高等数学第一章函数习题

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高等数学习题及解答(1)

一般班高数作业（上）第一章函数1、试判断以下每对函数是不是同样的函数，并说明原因：（2） y sin(arcsin x) 与（6） yarctan(tan x) 与 y x ；（4）y x ；（8）y x 与 y x2；y f ( x) 与 xf ( y) 。

解：判断两个函数的定义域和对应法例能否同样。

（2） y sin(arcsin x) 定义域不一样，所以两个函数不一样；（4） y x 2x ，两个函数同样；（6） y arctan(tan x) 定义域不一样，所以两个函数不一样；（8） yf (x) 与 xf ( y) 定义域和对应法例都同样，所以两个函数同样。

2、求以下函数的定义域，并用区间表示：x 211（2） yx；（7） y ex x；（3） y 2 xarcsinln 1x解：（2） x [ 2,0) ；（3） x [1 e 2 ,0) (0,1 e 2 ] ；（7） x(0, e)(e,) 。

1 。

1 ln xf (x)x 2 1, x 03、设 1x 2, x ，求 f ( x) f ( x) 。

解：按 x 0 ， x 0 ， x 0 时，分别计算得， f (x)0 x 0f ( x)x 。

2 04、议论以下函数的单一性（指出其单增区间和单减区间）：（2） y4xx2；（4） y x x 。

解：（2） y 4xx24 ( x 2) 2单增区间为 [0,2] ，单减区间为 [ 2,4] 。

（4） yx x2x x 0) 。

0 x ，定义域为实数集，单减区间为 ( ,5、议论以下函数的奇偶性：（2）f ( x) x x2 1 tanx ；（3）f (x) ln( x2 1 x)；（6） f ( x) cosln x ；1 x, x 0 （7） f (x)x, x 0。

1解：（2）奇函数；（3）奇函数；（ 6）非奇非偶函数；（ 7）偶函数。

6、求以下函数的反函数及反函数的定义域：2x), D f ( ,0) ；（） f ( x) 2x 1, 0 x 1（）。

高等数学课后习题答案--第一章

《高等数学》习题参考资料第一篇一元函数微积分第一章极限与连续§1 函数习题1.确定下列初等函数的定义域：(1) 21)(2−−+=x x x x f ；(2)4)(2−=x x f ；(3) 21arcsin )(−=x x f ；(4)2)5lg()(x x x f −=；(5) 4lg )5lg()(2−−=x x x f ；(6)x x x f cos sin )(−=。

1．【答案】(1) )},2()2,1()1,(|{:+∞∪−∪−−∞∈=x x D (2) )},2[]2,(|{:+∞∪−−∞∈=x x D (3) ]}3,1[|{:;−∈=x x D (4) )}5,0()0,(|{:∪−∞∈=x x D (5) ]}4,1[|{:∈=x x D (6)+ +∈=+∞−∞=U k k k x x D ππ452,412|:.2. 作出下列函数的图象：（1）|sin |sin )(x x x f −=；(2)|1|2)(−−=x x f ；（3）+−−=,1,1,21)(x x x x f .12,21,1||−<<−<<≤x x x 2 【答案】 (1)2(2)2 (3)3.判断下列函数的奇偶性：（1）x x x f ++−=11)(；（2）xxx f x x +−+−=11lg110110)(；（3）x x a a x f x x sin )(++=−；（4）)1lg()(2x x x f ++=。

3. 【答案】 (1) 偶函数; (2) 偶函数; (3) 偶函数; (4) 奇函数 .4.证明:两个奇函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数。

4．【答案】设)(x f ,)(x h 是奇函数, )(x g 是偶函数,)()()(x h x f x f =,)()()(x g x f x G =, 于是)()()(x h x f x F −−=−))())(((x h x f −−=)()()(x F x h x f ==, 因此)(x F 是偶函数.)()()(x g x f x G −−=−)()(x g x f −=)(x G −=, 因此)(x G 是奇函数.5．设函数f 满足：D （f ）关于原点对称，且()xc x bf x af =+1)(，其中a ,b ,c 都是常数，||||b a ≠,试证明f 是奇函数。

(数一)高等数学习题集(含解答)

第一章函数·极限·连续一. 填空题1．设⎰∞-∞→=⎪⎭⎫⎝⎛+a t axx dt te x x 1lim , 则a = ________. 解. 可得⎰∞-=at adt te e =a a t t e ae ae te -=∞--)(, 所以 a = 2. 2. ⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim =________. 解. nn n nn n n n n n +++++++++22221 <n n n nn n n n +++++++++2222211 <11211222+++++++++n n n n n n n 所以 n n n n +++++221 <n n n n n n n n +++++++++2222211 <1212+++++n n n 212)1(2122→+++=+++++n n n n n n n n n , (n →∞) 2112)1(12122→+++=+++++n n n n n n n , (n →∞) 所以 ⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim =213. 已知函数⎩⎨⎧=01)(x f 1||1||>≤x x , 则f[f(x)] _______.解. f[f(x)] = 1. 4. )3(lim n n n n n --+∞→=_______.解. nn n n n n n n n n n n n n n n n n -++-++--+=--+∞→∞→3)3)(3(lim)3(lim=233lim=-+++-+∞→nn n n n n n n n5. ⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x 1sin 1cot lim 0=______.解. 616sin lim 3cos 1lim sin lim sin sin sin cos lim020300==-=-=-⋅→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x6. 已知A n n n k kn =--∞→)1(lim 1990(≠ 0 ≠ ∞), 则A = ______, k = _______. 解. A kn n n n n k n k kn =+=---∞→∞→119901990lim )1(lim 所以 k －1=1990, k = 1991;1991111===k A A k ，二. 选择题1. 设f (x )和ϕ(x )在(－∞, +∞)内有定义, f (x )为连续函数, 且f (x ) ≠ 0, ϕ(x )有间断点, 则 (a) ϕ[f (x )]必有间断点 (b) [ ϕ(x )]2必有间断点 (c) f [ϕ(x )]必有间断点 (d))()(x f x ϕ必有间断点解. (a) 反例⎩⎨⎧=01)(x ϕ1||1||>≤x x , f (x ) = 1, 则ϕ[f (x )]=1(b) 反例 ⎩⎨⎧-=11)(x ϕ 1||1||>≤x x , [ ϕ(x )]2 = 1(c) 反例⎩⎨⎧=01)(x ϕ1||1||>≤x x , f (x ) = 1, 则f [ϕ(x )]=1(d) 反设 g(x ) = )()(x f x ϕ在(－∞, +∞)内连续, 则ϕ(x ) = g (x )f (x ) 在(－∞, +∞)内连续, 矛盾. 所以(d)是答案.2. 设函数xex x x f sin tan )(⋅⋅=, 则f(x)是(a) 偶函数 (b) 无界函数 (c) 周期函数 (d) 单调函数解. (b)是答案. 3. 极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+++⨯+⨯∞→222222)1(12325213lim n n n n 的值是 (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 不存在解. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+++⨯+⨯∞→222222)1(12325213lim n n n n =1)1(11lim )1(1131212111lim 2222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+-∞→∞→n n n n n , 所以(b)为答案. 4. 设8)1()1()1(lim 502595=+++∞→x ax x x , 则a 的值为(a) 1 (b) 2 (c)58 (d) 均不对解. 8 = 502595)1()1()1(lim +++∞→x ax x x =100502559595/)1(/)1(/)1(lim x x x ax x x x +++∞→ =5502595)/11()/1()/11(lim a x x a x x =+++∞→, 58=a , 所以(c)为答案. 5. 设βα=------∞→)23()5)(4)(3)(2)(1(limx x x x x x x , 则α, β的数值为(a) α = 1, β = 31 (b) α = 5, β = 31 (c) α = 5, β = 531(d) 均不对解. (c)为答案.6. 设232)(-+=xxx f , 则当x →0时(a) f(x)是x 的等价无穷小 (b) f(x)是x 的同阶但非等价无穷小(c) f(x)比x 较低价无穷小 (d) f(x)比x 较高价无穷小解. x x x x 232lim 0-+→=3ln 2ln 13ln 32ln 2lim0+=+→x x x , 所以(b)为答案. 7. 设6)31)(21)(1(lim0=++++→xax x x x , 则a 的值为(a) －1 (b) 1 (c) 2 (d) 3解. 0)31)(21)(1(lim 0=++++→a x x x x , 1 + a = 0, a = －1, 所以(a)为答案.8. 设02)1()21ln()cos 1(tan lim2202≠+=-+--+-→c a e d x c x b x a x x ，其中, 则必有(a) b = 4d (b) b =－4d (c) a = 4c (d) a =－4c解. 2 =)1()21ln()cos 1(tan lim 20x x e d x c x b x a -→-+--+=c a xde xc x b x axx 22212sin cos lim 220-=+--+-→, 所以a =－4c, 所以(d)为答案. 三. 计算题 1. 求下列极限 (1) xxx e x 1)(lim ++∞→解. e e e eee x xxx x x x e x e x e x xe x x xxx =====++++++∞→+∞→+∞→+∞→11lim)ln(lim)ln(1lim )(lim(2) x x xx )1cos 2(sinlim +∞→解. 令xy 1=yy x x y y xx 10)cos 2(sin lim )1cos 2(sin lim +=+→∞→=2cos 2sin sin 2cos 2lim)cos 2ln(sin lim 00e ee y y y y yy y y y ==+-+→→(3) 310sin 1tan 1lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→解. =⎪⎭⎫ ⎝⎛++→310sin 1tan 1lim x x x x 310sin 1sin tan 1lim x x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+→3)s i n 1(s i nt a n s i nt a n s i n10s i n 1s i n t a n 1lim x x x x x x x x x x x +--+→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+==3sin tan limx xx x e -→=3)cos 1(sin limx x x x e-→=212sin 2sin lim32e ex xx x =⋅→.2. 求下列极限 (1) 323112arcsin )11ln(lim--+→x x x解. 当x →1时, 331~)11ln(--+x x , 323212~12arcsin --x x . 按照等价无穷小代换 33132313231221121lim121lim12arcsin )11ln(lim=+=--=--+→→→x x x x x x x x (2) ⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x 220cot 1lim 解. 方法1：⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x 220cot 1lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x 2220sin cos 1lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x x 222220sin cos sin lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-→4220cos )1(1lim x x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-→32204sin cos )1(2cos 2lim x x x x x x x =3203204sin cos 2lim 42sin cos 2lim x x x x x x x x x x →→++- =21122cos 2sin cos 4cos 2lim220+++-→x x x x x x x=2131242sin 4sin cos 4lim 2131122cos 2cos 2lim0220++-=+++-→→x x x x x x x x x =322131612131242sin 2lim 0=++-=++-→x x x方法2：⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x 220c o t 1lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x 2220sin cos 1lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x x 222220sin cos sin lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→4220cos )1(1lim x x x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-→420)12)(cos 1(211lim x x x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++-→444220)(0!4)2(!2)2(11)(1(211lim x x x x x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+--→4442420))(024162222(211lim x x x x x x x =3232lim 440=→x xx3. 求下列极限 (1) )1(ln lim-∞→nn n nn解. n nn n n nn n n n ln 1lim )1(ln lim -=-∞→∞→ x n n =-1令 1)1ln(lim0=+→x x x (2) nxnxn e e --∞→+-11lim解. ⎪⎩⎪⎨⎧-=+---∞→10111limnxnxn e e 000<=>x x x (3) nn n n b a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim , 其中a > 0, b > 0 解. nnnn b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→2lim a b c n x /,/1== xc xxx x x ae c a 2ln )1ln(lim 10021lim -+→+→+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ab abac a ae aexx x x x c c c x c ====+-++→+→1ln lim2ln )1ln(lim0 4. 求下列函数的间断点并判别类型(1) 1212)(11+-=xxx f解. 11212lim )0(110=+-=+→+xxx f , 11212lim )0(110-=+-=-→-xxx f所以x = 0为第一类间断点.( 2 ) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=11sin cos 2)2()(2x xx x x f π 00>≤x x解. f(+0) =－sin1, f(－0) = 0. 所以x = 0为第一类跳跃间断点; 11s i nlim )(lim 211-=→→x x f x x 不存在. 所以x = 1为第二类间断点; )2(π-f 不存在, 而2cos 2)2(lim2πππ=+-→x x x x ,所以x = 0为第一类可去间断点;∞=+--→xx x k x c o s 2)2(lim2πππ, (k = 1, 2, …) 所以x =2ππ--k 为第二类无穷间断点.5. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧+=βαx e x x x f 1sin )(00≤>x x 在x = 0处的连续性. 解. 当0≤α时)1sin (lim 0xx x α+→不存在, 所以x = 0为第二类间断点;当0>α, 0)1sin (lim 0=+→xx x α, 所以1-=β时,在 x = 0连续, 1-≠β时, x = 0为第一类跳跃间断点.6. 设f(x)在[a, b]上连续, 且a < x 1 < x 2 < … < x n < b, c i (I = 1, 2, 3, …, n)为任意正数, 则在(a, b)内至少存在一个ξ, 使 nnc c c c x f c x f c f ++++++=212211)()()(ξ.证明: 令M =)}({max 1i ni x f ≤≤, m =)}({min 1i ni x f ≤≤所以 m ≤nnc c c c x f c x f c ++++++ 212211)()(≤ M所以存在ξ( a < x 1 ≤ ξ ≤ x n < b), 使得nnc c c c x f c x f c f ++++++=212211)()()(ξ7. 设f(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < a, f(b) > b, 试证在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ. 证明: 假设F(x) = f(x)－x, 则F(a) = f(a)－a < 0, F(b) = f(b)－b > 0 于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ.8. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且0 ≤ f(x) ≤ 1, 试证在[0, 1]内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ. 证明: (反证法) 反设0)()(],1,0[≠-=∈∀x x f x x ϕ. 所以x x f x -=)()(ϕ恒大于0或恒小于0. 不妨设0)()(],1,0[>-=∈∀x x f x x ϕ. 令)(min 10x m x ϕ≤≤=, 则0>m .因此m x x f x x ≥-=∈∀)()(],1,0[ϕ. 于是01)1(>+≥m f , 矛盾. 所以在[0, 1]内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ.9. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < g(a), f(b) > g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = g(ξ).证明: 假设F(x) = f(x)－g(x), 则F(a) = f(a)－g(a) < 0, F(b) = f(b)－g(b) > 0 于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ. 10. 证明方程x 5－3x －2 = 0在(1, 2)内至少有一个实根. 证明: 令F(x) = x 5－3x －2, 则F(1) =－4 < 0, F(2) = 24 > 0 所以在(1, 2)内至少有一个ξ, 满足F(ξ) = 0.11. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=⎰0cos 1010)cos 1(2)(022x dt t x x x x x x f x试讨论)(x f 在0=x 处的连续性与可导性.解. 20200200cos lim 1cos 1lim )0()(lim )0('x x dt t x dt t x x f x f f x x x x x -=-=-=⎰⎰+++→→→+ 0221lim 21cos lim 2020=-=-=++→→xx x x x x320200)c o s 1(2lim 1)cos 1(2lim )0()(lim )0('x x x x x x x f x f f x x x --=--=-=++-→→→- 06)1(cos 2lim 32sin 2lim 020=-=-=++→→x x x x x x x 所以 0)0('=f , )(x f 在0=x 处连续可导.12. 设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 且0)(3sin lim 230=⎪⎭⎫⎝⎛+→x x f xx x , 求)0(''),0('),0(f f f 及23)(limxx f x +→. 解. 0)(3sin lim )(3sin lim )(3sin lim 2030230=+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→→x x f x xx x xf x x x f x x x x x . 所以 0)(3s i n lim 0=⎪⎭⎫⎝⎛+→x f x x x . f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 所以)('),(x f x f 在x = 0连续. 所以f(0) = －3. 因为0)(3s i n lim 20=+→xx f x x x , 所以03)(33sin lim 20=++-→x x f x xx , 所以 2030202033c o s 33lim 3sin 3lim 3sin 3lim 3)(lim x x x x x x x x x x f x x x x -=-=-=+→→→→ =2923sin 3lim 0=→x x x02903)(lim 3)(lim 0)0()(lim )0('2000=⨯=+⋅=+=--=→→→x x f x x x f x f x f f x x x由293)(lim 20=+→x x f x , 将f(x)台劳展开, 得 293)(0)0(''!21)0(')0(lim 2220=++++→x x x f x f f x , 所以29)0(''21=f , 于是 9)0(''=f .(本题为2005年教材中的习题, 2008年教材中没有选入. 笔者认为该题很好, 故在题解中加入此题)第二章导数与微分一. 填空题 1. xx x f +-=11)(, 则)()(x f n = _______. 解. 1112)1(!12)1()1(11)('++⋅-=++---=x x x x x f , 假设1)()1(!2)1(++⋅-=k k k x k f , 则111)1()1()!1(2)1(++++++⋅-=k k k x k f, 所以1)()1(!2)1(++⋅-=n n n x n f2. 设⎩⎨⎧=+=ty t x cos 12 , 则=22dx d y______.解. t tdx dy 2sin -=, 32'224cos sin 214sin 2cos 22sin t t t t t t t t t dxdt t t dx y d t -=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 3. 设函数y = y(x)由方程0)cos(=++xy e yx 确定, 则=dxdy______. 解. 0sin )'()'1(=+-++xy xy y y eyx , 所以xyx e e xy y y y x yx sin sin '--=++4. 已知f(－x) =－f(x), 且k x f =-)('0, 则=)('0x f ______. 解. 由f(－x) =－f(x)得)(')('x f x f -=--, 所以)(')('x f x f =- 所以 k x f x f =-=)(')('005. 设f(x)可导, 则=∆∆--∆+→∆xx n x f x m x f x )()(lim 000_______.解. xx n x f x f x f x m x f x ∆∆--+-∆+→∆)()()()(lim 00000=x m x f x m x f m x ∆-∆+→∆)()(lim 000+x n x f x n x f n x ∆--∆-→∆)()(lim 000=)(')(0x f n m +6. 设)('31)()(lim0000x f x x f x k x f x =∆-∆+→∆, 则k = ________. 解. )('31)()(lim0000x f x k x f x k x f k x =∆-∆+→∆, 所以)('31)('00x f x kf = 所以 31=k7. 已知x x f dx d 112=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛, 则=⎪⎭⎫⎝⎛21'f _______. 解. x xx f 121'32=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-, 所以21'22x x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛. 令x 2 = 2, 所以11'2-=⎪⎭⎫⎝⎛x f 8. 设f 为可导函数, )]}([sin sin{x f f y =, 则=dxdy_______. 解.)]}([sin cos{)]([sin ')(cos )('x f f x f f x f x f dxdy= 9. 设y = f(x)由方程1)cos(2-=-+e xy eyx 所确定, 则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_______.解. 上式二边求导0)sin()'()'2(2=+-++xy xy y y eyx . 所以切线斜率2)0('-==y k . 法线斜率为21, 法线方程为 x y 211=-, 即 x －2y + 2 = 0. 二. 单项选择题1. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且2)]([)('x f x f =, 则当n 为大于2的正整数时, f(x)的n 阶导数是 (a) 1)]([!+n x f n (b) 1)]([+n x f n (c) n x f 2)]([ (d) nx f n 2)]([!解. 3)]([!2)(')(2)(''x f x f x f x f ==, 假设)()(x f k =1)]([!+k x f k , 所以)()1(x f k +=2)]([)!1()(')]([!)1(++=+k k x f k x f x f k k , 按数学归纳法)()(x fn =1)]([!+n x f n 对一切正整数成立. (a)是答案.2. 设函数对任意x 均满足f(1 + x) = af(x), 且=)0('f b, 其中a, b 为非零常数, 则 (a) f(x)在x = 1处不可导 (b) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f a (c) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f b (d) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f ab 解. 在f(1 + x) = af(x)中代入)0()1(,0af f x ==得x f x f f x ∆-∆+=→∆)1()1(lim)1('0=ab af xaf x af x ==∆-∆→∆)0(')0()(lim 0, 所以. (d)是答案注: 因为没有假设)(x f 可导, 不能对于)()1(x af x f =+二边求导. 3. 设||3)(23x x x x f +=, 则使)0()(n f 存在的最高阶导数n 为(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3解. ⎩⎨⎧=3324)(xx x f 00<≥x x . ⎩⎨⎧=x x x f 1224)('' 00<≥x x24024lim 0)0('')(''lim )0('''00=-=--=++→→+xx x f x f f x x12012lim 0)0('')(''lim )0('''00=-=--=--→→-xx x f x f f x x 所以n = 2, (c)是答案.4. 设函数y = f(x)在点x 0处可导, 当自变量x 由x 0增加到x 0 + ∆x 时, 记∆y 为f(x)的增量, dy 为f(x)的微分, xdyy x ∆-∆→∆0lim等于(a) －1 (b) 0 (c) 1 (d) ∞ 解. 由微分定义∆y = dy + o (∆x), 所以0)(lim lim00=∆∆=∆-∆→→∆x x o xdy y x x . (b)是答案.5. 设⎪⎩⎪⎨⎧+=bax x x x f 1sin)(200≤>x x 在x = 0处可导, 则 (a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b 为任意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b 为任意常数解. 在x = 0处可导一定在x = 0处连续, 所以)(lim 1sinlim 020b ax x x x x +=-+→→, 所以b = 0.)0(')0('-+=f f , x ax xx x x x -+→→=020lim 1sinlim , 所以 0 = a. (c)是答案. 三. 计算题1. ')]310ln[cos(2y x y ，求+=解. )310tan(6)310cos(6)310sin('222x x x xx y +-=+⋅+-= 2. 已知f(u)可导, ')][ln(2y x a x f y ，求++= 解. ='y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++⋅++2222211)][ln('x a xx a x x a x f =22)][ln('xa x a x f +++3. 设y 为x 的函数是由方程xyy x arctan ln22=+确定的, 求'y .解.22222221'2'22xy x y x y y x y x yy x +-=+++y x y yy x -=+'', 所以yx yx y -+=' 4. 已知⎩⎨⎧==te y t e x tt cos sin , 求22dx yd . 解. tt tt t e t e t e t e dx dy t t t t sin cos sin cos sin cos sin cos +-=+-=,dt dx t t t t t t dx dt t t t t dt d dx y d 1)sin (cos )sin (cos )sin (cos sin cos sin cos 22222⋅+--+-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= 322)s i n (c o s 2t t e dx y d t +-= 5. 设2/322)(x x u y y x +=+=，, 求dudy解. dy y dx )12(+=, dx x x x du )12()(23212++=dx x x x dxdu dyy )12(23)12(2++=+)12()12(322+++=x x x y d u d y 6. 设函数f(x)二阶可导, 0)0('≠f , 且⎩⎨⎧-=-=)1()(3te f y t f x π, 求0=t dx dy , 022=t dx yd . 解. )('3)1('33t fe ef dx dy t t -=, 所以0=t dx dy=3. 3333323322)]('[)('')1(')(')]1('3)(3)1(''[3t f t f e f e t f e f e e e f dx y d t t t t t t ---+-= 所以2322)]0('[)0(''6)0('9)]0('[)0('')0(')0(')]0('3)0(''3[30f f f f f f f f f t dx y d +=-+== 7. 设曲线x = x(t), y = y(t)由方程组⎩⎨⎧=+=e e e te x yt t 2确定. 求该曲线在t = 1处的曲率. 解. ee e e e y t ty t t 2'-=-=. 所以)2)(1(12''e e t te e e e e x y dx dy t t t t tt t -+=+-== 所以et dx dy 211-==.t t tt t ee e t te e e dx dt e e t dt d dx y d 2322)2()1(22)2)(1(1-++--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=所以 222811et dx y d -==. 在t = 1的曲率为 2322322232)41(411811)'1(|''|--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==+=e e e e t y y k四. 已知当x ≤ 0时, f (x )有定义且二阶可导, 问a, b, c 为何值时⎩⎨⎧++=cbx ax x f x F 2)()( 00>≤x x二阶可导.解. F(x )连续, 所以)(lim )(lim 0x F x F x x +-→→=, 所以c = f (－0) = f (0);因为F(x )二阶可导, 所以)('x F 连续, 所以b = )0(')0('f f =-, 且 ⎩⎨⎧+=-)0('2)(')('f ax x f x F 00>≤x x)0(''F 存在, 所以)0('')0(''+-=F F , 所以a xf f ax x f x f x x 2)0(')0('2lim )0(')('lim 00=-+=--→→+-, 所以)0(''21f a =五. 已知)0(1)()(22n f xx x f ，求-=. 解. xx x f +⋅+-⋅+-=112111211)( 11)()1()1(21)1(!21)(+++-⋅+-⋅=n nn n x x n x f0)0()12(=+k f , k = 0, 1, 2, …!)0(2n fk=, k = 0, 1, 2, …六. 设x x y ln =, 求)1()(n f .解. 使用莱布尼兹高阶导数公式 121)1()()()!2()1()!1()1()(ln )(ln )(------+--=+⋅=n n n n n n n x n n x n x x n x x x f=121121)!2()1()1()!2()1(-------=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----n n n n n x n x n xn n 所以 )!2()1()1(2)(--=-n f n n七. 已知'.,sin cos 20022y y tdt dt e x y t 求+=⎰⎰解. 两边对x 求导, 2222cos 2cos 2',cos '2cos 2'22yy ex x y y yy x x y e y y -=+=第三章一元函数积分学(不定积分)一. 求下列不定积分: 1.⎰-+-dx x xx 11ln 112解. =-+-⎰dx x x x 11ln 112c x x x x d x x +⎪⎭⎫⎝⎛-+=-+-+⎰211ln 4111ln 11ln 212. c x x x x d x x dx x x x+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+-+=-++⎰⎰2211arctan 2111arctan 11arctan 11arctan 11 3.⎰++⋅+++dx x x x x x cos 1sin 1)cos 1(1sin cos 2解. c x x x x d x x dx x x x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++++=++⋅+++⎰⎰22cos 1sin 121cos 1sin 1cos 1sin 1cos 1sin 1)cos 1(1sin cos 4.⎰+)1(8x x dx解. 方法一: 令tx 1=,c t t dt t dt t t t x x dx ++-=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=+⎰⎰⎰)1ln(8111111)1(887828 = c x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-811ln 81 方法二:⎰⎰⎰+--=+=+dx x x x x x dx x x x dx )111()1()1(8878878 =c x x x x d x dx ++-=++-⎰⎰)1ln(81||ln 1)1(81888=c x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-811ln 815．dx xx x x x x dx x x x ⎰⎰+++-+++=+++cos sin 121)cos (sin 21)cos sin 1(21cos sin 1sin 1 ⎰⎰⎰+++++--=dx x x dx x x x x dx cos sin 1121cos sin 1sin cos 2121dx x x x x x x x d x ⎰⎰++++++-=2cos 22cos 2sin 2121cos sin 1)cos sin 1(212122tan 12tan 121|cos sin 1|ln 2121xd x x x x ⎰++++-=c xx x x +++++-=|12tan |ln 21|cos sin 1|ln 2121二. 求下列不定积分: 1.⎰+++22)1(22x x x dx解.⎰⎰++++=+++1)1()1()1(22)1(2222x x x d x x x dx t x tan 1=+令 ⎰t t t dtsec tan cos 22 =⎰++++-=+-=c x x x c t t tdt 122sin 1sin cos 222.⎰+241xxdx解. 令x = tan t,⎰⎰⎰⎰⎰++-=-===+c t t t t d t t d dt t t t t t dt xxdx sin 1sin 31sin sin sin sin sin cos sec tan cos 1324434224=c x x x x+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-23211313.⎰++221)12(xxdx解. 令t x tan =⎰⎰⎰⎰+=+=+=++t td dt t t t dt t t t xx dx2222222sin 1sin cos sin 2cos sec )1tan 2(sec 1)12(=c xx c t ++=+21arctansin arctan4.⎰-222x a dx x (a > 0)解. 令t a x sin =⎰⎰⎰+-=-=⋅=-c t a t a dt t a t a tdt a t a x a dxx 2sin 412122cos 1cos cos sin 22222222=c x a a x a x a +⎪⎭⎫⎝⎛--2222arcsin 25.⎰-dx x 32)1(解. 令t x sin =⎰⎰⎰⎰++=+==-dt tt dt t tdt dx x 42cos 2cos 214)2cos 1(cos )1(22432=⎰+++=+++c t t t dt t t t 4sin 3212sin 4183)4cos 1(812sin 4141 =c t t x +++)2cos 411(2sin 41arcsin 83=c tt t x +-++)4sin 214(cos sin 241arcsin 832 =c x x x x +--+)25(181arcsin 8322 6.⎰-dx xx 421解. 令tx 1=⎰⎰⎰--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-dt t t dt t t t t dx xx 224224211111u t sin =令⎰-udu u 2cos sin =c x x c u +-=+33233)1(cos 317.⎰-+dx x xx 1122解. 令 tdt t dx t x tan sec ,sec ==⎰⎰⎰++=+=+=-+c t t dt t tdt t tt t dx x xx sin )cos 1(tan sec tan sec 1sec 11222c xx x+-+=11arccos 2 三. 求下列不定积分:1. ⎰+-+dx e e e e x xxx 1243 解. ⎰⎰⎰+-=+--=+-+=+-+-----c e e e e e e d dx e e e e dx e e e e x x x x x x x x x x x xx x )arctan(1)()(11222243 2.⎰+)41(2x x dx解. 令xt 2=, 2ln t dtdx =c tt dt t t t t dt dx x x +--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+⎰⎰⎰2ln arctan 2ln 11112ln 12ln )1()41(22222 =c x x ++--)2arctan 2(2ln 1四. 求下列不定积分:1. ⎰-dx x x 1005)2( 解. ⎰⎰⎰---+--=--=-dx x x x x x d x dx x x 9949959951005)2(995)2(99)2(991)2( =⎰--⋅⋅+-⨯---dx x x x x x x 983984995)2(989945)2(98995)2(99 =962973984995)2(96979899345)2(97989945)2(98995)2(99-⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅---x x x x x x x x c x x x +-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-9495)2(95969798992345)2(95969798992345 2.⎰+41xxdx解.⎰⎰⎰⎰+-=+-=+-=+22244424)(1211111/11t dt t tdt t t t dt t t x x x dx 令c x x c u u du u u u t ++-=++-=-=⎰24221ln 21|sec tan |ln 21sec sec 21tan 令五. 求下列不定积分: 1.⎰xdx x 2cos 解.⎰⎰⎰+=+=x xd x dx x x xdx x 2sin 4141)2cos 1(21cos 22⎰-+=xdx x x x 2sin 412sin 41412c x x x x +++=2cos 812sin 414122.⎰xdx 3sec解.⎰⎰⎰-==xdx x x x x x xd xdx tan sec tan tan sec tan sec sec3=⎰⎰-++=--xdx x x x x xdx x x x 32sec |tan sec |ln tan sec sec )1(sec tan secc x x x x xd x +++=⎰|t a n s e c |ln 21tan sec 21sec 3 3. ⎰dx xx 23)(ln 解. ⎰⎰⎰+-=-=dx x x x x x d x dx x x 223323)(ln 3)(ln 11)(ln )(ln ⎰+--=dx x x x x x x 223ln 6)(ln 3)(ln ⎰+---=dx x x x x x x x 2236ln 6)(ln 3)(ln c xx x x x x x +----=6ln 6)(ln 3)(ln 23 4.⎰dx x )cos(ln解.⎰⎰⎰-+=+=dx x x x x dx x x x dx x )cos(ln )]sin(ln )[cos(ln )sin(ln )cos(ln )cos(ln∴c x x xdx x ++=⎰)]sin(ln )[cos(ln 2)cos(ln5.⎰⎰⎰⎰---+-=-==dx x x x x xd dx x x xx dx xxx 2sin 812sin 812sin 812cos 2sin 2cos 81sin 2cos 22233434c x x x xd x x x +--=+-=---⎰2cot 412sin 8122sin 412sin 81222 六. 求下列不定积分: 1.⎰-++dx x x x x 222)1()1ln(解.⎰⎰-++=-++2222211)1ln(21)1()1ln(xd x x dx x x x x =⎰+⋅---++dx x x x x x 222211112111)1ln(21 t x t a n =令 tdt t t x x x 2222sec sec 1tan 1121)1(2)1ln(⋅⋅---++⎰ =dt t t x x x ⎰---++222sin 21cos 21)1(2)1ln( =⎰---++t t d x x x 222sin 21sin 2221)1(2)1ln( =c t t x x x +-+--++sin 21sin 21ln 241)1(2)1ln(22 =c xx xx x x x +-+++--++2121ln 241)1(2)1ln(22222.⎰+dx xx x 21arctan解.⎰⎰⎰++-+=+=+dx x x x x x xd dx xx x 2222211arctan 11arctan 1arctan=c x x x x dx x x x +++-+=+-+⎰)1ln(arctan 111arctan 122223. ⎰dx e e xx2arctan解. dx e e e e e de e dx e e x x x xx x x x x ⎰⎰⎰++-=-=---22222121arctan 21arctan 21arctan dx e e e e x x x x ⎰++-=--22121arctan 21⎰++-=-dx e e e e x x xx )1(121arctan 2122 c x e e e dx e e e e e x x x xx x xx +++-=+-+-=---⎰)arctan arctan (21)11(21arctan 21222 七. 设⎩⎨⎧-+-+=-xex x x x x f )32(3)1ln()(22 00<≥x x , 求⎰dx x f )(.解.⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=-⎰⎰⎰dx e x x dxx x dx x f x )32()3)1ln(()(22⎪⎩⎪⎨⎧+++-+-+--+=-122222)14(3)]1ln([21)1ln(21c e x x cx x x x x x 00<≥x x 考虑连续性, 所以 c =－1+ c 1, c 1 = 1 + c⎰dx x f )(⎪⎩⎪⎨⎧++++-+-+--+=-c e x x c x x x x x x 1)14(3)]1ln([21)1ln(2122222 00<≥x x 八. 设x b x a e f xcos sin )('+=, (a, b 为不同时为零的常数), 求f(x). 解. 令t x e t xln ==，, )cos(ln )sin(ln )('t b t a t f +=, 所以 ⎰+=dx x b x a x f )]cos(ln )sin(ln [)( =c x a b x b a x+-++)]cos(ln )()sin(ln )[(2九. 求下列不定积分: 1.⎰-dx x x234解. 令t x sin 2=⎰⎰⎰--==-t td t tdt t dx x x cos cos )cos 1(32cos sin 324222323 =c x x c t t +---=++-23225253)4(34)4(51cos 532cos 332 2.⎰>-)0(22a dx xa x解. 令t a x sec =⎰⎰⎰+-===>-c at t a tdt a t t a ta ta a dx x a x tan tan tan sec sec tan )0(222 =c xaa a x +--arccos 223.dx ee e xx x ⎰-+21)1(解.=-+⎰d ee e xx x 21)1(⎰-dx ee xx 21+dx ee xx ⎰-221=⎰-x x e de 21－dx e e d xx ⎰--221)1(21=c e e x x +--21arcsin 4.⎰-dx xa xx2 (a > 0)解. ⎰-dx x a x x 2 x u =令 ⎰-du u a u 2422 t a u sin 2=令 ⎰tdt a 42sin 8=⎰⎰+-=-dt t t a dt t a )2cos 2cos 21(24)2cos 1(82222=c t a t a t a dt t a t a t a ++-=++-⎰4sin 42sin 2324cos 122sin 22422222=c t t t a t t a t a +-+-)sin 21(cos sin cos sin 432222 =c t t a t t a t a +--cos sin 2cos sin 333222 =c axa a x a xa a x a a x a a x a +----2222222232arcsin3222=c x a x x a a x a +-+-)2(232arcsin32十. 求下列不定积分:1.⎰+-dx x xcos 2sin 2 解. ⎰⎰⎰++++=+-xx d dx x dx x x cos 2)cos 2(cos 212cos 2sin 2t x =2t a n 令 ⎰⎰+++=+++-++|cos 2|ln 322|cos 2|ln 1121222222x t dt x t t t dt =c x x c x t +++=+++|cos 2|ln )2(tan 31arctan 34|cos 2|ln 3arctan 342.⎰+dx x x xx cos sin cos sin解. ⎰⎰+-+=+dx xx x x dx x x x x cos sin 1cos sin 2121cos sin cos sin=⎰⎰⎰+-+=+-+dx xx dx x x dx x x x cos sin 121)cos (sin 21cos sin 1cos)(sin 212 =⎰++--)4sin()4(42)cos (sin 21ππx x d x x =c x x x ++--|)82tan(|ln 42)cos (sin 21π 十一. 求下列不定积分: 1.⎰++dx x xx )32(332解.⎰⎰+=+=++++c x d dx x xx xx xx 3ln 3)3(3)32(332332222.⎰-+-dx x x x)13()523(232解. )523()523(21)13()523(2232232+-+-=-+-⎰⎰x x d x x dx x x xc x x ++-=252)523(513.dx xx x ⎰+++221)1ln(解.⎰⎰+++=++++=+++c x x x x d x x dx x x x )1(ln 21)1ln()1ln(1)1ln(222222 4.⎰+++++)11ln()11(222x x xxdx解.c x x xd x x xxdx+++=++++=+++++⎰⎰|)11ln(|ln )11ln()11ln()11ln()11(222222十二. 求下列不定积分: 1.⎰+dx x x x )1(arctan 2解.⎰⎰⎰-+-=++=+1222222)1(arctan 21)1()1(arctan 21)1(arctan x xd x d x x dx x x x ⎰⎰+++-=+++-=dx x x x x d x x x 22222)1(1211arctan 21arctan 11211arctan 21 dt t x x tdt x x t x ⎰⎰+++-=++-=22cos 1211arctan 21cos 211arctan 21tan 222令c t t x x x aex c t t x x ++++-=++++-=cos sin 41arctan 411tan 212sin 81411arctan 2122 c xxx x x aex +++++-=22141arctan 411tan 21 2.⎰+dx x x1arcsin解. 令t x t xx2tan ,1arcsin==+则⎰⎰⎰++-=-==+c t t t t t d t t t t d t dx xxtan tan tan tan tan 1arcsin2222 c x xx x c x x x x x x +-++=+++-+=1arcsin )1(1arcsin 1arcsin3. ⎰-+⋅dx xx x x 22211arcsin解. ⎰⎰⎰+=+⋅=-+⋅dt t t tdt t t t t t x dx xx x x )1(csc cos cos sin 1sin sin 11arcsin 222222令 ⎰⎰⎰+++-=+-=c t tdt t t dt t tdt t 221cot cot cot c t t t t +++-=221|sin |ln cot c x x x x x+++--=22)(arcsin 21||ln 1arcsin4.dx x x x ⎰+)1(arctan 22解.⎰⎰⎰-==+dt t t dt t t t t tx dx x x x)1(csc sec sec tan tan )1(arctan 222222令22221cot cot 21cot csc t dt t t t t d t dt t dt t t -+-=--=-=⎰⎰⎰⎰ c x x x x x c t t t t +-++-=+-+-=222)(arctan 21|1|ln arctan 21|sin |ln cot c x x x x x +-++-=222)(arctan 211ln 21arctan 十三. 求下列不定积分: 1.⎰-dx x x234解.⎰⎰⎰==-dt t t dt t t t t x dx x x 23323cos sin 32cos 2cos 2sin 8sin 24令 c t t t d dt t t ++-=-=⎰5322cos 532cos 332cos cos )cos 1(32 c x x +-+--=252232)4(51)4(342.⎰-xa x 22 解.⎰⎰⎰-==-dt t t a dt t t a t a t a t a x xa x 2222cos cos 1tan sec sec tan sec 令c xaa a x c at t a +--=+-=arccos tan 223.dx ee e xx x ⎰-+21)1(解.udu u uu t dt t t t dt t t t te dx e e e x xx x cos cos sin 1sin 111)1(1)1(222⎰⎰⎰⎰+=-+=-+=-+令令c e e c u u x x +--=+-=21arcsin cos 4.⎰-dx xa xx2 (a > 0)解. ⎰-dx x a x x 2 x u =令 ⎰-du u a u 2422 t a u sin 2=令 ⎰tdt a 42sin 8=⎰⎰+-=-dt t t a dt t a )2cos 2cos 21(24)2cos 1(82222=c t a t a t a dt t a t a t a ++-=++-⎰4sin 42sin 2324cos 122sin 22422222=c t t t a t t a t a +-+-)sin 21(cos sin cos sin 432222 =c t t a t t a t a +--cos sin 2cos sin 333222 =c axa a x a xa a x a a x a a x a +----2222222232arcsin3222=c x a x x a a x a +-+-)2(232arcsin32十四. 求下列不定积分: 1.⎰+xxdx cos 1sin解.⎰⎰⎰⎰-+-=++-=+=+xxd xx x d xx dx x xxdx 222cos 1cos 12cos 1sin )cos 1(cos 1sin sin cos 1sin ⎰⎰--=---=+)2(2)1(12cos 12222u u duu du u x 令⎰+-++=-+-=c u uu du u u |22|ln 2211)211(22 c xx x++-++++=|cos 12cos 12|ln 221cos 112.⎰+-dx x xcos 2sin 2 解. ⎰⎰⎰++++=+-xx d dx x dx x x cos 2)cos 2(cos 212cos 2sin 2t x =2t a n 令 ⎰⎰+++=+++-++|cos 2|ln 322|cos 2|ln 1121222222x t dt x t t t dt=c x x c x t +++=+++|cos 2|ln )2(tan 31arctan 34|cos 2|ln 3arctan 343.⎰+dx x x xx cos sin cos sin解. ⎰⎰+-+=+dx xx x x dx x x x x cos sin 1cos sin 2121cos sin cos sin=⎰⎰⎰+-+=+-+dx xx dx x x dx x x x cos sin 121)cos (sin 21cos sin 1cos)(sin 212 =⎰++--)4sin()4(42)cos (sin 21ππx x d x x =c x x x ++--|)82tan(|ln 42)cos (sin 21π 十五. 求下列不定积分: 1.dx xx x ⎰-1解.c t t td dt t t tx dx xx x+--=---=-=-⎰⎰⎰333321341)1(32121令c x +--=231342.⎰+-dx e e xx 11解.⎰⎰⎰⎰-=-=--=+-dt t dt t t t t e dx e e dx e e xx x x x )1(sec tan tan 1sec sec 11112令c eee c t t t x xx+-++=+--=1arccos )1ln(|tan sec |ln 23.dx xx x ⎰--1arctan 1解. 令t t dx t x x t x t tan sec 2,sec ,1tan ,1arctan22==-=-=⎰⎰⎰⎰-===--dt tt t dt t t dt t t t t t dx x x x 22222cos cos 12tan 2tan sec 2sec tan 1arctan 1。

高等数学习题集及答案

D. 无关条件
A. 若 { un} 有界，则 { un} 发散 C. 若 { un} 单调，则 { un} 收敛
B. 若 {un} 有界，则 { un} 收敛 D. 若 { un} 收敛，则 { un} 有界
22. 下面命题错误的是【】
A. 若 { un} 收敛，则 { un} 有界
C. 若 { un} 有界，则 { un} 收敛
A. y arcsin x
B. y arccosx
C. y arctan x
D. y arccot x
7. 已知函数 y arcsin( x 1) ，则函数的定义域是【】
A. ( , )
B. [ 1,1]
C. ( , )
D. [ 2,0]
8. 已知函数 y arcsin( x 1) ，则函数的定义域是【】
A. 连续点
B. 可去间断点
C.跳跃间断点
47. lim xsin 1 的值为【
x0
x
A. 1
B.
】 C. 不存在
D. 0
48. 当 x
时下列函数是无穷小量的是【】
x cos x
A.
sin x
x2
B.
C.
sin x D. (1 1) x
x
x
x
x
x2 1 x 0
49. 设 f ( x)
，则下列结论正确的是【】
C. e 3
】
D. e3
4
A. e
B. 1
2
C. e
D.
4
e
26. x 1是函数 f ( x)
x x3 的【 x2 x 2
】
A. 连续点

（完整版）侯风波版《高等数学》练习答案

（完整版）侯风波版《⾼等数学》练习答案第⼀章函数习题函数⼀、填空题：略.⼆、略.三、图略.四、图略；0，2，6-.五、1.函数)(x f 与)(x g 不相同； 2.函数)(x f 与)(x g 是同⼀个函数.六、3)2(log t y a +=.七、1. 1,2,sin ,log +====x w v v u u y w a ； 2. 1,lg ,,arcsin -====x w w v v u u y ； 3. 1e ,,cos 2-===x v v u u y ；4. 12,ln ,cos ,22+-====x x w w v v u u y .第⼆章极限与连续习题⼀极限的概念⼀、判断题：略.⼆、图略；)(lim 0x f x →=0. 三、(1))(x f ⽆定义,2)1(=g ,3)1(=h ；(2)2)(lim 1=→x f x ；2)(lim 1=→x g x ；2)(lim 1=→x h x . 四、左极限0)(lim 0=-→x f x ；右极限1)(lim 0=+→x f x ；函数在0=x 处的极限不存在. 五、（1）2)(lim 1=-→x f x ；1)(lim 1=+→x f x ；)(lim 1 x f x →不存在；（2）=-→)(lim 23x f x 49)(lim 23=+→x f x ；49)(lim 23=→x f x ；（3）4)(lim 2=-→x f x ；8)(lim 2=+→x f x ；)(lim 2x f x →不存在.习题⼆极限的四则运算⼀、求下列极限1. 30；2. 17；3. 40；4.41．⼆、x x ++210；1．三、求下列极限1. 12-；2. 0；3. 4；4.61．四、求下列极限 1.32； 2. 32．五、1．六、1-．习题三两个重要极限⼀、求下列极限1. 1；2. 16；3.241；4. 1；5. 1；6. 8．⼆、求下列极限1. 3e ；2. 2e -；3. 9e ；4.2e1．习题四⽆穷⼩与⽆穷⼤⼀、1. ∞→x ； 2. -→0x ．⼆、1. +-→1x 及+∞→x ； 2. ∞→x ．三、1. 1-→x ； 2. 1→x ．四、求下列极限1. 0；2. 0．五、234sin x x 是⽐⾼阶的⽆穷⼩．六、提⽰：由极限运算及等价⽆穷⼩定义．习题五函数的连续与间断⼀、选择题：略.⼆、2=a .三、1. 可去间断点是1=x ；2. 7-=x 为函数的第⼆类间断点；1=x 为函数的跳跃间断点.四、求下列极限1. 0；2. 21；3. 21； 4. 4. 五、(]4,1为函数的定义区间，即为函数的连续区间.第三章导数与微分习题⼀导数的定义⼀、1. 2)1(='f ；2. 43)2(-='f . ⼆、a y ='.三、0)0(='f .四、左导数 1)0(='+f ，右导数为 0)0(_='f ，函数在0=x 处的导数不存在.五、在（1，1）点处切线平⾏于直线.习题⼆导数的四则运算⼀、填空题：略．⼆、求下列函数的导数 1. 2ln 354x x y +='； 2. )cos (sin e x x y x +='； 3. 3223351--+-='x xy ； 4. ]sin ln )1(cos )1ln 2[(cos 122x x x x x x x x xy ++++='； 5. 2211sec 3x x y --='；6. 221arctan 2x x x x y ++='．三、①定义域R 即为函数的连续区间；② x x x x x y cos sin 52d d 5253+=-；③由定义，0)0(='f ；④ x x x x x f cos sin 52)(5253+='-．习题三复合函数求导⼀、填空题：略.⼆、求下列函数的导数1. 222cos sin 2sin 2sin x x x x x y +?='；2. ]1tan 2cos 2)1(1[sec e 222sin xx x x y x ?+-='； 3. 10199)1()1(200x x y -+='； 4. ]1sin 11[cos e1cos x x x y x x +='； 5. x x x y 3cos 3sin 31-+='； 6. )ln(ln ln 21x x x y ='.三、)(2sin )(?+=wt w t v ；)(2cos 2)(2?+=wt w t a .四、)]()e (e )e ([e)(x f f f y x x x x f '+'='.习题四隐函数对数函数求导⾼阶导数⼀、是⾮题：略．⼆、求下列⽅程所确定的隐函数)(x f y =的导数1. ()x x y y x x -+-='e sin e 1；2. xy y y x yx --='++e e ．三、⽤对数求导法求下列函数的导数 1.41='y 4)3)(2()423()1)(1(3---+-x x x x x )312142341311(------++-x x x x x 2. )2ln 2(d d 2+=x x x y x ．四、切线⽅程为0=y ．五、求下列函数的⼆阶导数1. )49(1053+=''x x y ；2. x x y x cos 2e 1222--=''； 3. 8)21(360x y -=''；4. =''y x 2sin 4006-．习题五微分⼀、填空题：略.⼆、求下列函数的微分1. ()x x x x y d sin 1)cos 1(2d +-+=；2. x x x y x d )3cos 33sin 2(e d 2+=；3. x xx y d ln 21d 3-=； 4. x y x x d e1e 3d 2613+++=. 三、求⽅程所确定的隐函数)(x f y =的微分y d 1. x y x xy y x d cos 2e d 2--=； 2. x ya xb y d d 22-=. 四、利⽤微分计算下列各数的近似值 1. 0033.101.13≈； 2. 21.1e 21.0≈.五、球的体积扩⼤约为3πcm 1800.第四章微分学的应⽤习题⼀洛必达法则⼀、是⾮题：略.⼆、求下列各式的极限1. 0；2. 1；3. 1；4. 0.三、求下列各式的极限1. 0；2. 0.四、求下列极限1. 0；2. 1；3. 1；4.21e -；5. 3；6. 0.习题⼆函数的单调性⼀、单项选择题：略．⼆、求下列函数的单调区间1. 单增区间),2()0,(+∞-∞Y ，单减区间)2,0(；2. 单增区间)0,(-∞，单减区间),0(+∞；3. 单增区间),21(+∞，单减区间)21,0(；4. 单增区间),0()1,(+∞--∞Y ，单减区间)0,1(-．三、提⽰：利⽤函数单调性证明．四、单调递增区间),21(+∞，单调递减区间)21,(-∞.习题三函数的极值⼀、单项选择题：略．⼆、1.)(x f '； 2.)(x f ''； 3. 极⼩值； 4. 3)1(=f ．三、最⼤值为10)1(=-f ，最⼩值为22)3(-=f ．四、极⼤值为0)0(=f ，极⼩值为41)22()22(-==-f f ．五、当直径r 2与⾼h 之⽐为11∶时，所⽤的材料最少．习题四曲线的凹凸性与拐点⼀、填空题：略．⼆、曲线在)332,(--∞及),332(+∞内上凹,在)332,332(-内下凹，拐点为)910,332(--和)910,332(-．三、函数在)2,0(上的极⼤值为2723)31(-=f，极⼩值为1)1(-=f；最⼤值为1)2(=f，最⼩值为1)1(-=f；拐点为)272532(-，.四、⽰意图:第五章不定积分习题⼀不定积分的概念与基本公式⼀、填空题：略.⼆、选择题：略.三、计算下列不定积分1. Cx+13 3；2. C xxx + -5 3 ln 5 3 3；3. C xxx + + --ln 2 sin 3 1；4. C xxx+ +arcsin2cos.四、求解下列各题1. Cxxf x+='2e2d)(；2. xxf x2sece)(+=；3.所求函数为233+-=xxy.习题⼆不定积分的换元积分法⼀、填空题：略．⼆、选择题：略．三、多步填空题：略．四、计算下列不定积分 1. C x +--21； 2.C x +2arcsin 21； 3.C x x +++24arctan )1ln(41； 4.C x x ++3tan 31tan ； 5.()()C x x ++-+1213223； 6.C xx +--3arccos 392．习题三分部积分法简单有理函数的积分⼀、填空题：略.⼆、多步填空题：略.三、求下列不定积分 1. ()C x x +-++11e 21； 2. C x x x x x ++--4ln )2(22； 3. C x x x ++-e )22(2； 4. C x x x +-+212)1(arcsin ； 5. C x x x ++-sin 2cos 2； 6. C x x +--3 )2(ln 2. 四、?''x f x x d )e (e 2C f f xx x +-'=)e ()e (e ．第六章定积分习题⼀定积分的概念微积分基本公式⼀、选择题：略.⼆、求下列定积分 1. 43433-；2. 3424-；3. 2；4. 4π1-；5. 4；6. 61. 三、解答下列各题1. x x x f 2sin )(4='； 2. 23d )(lim 200=?→x t t f x x ； 3.67d )(21=?-x x f .习题⼆定积分的换元积分法与分部积分法⼀、填空题：略.⼆、求下列定积分 1. )e 2(2-； 2. 32π2； 3. )1e (412+； 4. 12312π-+； 5. 49ln ； 6. 22a ； 7. )1e (212-π； 8. 3212ln -+.习题三定积分的应⽤⼀、32=S . ⼆、h r V 23π=. 三、（1）2=S ；（2）2π2=V . 四、两部分⾯积⽐为 )34π2(+:)34π2π8(--= )4π6(+:)4π18(-. 五、4π4r W ?=ρ.六、g P ρ18=.习题四反常积分⼀、填空题：略．⼆、选择题：略．三、计算下列⼴义积分 1.21； 2. 2π．四、?∞+∞-+x x x d 12发散．第七章常微分⽅程习题⼀常微分⽅程的基本概念与分离变量法⼀、判断正误：略.⼆、填空题：略.三、多步填空题：略.四、求解下列各题 1.C xy +=-3112（其中1C C -=为任意常数）； 2. 冷却规律为kt t T -+=e 3020)(.习题⼆⼀阶线性微分⽅程⼀、填空题：略．⼆、多步填空题：略．三、通解为2e 1x C y -+=（其中C 为任意常数）．习题三⼆阶常系数齐次线性微分⽅程⼀、填空题：略．⼆、多步填空题：略．三、求下列微分⽅程的通解1. =y x x C C -+e e 261；2. =y x x C C 521e )(+；3. =y )23sin 23cos (e 2121x C x C x +； 4. =y x C 25e -．四、1e 2)(-==x y x f ．习题四⼆阶常系数⾮齐次线性微分⽅程⼀、填空题：略．⼆、多步填空题：略．三、x x x y e )9834(e 3613454+-++-=．四、求下列微分⽅程满⾜初始条件的特解（1）x x x y 22e )(-+=；（2）x y sin =．第⼋章空间解析⼏何习题⼀空间直⾓坐标系与向量的概念⼀、填空题：略．⼆、选择题：略．三、求解下列问题 1. k j i 3223-+-=-；2. ()14=AB d ；3. 939393,, 和---939393,,； 4. ),,(002-C ．习题⼆向量的点积与叉积⼀、是⾮题：略．⼆、填空题：略．三、选择题：略．三、求解下列各题 1. -±837833835,,； 2. {}4,6,12-±=b ； 3. 213S ABC =?．习题三平⾯和直线⼀、填空题：略．⼆、选择题：略．三、求解下列问题1. 534=++z y x ；2. 2=-y z ；3. 211211-=--=-z y x ； 4. ①5-=p ；②7=p ．习题四曲⾯与空间曲线⼀、填空题：略．⼆、选择题：略．三、求解下列问题1. ⽅程为x z y 422=+，是旋转抛物⾯； 2. 投影⽅程为?==+;0,52x z y 3. 投影⽅程为?==++．0,0422y z x第九章多元函数微分学习题⼀多元函数及其极限⼀、填空题：略．⼆、函数的定义域为{}41),(22<+≤y x y x ；草图三、4 142lim 00-=+-→→xy xy y x ．四、表⾯积rh π2r πS 2?+?=，体积h r πV 2?=．五、)0,0(),(f y x f -??=22)()())((y x y x ?+．习题⼆偏导数及⾼阶偏导数⼀、是⾮题：略．⼆、填空题：略．三、解下列各题 1. x x z 4=??，29y y z=??； 2. 34xy x z =??，226y x y z=??； 3. y x x z ln 2+=??，y xy x y z=+=??10，222=??x z ，222y x y z -=??，y x y z 12=； 4. z y x f arctan =??，z x y f arctan =??，21z xyz f +=??．四、略．习题三全微分⼀、填空题：略．⼆、解答下列各题1. y x x x x y z d ln d )1(ln d ++=；2. z z y y z x x x yx u y y d cos d )sin ln (d d 1+++=-；3. 119.0-=?z ；4. 125.0d -=z ．三、01.003.0cos 01.0sin ≈．四、对⾓线变化约为m 045.0．五、所需⽔泥的近似值为3m 4.9．习题四复合函数的偏导数⼀、填空题：略．⼆、多步填空题：略．三、解下列各题 1.1d d -=t z ； 2. y z x z =??，2)(y y x z y z +-=??； 3.)cos sin 2(cos 2x x x y xy xz +=??，)2sin (cos sin 22y y y x x y z -=??．习题五偏导数的⼏何应⽤⼀、填空题：略．⼆、求解下列各题1. 切线⽅程为 312111-=-=-z y x 和27272913-=-=-z y x ； 2. 切平⾯⽅程为 )3()1(4)1(2-+--+z y x =0；3. 切线⽅程为 1191161--=-=-z y x ，法平⾯⽅程为 0)1(1)1(9)1(16=---+-z y x ．习题六多元函数的极值⼀、判断题：略．⼆、选择题：略．三、计算下列各题1. 函数在)1,2(点取得极⼩值24-；2. 当端⾯半径与半圆柱⾼满⾜2:1:=h r 时，所⽤材料最省．第⼗章多元函数积分学习题⼀⼆重积分及其在直⾓坐标系下的计算⼀、判断题：略．⼆、填空题：略．三、计算下列各题1. 0=I ；2. ①?==20202332d d x y y x I ；②332d d 40222==??y x y y I ； 3. 2 1d e d 1002==y y x x y I ．习题⼆极坐标下⼆重积分的计算及⼆重积分的应⽤⼀、填空题：略．⼆、多步填空题提⽰：y x D y x d d e )(22??+-θr D r d rd e 2??-=??π-=2010d e d 2r r θr ?π-=20102)d(e 21d 2r θr θd )e 11(2120-=?π)e 11(π-=．三、求解下列各题 1. π2 2d d )cos(22=+??y x y x D ；（提⽰：化为极坐标下的⼆重积分）； 2. π32=V ；3. 薄⽚的质量为121．第⼗⼀章级数习题⼀数项级数⼀、判断题：略．⼆、选择题：略．三、判断下列级数的敛散性1. ∑∞=-1)1(n n 发散； 2. ΛΛ+++++n21614121发散； 3. ∑∞=+1)1(1n n x 当0>x 或2-21n nn 收敛；5. ∑∞=--112)1(n n n n 收敛； 6. ∑∞=-+13)1(2n n n收敛．习题⼆幂级数⼀、填空题：略．⼆、求解下列各题1. 级数∑∞=+0122n n n x n 的收敛半径为21=R ； 2. 级数∑∞=++012122n n nx n 的收敛半径为22=R ； 3. 级数∑∞=-02)1(n n nn x 的收敛域为)3,1[-； 4. 级数∑∞=-011n n nx 的和函数为2)1(1)(x x S +=； 5. 级数ΛΛ+-+++-123123n x x x n 的和函数为21)11ln()(x x x S -+=．习题三函数的幂级数展开⼀、填空题：略.⼆、求解下列各题1. 展开为ΛΛ++-+-+-+=++)1()2()1(3)2(2)2(22ln )2ln(132n x x x x x n n ，收敛域为]2,2(-∈x ； 2.展开为ΛΛ+-++?-?=+)!2(2)2()1(!42)2(!22)2(sin 21422n x x x x n n ，收敛域为),(+∞-∞∈x ； 3. x 2=ΛΛ++++++n x n x x xx n x x x !2)2(ln !32)2(ln !22)2(ln 2ln 213322，收敛区间为),(+∞-∞∈x ；4. 展开式为∑∑∞=∞=---=++002)2()1(21)1(231n n n n n n x x x x ，收敛区间为)1,1(-.。

高数第一章练习题

高等数学（一）（第一章练习题）一、单项选择题1.设f （1-cos x ）=sin 2x, 则f （x ）=（ A ）+2x +2x2.设x 22)x (,x )x (f =ϕ=，则=ϕ)]x ([f （ D ）A.2x 2B.x 2x3．函数y=31x1ln -的定义域是（ D ） A ．),0()0,(+∞⋃-∞ B ．),1()0,(+∞⋃-∞ C ．(0,1] D ．(0,1)4.函数2x x y -=的定义域是（ D ）A.[)+∞,1B.(]0,∞-C.(][)+∞∞-,10,YD.[0，1]5.设函数=-=)x 2(f 1x x )x 1(f ，则（ A ） A.x 211- B.x 12- C.x2)1x (2- D.x)1x (2- 6.已知f(x)=ax+b,且f(-1)=2,f(1)=-2,则f(x)=（）+3 -3 C7.设f(x+1)=x 2-3x+2，则f(x)=（ B ）+5 +6 C.x 2-5x+2 8．已知f(x)的定义域是[0,3a]，则f(x+a)+f(x-a)的定义域是（）A ．[a,3a]B ．[a,2a]C ．[-a,4a]D ．[0,2a]9．函数y=ln(22x 1x 1--+)的定义域是（ C ）A ．|x|≤1B ．|x|<1C ．0<|x|≤1D ．0<|x|<110.函数y=1-cosx 的值域是（ C ）A.[-1,1]B.[0,1]C.[0,2]D.(-∞,+∞) 11．设函数f(x-1)=x 2-x,则f(x)=（ B ）A ．x(x-1)B ．x(x+1)C ．(x-1)2-(x-1)D ．(x+1)(x-2)12.设函数f (x )的定义域为[0，4]，则函数f (x 2)的定义域为（ D ）A.[0，2]B.[0，16]C.[-16，16]D.[-2，2]13.设f(t)=t 2+1，则f(t 2+1)=（ D ）+1 +2 C.t 4+t 2+1 D. t 4+2t 2+2 14．设1)1(3-=-x x f ，则f (x )=（ B ）A ．x x x 2223++B ．x x x 3323++C ．12223+++x x xD ．13323+++x x x15.下列区间中,函数f (x)= ln (5x+1)为有界的区间是（ C ）A.(-1，51)B.(-51,5)C.(0,51)D.(51,+∞) 16.函数f(x)=arcsin(2x-1)的定义域是（ D ）A.(-1,1)B.[-1,1]C.[-1,0]D.[0,1]17.设函数y =f (x )的定义域为(1，2)，则f (ax )(a <0)的定义域是( B ) A.(a a 2,1) B.（aa 1,2) C.(a ，2a) D.(a a ,2] 18．函数f (x )=2211⎪⎭⎫ ⎝⎛--x 的定义域为（ B ） A ．[]1,1- B ．[]3,1- C ．(-1,1)D ．(-1,3) 19.函数f (x )=21sin 2x x++是（ C ）A.奇函数B.偶函数C.有界函数D.周期函数 20．函数f (x )=ln x - ln(x -1)的定义域是（ C ）A ．(-1,+∞)B ．(0,+∞)C ．(1,+∞)D ．(0,1) 二、填空题1．已知f (x +1)=x 2，则f (x )=________.2.设函数f(x)的定义域是[-2，2]，则函数f(x+1)+f(x-1)的定义域是___________.3．函数y=x ln ln 的定义域是 .4．若f(x+1)=x+cosx 则f(1)=__________.5．函数y=1+ln(x+2)的反函数是______.6．.函数y=arcsin(x-3)的定义域为___________。

高等数学题库第01章(函数,极限,连续).

第一章函数、极限、连续习题一一．选择题1．下列各组中的函数f(x)与g(x)表示同一个函数的是（） A.f(x)=x,g(x)=x2B.f(x)=2lgx,g(x)=lgx2 x,g(x)=x2C.f(x)=xD.f(x)=x,g(x)=-x2.函数y=4-x+sinx的定义域是( )A.[0,1]B.[0,1)(1,4]C.[0,+∞)D.[0,4]3.下列函数中,定义域为(-∞,+∞)的有( ) A.y=x-1323 B.y=x2 C. y=x3 D.y=x-24.函数y=x2-1单调增且有界的区间是( )A. [-1,1]B. [0,+∞)C. [1,+∞)D. [1,2]5.设y=f(x)=1+logx+32,则y=f-(x)=( )A.2x+3B. 2x-1-3C. 2x+1-3D. 2x-1+36.设f(x)=ax7+bx3+cx-1,其中a,b,c是常数,若f(-2)=2，则f(2)=(A.-4B.-2C.-3D.6二．填空题1．f(x)=3-xx+2的定义域是2．设f(x)的定义域是[0,3]，则f(lnx)的定义域是。

3．设f(2x)=x+1，且f(a)=4，则a= 。

4．设f(x+11x)=x2+x2，则f(x)5．y=arcsin1-x2的反函数是。

6．函数y=cos2πx-sin2πx的周期T。

)⎧π⎪sinx,x<17．设f(x)=⎨则f(-)=。

4⎪⎩0,x≥12⎧⎧1,x≤12-x,x≤1⎪⎪8．设f(x)=⎨，g(x)=⎨，当x>1时，g[f(x)]= 。

x>1x>1⎪⎪⎩0⎩29．设f(x)=ax3-bsinx，若f(-3)=3，则f(3)=。

10．设f(x)=2x，g(x)=x2，则f[g(x)]=。

三.求下列极限 x3-1x2-91.lim2 2.lim x→1x-1x→3x-33.limx→52x-1-3+2x2-14. lim x→0xx-5x2-3x+2x+2-35.lim 6. lim3x→1x→1x-xx+1-27.limx→1x+4-2-x-+x 8. lim2x→0sin3xx-1sinx2-49. lim2 x→2x+x-6()习题二1.下列数列中,发散的是( ) 1π2n-11+(-1)n(-1)nA.xn=sinB.xn=5+C.xn=D.xn= nn3n+22n22设limf(x)=A(A为常数),则在点x0处f(x)( ) x→x0A. 一定有定义且f(x0)=AB.有定义但f(x0)可为不等于A的值B. 不能有定义 D.可以有定义,也可以没有定义f(x)=limf(x)是limf(x)存在的( ) 3.lim+-x→x0x→0x→x0A.充分必要条件B. 充分而非必要条件C. 必要而非充分条件D. 既非充分也非必要条件4．limh→0x+h-x=（） hA．0 B.12x C.2x D.不存在x3(1+a)+1+bx2=-1则a,b的值为( ) 5.若limx→∞x2+1A.a=-1,b=-1B. a=1,b=-1C. a=-1,b=1D. a=1,b=16.设limf(x)=A，limg(x)=B，且A>B，则当x充分接近xo时,必有( ) x→x0x→x0A.f(x)≥g(x)B. f(x)>g(x)C. f(x)≤g(x)D. f(x)<g(x)7.数列{xn}有界是收敛的( )A.充分必要条件B. 必要而非充分条件C.充分而非必要条件D.既非充分也非必要条件8.设f(x)=1-x,g(x)=1-x,当x→1时,( )A.f(x)是比g(x)较高阶的无穷小量B. f(x)是比g(x)较低阶的无穷小量C.f(x)与g(x)同阶无穷小量D. f(x)与g(x)等价无穷小量9.当x→0时，为无穷小量的是（）-1A．lnsinx B.sin C.cotx D.ex x1⎧n,n为奇数⎪10.设数列xn=⎨1,则{xn}是( ) ,n为偶数⎪⎩nA.无穷大量B. 无穷小量C.有界变量D. 无界变量二．填空题lnx= 。

高等数学函数(习题)

第一章函数习题1-113、用区间表示满足下列不等式的所有x 的集合(1)3||≤x ； ]3,3[-(2)1|2|≤-x ； ]3,1[(3)ε<-||a x ； ),(εε+-a a(4)5||≥x ； ),5[]5,(+∞--∞(5)2|1|>+x . ),1()3,(+∞--∞14、用区间表示满足下列点集,并在数轴上表示出来：(1)}2|3||{<+=x x A ； )1,5(--(2)}3|2|1|{<-<=x x B . )5,3()1,1( -习题1-22、求下列函数的自然定义域 (2)2112++-=x xy ；解：⎩⎨⎧≥+≠-02012x x ⇒⎩⎨⎧-≥±≠21x x ⇒),1()1,1()1,2[)(+∞---= f D . (4)21arcsin-=x y ；解：121≤-x ⇒2|1|≤-x ⇒]3,1[)(-=f D . (6)1||)3ln(--=x x y ；⎩⎨⎧>->-01||03x x ⇒⎩⎨⎧><1||3x x ⇒)3,1()1,()( --∞=f D . (6)6712arccos 2---=x x x y . 解：⎪⎩⎪⎨⎧>--≤-0617122x x x ⇒⎩⎨⎧>+-≤-0)2)(3(712x x x ⇒⎩⎨⎧>-<≤≤3 243x x x 或－ ⇒]4,3()2,3[)( --=f D .4、确定函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤-=.2||1,1,1|| ,1)(22x x x x x f 的定义域并作出函数图形. 解：函数的定义域为 )2,2()(-=f D .其图形为图形> plot(max((max(1-x^2,0))^(1/2),x^2-1),x=-2..2);7、下列各函数中哪些是周期函数？对周期函数指出其周期(1) x y 2sin =; 解：22cos 1sin )(2x x x f y -===,由于 )(22cos 12)22cos(1)(x f x x x f =-=+-=+ππ, 所以, x y 2sin =是以π为周期的周期函数.注：x T x T x T 2cos )22cos()(2cos 22π=+=+令(2) )cos(θω+=t y (θω,为常数);解：)cos()(θω+==t x f y ,由于)cos()2cos()2(θωθπωωπ+=+±=+t t t f ,, )cos(θω+=t y 是以ωπ2为周期的周期函数.注：)cos()cos()(2θωθωωπω+++=+=t T t T t f T 令 (3) xy 1cos =. 解：x x f y 1cos)(==不是周期函数.因为假设有T ,使得)()(x f T x f =+, 那么 x T x 1cos 1cos =+⇒πk x T x 211+=+ (k 为某整数) ⇒)(2T x x k T x x +++=π⇒)(2T x x k T +=π ⇒ 0=k ⇒0=T .8、设)(x f 为定义在),(l l -内的奇函数,若)(x f 在),0(l 内单调增加,证明)(x f 在)0,(l -内也单调增加.解：)0,(21l x x -∈<∀,有),0(12l x x ∈-<-, ↑)(x f ),0(l ,)()(12x f x f -<-∴,又)(x f 为奇函数,则)()()()(2211x f x f x f x f =--<--=,所以)(x f 在)0,(l -内也单调增加.习题1-33、指出下列函数的复合过程(1)x y 2cos =；解：u y cos =,x u 2=.(2)x e y 1=；解：u e y =,xu 1=.x e y 3sin =；解：u e y =,3v u =,x v sin =.(3))]12arcsin[lg(+=x y ；解：u y arcsin =,v u lg =,12+=x v .4、(1)设12cos )(sin +=x x f ,求)(cos x f . 解：由于2sin 2222cos 12)(sin 2+-=+-⋅-=x x x f , 可见22)(2+-=t t f ,所以x x x f 22sin 22cos 2)(cos =+-=.解2：令x t sin =,则221)sin 21(12cos )(22+-=+-=+=t x x t f ,所以x x x f 22sin 22cos 2)(cos =+-=.(2)设221)1(x x x x f +=+,求)(x f . 解：由于2)1(1)1(222-+=+=+xx x x x x f , 可见2)(2-=t t f , 所以2)(2-=x x f .解2：令xx t 1+=,则22)1(1)(2222-=-+=+=t x x x x t f , 所以2)(2-=x x f .5、已知x x x f -=3)(,x x 2sin )(=ϕ,求)]([x f ϕ,)]([x f ϕ.解：x x x f x f 2sin 2sin )2(sin )]([3-==ϕ,)(2sin ][)]([33x x x x x f -=-=ϕϕ.习题1-42、下列函数中哪些是初等函数？哪些不是初等函数？(1) x x e y 2sin 2+-=;此函数显然是初等函数.(2) )cos 212ln(x x y -+=; 解：此函数显然是初等函数.(3) ⎩⎨⎧<≥-=.0 ,3,0 ,1x x y 解：此函数不是初等函数.(简单的判断:因为函数不连续,由后面知识知函数不是初等函数)(4) ⎩⎨⎧<<+-≤≤-+=.10 ,12,01 ,1x x x x y 图形> plot([x+1,-2*x+1],x=-1..1); 解：令1+=x u ,12+-=x v ,11≤≤-x ，有 2||},min{v u v u v u y --+== 2)]12()1[()12()1(2+--+-+-++=x x x x 2)3(22x x --=, 11≤≤-x ，故此函数是初等函数.3、函数⎩⎨⎧>≤-=.1,,1 ,2x x x x y 能用一个解析式表示吗？为什么？图形> plot([2-x,x],x=-1..3); 解：令x u -=2,x v =,有 2||},max{v u v u v u y -++== 2])2[()2(2x x x x --++-=1)1(2)22(222+-=-+=x x , 故此函数能用一个解析式表示,当然是初等函数.4、由xy 2=的图形作下列函数的图形x y 23⋅=; 图形> plot([3*2^x,2^x],x=-2..2);(2) 42+=x y ; 图形> plot([2^x+4,2^x],x=-2..2);(3) x y 2-=; 图形> plot([-2^x,2^x],x=-2..2);(4) x y -=2. 图形> plot([2^(-x),2^x],x=-2..2);5、由x y lg =的图形作下列函数的图形(1) x y lg 3=;图形> plot([3*ln(x)/ln(10),ln(x)/ln(10)],x=0..2,-2.5..2);(2) 2lg x y =;图形> plot([2*ln(abs(x))/ln(10),ln(x)/ln(10)],x=-2..2,-2.5..2); (3) x y lg =; 图形> plot([1/2*ln(x)/ln(10),ln(x)/ln(10)],x=0..2,-1..1); (4) xy 1lg =. 图形> plot([-ln(x)/ln(10),ln(x)/ln(10)],x=0..2,-1..1);6、由x y sin =的图形作下列函数的图形(1) x y 2sin =; 图形> plot([sin(2*x),sin(x)],x=-2*Pi..2*Pi);(2) x y 2sin 2=; 图形> plot([2*sin(2*x),sin(x)],x=-2*Pi..2*Pi);(3) x y 2sin 21-=; 图形> plot([1-2*sin(2*x),sin(x)],x=-2*Pi..2*Pi);习题1-51、某运输公司规定货物的吨公里运输价为:在a 公里以内,每公里k 元;超过a公里,超过部分每公里k 54元.求运价m 和里程s 之间的函数关系. 解：⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤≤=. ),(54,0 ,a s a s k ka a s ks m2、拟建一个容积为v 的长方体水池,设它的底为正方形,如果池底所用材料单位面积的造价是四周单位面积造价的2倍,试将总造价表示成底边长的函数,并确定此函数的定义域.,设底边长为x ,四周单位面积造价为a ,则水池高为2x v , 那么总造价为 )2(242222xv x a x v x a ax y +=⋅⋅⋅+=, ),0(+∞∈x .3、设一矩形面积为A ,试将周长s 表示为宽x 的函数,并求其定义域. 解：依题意,矩形的长为x A ,于是周长s 为 )(2xA x s +=, ),0(+∞∈x .4、在半径为r 的球内嵌入一圆柱,试将圆柱的体积表示为其高的函数,并确定此函数的定义域.解：依题意,设圆柱的高为h ,圆柱的半径为22)2(hr -,那么圆柱的体积为 )4()2(22222h r h h h r y -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ππ, )2,0(r h ∈.5、用铁皮做一个容积为v 的圆柱形罐头筒,试将它的全面积表示成底半径的函数,并确定此函数的定义域.解：依题意,设底半径为r ,则圆柱形底面积为2r π,高为2r v π,那么全面积为 )(222222rv r r v r r S +=⋅+=ππππ, ),0(+∞∈r .6、按照银行规定,某种外币一年期存款的年利率为%2.4,半年期存款的年利率为%0.4,每笔存款到期后,银行自动将其转为同样期限的存款,设将总数为A 单位货币的该种外币存入银行,两年后取出,问存何种期限的存款能有较多的收益？多多少？解：依题意,半年期存款两年后本利和为41%)0.45.01(⨯+=A A ,一年期存款两年后本利和为22%)2.41(+=A A ,由于 A A A A A 00333184.0%)0.45.01(%)2.41(4212=⨯+-+=-.所以, 一年期存款有较多的收益,多A 00333184.0.7、某工厂生产某种产品,年产量为x ,每台售价250元,当年产量600台以内时,可以全部售出, 当年产量超过600台时,经广告宣传又可再多售出200台,每台平均广告费20元,生产再多,本年就售不出去了,建立本年的销售总收入R 与年产量x 的函数关系.解：(1)当6000≤≤x 时, x R 250=；(2)当800600≤<x 时,12000230)600(20250+=--=x x x R ；(3)当800>x 时,19600012000800230=+⨯=R .所以⎪⎩⎪⎨⎧>≤<+≤≤=.800 ,196000,800600 ,12000230,6000 ,250x x x x x R习题1-61、某厂生产录音机的成本为每台50元,预计当以每台x 元的价格卖出时,消费者每月购买x -200台,请将该厂的月利润表达为价格x 的函数.解：依题意,月收入为)200(x x R -=,成本为)200(50x C -=,则月利润为)50)(200()200(50)200(--=---=-=x x x x x C R L .2、当某商品价格为P 时,消费者对该商品的月需求量为P P D 20012000)(-=.(1)画出需求函数图形；(2)将月销售额(即消费者购买此商品的支出)表达为价格的函数；(3)销售额的图形,并解释其经济意义.解：(1) 图形> plot(12000-200*p,p=0..61);(2)月销售额220012000)()(P P P D P P R -=⋅=.(3) 图形> plot(12000*p-200*p^2,p=0..61);由于180000)30(20020012000)(22+--=-=P P P P R ,于是 ①当商品价格不超过30时,月销售额随价格上涨而增加；②当商品价格达到30时,月销售额随价格达到最大180000；③当商品价格超过30时,月销售额随价格上涨而减少；④当商品价格达到60时,因无需求量而使得月销售额0.3、报纸的发行量以一定的速度增加,三个月前发行量为32000份,现在为44000份.(1)写出发行量依赖于时间的函数关系,并画出图形；2个月后的发行量是多少？解：(1)依题意,报纸的发行量每月增加400033200044000=-份,若以现在为时间起点,用x 表示报纸发行的月份数,那么发行量为440004000+=x y . 图形> plot(4000*x+44000,x=0..2);(2)2个月后的发行量是520004400024000=+⨯=y 份.4、某厂生产的手掌游戏机每台可卖110元,固定成本为7500元,可变成本为每台60元.(1) 要卖多少台手掌机,厂家才可保本(收回投资)？(2) 卖掉100台的话,厂家赢利或亏损了多少？(3) 要获得1250元利润,需要卖多少台？解：依题意,设手掌机卖掉x 台,则厂家赢利为750050)607500(110-=+-=-=x x x C R L .(1)令0750050=-=x L ,有150=x ,即要卖150台手掌机,厂家才可保本.(2)因2500750010050-=-⨯=L ,可见卖掉100台的话,厂家亏损2500元.(1)令1250750050=-=x L ,有175=x ,即要获得1200元利润,需要卖175台.5、有两家健身俱乐部,第一家每月会费300元,每次健身收费1元, 第二家每月会费200元,每次健身收费2元,若只考虑经济因素,你会选择哪一家俱乐部(根据年每月健身次数决定)？解：依题意,设每月健身次数为x 次,则第一家与第二家消费费用差额为x x x y -=+-+=100)2200()300(.所以,当每月健身次数小于100次时,0>y ,说明第一家比第二家消费费用要高,当然选择第二家,否则应选择第一家.6、设某商品的需求函数与供给函数分别为PP D 5600)(=和10)(-=P P S . (1)找出均衡价格,并求此时的供给量与需求量；(2)在同一坐标中画出供给与需求曲线；(3)何时供给曲线过P 轴,这一点的经济意义是什么？(1)令)()(P S P D =,即105600-=P P,得均衡价格80=P . 此时的供给量70805600)80(==D ,需求量701080)80(=-=S . (2) 图形> plot([5600/p,p-10],p=8..100);(3)令010)(=-=P P S ,得10=P ,说明只有当商品的价格超过10时,才有厂家愿意生产并提供该商品出售.7、某化肥厂生产某产品1000吨,每吨定价为130元,销售量在700吨以内时,按原价出售,超过700吨时超过的部分需打9折出售,请将销售总收益与总销售量的函数关系用数学表达式表出.解：设总销售量为Q 吨, 销售总收益为R 元,依题意有(1)当7000≤≤Q 时, Q R 130=； (2)当1000700≤<x 时,9100117)700(%90130700130+=-⨯⨯+⨯=Q Q R .所以⎩⎨⎧≤<+≤≤=.1000700 ,9100117,7000 ,130Q Q Q Q R8、某饭店现有高级客房60套,目前租金每天每套200元则基本客满,若提高租金,预计每套租金每提高10元均有一套房间空出来,试问租金定为多少时,饭店房租收入最大？收入多少元？这时饭店将空出多少套高级客房？解：依题意,设每套租金提高n 10元,59,,2,1,0 =n ,饭店房租收入为1200040010)60)(10200(2++-=-+=n n n n R16000)20(102+--=n . 可见,当20=n 时, 房租收入达到最大16000=R 元,此时每套租金为4002010200=⨯+元,这时饭店将空出20=n 套高级客房.。

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习题一
1．y ＝lg （－x 2）是不是函数关系？为什么？
2．Y ＝1
12--x x 与y ＝x ＋1是不是相同的函数关系？什么？ 3．确定下列函数定义域：
（1）y ＝29x - （2）y ＝211
x -＋2+x
（3）y ＝4
5
2+-x （4）y ＝arcsin 21-x （5）y ＝1－e 1－x2 （6）y ＝1
||)
3lg(--x x （7）y ＝45lg 2x x - （8）y ＝6712arccos 2---x x x
4．已知 f （x ）＝x 2－3x ＋2，求f （0），f （1），f （2），f （－x ），f （
x 1），f （x ＋1） 5．设f （x ）＝x
x -1，求f[f (x)]和f{f[f (x)]} 6．如果f （x ）＝x 5－2x 3＋3x ，证明f （－x ）＝－f （x ） 7．如果f （x ）＝1
1
+---x x e e ，证明f （－x ）＝－f （x ） 8．如果f （x ）＝x
x cos 12
-，证明f （－x ）＝f （x ） 9．如果f （x ）＝a x ，证明
f （x ）·f （y ）＝f （x ＋y ），
)()(y f x f ＝f （x －y ） 10．如果f （x ）＝log a x ，证明
f （x ）＋f （y ）＝f （x·y ）， f （x ）－f （y ）＝f （
y
x ） 11．确定下列函数的定义域并作出函数图形：（1）f （x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧<=>0
100
01x x x
（2））f （x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤-2||11
1||12x x x x 12．将函数y ＝5－|2x －1|用分段形式示，作出函数图形。

13．设f （x ）＝⎪⎩
⎪⎨⎧>=<0100
01x x x ，求f （x －1），f （x 2－1） 14．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤=+21210)1(2
x x x x x ϕ，求)(x ϕ
15．判断下列函数的奇偶性：
（1）y ＝21
x
（2）y ＝tanx （3）y ＝a x （4）y ＝2
x
x a a -+ （5）y ＝x ＋sinx （6）y ＝xe x
（7）y ＝lg x
x +-11 16．判断下列函数的单调增减性：（1）y ＝2x ＋1 （2）y ＝（
21）x （3）y ＝log a x （4）y ＝1－3x 2
（5）y ＝x ＋lgx
17．函数y ＝cos3x 的周期是多少？
18．求下列函数的反函数：
（1）y ＝2x ＋1 （2）y ＝2
2-+x x （3）y ＝x 3＋2 （4）y ＝1＋lg （x ＋2）
19．如果y ＝u 2， u ＝log a x ，将y 表成x 的函数。

20．如果y ＝u ，u ＝2＋2υ，υ＝cosx ，将y 表成x 的函数。

21．如果f （x ）＝3x 3＋2x ，ϕ（t ）＝lg （l ＋t ），求f[ϕ（t ）]。

22．下列函数可以看成由哪些简单函数复合而成：
（1）y ＝13-x （2）y ＝a 31x +
（3）y ＝（1＋lnx ）5 （4）y ＝e e-x2
（5）y=x ln （6）y ＝lg 2arccosx 3
23．分别就a ＝2，a ＝2
1，a ＝－2讨论y ＝lg （a －sinx ）是不是复合函数。

如果是复合函数，求其定义域。