矩阵可交换问题
矩阵可交换性质
矩阵可交换的条件及其性质摘要：矩阵在高等数学中是一个极重要且应用广泛的概念，是线性代数的核心。
本文通过对可交换矩阵理论的深入研究，对矩阵的可交换做了深入的探讨，归纳总结了矩阵可交换的条件及性质，给出了与已知矩阵可交换的矩阵的求法.关键词：矩阵；可交换；可交换矩阵The Conditions For The Commutation Of Matrix and SomePropertiesAbstract: Matrix in higher mathematics is a very important and widely used concept, is the coreof the linear algebra.This article through to exchange matrix theory research, the matrix interchange to do a further study and summarizes the matrix interchangeable condition and properties are given, and the known matrix can exchange the matrix is introduced.Key words:Matrix；Commutation；The Commutation Of Matrix目录1 引言........................................................................................................................................ - 1 -2 可交换矩阵的基本定义........................................................................................................ - 1 -3 矩阵可交换的条件................................................................................................................ - 1 -3.2 矩阵可交换的几个充要条件............................................................................................... - 3 -4 可交换矩阵的性质.................................................................................................................. -5 -5 与已知矩阵可交换的矩阵的求法........................................................................................ - 5 -5.1 定义法.......................................................................................................................... - 5 -6 结论（结束语）.................................................................................................................... - 9 -7 致谢...................................................................................................................................... - 10 - 参考文献.................................................................................................................................... - 10 -1 引言矩阵在高等代数以及线性代数中是一个重要的内容.本文从可交换矩阵的定义出发，通过对矩阵理论的深入研究，总结归纳了矩阵可交换的充分条件、充要条件以及可交换矩阵的一些性质及给出了求可交换矩阵的一些方法，对矩阵理论的研究具有重要的意义（文中的矩阵均指n阶实方阵）.2 可交换矩阵的基本定义一般说来，矩阵的乘法不适合交换律，即BAAB≠，这是由于在乘积中一方面要求第一个因子的列数等于第二个因子的行数，否则没有意义.所以当矩阵AB有意义时，矩阵BA未必有意义；另一方面，即使矩阵AB、BA都有意义时，它们的级数也未必相等.因为乘积的行数等于第一个因子的行数，列数等于第二个因子的列数.由此我们给出可交换矩阵这一特殊矩阵的定义.定义2.1[]1对于两个n阶方阵A,B，若BAAB=,则称方阵A与B是可交换的。
论文,夏杰矩阵可交换的条件
长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练矩阵可交换的条件系部：信息与计算科学专业：数学与应用数学学号： 2009031123学生姓名：夏杰成绩：2012 年６月矩阵可交换的条件夏杰长沙学院 信息与计算科学系, 湖南 长沙, 410022摘要：本文通过对矩阵的理论研究，给出了矩阵可交换的部分充分条件和部分充要条件． 关键词：矩阵，可交换1 引言在高等代数以及线性代数的教学中，矩阵是一个重要的教学内容。
由矩阵的理论可知。
矩阵的乘法不同于数的乘法，矩阵的乘法不满足交换律，即当矩阵A B 有意义时，矩阵B A 未必有意义，即使矩阵A B 、B A 都有意义时它们也未必相等。
或者说，在一般情况下，矩阵AB BA ≠，但是在某些特殊情况下，矩阵的乘法也是满足交换律的，从而研究矩阵A B 与B A 的关系具有重要的意义。
我们知道若对n 阶实方阵A 、B ，如果满足AB BA =，则称A 与B 可交换。
可交换矩阵有许多良好的性质，研究矩阵可交换的条件及可交换矩阵的一些性质对矩阵理论的研究具有重要的意义(文中的矩阵均指n 阶实方阵)．2 矩阵可交换的充分条件定理1[１] (1)设,A B 至少有一个为零距阵，则,A B 可交换；(2)设,A B 至少有一个为单位矩阵，则,A B 可交换；(3)设,A B 至少有一个为数量矩阵，则,A B 可交换；(4)设,A B 均为对角矩阵，则,A B 可交换；(5)设,A B 均为准对角矩阵，则,A B 可交换；(6)设A *是A 的伴随矩阵，则A 与A *可交换；(7)设A 可逆，则A 与1A -可逆；(8)设AB E =，则,A B 可交换．证明 (1)对任意矩阵A ，均有：00A A =，0表示零距阵；(2)对任意矩阵A ，均有：AE EA =，E 表示单位矩阵；(3)对任意矩阵A ，均有：()()A kE kE A =，k 为任意实数；(4)、(5)显然成立；(6) A A AA A E **==；(7) 11A A AA E --==；(8)当AB E =时，,A B 均可逆，且互为逆矩阵．定理2[１] (1)设AB A B αβ=+，其中,αβ为非零实数，则,A B 可交换；(2)设m A AB E α+=，其中m 为正整数，α为非零实数，则,A B 可交换．证明 (1)由AB A B αβ=+可得()()A E B E E βααβ--= 即1()()A E B E E βααβ--= 故依定理1(8)得1()()B E A E E αβαβ--=于是BA A B E E αβαβαβ--+=所以BA A B AB αβ=+=；(2)由m A AB E α+=得1()m A A B E α-+=，故依定理1(8)得1()m A B A E α-+=， 于是m A BA E α+=，所以可得AB BA =．定理3[１] (1)设A 可逆，若0A B =或A AB =或A BA =，则,A B 可交换；(2)设,A B 均可逆，若对任意实数k ，均有()A A kE B =-，则,A B 可交换．证明 (1)若0A B =，由A 可逆得11()()0B A A B A AB --===，从而0B A =，故AB BA =；若A AB =同理可得111()()B A A B A AB A A E ---====，故AB BA =；若A BA =，则111()()B B AA BA A AA E ---====，故AB BA =．(2)因,A B 均可逆，故由()A A kE B =-得A kE -可逆且1()B A kE A -=-，则 1[()][()]A B A kE B A kE A -''''=--111()[()]()()()()()B A kE A A kE B A A kA A kE B A A kE A kE B A E B A A B ---''''=--'''''=--''''=--'''''===两边取转置可得AB BA =．３ 矩阵可交换的几个充要条件定理4[１] 下列均是,A B 可交换的充要条件:(1)22()()()()A B A B A B A B A B -=+-=-+；(2)222()2A B A AB B ±=±+；(3)()AB A B '''=；(4)()AB A B ***=．证明 (1)由22()()A B A B A AB AB B +-=-+-及22()()A B A B A AB AB B -+=+--可证得；(2)由222()A B A AB AB B ±=±±+可证得；(3)分别由,()AB BA AB A B '''==两边取转置可证得；(4)分别由,()AB BA AB A B ***==两边取转置可证得．定理5[１] 可逆矩阵,A B 可交换的充要条件是111()AB A B ---=．证明 分别111,()AB BA AB A B ---==两边取逆矩阵可证得．定理6[１] (1)设,A B 均为（反）对称矩阵，则,A B 可交换的充要条件是A B 为对称矩阵；(2)设,A B 有一为对称矩阵，另一为反对称矩阵，则,A B 可交换的充要条件是A B 为反对称矩阵．证明 (1)设,A B 均为对称矩阵，由定理4（3），()AB A B AB '''==，因此A B 为对称矩阵；若,A B 为反对称矩阵，则()()()AB A B A B AB '''==--=，因此A B 也为对称矩阵．(2)仿照(1)可证得．定理7[１] 设,A B 均为对称正定矩阵，则,A B 可交换的充要条件是A B 为对称正定矩阵．证明 充分性由定理6（1）可得；下证必要性：因,A B 为对称正定矩阵，故由可逆矩阵,P Q ，使,A PP B QQ ''==，于是1,()()AB PP Q Q P ABP P Q P Q -'''''==，所以1P ABP -为对称正定矩阵，其特征值全为正数，而A B 与1P ABP -相似，从而A B 的特征值也全为正数，因此A B 为对称正定矩阵．引理1[2] 当A 矩阵为对角阵，即12(,,,)n A diag a a a = ，且(1,2,,)i a i n = 互不相同时，与它可交换的B 矩阵必可表示成A 的1n -次多项式．证明 与对角矩阵可交换的矩阵用求解方程()AB BA =的办法可以得到结论：B 必须是一个对角阵12(,,,),(1,2,,)n i B diag c c c c i n == 可以取任何实数．如果我们考虑下面方程：1011n n B p I p A p A --=++ ．它实际上是一个011,,,n p p p - 作为未知数的线性方程组，其系数矩阵正好是一个范德蒙行列式，当(1,2,,)i a i n = 互不相同时，该系数行列式不为零，所以可求得(0,1,2,,1)i p i n =- 是唯一解，故引理的结论得证．定理8[2] 一个矩阵A 化成Jordan 标准型J 后，若J 中没有纯量矩阵的Jordan 块c J ，那么与A 可交换的B 矩阵其充要条件为B 可以化成A 的1n -次多项式，即11011()n n n B P A p I p A p A ---==++ ．证明 对于与A 可交换的B 矩阵应满足的方程AB BA =中，若将A 化成Jordan 标准型1A P JP -=，其中P 为满秩阵J 的标准型，将A 代入上面方程，得11P JPB BP JP --=．若令1X PBP -=，则方程化成JX X J =．这就表明：要求A 的可交换矩阵，可先求A 的Jordan 标准型J 的可交换矩阵C ，则与A 可交换的矩阵1B PCP -=．由于本定理的前提中表明Jordan 标准型J 中没有c J 型（纯量矩阵Jordan 块），c J 型Jordan 块由引理1即知与n J 可交换的矩阵可表示为n J 的1n -次多项式．我们知道，将一个矩阵化成Jordan 标准型工作量很大，要等到标准型化成才能应用被定理作出判断，那也太麻烦了，事实上不必作出Jordan 标准型的分解即可判别一个矩阵是否含有纯量矩阵Jordan 块．参考文献[1] 王霞．矩阵可交换成立的条件及性质［J ］．内江科技，2009，8（30）：161.[2] 钱微微，蔡耀志．论矩阵可交换的充要条件［J ］．大学数学，2007，5（23）：143-146.[3] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组．高等代数（第三版）[M]．北京：高等教育出版社，2003.9．。
大二整理好的数学题
8、求所有与A 可交换的矩阵（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1101A ； (2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100110011A 。
解：（1）显然与A 可交换的矩阵必为二阶方阵，设为X ，并令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=d c b a X ，又 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=d b ca b aAX ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=d d c b b a XA ， 由可交换条件AX=XA ，可得 b=0,d a =（其中c d a ,,为任意常数），即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a c a X 0。
（2）显然与A 可交换的矩阵必为三阶方阵，设为X ，并令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=i hg f e dc b aX ， 又 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=i h g i f h e g d f c e b d a AX ， ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++=i h h g g f e e d dc b ba a XA ， 由可交换条件XA=AX ，可得 d=0,g=0,h=0,c=0,a=e=i,b=f,（其中a,e,i,b,f 均为任意常数），即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a b a b a X 0000。
解：（1）31111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000。
（2）n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1031=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1031n 。
下面用数学归纳法证明。
当n=1时，当然成立。
假定n=k 时成立，即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10311031k k。
再证n=k+1时也成立。
⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+10)1(31103110311031103110311k k kk 。
（4）n⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000100001000010当n =1时，值为原矩阵；n =2时，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000100001000000100001000010n；n =3时，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000000010000000100001000010n ；4≥n 时，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00000000000000000000100001000010n。
矩阵可交换问题及其在高等代数考研中的应用
( 详情请看文献 % 3 & ) " 即 它 们 之 间 存 在 着 同 构 的 关 系" 线 性变换的可交换对应着矩阵的可交换# 在每年的高等代 数考研试题的大题中"都会涉及有关矩阵(线性变换) 可交 换问题# 大致会从这几个方面来进行考察!($) 在求矩阵 的 , 次方幂时"可以观察矩阵的特点"将其拆分成两个可 交换的矩阵"再进行二项式展开# ())已知一个矩阵"求与 此矩阵可交换的矩阵是哪种类型的矩阵# (() 已知一个矩 阵"求与此矩阵可交换的所有矩阵# (3) 已知两个矩阵可 交换"求证对于二阶分块矩阵的行列式的计算方法类似二 阶数字矩阵的计算方法# (5)有关矩阵可交换问题而引出 的可同时三角化( 对角化) 问题# (0) 涉及线性变换下的 可交换问题# 下面通过对历年真题的研究"总结有关可交 换问题的考点#
科教论坛 !"#!$%&$'(') *+&,-./&$01$21(3$&)%)$((%$'
科技风 @A@B 年 BB 月
矩阵可交换问题及其在高等代数考研中的应用
张 蓉4陈国华#
湖南人文科技学院!湖南娄底!B"J###
摘4要高等代数是数学专业的学生必学的科目同时也是考研数学的专业课 有关矩阵的内容在高等代数的教学 中有着举足轻重的地位 我们知道矩阵的乘法一般都不满足交换律但是在特定的条件下矩阵之间是可以交换的而数 学主要研究的就是这类特殊的东西 可交换问题是高等代数教学中的重点内容之一同时也是高等代数考研数学中的热 点之一 本文罗列出了一些矩阵线性变换可交换问题在高等代数考研数学中的应用希望对考研数学有一定的帮助
论矩阵可交换的充要条件
论矩阵可交换的充要条件大学数学第23卷第五期钱微微，浙江中医大学 蔡耀志，浙江大学摘要：从分析二阶矩阵可交换的情况出发，推测出一般矩阵可交换的充要条件，通过矩阵A 化成约当标准型后的不同情形，可最后证明若A 矩阵中没有纯量阵的对角块，那么与它可交换的矩阵B 是A 的n-1次多项式，其中n 为A 矩阵的阶数。
一个A 矩阵可交换的B 矩阵所应满足的充要条件为：除A 很特殊的情形外（参看本文）B 与A 可交换的充要条件是B 是A 的n-1次多项式：21121()n nn p A p I p A p A P A --=++++引理1（i ）A=0时（即A 为零矩阵时），与A 可交换得矩阵B 可以是任意的与A 同价的B 矩阵。
（ii ）当A 是纯量矩阵时，即nA aI =，a 是实数，nI 是n 阶单位矩阵，则与A 可交换得矩阵也可以是任意与A 同价的矩阵;(iii)A 的幂矩阵总是与A 可交换。
定理1与A 可交换的多项式矩阵总可以转化为小于等于n-1次的多项式矩阵。
证:应用哈密顿-凯莱定理，即可将高于n-1次的A 的幂矩阵转化为小于等于n-1次的多项式矩阵。
本定理即为本文结论的充分性论述。
为证明必要性，不妨先分析一下一般二阶矩阵的情形设11122122aa A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,此时，与它可交换得矩阵B 不妨写成11122122x x x x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭。
由x A A=得()()()1111122111112112111212221211221221112221112121222112222212212222(1)234a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x +=+⎧⎪+=+⎪⎨+=+⎪⎪+=+⎩ 消去原方程组中左右相同的项后，（1）（4）二式相同1221a x =2112a x (5)由（2）得（设12a ≠0）()112212112212a a x x x a --= (6)由（3）得（设210a≠）()112221112221a a x xx a --= (7)从（5）（6）（7）中推得A 可交换得条件为1、 当122111220,a a a a ===，由引理1（ii ）可知x 可取任意二阶矩阵。
矩阵相乘什么时候可以交换顺序
矩阵相乘什么时候可以交换顺序
1、两个方阵中有一个是数量矩阵时（数量矩阵是指主对角线上为同
一不为0的数，其他的项全是是0，它是方阵），此时矩阵乘法满足交换律。
2、当两矩阵相等或其中一个为0矩阵时，矩阵乘法满足交换律，单
位矩阵就是一个数量矩阵。
3、方阵A、B满足AB=A+B。
则A、B乘积可交换，即AB=BA。
扩展资料：
将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。
在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。
相似关系是两个
矩阵之间的一种等价关系。
两个n×n矩阵A与B为相似矩阵当且仅当存
在一个n×n的可逆矩阵P。
交换矩阵
A
=
1 2
2 3
的可交换矩阵。
解：设矩阵
B
a c
b d
为
A
的可交换矩阵。则有
AB
BA.
AB
=
1 2
2a
3
c
b d
a 2c 2a 3c
b 2d 2b 3d
C
a b 1 2 a 2b 2a 3b
BA
c
d
2
3
c
2d
2c
3d
D
a 2 a 2b
dn1
d1n
。
dnn
显然有 C D 。 （3） AB 与 BA 均有意义，且二者阶数也相同但是最后具体的乘积方阵还是 不一样。
比如说：矩阵
A
=
2 1
1 1
，
B
=
1 1
2 2
。
AB
=
2 1
1 1 1 1
2 3 2 2
6 4
=
C
；
但是
BA
=
1 1
2 2 2 1
1 1
4 4
3 3
=
D
。显然
C
定理 6： ( A B)2 A2 2AB B2 ； 证明：充分性 ( A B)2 ( A B)( A B) A2 AB BA B2
又 ( A B)2 A2 2AB B2 ， 从而 AB BA 2AB 即 AB BA； 必要性： 若 AB BA 则 ( A B)2 ( A B)( A B) A2 AB BA B2 A2 2AB B2 ， 必要性得证。 定理 7： (AB) AB ； 证明：充分性 由题知 (AB) AB ，又因为 (BA) AB ，
(整理)可交换矩阵成立的条件和性质.
内蒙古财经大学本科学年论文可交换矩阵成立的条件与性质作者：系别：专业：年级：学号：指导教师：导师职称：指导教师评语：该学生在整个论文书写过程中态度端正，能配合指导教师，指导教师交给的任务基本能在规定时间内的完成。
在开题以后，对论文题目理解正确，在指导下能完成论文初稿的书写，书写基本符合规范。
但对参考书目及参考文献的依赖性太大，应在论文中添加自己独立的理解及总结。
成绩：中指导教师：内容提要矩阵是高等数学中一个重要的内容，在数学领域中以及其他科学领域中有着重大的理论意义.众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下，AB BA.但是，在某种特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律.可交换矩阵有着很多特殊的性质和重要的作用.本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵.关键字：矩阵可交换条件性质上三角矩阵AbstractMatrix is an importantcontent inaltitude-mathematics,it has agreattheoretic significanceintheaspectofbothmathematicsandothersciencefields.Asfaraswehaveconcerned,themultiplicationofmatrixcouldnotsatisfytheexchangeruleunderthenormal condition,thatis tosay,normally, AB BA.Whereas, insomecertainconditions, the multiplication of matrix couldsatisfy the exchange rule. Theexchangeable matrixhasmanyspecial properties and important effections. This paperdiscussessomeconditionsofthematrixexchangeandpartsofthepropertyof theexchangeablematrix,andalsointroducesseveralkindsofspecificexchangeablematrix.All of thesearediscussed from the conceptof exchangeable matrix and relativeinformation.KeyWords：matrix interchangeable conditions property upper triangularmatrix目录引言⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 一可交换矩阵及相关定义⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1(一)矩阵⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1(二)可交换矩阵⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 二可交换矩阵成立的条件与性质⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3(一)可交换矩阵成立的条件⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3(二)相关结论⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5(三)可交换矩阵的性质⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 三几类常用的可交换矩阵⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 四可交换矩阵的应用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 五总结⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 参考文献⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 致谢⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10可交换矩阵成立的条件与性质引言随着科学技术的迅速发展和计算机技术的进步，科学与工程计算即科学计算的研究受到科学技术人员的极大重视，其应用范围已经渗透到各个学科领域.计算机的普及，使得矩阵理论越来越受到学者、工程技术人员和科技人员的关注.矩阵理论不仅仅是一门重要的数学理论，而且在数值分析、数学建模、最优化方法等数学分支上有极其重要的应用，还在计算机科学、无线电技术和卫星通信等尖端技术科学领域和社会学、经济数学等许多方面都有着重要的用途和具体应用背景.利用矩阵理论与方法来处理错综复杂的工程问题时，具有表达简洁、对工程问题的实质刻画深刻的优点，因此应用矩阵理论和方法来处理工程技术上的各种问题，越来越受到工程界人士的极大重视，逐渐成为数学建模中解决实际问题常用的一种方法，矩阵理论与应用已成为众多学科领域的教学工具.在科学技术人员和学者在解决这些矩阵的计算问题时，逐渐发现把数学的一些计算公式，如平方和、平方差等许多运算律运用到矩阵的计算中来，既利于计算速度的提高，也方便于通过计算机的编程来进行大型矩阵的迅速计算.一、可交换矩阵及相关定义㈠矩阵1、矩阵的定义由m n个数a ij i1,2,,m,j1,2, ,n 排成的m行n列的数表a11 a12a1na21 a22 a2nA1a n1 a n2a nn称为m行n列矩阵，简称m n矩阵，为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，也可以记为A a ij或A mn．这里的a ij表示位于A的第i行第j列的元素.m n称为矩阵的阶数.矩阵可分为实矩阵与复矩阵.当行数与列数相等，矩阵称为方阵.只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.所有元素为0的矩阵称为零矩阵，记为O.两个矩阵如果行数与列数完全相同，则称为同型矩阵.2、矩阵的运算1加减法设Aa ij mn,Bbij mn为同型矩阵，则A B a ij b ij mn 2这里若设B为B的负矩阵，即 B bij m n，则可以定义减法运算A B a ijb ij mn 32数与矩阵的乘积设A a ijmn,kR为实数，则kA称为矩阵A的数乘，且kAka ijmn 4 即给A的每个元素均乘以数k.3矩阵的乘积设A aijm5,B bij5n，则ABCc ijmn 5 称c为矩阵A与矩阵B的乘积.其中c ij a i1b1j a i2b2j a i5b5j i 1,2, ,m;j 1,2, ,n即C的第i行第j列元素为A的第i行各元素与B的第j列各元素对应相乘再相加.注意：只有当A的行数与B的列数相等时，A与B才能相乘．4对称矩阵在一个n阶方阵A中，若元素满足如下性质：A ij A ji,0i,jn1 6 则称A为对称矩阵.5反对称矩阵设A是一个n阶方阵，如果A T A 7 则称A为反对称矩阵.㈡可交换矩阵一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律，其原因有以下几点： 1. AB 有意义时，BA 不一定有意义.2. AB 与BA 均有意义时，可能它们的阶数不相等.3.AB 与BA 均有意义时，且它们的阶数相等时，仍可能出现 ABBA.因此，把满足乘法交换律的矩阵称为可交换矩阵，即若矩阵A,B 满足：ABBA8则称矩阵A 和B 是可交换的.二、矩阵可交换成立的条件与性质若AB BA 成立，则称方阵A 与B 为可交换矩阵.设fxa m x ma m1x m1a 1x 1a 09 系数a 0,a 1, ,a m 均为数域P 中的交换数，A 为P 上的一个n 阶方阵，记faaA mam1 A m1aAa Em1 0容易看出：任何方阵A 都与其伴随矩阵 A *是可交换的，且二者的乘积为 AIn;对于任何方阵A ，fx a A PaA P1a p I 与gAbA qb A q1 bI 可交换. 011 q (一)可交换矩阵成立的条件定理1[1]设n 阶方阵A,B 满足条件A BAB.则A,B 可交换. 证明由条件A BAB,diage 1,e nI ，变形可得I AIBAB(AI)B(IA)(AI)(B I)即(A I)(B I) I ，所以A I 为可逆矩阵，其逆矩阵为 BI ，有(AI)(BI) (BI)(AI)I即ABABI BABAI ，从而可得AB BA.定理2[3]设A,B 均为对称矩阵，则A,B 可交换的充要条件是AB 为对称矩阵. 证明设A,B 均为对称矩阵，由于AB BA ，故AB TB T A TBAAB 所以AB 是对称的.推论设A为n阶对称矩阵，则A,A T都可交换.定理3[3]设A为对称矩阵，B为反对称矩阵，则A,B可交换的充要条件是AB为反对称矩阵.证明设A T A，B T B,由于AB BA,所以AB T B T A T BA AB 10所以AB为反对称矩阵.反之，若AB为反对称矩阵,则AB AB T B T A T BA11 从而ABBA.定理4[3]设A,B均为反对称矩阵，则A,B可交换的充要条件是AB为对称矩阵．证明因A,B均为反对称矩阵，故有A T A，B T B，又因为A,B可交换，故有ABBA成立.从而AB T B T A T B A AB BA 12 反之，若AB为对称矩阵，则AB AB T B T A T B A BA AB 13 所以A,B是可交换矩阵.定理５[3]若A,B为同阶可逆矩阵，则A,B可交换的充要条件是A1,B 1可交换.证明因AB BA,故有AB1BA1B1A1A1B 114 即A1与B1是可交换的.反之，因A 1，B1可交换，故有BA1A1B1B1A1AB 115 两边求逆得到ABBA.推论可逆矩阵A,B可交换的充要条件是AB1B1A1.定理6[3]若A,B为n阶方阵，则AB可交换的条件是AB T A T B T证明如果ABBA，那么AB T BA T A T B T精品文档精品文档定理7[5]矩阵A能与一切n阶矩阵可交换的充分必要条件是A为数量矩阵.证明若A与一切n阶矩阵可交换，自然与对角线上元素互不相同的对角矩阵可交换，由此可知A必为一对角线矩阵.设d1d2A ..d n取矩阵1 1 . . 10 0 . . 0B . . . . 0. . . . .0 0 . . 0代入条件AB BA,得d1d2d n，所以A是一个数量矩阵.反之，设A aI,B为任意n阶矩阵，则AB aIB aB Ba BIa BIa BA 16引理1(1)A0时（即A为零矩阵时），与A可交换得矩阵B可以是任意的与A同价的B矩阵.(2)A的幂矩阵总是与A可交换.定理8[7]与A可交换的多项式矩阵总可以转化为小于等于n1次的多项式矩阵.定理9[7]一个矩阵A化为约当标准型后，若中没有纯量矩阵的约当块，那么与A可交换的矩阵其充要条件为B可化为A的n1次多项式.定理10[7]下列均是A,B可交换的充要条件:(1)A B ABABABAB(2)AB'A'B'定理11[5]可逆矩阵A,B可交换的充要条件是：ABAB．定理12[7](1)设A,B均为(反)对称矩阵,则A,B可交换的充要条件是AB为对称矩阵．(2)设A,B有一为对称矩阵,另一为反对称矩阵,则A,B可交换的充要条件是AB为反对称矩阵.(二)相关结论定理13[7]设A,B是可交换矩阵，则以下结论成立：(1)A2B2 A B A B A B A B(2)AB(3)AB 2A 2 2AB B22A 2 2AB B2精品文档(4) AB K B K A K,AB m B m A，其中k,m分别为正整数A mB m ABA m1A m2B B m1B m m(5) A C m k A mk B kk0证明(1) 因为A B A B A2AB BA B2A B A B A2AB BA B2由已知AB BA，可得A2B2ABAB ABAB(2) A B2ABA B A2ABBAB2由已知AB BA，可得A B2A22AB B2同理可得：A B2A22AB B2(3)由已知ABBA,可得AB k ABAB AB AABB AB AA AB B A k B k,AB m ABB B BAB B BB BA B m A(4)运用数学归纳法①当m 2时，由（1）等式成立，即A2B2 A B A B②假设m k 1时，等式成立，即有A k1B k1AB A k2 A k3BB k2③当m k时，由已知AB BA，有A kB k A k1B k1ABA k1B B k1AABA k2A k3B B k2ABA k2BB k1AA k A k1B A2B k2 B2A k2 B3A k3 B3A k1BB k1A由性质有B k1AAB k1，A k1BBA k1因此，上式可转化为：A kB k A k A k1B A2B k2 B2A k2 B k A k1BB k1AA k A k1B A2B k2 AB k1BA k1-B2A k2 B3A k3 B k 精品文档ABA k1A k2B B k1A k1ABA k2BAB B k1AB即证得A mB m A BA m1A m2B B m1同理可证得A mB m A m1A m2B B m1 A B(5)对m用数学归纳法同（4）即可得证.(三)可交换矩阵的性质高等代数中可交换矩阵具有一些特殊的性质.[2]性质1 设A,B可交换,则有:(1)ABBA,BAAB,其中m,k都是正整数(2)AfBfBA,其中fB是B的多项式,即A与B的多项式可交换(3) A BA BAAB？B AAB?BABB m m(4) A C m k A m1B kk0性质2[4](矩阵二项式定理) 设A,B可交换,则有：(1)若A,B均为对合矩阵,则AB也为对合矩阵(2)若A,B均为幂等矩阵,则AB,A B AB也为幂等矩阵(3)若A,B均为幂幺矩阵,则AB也为幂幺矩阵(4)若A,B均为幂零矩阵,则AB,A B均为幂零矩阵.三、几类常用的可交换矩阵假设以下矩阵均为n阶实方阵，定理14[7]（1）设A,B至少有一个为零矩阵,则A,B可交换(2)设A,B至少有一个为单位矩阵,则A,B可交换(3)设A,B至少有一个为数量矩阵,则A,B可交换(4)设A,B均为对角矩阵,则A,B可交换(5)设A,B均为准对角矩阵,则A,B可交换精品文档(6)设A*是A的伴随矩阵,则A*与A可交换(7)设A可逆,则A与A可交换(8) 设AB E,则A,B可交换.定理15[7](1) 设AB AB,其中, 为非零实数,则A,B可交换(2) 设Am ABE,其中m为正整数, 为非零实数,则A,B可交换.定理16[7](1) 设A可逆,若ABO或A AB或A BA,则A,B可交换(2) 设A,B均可逆,若对任意实数ｋ,均有AA kEB,则A,B可交换.四、可交换矩阵的应用例1设A与所有的n阶矩阵均可交换，证明A一定是数量矩阵.证明记a ijnn，用E ij将第i行第j列的元素表示为1，而其余元素为零的n n矩阵.因A与任何矩阵均可交换，因此必与E ij可交换.由AE ij E ij A,得a ii a jj i,j 1,2, ,n及a ij0i j,i,j 1,2, ,n.故A是数量矩阵.例2与任意一个n阶方阵相乘都可交换的方阵必为数量矩阵？解不妨设B为可逆矩阵，由于AB BA，所以对于任意可逆阵B都有B 1AB A即A的任意线性变换仍是A自己，这样的矩阵只能是KI．例3 如果矩阵A与所有的n阶矩阵可交换，则A一定是数量矩阵，即 A aE．证明记A ij用E ij将第i行第j列的元素表示为1，而其余元素为零的矩阵.因A与任何矩阵均可交换，所以必与E可交换.由AE ij E ij A得a ji a ij（i j 1,2,3, n 及a ij0i不等于j）故A是数量矩阵．例4若矩阵A1,A2都与B可交换，则KA1 LA2,A1A2也都与B可交换.解由已知A1B BA1，A2B BA2，那么KA1LA2B KA1B LA2B BKA1 BLA2 BKA1 LA2A1A2B A1A2B A1BA2A1BA2BA1A2．精品文档例 5 A与B可交换（即AB BA)的充分必要条件是AB为对称矩阵（即AB T AB）．解题目根本就是错的，A取单位阵，B取任意非对称阵，那么AB非对称但ABBA．一定要加一个条件A和B本身都是对称阵才有结论.若ABBA，则AB T BA T A T B T AB.反之，若AB T AB，则AB B T A T BA．例6设A,B为乘积可交换的n阶矩阵,且初等因子为一次的，则存在n阶可逆矩阵P,使得都为对角矩阵.证明在V中选取一组基,存在线性变换,它们在该基下的矩阵分别为A,B,且A,B 与对角形相似.例7所有与A可交换的矩阵对于矩阵的加法和乘法作成环.解一般地,由于交换性问题,乘法公式对于n阶矩阵的多项式不再成立,如果所出现的n阶矩阵互相都是交换的,则乘法公式成立.例如A B2A22AB B2A和B可交换.A B AB A2B2A和B可交换.A和B 可交换(不是!)有二项公式.例8(1)设矩阵A diaga1,a2, ,a n为对角矩阵，其中ij 时，a i a j i,j1,2, ,n,则A,B可交换的充要条件是B为对角矩阵.若A,B均为对角矩阵则，A,B可交换．若B与A diaga1,a2,,a n可交换，i不等于j 时，a i a j，（i,j 1,2,n），证明设Bb ijnn,AB C ij nn,BA d ij n n，因为A为对角矩阵，故c ij a i b ij,d ij a j b ij i,j 1,2,,n由AB BA,即c ij d ij i,j 1,2,,n得a i a jb ij 0而i j时，a i a j0i,j 1,2, ,n,精品文档故b ij0i j,i,j 1,2, ,n所以B为对角矩阵．五、总结本文通过大量的例题对可交换矩阵在计算与证明以及应用三方面进行了总结分析，在证明方面，涉及了矩阵的条件与性质和矩阵列(行)向量线性相关性等问题，利用可交换矩阵可以很清晰地描述线性方程组的解与其相关内容，对一些具体的解与矩阵行（列）向量组线性相关性之间的关系给出了结论.通过本文的论述，充分体现了可交换矩阵在代数计算与证明方面所具有的一定的优越性，也给出了可交换矩阵和矩阵可交换在代数学中所具有的重要地位，当然在对可交换矩阵的应用的论述上本文并不是所有类型的证明与计算都进行了讨论，只是针对一些具有代表性的应用例子上进行证明，所以在应用的完整性上还有待改进，并可以继续进行研究探讨.于此同时，通过课题的详细研究，也让我进一步巩固和加深了对可交换矩阵的理解，在今后的探讨中相信也会有所进步．参考文献[1].北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数（第三版）[M].高等教育出版社.2007:181-186.[2]. 戴立辉，《矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质》，华东地质学院学报，2002(04)[3].阎家灏，赵锡英，《可交换矩阵》，兰州工业高等专科学校学报2002(03)[4].戴笠辉、颜七笙，《矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质》，华东地质学院学报，2002,25(4)[5].李瑞娟、张厚超，《可交换矩阵浅析》，和田师范专科学校学报，2009(4)[6].呙林兵，《与方阵可交换的矩阵为矩阵多项式的探讨》，长沙大学学报，2010,24(5)[7].赵锡英、闫家瀛，《可交换矩阵》，兰州工业高等专科学校学报，2002,9(3)[8].龙兴华、马圣荣、颜世建，《矩阵方程AX+XB=C的显式解及其应用》，2002致谢本文是在老师的细心指导下完成的，导师从我们每一个人的论题出发，给予我们详细的指导，并结合知识点进行讲解，这使我们从开始的茫然变的思路清晰，课题才得以顺利进行，导师在学习上的谆谆教诲和身体力行以及无私的帮助使我受益终身，在此谨精品文档向导师表示衷心的感谢！导师高度的敬业精神，为学生们树立了良好的风范，也是我今后所追求的目标.“登泰山始懂尊冠五岳，遇导师才知德高智睿”，师恩浩瀚，溢于言表!课题的顺利进行，还得益于和我同行的两位同学和四年来各位同学的支持和帮助，在此特别感谢在论文的书写和编辑上帮助我的同组同学和在文献查阅与思路启发上给予的莫大帮助的同学们，为论文顺利的进行奠定了基础.感谢我的同学提供的友好合作和无私帮助，永远难忘在一起拼搏的日日夜夜.最后谨向所有帮助和支持过我的领导、老师、同学及亲友们表示最诚挚的谢意.精品文档。
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证明：取 V 的一组基，则 T ,T 分别可表示为 n 阶方阵 A,B, 根据题意， 1. 若 A 有特征向量 x, 对应的特征值为 k, 则 ABx=BAx=Bkx=kBx, 所以 Bx 是 A 的特征向 量，但是 A 有 n 个不同的特征值，所以每个特征值对应的特征子空间都是一维直线，也即 Bx=sx，所以 A 的特征向量也是 B 的特征向量。 2. A 有 n 个不同的特征值， 所以 A 必然有 n 个无关的特征向量， 而 B 的特征向量与 A 相同， 所以 A,B 都可以对角化。设 A=PSP , B=PTP ，其中 S=diag{a ,a ,…, a }, T=diag{ b ,b ,…, b } 都是对角阵。建立线性方程组：
1 2 n
2 n −1 1 2 3 n 2 n −1 1 2 3 n
1 a1 1 a2 11 b2 a2 ξ = n −1 an bn
1 2 -1 -1 1 2 n 1 2 n
而 A 的各特征值 a ,a ,…, a 两两不等，所以上面的系数行列式是 Vondemonde 行列式，不等 于 0，也即 ξ 有唯一解。所以 T = ξ E + ξ S + ξ S + + ξ S . 显然就有 B = ξ E + ξ A + ξ A + + ξ A ，命题成立。
设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间， T ,T 是 V 上的线性变换， T 有 n 个不同的特征值。 求证： 1, T 的特征向量都是 T 的特征向量的充要条件是 T T =T T . 2, T T =T T ，则 T 可由 T ,T ,T , …, T 线性表示，其中 T 表示 V 上的恒等变换。