1.3证明(1)1

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第一章 1.3 线段的垂直平分线(1)

解：连接 AE，BE，过 E 作 EG⊥BC，交 BC 的延长线于 G. ∵D 是 AB 的中点，DE⊥AB， ∴DE 垂直平分 AB， ∴AE＝BE.
∵∠ACE＋∠BCE＝180°， ∠ECG＋∠BCE＝180°， ∴∠ACE＝∠ECG. 又∵EF⊥AC，EG⊥BC， ∴EF＝EG，∠FEC＝∠GEC， ∵CF⊥EF，CG⊥EG，∴CF＝CG.
在 Rt△AEF 和 Rt△BEG 中， AEEF＝＝BEEG， ∴Rt△AEF≌Rt△BEG(HL)， ∴AF＝BG.
设 CF＝CG＝x，则 AF＝AC－CF＝12－x， BG＝BC＋CG＝8＋x， ∴12－x＝8＋x，解得 x＝2， ∴AF＝12－2＝10.
∵AC＝CB， ∴△ACD≌△CBF. ∴CD＝BF. ∵CD＝BD＝12BC， ∴BF＝BD. ∴△BFD 为等腰直角三角形．
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠ABC＝45°. ∵∠FBD＝90°，∴∠ABF＝45°. ∴∠ABC＝∠ABF，即 BA 是∠FBD 的平分线． ∴BA 是 FD 边上的高线，BA 又是边 FD 的中线，即 AB 垂直平分 DF.
12．点 P 是△ABC 内一点，PG 是 BC 的垂直平分线，∠PBC＝ 12∠A，BP、CP 的延长线交 AC、AB 于 D、E，求证：BE ＝CD.
证明：过点 B 作 BF⊥CE，交 CE 的延长线于点 F，过点 C 作 CM⊥BD 于点 M. 则∠PFB＝∠PMC＝90°. ∵PG 是 BC 的垂直平分线， ∴PB＝PC.
一、选择题 1．如图，在已知的△ABC 中，按以下步骤作图：
①分别以 B，C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于 M，N 两点；②作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD. 若 CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB 的

浙教版-数学-八年级上册-1.3 证明1

例1 已知：如图，DE∥BC，∠1=∠E.
求证: BE平分∠ABC. 证明: ∵ DE∥BC( 已知 )
∴∠2=∠E( 两直线平行,内错等量代换 ) ∴BE平分∠ABC( 角平分线的定义 )
例2 已知：如图，AB∥CD，EP，FP分别平分 ∠BEF， ∠DFE. 求证：∠1+∠2=90°
证明：因为∠1=∠2（已知） ∠ 1= ∠ 3（对顶角相等）所以∠ 2= ∠ 3（等量代换）所以a∥b（同位角相等，两直线平行）
定理内错角相等，两直线平行
回顾反思：
证明------用推理的方法证实真命题的过程.
因为A 推理------ 所以B (事实依据)
定义
事实依据------
基本事实(原本) 定理
证明1
情景创设
一个数学的结论的正确性是如何确认的？
其实数学家们早就遇到了这样的问题，人类对数学命题进行证明的研究已有2000年的历史了。公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得写出了举世闻名的巨著《原本》，在这本书中，他挑选了一些基本定义和基本事实作为证实其他命题的出发点，推导出400多条定理，《原本》是人类智慧的伟大成就之一，它对科学和人类文化和发展产生了深远的影响。
用推理的方法证实真命题的过程叫证明。经过证明的真命题称为定理。
思考与交流：
证明与图形有关的命题，有哪些步骤？（1）根据命题画出图形。（2）结合图形将命题的条件、结论分别用
数学语言写在已知、求证后面。（3）写出证明过程。
练习1
证明:内错角相等,两直线平行.
已知:直线a、b被直线c所
截， 1 = 2 求证 a b
等式或不等式的性质
言之有理,落笔有据,过程严谨, 结论求实.

初中数学精品试题：证明(一)(二)

1.3证明（一）1．如图所示，a ∥b ，∠1为（）A ．90°B ．80°C ．70°D ．60°（第1题）（第2题）（第3题）（第4题） 2．如图，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，图中与∠CAB 互余的角有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个3．如图，下列推理不正确的是（）A ．∵AB ∥CD ∴∠ABC+∠C=180° B ．∵∠1=∠2 ∴AD ∥BCC ．∵AD ∥BC ∴∠3=∠4 D ．∵∠A +∠ADC =180° ∴AB ∥CD 4．如图所示，直线a ，b 被直线c 所截，a ∥b ，∠1=110°，∠2=________． 5．写出一个判断角相等的定理．6．已知∠A=(x -20)°，∠B=(100-3x )°，若∠A 、∠B 的两边分别平行且方向相同，则x =_____． 7．完成下面的证明过程：已知：如图，AB ∥CD ，∠1+∠2＝180°．求证：CD ∥EF ．证明：∵∠1+∠2＝180°（）∠1+∠3＝180°（） ∴∠3＝∠2（）又∵AB ∥CD （）∴∠3＝∠4（） ∴∠2＝∠4∴CD ∥EF （）8．如图所示，AB ∥CD ，CE 平分∠ACD 并交AB 于E ，∠A =118°，求∠AEC 的度数．9．如图，已知直线AB 和直线CD 被直线EF 所截，交点分别为E 、F ，∠AEF ＝∠EFD ．若EM 是∠AEF 的平分线，FN 是∠EFD 的平分线．证明：EM ∥FN ．A BCD E MFN4321FED C B A★10．如图所示，CD⊥AB，垂足为D，点F是BC上任意一点，FE⊥AB，垂足为E，且∠CDG=∠BFE，∠AGD=80°，求∠BCA的度数．11．命题“若a是自然数，则代数式(5a+2)(5a+1)+3的值是5的倍数”是真命题还是假命题？如果认为是假命题，请说明理由；如果认为是真命题，请给出证明．12．如图，把一块三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上，若∠1=2∠2，则∠1=．★13．有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人．”乙说：“两项都参加的人数小于5．”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是（）A．若甲对，则乙对B．若乙对，则甲对C．若乙错，则甲错D．若甲错，则乙对★14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，BE平分∠ABC，分别交AC，CD于点E，F，则∠CEF＝∠CFE．请用推理的方法说明它是真命题．★15．已知∠α=50°，且∠α的两边与∠β的两边互相垂直，画出符合条件的图形并求出∠β的度数．1.3证明（二）1．如图，△ABC 中，∠A=50°，点D ，E 分别在AC ，AB 上，则∠1＋∠2的大小为（）A ．130°B ．230°C ．180°D ．310°2．如图，在△ABC 中，∠1是△ABC 的一个外角，D 是AC 上一点，连接BD ，下列判断角的大小关系错误的一个是（）A ．∠1＞∠2B ．∠1＞∠5C ．∠1＞∠3D ．∠5＞∠4（第1题）（第2题）（第6题）（第7题）3．锐角三角形的三个内角是A B C ∠∠∠，，，如果A B α∠=∠+∠，B C β∠=∠+∠，C A γ∠=∠+∠，那么αβγ∠∠∠，，这三个角中（）A ．没有锐角B ．有1个锐角C ．有2个锐角D ．有3个锐角4．若三角形的三个外角的度数之比为2：3：4，则与之对应的三个内角的度数之比为（）A ．4：3：2B ．3：2：4C ．5：3：1D ．3：1：5 5．满足下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（）A ．∠B+∠A=∠CB ．∠A ：∠B ：∠C =2：3：5C ．∠A =2∠B =3∠CD ．一个外角等于和它相邻的一个内角6．如图所示，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点O ，若∠BOC=120°，则∠A 为（）A ．30°B ．60°C ．80°D ．100°7．如图，已知D 是BC 上一点，∠B=∠1，则图中与∠2相等的角是． 8．如图所示，BC ⊥ED ，垂足为O ，∠A =27°，∠D =20°，求∠ACB 与∠B 的度数．9．已知：如图，E 是AB 、CD 外一点，∠D =∠B+∠E ．求证：AB ∥CD ．10．如果三角形的一个外角小于和它相邻的内角，则这个三角形是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．都有可能11．如图所示，在锐角△ABC 中，CD 和BE 分别是AB 和AC 边上的高，且CD 和BE 交于点P ，若∠A =50°，则∠BPC 的度数是（）A ．150°B ．130°C ．120°D ．100°★12．如图所示，四边形ABCD 中．求证：∠BDC =∠B+∠A+∠C ．（至少用两种不同的方法证明）方法1: 方法2：★13．如图，在△ABC 中，BD ，CD 是两个外角的平分线，且相交于点D ．(1)若∠A ＝50°，求∠D 的度数； (2)用∠A 表示∠D 的度数．★14．如图，△ABC 中，点D ，E 分别在AB ， AC 上，将△ADE 沿直线DE 折叠．（1）如图①，当A ’落在四边形BDEC 内部时，探索∠A 与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．（2）如图②，当点A ’落在四边形BDEC 外部时，探索∠A 、∠1、∠2之间的数量关系，并说明理由．EF。

高中数学 1.3.1二项式定理课件新人教A版选修23[1]

二项式定理(dìnglǐ) 思维导航 1．我们已知(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，展开式中有3项；运用多项式乘法可以求得(a＋b)3、(a＋b)4的展开式，并且它们分别(fēnbié)有4项、5项，你能用类比归纳的方法得出(a＋b)n(n≥2) 的展开式吗？
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新知导学 1．二项展开式的推导：(a＋b)n(n∈N*)是 n 个因式(a＋b) 的积，按多项式乘以多项式的法则，可知确定乘积展开式中的每一项，需要看有多少个因式(a＋b)中取 a，多少个因式(a＋b) 中取 b，如果从 k 个因式中选取 b，则就有__n_－__k____个因式中选 a.∴积式为 an－kbk(k＝0、1、2、…、n)的形式的项共有__C_nk___ 个．合并同类项后为 _____C_nk_a_n－_k_b_k__________.因此(a ＋b)n＝ _C_0n_a_n＋__C__1na_n_－_1b_＋__…__＋__C__rna_n_－_rb_r_＋__…__＋__C_nn_－_1a_b_n_－_1_＋__C_nn_b_n__这个公式叫做二项式定理．
D．－40
[解析] Tr＋1＝Cr5(x2)5－r(－x23)r＝Cr5x10－2r·(－2)r·x－3r ＝C5r (－2)r·x10－5r. 令 10－5r＝0，∴r＝2，常数项为 C25×4＝40.
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若
x＋ 1 4
2
n x
展开式中前三项系数依次成等差
数列．求：
(1)展开式中含 x 的一次幂的项；
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[方法规律总结] 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关(yǒuguān)，与二项式的构成无关，后者与二项式的构成、二项式的指数及项数均有关 (yǒuguān)．

1.3三角函数的诱导公式(1)解读

1. 3 三角函数的诱导公式（1）一、教学目标（1）理解三角函数诱导公式一～四的推导过程，在探究的过程中体验数学知识的“发现”过程；（2）掌握三角函数诱导公式一～四的应用，能正确运用诱导公式求任意角的三角函数值；（3）培养学生借助图形直观进行观察、感知、探究、发现的能力，进一步掌握数形结合思想方法，通过诱导公式的证明，培养学生逻辑思维能力。

二、教学重点用联系的观点，发现、证明及运用诱导公式，体会数形结合思想、渗透转化思想在解决数学问题中的指导作用。

三、教学难点如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现终边分别与的终边相同以及关于原点、x 轴、y 轴对称的角与α之间的数量关系，并提出研究方法。

四、教学过程 1、提出问题：?313sin=π ?)3sin(=-π ?120sin = ?34sin =π2、学生猜想3313ππ与 33ππ与- 60120与 334ππ与之间的关系，利用三角函数线初步判断出函数值之间的关系3、观察图像探索终边之间的关系4、小组合作探究：给定一个角α（1）终边与角α的终边相同的角与α有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？（2）终边与角α的终边关于x 轴对称对称的角与α有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？（3）终边与角α的终边关于原点的角与α有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？（4）终边与角α的终边关于y 轴对称的角与α有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？师生：先让学生回答探究思路及结果，教师评价，然后教师画图，数形结合，给出探求思路方法，指出探求的关键是画出各个角的终边，正确作出三角函数线，共同得到诱导公式一～四（板书）及时总结：提出问题：你能概括一下探究公式一～四的思想方法吗? 师生活动：教师引导学生概括得出公式的记忆方法：函数名不变，符号看象限。

2、诱导公式一～四的应用举例例1 利用公式求下列三角函数值： (1) ︒225cos ; (2) 311sinπ ; (3) )316sin(π-; (4) )2040cos(︒- 归纳：利用公式一～四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：三角函数的简化过程口诀：负化正，正化小，化到锐角就行了.学生：课堂练习P27 练习第1、2、4、5、6题。

实变函数引论参考答案_曹怀信_陕师大版第一到第四章

习题1.11．证明下列集合等式． (1) ；(2) ()()()C B C A C B A \\\ =；(3) ()()()C A B A C B A \\\=．证明 (1) )()C \B (c C B A A =)()( c c C B A A B A =c C A B A )()( =)(\)(C A B A = .(2) c C B A A )(C \B)(=)()(c c C B C A ==)\()\(C A C A .(3) )(\C)\(B \c C B A A =c c C B A )( =)(C B A c =)()(C A B A c =)()\(C A B A =.2．证明下列命题．(1) ()A B B A = \的充分必要条件是：A B ⊂；(2) ()A B B A =\ 的充分必要条件是：=B A Ø；(3) ()()B B A B B A \\ =的充分必要条件是：=B Ø．证明 (1) A B A B B B A B B A B B A c c ==== )()()()\(的充要[条是：.A B ⊂(2) c c c c B A B B B A B B A B B A ===)()()(\)(必要性. 设A B B A =\)( 成立，则A B A c = , 于是有c B A ⊂, 可得.∅=B A 反之若,∅≠B A 取B A x ∈, 则B x A x ∈∈且, 那么B x A x ∉∈且与c B A ⊂矛盾.充分性. 假设∅=B A 成立, 则c B A ⊂, 于是有A B A c = , 即.\)(A B B A =(3) 必要性. 假设B B A B B A \)()\( =, 即.\c C A B A B A == 若,∅≠B 取,B x ∈ 则,c B x ∉ 于是,c B A x ∉ 但,B A x ∈ 与c C A B A =矛盾.充分性. 假设∅=B 成立, 显然B A B A \= 成立, 即B B A B B A \)()\( =.3．证明定理1.1.6．定理1.1.6 (1) 如果{}n A 是渐张集列, 即),1(1≥∀⊂+n A A n n 则{}n A 收敛且∞=∞→=1;lim n n n n A A (2) 如果{}n A 是渐缩集列, 即),1(1≥∀⊃+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞=∞→=1.lim n n n n A A 证明 (1) 设),1(1≥∀⊂+n A A n n 则对任意∞=∈1,n n A x 存在N 使得,N A x ∈ 从而),(N n A x N ≥∀∈ 所以,lim n n A x ∞→∈ 则.lim 1n n n n A A ∞→∞=⊂ 又因为∞=∞→∞→⊂⊂1,lim lim n n n n n n A A A 由此可见{}n A 收敛且 ∞=∞→=1;lim n n n n A A(2) 当)1(1≥∀⊃+n A A n n 时, 对于,lim n n A x ∞→∈存在)1(1≥∀<+k n n k k 使得),1(≥∀∈k A x k n 于是对于任意的,1≥n 存在0k 使得n n k >0, 从而,0n n A A x k ⊂∈ 可见.lim 1 ∞=∞→⊂n n n nA A 又因为,lim lim 1n n n n n n A A A ∞→∞→∞=⊂⊂ 所以可知{}n A 收敛且 ∞=∞→=1.lim n n n n A A 4．设f 是定义于集合E 上的实值函数，c 为任意实数，证明： (1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥=>∞=n c f E c f E n 1][1 ； (2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<=≤∞=n c f E c f E n 1][1 ； (3) 若))(()(lim E x x f x f n n ∈∀=∞→，则对任意实数c 有 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡->=⎥⎦⎤⎢⎣⎡->=≥∞→∞=∞=∞=∞=k c f E k c f E c f E n n k n N n N k 1lim 1][111 ．证明 (1) 对任意的[],c f E x >∈ 有,)(c x f > 则存在+∈Z n 使得n c x f 1)(+≥成立. 即,1⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥∈n c f E x 那么.11 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥∈n n c f E x 故[];11 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥⊂>n n c f E c f E 另一方面, 若,11 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥∈n n c f E x 则存在+∈Z n 0使得,110 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥∈n n c f E x 于是c n c x f >+≥01)(, 故[]c f E x >∈. 则有[].11 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥⊃>n n c f E c f E (2) 设[]c f E x ≤∈, 则c x f ≤)(, 从而对任意的+∈Z n , 都有n c x f 1)(+<, 于是 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<∈11n n c f E x , 故有[];11 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<⊂≤n n c f E c f E 另一方面, 设 ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<∈11n n c f E x , 则对于任意的+∈Z n , 有n c x f 1)(+<,由n 的任意性, 可知c x f ≤)(, 即[]c f E x ≤∈, 故[] ∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<⊃≤11n n c f E c f E . (3) 设[]c f E x ≥∈, 则c x f ≥)(. 由),)(()(lim E x x f x f n n ∈∀=∞→ 可得对于任意的+∈Z k , 存在N 使得)(1|)()(|N n k x f x f n ≥∀<-, 即)1(11)()(≥-≥->k k c k x f x f n , 即k c x f n 1)(->, 故)1(1lim ≥∀⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈∞→k k c f E x n n , 所以 ∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈11lim k n n k c f E x , 故[] ∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->⊂≥11lim k n n k c f E c f E ；另一方面, 设 ∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈101lim k n n k c f E x , 则对任意+∈Z k 有⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈∞→k c f E x n n 1lim 0. 由下极限的定义知：存在1N 使得当1N n ≥时, 有)(10+∈∀⎥⎦⎤⎢⎣⎡->∈Z k k c f E x n , 即对任意+∈Z k 有k c x f n 1)(0->; 又由),)(()(lim E x x f x f n n ∈∀=∞→ 知),()(lim 00x f x f n n =∞→ 即对任意的+∈Z k , 存在2N 使得当2N n ≥时, 有k x f x f n 1|)()(|00<-. 取},m ax {21N N N =, 则有k c x f n 1)(0->与k x f x f n 1|)()(|00<-同时成立, 于是有k c x f k x f n 1)(1)(00->>+, 从而k c x f 2)(0->, 由k 的任意性知：c x f ≥)(0, 即[]c f E x ≥∈0, 故有 [] ∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->⊃≥11lim k n n k c f E c f E ; 综上所述：[].11lim 111 ∞=∞=∞=∞=∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡->=⎥⎦⎤⎢⎣⎡->=≥k N N n n n n n k c f E k c f E c f E 5．证明集列极限的下列性质．(1) c n n cn n A A ∞→∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛lim lim _____； (2) c n n c n n A A _____lim lim ∞→∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛； (3) ()n n n n A E A E ∞→∞→=lim \\lim ； (4) ()n n n n A E A E ∞→∞→=lim \\lim ．证明 (1) c n n n n m c m n c n m m c n n m m c n n A A A A A ∞→∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞→====⎪⎭⎫ ⎝⎛lim )()(lim 111_____ . (2) c n n n n n m c m c n m m c n n m m c n n A A A A A _____111lim )()(lim ∞→∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞→====⎪⎭⎫ ⎝⎛ . (3) () ∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞→===111))(()()\(\lim n n m n n m c m c m n n m m n n A E A E A E A E c n n m m n c n m m n n m c m A E A E A E )())(()(111 ∞=∞=∞=∞=∞=∞==== ∞=∞=∞→==1lim \\n n m n n m A E A E . (4) () ∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞→===111))(()()\(\lim n n m cm n n m n n m c m m n n A E A E A E A E c n nm m n c n m m n n m c m A E A E A E )())(()(111 ∞=∞=∞=∞=∞=∞==== ∞=∞=∞→==1lim \\n n m n n m A E A E .6．如果}{},{n n B A 都收敛，则}\{},{},{n n n n n n B A B A B A 都收敛且(1) ()n n n n n n n B A B A ∞→∞→∞→=lim lim lim ；(2) ()n n n n n n n B A B A ∞→∞→∞→=lim lim lim ；(3) ()n n n n n n n B A B A ∞→∞→∞→=lim \lim \lim ．习题1.21．建立区间)1,0(与]1,0[之间的一一对应．解令1111{,,,,}2345E =, 111{0,1,,,}234F =,(0,1)\D E =, 则(0,1)E D =,[0,1]F D =. 定义:(0,1)[0,1]φ→为: ;11();(1,2,)210;2x x D x x n n n x φ⎧⎪∈⎪⎪===⎨+⎪⎪=⎪⎩ 则φ为(0,1)[0,1]→之间的一个一一对应. 2．建立区间],[b a 与],[d c 之间的一一对应，其中d c b a <<,．解定义: :[,][,]a b c d φ→为:()().([,])d c d c bc ad x x a c x x a b b a b a b a φ---=-+=+∀∈--- 可以验证: :[,][,]a b c d φ→为一个一一对应.3．建立区间),(b a 与],[d c 之间的一一对应，其中d c b a <<,．解令{,,,}234b a b a b a E a a a ---=+++，{,,,,}23d c d c F c d c c --=++ (,)\D a b E =. 定义:(,)[,]a c d φ→为: ;();(1,2.)d c bc ad x x D b a b a d c b a x c x a n φ--⎧+∈⎪--⎪--⎪=+=+=⎨可以验证: :(,)[,]a b c d φ→为一个一一对应.4．试问：是否存在连续函数，把区间]1,0[一一映射为区间)1,0(?是否存在连续函数，把区间]1,0[一一映射为]4,3[]2,1[ ?答不存在连续函数把区间[0,1]一一映射为(0,1); 因为连续函数在闭区间[0,1]存在最大、最小值.也不存在连续函数把区间[0,1]一一映射为[1,2][3,4]; 因为连续函数在闭区间[1,2]上存在介值性定理, 而区间[1,2][3,4]不能保证介值性定理永远成立.5．证明：区间2~)1,0()1,0(~)1,0(R ⨯且ℵ=2R ．证明记(0,1)A =,则(0,1)(0,1)A A ⨯=⨯.任取(,)x y A A ∈⨯, 设1231230.,0.,x a a a y b b b == 为实数,x y 正规无穷十进小数表示, 并令1122(,)0.f x y a b a b =, 则得到单射:f A A A ⨯→. 因此由定理1.2.2知A A A ⨯≤.若令10.5A A =⨯, 则1~A A A A ⊂⨯. 从而由定理1.2.2知: A A A ≤⨯. 最后, 根据Bernstein 定理知: (0,1)~(0,1)(0,1)⨯.对于(,)(0,1)(0,1)x y ∀∈⨯,定义2:(0,1)(0,1)R φ⨯→为:(,)((),())22x y tg x tg y ππφππ=--,则φ为2(0,1)(0,1)R ⨯→的一个一一对应,即2(0,1)(0,1)~R ⨯. 又因为: (0,1)~R , 则由对等的传递性知: 2(0,1)~(0,1)(0,1)~~R R ⨯且2R R ==ℵ. 6．证明：{}1:),(22≤+=y x y x A 与{}1:),(22<+=y x y x B 对等并求它们的基数．证明令221{(,):(1,2,3,)}E x y x y n n =+==, \D A E =, 221{(,):(1,2,3,)}1F x y x y n n =+==+. 则,A E D B F D ==. 定义: :A B φ→为: 2222(,);(,),(,)11;(1,2,3,),(,).1x y x y D x y x y x y n x y E n n φ∈⎧⎪=⎨+=+==∈⎪+⎩ 可以验证: :A B φ→为一一对应, 即~A B . 又因为2~(0,1)(0,1)~~B R R ⨯, 所以 A B ==ℵ.7．证明：直线上任意两个区间都是对等且具有基数ℵ．证明对任意的,I J R ⊆，取有限区间(,)a b I ⊆，则(,)a b I R ℵ=≤≤=ℵ, 则由Bernstern 定理知I =ℵ, 同理J =ℵ. 故I J ==ℵ.习题1.31．证明：平面上顶点坐标为有理点的一切三角形之集M 是可数集．证明因为有理数集Q 是可数集，平面上的三角形由三个顶点所确定，而每个顶点由两个数决定，故六个数可确定一个三角形，所以M 中的每个元素由Q 中的六个相互独立的数所确定，即Q},,,,:{621621∈=x x x a M x x x 所以M 为可数集.2．证明：由平面上某些两两不交的闭圆盘之集M 最多是可数集．证明对于任意的M O ∈, 使得Q ∈)(O f . 因此可得：Q →M f :. 因为1O 与2O 不相交，所以)()(21O f O f ≠. 故f 为单射，从而a M =≤Q .3．证明：（1）任何可数集都可表示成两个不交的可数集之并；（2）任何无限集都可表成可数个两两不交的无限集之并．证明 (2) 当E 可数时，存在双射Q )1,0(:→E f . 因为∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡+=11,11)1,0(n n n Q Q 所以∞=∞=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡+==11111,11))1,0((n n n A n n f f E Q Q . 其中：)(),3,2,1(1,111j i A A n n n f A j i n ≠Φ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡+=- 且Q . 又因为Q Q ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡+-n n n n f 1,11~1,111且Q ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+n n 1,11 可数，所以E 可表示成可数个两两不交的无限集之并．当E 不可数时，由于E 无限，所以存在可数集E E ⊂1, 且1\E E 不可数且无限，从而存在可数集12\E E E ⊂，且)(\\)\(2121E E E E E E =无限不可数. 如此下去，可得),3,2,1( =n E n 都可数且不相交，从而1011)()\(E E E E E E i i n i ==∞=∞=. 其中)0(≥i E i 无限且不交. 4．证明：可数个不交的非空有限集之并是可数集．5．证明：有限或可数个互不相交的有限集之并最多是可数集．证明有限个互不相交的有限集之并是有限集；而可数个互不相交的有限集之并最多是可数集.6．证明：单调函数的不连续点之集至多是可数集．证明不妨设函数f 在),(b a 单调递增，则f 在0x 间断当且仅当0)(lim )(lim )0()0(_0000>==--+→→+x f x f x f x f x x x x . 于是，每个间断点0x 对应一个开区间))0(),0((00+-x f x f .下面证明：若x x '''<为()f x 的两个不连续点，则有(0)(0)f x f x '''+≤-. 事实上，任取一点1x ，使1x x x '''<<，于是11(0)lim ()inf{()}()sup {()}lim ()x x x x x x x x x f x f x f x f x f x f x +-'>'''→→'''<<'+==≤≤=，从而x '对应的开区间((0),(0))f x f x ''-+与x ''对应的开区间((0),(0))f x f x ''''-+不相交，即不同的不连续点对应的开区间互不相交，又因为直线上互不相交的开区间所构成的集合至多是可数集，所以可知单调函数的不连续点之集至多是可数集.7．证明：若存在某正数d 使得平面点集E 中任意两点之间的距离都大于d ，则E 至多是可数集．证明定义映射}:)3,{(:E x d x E f ∈→，即))(3,()(E x d x D x f ∈=，其中)3,(d x D 表示以E x ∈为中心，以3d 为半径的圆盘. 显然当y x ≠时，有∅=)3,()3,(d y D d x D ，即)()(y f x f ≠，于是f 为双射，由第2题知：a E x d x ≤∈}:)3,{(，故a E ≤. 习题1.41．直线上一切闭区之集具有什么基数？区间],[b a 中的全体有理数之集的基数是什么?答直线上一切闭区间之集的基数是c . 这是因为：2),(],[:R ∈→b a b a f 为单射，而R ∈→a b a f ],[:为满射，所以c M c =≤≤=2R R .区间],[b a 中的全体有理数之集的基数是c ，这是因为：a b a a =≤≤Q Q ],[.2．用],[b a C 表示],[b a 上的一切连续实值函数之集，证明：(1) 设},,,,{],[21 n r r r b a =Q ，],[,b a C g f ∈，则⇔=g f ),2,1)(()( ==k r g r f k k ；(2) 公式)),(,),(),(()(21 n r f r f r f f =π定义了单射)(],[:R S b a C →π；(3) c b a C =],[．证明 (1) 必要性. 显然.充分性. 假设),2,1)(()( ==k r g r f k k 成立. 因为},,,{\],[321 r r r b a x ∈∀，存在有理数列∞=1}{n n x ，使得x x n n =∞→lim ，由],[,b a c g f ∈，可得 )()lim ()(lim x f x f x f n n n ==∞→∞→及)()lim ()(lim x g x g x g n n n ==∞→∞→. 又因为∞=1}{n n x 为有理点列，所以有)()(n n x g x f =，故],[b a x ∈∀，都有)()(x g x f =.(2) ],[,b a c g f ∈∀，设)()(g f ππ=，即 )),(,),(),(()),(,),(),((2121 n n r g r g r g r f r f r f =.由(1)知：g f =. 故π为单射.(3) 由(2)知：c R S b a c =≤)(],[；又由],[b a c ⊂R ，可得],[b a c c ≤=R . 故c b a C =],[.3．设],[b a F 为闭区间]1,0[上的一切实值函数之集，证明：(1) ]},[:))(,{()(b a x x f x f ∈=π定义了一个单射)(],[:2R P b a F →π；(2) ]1,0[⊂∀E ，E E χα=)(定义了单射],[])1,0([:b a F P →α；(3) ],[b a F 的基数是c 2．证明 (1) ],[,b a F g f ∈∀，设)()(g f ππ=，即]},[:))(,{(]},[:))(,{(b a x x g x b a x x f x ∈=∈.从而]),[)(()(b a x x g x f ∈∀=，故π为单射.(2) ]1,0[,⊂∀F E ，设)()(F E αα=，则F E F E χααχ===)()(，故α为单射. (3) 由(1)知：c P b a F 2)(],[2=≤R ；又由(2)知：],[2])1,0([b a F P c ≤=，故c b a F 2],[=.4．证明：c n =C ．证明因为R R C ⨯~，而c =⨯R R ，故c =C ；又由定理1..4.5知：c n=C . 5．证明：若E 为任一平面点集且至少有一内点，则c E =．证明显然c E =⨯≤R R . 设00E x ∈，则0>∃δ使得E x B ⊂),(0δ，可知E x B c ≤=),(0δ，故c E =.第一章总练习题.1 证明下列集合等式．(1) ()()F F E F E E F E \\\ ==；(2) ()()()G F G E G F E \\\ =．证明 (1) 因为\()()()()()\c c c c c E E F EE F E E F E E E F E F ====, ()\()()()\c c c E F F E F F E F F F E F ===.所以\\()()\E F E E F E F F ==.(2) 因为()\()()()(\)(\),c c c c E F G E F G E F G E G F G E G F G ==== 所以()()()G F G E G F E \\\ =..2 证明下列集合等式．(1) ()B A B A n n n n \\11∞=∞== ；(2) ()B A B A n n n n \\11∞=∞== ．证明 (1)1111\()()(\)c c n n n n n n n n A B A B A B A B ∞∞∞∞=======. (2) 1111\()()(\)c c n n n n n n n n A B A B A B A B ∞∞∞∞=======. 3．证明：22[][][]cc E f g c E f E g +≥⊂≥≥，其中g f ,为定义在E 的两个实值函数，c 为任一常数．证明若()()22c c x E f E g ∉≥≥, 则有()2c f x <且()2c g x <, 于是 ()()()()f x g x f g x c +=+<, 故()x E f g c ∉+≥. 所以()()()22c c E f g c E f E g +≥⊂≥≥. 4．证明：n R 中的一切有理点之集n Q 与全体自然数之集对等．证明因为0Q =ℵ,所以0Q Q Q Q n =⨯⨯⨯=ℵ(推论1.3.1). 又因为0N =ℵ, 所以0Q n N ==ℵ, 故Q ~n N .5．有理数的一切可能的序列所成之集)(Q S 具有什么基数？6．证明：一切有理系数的多项式之集][x Q 是可数集．证明设},Q ,,,,,0,][:][{][Q 1100111∈≠++++==---n n n n n n n n n n a a a a a a x a x a x a x P x P x 于是.][Q ][Q 0 ∞==n n x x 显然,Q~][Q 1n +x n 所以,Q ][Q 1n a x n ==+ 因此由定理1.3.5知：.][Q a x = 7．证明：一切实系数的多项式之集][x R 的基数为c ．证明记 },R ,,,,,0,][:][{][R 1100111∈≠++++==---n n n n n n n n n n a a a a a a x a x a x a x P x P x 于是.][R ][R 0 ∞==n n x x 显然,R ~][R 1n +x n 所以,R ][R 1n c x n ==+ 因此由定理1.4.3知：.][R c x =8．证明：全体代数数(即可作为有理系数多项式之根的数)之集是可数集，并由此说明超越数(即不是代数数的实数)存在，而且全体超越数之集的基数是c ．证明由于有理系数多项式的全体是可数集，设其元素为,,,,,,210 n P P P P 记多项式)(x P n 的全体实根之集为,n A 由于n 次多项式根的个数为有限个，故n A 为有限集，从而代数数全体 ∞==0n n A A 为可数个有限集的并，故A 为可数集，即.a A =设超越数全体所成之集为,B 即,\R A B = 则R,=B A 从而B 必为无限集，由于A 为可数集，而任一无限集添加一个可数集其基数不变，故.R c B A B ===9．证明：A B B A \~\，则B A ~．证明因为),()\(),()\(B A A B B B A B A A ==又因为,)(\)(\,~,\~\∅==B A A B B A B A B A B A A B B A所以由保并性知),()\(~)()\(B A A B B A B A即.~B A10．证明：若,,D B B A <≤则D A <．证明 (反证法) 假设,D A = 则由已知可得,B D ≤ 这与D B <矛盾. 故有D A <.11．证明：若c B A = ，则c A =或c B =．证明假设,a B A == 则有,a B A = 这与c B A = 矛盾，故有c A =或c B =.12．证明：若c A k k =+∈Z ，则存在+∈Z k 使得c A k =．证明同上.。

一级建造师执业资格认定(异常提示)

一级建造师执业资格认定（异常提示）下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高中数学选修2-3精品课件：1.3.1 二项式定理

2.二项式系数及通项 (1)(a＋b)n展开式共有 n＋1 项，其中各项的系数Ckn (k∈{0, 1,2，…，n}) 叫做二项式系数 . (2)(a＋b)n展开式的第 k＋1 项叫做二项展开式的通项，记作 Tk＋1＝ Cknan－kbk .
要点一二项式定理的正用、逆用例 1 (1)求(3 x＋ 1x)4 的展开式；解方法一 (3 x＋ 1x)4 ＝C04(3 x)4＋C14(3 x)3·1x＋C24(3 x)2·( 1x)2＋C34(3 x)·( 1x)3＋
－1，n为奇数时.
要点二二项展开式通项的应用例 2 若( x＋ 1 )n 展开式中前三项系数成等差数列，求：
4 2x (1)展开式中含x的一次项；解由已知可得 C0n＋C2n·212＝2C1n·12，即 n2－9n＋8＝0，解得n＝8，或n＝1(舍去).
Tk＋1＝Ck8(
x)8－k·(
x
(1)求含x2的项的系数；
(2)求展开式中所有的有理项.
解
3
x－ 3 3
n
展开式的通项为Tr1
Cnr
nr
x3
(3)r
r
x3
n2r
Crn (3)r x 3 .
x
第6项为常数项，即r＝5，
n－2r 且 3 ＝0，∴n＝10.
n－2r (1)令 3 ＝2，得
r＝21(n－6)＝2.
故 x2 项的系数为 C210(－3)2＝405.
第一章——
1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
[学习目标] 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测

8年级-上册-数学-第1章《三角形的初步知识》1.3证明(2)与三角形外角性质有关的证明

浙教版-8年级-上册-数学-第1章《三角形的初步知识》1.3证明（2）与三角形外角性质有关的证明【知识点-部分】一、三角形的内角和定理及推论：1、三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°；推论：由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论；推论可以当做定理使用。

2、三角形内角和定理的推论：推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

二、辅助线：1、当问题的条件不够用、不够集中时，需添加辅助线，构造新图形，形成新关系，找到已知与未知的联系，把问题转化成已经会解的情况，我们把在原图上添加的线叫做辅助线。

注：（1）辅助线通常画为虚线；（2）添加辅助线往往结合学习过的定理或概念。

【典型例题-精选部分】【例1】如图所示，∠A，∠1，∠2的从大到小关系是。

【例2】如图，AB∥CD，∠ABE＝60°，∠D＝50°，则∠E的度数为。

【例3】如图，在△ABC中，外角∠CBD和∠BCE的平分线交于点O，且∠BOC＝40°，则∠A的度数为。

【例4】将一把直尺与一块三角尺如图放置，若∠1＝45°，则∠2的度数为。

【例5】将一副三角尺如图叠放，则图中∠α＝°。

【例6】如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在外的处，折痕为DE。

如果，，，那么下列式子中正确的是（）A、B、C、D、【例7】已知：如图，∠ADE＝∠A＋∠B，求证：DE∥BC。

【例8】如图，已知四边形ABDC，求证：∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C。

【例9】如图,∠B=36∘,∠D=50∘，AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD，AM交BC于点R，CM交AD于点Q，BC与AD交于点P，求∠M的度数。

【例10】如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB=∠ABC。

（1）图1中，作∠BAC的角平分线AD，分别交CB、BE于D、F两点，求证：∠EFD=∠ADC；（2）图2中，作△ABC的外角∠BAG的角平分线AD，分别交CB、BE的延长线于D、F两点，试探究（1）中结论是否仍成立?为什么?【例11】已知：如图一：△ABC 中，BO 平分∠ABC，CO 平分外角∠ACD。

19-20学年八年级数学下册第一章三角形的证明1.3-4教学课件(3课时)

几何语言描述：
如图, ∵PA=PB(已知),
A
B
∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段
两个端点距离相等的点,在这条线段的
垂直平分线上). 提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线
经过某一点)的根据之一.
例1 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段BC．证明：∵AB=AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上），同理，点O在线段BC的垂直平分线上, ∴直线 AO 是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）．
1.如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7 cm,那么ED=
变式2：若把∠BAC＝∠EDF,改为 AC=DF，△ABC与△DEF全等吗？请 B 说明思路.
变式3：请你把例题中的∠BAC＝∠EDF 改为另一个适当条件，使△ABC与 △DEF仍能全等，并给出证明.
E
A
PC D
QF
我们曾经利用折纸的方法得到:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.你能证明这一结论吗?
在△ABC中，AB= 2AC 4 2 . ∵AC=AE,∴BE= 4 2 4 .
∵ CD=DE,BE=DE,
∴CD= 4 2 4 (cm).
1.三角形三条角平分线的性质定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到__三__条__边__的距离相等. 2.三角形三个内角平分线的交点只有一个,实际作图时,只需作出两个角的平分线,第三个角的平分线必过这两条角平分线的交点. 3.利用面积法求距离的方法:三角形角平分线的交点与三个顶点的连线,把原三角形分割成了三个小三角形,利用小三角形的面积之和等于原三角形的面积,是求角平分线交点到三边距离的常用方法.

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Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｃ
结束寄语
•严格性之于数学家,犹如道德之于人. •由“因”导“果”,执“果”索“因”是探索证明思路最基本的方法. •言必有据,因果对应.是初学证明者谨记和遵循的原则. •我们必须用科学的观点来看待一切事物.
分析下列命题的条件和结论，画出图形，写出已知和求证
1、两直线平行，同位角相等
１
ａ
已知:如图直线ａ∥ｂ求证:∠１＝∠２
2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
２
ｂ
ＢＤ
已知：如图，△ＡＢＣ是直角三角形，且∠Ｃ＝９０°，
1 Ｄ是ＡＢ的中点求证:ＣＤ＝ 2ＡＢ
３、在一个三角形中，等角对等边已知:如在△ＡＢＣ中， ∠Ｂ＝ ∠Ｃ，求证:ＡＢ＝ＡＣＡ
三、测量存在误差！
四、判定一个命题是真命题的方法: 通过推理的方式,即根据已知的事实来推断未知事实;
要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理，一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明。
注意:证明过程中的每一步推理都要有依据,依据作为推理的理由,可以写在每一步后的括号内.
通过观察,先猜想结论,再动手验证: 如图,一组直线 a,b,c,d是否都互相平行?
如何判断一个命题是真命题？
一、目测（直观）二、列举错觉！举不胜举！
当n=0,1,2,3,4时,代数式n2-3n+7的值分别是 7,5,5,7,11,它们都是素数．那么,命题“对于自然数n,代数式n2-3n+7的值都是素数”是真命题吗? 当n=6时， n2-3n+7 =25不是素数
例2 已知
想一想: 证明几何命题的基本思路是什么?
证明几何命题的基本思路：顺推分析从条件逆推分析从结论
结论条于点D，
B 1
求证：BE//CD
E
D
C
A
学好几何标志 “证明”
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证); (2)根据题意,画出图形; (3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”; (4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索 “因” .); (5)依据思路 ,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;
1.3 证明（1）
复习
现阶段我们在数学上学习的命题由几类？
真命题（包括定义、公理和定理）
命题的分类假命题判定一个命题是真命题的方法:
(1)通过推理的方式,即根据已知的事实来推断未知事实; (2)人们经过长期实践后而公认为正确的.
a 一、目测（直观）错觉！ b
直观是重要的,但它有时也会骗人.