与a可交换的矩阵特点

矩阵可交换性质

矩阵可交换的条件及其性质摘要：矩阵在高等数学中是一个极重要且应用广泛的概念，是线性代数的核心。

本文通过对可交换矩阵理论的深入研究，对矩阵的可交换做了深入的探讨，归纳总结了矩阵可交换的条件及性质，给出了与已知矩阵可交换的矩阵的求法.关键词：矩阵；可交换；可交换矩阵The Conditions For The Commutation Of Matrix and SomePropertiesAbstract: Matrix in higher mathematics is a very important and widely used concept, is the coreof the linear algebra.This article through to exchange matrix theory research, the matrix interchange to do a further study and summarizes the matrix interchangeable condition and properties are given, and the known matrix can exchange the matrix is introduced.Key words:Matrix；Commutation；The Commutation Of Matrix目录1 引言........................................................................................................................................ - 1 -2 可交换矩阵的基本定义........................................................................................................ - 1 -3 矩阵可交换的条件................................................................................................................ - 1 -3.2 矩阵可交换的几个充要条件............................................................................................... - 3 -4 可交换矩阵的性质.................................................................................................................. -5 -5 与已知矩阵可交换的矩阵的求法........................................................................................ - 5 -5.1 定义法.......................................................................................................................... - 5 -6 结论（结束语）.................................................................................................................... - 9 -7 致谢...................................................................................................................................... - 10 - 参考文献.................................................................................................................................... - 10 -1 引言矩阵在高等代数以及线性代数中是一个重要的内容.本文从可交换矩阵的定义出发，通过对矩阵理论的深入研究，总结归纳了矩阵可交换的充分条件、充要条件以及可交换矩阵的一些性质及给出了求可交换矩阵的一些方法，对矩阵理论的研究具有重要的意义（文中的矩阵均指n阶实方阵）.2 可交换矩阵的基本定义一般说来，矩阵的乘法不适合交换律，即BAAB≠，这是由于在乘积中一方面要求第一个因子的列数等于第二个因子的行数，否则没有意义.所以当矩阵AB有意义时，矩阵BA未必有意义；另一方面，即使矩阵AB、BA都有意义时，它们的级数也未必相等.因为乘积的行数等于第一个因子的行数，列数等于第二个因子的列数.由此我们给出可交换矩阵这一特殊矩阵的定义.定义2.1[]1对于两个n阶方阵A,B，若BAAB=,则称方阵A与B是可交换的。

可交换矩阵

可交换矩阵
可交换矩阵是一种特殊的矩阵，它通过可交换元素以多种方式来排列，从而构成一个可交换矩阵。

它通常用来表示多种关系，比如权杖（即多对多）、网格或其他拓扑结构，以及其他可交换或智变律映射。

可交换矩阵由一组索引表示，它可以保证相同元素的位置可以发生变化，这样就可以将原有的元素重新排列，而不会破坏可交换矩阵的整体结构。

要求可交换矩阵元素满足以下性质：
1.具有排列的对称性。

即对于可交换矩阵中的任意两个元素，若其索引表示的行与列和相同，则两个元素可以交换。

2. 矩阵每行有一个定义了Y坐标的值，每一列有一个定义其X坐标的值。

各行和列坐标值无重复。

3. 要求可交换矩阵元素必须与集合中唯一可达的元素匹配，以使满足对称的排列规则。

因此，角点元素的可交换性必须大于其他元素，以保证可交换矩阵完整性。

可交换矩阵常用于网络发现，具体由以下步骤组成：
1）网络初始化：构造可交换矩阵，将网络图分成若干小块，每一小块都是一个索引值丰富的可交换矩阵。

2）网络发现：从可交换矩阵里选择一个可交换项，然后根据可交换规则进行变换，调整可交换矩阵的布局，最终可以得到满足一定规则的网络拓扑图。

3）网络表征：利用可交换矩阵表示网络结构，把不同的元素按其相对位置用二叉编码表示，以表达网络中存在的关联。

可交换矩阵本身也有多种应用场景。

它具有处理复杂拓扑图的能力，可以用来发现社区中的潜在关系。

通过将矩阵的位置调整，可以有效的提高聚类的准确率。

可交换矩阵还可以用来提取模式，这可以帮助人们识别复杂系统中的局部规律；可交换矩阵有助于理解复杂的连接结构；可交换矩阵还可以用来预测网络未来的分布。

与矩阵A可交换的全体矩阵的性质

第３５卷第７期
（自然科学版）
Ｖｏｌ．３５Ｎｏ．７
２０１９年７月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｅｂｅｉＮｏｒｔｈＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ｊｕｌ．２０１９
与矩阵犃可交换的全体矩阵的性质
丁晓业１，李红菊１，何健２
（１．安徽新华学院通识教育部，安徽合肥２３００８８；２．吉首大学数学系，湖南吉首４１６０００）
摘要：目的针对一些满足特殊条件的可交换矩阵，研究与矩阵犃可交换的全体矩阵的性质。方法从
可交换矩阵的概念出发，给出矩阵可交换的条件。再通过一些特殊的矩阵，利用可交换矩阵的定义和矩阵的乘
犫２１
犫２２
… 犫１狀燄
…
犫２狀
，则称矩阵（犮犻犼）犿×狀
燀犪犿１犪犿２ … 犪犿狊燅
燀犫狊１犫狊２ … 犫狊狀燅
来稿日期：２０１８０７１１基金项目：安徽新华学院校级重点教研项目（２０１６ｊｙ００８）作者简介：丁晓业（１９９０），男，安徽省合肥市人，硕士，助教，研究方向为代数学与矩阵理论。
·１·
２０１９年７月河北北方学院学报（自然科学版）第７期
为矩阵犃与矩阵犅的乘积矩阵。记作犃犅，即犃犅＝（犮犻犼）犿×狀，其中犮犻犼＝犪犻１犫１犼＋犪犻２犫２犼＋ … ＋犪犻狊犫狊犼＝
狊
∑犪犻犽犫犽犼（犻＝１，２，…，犿；犼＝１，２，…，狀）。乘积矩阵犃犅读作犃左乘犅或右乘犃。
般地，矩阵的乘法不满足交换律，即犃犅 ≠ 犅犃。但是在某些特殊情况下，矩阵的乘法也满足交换律，即

矩阵可交换性质

矩阵可交换的条件及其性质摘要：矩阵在高等数学中是一个极重要且应用广泛的概念，是线性代数的核心。

本文通过对可交换矩阵理论的深入研究，对矩阵的可交换做了深入的探讨，归纳总结了矩阵可交换的条件及性质，给出了与已知矩阵可交换的矩阵的求法.关键词：矩阵；可交换；可交换矩阵The Conditions For The Commutation Of Matrix and SomePropertiesAbstract: Matrix in higher mathematics is a very important and widely used concept, is the coreof the linear algebra.This article through to exchange matrix theory research, the matrix interchange to do a further study and summarizes the matrix interchangeable condition and properties are given, and the known matrix can exchange the matrix is introduced.Key words:Matrix；Commutation；The Commutation Of Matrix目录1 引言........................................................................................................................................ - 1 -2 可交换矩阵的基本定义........................................................................................................ - 1 -3 矩阵可交换的条件................................................................................................................ - 1 -3.2 矩阵可交换的几个充要条件............................................................................................... - 3 -4 可交换矩阵的性质.................................................................................................................. -5 -5 与已知矩阵可交换的矩阵的求法........................................................................................ - 5 -5.1 定义法.......................................................................................................................... - 5 -6 结论（结束语）.................................................................................................................... - 9 -7 致谢...................................................................................................................................... - 10 - 参考文献.................................................................................................................................... - 10 -1 引言矩阵在高等代数以及线性代数中是一个重要的内容.本文从可交换矩阵的定义出发，通过对矩阵理论的深入研究，总结归纳了矩阵可交换的充分条件、充要条件以及可交换矩阵的一些性质及给出了求可交换矩阵的一些方法，对矩阵理论的研究具有重要的意义（文中的矩阵均指n阶实方阵）.2 可交换矩阵的基本定义一般说来，矩阵的乘法不适合交换律，即BAAB≠，这是由于在乘积中一方面要求第一个因子的列数等于第二个因子的行数，否则没有意义.所以当矩阵AB有意义时，矩阵BA未必有意义；另一方面，即使矩阵AB、BA都有意义时，它们的级数也未必相等.因为乘积的行数等于第一个因子的行数，列数等于第二个因子的列数.由此我们给出可交换矩阵这一特殊矩阵的定义.定义2.1[]1对于两个n阶方阵A,B，若BAAB=,则称方阵A与B是可交换的。

可交换矩阵的几个充要条件性质

可交换矩阵的几个充要条件性质
矩阵交换表示其行向量和列向量交换，而向量本身也是一种特殊的对称矩阵，因此可
以认为矩阵交换和对称矩阵有很多共同之处。

一般来讲，对称矩阵具有以下若干个充要条件：
（1）对称矩阵的元素是对称的，即mij=mji。

可交换矩阵的充要条件也有一定的要求，主要有以下几点：
（2）可交换矩阵的主对角线元素可任意变换，即mii=mii'。

综上所述，可交换矩阵的几个充要条件性质主要集中在可变元素，可变主对角线元素，可交换行向量和列向量以及可变元素。

只有矩阵满足这些充要条件，才能被称为可交换矩阵。

论文：浅谈矩阵的可交换性3

浅谈矩阵的可交换性摘要：交换矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具,交换矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点,而在我们的大学学习中,交换矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究。

因此本文针对一般的矩阵可交换这一性质进行了深入研究，对一些特殊的矩阵如上三角矩阵、数量矩阵等给出了一些可交换性质的充分条件和必要条件。

关键字：矩阵交换矩阵上三角矩阵数量矩阵本文分二章第一章为引言,主要介绍了对于矩阵可交换性研究的选题背景和本文有关的一些定义和相关概念。

第二章主要参考一些特殊的公式和通过一些特殊的矩阵如对角矩阵、数量矩阵、上三角矩阵等的研究来对矩阵可交换性的充分条件、必要条件的探讨和总结以及矩阵可交换性的一些性质的探讨。

选题背景随着科学技术的迅速发展和计算机技术的进步,科学与工程计算即科学计算的研究受到科学技术人员的极大重视,其应用范围已经渗透到各个学科领域计算机的日益普及,使得矩阵理论与应用越来越受到数学学者、工程技术人员和科技人员的关注，矩阵理论不仅仅是一们重要的数学理论,而且在数值分析、数学建模、最优化方法等数学分支上有极其重要的应用,还在计算机科学、无线电技术和卫星通信等尖端技术科学领域和社会学、经济数学等许多方面都有着重要的用途和具体应用背景，由于利用矩阵理论与方法来处理错综复杂的工程问题时,具有表达简洁、对工程问题的实质刻画深刻的优点。

因此研究矩阵的可交换性对我的后继学习有极大的帮助。

研究现状及本文所做的工作目前,对于交换矩阵性质的研究主要是围绕交换矩阵的基本性质进行的,重点是交换矩阵的运算性质、交换矩阵的继承性质以及交换矩阵的有关性质。

本文的主要工作是把交换矩阵的性质进行分类并进行相应的总结参考资料【1】高丽一类上三角形矩阵可交换的充要条件。

滨州师范学院学报，2000，16（4）31-33【2】阎家灏赵锡英可交换矩阵兰州工业高等专科学校学报，2002，9（3）：51-54【3】曾梅兰。

可交换矩阵的特征探讨

可交换矩阵的特征探讨可交换矩阵的特征探讨摘要：。

交换矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具,交换矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点,矩阵的可交换性在各类矩阵的运算中应用十分重要，特别是在现在这种信息时代，在卫星通讯、网络安全方面、解码器以及电路系统镇定性问题、路由交换处理器等等都有着不可替代的作用.矩阵的可交换性越来越被学者和技术人员所重视。

关键词：矩阵交换矩阵可交换特殊矩阵引言：当矩阵AB有意义时，矩阵BA未必有意义；即使矩阵AB、BA都有意义时它们也未必相等。

由于矩阵的乘法不满足满足交换律，所以对于研究AB与BA的关系有重要意义。

我们知道，若对n阶实方阵A，B,如果满足AB=BA，则称A、B可交换。

可交换矩阵有许多良好的性质，研究矩阵可交换的条件及可交换矩阵的一些性质对矩阵理论的研究具有重要的意义。

基本定义和相关概念2.1.1 若同阶矩阵A、B有AB=BA，则称A与B为可交换矩阵.2.1.2 矩阵可交换的几个充分条件定理①设 A, B至少有一个为零矩阵，则 A, B可交换；②设 A, B至少有一个为数量矩阵，则 A, B可交换；③设 A, B均为对角矩阵，则 A, B可交换；④设 A, B均为准对角矩阵，则 A, B可交换；⑤设A*是A 的伴随矩阵，则A与A*可交换；⑥设 AB = E ，则 A, B可交换。

证明：①对任意矩阵 A，均有： AO = OA，O表示零矩阵；②对任意矩阵A，均有：A(kE) = (kE)A，k 为任意实数；③，④显然成立[2]；⑤ AA? = A?A = A E ；⑥当 AB = E 时， A,B均可逆，且互为逆矩阵。

定理2.2①设AB =α A+β B ，其中α ,β为非零实数，则A,B可交换；②设Am +α AB = E，其中m 为正整数，α为非零实数，则A,B可交换。

证明：①由AB =α A+β B 得(A?β E)(B ?α E) =αβ E ，即1 (A β E)(B α E) Eαβ?? =，故依定理2.1⑥得：1 (B E) ααβ?(A ?β E) = E ，于是BA?α A?β B +αβ E =αβ E ，故BA =α A+β B = AB ；②由 Am +α AB = E 得A(Am?1 +α B) = E ，可得 AB = BA。

可交换矩阵浅析

= a22 ， b11 = b22 ，所以 AB = BA 。
′ −1 −1 A′B′ = ⎡( A − kE ) B ⎤′ ⎡( A − kE ) A⎤ = B′ ( A − kE )′ A′ [ ( A − kE )′] = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −1 −1 B′( A2 − kA)′ [ ( A − kE )′] = B′ [ ( A − kE ) A]′ [ ( A − kE )′] = B′A′ = ( AB)′ 。
[3]
ai ≠ a j (i ≠ j ) ，
B = ( bij ) n×n (i, j = 1, 2,L , n) ，因 AB = BA ，得到元素 ai ·bij = bij ·a j = a j ·bij ， ai - a j ) bij = 0， ai ≠ a j ， ( 因
199
2009 年
αβ
( A − β E )( B − α E ) = E ，故依定理 2.1 ⑥ 得： 1 ( B − α E )
αβ
性质 4.2 与主对角线上的元素互不相等的 n 阶对角阵 A 可交换
( A − β E ) = E ，于是 BA − α A − β B + αβ E = αβ E ，故 BA = α A +
两边取转置得 AB = BA 。或由 A−1 B −1 = ⎡( A − kE ) B ⎤ ⎣ ⎦
−1
−1
−1
⎡( A − kE )−1 A⎤ = B −1 ( A − kE )−1 A−1 ( A − kE ) = B ( A − kA) ⎣ ⎦
−1
2
aij ) n×n 中元素满足 aij =0， ≠ j ， i
定义 1.3 在 n 阶对角阵 A 中， a11 若

可交换的矩阵

非零特征根，相当于没有 A1 那
块．此时，A = PJ（ 0，k0） P －1，由上面的过程易知 A* = An－1．
矩阵是研究有限维代数的一个有力工具．本文研究矩阵代数中一个小知识点—可交换的矩阵．但是对矩阵 A 与 B 来说若有 AB = BA，则称 A 与 B 可交换．可交换的阵必为同阶方阵．关于可交换阵，最常见的结论是数量阵与同阶方阵都可交换，还有就是任一方阵都与其多项式可交换．由于 AA* = A* A = | A | I，故 A* 与 A 可交换．另外，当矩阵 A 可逆时，A －1 与 A 可交换．本文证明方阵的伴随阵也是其多项式．一般地，与 A 可交换的阵并不一定是 A 的多项式．本文还刻画了与其可交换的阵一定是其多项式的矩阵．
=
（－ λ1） k1… （－ λs） ks
＊
＊
＊
（
－
λ1）
k1… （
－
λs）
ks
，
于
是，
（
－
λ1）
bk0 k1… （
－
λs）
ks f（
J（
0，k0 ）
）
J
（ 0，k0 ） k0－1 = B4 ．
因此令 g（ λ）
= （
－
λ1）
bk0 k1… （
－
λs）
ks f（ λ） λk0－1 ，则 A*
f（ A） = An + a1An－1 + … + an－1A + anI = 0，故 A（ An－1 + a1 An－2 + … + an－1 I） = － an I，于是 A －1 = － an－1（ An－1 + a1 An－2 + … + an－1 I）．

矩阵可交换的条件及其性质

中文摘要特殊矩阵在矩阵分析和矩阵计算中占有十分重要的地位，它们在计算数学、应用数学、经济学、物理学等方面都有着广泛的应用，对特殊矩阵的研究取得的实质性的进展，都将会对计算数学的发展起着重要的推动作用.随着矩阵应用程度的不断加深，矩阵的可交换性越来越被学者和技术人员所重视.矩阵的可交换性不仅在矩阵计算中起着重要作用，而且在卫星通讯等等许多领域也有着直接的应用.关键词：矩阵交换矩阵可交换特殊矩阵上三角矩阵数量矩阵ABSTRACTSpecial matrices play an important role in matrix analysis and matrix computation and have wide applications in computational mathematics, economics,physics,biology,applied mathematics and etc.Great progress obtained in the researchers on special matrices will give improvements in computational mathematics.With the applications of matrices are more and more abroad,the commutativity of matrix is more and more recognition by scholar and technology worker.The commutativity of matrix not only plays an important part in the matrix computation,but also in the secondary planet, communication and other fields.Keywords:the commutant of matrix,mathematics,exchangeable,special matrices,upper triangle matrices,scalar matrices矩阵的可交换性在各类矩阵的运算中应用十分重要，特别是在现在这种信息时代，在卫星通讯、网络安全方面、解码器以及电路系统镇定性问题、路由交换处理器等等都有着不可替代的作用.本文主要介绍了矩阵的可交换性质和可交换条件的研究以及矩阵交换的相关概念和基本定义.对矩阵可交换的基本定理和一些优美性质进行了叙述和总结，以及对一些特殊的矩阵例如数量矩阵、上三角矩阵等等，满足可交换条件的矩阵进行了探究.在高等代数及线性代数的教学中，矩阵是一个重要的教学内容。