论矩阵可交换的充要条件

论矩阵可交换的充要条件
大学数学第23卷第五期
钱微微，浙江中医大学 蔡耀志，浙
江大学
摘要：从分析二阶矩阵可交换的情况出发，推测出一般矩阵可交换的充要条件，通过矩阵A 化成约当标准型后的不同情形，可最后证明若A 矩阵中没有纯量阵的对角块，那么与它可交换的矩阵B 是A 的n-1次多项式，其中n 为A 矩阵的阶数。

一个A 矩阵可交换的B 矩阵所应满足的充要条件为：除A 很特殊的情形外（参看本文）B 与A 可交换的充要条件是B 是A 的n-1次多项式：2
1
1
2
1
()n n
n p A p I p A p A P A --=++++
引理1（i ）A=0时（即A 为零矩阵时），与A 可交换得矩阵B 可以是任意的与A 同价的B 矩阵。

（ii ）当A 是纯量矩阵时，即n
A aI =，a 是实数，n
I 是n 阶单位矩阵，则与A 可交换得矩阵也可以是任意与A 同价的矩
阵;
(iii)A 的幂矩阵总是与A 可交换。

定理1与A 可交换的多项式矩阵总可以转化为小于等于n-1次的多项式矩阵。

证:应用哈密顿-凯莱定理，即可将高于n-1次的A 的幂矩阵转化为小于等于n-1次的多项式矩阵。

本定理即为本文结论的充分性论述。

为证明必要性，不妨先分析一下一般二阶矩阵的情形
设11
12
21
22
a
a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,此时，与它可交换得矩阵
B 不妨写成
11
122122x x x x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭。

由
x A A
=得
()()()11111221111121121112122212112212211122211121212221122222
12212222(1)234a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x +=+⎧⎪
+=+⎪⎨
+=+⎪⎪+=+⎩ 消去原方程组中左右
相同的项后，（1）（4）二式相同1221
a x =2112
a x (5)
由（2）得（设12a ≠0）()11
22
12
1122
12
a a x x x a --= (6)
由（3）得（设210
a
≠）()112221112221
a a x x
x a --=
(7)
从（5）（6）（7）中推得A 可交换得条件为
1、 当12
21
11
22
0,a a a a ===，由引理1（ii ）可知x 可取任意二阶矩阵。

2、 当21
12
0,0a a ≠≠时，可交换条件为1122
21
12
11
222112
'
x x x x
t a a a a
-===-再令1
'x t =，1122121112002121221010''00101a a a a a x t t t t a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（可验证
Ax=xA 对于12
21
0,0a a =≠及12
21
0,0a a ≠=等条件下，
求解都能归结为以上x 的解的形式，因此我们从二阶矩阵的分析中就可猜测一般矩阵可交换的条件，但这种方法对三阶以上矩阵非常繁琐，我们考虑另外的方法。

引理2、当A 矩阵为对角阵时，即
()1
2
,,,n
A diag a a a = ，
且(1,2)i
a i n = 互不相同时，与它可交换的B 矩阵必可表示成A 的n-1次多项式。

证：求解方程易得结论，B 必须是
一个对角阵()1
2
(,,,),1,2,n
i
B diag c c c c i n ==
可以取任何实数，考察下面方程1
01
1
n n
n B p I p A p A --=+++ ，它实质上是一个范德蒙行列式，当i
a 互不相同时，系数行列式不为0，所以可求得i
p 是唯一解。

引理3、当A 为约当块矩阵，即
100000100000000000100000100000a a a a a a ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
时，其可交换矩阵B 也可写
成A 的n-1次多项式。

证：
10
00
001000
000000
,000010000001000
00
A a I H H ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪=+= ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
而方程
()(
)a
I
H x x a I
H
+=+等价于Hx xH =，此方程组不难求得
122
101
3201000000000
n n n n c c c c c c c c c x c c c ----⎛⎫
⎪
⎪
⎪= ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
，其中(1,2,,1)i
c i n =- 可任意
取实数值，这就是与A 可交换的B 矩阵，
下面证明它可用A 的n-1次多项式表示。

由于1
1
1
n n B p I p A p A --=+++ 将A aI H =+代入上式即可转化为以下一个以011
,,n p p p - 为未知数
的线性方程组
2100121121
112211
1
1n n n n n n n c p p a p a p a c p p aC p a C c p
-------⎧=++++⎪=+++⎪⎨⎪⎪=⎩
以上方程组0
1
1
,,n p p p - 是未知数，在系数
阵中对角元素均为1，所以方程有唯一解。

我么知道，将一个矩阵A 化成约当标准型后，1
A p Jp -=，其中p 是满秩阵。

J =1
2
(,,)m
diag J J J 在标准型J 中德约当块(1,2,)i
J i m =
1）1
2
(,,)a
T
J diag a a a = ，(1,,)i
a i T = 互不相同，且都是A 的特征根
2）
b 100000100000000 J =000100000100000a a a a a a ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
，a 为任意实数，
它也是A 的多重特征根。

定理2、一个矩阵A 化为约当标准型J 后，若J 中没有纯量矩阵的约当块c
J ，那么与A 可交换的矩阵其充要条件为B 可化为A 的n-1次多项式。

即B=()1
n P A -。

证：对于与A 可交换得B 矩阵应满足的方程AB=BA 中，若将A 化为约当标准型1
A p Jp -=，
其中p 为满秩阵，J 为标准型，将A 代入上面的方程，得1
1
p JpB Bp Jp --=。

若令1
x pBp -=得Jx xJ =，这表明：P 要求A 的可交换矩阵，可先求A 的约当标准型J 的可交换矩阵C ，则与A 可交换得矩阵1
B p cp -=，由于本定理的前提中表明约当标准型J 中没有c
J 型（纯量矩阵约当块），a
J 型b
J 型由引理2、3可知均可表示为各自的n-1次多项式。

由定理条件，J 现在只有这两种类型的约当块。

所以与J 可交换的矩阵必可表示为J 的n-1次多项式()1
n P J -。

那么与A 可交换的矩阵必为()()11
111
()n n n B p P J p P p Jp P A -----===
这就证明了在定理前提条件下与A 可交换矩阵B 的充要条件为1
()n B P A -=。

将一个矩阵化为约当标准型的工作量很大，要等到标准型化成才能应用本
定理做出判断，事实上不必作出约当标准型的分解，即可判断一个矩阵是否含有纯量矩阵约当块。

例、设
11000000a a a
b
b
b
c c c J J J A p J p p J p p J p J J J ---⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎢⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+=+⎢⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
⎣⎦
这表明c
J 在A 中直接显示出来一目
了然，于是本定理可表达为：
若A 中没有纯量矩阵的对角块，那么与它可交换得矩阵B 必可表示为A 矩阵的n-1次多项式。