二次根式考试题型汇总
二次根式考试题型汇总
二次根式考试题型汇总二次根式题型一：二次根式的定义例1、（1）求自然数n的值，使得18-n是整数。
2）当x≥-1时，求式子√(x+1)+√(1-x)的值。
题型二：二次根式有意义的条件例2、当x>-1时，二次根式√(x+1)有意义。
例3、已知x、y为实数，y=√(y^2+8y+16-3xy)，求y的值。
例4、已知y=√(x-3)+3-√(x+4)，求x的值使得有意义。
题型三：二次根式的性质与化简例5、已知实数a，b在数轴上的位置如图所示：化简(1/(a+3))^2-(1/(b-23))^2.例6、计算(1/(x-1))-((1-x)/(x-1)(x+1))。
已知a、b、c为正数，d为负数，化简(ab-c^2d^2)/(ab+cd)^2.例7、化简求值：1）(a^2-a+b)/((c-a)^2+b+c)；2) 11/[(2-1)/(2+1)+(2-1-√2)/(2-1+√2)]；3）若x<y<z，则x^2-2xy+y^2+z^2-2yz+xz；4）[(x-1)^2+4-(x+1)^2]/(x^2-1)；5）化简(a<0)得-1/(a)。
6）当a<0，b<0时，-a+2ab-b可变形为(a-b)^2.题型四：最简二次根式例8、下列式子中，属于最简二次根式的是9，而1/√3和√(9+x^2)都不是最简二次根式。
题型五：二次根式的乘除法例9、已知m=(3/3-2)(3/3+2-1)，则有-5<m<-4.例10、计算：1）(5-3+2)(5-3-2)；2) (a+3b)/(a+b)-(a-b)/(a+2b)；3）(a^2/n-m^2/mn+n)/(a^2b^2)；4）(a+b)/(ab+b-a)/(ab-a).a≠b)．(5) a5+2a3b2+ab4 (6) 3/2 4/53/2 a/b (7) a/b ab (a,b>2012) (8) (23-3)/(23+3)2013答案解析：a≠b)．(5) a5+2a3b2+ab4 (6) 3/2 4/53/2 a/b (7) a/b ab (a,b>2012) (8) (23-3)/(23+3)2013解析：a≠b)．(5) a5+2a3b2+ab4 (6) 3/2 4/53/2 a/b (7) a/b ab (a,b>2012) (8) (23-3)/(23+3)20131.求解x的值：$$\frac{x+a}{x^2+a^2}+\frac{2x-x^2+a^2}{x^2-a^2}+\frac{1}{x^2+a^2/2}$$2.若x，y为实数，且$y=1-4x+4x^{-1}+x^{-2}$，求$\frac{x+y}{y+x^2}-2\frac{y}{yx^2}$的值。
二次根式常见题型总结
va +2 题型2最简二次根式、同类二次根式考查形式选择题或填空题4. 下列根式中是最简二次根式的是l2L(A )J 2(B )朽 35. 下列根式中,不能与合并的是ij1 二次根式常见题型总结题型1二次根式的概念(后面附答案)考查形式选择题或填空题1. 如果：二1是二次根式，那么x,y 应满足的条件是【】y(A )x ±l,y ±0(B )y (x -1,三0x €1(C )——±0(D )x ±1,y >0y2. 若代数式丄+<!有意义，则实数x 的取值范围是【】x -1(A )x …1(B )x ±0(C )x ...0(D )x ±0且x (1)3. 要使式子「「有意义，则a 的取值范围为. 【】 (C )3(D )<12【】(C )(D )<123 6.若最简二次根式3b -a +2与J 4b -a 是同类二次根式，则a =,b =.题型3二次根式的化简求值考查形式选择题、填空题、解答题i1n7.若y=r-2+Y2-x-6，则xy=8.'若y=Qx—3+&3—x+2,贝Ux y=.9.若彳x2+x€0侧x的取值范围是.10.若、：m一3+(n+1)2€0，求(m+2n)2020的值.11.先化简，再求值:仝二-_^，其中x€1+2勇,y€1…2訂・x-yx-y12.已知函数y=(m-3)x+n-2(m,n为常数)的图象如图所示,化简: |m-3一、：n2-4n+4.题型4二次根式的计算考查形式选择题、填空题、计算题13.下列等式不成立的是(A)3、辽…2运€6、.：6(B)J8一迈€4 (C)v8-迈€迈2_(2A&-1V3+1_\3 14.计算:15.计算:+2-J 5+(-1)2019-J_x V45;3(2)、18+ (.2-1)-、9+题型5探究活动考查形式解答题3|_T2 16.在进行二次根式的化简时,我们有时会遇到形如丄,厶的式子，其实J5\3<3+1我们还可以将其进一步化简:33x 叮53>/5二二;（口）■v'5v'5x -55vl 仝心）€2；3;(—,T⑴…近-2右+ 1） 込』=v3-1・（□）22…3-1 <3€1…<3+1①参照（III）式化简②参照（W）式化简以上这种化简的步骤叫做分母有理化.芋1还可以用以下方法化简:1）请用不同的方法化简(2)化简:丿€1..€.1€•••+・3+1v5€\：3V7€x5\：2n+1€\2n—1题型6定义新运算17.对于任意的正数m,n定义运算※为:观※n…]丫"-"，计算（3探2）<[xl m€Jn,m<n竹※12）的结果为.<3+1…m—3-\；(n-2)2二次根式常见题型总结答案1.C2.D3.a>—24.B5.C6.1,17.—38.99.x<010.解:°・°Y m一3+(n+1)2 0<m一3±0,(n+1)2±0m—3...0,n+1 0m…3,n…—1・：(m+2n)2020…(3—2)2020…1.11.解：旦—旦……,x…y)(x-y)…x+yx—yx—yx—y当x…1+2打,y…1—2<3时原式…1+2^3+1—2心3…2.12.解:由函数的图象可知:m—3>0,n—2<0m>3,n<2…m—3—|n—2…m—3—(2—n)…m+n—5. 13.BI1114.解：(1)3J12—2」—+6語—型+4石L2爲…I3丿解:(2)I、运—1+1)—(—2爲)…12—1—(—413+12)…11—13+4打…—2+4、.3.+12-+(—1)2019—1x<45一2•=1+v5—2—1€解:（2）<18+v9+<1)-1 <2丿=3<2+3—2•、辽—3+2=、辽+2.2=J5—^3亠上+覇）G-訂）=込—再<5+v'3 <5+<3（2）十.（过程略）。
二次根式考试题型汇总
二次根式题型一 二次根式的定义例1、（1）18n -是整数，求自然数n 的值．（2）当x __________时，式子31-x 有意义．题型二 二次根式有意义的条件例2、当x 时，二次根式1x +有意义。
例3、已知x 、y 为实数，229913x x y x -+-+=-，求5x+6y 的值．例4、已知334y x x =-+-+，求238163y y xy ++-的值。
题型三 二次根式的性质与化简例5、已知实数a ，b 在数轴上的位置如图所示： 试化简()()22223232a b a ab b +----+例6、计算（1）()13218---+ （2）()211111x x x ⎛⎫-∙- ⎪-+⎝⎭（3）已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2222dc abd c ab +-＝______．例7、化简求值（1）化简：()22a a b c a b c -++-++（2）先化简再求值：22211xy x y x y x y ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，其中21,21x y =+=-（3）若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝（ ）（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y（4）若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1(2-+xx 等于（ ）（A ）x 2 （B ）－x2（C ）－2x （D ）2x （5）化简aa 3-(a ＜0)得（ ）（A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a（6）当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为（ ）（A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a ---题型四 最简二次根式 例8、（1）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A ．9 B ．7 C ．20 D ．13（2）x 8，31，29x +都不是最简二次根式．（ ）题型五 二次根式的乘除法例9、已知()32213m ⎛⎫=-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭，则有（ ） A ．5＜m ＜6 B ．4＜m ＜5 C ．-5＜m ＜-4 D ．-6＜m ＜-5例10、计算（1）（235+-）（235--）（2）（a ＋ba abb +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）．（3）（a 2m n －mab mn ＋m nn m ）÷a 2b 2mn（4）（a ＋ba abb +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）．（5）53242a a b ab ++ （6）121232413535⎛⎫⎛⎫÷⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（7）()1,0a ab a b b ab÷∙> （8）()()20122013233233-∙+题型六 分母有理化 例11、已知123,b 23a =+=-，则a 与b 的关系为（ ） A ．a=b B ．ab=1 C ．ab=-1 D ．a=-b 例12、当a ＜0时，化简2a b-的结果是（ ） A.a b b - B.a b b - C.a b b -- D.a b b例13、已知123a =+，则221a a -+的值为（ ） A. 31- B. 13- C. 113+ D.113- 题型七 同类二次根式例14（1）下列各式中，与2不是同类根式的是（ ） A.12B. 0.2C. 18D.250x （2）ab 、31b a 3、bax 2-是同类二次根式．（ ）题型八 二次根式的加减法 例15、计算（1）1145-－7114-－732+ （2）()23124--++（3）253775-+-+- （4）3312255362a a a a a a-+-（5）75.0125.204112484--+- （6）x y y x y x x y x y y x y x x y-+-+-题型九二次根式的混合运算 例16、计算（1）111212632-⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （2）216275218⎛⎫-⎪⎝⎭（3）2a ab b a b aa b a ab b ab b ab ⎛⎫++--÷ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭（4）（a 2m n －mab mn ＋m nn m ）÷a 2b 2mn ；（5）（25＋1）（211+＋321+＋431+＋…＋100991+）．题型十 二次根式的化简求值例17、（1）已知：123a =+，求2221a a a a-+-的值。
初二二次根式经典题型
初二二次根式经典题型一、二次根式的概念与性质相关题型1. 题型：判断二次根式- 题目：下列各式中，哪些是二次根式？- √( - 5)，√(a)(a≥0)，sqrt[3]{8}，√(frac{1){3}}，√(x^2)+1。
- 解析：- 二次根式的定义是形如√(a)(a≥0)的式子。
对于√( - 5)，被开方数 - 5<0，不满足二次根式定义中被开方数是非负数的条件，所以它不是二次根式。
- √(a)(a≥0)符合二次根式的定义，是二次根式。
- sqrt[3]{8}是三次根式，不是二次根式，因为二次根式的根指数是2。
- √(frac{1){3}}，被开方数(1)/(3)>0，满足二次根式的定义，是二次根式。
- √(x^2)+1，因为x^2≥0，所以x^2+1>0，满足二次根式的定义，是二次根式。
2. 题型：二次根式有意义的条件- 题目：当x取何值时，二次根式√(x - 2)有意义？- 解析：- 二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0。
- 对于√(x - 2)，令x - 2≥0，解得x≥2。
所以当x≥2时，二次根式√(x - 2)有意义。
3. 题型：二次根式的性质运用- 题目：化简√(( - 3)^2)。
- 解析：- 根据二次根式的性质√(a^2)=| a|。
- 对于√(( - 3)^2)，这里a = - 3，则√(( - 3)^2)=| - 3|=3。
二、二次根式的运算相关题型1. 题型：二次根式的乘法- 题目：计算√(3)×√(6)。
- 解析：- 根据二次根式乘法法则√(a)×√(b)=√(ab)(a≥0,b≥0)。
- 对于√(3)×√(6)，则√(3)×√(6)=√(3×6)=√(18)=√(9×2)=3√(2)。
2. 题型：二次根式的除法- 题目：计算(√(24))/(√(6))。
- 解析：- 根据二次根式除法法则(√(a))/(√(b))=√(frac{a){b}}(a≥0,b>0)。
中考数学5年真题(2019-2023)专题汇总解析—二次根式
中考数学5年真题（2019-2023）专题汇总解析—二次根式考点1二次根式一、单选题1．（2023）A．25与30之间B．30与35之间C．35与40之间D．40与45之间【答案】D【详解】解∶∵160020232025<<．即4045<，40与45之间．故选D．【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，正确估算无理数的取值范围是解题关键．2．（2023年江苏省无锡市中考数学真题）实数9的算术平方根是（）A．3B．3±C．19D．9-【答案】A【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．3=，故选：A．【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．3．（2023年重庆市中考数学真题（A卷）的值应在（）A ．7和8之间B ．8和9之间C ．9和10之间D ．10和11之间【答案】B【分析】先计算二次根式的混合运算，再估算结果的大小即可判断．=4=+∵2 2.5<<，∴45<<，∴849<+<，故选：B ．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．4．（2019·广东·的结果是()A ．4-B ．4C ．4±D ．2【答案】B【分析】根据算术平方根的定义进行求解即可.，故选B.【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键.5．（2020·广西贵港·在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（）A ．1x <-B ．1x ≥-C ．0x ≥D ．1x ≥【答案】B【分析】根据二次根式的被开方数为非负数即可得出的取值范围．∴x＋1≥0∴x≥﹣1故选：B【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握二次根式有意义：被开方数为非负数．6．（2020·山东聊城·÷）．A．1B．53C．5D．9【答案】A【分析】利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果．÷==1=，故选：A．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．7．（2023年辽宁省大连市中考数学真题）下列计算正确的是（）A．0=B．+=C=D)26=-【答案】D【分析】根据零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算进行计算即可求解．【详解】解：A.)1=，故该选项不正确，不符合题意；B.=C.=D.)26=-，故该选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．8．（2021·广东·统考中考真题）若0a =，则ab =（）AB ．92C ．D ．9【答案】B【分析】根据一个实数的绝对值非负，一个非负实数的算术平方根非负，且其和为零，则它们都为零，从而可求得a 、b 的值，从而可求得ab 的值．【详解】∵0a ≥0≥，且0a =∴0a =0==即0a =，且320a b -=∴a =b∴92ab ==故选：B ．【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，一般地，几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零．9．（2022·河北·统考中考真题）下列正确的是（）A23=+B 23=⨯CD 0.7=【答案】B【分析】根据二次根式的性质判断即可．【详解】解：23=≠+，故错误；=⨯，故正确；23=≠≠，故错误；0.7故选：B．【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．10．（2023()A．点P B．点Q C．点R D．点S【答案】B<<【详解】解：∵479<<，<<23Q，故选：B．11．（2023年河北省中考数学真题）若a b===（）A．2B．4C D【答案】A【分析】把a b【详解】解：∵a b==2==，故选：A．【点睛】本题考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键．12．（2019·四川资阳·统考中考真题）设x=x的取值范围是（）A．23x<<B．34x<<C．45x<<D．无法确定【答案】B【分析】根据无理数的估计解答即可．【详解】解：∵91516<<，∴34<<，故选B．【点睛】此题考查估算无理数的大小，关键是根据无理数的估计解答．13．（2021·广东·统考中考真题）设6a，小数部分为b，则(2a b+的值是（）A．6B．C．12D．【答案】A的整数部分可确定a的值，进而确定b的值，然后将a与b的值代入计算即可得到所求代数式的值．【详解】∵34<<，∴263<<，∴62a=，∴小数部分624b==∴(((22244416106a b+=⨯+-=+-=-=．故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定6a与小数部分b的值是解题关键．二、填空题14．（2019·江苏苏州·x的取值范围为.【答案】6x≥【分析】根据根式有意义的条件，得到不等式，解出不等式即可.-60x≥，解出得到6x≥.【点睛】本题考查根式有意义的条件，能够得到不等式是解题关键.15．（2020·广西·=．【分析】利用二次根式的性质化简，再相减．==【点睛】本题考查了二次根式的减法，解题的关键是掌握二次根式的化简及性质．16．（2021·天津·统考中考真题）计算1)的结果等于．【答案】9【分析】根据二次根式的混合运算法则结合平方差公式计算即可．【详解】21)19=-=．故答案为9．【点睛】本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式的混合运算法则是解答本题的关键．17．（2023年湖北省武汉市数学真题）写出一个小于4的正无理数是．【分析】根据无理数估算的方法求解即可．<4<．．【点睛】本题主要考查了无理数的估算，准确计算是解题的关键．18．（2023x 的取值范围是．【答案】13x ≥-【分析】根据二次根式有意义的条件得到130x +≥，解不等式即可得到答案．∴130x +≥，解得13x ≥-，故答案为：13x ≥-【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，熟知被开方式为非负数是解题的关键．19．（2019·河南·12--=＝．【答案】112【分析】本题涉及二次根式化简、负整数指数幂两个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．12--122=-112=．故答案为11 2．【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、二次根式等考点的运算．20．（2021·安徽·统考中考真题）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，1-，它介于整数n和1n+之间，则n的值是．【答案】11即可完成求解．2.236≈；1 1.236≈；因为1.236介于整数1和2之间，所以1n=;故答案为：1．分即可；该题题干前半部分涉及到数学文化，后半部分为解题的要点，考查了学生的读题、审题等能力．21．（20231+=．【答案】3【分析】根据求一个数的立方根，有理数的加法即可求解．1+=213+=，故答案为：3．【点睛】本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．22．（2023年上海市中考数学真题）已知关于x2=，则x=【答案】18【分析】根据二次根式的性质，等式两边平方，解方程即可．【详解】解：根据题意得，140x -≥，即14x ≥，2=，等式两边分别平方，144x -=移项，18x =，符合题意，故答案为：18．【点睛】本题主要考查二次根式与方程的综合，掌握含二次根式的方程的解法是解题的关键．23．（2023年黑龙江省绥化市中考数学真题）若式子x有意义，则x 的取值范围是．【答案】5x ≥-且0x ≠/0x ≠且5x ≥-【分析】根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可．【详解】∵式子∴50x +≥且0x ≠，∴5x ≥-且0x ≠，故答案为：5x ≥-且0x ≠．【点睛】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．24．（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）在函数12y x +-中，自变量x 的取值范围是．【答案】1x >且2x ≠【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件得出10,20x x ->-≠，即可求解．【详解】解：依题意，10,20x x ->-≠∴1x >且2x ≠，故答案为：1x >且2x ≠．【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键．三、解答题25．（2019·福建·统考中考真题）先化简，再求值：(x －1)÷(x －21xx-),其中x【答案】1x x -，1+2【分析】先化简分式，然后将x 的值代入计算即可．【详解】解：原式＝（x−1）÷221x x x-+()()211xx x =-⋅-1x x =-当x ＋1时，12=+【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．26．（2022·福建·统考中考真题）先化简，再求值：2111aa a -⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭，其中1a =．【答案】11a -．【分析】根据分式的混合运算法则化简，再将a 的值代入化简之后的式子即可求出答案．【详解】解：原式()()111a a a a a+-+=÷()()111a a a a a +=⋅+-11a =-．当1a =时，原式2=．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．27．（2023年安徽中考数学真题）先化简，再求值：2211x x x +++，其中1x =．【答案】1x +【分析】先根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．【详解】解：2211x x x +++()211x x +=+1x =+，当1x =-时，∴原式11+=．【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．28．（20232133-⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】6-【分析】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解．【详解】解：原式2293=-+6=-．【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幂及二次根式的运算是解题的关键．29．（2023年吉林省长春市中考数学真题）先化简．再求值：2(1)(1)a a a ++-，其中3a =．【答案】31a +1+【分析】根据完全平方公式以及单项式乘以单项式进行化简，然后将字母的值代入进行计算即可求解．【详解】解：2(1)(1)a a a ++-2221a a a a =+++-31a =+当a =311==【点睛】本题考查了整式乘法的化简求值，实数的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键．30．（2023年内蒙古通辽市中考数学真题）计算：21tan 453-⎛⎫+︒-⎪⎝⎭【答案】0【分析】根据负整数次幂、特殊角的三角函数值、算术平方根化简，然后在计算即可．【详解】解：21tan 453-⎛⎫+︒-⎪⎝⎭9110=+-，0=．【点睛】本题主要考查了负整数次幂、特殊角的三角函数值、算术平方根等知识点，掌握基本的运算法则是解答本题的关键．31．（2019·河南·统考中考真题）先化简，再求值：22121244x x x x x x +-⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，其中x =【答案】3x【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算可得．【详解】解：原式212(2)22(2)x x x x x x x +--⎛⎫=-÷ ⎪---⎝⎭322x x x-=⋅-3x=，当x ===．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．32．（2023年辽宁省营口市中考数学真题）先化简，再求值：524223m m m m-⎛⎫++⋅⎪--⎝⎭，其中tan 45m =︒．【答案】26--m ，原式16=-【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据特殊角三角函数值和二次根式的性质求出m 的值，最后代值计算即可．【详解】解：524223m m m m-⎛⎫++⋅⎪--⎝⎭()22245223m m m m m-⎛⎫-=-⋅⎪---⎝⎭()222923m m m m--=⋅--()()()332223m m m m m+--=⋅--()23m =-+26m =--，∵tan 45m =︒，∴415m =+=，∴原式25610616=-⨯-=--=-．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，求特殊角三角函数值，化简二次根式等等，正确计算是解题的关键．33．（2023·重庆九龙坡·的值应在（）A ．2和3之间B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间【答案】A【分析】根据二次根式的乘法进行计算，以及估算无理数的大小的方法解答即可．=6=∵91416<<，∴34<，∴43-<<-，∴263<<，故选：A ．【点睛】本题考查了估算无理数的大小和二次根式的运算．解题的关键是掌握二次根式的运算方法，以及估算无理数的大小的方法．34．（2023·辽宁丹东·统考二模）在函数y =x 的取值范围是（）A ．12x -<≤B ．21x -<≤C ．12x ≤≤D ．12x <≤【答案】D【分析】根据函数有意义的条件得到2010x x -≥⎧⎨->⎩,解不等式组即可得到自变量x 的取值范围．【详解】解：由题意得2010x x -≥⎧⎨->⎩，解不等式组得12x <≤，故选：D ．【点睛】此题考查了自变量的取值范围，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．35．（2023·安徽蚌埠·统考三模）下列运算正确的是（）A 3=B ．()3328a a -=-C =D ．112235+=【答案】B【分析】根据二次根式的性质，积的乘方法则，二次根式的加法运算法则，有理数的加法运算法则依次判断即可得出答案．【详解】解：A 333==B ．()3328a a -=-，故此选项符合题意；CD ．11522365+=≠，故此选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查二次根式的性质，积的乘方法则，二次根式的加法运算法则，有理数的加法运算法则．掌握相应的运算法则和性质是解题的关键．36．（2023·河北沧州·校考模拟预测）下列运算中，正确的是（）．A3=±B 2=C 2=D 8=-【答案】C【分析】利用二次根式的化简的法则对各项进行运算即可．【详解】解答：解：A 3=，故A 不符合题意；B 2=-，故B 不符合题意；C 2=，故C 符合题意；D 8=，故D 不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．37．（2023·四川泸州·四川省泸县第一中学校考三模）实数2的平方根为（）A ．2B ．2±C D ．【答案】D【分析】利用平方根的定义求解即可．【详解】∵2的平方根是．故选D ．【点睛】此题主要考查了平方根的定义，注意一个正数的平方根有2个，它们互为相反数．38．（2023·西南大学附中校考三模）估计(3-）A ．0和1之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间【答案】A【分析】由题意知(34-，由1.4 1.5=<<=，可得4.2 4.5<<，0.240.5<<，然后判断作答即可．【详解】解：(34-⨯，∵1.4 1.5=<<=，∴4.2 4.5<<，∴0.240.5<<，∴估算(3-0和1之间，故选：A ．39．（2023·河北石家庄·校联考一模）下列计算正确的是（）A =B1=-C =D 23=【答案】C【分析】根据二次根式加法、二次根式减法、二次根式乘法、二次根式除法分别进行判断即可．【详解】解：AB 0-=，故选项错误，不符合题意；C =D 1=，故选项错误，不符合题意．故选：C ．【点睛】此题考查了二次根式的加法、减法、乘法、除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．40．（2023·江苏无锡·校考二模）函数y x的取值范围是（）A ．5x ≥-B ．5x ≤-C ．5x ≥D ．5x ≤【答案】C【详解】试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数x 50x 5-≥⇒≥.故选C.考点：1.函数自变量的取值范围；2.二次根式有意义的条件.41．（2023·湖南长沙·校联考二模）4的算术平方根是（）A ．2B ．2±C ．8D ．16【答案】A【分析】如果一个数x 的平方等于(0)a a ≥，那么这个数x 叫做a 的平方根，可以表示为平方根叫做a 的算术平方根．正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．【详解】解：42=，故选：A ．【点睛】本题考查算术平方根的定义，明确平方根与算术平方根的区别与联系是本题的关键．42．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）x）A ．0B ．2C ．3D ．5【答案】D【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可．∴40x -≥，即4x ≥，∴四个选项中只有D 选项中的5符合题意，故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零是解题的关键．43．（2023·甘肃平凉·的结果是．【答案】2【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．2=．故答案为：2．()()(0000a a a a a a ⎧⎪===⎨⎪-⎩＞）＜．44．（2021·黑龙江大庆·=【答案】4【分析】先算4(2)-，再开根即可．==4=故答案是：4．【点睛】本题考查了求一个数的4次方和对一个实数开根号，解题的关键是：掌握相关的运算法则．45．（2023·广东茂名·校考一模）已知实数x，y |4|0y -=，则1x y -=⎛⎫⎪⎝⎭．【答案】2【分析】根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性得出24x y ==，，进而根据负整数指数幂进行计算即可求解．40y -=0≥，40y -≥，∴20x -=，40y -=，∴24x y ==，，∴11112422x y ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭===．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了算术平方根和绝对值的非负性、负整数次幂等知识点，根据非负性正确求得x 、y 的值是解答本题的关键．46．（2023·福建福州·校考二模）已知2a =2b =22a b ab -的值等于．【答案】【分析】先求出a b -=1ab =，再由()22a b ab ab a b -=-进行求解即可．【详解】解：∵2a =2b =∴22a b -=++=((22431ab =+⨯-=-=，∴22a b ab -()ab a b =-1=⨯=故答案为：【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、求代数式的值，正确得到a b -=1ab =是解题的关键47．（2023·山东聊城·x 的取值范围是．【答案】12x ≥【分析】根据二次根式有意义的条件可得210x -≥，即可．【详解】解：由题意得：210x -≥，解得：12x ≥，故答案为：12x ≥．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．48．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）计算)11-的结果等于．【答案】22【分析】直接利用平方差公式进行简便运算即可．【详解】解：)2211123122=-=-=，故答案为：22【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算，熟练的利用平方差公式进行简便运算是解本题的关键．49．（2023·陕西西安·校考模拟预测）－64的立方根是．【答案】-4【分析】直接利用立方根的意义，一个数的立方等于a ，则a 的立方根是这个数进行求解．【详解】解：根据立方根的意义，一个数的立方等于a ，则a 的立方根是这个数，可知-64的立方根为-4．故答案为：-4．【点睛】本题考查了立方根，解题的关键是掌握一个数的立方等于a ，则a 的立方根是这个数．50．（2023·云南昭通·x 的取值范围是．【答案】x＞8【分析】由分式的分母不等于零和二次根式的被开方数是非负数得到x﹣8＞0．【详解】解：由题意，得x﹣8＞0，解得x＞8．故答案是：x＞8．【点睛】考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，注意，二次根式在分母上，所以不能取到0．51．（2023·四川泸州·四川省泸县第一中学校考三模）函数y=x的取值范围是．【答案】x>3【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件.x30x3x>3x30x3-≥≥⎧⎧⇒⇒⎨⎨-≠≠⎩⎩．52．（2023·河南洛阳·统考一模）计算：22-=．【答案】74-【分析】先计算22-，再算减法．【详解】解：原式17244=-=-．故答案为：74-．【点睛】本题考查了实数的计算，掌握负整数指数幂、二次根式的化简是解决本题的关键．53．（2023·安徽蚌埠·统考三模）计算：212022--=．【答案】2023【分析】根据有理数的乘方，二次根根式的性质，化简绝对值进行计算即可求解．【详解】解：212022--=122022-++2023=，故答案为：2023．【点睛】本题考查了有理数的乘方，二次根根式的性质，化简绝对值，正确的计算是解题的关键．54．（2022·新疆·x的取值范围是．【答案】x≥3【分析】直接利用二次根式有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案.【详解】由题意可得：x—3≥0，解得：x≥3，故答案为：x≥3【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.55．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）计算=．【答案】【分析】先根据二次根式的性质化简，然后根据二次根式的加减法则求解即可．【详解】解：=-2=-=故答案为：【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算等知识点，灵活运用二次根式的的性质化简是解题的关键．x的取值范围是．56．（2023·云南昆明·一模）要使式子3有意义，x≥【答案】5【分析】二次根式中的被开方数是非负数，依此即可求解．x-≥，【详解】解：依题意有：50x≥．解得5x≥．故答案为：5【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，关键是熟悉二次根式中的被开方数是非负数的知识点．57．（云南省丽江市华坪县2020-2021=．【答案】6【分析】利用二次根式的乘法法则进行求解即可．==．6故答案为：6．【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则和二次根式的性质是解题的关键．58．（2023·山西·模拟预测）计算：=．【答案】【分析】先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可．【详解】解：3=⨯=+=故答案为：【点睛】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的化简，正确计算是解题的关键．59．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）如果2y=+，那么yx的值是．【答案】225【分析】根据二次根式有意义的条件，求出,x y的值，进而求出y x的值即可．【详解】解：∵2y=，∴150,150x x -≥-≥，∴15150x x -=-=，∴15,2x y ==，∴215225y x ==；故答案为：225．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值．熟练掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键．60．（江西省崇仁县第二中学2016-2017学年八年级上学期第二次月考数学试题）计算:=【答案】61．（2015年初中毕业升学考试（山东滨州卷）数学（带解析））计算的结果为．【答案】﹣1【分析】此题用平方差公式计算即可.【详解】22=-23=-1=-62．（2023·黑龙江哈尔滨·=．【答案】3【分析】根据二次根式的化简方法和运算法则进行计算．【详解】解：原式33==【点睛】本题考查二次根式的计算，在化简二次根式的基础上再把同类二次根式合并．63．（福建省永春县第一中学2017【分析】根据二次根式乘法，加减法运算法则计算即可．【详解】解：原式＝【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简方法是解题的关键．64．（2023·广东茂名·校考一模）先化简，再求值：2121211x x x x +⎛⎫÷+ ⎪-+-⎝⎭其中1x +．【答案】11x -；2【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，再约分，化简后将x 的值代入计算．【详解】解：212(1)211x x x x +÷+-+-211(1)1x x x x ++=÷--211(1)1x x x x +-=⋅-+11x =-，当1x =+时，原式=2=．【点睛】本题考查了分式化简求值，掌握分式的基本性质，将分式通分和约分进行化简是关键．65．（2023·四川泸州·011+()3-23－【答案】【分析】根据实数的混合运算法则即可求解．011+()3-23－=(1+32-=1+32-+【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知实数的性质及运算法则．66．（2023·安徽六安·1+【分析】先计算算术平方根．化简绝对值，求解立方根，再合并即可．1+=+-413=【点睛】本题考查是算术平方根的含义，化简绝对值，求解立方根，实数的混合运算，掌握“算术平方根与立方根的含义”是解本题的关键．67．（2022·新疆·统考中考真题）计算：20-+(2)|(3【分析】分别计算有理数的乘方、绝对值、二次根式及零指数幂，再进行加减即可．【详解】解：原式451=++=【点睛】本题考查有理数的乘方，绝对值和二次根式的化简及零指数幂的性质，属于基础题，正确运算是=．解题的关键．要熟练掌握：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1a。
二次根式测试题及答案
二次根式混合运算21、4、（1一血）2+4,1、•五-可2、龙XTJ53、〔迈我.刁）（.2-2.3）5、.2『5[6（伤+需）-（伍弋+7^）7、〔迈十.了一1）（.2-，空+1）-8、〔2,忑-，可）三&9、10、+（丙+④_彳（.;2-尬;「、（莎甘）十所12、昉+.折_g ；「3、伍_V^i ；、'V125'14、（7+7）2-（7-⑦215、器打4i x 匸鬲一31000；16、丨.了-刃-|1-迈丨-丨迈十飞-5|.17、.爲•左-.莎+,-|-18、（3厅一卫）（Is+2弓）20、可■（一而）三E ；苗-诉）x（価+術）辽丐-3迈）2⑸；訥帯2亠迟1 3莎-9g+3•壬i 乔（3,gx 卫）血让电+（虽一1）HI（33_一2b ）（且+b ）・（V3-2-（应-岛）（五+屈C-gVzS X V14律礙唸）¥（3^2-1）（L+3伍）-（3近-1）2;22、 23、 24、 25、 26、27、2&29、 30、31、32、33、34、35、 36、 37、 38、 39、 40、 41、 2；12+3-..;_45；Ve 葩圧+1）殛-血壬骨Cflx 而CV3-V2）(_■.帀)2-(-T )V27+2VsV2+1（血+V5）2-（血+価）（伍■近）:;（°飞一4g+g.§）十殳E(V5"V3+V2)(V5+V3~V2)（-2）=屆-4运（4-亦）-片-(2-2)2*顶-2巫+(-号-1)243、 44、45、46、47、 4&49、50、 51、 52、53、 54、55、 56、57、58、 59、 60、61、62、63、3.莎-一虧-g+Cs-2)Cs+2)10VE X 弋_V16X V18-9.45■=■3.15x_|「眉_2〔眈（V3+V2+V5）（V3~V2~V5）V1S+2^32CV2_2^3）（V2+2V3）V18-（V12+2V2）73（V27+SV3）_3±_X_JLV3~V2V&（屈+顶）-（V&V125）（V5+V6）（V5~V6）（二+1）2_2..玩（.1+1）（1_2）_C2_1）2+C2+1）2_\5+Q2005_^2004）65、66、67、68、 69、 70、 71、 72、 73、 74、 75、 76、 77、 7& 79、 80、 81、82、 83、 84、85、86、87、Ex 适+左+亏_89、血~^2怖-屈90、•可-汙1皿91、.五X（帀+垃1_药）.92、空193、93工一F十2&崇38K；94、（升43（「_引2+（2+弓（2-引；95、-几$+3弓〔3-衣弓）一!^冷；97、2a[98、丨.亏一角丨+.可一.伍；101、（刁+.可2008（一了-迈）2009. 102、3亍一218+5馬；103、-跖弓4-|「J；104、容105、（3•.左+書）1亏106、（巧-1）（，孕1）-（，住-24）三飞107、；108、—宀（〒-可（3+可；109、一晋+一五7_.弓？1_1 Vs （.电-一〒）（一E+一〒）+2 〔茁可0+1_3|_2_1⑷（飞_2「可）x .亏_6.1■1（2.卫帀）;CV5+V2）（亦_（73~V2）2 〔血一1）2+^-Q2010+2010）° VoTsWii~（書_雇） ■-y^2712■^/48） +6o ； 3 M 4Vs110、111、114、 115、 116、117、118、119、120、121、122、 123、124、125、 Word ⑵（7+4了）（7_4七） +（2+二） 飞3V 2参考合案1、原式=2二-3予-亏；2、原式=.^jx£j=丽=30;3、原式=2-12=-10.4、原式=1-2迈+2+2迈4〔迈-1)-迈=2.5、原式=2,5才(u+2,5“5n)=2,5勺-6u-2,5a=-6a.7、原式=（二）2-（.亏-1）2=2-（3-231）=2亏-28、原式U严W飞二_*二二一乎9、.原式=（布—2肩+"）x疼（羽+3^）x逅=1+^[^3310、原式=—+』2P44丁‘彳乙11、原式=（12、原式=2j+33-=；13、原式==-2;33祈514、原式=（7+〒+「了）（7+〒-升了）=14x2斤=23.了15、原式=号心冷X12-10=3+6-10=-1;16、原式=2-計1一戈+2+3一5=-2.17、原式=_恳•.花-2.書+=3書—2爲+.=55518、原式=（3.^-2亏）（3.亍2二）=18-12=6;19、原式=長（2迈-迈+二！）=亏（「◎+£）=E+1__3320、原式=-3g・52宁.&=-15一6宁一&=-15;21、原式=3.予；-2〔+T尾22、原式=3a+-2b23、原式=3-2运+1-（2-3）=5-2二.24、原式专律14一為屈X14=7厂”乙原式=（2号+号）X 1 V -2=3-2=1 原式=,+予X 63ir -m .3ir=2m 3ir +3m .3ir -m .3ir=°；原式=咼犬壬F¥+1Y -1+¥+1『原式=12•方-〉弓+6•込=（12-3-+6）.手15.亏;X2迁）=6.㊁+6=迈+3-2孑3很+3-2孑3+_2-原式=.6X.&+&x_&X 1=6+1+6=7+&•原式普X3工+6X !_^-2x ・J=2Q+3.Q -24; 原式=2飞- 言夂弓+3-2=2-&-23+1 =（63-+E-2可+2長-3=3-3+辽--3=-2+二- 3323323原式=,©+（迈+刀（迈-1）+1-迈=3+殳-迈-2+1-公4 原式=2.号+3飞-7号=-2疋；原式=2」牛21xg=Z 討沪14-原式=10-7+=3+!;22 原式=1X （22-刁+仝）=山咒2+lx =£+1;_33 原式=.1-1；__原式=2+3+2，.'3X2-（2-3）=5+2&+1=6+2&原式=2+1-（•厉-込）=3-1=2^ 原式=17-（19-）=-2+£迈; 原式=2.兰-3兰-2迁-3_K - 原式=4.3+12込=1@帀； 原式=¥+2..〒-10‘万=—罟〒； 原式=4:-+迄卫 244'三 原式=6-5=1; 原式=12+18-12乞=賀-1殳飞;25、26、27、2&29、30、31、 32、33、34、35、36、37、 38、 39、 40、41、42、43、44、45、 46、47、 4& 49、 50、原式=-4=（6—3—丄）疋+1=+1 55原式=［.*-（.亏-一劝］［上+（二-二）】=5—（.£-一可2=5-（5-2电）=2g. 原式=4x2§-16,+12-16-8了=-4-16兀;原式=2-（4-42+2）=2p-6+42=6至-6.V 23 原式=2x2号—2x3号+5—2号+1=上—6号—2号+6=6—7g. ■ila原式=0+2^-3=^-. 原式=一技斤; 原式=-+6=-■&+"6=0- V 57 *X 打和.疋一卫-互x 卫=2-了+方-2去左 （18-莎三2p=g 亟W-号莎巨=壬_斗1原式=9.乜-14.矛4了=-了；原式=:曲*-4只3.去.㊁-12二=-11_瓦原式=2.3x =12.6；原式=X3gx.=-些；V57V105原式=12乜-2亍6了=16‘方;原式=（4乞-2左+6•迈）x.=2亍2241原式=27*+（3x 亏X¥）x.—&迈=3亏x.-&W=-8㊁;93原式=Cl ）2-（'E+；E ）2=3-（2+2[75+5）=-4-2I 'T5 原式=3立+8立=11迈； 原式=2-12=-10； 原式=^23^23-61石=0； 51、52、 53、54、55、56、57、58、 59、 60、 61、62、63、64、65、66、 67、 68、 69、 70、 71、 72、 73、74、75、76、 原式=（4飞-2.空+6込）+2迁=2.审2原式=6.号-3飞-£<+577、原式=十=一=1.4从22278、原式之页":环-爭而£-寺戶+匸送戶+乎79、原式=3飞-锂了+2至）=3迈-殳，了-殳迈=迈-殳，了；80、原式=,3（3,3+2,3）=9+6=1581、原式=（一了+込）2-^=3+2+2乞-乙=5+E82、原式=4；5+315—2,2+4'.■2=F.「5+Z/2；83、原式=北电+孔迈-10.15；84、原式=5-6=-1;85、原式=4+2二_呂飞=4_&飞86、（1+_劝（1-3-（.㊁-1）2+（迈+1）2=1-C2）2-（2-2_卫+1）+2+2空+1=1-2—2+2•.龙-1+2+2・「戈+1=4・「2-1.87、原式=亏+4x.—亏+1=亏+门-，亏+1=1+2488、原式=（40了-诣了+8^）十飞=30上十主=15卫；89、原式=2迈-迈+2=2+p.90、原式=3飞-锂+.引+1=3弓+1=2了-1;91、原式=2弓况（5弓+3-4弓）=2.茅X2.亏=12.92、原式=2+2•迈+4+2：=姑93、原式=9I'3X-14:+24l3H=；94、原式=（7+4二）（7-4手）+4-3=49-48+1=2；95、原式=-4x殳匕+9.空-12-O-D=-8七+9匕-12-㊁+1=-11;96、原式=.-：+'•=2x工-工+=空j X可*4zz97、原式=2a（b爲-2x3b一:爲+）=2ob書-+ab£=512222v0398、原式=电—+3-5戈=2二-4上；99、原式=12-4二+1=13-4手；100、原式=22+—护2SS101、原式=（）=迓一乜102、原式=3x2迈-2x3-「^5x4力=6迈-6「020迈=20•力；103、原式=7-..&-3'：Q|+2=6|；e原式¥・（-舟）乂=-暑扣=春％忑原式=3飞+.电+右上=3込+孑普-亏； 原式=3-1-=2-3+ 原式仝2+1—；x2亏=2+1-2=1; V55_ 原式=3-2二+1-1=3-2j 原式=+4•二-3工=丄 22 五二亏—空二飞_1^3-1=0；V3V3V3' （.号一刁（■角+万）+2=（可'-行）2+2=5-7+2=0;（飞_2.可）x .亏-6g=玉-4玉-号三=-9.◎-号亍-普原式=4-5=-1; 原式Px 巴=1;ba原式=5-2-5+2乞=2飞一戈； 原式=- 原式=2,了（5〒+了-4引=2jj-2.1=12；原式=49-48+2+，「&=3+&.原式==弓一方-殳了+3卫=-飞 •L105、106、107、108、109、110、111、 112、 113、 114、115、116、117、118、119、120、 121、 122、 123、 124、125、-3|-2-1=1+3-2=32; 22 原式=4-2了+一了-1=3-込原式==3-2=1. V5 原式=_2.&+1+6J 3=4飞+1。
专题. 二次根式章末八大题型总结(拔尖篇)(人教版)(解析版)
专题16.7二次根式章末八大题型总结（拔尖篇）【人教版】【题型1二次根式双重非负性的运用】 (1)【题型2复合二次根式的化简】 (3)【题型3二次根式的运算与求值技巧】 (7)【题型4二次根式中的新定义问题】 (9)【题型5利用分母有理化求值】 (15)【题型6二次根式中的阅读理解类问题】 (20)【题型7二次根式的规律探究】 (25)【题型8二次根式的实际应用】 (27)【题型1二次根式双重非负性的运用】【例1】（2023春·天津和平·八年级耀华中学校考期中）若实数a，b，c满足关系式−199+199−= 2+−+−6，则c＝．【答案】404【分析】根据二次根式有意义条件求得a＝199，然后由非负数的性质求得b、c的值．【详解】解：根据题意，得−199=0199−=0，解得a＝199，则2+−+−6=0，所以2×199+−=0−6=0，解得=6=404，故答案为：404．【点睛】本题考查二次根式的意义和性质，熟知相关知识点是解题的关键．（2023春·全国·八年级期中）已知实数x，y，a，b满足3−−7+−2−4=+−2022×【变式1-1】2022−−．求+的值及7−2023的值．【答案】15【分析】根据算术平方根的非负性列方程和不等式计算即可．【详解】解：由已知，得+−2022≥02022−−≥0，∴+−2022=0，∴+=2022，∴3−−7+−2−4=0，∴3−−7=0−2−4=0，解得=2=−1，∴7−2023=7×2−−12013=14+1=15．【点睛】本题考查二次根式的乘法、非负数的性质、二次根式有意义的条件以及解二元一次方程组，熟练掌握二次根式的乘法以及非负数的性质是解答本题的关键．【变式1-2】（2023春·湖北恩施·八年级校联考阶段练习）设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：3(−p3+3(−p3=−−−，则3+3+3﹣3B的值是（）A．0B．1C．3D．条件不足，无法计算【答案】A【分析】首先根据二次根式的被开方数为非负数与x、y、z是两两不等的实数，即可求得：x为0，y与z互为相反数，据此即可求得代数式的值．【详解】解：根据题意得：3−3≥0 3−3≥0−>0−>0∴>>，∴−>0，−<0，∴由3(−p3≥0可得≥0，由3(−p3≥0可得≤0，∴=0，∴−−−=0，∴−−=0，∴=−，∴3+3+3−3B=−3+3=0．【点睛】此题考查了二次根式成立的条件与不等式组解集的求解方法，代数式求值问题，找到x，y，z的关系是求解本题的关键．【变式1-3】（2023秋·上海静安·八年级上海市民办扬波中学校考期中）已知s s是两两不相等的实数，且满足−+−=−−−，则32+B−22−B+52的值为．【答案】17【分析】根据被开方数是非负数，确定出=0，=−，代入原式即可解决问题．【详解】解：∵，，是两两不相等的实数且满足o−p+o−p=−−−，又∵−≥0−≥0o−p≥0o−p≥0，∴=0，=−，≠0，≠0，∴原式=32−2−22+2+52=17．故答案为：17【点睛】本题考查二次根式的性质、解题的关键是根据条件确定出=0，=−，记住二次根式的被开方数是非负数这个隐含条件，属于中考常考题型．【题型2复合二次根式的化简】【例2】（2023春·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期中）像4−23，48−45…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：4−23＝3−23+1＝(3)2−2×3×1+12＝(3−1)2＝3−1．再如：5+26=3+26+2=(3)2+23×2+(2)2=(3+2)2=3+2请用上述方法探索并解决下列问题：(1)化简：12+235；(2)化简：17−415；(3)若+65=(+5p2，且a，m，n为正整数，求a的值．【答案】(1)5+7(2)23−5(3)14或46【分析】（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；（3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解．【详解】（1）12+235=52+2×5×7+72=(7+5)2=5+7（2）17−415=12−415+5=232−2×23×5+52=23−52=23−5（3）∵+65=2+52+5，∴=2+52，6=2B，∴B=3又∵、、n为正整数，∴=1,=3，或者=3,=1，∴当=1,=3时，=46；当=3,=1时，=14．∴a的值为：14或46．【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值．【变式2-1】（2023秋·上海·八年级期中）当=4−）A．1B．3C．2D．3【答案】A【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．【详解】解：原式=−将=4代入得，原式===−1−11+=33=1.故选：A.【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．【变式2-2】（2023春·广东韶关·八年级校考期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=1+22，善于思考的小明进行了以下探索：设+2=+22（其中a、b、m、n均为正整数），则有+2=2+22B+22，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分+2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若+6=+62，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a ＝，b＝；（2）若+43=+32，且a、m、n均为正整数，求a的值；（3）化简：7−21+80．【答案】（1）m2+6n2，2mn；（2）a＝13或7；（3）5﹣1．【分析】（1）利用完全平方公式展开得到+62=2+26B+62，再利用对应值相等即可用m、n表示出a、b；（2）直接利用完全平方公式，变形后得到对应值相等，即可求出答案；（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．【详解】解：（1）∵+6=+62=2+26B+62，∴a＝m2+6n2，b＝2mn．故答案为：m2+6n2，2mn；（2）∵+43=+32=2+23B+32，∴a＝m2+3n2，mn＝2，∵m、n均为正整数，∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，∴a＝13或7；（3）∵21+80=20+45+1=25+12=25+1，则7−21+80=7−25+1=6−25=5−12=5−1．【点睛】本题考查了二次根式性质和完全平方式的内容，考生须先弄清材料中解题的方法，同时熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则以及二次根式的化简公式是解题的关键.【变式2-3】（2023春·江苏·八年级期末）阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+22=1+22，善于思考的康康进行了以下探索：设+2=+22（其中、、m、n均为正整数），则有+2=2+22+2B2（有理数和无理数分别对应相等），∴=2+22，=2B，这样康康就找到了一种把式子+2化为平方式的方法．请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：(1)当a、b、m、n均为正整数时，若+3=+32，用含、的式子分别表示a、b，得：=________，=________；(2)若7−43=−32，且、均为正整数，试化简：7−43；(3)化简：7+21−80．【答案】(1)2+32，2B(2)2−32(3)1+5【分析】（1）根据完全平方公式进行计算进行求解；（2）将7−43变为22−2×2×3+32即可求解；（3）将7+21−80化为1+52进行求解即可．【详解】（1）解：∵+32=2+23B+32=2+32+23B，∴=2+32，=2B，故答案为：2+32，2B；（2）∵7−43=4−2×2×3+3=22−2×2×3+32=2−32，∴7−43=2−32；（3）7+21−80=7+1−45+20=7+1−252=7+25−1=6+25=1+25+5=1+52=1+5．【点睛】此题考查了二次根式的化简能力，关键是能准确理解并运用相关知识进行求解．【题型3二次根式的运算与求值技巧】【例3】（2023·八年级单元测试）若=2+4++1的值.【答案】2.【分析】已知条件比较复杂，将已知条件变形得出所求式子的结构求值即可.【详解】∵+=，∴2+=∴2=−−2++1=∴4++1=∵>0，∴a2+a4+a+1=−a+3=2．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，式子较复杂需要先化简条件.【变式3-1】（2023秋·四川成都·八年级校考阶段练习）若实数x，y满足（x﹣2−2016）（y﹣2−2016）＝2016．（1）求x，y之间的数量关系；（2）求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2017的值．【答案】（1）x=y；（2）-1.【分析】（1）将式子变形后，再分母有理化得①式：x﹣2−2016＝y+2−2016，同理得②式：x+2−2016＝y﹣2−2016，将两式相加可得结论；（2）将x=y代入①式得：x2=2016，再代入原式结合x2=2016，计算即可．【详解】解：（1）∵（x﹣2−2016）（﹣2−2016）＝2016，∴x﹣2−2016＝K−2016−−2016y+2−2016①，同理得：x+2−2016＝y﹣2−2016②，①+②得：2x＝2y，∴x＝y，（2）把x＝y代入①得：x－2−2016＝x+2−2016，∴x2＝2016，则3x2－2y2+3x－3y－2017，＝3x2－2x2+3x－3x－2017，＝x2－2017，＝2016－2017，＝－1．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简,掌握分母有理化的方法是解题的关键.（2023春·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考阶段练习）若x，y是实数，且y＝4−1+1−4+【变式3-2】13，求（23x9+4B）﹣（3+25B）的值．【答案】18﹣【分析】首先根据二次根式有意义求出x、y的值，再化简后面的代数式，最后代入求值即可．【详解】解：∵x，y是实数，且y＝4−1+1−4+13，∴4x﹣1≥0且1﹣4x≥0，解得：x＝14，∴y＝13，∴23x9+4B）﹣（3+25B）的值．＝2x+2B﹣x﹣5B＝x﹣3B＝18−【点睛】本题主要考查含字母的二次根式化简求值，需要注意利用二次根式有意义的情况求未知数的值．【变式3-3】（2023春·浙江·八年级专题练习）当=43−1997−19942019的值为(). A．1B．−1C．22002D．−22001【答案】B【分析】由原式得2−12=1994，得42−4r1=1994，原式变形后再将42−4r1=1994代和可得出答案.【详解】∵=∴2−12=1994，即42−4−1993=0，∴43−1997−1994=42−4−1993+42−4−1993−1=−1．∴原式=−12019=−1．【点睛】本题难度较大，需要对要求的式子进行变形，学会转化.【题型4二次根式中的新定义问题】【例4】（2023春·重庆江津·八年级校联考期中）对于任意非负数、，若定义新运算：n=−o≥p+o<p，在下列说法中：①27∯12=3；②11∯2+12∯3+⋯+12022∯2023=2023∯1；③(np(np=|−U；④若2∯(2−4+4)=2，则的取值范围为0≤≤1，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】利用新运算的定义对每个结论进行逐一判断即可得出结论．【详解】解：①∵27>12，∴27∯12=27−12=33−23=3，∴++...+②等式的左边==232+20232022=2−1+3−2+...+2023−2022 =2023−1．等式的右边=2023−1=2023−1．∴等式成立，∴②的说法正确；③当≥时，左边=(−p(+p=(−p(+p=(p2−(p2=−=|−U=右边，当<时，左边=(+p(−p=(p2−(p2=−=|−U=右边，综上，③的说法正确；④2∯(2−4+4)=2−(−2)2=−(−2)=−+2=2，由题意可知：2≥2−4+4，∴≥1，∴④的说法不正确．综上，说法正确的有①②③，故选：C．【点睛】本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，分母有理化，本题是新定义型，理解新定义的规定，并熟练应用是解题的关键．【变式4-1】（2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为(p，即：当为非负整数时，如果−12≤<+12，则(p=．如：(0)=(0.48)=0，(0.64)=(1.49)=1，(4)=(3.68)=4，⋯试解决下列问题：①(3)=；②(32+3)=；⋯=．【答案】2320172018【详解】1、(3)=(1.732)=2；2、根据题意，先推导出o2+p（1）∵2+<2++14=，∴2+<+12，（2）再比较2+与−12的大小关系，①当n=0时，2+>−12；②当为正整数时，∵2+−−=2−14>0，∴2+>−，∴2+>−12，综合（1）、（2）可得：−12<2+<+12，∴(2+p=，∴(32+3)=3．3、∵(2+p⋯+=11×2+12×3+13−4+⋯+12017×2018=1−12+12−13+13−14+⋯+12017−12018=1−12018=20172018．故答案为（1）2；（2）3；（3）20172018.点睛：（1）解第②小题的关键是应用“完全平方公式”和“作差的方法”分别证明到当n为非负整数时，−12< 2+<+12，从而得到(2+p=；（2）解题③的要点是：当n为正整数时，1or1)=1−1r1.【变式4-2】（2023春·八年级单元测试）将n个0或2排列在一起组成一个数组，记为=1,2,⋯,，其中1，2，…，取0或2，称A是一个n元完美数组（≥2且n为整数）．例如：0,2，2,2都是2元完美数组，2,0,0,0，2,0,0,2都是4元完美数组．定义以下两个新运算：新运算1：对于∗=+−−，新运算2：对于任意两个n元完美数组=1,2,⋯,和=1,2,⋯,，⊕=21∗1+2∗2+⋯+∗．例如：对于3元完美数组=2,2,2和=0,0,2，有⊕=12×(0+0+22)=2．(1)①在3,2，2,0，2,2,0中是2元完美数组的有______；②设=2,0,2，=2,0,0，则⊕=______；(2)已知完美数组=2,2,2,0，求出所有4元完美数组N，使得⊕=22；(3)现有m个不同的2022元完美数组，m是正整数，且对于其中任意的两个完美数组C，D满足⊕=0，则m的最大可能值是______．【答案】(1)①2,0；②2(2)=2,2,0,2或2,0,2,2或0,2,2,2或2,2,0,0或2,0,2,0或0,2,2,0．(3)2023【分析】（1）①根据定义直接判定即可；②根据定义直接计算即可；（2）由定义可知当=时，∗=2，当≠时，∗=0，当∗=22或0，再由此求解即可；（3）根据题意可知C、D中对应的元都不相等，m的最大值为2023，当C确定后，D中的对应元与C中的不同即可．【详解】（1）解：①∵3,2中有3，∴3,2不是2元完美数组；∵2,0中只有2和0，且有2个数，∴2,0是2元完美数组；∵2,2,0中有3个数，∴2,2,0不是2元完美数组；故答案为：2,0．②⊕=22+0∗0+2∗0=22+2−2+0+0−0−+2+0−=12×22=2．故答案为：2．（2）解：∵∗=+−−，∴当=时，∗=2，当≠时，∗=0，当∗=2时，∗=22或0，∵⊕=22，∴1∗1+2∗2+3∗3+4∗4=42，∵=2,2,2,0，∴=2,2,0,2或2,0,2,2或0,2,2,2或2,2,0,0或2,0,2,0或0,2,2,0．（3）解：∵⊕=0，∴C、D中对应的元都不相等或C、D中对应的元都相等且为0，∵C、D是不同的两个完美数组，∴C、D中对应的元都不相等，∴m的最大值为2023，当C确定后，D中的对应元与C中的不同．故答案为：2023．【点睛】本题主要考查了新定义运算，弄清定义，熟练掌握绝对值的运算，能够通过所给的运算关系，得到一般规律是解题的关键．【变式4-3】（2023春·广东广州·八年级广州市第十六中学校考期中）定义：我们将+与−称为一对“对偶式”．因为+−=2−2=−，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：已知18−−11−=1，求18−+11−的值，可以这样解答：因为18−−11−×18−+11−=18−2−11−2=18−−11+=7，所以18−+11−=7．(1)已知：20−+4−=8，求：①20−−4−=________；②结合已知条件和第①问的结果，解方程：20−+4−=8；(2)代数式10−+−2中的取值范围是________，最大值是________，最小值是_________；(3)+⋯【答案】(1)①2；②=−5(2)2≤≤10，10，2(3)12−【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案；（2）根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可得到答案；（3）利用原题的过程，对原式进行变形后，即可得到答案．【详解】（1）解：①∵20−+4−20−−4−=20−2−4−2=20−−4+= 16，∴20−−4−=2；故答案为：2②由①得20−−4−=2，已知20−+4−=8，两式相加得到，220−=10，即20−=5，则20−=25，解得=−5，经检验，=−5满足题意，即方程20−+4−=8的解是=−5；（2）解：由二根式有意义的条件得到10−≥0−2≥0，解得2≤≤10，即的取值范围是2≤≤10，x的最大值是10，x的最小值是2；故答案为：2≤≤10，10，2++⋯+（3+⋯+=++⋯+2023−2021202320212023+20212023−2021=35375+20232021−⋯+−==21−12023=12−20234046【点睛】此题考查了二次根式的性质和混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键．【题型5利用分母有理化求值】【例5】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）阅读下列材料，然后回答问题．==23−13−1==3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．(1)+++(2)已知m是正整数，=r1+=r1−++3B=2021，求m．(3)已知15+2−26−2=1，则15+2+26−2的值为?【答案】(2)504(3)9【分析】（1）将各部分分子变为2，再根据分母有理化去分母后可相互消掉可得结果；（2）、互为倒数，分母有理化后可得+的值，代入所求式子即可；（3）设=15+2，=26−2，则2+2=41，利用已知等式导出2B=40，根据完全平方公式计算出+即为所求．+【详解】（1=+5375+⋯20192017+5−3+7−5+⋯+2019−2017==1=（2）∵=r1+=r1−∴=(+1−p2，=(+1+p2，B=1，∴+=(+1−p2+(+1+p2=4+2，∴++3B=2021，∴4+2+3=2021，∴=504；（3）设=15+2，=26−2，则2+2=41，∴15+2−26−2=1，∴−=1，∴(−p2=1，∴2+2−2B=1，∴2B=40，∵(+p2=2+2+2B=41+40=81，∴+=±9．（−9舍去），∴15+2+26−2=9．【点睛】本题考查了分母有理化的技巧，利用完全平方公式和平方差公式设未知数整体代入是常用的方法．【变式5-1】（2023秋·山西临汾·八年级校联考期末）阅读下列解题过程：==5−452−42=5−4==6−562−52=6−5请回答下列问题：（1=______；（2+（3）12−11和13−12的值哪个较大，请说明理由．【答案】（1）+1−；（2）2021−1；（3）12−11>13−12，见解析【分析】（1）把分子分母都乘以(5+2)，然后利用平方差公式计算；（2）先分母有理化，然后合并即可；（3）由（1）的方法可得，12−11=13−12=，根据12+11<13+12可得>【详解】解：（1==+1−；（21++2+3+3+4+⋅⋅⋅+2019+2020=2−1+3−2+4−3+⋅⋅⋅+2020−2019+2021−2020=2−1+3−2+4−3+⋅⋅⋅+2020−2019+2021−2020=2021−1（3）由（1）的方法可得，12−11=13−12=13+12∵12+11<13+12>即，12−11>13−12．【点睛】本题考查了分母有理化和二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．【变式5-2】（2023春·黑龙江牡丹江·八年级校考期中）（1）观察下列各式的特点：2−1>3−2，3−2>2−3，2−3>5−2，5−2>6−5，…根据以上规律可知：2021−2020______2022−2021（填“＞”“＜”或“＝”）．（2）观察下列式子的化简过程：=2−1，==3−2，=＝4−3，…n≥2，且n是正整数）的化简过程．（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：−+−3−5+4【答案】（1）＞；（2）见解析；（3）2−101+9【分析】（1）根据题目所给的例题大小关系可直接得到答案；（2）把分子分母同时乘以−−1，然后化简即可得到答案；=2−1=3−2，…=101−100分别把绝对值（3）根据（2里面的式子化简计算即可．【详解】解：（1）∵2−1>3−2，3−2>4−3，4−3>5−4，5−4>6−5，…，∴+1−>+2−+1，∴2021−2020>2022−2021，故答案为：＞；（2r K1K=−−1；（3）原式=|(2−1)−(3−2)|+|(3−2)−(4−3)|++…+|(100−99)−(101−100)| =(2−1)−(3−2)+(3−2)−(4−3)+…+(100−99)−(101−100)=(2−1)−(101−100)=2−1−101+10=2−101+9．【点睛】此题主要考查了分母有理化，关键是注意观察题目所给的例题，找出其中的规律，然后再进行计算．【变式5-3】（2023春·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：=7−6=分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较7−6和6−5的大小．可以先将它们分子有理化如下：7−6=7+66−5=6+5因为7+6>6+5，所以7−6<6−5．再例如：求=+2−−2的最大值．做法如下：解：由+2≥0,−2≥0可知≥2，而=+2−−2=当=2时，分母+2+−2有最小值2，所以y的最大值是2．解决下述问题：（1）比较32−4和23−10的大小；（2）求=1−+1+−的最大值和最小值．【答案】（1）32−4<23−10；（2）的最大值为2，最小值为2−1．【分析】（1）利用分子有理化得到32−4=23−10=然后比较32+4和23+10的大小即可得到32−4与23−10的大小；（2）利用二次根式有意义的条件得到0⩽N1，而=1−=01+r1，1−有最大值1得到所以的最大值；利用当=1有最小值2−1，1−有最小值0得到的最小值．【详解】解：（1）32−4==23−10=3+10=而32>23，4>10，∴32+4>23+10，∴32−4<23−10；（2）由1−O0，1+O0，O0得0⩽N1，=1−+1+−J1−+∴当=0时，1++有最小值，则1，此时1−有最大值1，所以的最大值为2；当=1时，1++有最大值，有最小值2−1，此时1−有最小值0，所以的最小值为2−1．【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别．【题型6二次根式中的阅读理解类问题】【例6】（2023春·湖北随州·八年级统考期末）阅读材料：基本不等式B≤r2(>0，>0)当且仅当a=b 时，等号成立，其中我们把r2叫做正数a，b的算术平均数，B叫做正数a，b的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具，例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，+1有最小值？最小值是多少？解：∵x＞0，1＞0，∴x+12+1≥2，当且仅当＝1时，即x=1时，有+1有最小值为2．请根据阅读材料解答下列问题：（1）填空：当>0时，设=+4，则当且仅当=____时，y有最____值为_______；（2）若＞0，函数=2+1，当x为何值时，函数有最值？并求出其最值．【答案】（1）2，小，4；（2y有最小值22【分析】（1）根据基本不等式即可求得y的最小值，及此时x的取值；（2）根据基本不等式即可求得y的最小值，及此时x的取值．【详解】（1）∵x>0∴=r42≥∴y=+4≥4当且仅当=4即x=2时，y有最小值4．故答案为：2，小，4（2）∵x＞0∴2r12≥2×∴y=2+1≥22当且仅当2=1即x y有最小值22．【点睛】本题属于阅读材料题目，考查了学生对材料的阅读理解能力和应用能力，考查了解方程，不等式的性质等知识，关键是读懂材料并能应用材料的知识解决问题．【变式6-1】（2023春·安徽六安·八年级校考期中）阅读材料，并解决下列问题．在比较同号两数的大小时，通常可以比较两个数的商与1的大小来判断这两个数的大小，如当s都是正数时，①若>1，则>；②若=1，则=；③<1，则<．我们将这种比较大小的方法叫做“作商法”．(1)请用上述方法比较57与75的大小；(2)r3为正整数）的大小关系，并证明你的结论．【答案】(1)57＜75【分析】（1）由5<7，得到=5<1，即可得到答案；（2÷r3=r22−1r2+22−1<+22即可得到结论．【详解】（1）解：∵5<7，5=<1，∴57<75；（2r2÷===+2−+2∵+221<+22，÷1，<【点睛】此题考查了二次根式的运算的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．【变式6-2】（2023秋·陕西榆林·八年级统考期中）阅读并回答下面问题：计算：2+3+12+2−3−12．设=2+3，=2−3．原式=+12+−12=2+2+1+2−2+1=2+2+2−+2．因为=2+3，=2−3，所以2+2=10，−=23．原式=10+2×23+2=12+43．(1)填空：①3+53−5=__________；②3+52+3−52=__________．(2)请仿照上面的方法计算：3+5+22+3−5−22．【答案】(1)①−2②16(2)24+85【分析】（1）①运用平方差公式解答；②运用完全平方公式解答；（2）设=3+5，=3−5，原式化为+22+−22，运用完全平方公式展开，根据阅读材料说明的方法解答．【详解】（1）①原式=32−52=3−5=−2；②原式=3+5+3−52−23+53−5=232−2×−2=16；故答案为：①−2；②16（2）设=3+5，=3−5，原式=+22+−22，=2+4+4+2−4+4，=2+2+4−+8，因为2+2=16，−=25，所以原式=16+4×25+8=24+85．【点睛】本题主要考查了复杂二次根式的乘法与平方和的简化计算，解决问题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式．【变式6-3】（2023春·贵州遵义·八年级统考期末）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．化简：1−32−1−．解：隐含条件1−3≥0,，解得≤13，∴1−>0，∴原式=1−3−1−=1−3−1+=−2．(1)试化简：(−3)2−(2−p2；(2)已知a、b满足(2−p2=+3,−+1=−+1，求B的值．【答案】(1)1(2)B=±14【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得2−≥0，解得≤2，再化简二次根式，再合并即可；（2）根据二次根式的非负性先求解≥−3，由−+1=−+1，可得−+1=0或−+1=1，再分−3≤≤2,>2两种情况讨论求解即可．【详解】（1）∵2−≥0,则≤2,∴−3<0∴−32−2−2=−3−2−=3−−2+=1（2）∵2−2=+3,−+1=−+1，∴2−=+3≥0,∴≥−3,−+1≥0,∴当−3≤≤2时，则2−=+3,解得：=−12，∵−+1=−+1，∴−+1=0或−+1=1,解得：=12或=−12,∴B=−14或B=14,当>2时，则−2=+3无解，舍去，综上：B=−14或B=14【点睛】本题考查二次根式的性质与化简等知识点，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．【题型7二次根式的规律探究】【例7】（2023春·安徽滁州·八年级校联考期末）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果：①13=1；②13+23=3；③13+23+33=6；④13+23+33+43=__________；…（2）深入探究，观察下列等式：①1+2=(1+2)×22；②1+2+3=(1+3)×32；③1+2+3+4=(1+4)×42；…根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：1+2+3+⋯++(+1)=__________．（3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算：①13+23+33+…+993+1003；②113+123+133+…+193+203．【答案】（1）10；（2）(r2)(r1)2；（3）①5050；②41075【分析】(1)观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和；(2)所有自然数相加的和等于首项＋尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可；(3)利用（1）（2）中的规律综合运用即可求解．【详解】解：（1）10；（2）(r2)(r1)2；（3）①原式=1+2+3+4+5+⋯+99+100=(1+100)×1002=5050；②原式=13+23+33+⋯+183+193+203−13+23+33+⋯+103=202×2124−102×1124=400×4414−100×1214=44100−3025=41075．【点睛】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律、整式的加减，掌握这三个知识点的应用，其中探求规律是解题关键【变式7-1】（2023春·湖北随州·八年级统考期末）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（）．A．2−1B．2−2C．2−3D．2−4【答案】C【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可．【详解】由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1），∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3，∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是：2−3故选：C．【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解．【变式7-2】（2023春·湖北随州·八年级统考期末）观察下列各式：1+112+122=1+11×2，1+122+132=1+12×3，1+132+142=1+13×4，……请利用你所发现的规律，计算1+112+122+1+122+132+1+132+142+…+1+120202+120212，其结果为．【答案】202020202021【分析】根据已知等式将各式分别化简，得到1+11×2+1+12×3+1+13×4+…+1+12020×2021，再将等式写成1×2020+（11×2+12×3+13×4+…+12020×2021）进行计算得到答案.【详解】∵1+112+122=1+11×2，1+122+132=1+12×3，1+132+142=1+13×4，……，∴1+112+122+1+122+132+1+132+142+…+1+120202+120212=1+11×2+1+12×3+1+13×4+…+1+12020×2021=1×2020+（11×2+12×3+13×4+…+12020×2021）=2020+（1-12+12-13+13-14+⋯+12020−12021）=2020+1-12021=202020202021，故答案为：202020202021.【点睛】此题考查运算类规律，有理数的混合运算，根据已知等式得到计算的规律，由此将各代数式化简，再根据特殊公式法进行计算得到答案，正确分析得到等式的计算规律是解题的关键.【变式7-3】（2023春·广西南宁·八年级南宁二中校联考期末）====按此规律，请表示出第2021个式子．【详解】∵第1=第2第3=第4∴第n当n=2021=【点睛】本题考查的是找规律，找出式子与序号的关系是解决本题的关键.【题型8二次根式的实际应用】【例8】（2023春·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）我国南宋时期数学家泰九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记=rr2，则其面积−−−．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．(1)当三角形的三边=3，=5，=6时，请你利用公式计算出三角形的面积；(2)一个三角形的三边长依次为5、6，7，请求出三角形的面积；(3)若=8，=4，求此时三角形面积的最大值．【答案】(1)2142(3)82【分析】（1）直接利用已知得出的值，再利用三角形面积公式得出答案；（2）将=−−−变形为=（3）根据公式计算出+=12，再表示成=12−，代入公式即可求出解．．【详解】（1）解：∵=3，=5，=6，则：=rr2=3+5+62=7，∴=−−−=7×7−3×7−5×7−6=56=214；（2）=−−−======则三边长依次为5、6，7，代入====262（3）∵=rr2，=8，=4，∴+=12，则=12−，∴=−−−=88−48−8−=42×8−8−12+=42×8−−4=42×4−−62，∴当=6时，有最大值，为=82．【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，乘法公式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积．【变式8-1】（2023春·陕西安康·八年级统考阶段练习）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长BC 为72米，宽AB为32米，现要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为8+1米，宽为8−1米．(1)求长方形BB的周长；（结果化为最简二次根式）(2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？【答案】(1)长方形BB的周长为202米(2)购买地砖需要花费204元【分析】（1）根据长方形的周长公式进行计算即可求解；（2）先求得长方形的面积，根据面积乘以6即可求解．【详解】（1）解：72+32×2=62+42×2=102×2=202（米）．答：长方形BB的周长为202米．（2）72×32−2×8+1×8−1=62×42−2×8−1=48−14=34（平方米）．6×34=204（元）．答：购买地砖需要花费204元．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．【变式8-2】（2023秋·四川资阳·八年级校考阶段练习）在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求出它的整数部分．如今天是星期一，还有55天中考，问中考前还有多少个星期一、容易知557=767，但答案并不是将小数部分四舍五入得到8，而是767的整数部分7，所以有7个星期一、为了解决某些实际问题，我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x的最大整数．在数轴上就是取出实数x对应的点左边最接近的整数点（包括x本身），简称取整，记为[p．这里[p=−，[p+=，其中[p是一个整数，0≤<1，a称为实数x的小数部分，记作，所以有=[p+{}．例如，[−14.3]=−15，{2.45}=0.45．关于取整运算有部分性质如下：①−1<[p⩽②若n为整数，则[+p=[p+请根据以上材料，解决问题：(1)[10]=___________；若=[−p，={−}，则2+B=___________；(2)记=⋯+[p；(3)解方程：[3r49]=6K73．【答案】(1)3，4(2)43(3)=53或=76【分析】（1）根据定义直接求解即可；（2）先进行分母有理化，再求和即可；（3）根据题意可得3r49−1<6K73≤3r49，求出的取值范围可得−335<6−7≤15，再由6K73是整数，可求的值．【详解】（1）解：∵3<[10]<4，∴[10]=3，∵−3<−<−4，∴=[−p=−4，={−}=4−，∴2+B=o+p=−4×−=4，故答案为：3，4；（2）=2+1+3++3+⋯2022+2021=2−1+3−2+2−3+…+2022−2021=2022−1，∵44<2022<45，∴43<2022−1<44，∴[p=43；（3）∵−1<[p≤，。
二次根式练习题总结(有一定难度)
二次根式复习一、 分式，平方根，绝对值； 1.22)(a a =成立的条件是_______________2． 当a________时，12=a a ；当a________时，12-=aa 。
3． 若a a =2，则a __________；若a a -=2，则a __________。
4． 把()111---x x 根号外的因式移入根号内，结果为________。
5． 把-33a根号外的因式移到根号内，结果为________。
6． 把31a a-根号外的因式移入根号内，得________。
7． 化简|a -2|+2)2(a -的结果是______。
8． x ＜y ，那么化简2)(y x x y ---为________9．最简二次根式5231-+-+-y x y x yx 与是同类根式，则x=____，y=_____10.若a+b4b 与3a ＋b 是同类二次根式，则a=____，b=_____。
11.求使()-+a 12为实数的实数a 的值为____。
12.已知4m-3n=2，3m-2n=1，则的平方根是____。
13.比较下列数值的大小；（1）；（2）二、根式，绝对值的和为0；1. 若22)32()5(++-b a =0，则2ab =__________。
2.正数m ，n 满足的值。
3.如果a ab b a 22230++++=求b a -2的算术平方根。
4．若82--y x +12++y x =0 求x y ；5.如果5-a +2-b = 0，那么以a ，b 为边长的等腰三角形的周长是_______。
6.在ΔABC 中，a ，b ，c 为三角形的三边，则b a c c b a ---+-2)(2=_______。
7.已知的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=xyy x x yy x x x y 8.如果，则=_______。
9.若a ，b 满足a=++ ，那么a 2-ab+b 2=_______。
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二次根式
题型一 二次根式的定义
例1、（1）18n -是整数，求自然数n 的值．
（2）当x __________时，式子3
1
-x 有意义．
题型二 二次根式有意义的条件
例2、当x 时，二次根式1x +有意义。
例3、已知x 、y 为实数，22991
3
x x y x -+-+=-，求5x+6y 的值．
例4、已知334y x x =-+-+，求
23
8163y y xy ++-的值。
例5、已知实数a ，b 在数轴上的位置如图所示： 试化简(
)
(
)
2
2
223
23
2a b a ab b +-
---+
例6、计算
（1）()
13218---+ （2）()211111x x x ⎛⎫-•- ⎪-+⎝⎭
（3）已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2
2
22d
c ab
d c ab +-＝______．
例7、化简求值 （1）化简：()
2
2a a b c a b c -++-++
（2）先化简再求值：2
22
11xy x y x y x y ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，其中21,21x y =+=-
（3）若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝（ ）
（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y
（4）若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1
(2-+x
x 等于（ ）
（A ）
x 2 （B ）－x
2
（C ）－2x （D ）2x （5）化简a
a 3
-(a ＜0)得（ ）
（A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a
（
6）当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为（ ）
（A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a ---
题型四 最简二次根式 例8、（1）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A （2）x 8，
3
1
，29x +都不是最简二次根式．（ ）
题型五 二次根式的乘除法
例9、已知(m ⎛=⨯- ⎝⎭
，则有（ ） A ．5＜m ＜6 B ．4＜m ＜5 C ．-5＜m ＜-4 D ．-6＜m ＜-5
例10、计算
（1）（235+-）（235--）
（2）（a ＋b
a ab
b +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）．
（3）（a 2m n －m
ab mn ＋
m n
n m ）÷a 2b 2m
n
（4）（a ＋b
a ab
b +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）．
（7
题型六 分母有理化
A ．a=b
B ．ab=1
C ．ab=-1
D ．a=-b
A.题型七 同类二次根式
A.（2）ab 、
3
1b a 3、b
a
x 2-
是同类二次根式．（ ）
题型八 二次根式的加减法 例15、计算
－7114-－7
32
+
（3
（5）75.0125.2041
12
484--+- （6）
题型九二次根式的混合运算 例16、计算
（1
（3）-
（4）（a 2m n －m
ab mn ＋
m n
n m ）÷a 2b 2m
n ；
（5）（25＋1）（
211+＋321+＋431+＋…＋100
991
+）．
题型十 二次根式的化简求值
（2
（3）已知x ＝2323-+，y ＝2
32
3+-，求3
2234232y x y x y x xy x ++-的值．
（4）已知：,x y 为实数，且13y
x -+，化简：3y -
（5）当x ＝1－2时，求2
2
2
2
a
x x a x x
+-+＋
2
2
2
222a
x x x a x x +-+-＋
2
2
1a
x +的值．
（6）当x ＝1－2时，求2
2
2
2
a
x x a x x
+-+＋
2
2
2
222a
x x x a x x +-+-＋
2
2
1a
x +的值．
（7）若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求x y y x ++2－x
y y x +-2的值．
课后作业
一、选择题（每题3分，共30分）
1、下列代数式中，属于二次根式的为（）
A
、 B、 C、 (a≥1) D、
2．二次根式(-3)2的值是（）
（A）-3 （B）3或-3 （C）3 （D）9
3．下列各式计算正确的是（）
（A）23+42＝6 5 （B）27÷3＝3 （C）33+32＝3 6 （D）(-5)2＝-5
4．在二次根式①②③④中最简二次根式是（）
（A）①②（B）③④（C）①③（D）①④
5．x）
（A）x＞1 （B）x≥1 （C）x＜0 （D）x≤0
6．计算8－（1－2）的结果是（）
（A）32-1 （B）32＋1 （C）2-1 （D）2＋1
7．已知实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，是一个（）（A）非负数（B）正数（C）负数（D）以上答案均不对
8．下列各式中，一定能成立的是（）
A．3
3
9
2-
•
+
=
-x
x
x B．2
2)
(a
a=
C．1
1
2
2-
=
+
-x
x
x D．2
2)5.2
(
)5.2
(=
-
9．如果数轴上表示a、b两个数的点都在原点的左侧，且a在b的左侧，则
的值为
2
)
(b
a
b
a+
+
-（） A．b2
- B．b2 C．a2 D．a2
-
b O
3x1-
a2
-
a
10.
n 的值是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 二、填空题（每题3分，共24分）
11．① (2 3 )2＝ ； ②．①=-2)3.0( ； 12．比较大小：4 3 5 2 ； 14．若1＜x ＜2，则化简
= . 1520x y +-=，则_________x y -=．
16的整数部分是a ，小数部分是b ，计算+b 的值为_________。
17.若m<0，则332||m m m ++= 。
18.已知： ,5
1
4513,413412,3
1
2311=+=+
=+
当1≥n 时，第n 个等式可表示为 。
三、解答题：(66分) 19．化简：（6分）
（1）500 （2）n m 218
20．计算（30分）
（1） (8＋23)× 6 （2） (80- 40)÷ 5
（3）（23+6）（23-6） （4）
)323
1
25.0()4881(----22)1()2(x x ---
（5）28
4)23()21(01--+-⨯- （6） 20112010)23()23(+⋅-
23．（8分）已知2x =求代数式246x x --的值是多少
22．（10分）若x ，y 是实数，且314114+-+-=x x y ，求x y
3的值。
24．（12分）阅读并完成下面问题： ① 12)12)(12()
12(1211-=-+-⨯=+ ② ;
23)23)(23(2
3231
-=-+-=+ ③ 25)25)(25(2
5251-=-+-=+ 试求：
（1）671
+= ；（2）17231
+= ；
（3）n n ++11
= （n 为正整数），本题给出求解过程。