2022-2023学年八年级数学下册《 二次根式的乘除》精讲与精练高分突破含答案解析
16.2二次根式的乘除
考点一：二次根式的乘法法则
a．b=ab（a≥0，b≥0）即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变
（1）进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件。
（2）推广 ①a．b．c=abc（a≥0，b≥0，c≥0）
②ab．cd=acbd
③乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中任然可应用。
考点二、二次根式乘法法则的逆用
ab=a．b（a≥0，b≥0）即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积
利用这个性质可以把二次根式化简，在进行二次根式的化简运算时，先将被开方数进行因式分解或因数分解，
然后再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外。
考点三、二次根式的除法法则
a
b=a
b（a≥0，b＞0）即：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。
注：（1）a必须是非负数，b必须是正数，式子才成立。若a，b都是负数，虽然a
b＞0，a
b有意义，但a，b在
实数范围内无意义；若b=0，则a
b无意义。
（2）如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，如
41
4必须先化成17
4，以免出现
41
4=4×1
4这样的错误。
考点四、二次根式除法法则的逆用
a
b=a
b（a≥0，b＞0）即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
注：公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b＞0。公式中的a，b是限制公式右边的，
对公式的左边，只要a
b≥0即可。例如计算-3
-4，不能写为-3
-4=-3
-4，而应写为-3
-4=3
4=3
4=3
2。
当被开方数是带分数时，应先把它化成假分数。
考点五、最简二次根式的概念
★满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
★化简二次根式的一般方法
方法举例
将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方8=4×2=22，x3y4=x2y4．x=xy2x
若被开方数中含有
带分数，应先将带分
数化成假分数11
3=4
3=4×3
3×3=2
33或
11
3=4
3=4
3=4×3
3×3=2
33化去
根号
下的
分母
若被开方数中含有
小数，应先将小数化
成分数0.9=9
10=90
100=3
1010或0.9=9
10=9
10=9×10
10×10=3
1010
被开方数是多项式的要先进
行因式分解X5+2x3y2+xy4=x（x4+2x2y2+y4）=x（x2+y2）2=（x2+y2）x
题型一：二次根式的乘法
1．（2022秋·重庆·九年级校考期末）下列计算正确的是（
）
A．
422365B．
525356
C．
233363D．
355315152．（2022秋·吉林长春·九年级长春市第四十五中学校考期末）计算
154154
，结果为（
）
A．
1B．1C．11D．11
3．（2022春·八年级课时练习）计算：
(1)
818(2)
0.10.4(3)32
2
411(4)24
3
题型二：二次根式的除法
4．（2022秋·重庆大渡口·九年级校考期末）估计
4233
的值应在（
）
A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间
5．（2023春·八年级课时练习）下列各式计算正确的是（
）
A．
2739B．
48163
C．
2044D．41
32
39
6．（2023春·全国·八年级专题练习）某直角三角形的面积为
55，其中一条直角边长为
10，则其中另一直角边长
为（
）
A．
25B．
52C．
55D．
210
题型三：二次根式的乘除混算
7．（2022秋·河南驻马店·八年级校联考期中）计算：
(1)
622
(2)1
621536
2(3)24216
5
6
(4)2
233232
8．（2023春·八年级）计算：
(1)
21437(2)25
1
36(3)9543
126
12(4)3331
23b
abab
a
．9．（2023春·八年级）计算：
(1)1
271245
3；(2)
6565
；
(3)1
4831224
2；(4)02022
2723321
．
题型四：最简二次根式的判断
10．（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级校考期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．
9aB．
2
3aC．1
2a
D．
22
ab
11．（2022秋·上海闵行·八年级校考阶段练习）下列根式中，是最简二次根式的是（
）
A．
3
abB．
3
abC．
22
2ababD．
8a
12．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）在二次根式
45、
3
2x、
11、5
2、
4x
中，最简二次根式的个数是（ ）个
A．2B．3C．4D．5
题型五：化为最简二次根式问题
13．（2023春·全国·八年级专题练习）将63
2化为最简二次根式，其结果是（
）
A．63
2B．126
2C．914
2D．314
2
14．（2022春·山东泰安·八年级统考期末）下列二次根式：①
50；②1
2；③3
2；④
40．将它们都化为最简
二次根式后，同类二次根式是（
）
A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④
15．（2022春·贵州黔南·八年级校考期末）二次根式2221
,12,2,5,
3xxxy中，最简二次根式有（
）
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型六：已知最简二次根式求参数
16．（2022春·广西贺州·八年级统考期中）已知最简二次根式
3ab与
10ab的被开方数相同，则ab
的值为（
）
A．1B．2C．3D．4
17．（2021春·辽宁鞍山·八年级统考阶段练习）若二次根式
42a与
2可以合并，则a
的值可以是（
）
A．6B．5C．4D．2
18．（2023春·八年级课时练习）若
8与最简二次根式1m能合并，则m的值为（
）
A．7B．9C．2D．1
一、单选题
19．（2023秋·四川达州·八年级校考期末）下列运算正确的是（
）
A．2
22B．11
42
93C．
322365D．
43122
20．（2023春·八年级课时练习）已知22
6abab，且0ab
，则ab
ab
的值为（
）
A．
2B．±
2C．2D．2
21．（2023秋·河北石家庄·八年级石家庄市第二十二中学校考期末）下列等式：①497
648，②3
322，③
1829，④52535
，⑤
535256
．正确的个数有（
）
A．4个B．3个C．2个D．1个
22．（2023秋·福建宁德·八年级统考期末）若
66xxxx
，则（ ）
A．6xB．0xC．06x
D．x为一切实数
23．（2022秋·山东枣庄·八年级统考期中）下列计算不正确的是(
)
A．335=5B．
3273
=
644
C．
(32)(32)1D．(4)(3)43
24．（2022秋·上海静安·八年级校考期中）等式
2
111xxx成立的条件是（
）
A．1x
B．1x
C．1x
或1x
D．1x
25．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）计算：
(1)3
72
2；(2)25
1
354；(3)3
3b
ab
a（0a
，0b）．
一、单选题
26．（2022秋·陕西咸阳·八年级统考期中）已知
31a，
31b，求式子2
abb的值．
27．（2023春·八年级课时练习）估计
2243的值应在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
28．（2022秋·四川雅安·八年级统考期末）设
2的小数部分是m，
8的整数部分是n，则
1n
m（）的值是（ ）
A．2B．4C．8D．一个无理数
29．（2023春·八年级课时练习）已知数列
371115，，，，…，则
311是它的（
）
A．第23项B．第24项C．第19项D．第25项
30．（2023春·全国·八年级专题练习）设
711ab，，则
70.11可以表示为（
）
A．
100ab
B．10abC．10
abD．
10ab
31．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）下列各二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．1
2B．
3
14xC．18yD．22
xxyy
32．（2022秋·上海长宁·八年级上海市西延安中学校考期中）下列二次根式中，最简二次根式是（
）
A．
12xB．22
2xxyy
【青岛版】八年级数学下册专题讲练：二次根式的化简及运算试题(含答案)
1 二次根式的化简及运算
一、二次根式基本运算
二次根式的乘除法
1. 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
ab＝a·b（a≥0，b≥0）
2. 二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
a·b＝ab．（a≥0，b≥0）
3. 商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
ab＝ab（a≥0，b＞0）
4. 二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
ab＝ab（a≥0，b＞0）
二次根式的加减法
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。类似于合并同类项。
化简步骤：
（1）“一分”，即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数（或式）的分子、分母都化成质因数（或因式）的幂的积的形式；
（2）“二移”，即把能开得尽的因数（或因式），用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上；
（3）“三化”，即化去被开方数中的分母。
二、二次根式的乘方
1. 将单独根式中的整式（数）部分，根式部分分别乘方，如计算（23）2时，先将2乘方，再将3乘方，结果再相乘；
2. 多项式的乘方注意使用乘方公式，同时也可以将其因式分解。
总结：
1. 乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑被开方数的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式；
2. 对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并。但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母。
例题1 已知a，b，c，d，e五个实数的平均值为k，各数与k的差如下表：
a b c d e
2 x
－31
－27
12
31
（1）除实数a外，与k的差的绝对值最大的实数是
八年级数学下册第十六章二次根式知识点梳理(带答案)
八年级数学下册第十六章二次根式知识点梳理
单选题
1、
√
2×
√
8= （ ）
A．4
√
2B．4C．
√
10D．2
√
2
答案：B
分析：直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
解：
√
2×
√
8=
√
16=4．
故选B．
小提示：此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
2、如果最简二次根式
√3𝑥−
5与
√𝑥+
3是同类二次根式，那么x
的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：D
分析：根据最简二次根式的定义：二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做
同类二次根式．进行求解即可．
∵最简二次根式
√3𝑥−5与
√𝑥+3是同类二次根式，
∴3𝑥−5=𝑥+3，
∴𝑥=4，
故选：D．
小提示：本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
3、二次根式
√2𝑥+
4中的x
的取值范围是（ ）
A．x
＜﹣2B．x
≤﹣2C．x
＞﹣2D．x
≥﹣2
答案：D
分析：根据“二次根式有意义满足的条件是被开方数是非负数”，可得答案．
由题意，得
2x
+4≥0， 解得x
≥-2，
故选：D．
小提示：本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
4、已知a＝1
√5−2，b
＝2+
√5，则a
，b
的关系是（ ）
A．相等B．互为相反数
C．互为倒数D．互为有理化因式
答案：A
分析：求出a
与b
的值即可求出答案．
解：∵a＝1
√
5−2=√5+2
(
√5+2)(
√5−2)＝
√5+2，b
＝2+
√5，
∴a
＝b
，
故选：A．
小提示：本题考查了分母有理化，解题的关键是求出a
与b的值，本题属于基础题型．
5、已知：a=1
2−
√
3，b=1
2+
√3，则a与b的关系是（ ）
A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．平方相等
答案：C 因为𝑎×𝑏=1
2−
√3×1
2+
√3=1,故选C.
6、计算
√8+
√18的值等于（ ）
A．
√26B
．4
√2C
．5
√2D．2
2022-2023学年人教版八年级数学下册《16-2二次根式的乘除》同步练习题(附答案)
2022-2023学年人教版八年级数学下册《16.2二次根式的乘除》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．下列运算中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．计算的结果是（ ）
A．16 B．±16 C．4 D．±4
3．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C．（a3b4）2＝a6b8 D．
4．下列根式中的最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
5．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列说法：（1）无理数包含正无理数、零、负无理数；（2）的算术平方根为2；（3）为最简二次根式；（4）实数和数轴上的点是一一对应的；（5）﹣a2一定有平方根，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．的倒数是（ ）
A． B． C． D．
8．的一个有理化因式是（ ）
A． B．+ C．﹣ D．
二．填空题
9．二次根式中：、、、是最简二次根式的是
．
10．化简为最简二次根式的结果是 ．
11．化简：＝ ．
12．计算：＝ ． 13．计算：＝
．
14．化简的结果是
．
15．分母有理化：＝
．
16．将（a＞0，b＞0）化为最简二次根式： ．
17．化简：＝ ．
18．已知长方形的面积为12，其中一边长为，则该长方形的另一边长为 ．
19．已知等式成立，化简|x﹣6|+的结果为 ．
三．解答题
20．计算：
（1）；
（2）．
21．计算：÷．
22．计算：2×÷．
23．计算：×4÷．
24．计算：3÷（•）．
25．计算：．
26．请阅读下列材料：
形如的式子的化简，我们只要找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，那么便有（a＞b）．
例如：化简．
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，
由于4+3＝7，4×3＝12，即， 所以．
请根据材料解答下列问题：
2022-2023学年沪教版上海八年级数学上学期同步考点精讲精练16-3-1二次根式的乘除带讲解
16.3.1二次根式的乘除
考点一、二次根式的乘法及积的算术平方根
1.法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.
要点：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).
(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：
;
≥0，≥0，…..≥0）;
(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.
2.积的算术平方根
（a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.
要点： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；
(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.
考点二、二次根式的除法及商的算术平方根
1.除法法则：（a≥0，b>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除..
要点：
(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，a≥0，b>0，因为b在分母上，故b不能为0.
(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.
2.商的算术平方根的性质 （a≥0，b>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
要点：运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.
题型1：二次根式的乘法1-数字型
1．计算0.41.6的值是（ ）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
D
【分析】 根据二次根式乘法法则计算即可．
原式0.41.60.640.8．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次根式乘法法则：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根．
1人教版初中数学八年级下学期16.2《二次根式的乘除》(含答案)
试卷第1页，总5页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
绝密★启用前
试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．对于二次根式的性质aabb中，关于a、b的取值正确的说法是（ ）
A．a≥0,b≥0 B．a≥0,b＞0 C．a≤0,b≤0 D．a≤0,b＜0
2．下列式子中，为最简二次根式的是（ ）
A．12 B．2 C．4 D．12
3．估计1(2553)5的值应在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
4．计算1aabbab(0,0)ab的结果是（
）
A．21abab B．1abab C．1abb D．bab
5．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．12 B．11 C．27 D．3a
6．下列各式计算正确的是（ ）
A．1222 B．362 C．2(3)3 D．222()
7．下列二次根式中属于最简二次根式的是( )
A．2xy B．2ab C．0.5 D．22x
8．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）.
试卷第2页，总5页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
专题01 二次根式重难点题型分类(解析版)八年级数学下册重难点题型分类高分必刷题(人教版)
专题01二次根式重难点题型分类-高分必刷题（解析版）
专题简介：本份资料包含《二次根式》这一章的四类重要题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的
典型考题，具体包含四类题型：二次根式的双重非负性、二次根式的乘除、最简二次根式、二次根式的混
合运算。适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。
题型一二次根式的双重非负性
第一层非负性：被开方数0
1．（2022春·重庆）式子1
2a
a
有意义，则实数a的取值范围是（）
A．a≥-1B．a≠2C．a≥-1且a≠2D．a＞2
【详解】解：由题意得，a10,a2，解得，a≥-1且a≠2，故答案为：C.
2．（2019·广东广州）代数式18x有意义时，x应满足的条件是______.
【详解】解：代数式1
8x有意义，可得：80x，所以8x，故答案为8x.3.（青竹湖）函数xx
y2
中，自变量x的取值范围是.
【解答】解：根据题意得，x﹣2≥0且x≠0，解得x≥2且x≠0，所以，自变量x的取值范围是x≥2．
4．（2022秋·山东济南）若a，b都是实数，b＝12a+21a﹣2，则ab的值为_____．
【详解】解：∵b＝12a+21a﹣2，∴120
210a
a
，∴1-2a=0，解得：a=1
2，则b=-2，
故ab=（1
2）-2=4．故答案为4．
5.（雅礼）已知实数x、y满足0115yx，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是.【解答】解：根据题意得，x﹣5＝0，y﹣11＝0，解得x＝5，y＝11，
①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、11，不能组成三角形．
②5是底边时，三角形的三边分别为5、11、11，能组成三角形，5+11+11＝27；所以，三角形的周长为：
27；故答案为27．
第二层非负性：二次根式的计算结果为非负数2,0
,0aa
aa
aa
6．（2022春·四川凉山）如果21221aa，那么（）A．12aB．1
春八年级数学下册 第16章 二次根式 16.2 二次根式的运算 16.2.1 二次根式的乘除 第3课
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1 / 3 第3课时二次根式的大小比较
知识要点基础练
知识点 二次根式的大小比较
1.下列式子中,值最小的是 (D)
A.√10 B.π
C.3 D.√7
2.比2√3小的正整数有 (B)
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
3.比较大小:(1)3√2>2√3;
(2)-2√6>-6√2.
综合能力提升练
4.比较2,√5,√6的大小,正确的是 (A)
A.2<√5<√6 B.2<√6<√5
C.√6<2<√5 D.√5<√6<2
5.比较大小:√32×√2与√128÷√2的结果是 (B)
A.前者大 B.一样大
C.后者大 D.无法确定
6.下列判断正确的是 (A)
A.32<√3<2 B.2<√2+√3<3 word
2 / 3 C.1<√5−√3<2 D.4<√3×√5<5
7.若两个连续整数x,y满足x<√13+1
8.把5的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为 -√5<√53<√5.
9.比较大小:√5+√6与√6+√7(求差法).
解:∵(√5+√6)-(√6+√7)=√5+√6−√6−√7=√5−√7<0,
∴√5+√6<√6+√7.
10.比较下列各式的大小:
(1)-2√13与-3√6;
(2)5-√3与2+√3.
解:(1)∵(-2√13)2=52,(-3√6)2=54,52<54,
∴(-2√13)2<(-3√6)2,∴-2√13>-3√6.
(2)(5-√3)-(2+√3)=3-2√3,
∵3=√9,2√3=√12,9<12,
∴3<2√3,即3-2√3<0,∴5-√3<2+√3.
拓展探究突破练
11.阅读下列材料,解答后面的问题.
材料:√2+√3=(√2+√3)(√2-√3)√2-√3=-1√2-√3=1√3-√2,我们把这种化简的方法叫做分子有理化.
问题:采用分子有理化,比较√2019−√2018与√2018−√2017的大小.
解:∵√2019−√2018
八年级数学下册《二次根式的乘除》练习题及答案(人教版)
第 1 页 共 4 页 八年级数学下册《二次根式的乘除》练习题及答案(人教版)
一 单选题
1．估计 √3×√6 的值应在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
2．下列为最简二次根式的是（ ）
A．√26 B．√32 C．√0.5 D．√12
3．如图 在长方形ABCD中无重叠放人面积分别为 16𝑐𝑚2 和 12𝑐𝑚2 的两张正方形纸片 则图中空白部分的面积为（ ）
A．(−12+8√3)𝑐𝑚2 B．(16−8√3)𝑐𝑚2
C．(8−4√3)𝑐𝑚2 D．(4−2√3)𝑐𝑚2
4．如果√12⋅√𝑥是一个正整数 那么x可取的最小正整数值为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．12
5．计算1√2−1的结果是（ ）
A．√2 B．√22 C．√2−1 D．√2+1
6．在√16𝑥3 √23 −√0.5 √𝑎𝑥 √253中 最简二次根式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．计算√2×√8+√−273的结果为( )
A．﹣1 B．1 C．4−3√3 D．7
8．√2+1的倒数是（ ）
A．1√2 B．√2+1 C．√2﹣1 D．√22+1
9．已知a= 1√2+1 b= 1√2−1 则a与b的关系是( )
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等
10．下列计算中 错误的是( )
A．√14×√7=7√2 B．√60÷√30=√2 C．√3×√6=9√2 D．√8√2𝑎=2√𝑎𝑎 第 2 页 共 4 页 二 填空题
11．当a＝﹣1时 二次根式 √2−7𝑎 的值为 ．
12．记1√5−2的整数部分是𝑎 小数部分是𝑏 则𝑎𝑏的值为
.
13．分母有理化 1√2= ．
14．一个长方形相邻两边的长分别为 √2 √8 则它的周长和面积分别是
专题16.1 二次根式的化简求值(压轴题专项讲练)(解析版)-八年级数学下册
专题16.1二次根式的化简求值
整体思想：指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的
联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未
知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。
一、二次根式的定义形如（≥
0）的式子叫做二次根式，叫做二次根号，叫做被开方数.
二、二次根式有意义的条件
1.二次根式中的被开方数是非负数；
2.二次根式具有非负性：≥0.
三、判断二次根式有意义的条件
1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是
非负数；
2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
四、二次根式的性质
性质1
：2
=（≥0），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
性质
2：2=
=（≥0）
−（
<0），即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
五、同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
①同类二次根式类似于整式中的同类项；
②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；
③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
六、二次根式的加减法则二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合
并方法为系数相加减，根式不变．
七、二次根式的乘除法则①二次根式的乘法法则：
∙=
∙𝐨≥0,≥0)；
②积的算术平方根：∙=
∙𝐨≥0,≥0)；
③二次根式的除法法则：=
(≥0,>0)；
④商的算术平方根：
=
(≥0,>0).八、最简二次根式
我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式，
叫做最简二次根式．
九、分母有理化
1.分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母
二次根式乘除练习题带答案
二次根式乘除练习题带答案
二次根式乘除练习题带答案
二次根式是数学中的一个重要概念，也是我们在学习代数时经常遇到的一个知识点。在解决实际问题或进行数学推理时，我们经常需要对二次根式进行乘除运算。为了帮助大家更好地理解和掌握二次根式的乘除运算，下面将给出一些练习题，并附带答案供大家参考。
练习题一：
计算下列二次根式的乘积，并将结果化简为最简形式：
1. √3 * √5
2. √6 * √8
3. √10 * √12
答案：
1. √3 * √5 = √(3 * 5) = √15
2. √6 * √8 = √(6 * 8) = √48 = √(16 * 3) = 4√3
3. √10 * √12 = √(10 * 12) = √120 = √(10 * 12) = √(4 * 3 * 10) = 2√30
练习题二：
计算下列二次根式的商，并将结果化简为最简形式：
1. √20 / √4
2. √27 / √9
3. √50 / √10
答案：
1. √20 / √4 = √(20 / 4) = √5 2. √27 / √9 = √(27 / 9) = √3
3. √50 / √10 = √(50 / 10) = √5
练习题三：
计算下列二次根式的乘积或商，并将结果化简为最简形式：
1. (√2 + √3) * (√2 - √3)
2. (√5 - √7) * (√5 + √7)
3. (√8 + √12) / (√2 + √3)
答案：
1. (√2 + √3) * (√2 - √3) = (√2)^2 - (√3)^2 = 2 - 3 = -1
2. (√5 - √7) * (√5 + √7) = (√5)^2 - (√7)^2 = 5 - 7 = -2
3. (√8 + √12) / (√2 + √3) = (√4 * 2 + √4 * 3) / (√2 + √3) = (2√2 + 2√3)