矩阵可交换性质

矩阵可交换的条件及其性质摘要：矩阵在高等数学中是一个极重要且应用广泛的概念，是线性代数的核心。

本文通过对可交换矩阵理论的深入研究，对矩阵的可交换做了深入的探讨，归纳总结了矩阵可交换的条件及性质，给出了与已知矩阵可交换的矩阵的求法.关键词：矩阵；可交换；可交换矩阵The Conditions For The Commutation Of Matrix and SomePropertiesAbstract: Matrix in higher mathematics is a very important and widely used concept, is the coreof the linear algebra.This article through to exchange matrix theory research, the matrix interchange to do a further study and summarizes the matrix interchangeable condition and properties are given, and the known matrix can exchange the matrix is introduced.Key words:Matrix；Commutation；The Commutation Of Matrix目录1 引言........................................................................................................................................ - 1 -2 可交换矩阵的基本定义........................................................................................................ - 1 -3 矩阵可交换的条件................................................................................................................ - 1 -3.2 矩阵可交换的几个充要条件............................................................................................... - 3 -4 可交换矩阵的性质.................................................................................................................. -5 -5 与已知矩阵可交换的矩阵的求法........................................................................................ - 5 -5.1 定义法.......................................................................................................................... - 5 -6 结论（结束语）.................................................................................................................... - 9 -7 致谢...................................................................................................................................... - 10 - 参考文献.................................................................................................................................... - 10 -1 引言矩阵在高等代数以及线性代数中是一个重要的内容.本文从可交换矩阵的定义出发，通过对矩阵理论的深入研究，总结归纳了矩阵可交换的充分条件、充要条件以及可交换矩阵的一些性质及给出了求可交换矩阵的一些方法，对矩阵理论的研究具有重要的意义（文中的矩阵均指n阶实方阵）.2 可交换矩阵的基本定义一般说来，矩阵的乘法不适合交换律，即BAAB≠，这是由于在乘积中一方面要求第一个因子的列数等于第二个因子的行数，否则没有意义.所以当矩阵AB有意义时，矩阵BA未必有意义；另一方面，即使矩阵AB、BA都有意义时，它们的级数也未必相等.因为乘积的行数等于第一个因子的行数，列数等于第二个因子的列数.由此我们给出可交换矩阵这一特殊矩阵的定义.定义2.1[]1对于两个n阶方阵A,B，若BAAB=,则称方阵A与B是可交换的。

3 矩阵可交换的条件3.1 矩阵可交换的充分条件定理3.1.1（1）设A、B至少有一个为零矩阵，则A、B可交换；（2）设A、B至少有一个为单位矩阵，则A、B可交换；（3）设A、B至少有一个为数量矩阵，则A、B可交换；（4）设A、B均为对角矩阵，则A、B可交换；（5）设A、B均为准对角矩阵，则A、B可交换；（6）设*A是A的伴随矩阵，则A与*A可交换；（7）设A是可逆矩阵，则A与1-A可交换;（8）设EAB=，则A、B可交换.证明：（1）对任意矩阵A，均有：A0=，0表示零矩阵；A0（2）对任意矩阵A，均有：EAAE=，E表示单位矩阵；（3）对任意矩阵A，均有：A)(=，k为任意实数；(kEkEA)（4、5）显然成立； （6）E A A A AA ⋅==**； （7）E A A AA ==--11；（8）当E AB =时，A 、B 均可逆，且为互逆矩阵. 定理3.1.2(1) 设B A AB βα+=,其中α,β为非零实数,则A ,B 可交换; (2) 设E AB A m =+α,其中m 为正整数,α为非零实数,则A ,B 可交换 证明(1) 由B A AB βα+=可得()()E E B E A αβαβ=--即()()E E B E A =--αβαβ1,故依定理3.1.1()8得()()E E A E B =--αααβ1,于是E E B A BA αβαββα=+--,所以AB B A BA =+=βα;(2) 由E AB A m =+α得()E B A A m =+-α1,故依定理3.1.1()8得()E B Am =+-α1,于是E BA A m =+α,所以可得BA AB =定理3.1.3(1) 设A 可逆,若O AB =或AB A =或BA A =,则A ,B 可交换;(2) 设A ,B 均可逆, 若对任意实数k , 均有()B kE A A -=,则A ,B 可交换[]2证明(1) 若O AB =,由A 可逆得()()O AB A B A A B ===--11, 从而O BA =,故BA AB =;若AB A =,同理可得()()E AB A B A A B ===--11,故BA AB =;若BA A =,则()()E A BA AA B B ===--11,故BA AB =(2) 因A ,B 均可逆, 故由()B kE A A -=得kE A -可逆, 且()A kE A B 1--=,则()[]()[]()()()()()()()'=''=-'-'''=-''-'''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-''-'='-'-=''----AB A B kE A kE A A B kE A A k A A B kE A A kE A B AkE A B kE A B A 1111两边取转置可得BA AB =.或由()[]()[]()()()()()[]()111112111111111--------------=--=--=--=--=A B kE A A kE A B kE A kEA B kE A A kE A B A kE A B kE A B A两边取逆可得BA AB =.3.2 矩阵可交换的几个充要条件定理3.2.1下列均是A,B 可交换的充要条件①))(())((22B A B A B A B A B A +-=-+=-②2222)(B AB A B A +±=±;③''')(B A AB =; ④***)(B A AB =证明：（1）由22))((B BA AB A B A B A -+-=-+及22))((B BA AB A B A B A --+=+-可证得；（2）由222)(B ba AB A B A +±±=±可证得；（3）分别由BA AB =，''')(B A AB =两边取转置可证得； （4）分别由BA AB =，***)(B A AB =两边取伴随可证得.定理3.2.2 可逆矩阵A ,B 可交换的充要条件是()111---=B A AB . 证明 分别由BA AB =,()111---=B A AB 两边取逆可证得 定理3.2.3( 1) 设A ,B 均为(反) 对称矩阵, 则A ,B 可交换的充要条件是AB 为对称矩阵;(2) 设A ,B 有一为对称矩阵,另一为反对称矩阵,则A ,B 可交换的充要条件是AB 为反对称矩阵证明(1) 设A ,B 均为对称矩阵, 由定理3.2.1(3) ,()AB B A AB =''=',因此AB 为对称矩阵;若A ,B 均为反对称矩阵,则()()()AB B A B A AB =--=''='因此AB 也为对称矩阵.仿(1)可证(2)定理3.2.4[]6 设A ,B 均为对称正定矩阵, 则A ,B 可交换的充要条件是AB 为对称正定矩阵.证明 充分性由定理3.2.3(1)可得,下面证明必要性 因,A B 为对称正定矩阵,故有可逆矩阵P ,Q ,使P P A '=,Q Q B '=于是Q Q P P AB ''=,()()'''=-Q P Q P ABP P 1所以ABP P 1-为对称正定矩阵, 其特征值全为正数.而AB 与ABP P 1-相似, 从而AB 的特征值也全为正数,因此AB 为对称正定矩阵定理3.2.5 1-=PCP A ,1-=PDP B ,则A 与B 可交换的充分必要条件是C 、D 可交换.证明 因BA AB =,1-=PCP A ,1-=PDP B ,得1-=PAP C ,1-=PBP D ,()()()()DC P BA P P AB P PBP PAP CD ====----1111,所以C 、D 可交换.另一方面,DC CD =,()()()BA P DC P CDP P DP P CP P AB ====----1111, 所以C 、D 可交换.4 可交换矩阵的性质设B A ,可交换，则有（1）,,)(,l l k k k m m BA B A B A AB A B AB ===其中l k m ,,都是正整数； 证明 （1）由BA AB =可得A B A B B B B BA B B A AB mm m m m =====-个个个1 同理可证ll k k k BA B A B A AB ==,)(.（2）A B f B Af )()(=,其中)(B f 是B 的多项式，即A 与B 的多项式可交换； （3）))((121---+++-=-m m m m m B B A A B A B A))((121B A B B A A m m m -+++=---（4）))(0k k m mk kmmB AC B A -=∑=+（矩阵二项式定理）.5 与已知矩阵可交换的矩阵的求法5.1 定义法求此类矩阵的基本思路是：按定义，设未知数，列齐次方程组，求通解。