讨论分立原件的噪声模型，进而分析互联电路网络的噪声。
2．MOSFET’s器件的噪声矩阵随着CMOS工艺技术的进步，CMOS 技术在无线通讯领域中的应用成为可能, 相应地MOSFET’s的噪声行为日益受到重视，近来有许多作者致力于MOSFET’s的噪声模型研究，一个精确的噪声模型可以使电路设计者更加充分利用现有技术。
图1是一个典型的MOSFET等效噪声电路模型，其中考虑了如下的噪声电流源：沟道噪声（i ds），栅极诱生噪声（i gs），栅极电阻热噪声（i g），源漏电阻热噪声（i s，i d）。
线性代数中矩阵的应用论文
线性代数中矩阵的应用论文线性代数中矩阵的应用论文线性代数中矩阵的应用论文【1】摘要：伴随着社会经济的快速发展，信息技术的进步，数学应用领域也得到了扩展，已从传统物理领域扩展至非物理领域，于当前现代化管理、高科技的发展以及生产力水平的提升中有着非常重要的作用。
下面笔者就线性代数中矩阵的应用进行研究，借助于关于矩阵应用的典型案例来分析，以加深人们对矩阵应用领域的认识。
关键词：代数应用线性矩阵线性代数作为数学分支之一，是一门重要的学科。
在线性代数的研究中，对矩阵所实施的研究最多，矩阵为一个数表，该数表能变换，形成为新数表，简而言之就是若抽象出某一种变化规律，可借助于代数理论知识来对所研究的这一数表实施变换，以此获得所需结论。
近年来，随着社会经济发展速度的加快，科学技术水平的提高，线形代数中矩阵的应用领域也变得更为广泛，本文就线性代数中矩阵的应用进行详细地阐述。
1 矩阵在量纲化分析法中的应用大部分物理量均有量纲，其主要分为两种，即基本量纲与导出量纲，其中基本量纲有社会长度L、时间T以及质量M，其他量均为导出量。
基于量纲一致这一原则，等号两端的各变量能构建一个相应的线性方程组，经矩阵变换来解决各量之间所存关系。
比如勾股定理证明，假设某RT△斜边长是c，两直角边长各为a和b，在此如果选△面积s，斜边c，两锐角a和β为需研究变量，则必定有以下关系，即，该公式中所存量纲有四个，其中有三个为基本量纲，则必然有一个量为无量纲，把上述量纲列成为矩阵，所获矩阵图形如，其中每一列表示一个变量量纲数据。
基于该矩阵，所获解线性方程为，综合上述方程可得解，即x11为2，x21为0，x31为0，因此，可得关系式，该公式中λ表示唯一需明确的无量纲量，从该公式可知RT△面积和斜边c平方之间成比例。
在此，于该三角形斜边做一高，把其划分为两个形似三角形，其面积各为s1与s2，此时，原RT△的边长a和b则是两个相似小三角形的斜边。
通过上述内容可知所获原理和结论相似，则有s1=λa2与s2=λb2，因s1+s2=s，对此，基于此，可证明勾股定理，即为。
矩阵论论文
研究生课程论文/研究报告课程名称：矩阵论任课教师：论文/研究报告题目：矩阵论的应用—线性定常系统建模和线性定常系统状态方程求解完成日期：年月日学科：学号：姓名：成绩：矩阵论的应用—线性定常系统建模和线性定常系统状态方程求解摘要我们知道在进行系统的分析和设计时，首先要建立数学模型然后再进行求解分析。
根据系统分析、设计所用方法不同，或所要解决的问题不同，描述同一系统的数学模型亦有所不同。
本文先介绍描述系统内部特性和端部特性的状态空间表达式及其在s 域分析得到传递函数，然后再利用系统状态转移矩阵求线性定常系统状态方程的解。
关键词：数学模型、状态空间表达式、传递函数、线性定常系统状态方程的解一、线性定常系统的状态空间表达式及其传递函数如下图1所示电路图，电压u(t)为电路的输入量，电容上的电压uc(t)为电路的输出量。
R 、L 、C 分别为电路的电阻、电感、电容。
由电路知识可知，回路中的电流i(t)和电容上电压uc(t)的变化规律满足如下方程：()()()()di t L Ri t uc t u t dt ++= 1()()i t dt uc t C=⎰ 其中i(t)和uc(t)为该电路系统的状态变量（状态变量就是确定系统状态的最小一组变量）。
状态空间：以选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交空间，成为正交空间。
系统在任意时刻的状态可以用状态空间中的一个点来表示。
图1将上式方程组改写成状态空间表达式为：()11()()1()()00di t R i t dt L Lu t L duc t uc t Cdt --⎡⎤⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎡⎤⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎢⎥ ⎪⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦① 如将电容上的电压uc 作为电路的输出量，则[]()()01()i t uc t uc t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦②令x=()()i t uc t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,u=u(t),y=uc(t),A=110R L LC --⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,b=10L ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦,C=[]01,则上面方程改写成如下：x 、=Ax+bu ③ y=Cx ④其中x 为2维的状态变量；u 为标量输入；y 为标量输出；A 为2X2系数矩阵；b 为2X1输入矩阵；C 为1X2输出矩阵。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
利用蚁群算法分析TSP问题
“旅行商问题”(Traveling Salesman Problem,TSP)可简单描述为：一位销售商从n个城市中的某一城市出发，不重复地走完其余n-1个城市并回到原出发点，在所有可能路径中求出路径长度最短的一条。
旅行商的路线可以看作是对n城市所设计的一个环形，或者是对一列n个城市的排列。
由于对n个城市所有可能的遍历数目可达(n-1)!个，因此解决这个问题需要O(n!)的计算时间。
而由美国密执根大学的Holland教授发展起来的遗传算法，是一种求解问题的高效并行全局搜索方法，能够解决复杂的全局优化问题，解决TSP问题也成为遗传算法界的一个目标。
与粒子群算法相似，蚁群算法也是通过对生物的群体进行观察研究得来的。
在研究蚂蚁的行为时发现，一只蚂蚁，不论是工蚁还是蚁后，都只能完成很简单的任务，没有任何一只蚂蚁能够指挥其他蚂蚁完成筑巢等各种复杂的行为。
蚂蚁是如何分工，如何完成这些复杂的行为的这一问题引起了科学及的兴趣。
生物学家发现，蚁群具有高度的社会性。
在蚂蚁的行动过程中，蚂蚁之间不只是通过视觉和触觉进行沟通，蚂蚁之间的信息传递还可以通过释放出一种挥发性的分泌物，这是一种信息素之类的生物信息介质。
一只蚂蚁的行为极其简单，但是一个蚁群的行为则是复杂而又神奇的。
蚂蚁在觅食的过程中，如果没有发现信息素，会随机选择一个方向前进，遇见障碍物也会绕开，直到遇见食物，若果遇见的食物比较小，就即刻搬回巢穴，假如食物很大，则会释放信息素之后回去搬救兵。
在一只蚂蚁发现食物并留下信息素之后，其它的蚂蚁会跟着信息素很快找到食物。
虽然对蚂蚁的行为有了一定的了解，在实际模拟蚁群的时候仍然存在不少问题。
蚂蚁觅食过程中在没有信息素的情况下，蚂蚁会随机向一个方向前进，不能转圈或者震动。
虽然有了一个方向，蚂蚁也不能一直只向着同样方向做直线运动，这一运动需要有点随机性，由此，蚂蚁的运动在保持原有的方向的同时对外界的干扰能够做出反应，也有了新的试探。
这一点在遇到障碍物时是非常重要的。
在有了信息素之后，大多数的蚂蚁都会沿着信息素去找食物，这条路上的信息素会越来越多，但这并不一定会是最优的路径，所以还需要找到最优的路径。
好在蚂
蚁也并不是那么机械地运作，它有一定的几率开辟新的道路，而不是沿着信息素运动，这就为找到最优路径提供了可能。
当找到了最优路径，这只蚂蚁找到食物再回来会比其它的蚂蚁快，同时在路上也留下了信息素，也会吸引其他的蚂蚁走上这条更快的路。
由于这条路走起来更快，信息素也会积累得更快，因此吸引到更多的蚂蚁，渐渐地，大多数的蚂蚁都会走这条最优路径。
遗传算法具有广泛的应用领域，它借助于生物进化的思想和原理与计算机科学相结合，在解决实际问题中得到了很好的广泛应用。
遗传算法一般由选择、交叉、变异构成。
它通过不断地迭代，逐步改进当前解，直到最后搜索到最优解或满意解。
4.4.1算法原理及步骤
1991年，意大利学者Dorigo M等提出了蚁群算法，并在之后研究了蚁群算法的基本原理和数学模型。
这是一种用来在图中优化路径的机率型算法，蚁群算法提出的人工蚂蚁和真实的蚂蚁有一定的区别。
因为人工蚂蚁是为了解决实际的优化问题而提出的，为了使算法更加快速有效，人工蚂蚁比真实的蚂蚁多一些本领。
例如，人工蚂蚁的状态是离散的，不同于真实的蚂蚁的运动，人工蚂蚁的移动是从一个离散的状态到另一个离散的状态的跃迁。
人工蚂蚁还记录了这只蚂蚁的历史行为。
至于蚂蚁释放的信息素对于人工蚂蚁而言是建立的评价问题解决方案的优劣程度的函数，且人工蚂蚁释放信息素的时间不同与现实的蚂蚁要在移动的同时释放，是可以视情况而定的。
人工蚂蚁还可以进行局部优化、原路返回等现实的蚂蚁所不具备的功能。
蚁群算法之中包括了蚂蚁搜索行为的决定因素，第一，是局部搜索策略。
每一只蚂蚁在经过了有限步的移动之后都能够建立一个对于这一问题的解，在每一步的移动过程中，需要应用随机的局部搜索策略来确定移动的方向。
第二，蚂蚁的内部状态。
蚂蚁的历史记录都存储在蚂蚁的内部状态中，因此，内部状态可以通过所携带的信息判断所建立的解决方案的价值。
第三，释放信息素。
信息素包含了蚂蚁积累的信息以及一些具体问题的启发信息，能够影响蚂蚁的决策，这些信息只在蚂蚁释放过信息素的路径上，因此它是局部的，同时这些信息也是长期
的、可以共享的。
第四，蚂蚁决策表。
蚂蚁决策表指导蚂蚁搜索着向最有吸引力的区域移动，这是一种由信息素函数与启发信息函数共同决定的概率表。
蚁群算法的优点很多，比如，这一算法也适用于并行操作。
又由于没有中心的控制和数据而更具有鲁棒性，个体的问题对整个问题的求解造成影响。
系统中的通信不一定要通过个体之间的直接联系，可以通过间接的方式进行通信，这样使得系统中增加个体的开销很小，系统也因此有了更好的可扩充性。
和蚂蚁一样，系统中的个体功能十分简单，不仅实现简单，执行功能所消耗的时间也会很短。
在求解复杂优化问题的过程中，蚁群算法搜索出较优解的能力很强。
蚁群算法仍然存在一些缺陷。
由于蚂蚁的运动是随机的，当问题具有很大的规模的时候，蚂蚁需要较长的时间才能找到最优的路径，之后就需要更多的时间才能使这条最优路径上积累足够的信息素，吸引大多数的蚂蚁。
也就是说，在解决大规模优化问题时算法需要较长的时间才能收敛。
还有一种情况，可能并没有蚂蚁开辟新的道路，所有的蚂蚁发现了同样的路径，可是这条路径并不一定是最优的，而蚂蚁不可能再发现新的路径。
如果这样，蚂蚁找不到最优路径，这一问题也得不到最优解。
将这种蚁群出现停滞的现象称为早熟收敛。
蚁群算法目前还需要进一步的研究，提出完善的理论分析，论证其有效性，通过严格的数学解释作为可靠的理论依据。
蚁群算法的伪代码如下：
Procedure: ACO Algorithm
B egin
While (ACO has not been stopped) do
Schedule actives
Ant＇s allocation and moving(蚂蚁的分配和移动);
Local pheromone update(局部信息素的更新);
Global pheromone update(全局信息素的更新);
End schedule activities
End While
End Procedure
正如蚁群算法的伪代码所示，蚁群算法的内容主要包括蚂蚁的分配和移动、局部信息素的更新以及全局信息素的更新。
具体算法步骤如下：
（1） 系统初始化。
蚁群的蚂蚁数目为m ，将蚂蚁随机放到各个的城市之中，每只蚂蚁都有存储着自己的禁忌表，禁忌表中存放着蚂蚁经过的城市，也就是说蚂蚁在之后的搜索过程中将不会再次经过这些城市，这样也使得蚂蚁的效率得到了提高。
与禁忌表相对应的是允许访问的城市表，用来储存蚂蚁还可以访问的城市。
在初始化的过程中，清空禁忌表，允许访问的城市表中加入所有的城市节点，在蚂蚁的随机的初始位置选定之后，在禁忌表中加入起始节点，而在允许访问的城市表中删除该节点。
（2） 构造路径。
蚂蚁只能从允许访问的城市表中按照概率公式4-3搜索到下一节点。
（3） ⎪⎩⎪⎨⎧∈=∑∈0]),([*)],([)],([*)],([),()(k i J s k J j s i s i j i j i j i p k βαβ
αϕτϕτ（4-3）
（4） 式中，),(j i p k 表示t 时刻第k 只蚂蚁从城市i 到城市j 的概率；k J 表示
允许访问的城市表；α表示信息素对蚂蚁的影响程度；β表示距离对蚂蚁的影响程度；()j i ,τ表示城市i 到城市j 的这条边上的信息素强度；()j i ,ϕ表示从城市i
到城市j 的期望程度，也叫可见度；
()),(1,j i d j i =
ϕ，()j i d ,表示城市i 与城市j 之
间的距离。
（5） 更新信息素矩阵。
在所有的蚂蚁找到合适的路径之后按照下式对信息进行更新：
（6） )
1,()()1()1(+∆+-=+∑t t t t m k ij ij ij ττρτ（4-4）
（7） ⎪⎩⎪⎨⎧=+∆0),()1,(j i L Q t t k k ij 经过τ （4-5）
（8） 适中，ρ表示信息素挥发的速率，取值范围为（0，1），一般取0.5。
信息素的挥发既是对现实的蚂蚁的模拟，也是防止信息素无限累计，提高搜索效
率；ij τ∆为蚂蚁在这一运动中留在城市i 到城市j 的这条边上的信息素强度；
k ij τ∆为第k 只蚂蚁在城市i 到城市j 的这条边上留下的信息素强度；Q 表示蚂蚁留下
的轨迹是正常数，这是一个控制参数；k L是蚂蚁在这一过程中走过的路径的总长。
（9）若迭代次数达到最大数，则终止算法，输出结果。
反之，如果迭代的次数没有达到最大值，也没有每次都找到相同的解，即出现退化的行为，需要转到步骤（2）重复操作。
（10）对于蚁群算法的缺点，研究人员提出了不少的解决方案，对蚁群算法的优化研究还远远未成熟，不过这也让人们看见了这一算法的发展前景。
在实际的应用中，蚁群算法的优化研究可以关注解决问题的算法模型的收敛性或者算法的复杂度。
虽然蚁群算法有效地避免了局部最优，但如何加快求解速度这一问题仍然需要寻求有效的解决方案。
而蚁群算法和其它算法的有机结合也许会产生让人意想不到的高效的算法。
4.5程序运行结果。