浙教版八下二次根式题型归纳总结
浙教版2022-2023学年数学八年级下册第1章二次根式1
浙江版2022-2023学年度下学期八年级数学下册第1章二次根式1.3 二次根式的运算（2）【知识重点】一、同类二次根式：1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.2.注意：一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式. 要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数或因式，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断.3.同类二次根式合并法则：“同类二次根式相加减，根式不变，系数相加减”. 二、二次根式的运算法则：实数的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序相同，而且有理数的运算法则、运算律以及运算公式在实数范围内仍然适用.【经典例题】【例1】若最简二次根式√x 2+3x 与√x +15是同类二次根式，则x 的值是 ．【例2】如果最简根式 √3a −8 与√17−2a 是同类二次根式，那么使√4a −2x 有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x≤10 B ．x≥10 C ．x ＜10 D ．x ＞10 【例3】计算：（1）(√27−3√13)÷√3×√20−(2+√5)2．（2）√8+√32−(√2−4√12)【例4】a=1√2−1，b=1√2+1，则a +b −ab 的值是 ．【例5】已知x =5−√17√17−3，y =√17−35−√17，则4x 2−3xy +4y 2= ．【基础训练】1．若最简二次根式√x +3与最简二次根式√2x 是同类二次根式，则x 的值为（ ） A ．x ＝0 B ．x ＝1 C ．x ＝2 D ．x ＝3 2．已知二次根式√32−a 与√8化成最简二次根式后，被开方数相同，则符合条件的正整数a 有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．计算 4√12+3√13−√8 的结果是（ ）A ．√3+√2B ．√3C ．√33D ．√3−√24．化简 √12−√0.5−√13+√18 的结果是 .5．若最简二次根式√2−3a 与√2a +7可以合并，则a 的值为 ．6．已知x ，y 是两个不相等的有理数，且满足等式(3√2−1)x =3−√2y ，则x = ；y = ．7．计算（1）√12−√127+√48（2）√24 × √13 -4× √18 ×(1- √2 )0-( √23)-1（3）(2 √48 -3 √27 )÷ √3 -( √2 - √3 )28．计算：（1）√48÷√3－√12×√12＋√24；（2）√8－18√48－（23√412－2√34）；（3）（2－√3）2017×（2＋√3）2016－2|−√32|－（－√2）0（4）（a ＋2√ab ＋b ）÷（√a ＋√b ）－（√b －√a ）．【培优训练】9．下列二次根式中，同类二次根式是（ ）A ．√81ab 3和3√a 316bB ．√4a 2b 和和√2abC ．√a 3bc 和和√bcD ．√a 3+b 2和和√a 2+b 3 10．我们知道6−√2的小数部分b 为2−√2，如果用a 代表它的整数部分，那么ab 2−a 2b 的值是（ ） A ．8 B ．－8 C ．4 D ．－4 11．已知x 为实数，化简√−x 3−x √−1x的结果为（ ）A ．(x −1)√−xB ．(−1−x )√−xC ．(1−x )√−xD ．(1+x )√−x 12． 化简 −√−a +√−a 3−a √−1a＝ .13．已知：m+n ＝10，mn ＝9，则 √m−√n√m+√n＝ ．14．先化简，再求值： [4(√x+√y)(√x−√y)+√x+√y √xy(√y−√x)]÷√x−√y √xy，其中x ＝1，y ＝2．15．若x，y为实数，且y＝√1−4x＋√4x−1＋12．求√xy+2+yx－√xy−2+yx的值．16．已知：x＝√3+√2√3−√2，y＝√3−√2√3+√2，求x3−xy2x4y−2x3y2+x2y3的值．17．计算（√a＋b−√ab√a+√b ）÷（a√ab+b＋b√ab−a－a+b√ab）（a≠b）．18．已知函数y=kx，其中x>0，且满足√xy−y√xy−x +3=0.（1）求k；（2）求√xy−3yx+2√xy+y的值.19．观察下列格式，√5−12-√5−1，√8−222√8−2，√13−322√13−3，√20−422√20−4…（1）化简以上各式，并计算出结果；（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．20．先阅读，再解答问题：恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法.利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式.例如：当x =√3+1时，求12x 3−x 2−x +2的值.为解答这道题，若直接把x =√3+1代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答.方法：将条件变形，因x =√3+1，得x −1=√3，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算.由x −1=√3，可得x 2−2x −2=0，即x 2−2x =2，x 2=2x +2.原式=12x(2x +2)−x 2−x +2=x 2+x −x 2−x +2=2.请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题： （1）若x =√2−1，求2x 3+4x 2−3x +1的值；（2）已知x =2+√3，求x 4−x 3−9x 2−5x+5x 2−4x+3的值.21．如果记 y =x 1+x =f(x) ，并且 f(√1) 表示当 x =√1 时y 的值，即 f(√1)=√11+√1=12 ；f(√2) 表示当 x =√2 时y 的值，即 f(√2)=√21+√2； f(√12) 表示当 x =√12 时 y 的值，即 f(√12)=√12√12=√2+1；… （1）计算下列各式的值：f(√2)+f(√12)= .f(√111)+f(√1111)= .（2）当n 为正整数时，猜想 f(√n)+f(√1n) 的结果并说明理由；（3）求 f(√1)+f(√2)+f(√12)+f(√3)+f(√13)+⋅⋅⋅+f(√100)+f(√1100) 的值.【直击中考】22．计算：√12−2√3= ．23．估计(2√5+5√2)×√15的值应在（ ）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间24．计算(√27+√18)(√3−√2)=；25．计算√24−√65×√45的结果是．26．计算：(√5+12−1)⋅√5+12=（）A．0B．1C．2D．√5−1227．从√2，−√3，−√2这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（）个.A．0B．1C．2D．328．人们把√5−12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数.设a=√5−12，b=√5+12，则ab=1，记S1=11+a+11+b，S2=11+a2+11+b2，…，S10=11+a10+11+b10.则S1+S2+⋯+S10=.。
浙教版八年级数学下册各章节知识点及重难点整理（版）
第一章二次根式知识点一：二次根式的概念二次根式的定义：形如（a≥0）的代数式叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。
但与都是非负数，即，。
因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七: 最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
浙教版八年级数学下册各章节知识点及重难点整理（版）
第一章二次根式知识点一：二次根式的概念二次根式的定义：形如（a≥0）的代数式叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。
但与都是非负数，即，。
因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七: 最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
浙教版八年级下第一章二次根式复习
⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 二次根式一、本章知识内容归纳1.概念：①二次根式——形如 的式子；当 时有意义，当 时无意义；②最简二次根式——根号中不含 和 的二次根式；③同类二次根式—— 的二次根式。
2.性质：①)0(0≥≥a a 非负性; ②)0()(2≥=a a a ;?③ (分类讨论思想：字母从根号中开出来时要带绝对值 再根据具体情况判断是否需要讨论)3.运算: 运算结果每一项都是最简二次根式，且无可合并的同类二次根式.①乘法和积的算术平方根可互相转化:)0,0(≥≥=⋅b a ab b a ;②除法和商的算术平方根可互相转化:)0,0(>≥=b a ba b a③加减法：先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式；④混合运算：有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用；《二、本章常用方法归纳方法1.分母有理化：①常用的有理化因式：a 与a 、b a +与b a -、b a +与b a -互为有理化因式；②分母有理化步骤：先将二次根式尽量化简，找分母最简有理化因式；将计算结果化为最简二次根式的形式。
方法2. 非0的二次根式的倒数 ①a 的倒数：a a a a ==11（a>0）; ②b a 的倒数：a b （a>0, b>0）; ! ③※因为=-+++)1)(1(n n n n ， 所以)1(n n ++的倒数为 。
方法3. 利用“”外的因数化简“” ①a aa a a ==1)0(≥a ； ②)0,0(2≥≥=b a b a b a三、本章典型题型归纳（一）二次根式的概念和性质！1．x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义（1）2+x －x 23-； （2）x -－11+x ； （3）2||12--x x ；2．若x 、y 为实数，y ＝2-x ＋x -2＋3．则y x=(3．根据下列条件，求字母x 的取值范围：（1）3)3(2+=+x x ； （2）x x -=2；（3）122+-x x ＝1－x ； （4）※22)3()2(-+-x x ＝14．在实数范围内因式分解：x 4－4＝______________．5．已知a,b,c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+= $6.若最简二次根式1452+x 与最简二次根式164-x 可以合并，则x 的取值为——————※7．把mm 1-根号外的因式移到根号内，得______________ 8．若y=5-x +x -5+2018，则x+y=______________。
浙教版八下二次根式题型归纳总结
浙教版八下二次根式题型归纳总结一、知识框架1. 二次根式：式子7a (a At)叫做二次根式。
2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中丕立汁方犬地尽电H数或国式…….；⑵被开方数中丕含分生；⑶分母中丕登根虫。
3. 同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4. 二次根式的性质：「a( a > 0)(1) (奇a ) =a ( a >Q ；(2) (a2=|a—0 ( a =0)•L—a( a v 0)5. 二次根式的运算：(1) 因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，？变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2) 二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.(3) 二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商) 仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.b b 小Vab = 4a•布(a>Q b>0 ；—=—；=(b AQ a>0).a a(4) 有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，？乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.三、例题讲解1、概念与性质□,2)R,3) —J x2 +2,4)74,5) J(一〕)2,6) ^/T^,7)Ja2—2a + 1 ,其例1下列各式1)5 . 3中是二次根式的是 (填序号)例2、求下列二次根式中字母的取值范围------ 1X 52(1) 寸3— x；(2)v(x - 2)例3、在根式1) J a2十b2;2) J X；3) J x2— xy;4) J27abc，最简二次根式是( )A. 1) 2) B . 3) 4) C . 1) 3) D . 1) 4)' Iy Z商+1,求代数式件+y +2 一u _2的值。
浙教版数学八年级下册二次根式的运算
w 二次根式的运算【知识梳理】1、 当0≥a 时，称a 为二次根式，显然0≥a 。
2、 二次根式具有如下性质： （1）()()02≥=a a a ；（2）⎩⎨⎧<-≥==时；，当时，，当002a a a a a a（3）()00≥≥⋅=b a b a ab ，；（4）()00>≥=b a bab a ，。
3、二次根式的运算法则如下： （1）()()0≥±=±c c b a c b c a ； （2）()()0≥=a a a n n。
4、设Q m d c b a ∈，，，，，且m 不是完全平方数，则当且仅当d b c a ==，时，m d c m b a +=+。
5、二次根式是代数式中应掌握的非常复杂的内容，其运算常用到换元、拆项相消、分解相约等方法，还应注意运用乘法公式、分母有理化等技巧，最后的结果一定要化成最简二次根式的形式。
6、最简二次根式与同类二次根式 （1）一个根式经过化简后满足： 被开方数的指数与根指数互质；被开方数的每一个因式的指数都小于根指数； 被开方数不含分母。
适合上述这些条件的根式叫做最简根式。
（2）几个根式化成最简根式后，如果被开方数都相同，根指数也都相同，那么这几个根式叫做同类根式。
【例题精讲】【例1】已知254245222+-----=xx x x y ，则=+22y x ___________________。
【巩固一】若y x ，为有理数，且42112=+-+-y x x ，则xy 的值为___________。
【巩固二】已知200911+-+-=x x y ，则=+y x _______________________。
【拓展】若m 适合关系y x y x m y x m y x --⋅+-=-++--+19919932253，求m 的值。
【例2】当b a 2<时，化简二次根式ab ab a b a a 22442+--。
【巩固】1、化简()2232144--+-x x x 的结果是__________________。
初二数学浙教版下册二次根式的运算知识点
初二数学浙教版下册二次根式的运算知识
点
知识点
二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减.
(1)二次根式的加减：
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数.
(2)二次根式的乘除：
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式.
(3)二次根式的混合运算：
先乘方(或开方)，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的;能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算.
注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法
公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便.二次根式运算结果应尽可能化简.另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数.
课后练习
二次根式的运算知识点的全部内容就是这些，不知道大家是否已经都掌握了呢？预祝大家可以更好的学习，取得优异的成绩。
浙教版初中数学八年级下册二次根式全章复习与巩固(提高)知识讲解
《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（提高）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】知识点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式0)a ≥等式子，都叫做二次根式.要点诠释：有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子才有意义.2.二次根式的性质 （1）； （2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2=（0a ≥），如22212;;3x ===（0x ≥）.（2）a 的取值范围可以是任意实数，即不论a .（3a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42的异同a 可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a ，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 2.3. 最简二次根式1）被开方数是整数或整式；2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.都是最简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.显然是同类二次根式.知识点二、二次根式的运算 1. 乘除法（1）乘除法法则：类型 法则 逆用法则二次根式的乘法0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥≥二次根式的除法0,0)a b=≥>商的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如= （2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二=+-=次根式，最后合并同类二次根式.(13【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1． x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)； (2).【答案】（1）;（2）.【解析】(1) 要使在实数范围内有意义，则必有∴当时，在实数范围内有意义；(2) 要使在实数范围内有意义，则必有∴当时，在实数范围内有意义；a≥才是二次根【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0式.举一反三：【变式】已知，求的值.【答案】根据二次根式的意义有将代入已知等式得2.（2016•柘城县校级一模）把-中根号外的因式移到根号内的结果是( ).A B ． C ． D 【答案】A.【解析】由二次根式的意义知10a-> ，则0a <-==.【总结升华】反过来将根号外的因式移到根号内时，也必须向里移非负数。
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最新浙教版八下二次根式题
型归纳总结
-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
最新浙教版八下二次根式题型归纳总结 - 百度文库1、知识框架
1. 二次根式：式子（≥0 ）叫做二次根式。
2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴ 被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵ 被开方数中不含分母；
⑶ 分母中不含根式。
3. 同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4. 二次根式的性质：
（ 1 ）（） 2 = （≥0 ）；（ 2 ）
5. 二次根式的运算：
（ 1 ）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式， • 变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（ 2 ）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（ 3 ）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
= ·（a≥0 ，b≥0 ）；（b≥0 ， a>0 ）．
（ 4 ）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律， • 乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
三、例题讲解
1 、概念与性质
例 1 下列各式 1 ），其中是二次根式的是 _________ （填序号）．
例 2 、求下列二次根式中字母的取值范围
（1）；（ 2 ）
例 3 、在根式 1) ，最简二次根式是（）
A ． 1) 2)
B ． 3) 4)
C ． 1) 3)
D ． 1) 4)
例 4 、已知：
例 5 、已知数 a ， b ，若=b － a ，则 ( )
A. a>b
B. a<b
C. a≥b
D. a≤b
2 、二次根式的化简与计算
例 1 . 将根号外的 a 移到根号内，得 ( )
A. ；
B. －；
C. －；
D.
例 2 . 把（ a － b ）化成最简二次根式
例 3 、计算：
例 4 、先化简，再求值：
，其中 a= ， b= ．
例 5 、如图，实数、在数轴上的位置，化简：
3 、在实数范围内分解因式
例 . 在实数范围内分解因式。
（ 1 ）；（ 2 ）
4 、比较数值
（ 1 ）、根式变形法
当时，如果，则；如果，则。
例 1 、比较与的大小。
（ 2 ）、平方法
当时，如果，则；如果，则。
例 2 、比较与的大小。
（ 3 ）、分母有理化法
通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
例 3 、比较与的大小。
（ 4 ）、分子有理化法
通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
例 4 、比较与的大小。
（ 5 ）、倒数法
例 5 、比较与的大小。
（ 6 ）、媒介传递法
适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
例 6 、比较与的大小。
（ 7 ）、作差比较法
在对两数比较大小时，经常运用如下性质：
；
例 7 、比较与的大小。
（ 8 ）、求商比较法
它运用如下性质：当 a>0 ， b>0 时，则：
；
例 8 、比较与的大小。
5 、规律性问题
例 1 . 观察下列各式及其验证过程：
，验证：；
验证 : .
（ 1 ）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果，并进行验证；
（ 2 ）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2 ，且 n 是整数 ) 表示的等式，并给出验证过程 .
例 2 . 已知，则 a _________
举一反三：已知，则 a
______ 。
例 3 、化简下列各式：
（ 1 ）（ 2 ）
例 4 、已知 a>b>0 ， a+b=6 ，则的值为（）
A ．
B ． 2
C ．
D ．
例 5 、甲、乙两个同学化简时，分别作了如下变形：
甲：= = ；
乙：= 。
其中，（）。
A. 甲、乙都正确
B. 甲、乙都不正确
C. 只有甲正确
D. 只有乙正确
三、课堂练习
1 ．对于以下四个命题：① 若直角三角形的两条边长为 3 与 4 ，则第三边的长是5 ；② （）
2 =a ；③ 若点 P （ a ， b ）在第三象限，则点 Q （﹣ a ，﹣ b ）在第一象限；④ 两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确的说法是（）
A ．只有① 错误，其他正确
B ．①② 错误，③④ 正确
C ．①④ 错误，②③ 正确
D ．只有④ 错误，其他正确
2 ．使式子成立的条件是（）
A ．a≥5
B ． a ＞ 5
C ．1 ≤a≤5
D ．1 ≤a ＜ 5
3 ．若
4 与可以合并，则 m 的值不可以是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
4 ．当 x ＞ 3 时，﹣ 1 化简的结果是（）
A ． 2 ﹣ x
B ． x ﹣ 4
C ． x
D ．﹣ x
5 ．当 x ＜ 0 时，二次根式化简的结果是（）
A ．
B ．﹣
C ．
D ．﹣
6 ．在二次根式，，，，，中，最简二次根式的个数是（）
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
7 ．若整数 m 满足条件=m+1 且 m ＜，则 m 的值是（）
A ． 0 或 1
B ．﹣ 1 、 0 或 1
C ． 0 或﹣ 1
D ．﹣ 1
8 ．如果 ab ＞ 0 ， a+b ＜ 0 ，那么下面各式：① = ，② • =1 ，③
÷ = ﹣ b ，其中正确的是（）
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①②③
4、课后练习
化简：+2x ﹣ x 2
已知，则
已知 ab=2 ，求的值
已知： a ＜ 0 ，化简
已知 1 ＜ x ＜ 2 ，，求的值若实数 a 满足 |a ﹣ 8|+ =a ，则 a 的值是多少 . 若 0 ＜ a ＜ 1 ，化简 |1 ﹣ a|+
有下列计算：
① （ m 2 ） 3 =m 6 ，
② ，
③m 6 ÷m 2 =m 3 ，
④ ，
⑤ ，
其中正确的运算有．
化简
计算
对于任意不相等的两个数 a ， b ，定义一种运算※如下： a※b= ，如 3※2= ．那么 1 5 ※ 6 的值是多少？
实数 a ， b ， c 在数轴上的对应点如图所示，化简 a+|a+b| ﹣﹣ |b ﹣ c|。